Download pdf - GRUPNI INVERZ OPERATORA - pmf.ni.ac.rs · [Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji] Neka je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Ako je z2X, onda postoje jednozna cno odred

Univerzitet u NisuPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Departman za matematiku

Master rad

GRUPNI INVERZ

OPERATORA

Mentor:Prof. dr Dijana Mosic

Student:Ivana Stamenkovic

Nis, 2018.

Sadrzaj

Predgovor 2

1 Uvod 41.1 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . 41.2 Ograniceni linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Uopsteni inverzi operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Grupni inverz operatora 122.1 Uvodni pojmovi i tvrdenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Karakterizacija grupno invertibilnih operatora . . . . . . . . . 142.3 Grupna invertibilnost proizvoda dva operatora . . . . . . . . . 232.4 Grupna invertibilnost anti-trougaonog matricnog operatora . . 26

3 Zakon obrnutog redosleda 34

Literatura 52

Biografija 54

1

Predgovor

Koncept uopstenih inverza prvi je uveo Fredholm 1903. godine, kojije predstavio odredeni uopsteni inverz za integralni operator (nazvao ga je”pseudoinverz”). Nakon toga, Hurwitz je 1912. okarakterisao klasu svihpseudoinverza, dok su razni matematicari (Hilbert, Myller, Westfall, Reid)proucavali uopstene inverze diferencijalnih operatora.

Dakle, izucavanje uopstenih inverza diferencijalnih i integralnih opera-tora prethodilo je izucavanju uopstenih inverza matrica, ciju je egzistencijuprvi otkrio E.H. Moore. On je 1920. godine definisao jedinstveni inverz zasvaku konacnu matricu (kvadratnu ili pravougaonu). Njegovi rezultati nisubili narocito zapazeni u to vreme, tako da je oblast uopstenih inverza ponovozazivela 50ih godina dvadesetog veka, kada je Bjerhammar proucavao uloguuopstenih inverza u resavanju linearnih sistema. 1955. godine je Penroseusavrsio i prosirio rezultate Bjerhammara, pokazao je jedinstvenost inverzakoji je koristio Moore, tako da se taj inverz sada naziva Moore-Penroseovinverz. Ova otkrica su bila izuzetno vazna i plodonosna i dovela su do otkri-vanja raznih tipova uopstenih inverza, koji zadovoljavaju samo neke od os-obina Moore-Penroseovog inverza, ili neke varijacije tih osobina. Jedan odtakvih inverza je grupni inverz i upravo on ce biti predmet proucavanja ovogmaster rada. Grupni inverz ima raznih primena, medu kojima je i analizalanaca Markova.

Rad je podeljen na tri glave.Prva glava sadrzi pojmove koje cemo koristiti u daljem radu. Tu su

navedene osnovne definicije i tvrdenja iz oblasti Banahovih i Hilbertovihprostora, ogranicenih linearnih operatora, Banahovih algebri, kao i rezultativezani za uopstene inverze operatora.

U drugoj glavi najpre uvodimo pojam grupnog i Drazinovog inverza op-eratora, uz navodenje bitnijih rezultata na koje cemo se u nastavku radapozivati. Zatim se bavimo karakterizacijom grupno invertibilnih operatorana Hilbertovim prostorima i dokazujemo teoreme koje nam daju vise infor-macija o geometrijskoj strukturi izmedu dva operatora. Treci deo ove glaveposvecen je ispitivanju pod kojim uslovima je proizvod dva operatora grupno

2

SADRZAJ 3

invertibilan operator. U poslednjem, cetvrtom, delu druge glave razmatramogrupnu invertibilnost anti-trougaonog matricnog operatora.

Treca glava predstavlja glavni deo rada i bavi se zakonom obrnutog re-dosleda za grupni inverz operatora. Dokazujemo teoreme koje ce predstavljatidovoljne uslove kako bi vazio zakon obrnutog redosleda. Na kraju, dolazimodo ekvivalentnih uslova pod kojima posmatrani zakon vazi.

Zelela bih da se zahvalim svom mentoru prof. dr Dijani Mosic na podrscii pomoci prilikom izrade ovog master rada. Njeni konstruktivni saveti i pred-lozi poboljsali su kvalitet rada i doprineli njegovoj konacnoj formi.

Glava 1

Uvod

1.1 Normirani, Banahovi i Hilbertovi pros-

tori

Neka F oznacava polje realnih ili kompleksnih brojeva. Nadalje svivektorski prostori su nad poljem F . Smatracemo nadalje da su svi vektorskiprostori nad poljem F , a, ukoliko ima potrebe, posebno cemo naglasiti da lirazmatramo realne ili kompleksne vektorske prostore.

Definicija 1.1. Neka je X vektorski prostor nad C. Skup B ⊂ X je alge-barska (Hamelova) baza prostora X, ako za svako x ∈ X postoji jedinstvenbroj n ∈ N, jedinstveno odredeni vektori e1, . . . , en ∈ B i jedinstveni brojevi

x1, . . . , xn ∈ C tako da je x =n∑i=0

xiei.

Definicija 1.2. Dimenzija vektorskog prostora X, u oznaci dim(X), je kar-dinalnost algebarske baze tog prostora.

Sve algebarske baze vektorskog prostora X imaju istu kardinalnost, pa jeprethodna definicija korektna. Ako je X konacno-dimenzionalan vektorskiprostor, onda se koristi i oznaka dim(X) <∞.

Definicija 1.3. Neka je X vektorski prostor, i neka su X1 i X2 potprostoriod X sa osobinom da je X1 ∩ X2 = {0X}. Tada se potprostor X1 ⊕ X2 :={x1 + x2 : xi ∈ Xi, i = 1, 2} naziva direktna suma potprostora X1 i X2.

Definicija 1.4. Neka je X vektorski prostor nad F . Funkcija ‖ · ‖ : X → Rje norma na X, ako vaze sledece osobine:(1) ‖x‖ ≥ 0 za svako x ∈ X;(2) ‖x‖ = 0 ako i samo ako je x = 0;

4

GLAVA 1. UVOD 5

(3) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ za svako λ ∈ F i svako x ∈ X;(4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ za svako x, y ∈ X.Tada je (X, ‖ · ‖) normiran prostor. Jednostavnije, X je normiran prostorako se norma ‖ · ‖ podrazumeva.

Teorema 1.1. Neka je (X, ‖ ·‖) normiran prostor. Funkcija d : X×X → R,definisana na sledeci nacin:

(∀x, y ∈ X) d(x, y) := ‖x− y‖,

je metrika na X. Tada je metrika d indukovana normom ‖ · ‖.

Definicija 1.5. Neka je X normiran prostor. Niz (xn)n u X je kovergen-tan (Kosijev) po normi, ako je konvergentan (Kosijev) u odnosu na metrikuindukovanu normom.

Definicija 1.6. Normiran prostor X je Banahov ako je (X, d) kompletanmetricki prostor, pri cemu je d metrika indukovana normom.

Teorema 1.2. Svaki konacno-dimenzionalan potprostor Y normiranog pros-tora X je Banahov. Specijalno, svaki konacno-dimenzionalan prostor X jeBanahov.

Posledica 1.1. Svaki konacno-dimenzionalan potprostor Y normiranog pros-tora X je zatvoren u X.

Teorema 1.3. Ako je X beskonacno-dimenzionalan Banahov prostor, tadaje dim(X) > ℵ0.

Neka su X, Y vektorski prostori nad F . Skup svih linearnih operatora iz Xu Y oznacavamo sa L(X, Y ).

Definicija 1.7. Neka su X i Y normirani prostori nad F . Operator A ∈L(X, Y ) je ogranicen ako postoji realan broj M ≥ 0 takav da je

(∀x ∈ X) ‖Ax‖ ≤M‖x‖.

Skup svih ogranicenih linearnih operatora iz X u Y oznacavamo sa B(X, Y ).

Definicija 1.8. Neka su X i Y normirani prostori i neka je A ∈ B(X, Y ).Norma operatora A, u oznaci ‖A‖, je broj

‖A‖ := sup‖x‖6=0

‖Ax‖‖x‖

.

GLAVA 1. UVOD 6

Teorema 1.4. Neka su X, Y i Z normirani prostori. Za operatoreA ∈ B(X, Y ), B ∈ B(Y, Z) vazi

‖BA‖ ≤ ‖B‖‖A‖.

Teorema 1.5. Neka su X, Y normirani prostori. Tada je (B(X, Y ), ‖ · ‖)normiran prostor.

Definicija 1.9. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru Xje funkcija 〈·, ·〉 : X ×X → C, koja zadovoljava sledece osobine:(1) 〈λ1x1 + λ2x2, y〉 = λ1〈x1, y〉 + λ2〈x2, y〉 za svako λ1, λ2 ∈ C i svakox1, x2, y ∈ X;(2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za svako x, y ∈ X;(3) 〈x, x〉 ≥ 0 za svako x ∈ X;(4) 〈x, x〉 = 0 ako i samo ako je x = 0.Uredeni par (X, 〈·, ·〉) je kompleksan unitaran (pred-Hilbertov) prostor.

Napomena. Ukoliko je X realan vektorski prostor, onda umesto svojstva(2) u prethodnoj definiciji, vazi aksioma:(2’) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za svako x, y ∈ X,odnosno, skalarni proizvod ima osobinu simetricnosti.

Teorema 1.6. Neka je X unitaran prostor sa skalarnim proizvodom 〈·, ·〉.Funkcija ‖ · ‖ : X → R, definisana kao

‖x‖ := 〈x, x〉1/2, x ∈ X,je norma na X. Ova norma je indukovana skalarnim proizvodom.

Definicija 1.10. Neka je X unitaran prostor i neka je X Banahov prostoru odnosu na normu indukovanu skalarnim proizvodom. Tada je X Hilbertovprostor.

Definicija 1.11. Neka je X unitaran prostor i E ⊂ X neprazan skup. Tadaje E⊥ := {x ∈ X : (∀y ∈ E) 〈x, y〉 = 0} ortogonalni komplement skupa E.

Teorema 1.7. [Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji] Neka je Mzatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Ako je z ∈ X, onda postojejednoznacno odredeni vektori x ∈M i y ∈M⊥ tako da je z = x+ y. Prematome vazi X = M ⊕ M⊥ i tada se ova direktna suma naziva ortogonalnasuma.

Definicija 1.12. Neka je X normiran prostor nad poljem F . Ogranicenlinearani funkcional na X je svaki ogranicen linearan operator iz X u F .Prostor ogranicenih linearnih funkcionala na X je X ′ := B(X,F).

GLAVA 1. UVOD 7

1.2 Ograniceni linearni operatori

Teorema 1.8. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X, Y ). Tada je

‖A‖ = sup‖x‖=1

‖Ax‖ = sup‖x‖≤1

‖Ax‖ = inf{M > 0 : M ≥ ‖Ax‖, ‖x‖ ≤ 1}.

Teorema 1.9. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X, Y ). Sledeciuslovi su ekvivalentni:(1) A je uniformno neprekidno preslikavanje na X;(2) A je neprekidno preslikavanje u 0;(3) A ∈ B(X, Y ).

Definicija 1.13. Neka su X, Y normirani prostori i neka je A ∈ B(X, Y ).Tada je:

N (A) = {x ∈ X : Ax = 0} jezgro operatora A,

aR(A) = {Ax : x ∈ X} slika operatora A.

Teorema 1.10. Neka su X, Y normirani prostori i A ∈ L(X, Y ). Tada jeN (A) potprostor od X, a R(A) je potprostor od Y . Ako je, pored toga,A ∈ B(X, Y ), onda je N (A) zatvoren potprostor od X.

Definicija 1.14. Neka su X1, X2 potprostori normiranog prostora X za kojevazi X1 ∩X2 = {0}. Neka je A1 ∈ B(X1), A2 ∈ B(X2, X1), A3 ∈ B(X1, X2) iA4 ∈ B(X2). Tada je preslikavanje(

A1 A2

A3 A4

): X1 ⊕X2 → X1 ⊕X2

definisano kao:

(∀(x1 ⊕ x2) ∈ X1 ⊕X2)

(A1 A2

A3 A4

)(x1⊕x2) := (A1x1+A2x2)⊕(A3x1+A4x2).

Definicija 1.15. Neka su X i Y normirani prostori i neka je A ∈ B(X, Y ).A je kompaktan operator ako svaki ogranicen skup iz X slika na relativnokompaktan skup u Y .

Teorema 1.11. Neka je X normiran, a Y Banahov prostor. Tada je B(X, Y )Banahov prostor.

Posledica 1.2. X ′ je Banahov prostor.

