Greske mjerenja

GREŠKE MJERNIH SREDSTAVA Greška pokazivanja mjernog sredstva predstavlja razliku izmedju pokazivanja mjernog sredstva i prave vrijednosti mjerene veličine U pokazivanje mjernog sredstva ulaze različite komponente greške koje se grubo mogu klasificirati kao SISTEMATSKE i SLUČAJNE greške mjernog sredstva SISTEMATSKE greške mjernog sredstva su one komponente greške pokazivanja koje imaju tendenciju iste veličine i znaka za date uvjete korištenja Zbog istog algebarskog znaka one imaju tendenciju da se akumuliraju pa zato imaju i dodatni naziv KUMULATIVNE greške SISTEMATSKE GREŠKE nastaju zbog 1 Unutrašnjih grešaka mjernog sredstva koje su prouzrokovane jednostavnim

projektom i skromnom izradom mjernog sredstva kao što je nepažljivo graduiranje skale nejednakost ravnotežnih grana npr mjernog mosta neregularna zategnutost opruga i td Ovaj tip greške se izbjegava pravilnim izborom mjernog sredstva za dati mjerni zadatak primjenom odgovarajuće korekcije poslije odredjivanja vrijednosti greške i kalibracijom mjernog sredstva

2 Greške sredine koje nastaju u mjernom sredstvu kao posledica utjecaja promjene uvjeta sredine kao što su promjene temperature atmosferskog pritiska vlažnosti elektromagnetnog polja napona napajanja itd

3 Grešaka opterećenja koje nastaju kao posledica postupka mjerenja tj priključka mjernog sredstva na mrežu

SLUČAJNE GREŠKE imaju 1 Slučajni karakter promjene bez mogućnosti procjenjivanja veličine ili znaka 2 efekat medjusobne kompenzacije 3 nedostatak slaganja pokazivanja mjernog sredstva pri ponavljanoj primjeni istog

ulaznog signala Uloga slučajnih grešaka mjernog sredstva posebno je važna kod preciznih mjerenja kada je neophodna njihova statička analiza SLUČAJNE GREŠKE

1 neusaglašenost pokazivanja prilikom tačnih mjerenja malih vrijednosti veličina kada je red mjerene veličine jednak redu veličine slučajnih grešaka mjernog sredstva

2 posledica velikog razlaganja i velike osjetljivosti mjernog sredstva

3 prisustvo odredjenih sistematskih nedostataka mjernog sredstva kao što su prevelike dimenzione tolerancije u spojnim dijelovima i ležištima te prisustvo trenja i td

4 slučajna greška je ili pozitivna ili negativna 5 slučajne greške se mogu eliminirati obavljajući ista mjerenja više puta i

prikazivanjem rezultata kao neke srednje vrijednosti nekim statističkim metodama 6 slučajno promjenljivi efekti sredine koji prouzrokuju nekontrolisan i nepredvidiv

utjecaj na pokazivanje mjernog sredstva ( npr fluktuacija napona napajanja i td) APSOLUTNE GREŠKE Ako je xi izmjerena vrijednost a xs stvarna vrijednost neke fizikalne veličine onda se razlika

∆s = x i ndash xs

definiše kao stvarna apsolutna greška

Pošto se u pravilu ne raspolaže sa stvarnom vrijednošću uzima se vrijednost za koju se može predpostaviti da je najbliža stvarnoj i koja se zove tačna vrijednost (xt)

∆ t = x i ndash x t Umjesto xt može se uzeti srednja vrijednost (x s r) te se dobije apsolutna greška srednje vrijednosti