GLAVA 1. UVOD 8

Teorema 1.12. [Teorema o ogranicenom inverzu] Neka su X i Y Ba-nahovi prostori i A ∈ B(X, Y ). Ako je preslikavanje A ,,1-1” i ,,na”, tadapostoji A−1 ∈ B(Y,X).

Definicija 1.16. Neka je X normiran prostor i P ∈ B(X). Ako je P = P 2,onda je P idempotent (ili projektor).

Teorema 1.13. Neka je P projektor na normiranom prostoru X. Tada jeR(P ) ∩ N(P ) = {0}, X = R(P ) ⊕ N(P ) i P je projektor sa X na R(P )paralelno sa N(P ).

Definicija 1.17. Neka je H Hilbertov prostor, P je projektor na H i M jezatvoren potprostor od H. Ako je R(P ) = M i N(P ) = M⊥, tada je Portogonalan projektor. Osim toga, P je projektor sa H na M paralelno saM⊥.

Teorema 1.14. Neka su H i K Hilbertovi prostori i T ∈ B(H,K). Tadapostoji jedinstven ogranicen linearan operator T ∗ ∈ B(K,H), tako da zasvako x ∈ H i za svako y ∈ K vazi

〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉.

Definicija 1.18. Operator T ∗, odreden prethodnom teoremom, je Hilbert-adjungovan (Hilbert-konjugovan) operator od T .

Teorema 1.15. Neka su H,K,L Hilbertovi prostori, S, T ∈ B(H,K), V ∈B(K,L) i λ ∈ C. Tada je:(1) 〈T ∗y, x〉 = 〈y, Tx〉, za svako x ∈ H i y ∈ K;(2) (S + T )∗ = S∗ + T ∗;(3) (λT ) = λT ∗;(4) (T ∗)∗ = T ;(5) ‖T ∗‖ = ‖T‖;(6) ‖T ∗T‖ = ‖TT ∗‖ = ‖T‖2;(7) TT ∗ = 0 ako i samo ako je T = 0;(8) (V S)∗ = S∗V ∗;(9) 0∗ = 0 i I∗ = I.

Teorema 1.16. Neka su H,K Hilbertovi prostori i T ∈ B(H,K). Akopostoji T−1 ∈ B(K,H) tada postoji i (T ∗)−1 ∈ B(H,K) i vazi (T ∗)−1 =(T−1)∗.

Lema 1.1. [Jacobson] Neka je R prsten sa jedinicom 1 i a, b ∈ R proizvoljnielementi. Ako je 1− ab invertibilan, onda je i 1− ba invertibilan.

GLAVA 1. UVOD 9

Definicija 1.19. Neka su S, T ∈ B(H). [S, T ] = ST − TS je komutator zaoperatore S i T .

Definicija 1.20. Operatori S, T ∈ B(H) su slicni (u oznaci S ∼ T ) akopostoji invertibilan operator Q ∈ B(H) takav da je QS = TQ.

Definicija 1.21. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Tada:(1) T je normalan operator ako je T ∗T = TT ∗;(2) T je samokonjugovan (ili Hermitski) operator ako je T = T ∗;(3) T je unitaran operator ako je TT ∗ = T ∗T = I.

Teorema 1.17. Neka je H kompleksan Hilbertov prostor i T ∈ B(H). T jesamokonjugovan ako i samo ako je 〈Tx, x〉 realan broj, za svako x ∈ H.

Definicija 1.22. Neka je H kompleksan Hilbertov prostor i T ∈ B(H)samokonjugovan operator. T je pozitivan operator (u oznaci T ≥ 0) akoza svako x ∈ X vazi

〈Tx, x〉 ≥ 0.

Teorema 1.18. Ako je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H), tada je TT ∗ pozi-tivan operator.

Definicija 1.23. Neka je H Hilbertov prostor, A i B samokonjugovani op-eratori na H. Ako je A−B ≥ 0, onda je A ≥ B ili B ≤ A.

Definicija 1.24. Neka je H Hilbertov prosrtor, A samokonjugovan operatoriz B(H) i

m(A) = inf‖x‖=1

〈Ax, x〉, M(A) = sup‖x‖=1

〈Ax, x〉.

Brojevi m(A) i M(A) se nazivaju, redom, donja i gornja granica samokonju-govanog operatora A.

Posledica 1.3. Neka je A ∈ B(H) samokonjugovan operator na Hilbertovomprostoru H. Tada je ‖A‖ = max{|m(A)|, |M(A)|} = sup

‖x‖=1

|〈Ax, x〉|.

Teorema 1.19. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Tada postojesamokonjugovani operatori A,B ∈ B(H) tako da je T = A + iB. OperatoriA i B su jednoznacno odredeni operatorom T .

Definicija 1.25. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Realni i imagi-narni deo operatora T oznacavaju se, redom, sa Re(T ) i Im(T ), i

Re(T ) =T + T ∗

2, Im(T ) =

T − T ∗

2i.

GLAVA 1. UVOD 10

Definicija 1.26. Operator T ∈ B(H) je izometrija, ako je ‖Tx‖ = ‖x‖ zasvako x ∈ H.

Definicija 1.27. Operator T ∈ B(H) je parcijalna izometrija, ako je ‖Tx‖ =‖x‖ za svako x ∈ N (T )⊥.

Svaka izometrija je takode i parcijalna izometrija.

Teorema 1.20. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Sledeci uslovi suekvivalentni:(1) T je normalan operator;(2) Re(T ) i Im(T ) medusobno komutiraju;(3) ‖T ∗x‖ = ‖Tx‖ za svako x ∈ X.

Teorema 1.21. [Kvadratni koren pozitivnog operatora] Neka je HHilbertov prostor i T ∈ B(H) pozitivan operator. Tada postoji jedinstvenpozitivan operator L ∈ B(H) tako da je L2 = T . Ako A ∈ B(H) komutirasa T , onda A komutira i sa L.

1.3 Uopsteni inverzi operatora

Neka su H i K Hilbertovi prostori.

Definicija 1.28. Operator B ∈ B(K,H) je unutrasnji inverz (ili {1}−inverz)operatora A ∈ B(H,K) ako vazi ABA = A. U tom slucaju, za operator Akazemo da je regularan. Unutrasnji inverz operatora A oznacavamo sa A−.

Teorema 1.22. Operator A je regularan ako i samo ako je R(A) zatvorenu K.

Definicija 1.29. Neka je A ∈ B(H,K). Operator B ∈ B(K,H) koji zado-voljava jednacine

(1) ABA = A,

(2) BAB = B,

(3) (AB)∗ = AB,

(4) (BA)∗ = BA

je Moore-Penroseov inverz operatora A i oznacava se sa A†.

GLAVA 1. UVOD 11

Definicija 1.30. Za operator A ∈ B(H,K) oznacimo sa A{i, j, ..., l} skupoperatora B ∈ B(K,H) koji zadovoljavaju jednacine (i), (j), ..., (l) iz skupa{(1), (2), (3), (4)}. Operator B ∈ A{i, j, ..., l} naziva se {i, j, ..., l}-inverz odA i oznacava se A(i,j,...,l).

Teorema 1.23. Postoji Moore-Penroseov inverz operatora A ∈ B(H) ako isamo ako je R(A) zatvoren.

Teorema 1.24. Moore-Penroseov inverz operatora A ∈ B(H) je jedinstven(ukoliko postoji) i vazi AA† = PR(A) i A†A = PR(A∗).

Teorema 1.25. Ako je A ∈ B(H) pozitivan operator, onda je

AA† = (AA†)∗

= (A†)∗A∗ = A†A.

Lema 1.2. Neka je E ∈ B(H) idempotent. Tada

(1) E∗ i I − E su idempotenti;

(2) E(I − E) = (I − E)E = 0;

(3) Ex = x⇔ x ∈ R(E);

(4) E ∈ E{1, 2};

(5) N(E) = R(I − E).

Glava 2

Grupni inverz operatora

2.1 Uvodni pojmovi i tvrdenja

Neka je H beskonacno-dimenzionalan kompleksan Hilbertov prostor.

Definicija 2.1. Najmanji nenegativan ceo broj n takav da je N (T n) =N (T n+1) i (R(T n) = R(T n+1)) je uspon (pad) operatora T ∈ B(H), u oz-naci asc(T ) (desc(T )). Ukoliko takav broj n ne postoji, onda je asc(T ) =∞(desc(T ) =∞).

Poznato je da je desc(T ) = asc(T ) ako su asc(T ) i desc(T ) konacni.

Definicija 2.2. Neka je T ∈ B(H). Operator S ∈ B(H) koji, za nekinenegativan ceo broj k, zadovoljava jednacine

(1k) T kST = T k,

(2) STS = S,

(5) TS = ST ,

je Drazinov inverz operatora T i oznacava se sa TD.

Najmanji nenegativan ceo broj k za koji vazi (1k) je indeks od T (uoznaci k = ind(T )).

Teorema 2.1. Operator T ∈ B(H) je Drazin invertibilan ako i samo ako suuspon i pad operatora T konacni brojevi. U tom slucaju je k = ind(T ) =desc(T ) = asc(T ).

Teorema 2.2. Ukoliko postoji, Drazinov inverz je jedinstven.

Kada je ind(T ) = 1, operator TD je grupni inverz operatora T .

12

GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 13

Definicija 2.3. Neka je T ∈ B(H). Operator S ∈ B(H) koji zadovoljavajednacine

(1) TST = T ,

(2) STS = S,

(5) TS = ST ,

je grupni inverz operatora T i oznacava se sa T#.

Teorema 2.3. Operator T ∈ B(H) je grupno invertibilan ako i samo ako jeind(T ) ≤ 1.

Kada je ind(T ) = 0, grupni inverz se svodi na obican inverz operatoraT , tj. T# = T−1.

Teorema 2.4. Ako je operator T ∈ B(H) grupno invertibilan, onda je R(T )zatvoren prostor i spektralni idempotent T π je T π = I − TT#.

Teorema 2.5. Operator T ∈ B(H) je grupno invertibilan ako i samo akopostoji idempotent P ∈ B(H) takav da je T + P invertibilan, TP = 0i TP = PT . U ovom slucaju, grupni inverz T# operatora T dat je saT# = (T + P )−1(I − P ), a idempotent P = T π = I − TT#.

Definicija 2.4. Operator T ∈ B(H) je EP operator ako je R(T ) = R(T ∗).

Dakle, ako je T EP operator, onda je N (T ) = N (T ∗).

Teorema 2.6. Ako je T ∈ B(H) i R(T ) zatvoren, onda je T EP operatorako i samo ako je T † = T# ako i samo ako je T †T = TT †.

Teorema 2.7. T ∈ B(H) je EP operator ako i samo ako T je grupno invert-ibilan i T#T je samokonjugovan.

Sledeca svojstva grupnog inverza bice koriscena kasnije:

Lema 2.1. Neka je T,B ∈ B(H).

(i) Ako je T ∼ B, onda je B grupno invertibilan akko je T grupno invert-ibilan;

(ii) Ako je T grupno invertibilan, onda je (T ∗)# = (T#)∗, (T k)# = (T#)k,

za svaki nenegativan ceo broj k, T π = PN (T ),R(T ) i TT# = PR(T ),N (T );


(iii) Sledeca tvrdjenja su ekvivalentna:

(a) T je grupno invertibilan;

(b) R(T ) = R(T k) i N (T ) = N (T k), k ¿ 2;

(c) T =

(T11 T120 D

)u odnosu na dekompoziciju H = R(T )⊕⊥R(T )⊥,

gde je T11 invertibilan;

(d) T = T0 ⊕ 0 u odnosu na dekompoziciju H = R(T ) ⊕ N (T ), gdeje T0 invertibilan.

2.2 Karakterizacija grupno invertibilnih op-

eratora

Posmatrajmo matricni operator

(T1 T3T4 T2

)na Hilbertovom prostoru

H1 ⊕H2. Operator Ti je preslikavanje na Hilbertovom prostoru Hi, i = 1, 2,a operator T3 (T4) preslikava H2 u H1 (H1 u H2). Pretpostavimo da su sviposmatrani operatori linearni i ograniceni na odgovarajucim prostorima.

Za dijagonalni operator M = A ⊕ D poznato je da vazi R(M) =R(A) ⊕ R(D), N (M) = N (A) ⊕ N (D) i M je grupno invertibilan ako isamo ako su A i D grupno invertibilni.

Za gornje trougaonu konacnu matricu

(A B0 D

), R.E. Hartwig i J.M. Shoaf

[11] dokazali su da

(A B0 D

)#

postoji ako i samo ako A# i D# postoje i

(I −AA#)B(I −DD#) = 0. U ovom slucaju

(A B0 D

)#

=

(A# Y0 D#

), gde

je Y = (A#)2BDπ +AπB(D#)

2−A#BD#. Sto se tice ogranicenih linearnih

operatora, treba istaci da, ako je

(A B0 D

)grupno invertibilan, ne mozemo

zakljuciti da su i A i D grupno invertibilni. To ilustruje naredni primer:

Primer 1. Definisemo M na l2 ⊕ l2 (l2 Hilbertov prostor kvadratno suma-bilnih nizova) sa

M =

(U I − UU∗0 U∗

),


gde je U desni sift operator definisan sa

U(x0, x1, x2, ...) = (0, x0, x1, x2, ...).

Tada je M grupno invertibilan (zapravo, M je invertibilan), ali nisu i U i U∗

grupno invertibilni. U je izometrija. Kodomen U nije l2, vec pravi potpros-tor od l2. Kako je spektar operatora U zatvoren disk, 0 nije izolovana tackaspektra U . Dakle, ni U ni U∗ nisu grupno invertibilni.

Sto se tice grupnog inverza gornje trougaonih matricnih operatora, imamosledeci rezultat:

Lema 2.2. Neka su H i K Hilbertovi prostori, M =

(A B0 D

)operator na

H ⊕K. Vaze sledeca tvrdjenja:

(i) Pretpostavimo da postoji D# (A#). Tada postoji M# ako i samo akopostoji A# (D#) i AπBDπ = 0.

(ii) Pretpostavimo da postoje A# i D#. Tada postoji M# ako i samo akoAπBDπ = 0. U ovom slucaju je(

A B0 D

)#

=

(A# Y0 D#

),

gde je Y = (A#)2BDπ + AπB(D#)

2 − A#BD#.

(iii) Pretpostavimo da je H(K) konacno-dimenzionalan. Tada M# postojiako i samo ako postoje A#, D# i AπBDπ = 0.

Dokaz.

(i) (⇒) : Pretpostavimo da M# postoji i primetimo da je

M2 =

(A2 AB +BD0 D2

), M3 =

(A3 A2B + ABD +BD2

0 D3

).

Kako su M i D grupno invertibilni, R(M) = R(Mk),N (M) = N (Mk),R(D) = R(Dk) i N (D) = N (Dk) za svaki ceo broj k ≥ 2. Odatle,za svako x ∈ N (A2), x ⊕ 0 ∈ N (M2) = N (M). Stoga, Ax = 0 iN (A2) ⊂ N (A). Kako je N (A) ⊂ N (A2), zakljucujemo da je N (A2) =


N (A).Za svako z ∈ R(A), postoji x ∈ H takvo da je(

A B0 D

)(x0

)=

(z0

)∈ R(M) = R(M3).

Sledi da postoje u ∈ H i v ∈ K takvi da(A3 A2B + ABD +BD2

0 D3

)(uv

)=

(z0

).

Zakljucujemo da je v ∈ N (D3) = N (D), pa je zato

z = A3u+ A2Bv = A2(Au+Bv) ∈ R(A2).

Prema tome, R(A) ⊂ R(A2). Kako je R(A2) ⊂ R(A) trivijalno, vaziR(A2) = R(A), odakle je ind(A) = 1, tj. A je grupno invertibilan.Sada, A je kao operator preslikavanje prostora N (Aπ) ⊕ R(Aπ), D jekao operator preslikavanje prostora N (Dπ)⊕R(Dπ), dok B kao oper-ator preslikava N (Dπ)⊕R(Dπ) u N (Aπ)⊕R(Aπ), i imaju oblik

A =

(A1 00 0

), D =

(D1 00 0

), B =

(B1 B3

B4 B2

)(2.1)

redom, gde su A1 i D1 invertibilni. Neka je

S =

I 0 −B1D

−11 A−11 B3

0 0 I 00 I −B4D

−11 0

0 0 0 I

.

Tada je S invertibilan,

S−1 =

I B1D

−11 0 −A−11 B3

0 B4D−11 I 0

0 I 0 00 0 0 I

i

SMS−1 =

A1 A1B1D

−11 0 0

0 D1 0 00 0 0 B2

0 0 0 0

. (2.2)


Kako je M grupno invertibilan, N =

(0 B2

0 0

)#

postoji. Ocigledno je

N2 = 0, pa vazi N = N2N# = 0. Stoga, B2 = 0, tj. AπBDπ = 0.(⇐): Pretpostavimo da postoje A# i D#. Na osnovu (2.1) i (2.2) jeAπBDπ = 0 i zato

SMS−1 =

(A1 A1B1D

−11

0 D1

)⊕(

0 00 0

)je grupno invertibilan. Lema 2.1 (i) implicira da je M grupno invert-ibilan.

(ii) Tvrdjenje sledi direktno iz (2.2), a formula za grupni inverz se lakoproverava.

(iii) Dovoljan uslov je pokazan u (i). Dokazimo potreban uslov.Kako je dimenzija H konacna, asc(A) i desc(A) su konacni i asc(A) =desc(A). Ako je M grupno invertibilan, na osnovu dokaza u (i), vaziN (A2) = N (A), pa je desc(A) = acs(A) ≤ 1 i A je grupno invertibilan.Potreban uslov sledi direktno iz (i) i cinjenice da su M i A grupnoinvertibilni. �

Prethodna lema pokazuje da je

(A B0 0

)grupno invertibilan ako i samo ako

postoji A# i B = A#AB. U tom slucaju je(A B0 0

)#

=

(A (A#)2B0 0

).

Za proizvoljan operator T ∈ B(H), predstavljamo sledeci pomocni rezul-tat:

Lema 2.3. Neka su L i M zatvoreni potprostori od H i PL,M idempotentna L duz M, tada:

(i) PL,MT = T akko R(T ) ⊂ L;

(ii) TPL,M = T akko N (T ) ⊃M.

Primetimo da, ako je A grupno invertibilan, onda je A+Aπ invertibilani vazi AAπ = AπA = A#Aπ = AπA# = Aπ(I − Aπ) = 0.

Teorema 2.8. Neka su A,B ∈ B(H).


(i) Ako je A grupno invertibilan, onda je

max{‖AπB(I − Aπ)‖, ‖(I − Aπ)BAπ‖} ≤ ‖[A,B]‖‖A#‖.

(ii) Ako su A,B grupno invertibilni i [A,B] = 0, onda je (AB)# = B#A# =A#B# i

[A#, B] = [A,B#] = [A#, B#] = [Aπ, B] = [A,Bπ] = [Aπ, Bπ] = 0.

(iii) Ako je A grupno invertibilan i AB = BA = 0, onda je AπB = B = BAπ

i A#B = BA# = 0. Specijalno, ako je i B grupno invertibilan, onda je

AB# = B#A = 0,

(A+B)# = A# +B#,

(A+B)π = Aπ +Bπ − I.

Dokaz.

(i) Kako je Aπ[A,B](I − Aπ) = Aπ(AB −BA)(I − Aπ) = −AπBA, sledi

‖AπB(I − Aπ)‖ = ‖AπBAA#‖ ≤ ‖AπBA‖‖A#‖= ‖Aπ[A,B](I − Aπ)‖‖A#‖≤ ‖[A,B]‖‖A#‖.

Analogno, ‖(I − Aπ)BAπ‖ ≤ ‖[A,B]‖‖A#‖.

(ii) Neka A ima matricnu reprezentaciju na H = R(A) ⊕ N (A) u ob-liku A = A1 ⊕ 0, gde je A1 invertibilan. Smatramo da je podela ma-

trice B koja odgovara podeli matrice A data sa B =

(B1 B3

B4 B2

). Ako

je [A,B] = 0, na osnovu (i), vazi AπB(I − Aπ) =

(0 0B4 0

)= 0 i

(I − Aπ)BAπ =

(0 B3

0 0

)= 0.

Analogno, grupno invertibilan operator B1 ima matricnu reprezentacijuna R(A) = R(B1) ⊕ N (B1) u obliku B1 = B11 ⊕ 0. Na osnovu (i),A1 ima odgovarajucu matricnu reprezentaciju A1 = A11 ⊕ A22, gde suA11, A22 i B11 invertibilni i [A11, B11] = 0. Sada je

A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, A# = A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0

B = B11 ⊕ 0⊕B2, B# = B−111 ⊕ 0⊕B#2 .

(2.3)


Dakle,

(AB)# = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0 = B−111 A

−111 ⊕ 0⊕ 0

= A−111 B−111 ⊕ 0⊕ 0 = B#A# = A#B#.

Ostatak se dokazuje analogno.

(iii) Na osnovu (ii), ako je AB = BA = 0, onda je A = A1⊕ 0, B = 0⊕B2,gde je A1 invertibilan, a B2 je grupno invertibilan. Dakle,

A# = A−11 ⊕ 0, B# = 0⊕B#2 .

Rezultat sledi direktno. �

Kao sto je vec poznato, grupni inverz idempotenta je on sam. Ako jeAA#BB# = BB#AA# ili AA#BB#AA# = AA#, onda je (AA#BB#)

2=

AA#BB# i, na osnovu svojstava grupnog inverza, vazi

AA#BB# = (AA#BB#)#,

AB = ABB#AA#B,

B#A# = B#AA#BB#A#.

Teorema 2.8 implicira da, za proizvoljne 2 × 2 matricne operatore

S =

(S1 00 0

), T =

(T1 T3T4 T2

)∈ B(H1 ⊕ H2), ako je S1 invertibilan i

[S, T ] = 0, onda je T3 = 0, T4 = 0 i T = T1 ⊕ T2. Koristeci Teoremu2.8 (i), potrazicemo neke ekvivalentne uslove pod kojima vazi AA# = BB#.

Teorema 2.9. Neka su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni. Sledeci uslovi suekvivalentni:

(1) AA# = BB#;

(2) R(A) = R(B) i N (A) = N (B);

(3) A+Bπ je invertibilan i AA# = AA#BB# = BB#AA#;

(4) A+Bπ, Aπ +BB# su invertibilni i [A,Bπ] = 0;

(5) A+Bπ, Aπ +B su invertibilni i [Aπ, B] = 0;

(6) A+Bπ, Aπ +BB# su invertibilni i [Aπ, Bπ] = 0;


(7) AπB = 0 = BAπ i Aπ +B je invertibilan;

(8) AπB = 0 = BAπ i I + A#(B − A) je invertibilan.

Dokaz. Neka A ima matricnu reprezentaciju kao u dokazu Teoreme 2.8 (ii).Tada je A# = A−11 ⊕0 i AA# = I⊕0. Sada implikacije (1)⇒ (2), (1)⇒ (3),(1)⇒ (4), (1)⇒ (5), (1)⇒ (6), (1)⇒ (7) slede trivijalno.(2)⇒ (1): Ocigledno.(3) ⇒ (1): Ako je AA# = AA#BB# = BB#AA#, na osnovu Teoreme 2.8(i), BB# ima oblik BB# = I ⊕ Q2, gde je Q2 idempotent. Ako je A + Bπ

invertibilan, onda je I −Q2 invertibilan. Dakle, R(Q2) = N (I −Q2) = {0},pa je Q2 = 0 i AA# = BB#.(4) ⇒ (1): Ako je [A,Bπ] = 0, na osnovu Teoreme 2.8 (i), Bπ ima formuBπ = (I − Q1) ⊕ (I − Q2), gde su Q1 i Q2 idempotenti. Na osnovu invert-ibilnosti A+Bπ sledi da je Q2 = 0, dok iz invertibilnosti Aπ +BB# sledi daje Q1 = I. Zato je BB# = I −Bπ = I ⊕ 0 = AA#.(5)⇒ (1), (6)⇒ (1): Slicno kao (4)⇒ (1).(7)⇒ (1): Ako je AπB = 0 = BAπ, na osnovu Teoreme 2.8 (i), B ima formuB = B1 ⊕ 0, gde je B1 ∈ B(R(A)). Ako je Aπ + B invertibilan, onda je B1

invertibilan. Dakle, B# = B−11 ⊕ 0 i AA# = BB#.(8)⇒ (1): Slicno kao (7)⇒ (1). �

Ako su A i B n × n kompleksne matrice, onda vazi Klajnova formula

(AB)D = A[(BA)D]2B. Za A,B ∈ B(H), ako je BA grupno invertibilan,

jednostavno dolazimo do sledeceg rezultata:

Lema 2.4. Neka su A,B ∈ B(H). Ako je BA grupno invertibilan, onda je

AB Drazin invertibilan sa ind(AB) ≤ 2 i (AB)D = A[(BA)#]2B. Ako su i

AB i BA grupno invertibilni, onda

(AB)# = A[(BA)#]2B,

(AB)#A = A(BA)#,

B(AB)# = (BA)#B.

(2.4)

Dokaz. Neka je X = A[(BA)#]2B. Jasno je XABX = X i ABX = XAB =

A(BA)#B. Na osnovu

(AB)3X = (AB)2A(BA)#B = A(BA)2(BA)#B = (AB)2

sledi da je X {12, 2, 5}-inverz od AB. Dakle, (AB)D = X i ind(AB) ≤ 2.Stavise, ako su AB i BA grupno invertibilni, onda je

(AB)# = (AB)D = A[(BA)#]2B,


(AB)#A = A[(BA)#]2BA,

B(AB)# = BA[(BA)#]2B = (BA)#B. �

Ako je AB ili BA grupno invertibilan, dolazimo do sledecih tvrdjenja.

Teorema 2.10. (1) Ako su A i AB grupno invertibilni, onda

AB(AB)#A = A⇔ I + A#(B − A) je invertibilan;

(2) Ako su A i BA grupno invertibilni, onda

A(BA)#BA = A⇔ I + A#(B − A) je invertibilan.

Dokaz. Dovoljno je dokazati samo (1), jer se (2) dokazuje na isti nacin.Slicno kao u dokazu Teoreme 2.8 (ii), nekaA iB imaju matricne reprezentacije

A = A1 ⊕ 0, B =

(B1 B3

B4 B2

).

Jednostavno sledi da je I+A#(B−A) =

(A−11 B1 A−11 B3

0 I

)invertibilan ako

i samo ako je B1 invertibilan.Na osnovu

AB(AB)#A =

(A1B1 A1B3

0 0

)((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

)(A1 00 0

)=

(A1B1(A1B1)

#A1 00 0

),

sledi da je (AB)(AB)#A = A ⇔ A1B1(A1B1)# = I ⇔ A1B1 je invertibilan

⇔ B1 je invertibilan, pa sledi (1). �

Treba napomenuti da svojstva grupnog inverza impliciraju da jeBA = A2 ⇔ BAA# = A⇔ BA# = AA#. Stavise, vazi sledeci rezultat:

Teorema 2.11. Neka su A,B,AB ∈ B(H) grupno invertibilni i BA = A2.Tada

(AB)(AB)# = ABB#A# ⇔ (AB)# = B#A# = A#B# = (A#)2.


Dokaz. (⇐): Ocigledno.(⇒): Kako je A grupno invertibilan, A i A# imaju matricne reprezentacije

A =

(A1 00 0

)i A# =

(A−11 0

0 0

), u odnosu na razlaganje prostora

H = R(A) ⊕ N (A). Sada, posmatramo podelu operatora B koja odgo-vara podeli operatora A. Iz BA = A2 znamo da se B moze zapisati kao

B =

(A1 B3

0 B2

), gde je B3 ∈ B(N (A),R(A)) i B2 ∈ B(N (A)). Na osnovu

Leme 2.2 vazi

B# =

(A−11 A−21 B3B

π2 − A−11 B3B

#2

0 B#2

)i

(AB)# =

(A2

1 A1B3

0 0

)#

=

(A−21 A−31 B3

0 0

).

Dakle,

(AB)(AB)# = ABB#A# ⇔(I A−31 B3

0 0

)=

(I 00 0

)⇔ B3 = 0.

Sada je B = A1⊕B2, B# = A−11 ⊕B

#2 i (AB)# = B#A# = A#B# = (A#)

2.

�

Primedba: Dokazi Teorema 2.8, 2.9, 2.11 nam daju vise informacija ogeometrijskoj strukturi izmedju dva operatora:

(1) Teorema 2.8 (ii) implicira da, ako za grupno invertibilne operatore A iB vazi [A,B] = 0, onda je A = A11⊕A22⊕0⊕0, B = B11⊕0⊕B22⊕0u odnosu na razlaganje prostora

H = [R(A)∩R(B)]⊕[R(A)∩N (B)]⊕[N (A)∩R(B)]⊕[N (A)∩N (B)],

pri cemu su Aii i Bii, i = 1, 2, invertibilni.

(2) U Teoremi 2.8 (iii), ako su A i B grupno invertibilni i AB = BA = 0,onda [R(A)∩R(B)] = {0}, [R(A)∩N (B)] = R(A), [N (A)∩R(B)] =R(B) i A = A22 ⊕ 0 ⊕ 0, B = 0 ⊕ B22 ⊕ 0 u odnosu na razlaganjeprostora H = R(A)⊕R(B)⊕ [N (A) ∩N (B)].

(3) Teorema 2.9 pokazuje da AA# = BB# ako i samo ako A = A1 ⊕ 0,B = B1 ⊕ 0, u odnosu na razlaganje prostora H = R(A) ⊕N (A), pricemu su A1 i B1 invertibilni.


(4) Teorema 2.11 pokazuje da, ako je BA = A2, onda je AB(AB)# =ABB#A# ako i samo ako A = A1 ⊕ 0, B = A1 ⊕ B2, u odnosu narazlaganje prostora H = R(A)⊕N (A), pri cemu je A1 invertibilan, aB2 grupno invertibilan.

2.3 Grupna invertibilnost proizvoda dva op-

eratora

C. Cao i J. Li [4] su pokazali da je BA grupno invertibilan ako je ABgrupno invertibilan i AB ∼ BA, gde su A,B ∈ Rn×n, a R je Bezuovdomen (ako je svaki konacno generisani levi (desni) ideal glavni ideal u nenulaprstenu R sa jedinicom 1 i bez pravih delitelja nule). Mozemo uopstiti ovajrezultat za operatore na proizvoljnom Hilbertovom prostoru.

Teorema 2.12. Neka su A,B ∈ B(H). Ako vaze bilo koja dva od narednihuslova, vazice i treci:(i) postoji (AB)#; (ii) postoji (BA)#; (iii) AB ∼ BA.

Dokaz. (i), (ii)⇒ (iii): Neka su AB i BA grupno invertibilni, P = (AB)π =I − AB(AB)# i Q = (BA)π = I − BA(BA)#. Tada je operator AB pres-likavanje prostora N (P )⊕R(P ), BA preslikavanje prostora N (Q)⊕R(Q),operator A preslikava N (Q)⊕R(Q) u N (P )⊕R(P ) i operator B preslikavaN (P )⊕R(P ) u N (Q)⊕R(Q) i zapisujemo

AB =

(X 00 0

), BA =

(Y 00 0

), A =

(A1 A3

A4 A2

), B =

(B1 B3

B4 B2

),

redom, gde su X ∈ B(N (P )) i Y ∈ B(N (Q)) invertibilni. Kako jeQ = I − BA(BA)# = I − B(AB)#A (na osnovu Leme 2.4), AQ = A −AB(AB)#A = PA, tj.(

A1 A3

A4 A2

)(0 00 I

)=

(0 00 I

)(A1 A3

A4 A2

)⇒(

0 A3

0 A2

)=

(0 0A4 A2

).

Stoga, Ai = 0, i = 3, 4, i A = A1⊕A2. Slicno, QB = BP , sto implicira da jeBi = 0, i = 3, 4, i B = B1⊕B2. Dakle, X = A1B1 i Y = B1A1 su invertibilni,A2B2 = 0 i B2A2 = 0. Iz X = A1B1 i Y = B1A1 zakljucujemo da je

N (Q) = R(BA) ⊂ R(B1A1) ⊂ R(B1) ⊂ N (Q)

iN (B1) ⊂ N (A1B1) = {0}.


Sledi da je B1 invertibilan. Neka je S = B1 ⊕ I. Tada je SAB = BAS, tj.AB ∼ BA.Implikacije (i), (iii)⇒ (ii) i (ii), (iii)⇒ (i) su ocigledne na osnovu Leme 2.1(i). �

Teorema 2.13. Ako su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni i R(A) = R(B),onda su AB i BA grupno invertibilni. Stavise,

(AB)# = B#A#B#B, (BA)# = A#B#A#A.

Dokaz. Kako su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni iR(A) = R(B), na osnovuLeme 2.3 (i) vazi BB#A = A i AA#B = B. Neka je X = B#A#B#B. Tada

XAB = B#A#B#BAB = B#A#AB = B#B,

XABX = B#BX = X,

ABX = ABB#A#B#B = AA#B#B = B#B,

ABXAB = B#BAB = AB,

tj. X = (AB)#. Analogno, (BA)# = A#B#A#A. �

Ako su A,B ∈ B(H) EP operatori i R(A) = R(B), onda je R(A∗) =R(A) = R(B) = R(B∗), odakle sledi A#B#B = A# i B#A#A = B#, naosnovu Leme 2.3 (ii).

Posledica 2.1. Ako su A,B ∈ B(H) EP operatori i R(A) = R(B), onda suAB i BA EP operatori. Stavise,

(AB)# = (AB)† = B†A† = B#A#,

(BA)# = (BA)† = A†B† = A#B#.

Teorema 2.13 takode implicira da je A2 grupno invertibilan i(A2)

#= (A#)

2ako je A ∈ B(H) grupno invertibilan.

Teorema 2.14. Neka su A,B ∈ B(H). Tada su AB i BA grupno invertibilniako i samo ako su R(AB) i R(BA) zatvoreni,

(i) R(AB) = R(ABA), (ii) R(A∗B∗) = R(A∗B∗A∗),

(iii) R(BA) = R(BAB), (iv) R(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗).(2.5)


Dokaz. (⇒): Ako su AB i BA grupno invertibilni, onda su R(AB) i R(BA)zatvoreni (na osnovu Leme 2.1 (ii)). Grupna invertibilnost AB implicira da

R(AB) = R((AB)2) ⊂ R(ABA) ⊂ R(AB). (2.6)

Odatle je R(AB) = R(ABA). Analogno, kako su BA,A∗B∗ i B∗A∗ grupnoinvertibilni, preostale jednakosti iz (2.5) se dokazuju na isti nacin.(⇐): Ako su R(AB) i R(BA) zatvoreni i vazi (2.5), onda je

R(AB) = R(ABA) = AR(BA) = AR(BAB) = R(ABAB) = R((AB)2).

Kako su R(A∗B∗) i R(B∗A∗) takodje zatvoreni, vazi

R(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗) = B∗R(A∗B∗)

= B∗R(A∗B∗A∗) = R(B∗A∗B∗A∗)

= R((B∗A∗)2).

Sledi da je N (AB) = R(B∗A∗)⊥ = R((B∗A∗)2)⊥

= N ((AB)2). Odatlezakljucujemo da je ind(AB) ≤ 1. Dakle, AB je grupno invertibilan. Analogno,BA je grupno invertibilan. �

Posledica 2.2. Neka su A,B ∈ B(H).

(i) Ako je R(A) zatvoren, R(A) = R(ABA) i R(A∗) = R(A∗B∗A∗), ondasu AB i BA grupno invertibilni.

(ii) Ako su R(A) i R(B) zatvoreni, R(A) = R(AB),R(B) = R(BA),R(A∗) = R(A∗B∗) i R(B∗) = R(B∗A∗), onda su AB i BA grupnoinvertibilni.

(iii) Ako je R(BA) zatvoren, AB grupno invertibilan, R(A) = R(AB) iR(B∗) = R(B∗A∗), onda je BA grupno invertibilan.

Dokaz.

(i) Kako je R(A) zatvoren,

R(A) = R(ABA) ⊂ R(AB) ⊂ R(A)

iR(A∗) = R(A∗B∗A∗) ⊂ R(A∗B∗) ⊂ R(A∗),

onda su R(AB) i R(BA) zatvoreni i (i) i (ii) iz (2.5) vaze. Slicno, kakoje

R(BABA) = BR(ABA) = BR(A) = R(BA),


vaziR(BA) = R(BABA) ⊂ R(BAB) ⊂ R(BA)

iR(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗A∗) ⊂ R(B∗A∗B∗) ⊂ R(B∗A∗).

Dakle, zadovoljeni su uslovi (iii) i (iv) iz (2.5). Na osnovu Teoreme2.14, AB i BA su grupno invertibilni.

(ii) Primetimo da je R(AB) = AR(B) = AR(BA) = R(ABA). Analognomozemo pokazati da vaze uslovi (ii) − (iv) iz (2.5). Na osnovu toga iTeoreme 2.14 sledi tvrdjenje.

(iii) Ako postoji (AB)#, na osnovu (2.6) je R(AB) = R(ABA). Analogno,R(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗). Stavise,

R(BA) = BR(A) = BR(AB) = R(BAB)

iR(A∗B∗) = A∗R(B∗) = A∗R(B∗A∗) = R(A∗B∗A∗).

Na osnovu Teoreme 2.14 sledi tvrdjenje. �

2.4 Grupna invertibilnost anti-trougaonog ma-

tricnog operatora

Neka su A,B,D ∈ B(H). Definisemo matricne operatore M i MA

dimenzije 2× 2 na sledeci nacin

M =

(A B0 D

), MA =

(B AD 0

). (2.7)

Tada je MA = M

(0 II 0

). Jasno je da je matrica MA dobijena zamenom

kolona matrice M , pa, pri razmatranju grupne invertibilnosti matrice MA,paznju mozemo usmetriti na matricu M . Podsetimo se da vazi σ(PQ)\{0} =σ(QP ) \ {0}, na osnovu cega sledi da je I + PQ invertibilan ako i samo akoje I +QP invertibilan. Bice nam potrebna naredna lema.

Lema 2.5. Neka su A,B,Q ∈ B(H) takvi da je R(A) zatvoren i neka jeU = AQPAA− + I − AA−.


(i) Ako je U invertibilan i ako postoje P0, Q0 ∈ B(H) takvi da vazi P0PA =A i AQQ0 = A, onda je T = PAQ grupno invertibilan.

(ii) Ako su P i Q invertibilni, onda vazi

T = PAQ je grupno invertibilan⇔ U je invertibilan.

Dokaz.

(i) Ako je U = AQPAA− + I −AA− = I + (AQPA−A)A− invertibilan,onda je V := I +A−(AQPA−A) = A−AQPA+ I−A−A invertibilan.Sledi da je

UA = AV = AQPA

iA = U−1AQPA = AQPAV −1.

Neka jeH = PU−1P0, G = Q0V

−1Q, X = HTG,

pri cemu P0 i Q0 zadovoljavaju P0PA = A i AQQ0 = A. Na osnovu

T = PAQ = P [U−1AQPA]Q = PU−1P0[PAQ][PAQ] = HT 2

i

T = PAQ = P [AQPAV −1]Q = [PAQ][PAQ]Q0V−1Q = T 2G,

mozemo zakljuciti da je TG = HT 2G = HT i T 2G2 = TG = HT =H2T 2. Dakle,

TX = THTG = T 2G2 = H2T 2 = HTGT = XT,

TXT = T 2X = T 2HTG = TT 2G2 = T 2G = T,

XTX = H2T 2X = HTX = HTHTG = HT 2G2 = HTG = X,

odnosno, X je grupni inverz operatora T . Stavise,

T# = HTG = PU−1P0PAQQ0V−1Q

= PU−1AV −1Q = PU−2AQ

= PAV −2Q.


(ii) Uocimo da je, na osnovu (i), T = PAQ invertibilan ako je U invert-ibilan. Potrebno je jos dokazati da je U invertibilan ako je T = PAQinvertibilan. Primetimo da operator A preslikava R(A∗) ⊕ N (A) uR(A) ⊕ N (A∗), operator P preslikava R(A) ⊕ N (A∗) u H, dok oper-ator Q preslikava prostor H u prostor R(A∗) ⊕ N (A), i ovi operatoriimaju formu

A =

(A1 00 0

), P =

(P1 P2

), Q =

(Q1

Q2

),

redom, pri cemu je A1 ∈ B(R(A∗),R(A)) invertibilan. Kako su P i Qinvertibilni i A− postoji, vazi

A− =

(A−11 A

′3

A′4 A

′2

), P−1 =

(P′1

P′2

), Q−1 =

(Q′1 Q

′2

)i (

P′1P1 P

′1P2

P′2P1 P

′2P2

)=

(I 00 I

),

(Q1Q

′1 Q1Q

′2

Q2Q′1 Q2Q

′2

)=

(I 00 I

), (2.8)

pri cemu su A′i, i = 2, 3, 4, proizvoljni. Sada je T = PAQ = P1A1Q1 i

U = AQPAA− + I − AA− =

(A1Q1P1 [A1Q1P1 − I]A1A

′3

0 I

). (2.9)

Neka je X grupni inverz operatora T . Za X vazi

(a) P1A1Q1XP1A1Q1 = P1A1Q1,

(b) P1A1Q1X = XP1A1Q1,

(c) XP1A1Q1X = X.

Mnozenjem, najpre, jednacine (a) sa leve strane sa A−11 P′1, a zatim

mnozenjem sa desne strane sa Q′1A−11 i primenjujuci (2.8), sledi da je

Q1XP1 = A−11 . Analogno, na osnovu (2.8) i (b), vazi da je Q1X =A−11 P

′1XP1A1Q1. Stoga je P

′1XP1A1Q1P1 = I, odakle sledi da je

A1Q1P1 levo invertibilan. Primetimo da (a) i (b) impliciraju da vazi

P1A1Q1XP1A1Q1 = P1A1Q1A1Q1X = P1A1Q1.

Na osnovu (2.8) sledi A1Q1P1A1Q1XQ′1A−11 = I, odakle je A1Q1P1

desno invertibilan. Dakle, A1Q1P1 je invertibilan i, na osnovu (2.9),sledi da je U invertibilan. �


Za EP operatore vazi naredni rezultat.

Teorema 2.15. Neka su M i MA definisani kao u (2.7), a A i D su EPoperatori. Tada

(i) Sledeci uslovi su ekvivalentni:

(a) M je EP operator;

(b) AπBDπ = 0 i A#BDπ + AπBD# = 0;

(c) B = AA#B i B = BDD#;

(d) R(B) ⊂ R(A) i N (D) ⊂ N (B).

U ovom slucaju je

M † = M# =

(A# −A#BD#

0 D#

).

(ii) M je EP operator i Aπ = Dπ ako i samo ako je MA EP operator i

M#A =

(0 D#

A# −A#BD#

).

Dokaz.

(i) (a) ⇒ (b): Na osnovu Leme 2.2 (ii), ako je M EP operator, onda jeAπBDπ = 0 i operator

MM# =

(A B0 D

)(A# (A#)

2BDπ + AπB(D#)

2 − A#BD#

0 D#

)=

(AA# A#BDπ + AπBD#

0 DD#

)je samokonjugovan. Sledi da je

A#BDπ + AπBD# = 0. (2.10)

(b)⇒ (c): Mnozenjem (2.10) sa desne strane sa D, zakljucujemo da jeAπB = 0. Slicno, BDπ = 0.(c)⇔ (d): Videti Lemu 2.3.

(c) ⇒ (a): Na osnovu Leme 2.2 (ii), M# =

(A# −A#BD#

0 D#

). Kako

su A i D EP operatori, direktno se proverava da M# zadovoljavajednacine (1)-(5) iz definicija Moore-Penroseovog i grupnog inverza.


(ii) (⇒) : Neka suA iD su EP operatori i oznacimoX =

(0 D#

A# −A#BD#

).

Na osnovu (i)(c), jednostavno se proverava da vazi

XMA = DD# ⊕ AA#,

MAX = AA# ⊕DD#,

MAXMA = MA,

XMAX = X.

Na osnovu cinjenice da su A i D EP operatori i da je Aπ = Dπ, sledida je MA EP operator.

(⇐) : Ako je M#A =

(0 D#

A# −A#BD#

), onda je

MAM#A =

(AA# AπBD#

0 DD#

)i

M#AMA =

(DD# 0A#BDπ AA#

).

Kako je MA EP operator, vazi MAM#A = M#

AMA, pa je Aπ = Dπ,AπBD# = 0 i A#BDπ = 0. Na osnovu

MM#AM =

(B AD 0

)(DD# 0A#BDπ AA#

)=

(BDD# − AA#BDπ A

D 0

)=

(BD#D AD 0

)= M,

sledi da je BD#D = B, pa je AπB = AπBD#D = 0. Pomocu (i)(c),zakljucujemo da je M EP operator. �

Grupna invertibilnost operatora M ne implicira uvek grupnu invertibil-nost operatora MA. To ilustruje sledeci primer.

Primer 2. Definisimo operator M na H ⊕H ⊕H ⊕H sa

M =

(A B0 D

),


gde su A =

(I 00 0

), B =

(0 I−I 0

), D =

(I 00 0

).

Na osnovu Leme 2.2 (ii), M je grupno invertibilan (zapravo, AπBDπ = 0).Kako je

MA =

(B AD 0

)=

0 I I 0−I 0 0 0I 0 0 00 0 0 0

,

M2A =

0 0 0 00 −I −I 00 I I 00 0 0 0

,

vazi R(MA) 6= R(M2A), pa MA nije grupno invertibilan.

Neka je T =

(A C0 B

)∈ B(H ⊕ H). Tada je T

(0 II 0

)=

(C AB 0

).

Ako je R(T ) zatvoren, onda je, na osnovu Leme 2.5 (ii), anti-trougaoni

matricni operator

(C AB 0

)grupno invertibilan ako i samo ako je operator

U = T

(0 II 0

)TT− + I − TT− invertibilan. Razmatracemo naredne

zanimljive slucajeve.

Teorema 2.16. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su R(A) i R(B) zatvoreni ineka su c1, c2 ∈ C, a k, l ∈ N.

(i) Ako je A invertibilan, onda je

(C AB 0

)grupno invertibilan ako i samo

ako je C(I −B†B)− AB invertibilan.

(ii)

(c1A+ c2B A

B 0

)je grupno invertibilan ako i samo ako je

(c1A

2A† + I − AA† (1 + c1c2)ABB†

BAA† c2B2B† + I −BB†

)invertibilan.

(iii)

(AkBl AB 0

)je grupno invertibilan ako i samo ako je

(I − AA† ABB†

BAA† BAkBlB† + I −BB†)

invertibilan.


(iv) Ako je A2 = A, onda je

(A AB 0

)grupno invertibilan ako i samo ako

je I −BB† −BABB† invertibilan.

Dokaz.

(i) Neka je T =

(A C0 B

). Ako je A invertibilan, onda je

T− =

(A C0 B

)−=

(A−1 −A−1CB†

0 B†

)i

TT− =

(I 00 BB†

).

Na osnovu Leme 2.5 (ii),

(C AB 0

)je grupno invertibilan ako i samo

ako je operator

U = T

(0 II 0

)TT− + I − TT−

=

(C AB 0

)(I 00 BB†

)+

(0 00 I −BB†

)=

(C ABB†

B I −BB†)

(2.11)

invertibilan. Primetimo da je(I −(CB† + ABB†)0 I

)(C ABB†

B I −BB†)(

I B†

0 I

)=

(C − CB†B − AB 0

B I

).

Sledi da je U invertibilan ako i samo ako je C(I − B†B)− AB invert-ibilan.

(ii) Kako su R(A) i R(B) zatvoreni, postoje A† i B† i jednostavno se

proverava da je

(0 B†

A† 0

){1} − inverz od

(0 AB 0

). Uocimo da vazi

(c1A+ c2B A

B 0

)=

(I c2I0 I

)(0 AB 0

)(I 0c1I I

).


Na osnovu Leme 2.5 (ii),

(c1A+ c2B A

B 0

)je grupno invertibilan ako

i samo ako

U =

(0 AB 0

)(I 0c1I I

)(I c2I0 I

)(0 AB 0

)(0 B†

A† 0

)+ I −

(0 AB 0

)(0 B†

A† 0

)=

(c1A (1 + c1c2)AB c2B

)(AA† 0

0 BB†

)+

(I − AA† 0

0 I −BB†)

=

(c1A

2A+ I − AA† (1 + c1c2)ABB†

BAA† c2B2B† + I −BB†

).

(iii) Primetimo da je(AkBl AB 0

)=

(I AkBl−1

0 I

)(0 AB 0

).

Operator

(AkBl AB 0

)je grupno invertibilan ako i samo ako vazi

U =

(0 AB 0

)(I AkBl−1

0 I

)(0 AB 0

)(0 B†

A† 0

)+ I −

(0 AB 0

)(0 B†

A† 0

)=

(0 AB BAkBl−1

)(AA† 0

0 BB†

)+

(I − AA† 0

0 I −BB†)

=

(I − AA† ABB†

BAA† BAkBlB† + I −BB†).

(iv) Neka je c1 = 1 i c2 = 0 i primenimo (ii). Sledi da je

(A AB 0

)grupno

invertibilan ako i samo ako je

(I ABB†

BAA† I −BB†)

invertibilan, sto je

ekvivalentno tome da je I −BB† −BABB† invertibilan. �

Glava 3

Zakon obrnutog redosleda

Ako su A i B invertibilni operatori, tada se jednakost (AB)−1 = B−1A−1

naziva zakon obrnutog redosleda za obicne inverze. Medutim, ovaj zakon nevazi uvek za razne klase uopstenih inverza. Zakon obrnutog redosleda jekorisno racunsko sredstvo u primenama (resavanje linearnih jednacina u lin-earnoj algebri ili numerickoj analizi), a takode je zanimljiv i sa teorijskogstanovista. Navodimo, najpre, rezultate koji se ticu zakona obrnutog re-dosleda za Moore-Penroseov inverz.

Poznat je rezultat Grevilla [9], da je (AB)† = B†A† ako i samo akoje R(A∗AB) ⊂ R(B) i R(BB∗A∗) ⊂ R(A∗), kada su A i B kompleksne(moguce i pravougaone) matrice. Ovaj rezultat uopstili su Bouldin [2] iIzumino [12] na linearne ogranicene operatore na Hilbertovim prostorima.

U ovom delu, pokazacemo pod kojim uslovima vazi zakon obrnutogredosleda za grupni inverz. Pretpostavimo da A,B,AB,A#, B# i A#ABimaju matricne reprezentacije u odnosu na dekompoziciju H = R(A)⊕N (A)date sa

A =

(A1 00 0

), B =

(B1 B3

B4 B2

), AB =

(A1B1 A1B3

0 0

),

A# =

(A−11 0

0 0

), B# =

(C1 C3

C4 C2

), A#AB =

(B1 B3

0 0

),

(3.1)

redom, pri cemu je A1 invertibilan i svi operatori koji se pojavljuju suograniceni linearni operatori izmedu odgovarajucih prostora. Na osnovuLeme 2.2 (i), A#AB je grupno invertibilan ako i samo ako je B1 grupnoinvertibilan i B3 = B#

1 B1B3 (ili R(B3) ⊂ R(B1)).

34

GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 35

AB je grupno invertibilan ako i samo ako je A1B1 grupno invertibilani A1B3 = (A1B1)

#A1B1A1B3 (ili A1R(B3) ⊂ A1R(B1)). Na osnovu Leme

2.2(ii) (A#AB)#

i (AB)# se mogu zapisati kao

(A#AB)#

=

(B#

1 (B#1 )

2B3

0 0

),

(AB)# =

((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

).

(3.2)

Koristeci predstavljanja u (3.1) i (3.2), dolazimo do sledecih rezultata.

Teorema 3.1. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,AB i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada

(i) (AB)# = (AA#B)#A# ⇔ [AB,Aπ] = 0 i [A, (AA#B)

π] = 0;

(ii) (AB)# = B#(ABB#)# ⇔ [AB,Bπ] = 0 i [B, (AB#B)

π] = 0.

Dokaz.

(i) (⇒): Neka su A,B,AB,A#, (A#AB)#

i (AB)# predstavljeni kao u(3.1) i (3.2). Tada je Aπ = I − AA# = 0⊕ I i

(AB)# = (AA#B)#A# ⇔

((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

)

=

(B#

1 A−11 0

0 0

)⇔

{(a)(A1B1)

# = B#1 A−11

(b)[(A1B1)#]

2A1B3 = 0.

Posto jeAB grupno invertibilan, sledi da jeA1B3 = A1B1(A1B1)#A1B3.

Sada je

B3 = A−11 A1B1(A1B1)#A1B3 = A−11 (A1B1)

2[(A1B1)#]

2A1B3 = 0.

Dakle, AB = A1B1 ⊕ 0 i [AB,Aπ] = 0.Na osnovu A1B1(A1B1)

# = (A1B1)#A1B1 i (a), vazi da je

A1B1B#1 A−11 = B#

1 A−11 A1B1,


iz cega sledi A1B1B#1 = B1B

#1 A1.

Primetimo da vazi A = A1 ⊕ 0 i AA#B = B1 ⊕ 0, pa je (AA#B)π

=(I −B1B

#1 )⊕ I i [A, (AA#B)

π] = 0.

(⇐): Na osnovu [AB,Aπ] = 0⇔ ABAπ = 0⇔ B3 = 0 sledi

AA#B =

(B1 00 0

)i (AA#B)

π=

(Bπ

1 00 0

). Uocimo da se grupno

invertibilni operator B1 moze zapisati kao B1 = B11 ⊕ 0 sa B1B#1 =

I ⊕ 0.Na osnovu [A, (AA#B)

π] = 0 ⇔ A1B1B

#1 = B1B

#1 A1, iz Teoreme

2.8(i), A1 se moze zapisati kao A1 = A11⊕A22, pri cemu su A11, A22, B11

invertibilni.Koristeci (3.2), zakljucujemo

(AB)# = (A1B1)# ⊕ 0

= (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0

= B−111 A−111 ⊕ 0⊕ 0

= [B−111 ⊕ 0⊕ 0][A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0]

= (AA#B)#A#.

(ii) Na osnovu (i) vazi da je (B∗A∗)# = (A∗)#[B∗(A∗)#A∗]#

ekvivalentnosa

[B∗A∗, (A∗)π] = 0 i [A∗, (B∗(A∗)#A∗)π] = 0.

Zamenom A∗ i B∗ sa B i A, redom, vazice

(AB)# = B#(AB#B)# ⇔ [AB,Bπ] = 0 i [B, (AB#B)

π] = 0. �

Primedba: Kao sto je vec poznato, ako je AB grupno invertibilan, onda jeR(AB) zatvoren. Stavise, vazi:

(i) R(AB) je zatvoren ako i samo ako R(A#AB) je zatvoren. Zapravo,

R[(A#AB)∗] = R[B∗A∗(A#)

∗]

= B∗R[A∗(A#)∗]

= B∗R(A∗)

= R[(AB)∗].

(ii) N (AB) = N (A#AB), sto se moze videti iz reprezentacije u (3.1).

Teorema 3.2. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,AB i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada vazi:


(i) (AA#B)#

= B#AA# ⇔ [Aπ, B] = 0;

(ii) (ABB#)#

= BB#A# ⇔ [A,Bπ] = 0.

Dokaz.

(i) (⇒): Neka su A,B,A#, B# i (A#AB)#

predstavljeni kao u (3.1) i (3.2).Na osnovu Leme 2.2, A#AB je grupno invertibilan ako i samo ako jeB1 grupno invertibilan i B3 = B1B

#1 B3 = B2

1(B21)

#B3. Tada

(AA#B)#

= B#AA# ⇔

(B#

1 (B#1 )

2B3

0 0

)=

(C1 0C4 0

)

⇔

C1 = B#

1

B3 = 0

C4 = 0

.

Dakle,

B =

(B1 0B4 B2

)i B# =

(B#

1 C3

0 C2

).

Kako su B i B1 grupno invertibilni, na osnovu Leme 2.2, B2 je grupnoinvertibilan, Bπ

2B4Bπ1 = 0 i

B# =

(B1 0B4 B2

)#

=

(B#

1 0

Bπ2B4(B

#1 )

2+ (B#

2 )2B4B

π1 −B

#2 B4B

#1 B#

2

)

=

(B#

1 C3

0 C2

).

Oznacimo sa Y = Bπ2B4(B

#1 )

2+(B#

2 )2B4B

π1−B

#2 B4B

#1 . Tada je Y = 0

i vazi

B2

2Y Bπ1 = 0,

Bπ2Y B

21 = 0,

B2Y B1 = 0,

⇒

B2B

#2 B4B

π1 = 0,

Bπ2B4B

#1 B1 = 0,

B2B#2 B4B

#1 B1 = 0,

⇒

B4B

π1 = 0,

Bπ2B4 = 0,

B2B#2 B4B

#1 B1 = 0,

⇒ B4 = B2B#2 B4B

#1 B1 = 0,

⇒ B = B1 ⊕B2 i [Aπ, B] = 0.


(⇐): Neka su A i A# predstavljeni kao u (3.1). Ako je [Aπ, B] = 0, naosnovu Teoreme 2.8 (i), B se moze napisati kao B = B1 ⊕B2. Sada je

B# = B#1 ⊕B

#2 i (AA#B)

#= B#

1 ⊕ 0 = B#AA#.

(ii) Slicno kao u dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

Teorema 3.3. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,B i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada:

(i) (AA#B)#A# = B#A# ⇔ [AπB, I − Aπ] = 0;

(ii) B#(ABB#)#

= B#A# ⇔ [ABπ, I −Bπ] = 0.

Dokaz.

(i) Zadrzacemo reprezentacije operatora A,B,A#, B# i (AA#B)#

iz (3.1)i (3.2).(⇒): Na osnovu (3.1) i (3.2), primetimo da vazi

[AπB, I − Aπ] = 0⇔ AπB(I − Aπ) = 0⇔ B4 = 0

i

(AA#B)#

A# = B#A# ⇔

⇔

(B#

1 (B#1 )

2B3

0 0

)(A−11 0

0 0

)=

(C1 C3

C4 C2

)(A−11 0

0 0

)

⇔

{C1 = B#

1

C4 = 0.

Prema tome, ako je (AA#B)#A# = B#A#, onda je B# =

(B#

1 C3

0 C2

).

Ostaje da pokazemo da je B4 = 0 u reprezentaciji B =

(B1 B3

B4 B2

).

Zapravo


(a) BB# = B#B je ekvivalentno sa(B1B

#1 B1C3 +B3C2

B4B#1 B4C3 +B2C2

)=

(B1B

#1 + C3B4 B#

1 B3 + C3B2

C2B4 C2B2

),

(b) B = BB#B je ekvivalentno sa(B1 B3

B4 B2

)=

(U1 U2

U3 U4

),

(c) B# = B#BB# je ekvivalentno sa(B#

1 C3

0 C2

)=

(V1 V2V3 V4

),

(3.3)

pri cemu su

U1 = B1 +B1C3B4 +B3C2B4, U2 = B1B#1 B3 +B1C3B2 +B3C2B2,

U3 = B4B#1 B1+B4C3B4+B2C2B4, U4 = B4B

#1 B3+B4C3B2+B2C2B2,

V1 = B#1 + C3B4B

#1 , V2 = B1B

#1 C3 + C3B4C3 +B#

1 B3C2 + C3B2C2,

V3 = C2B4B#1 , V4 = C2B2C3 + C2B2C2.

Prema tome,(d) C3B4 = 0 - uporedujuci [1,1] elemente u (a)(e) C2B4B

#1 = 0 - uporedujuci [2,1] elemente u (c)

(f) B4B#1 = C2B4 - uporedujuci [2,1] elemente u (a)

(g) B4 = U3 - uporedujuci [2,1] elemente u (b)(h) C2B4 = B4B

#1 = B4B

#1 B1B

#1 = C2B4B

#1 B1 = 0, odakle je

B4 = B4B#1 B1 +B4C3B4 +B2C2B4 = 0.

(⇐): Ako je AπB(I − Aπ) = 0, onda je B =

(B1 B3

0 B2

). Kako su B i

A#AB grupno invertibilni, B1 i B2 su grupno invertibilni i

B# =

(B1 B3

0 B2

)#

=

(B#

1 Y

0 B#2

),

gde je

Y = (B#1 )

2B3B

π2 +Bπ

1B3(B#2 )

2 −B#1 B3B

#2 .

Iz (3.1) i (3.2), vazi A# = A−11 ⊕ 0 i (A#AB)#

=

(B#

1 (B#1 )

2B3

0 0

), pa

je (AA#B)#A# = B#A#.


(ii) Slicno kao dokaz Teoreme 3.1 (ii). �

Primedba:

(1) Jasno je da

AA#BAA# = BAA# ⇔ R(BAA#) ⊂ R(A)

⇔ AπB(I − Aπ) = 0

⇔ [AπB, I − Aπ] = 0

i

BB#ABB# = BB#A ⇔ N (BB#A) ⊃ N (B)

⇔ (I −Bπ)ABπ = 0

⇔ [ABπ, I −Bπ] = 0.

(2) Ako vazi Teorema 3.2 (i) (Teorema 3.2 (ii)), onda vazi Teorema 3.3 (i)(Teorema 3.3 (ii)). Obrnuta implikacija ne vazi.

(3) Na osnovu Teoreme 3.1 i Teoreme 3.3 mozemo zakljuciti sledece:

(I) Ako vaze Teorema 3.1 (i) i Teorema 3.3 (i), onda je(AB)# = B#A#;

(II) Ako vaze Teorema 3.1 (ii) i Teorema 3.3 (ii), onda je(AB)# = B#A#.

Teorema 3.4. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,B i AB grupno invert-ibilni. Tada:

(i) B# = (AB)#A⇔ R(B) ⊂ R(A), [Aπ, B] = 0 i [A,Bπ] = 0;

(ii) A# = B(AB)# ⇔ R(A) ⊂ R(B), [Aπ, B] = 0 i [A,Bπ] = 0.

Dokaz.

(i) Zadrzacemo reprezentacije operatora A,B,AB,A# i (AB)# iz (3.1) i(3.2).Na osnovu

B# = (AB)#A =

((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

)(A1 00 0

)= (A1B1)

#A1 ⊕ 0 (3.4)


i B#B = BB#, vazi((A1B1)

#A1 00 0

)(B1 B3

B4 B2

)=

(B1 B3

B4 B2

)((A1B1)

#A1 00 0

),

odakle sledi((A1B1)

#A1B1 (A1B1)#A1B3

0 0

)=

(B1(A1B1)

#A1 0

B4(A1B1)#A1 0

).

Uporedjujuci obe strane prethodne jednakosti i koristeci invertibilnostoperatora A1, zakljucujemo

B4(A1B1)

# = 0

(A1B1)#A1B3 = 0

(A1B1)#A1B1 = B1(A1B1)

#A1.

(3.5)

Kako je AB grupno invertibilan, sledi A1B3 = A1B1(A1B1)#A1B3.

Druga jednakost iz (3.5) implicira da je B3 = A−11 A1B1(A1B1)#A1B3 =

0. Na osnovu BB#B = B, primenjujuci jednakost iz (3.4), vazi(B1 0B4 B2

)((A1B1)

#A1 00 0

)(B1 0B4 B2

)=

(B1 0B4 B2

)⇔(B1(A1B1)

#A1B1 00 0

)=

(B1 0B4 B2

),

pa sledi B2 = 0 i B4 = 0. Sada je B = B1 ⊕ 0 i

BB# = B1(A1B1)#A1 ⊕ 0 = (A1B1)

#A1B1 ⊕ 0 = B#B, (3.6)

na osnovu (3.4) i trece jednakosti iz (3.5). Primetimo da je A = A1⊕0,gde je A1 invertibilan i Aπ = 0 ⊕ I. Jasno je da vazi R(B) ⊂ R(A) i[Aπ, B] = 0.Na osnovu (3.6), vazi [A,Bπ] = ABπ −BπA = B#BA− AB#B = 0.(⇐): Neka A i A# imaju reprezentacije kao u (3.1). Ako jeR(B) ⊂ R(A) i [Aπ, B] = 0, na osnovu Teoreme 2.8 (i), B mozemozapisati u obliku B = B1 ⊕ 0, pri cemu je B1 grupno invertibilan.Analogno, kako je [A,Bπ] = 0, na osnovu Teoreme 2.8 (i), vazi daB1 i A1, kao ograniceni linearni operatori koji preslikavaju prostorR(A) = R(B1)⊕N (B1), imaju oblike

B1 = B11 ⊕ 0, A1 = A11 ⊕ A22,


pri cemu su A11, A22, B11 invertibilni. Dakle,

A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, B1 = B11 ⊕ 0⊕ 0,

(AB)# = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0 = B−111 A

−111 ⊕ 0⊕ 0,

B# = B−111 ⊕ 0⊕ 0 = (AB)#A.

(ii) Slicno dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

Na osnovu dokaza Teoreme 3.4, jasno je da su naredni uslovi dovoljnikako bi vazio zakon obrnutog redosleda za grupni inverz (AB)# = B#A#:

B# = (AB)#A⇒ (AB)# = B#A#,

A# = B(AB)# ⇒ (AB)# = B#A#.

Teorema 3.5. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,B i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada:

(i) AA#B = B(AB)#AB ⇔ [AπB,AB(I − Aπ)] = 0;

(ii) ABB# = AB(AB)#A⇔ [ABπ, (I −Bπ)AB] = 0.

Dokaz.

(i) Zadrzacemo reprezentacije operatora A,B,A# i (AB)# iz (3.1) i (3.2).Tada je

[AπB,AB(I − Aπ)] = AπBAB(I − Aπ)

=

(0 00 I

)(B1 B3

B4 B2

)(A1 00 0

)(B1 B3

B4 B2

)(I 00 0

)=

(0 0

B4A1B1 0

).

Jasno je da vazi

[AπB,AB(I − Aπ)] = 0⇔ B4A1B1 = 0.

Kako je AB =

(A1B1 A1B3

0 0

)grupno invertibilan, onda je A1B1

grupno invertibilan,

A1B1 = A1B1(A1B1)#A1B1


iA1B3 = A1B1(A1B1)

#A1B3.

Posto je A1 invertibilan, onda je

B1 = B1(A1B1)#A1B1, B3 = B1(A1B1)

#A1B3,

pa sledi da je

AA#B = B(AB)#AB ⇔

⇔(B1 B3

0 0

)=

(B1 B3

B4 B2

)((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

)(A1B1 A1B3

0 0

)⇔

(B1 B3

0 0

)=

(B1(A1B1)

#A1B1 B1(A1B1)#A1B3

B4(A1B1)#A1B1 B4(A1B1)

#A1B3

)⇔ B4(A1B1)

#A1B1 = 0

⇔ B4A1B1 = 0

⇔ [AπB,AB(I − Aπ)] = 0.

(ii) Slicno dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

Jasno je da

[AπB,AB(I − Aπ)] = 0 ⇔ AπBAB(I − Aπ) = 0

⇔ R(ABAA#) ⊂ N (AπB)

i

[(I −Bπ)AB,ABπ] = 0 ⇔ (I −Bπ)ABABπ = 0

⇔ R(ABπ) ⊂ N (BBπAB).

Na kraju, predstavljamo neke ekvivalentne uslove pod kojima ce vazitizakon obrnutog redosleda (AB)# = B#A#.

Teorema 3.6. Neka su A,B ∈ B(H).

(i) Ako su A,B i AB grupno invertibilni, onda su sledeca tvrdjenja ekvi-valentna:

(1) (AB)# = B#A#;

(2) (AB)#A = B#A#A i [(I − Aπ), BAπ] = 0;


(3) B(AB)# = BB#A# i [(I −Bπ), BπA] = 0.

(ii) Ako su A,B,AB i A#AB (ABB#) grupno invertibilni, onda su sledecatvrdjenja ekvivalentna:

(1) (AB)# = B#A#;

(2) (AB)#A = B#A#A = (A#AB)#

;

(3) B(AB)# = BB#A# = (ABB#)#

;

(4) (AB)#A = B#A#A i [Aπ, B] = 0;

(5) B(AB)# = BB#A# i [A,Bπ] = 0.

Dokaz. Zadrzacemo reprezentacije operatora A,B,A#, B# i (AB)# iz (3.1)i (3.2).

(i) (2)⇒ (1): Na osnovu

(AB)#A = B#A#A ⇔

((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

)(A1 00 0

)=

(C1 C3

C4 C2

)(I 00 0

)⇔

((A1B1)

#A1 00 0

)=

(C1 0C4 0

)⇔ C1 = (A1B1)

#A1, C4 = 0

i[(I − Aπ), BAπ] = 0⇔ (I − Aπ)BAπ = 0⇔ B3 = 0,

vazi

(AB)#A = B#A#A i [(I − Aπ), BAπ] = 0⇔

⇔ B =

(B1 0B4 B2

)i B# =

((A1B1)

#A1 C3

0 C2

). (3.7)

Prema tome,

(AB)# = (A1B1)# ⊕ 0 = (A1B1)

#A1A1−1 ⊕ 0 = B#A#.

(1)⇒ (2): Ako je (AB)# = B#A#, jasno je da je (AB)#A = B#A#A

i, na osnovu reprezentacija iz (3.1) i (3.2), vazi [(A1B1)#]

2A1B3 = 0.

Pomocu Teoreme 3.1 sledi B3 = 0, tj.

[(I − Aπ), BAπ] = (I − Aπ)BAπ =

(0 B3

0 0

)= 0.

(1)⇔ (3): Slicno dokazu Teoreme 3.1 (ii).


(ii) (1)⇒ (2) i (4): Iz (3.7), znamo

(AB)# = B#A# ⇔

⇔ B =

(B1 0B4 B2

), B# =

((A1B1)

#A1 C3

0 C2

)(3.8)

Kako je A#AB grupno invertibilan, na osnovu Leme 2.2, B1 i B2

su grupno invertibilni, C3 = 0 i B4 = 0. Dakle, B = B1 ⊕ B2 iB# = B1

# ⊕ B2# = (A1B1)

#A1 ⊕ C2. Sada (2) i (4) slede direktno izA = A1 ⊕ 0.(2)⇒ (1): Na osnovu

(AB)#A = B#A#A = (A#AB)# ⇔

⇔(

(A1B1)#A1 0

0 0

)=

(C1 0C4 0

)=

(B#

1 (B#1 )

2B3

0 0

)⇔ B1

# = C1 = (A1B1)#A1, C4 = 0, B3 = 0,

i (3.7), zakljucujemo (AB)# = B#A#.(4) ⇒ (1): Pomocu Teoreme 2.8 (i), ako je [Aπ, B] = 0, onda jeB = B1 ⊕B2.Ako vazi (AB)#A = B#A#A, onda je (A1B1)

#A1 = B#1 i

B# = (A1B1)#A1 ⊕B#

2 . Rezultat sledi direktno.(1)⇔ (3), (1)⇒ (5): Slicno dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

Teorema 3.7. Neka su A,B,AB ∈ B(H) grupno invertibilni. Tada

(AB)# = B#A# ⇔ (I − Aπ)BAπ = 0 i B#(I − Aπ) = (AB)#A.

Specijalno, ako su A,B,BAπ grupno invertibilni, onda su sledeci usloviekvivalentni:

(i) (AB)# = B#A#;

(ii) (BA)# = A#B#;

(iii) A = A1 ⊕ 0, B = B1 ⊕ B2 i B#1 = (A1B1)

#A1 u odnosu na razlaganjeprostora H = N (Aπ)⊕R(Aπ), gde je A1 invertibilan;

(iv) A = A1 ⊕ 0, B = B1 ⊕ B2 i B#1 = A1(B1A1)

# u odnosu na razlaganjeprostora H = N (Aπ)⊕R(Aπ), gde je A1 invertibilan.


Dokaz. Kako su A i B grupno invertibilni, A,A#, B i B# kao ogranicenilinearni operatori koji preslikavaju prostor N (Aπ)⊕R(Aπ) mogu se zapisatina sledeci nacin:

A =

(A1 00 0

), A# =

(A−11 0

0 0

),

B =

(B1 B3

B4 B2

), B# =

(C1 C3

C4 C2

).

(3.9)

Kako je AB =

(A1B1 A1B3

0 0

)grupno invertibilan, na osnovu Leme 2.2 (i),

zakljucujemo [I − A1B1(A1B1)#]A1B3 = 0 i

(AB)# =

((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

).

Posto je (AB)# = B#A#, uocimo da je((A1B1)

# [(A1B1)#]

2A1B3

0 0

)=

(C1A

−11 0

C4A−11 0

).

Sledi da vazi

C4 = 0, C1 = (A1B1)#A1, [(A1B1)

#]2A1B3 = 0.

Dakle,

B3 = A−11 A1B3 = A−11 [A1B1(A1B1)#A1B3]

= A−11 [A1B1]2[(A1B1)

#]2A1B3 = 0.

Primetimo da je Aπ = 0⊕ I, pa vazi

(I − Aπ)BAπ =

(0 B3

0 0

)= 0,

B#(I − Aπ) =

((A1B1)

#A1 00 0

)= (AB)#A.

Sa druge strane, ako je (I − Aπ)BAπ = 0, onda je

B3 = 0 i (AB)# = (A1B1)# ⊕ 0,


na osnovu (3.9). Ako je B#(I − Aπ) = (AB)#A, ponovo na osnovu (3.9),vazi

C1 = (A1B1)#A1 i C4 = 0.

Stoga, (AB)# = B#A#.Sada, pretpostavimo da su A,B,AB i BAπ grupno invertibilni.(i) ⇔ (iii): Jasno je da vazi (iii) ⇒ (i). Potrebno je samo pokazati(i)⇒ (iii). Primetimo da je (AB)# = B#A# ako i samo ako ograniceni lin-earni operatoriA,A#, B iB#, koji su preslikavanja na prostoruR(A)⊕N (A),imaju oblike

A = A1 ⊕ 0, A# =

(A−11 0

0 0

),

B =

(B1 0B4 B2

), B# =

((A1B1)

#A1 C3

0 C2

), (3.10)

redom. Kako je BAπ grupno invertibilan, B2 je grupno invertibilan i, naosnovu Leme 2.2 (i), (ii), B1 je grupno invertibilan, Bπ

2B4Bπ1 i

B# =

(B1 0B4 B2

)#

=

(B#

1 0

Bπ2B4(B

#1 )

2+ (B#

2 )2B4B

π1 −B

#2 B4B

#1 B#

2

)

=

((A1B1)

#A1 C3

0 B2

).

Sledi da je

B#1 = (A1B1)

#A1, Y := Bπ2B4(B

#1 )

2+ (B#

2 )2B4B

π1 −B

#2 B4B

#1 = 0.

Primetimo da vaziB2

2Y Bπ1 = 0,

Bπ2Y B

21 = 0,

B2Y B1 = 0.

⇒

B2B

#2 B4B

π1 = 0,

Bπ2B4B

#1 B1 = 0,

B2B#2 B4B

#1 B1 = 0.

⇒

B4B

π1 = 0,

Bπ2B4 = 0,

B2B#2 B4B

#1 B1 = 0.

Dakle, B4 = 0 i B = B1 ⊕B2.(ii)⇔ (iv): Slicno dokazu (i)⇔ (iii).(iii)⇔ (iv): Uocimo da je A1B1 ∼ B1A1. Na osnovu Teoreme 2.12, A1B1 jegrupno invertibilan ako i samo ako je B1A1 grupno invertibilan. Na osnovuLeme 2.4, (A1B1)

#A1 = A1(B1A1)#. �

Ako je dim(R(A)) konacna, vazi sledeci rezultat.


Posledica 3.1. Neka su A,B,AB ∈ B(H) grupno invertibilni i dim(R(A))je konacna. Sledeca tvrdjenja su ekvivalentna:

(i) (AB)# = B#A#;

(ii) (BA)# = A#B#;

(iii) R(AB) = R(BA) i N (AB) = N (BA);

(iv) R(A∗B∗) = R(B∗A∗) i N (A∗B∗) = N (B∗A∗);

(v) A = A11⊕A22⊕ 0⊕ 0, B = B11⊕ 0⊕B33⊕ 0, pri cemu su A11, A22, B11

i B33 invertibilni.

Dokaz. Ocigledno vazi (v)⇒ (ii)− (iv).(i) ⇒ (v): Na osnovu Teoreme 3.7 znamo da, kao ograniceni linearnioperatori A,A#, B i B# koji su preslikavanja na prostoru R(A) ⊕ N (A),imaju oblik (3.10). Ako je dim(R(A)) konacna, Lema 2.2 (iii) implicira dasu B1 i B2 grupno invertibilni. Na osnovu dokaza Teoreme 3.7 ((i)⇒ (iii)),vazi B4 = 0. Dakle,

A = A1 ⊕ 0, B = B1 ⊕B2, (A1B1)# = B#

1 A−11 .

Kako je A1B1 ∼ B1A1 i A1B1 je grupno invertibilan, na osnovu Teoreme2.12, B1A1 je grupno invertibilan i A−11 B#

1 = A−11 (A1B1)#A1 = (B1A1)

#.Sada, kako je (B1A1)

# = A−11 B#1 i dim(R(B1)) ≤ dim(R(A)) <∞, analogno

zakljucujemo da B1 i A1, kao ograniceni linearni operatori koji su preslika-vanja na prostoru R(A) = R(B1)⊕N (B1), imaju oblike

B1 = B11 ⊕ 0, A1 = A11 ⊕ A22, (A11B11)−1 = B−111 A

−111 ,

pri cemu su A11, A22 i B11 invertibilni. Primetimo da B2, kao grupno in-vertibilni operator koji je na prostoru N (A) = R(B2) ⊕ N (B2), ima oblikB2 = B33 ⊕ 0, pri cemu je B33 invertibilan. Dakle, vazi (v).(ii)⇒ (v): Slicno kao (i)⇒ (v).(iii)⇒ (v): Na osnovu (3.9), AB i BA imaju oblike

AB =

(A1B1 A1B3

0 0

)i BA =

(B1A1 0B4A1 0

),

u odnosu na razlaganje prostora R(A)⊕N (A), pri cemu je A1 invertibilan.Ako je R(AB) = R(BA), onda je R(B4A1) = R(B4) = {0}. Sledi da jeB4 = 0. Kako je N (AB) = N (BA), onda je N (A1B3) = N (B3) = N (A),pa je B3 = 0. Prema tome, A = A1 ⊕ 0 i B = B1 ⊕ B2. Slicno, B1


i A1, kao ograniceni linearni operatori koji su preslikavanja na prostoruR(A) = R(B1) ⊕ N (B1), imaju oblike B1 = B11 ⊕ 0 i A1 = A11 ⊕ A22,pri cemu su A11, A22 i B11 invertibilni, a B2, kao ograniceni linearan operatorkoji je na prostoru N (A) = R(B2) ⊕ N (B2), ima oblik B2 = B33 ⊕ 0, pricemu je B33 invertibilan. Dakle, vazi (v).(iv)⇒ (v): Slicno kao (iii)⇒ (v). �

Na osnovu Teoreme 3.7 i Posledice 3.1, znamo da je, u opstem slucaju,(AB)# 6= (BA)#. Poznato je da je proizvod dva samokonjugovana operatoraA i B samokonjugovan operator ako i samo ako AB = BA. Proizvod dvakomutirajuca EP operatora je takode EP operator. Sledeci rezultat pokazujeda je proizvod dva komutirajuca grupno invertibilna operatora takode grupnoinvertibilan.

Teorema 3.8. Neka su A,B ∈ B(H) komutativni operatori sa zatvorenimslikama.

(i) Ako je jedan od operatora A i B grupno invertibilan, onda je R(AB)zatvoren.

(ii) Ako su A i B grupno invertibilni, onda je AB grupno invertibilan i

(AB)# = B#A# = A#B# = (BA)#.

Dokaz.

(i) Neka je A grupno invertibilan i A ima oblik A = A0 ⊕ 0, u odnosuna razlaganje prostora H = R(A) ⊕ N (A), pri cemu je A0 invert-ibilan. Kako je AB = BA, B se moze zapisati kao B = B0 ⊕ B33,B0 ∈ B(R(A)), B33 ∈ B(N (A)) i A0B0 = B0A0. Dakle, R(B0) =R(A) ∪ R(B) je zatvoren. Primetimo da je A0 invertibilan iR(A0) = R(A). Stoga je R(AB) = R(A0B0) = R(B0A0) = R(B0).

(ii) Ako je B = B0 ⊕ B33 takode grupno invertibilan, onda su B0 i B33

grupno invertibilni. Slicno, A0B0 = B0A0 implicira A0 = A11 ⊕ A22,B0 = B11⊕0, u odnosu na razlaganje prostoraR(A) = R(B0)⊕N (B0),pri cemu su A11, A22 i B11 invertibilni, i A11B11 = B11A11. Sada je

A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, A# = A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0,

B = B11 ⊕ 0⊕B33, B# = B−111 ⊕ 0⊕B#33.

(3.11)

Zato, (AB)# = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0 = B#A# = A#B# = (BA)#. �


Ako su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni i AB = BA, onda za (A,B)kazemo da je komutativan, grupno invertibilan par operatora.

Teorema 3.9. Neka su A,B,C,D ∈ B(H), (A,B) i (C,D) komutativni,grupno invertibilni parovi operatora. Za proizvoljan operator X ∈ B(H),

AXC = BXD ⇔ A#XC# = B#XD#.

Dokaz. Za bilo koje grupno invertibilne operatore A i C vazi

(A#)#X(C#)

#= AXC.

Dakle, treba dokazati samo potreban uslov, kako bi dokaz bio potpun.(A,B) je komutativan, grupno invertibilan par operatora i, na osnovu (3.11),vazi

A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, A# = A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0,

B = B11 ⊕ 0⊕B33, B# = B−111 ⊕ 0⊕B#33,

(3.12)

pri cemu je A11B11 = B11A11. Slicno, kako je (C,D) takodje komutativan,grupno invertibilan par operatora, onda je

C = C11 ⊕ C22 ⊕ 0, C# = C−111 ⊕ C−122 ⊕ 0,

D = D11 ⊕ 0⊕D33, D# = D−111 ⊕ 0⊕D#33,

(3.13)

pri cemu je C11D11 = D11C11. Neka je X = (Xij)1≤i,j≤3. Na osnovu AXC =BXD, uocimoA11 0 0

0 A22 00 0 0

X11 X12 X13

X21 X22 X23

X31 X32 X33

C11 0 00 C22 00 0 0

=

B11 0 00 0 00 0 B33

X11 X12 X13

X21 X22 X23

X31 X32 X33

D11 0 00 0 00 0 D33

.

Odatle jeA11X11C11 A11X12C22 0A22X21C11 A22X22C22 0

0 0 0

=

B11X11D11 0 B11X13D33

0 0 0B33X31D11 0 B33X33D33

.(3.14)


Uporedujuci dve strane prethodne jednacine i koristeci invertibilnost ikomutativnost odgovarajucih operatora, sledi da je X12 = 0, X21 = 0,X22 = 0 i

A11X11C11 = B11X11D11,

X13D33 = 0,

B33X31 = 0,

B33X33D33 = 0.

⇒

A−111X11C

−111 = B−111 X11D

−111 ,

X13D#33 = 0,

B#33X31 = 0,

B#33X33D

#33 = 0.

(3.15)

Na osnovu podataka iz (3.12)-(3.15), vazi A#XC# = B#XD#. �

Posledica 3.2. Neka su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni. Za proizvoljanoperator X ∈ B(H), vazi sledece:

(i) AX = XB ⇔ A#X = XB#;

(ii) AXB = X ⇔ A#XB# = X.

Literatura

[1] A. Ben-Israel, T.N.E. Greville - Generalized Inverses: Theory andApplications, 2nd edition, Springer Verlag, New York, 2003.

[2] R.H. Bouldin - The pseudo-inverse of a product, SIAM J. Appl.Math. 25:489-495, 1973.

[3] S.L. Campbell, C.D. Meyer - Generalized Inverses of Linear Trand-formations, Dover Publication, 1991.

[4] C. Cao, J. Li - Group inverses for matrices over a Bezout domain,Electron. J. Linear Algebra, 18:600-612, 2009.

[5] R.E. Cline - An application of representation of a matrix, MRCTechnical Report no. 592, 1965.

[6] C.Y. Deng - On the group invertibility of operators, Electronic Jour-nal of Linear Algebra 31:492-510, 2016.

[7] C.Y. Deng - Reverse order law for the group inverses, J. Math.Anal. Appl. 382:663-671, 2011.

[8] D.S. Djordjevic, V. Rakocevic - Lectures on generalized inverses,Faculty of Sciences and Mathematics, University of Nis, 2008.

[9] T.N.E. Greville - Note on the generalized inverse od a matrix prod-uct, SIAM Rev. 8:518-521, 1966.

[10] C.W. Groetsch - Generalized Inverses of Linear Operators, MarcelDekker, Inc., New York, 1977.

[11] R.E. Hartwig, J.M. Shoaf - Group inverses and Drazin inverses ofbidiagonal and triangular Toeplitz matrices, J. Austral. Math. Soc.,24(A):10-34, 1977.

52

LITERATURA 53

[12] S. Izumino - The product of operators with closed range and anextension of the reverse order law, Tohoku Math. J. 34:43-52, 1982.

[13] D. Mosic, D.S. Djordjevic, J.J. Koliha - EP elements in rings, Lin-ear Algebra Appl. 431:527 535, 2009.

[14] V. Rakocevic - Funkcionalna analiza, Naucna knjiga, Beograd,1994.

[15] A.E. Taylor, D.C. Lay - Introduction to Functional Analysis, Secondedition, John Wiley & Sons, New York, 1980.

[16] G. Wang, Y. Wei, S. Qiao - Generalized Inverses: Theory and Com-putations, Science Press, 2006.

[17] Y. Wei, S. Qiao - The representation and approximation of theDrazin inverse of a linear operator in Hilbert space, Appl. Math.Comput. 138:77-89, 2003.

Biografija

Ivana Stamenkovic je rodena 15.01.1994. godine u Nisu. Osnovnuskolu ”Car Konstantin” u Nisu zavrsila je 2008. godine kao nosilac Vukovediplome. Iste godine upisala je Gimnaziju ”Bora Stankovic” u Nisu, prirodno-matematicki smer, koju je zavrsila 2012. godine, takode kao nosilac Vukovediplome.

Osnovne akademske studije matematike na Prirodno-matematickom fakul-tetu u Nisu upisala je skolske 2012/2013. godine, a zavrsila ih je skolske2015/2016. godine. Iste godine upisala je master akademske studije matem-atike na Prirodno-matematickom fakultetu u Nisu, studijski program Opstamatematika, koje je zavrsila 2018. godine. Bila je korisnik stipendije ”Dositeja”.

54