∆x = x i ndash xsr RELATIVNE GREŠKE Relativne greške praktičnije je koristiti u odnosu na apsolutne radi toga što se dobiju tačniji podaci o mjerenoj veličini Na primjer ako je apsolutna greška ∆x=01(V) ova greška nije ista ako se mjeri napon 10(V) ili 100(V) Relativna greška se definiše kao odnos apsolutne greške i stvarne (tačne) vrijednosti

i t

rt

x xg

x

minus=

ili

i sr

rsr

x xg

x

minus=

Relativna greška mjernog uređaja je

i t

r

x xg

DV

minus=

gdje je DV dogovorena vrijednost Ako je nula na početku skale dogovorena vrijednost je mjerni opseg

i t

r

x xg

MO

minus=

Korekcija k je popravak odnosno negativna vrijednost apsolutne greške

k = ndash ∆ t Stvarne vrijednosti napona leže unutar granice U i plusmn01(V)

U i ndash01(V) le Us le U i +01(V) Na primjer vrijednost naznačena na otporniku je RN=10(Ω) Zadate su sigurne granice greške G12=plusmn01(Ω) Stvarna vrijednost otpora leži u granicama

10 ndash 01(Ω) le R s le 10 + 01(Ω)

99(Ω) le R s le 101(Ω)

Stvarna odnosno tačna vrijednost mora biti u intervalu

x i ndash G2 le xs le x i + G1 Sigurne granice greške obuhvataju sve slučajne i sistematske greške Statističke granice greške detaljnije će biti objašnjene u dijelu koji tretira slučajne greške Klasa tačnosti mjerog instrumena predstavlja granice greške u procentima svedene na mjerni opseg i definise se kao

K MOG

100

sdot= plusmn

gdje je K ndash klasa tačnosti MO ndash mjerni opseg Za električne mjerne instrumente postoje sljedeće klase

005 01 02 05 1 15 25 5 Ne preporučuje se korištenje instrumenta u prvoj trećini skale Primjer za utvrdjivanje karakteristike mjernog instrumenta Neka je voltmetar klase 05 i skala od 0 do 150 V Mjeri se napon od 75 V Treba odrediti najveće greške

VMO

Kx

KGnd 750100

15050

100100max plusmn=plusmn=plusmn=plusmn=

110075

750100()75 plusmn=sdotplusmn=sdotplusmn=

x

GG nd

V

REZULTATI I GREŠKE MJERENJA Rezultat mjerenja se ne može odvojiti od greške mjerenja Da bi se odredila mjerna veličina treba mjeriti više puta i zatim procijeniti kolika je tačna ili prava vrijednost posmatrane veličine Rezultat mjerenja ima značaj u inženjerskoj praksi samo ako je prikazan zajedno sa mjernom nesigurnošću tj procjenom potencijalne greške Rezultat mjerenja je vrijednost mjerene veličine dobijene mjerenjem Pri ovome jasno treba da se kako je dobijen rezultat pokazivanje instrumenta nekorigovani rezultat korigovani rezultat srednja vrijednost dobijena na osnovi više mjerenja i td Pokazivanje mjernog instrumenta definira se kao bdquovrijednost mjerene veličine koju daje mjerno sredstvoldquo i izražava se u mjernim jedinicama veličine bez obzira koja je podjela na skali instrumenta Rezultati mjerenja se mogu prikazati u numeričkom obliku tabelarno i grafički U slučaju numeričkog prikazivanja rezultata bez navedenih podataka o mjernoj nesigurnosti neophodno je znati broj decimalnih mjesta Greška mjerenja ne smije da bude veća od jedinice poslednjeg decimalnog mjesta (npr ako je struja 323 A mjerna nesigurnost je manja od 001 A ili ako je napon U=400V mjerna nesigurnost je 1V ili ako je I=2000A mjerna nesigurnost je 0001A

ZNAČAJNE CIFRE U MJERENJIMA Sve cifre u rezultatu su sigurne ako su dobijene pokazivanjem instrumenta Cifre koje su dobijene procjenom nazivaju se nesigurne cifre Nula u nizu nije značajna cifra pa tako 000333 ima 3 značajne cifre 33 000 ima 2 značajne cifre Nula može da bude značajna cifra 33 000 (tačna) ili 66006 imaju po 5 značajnih cifara Ako se pri proračunu dobije veći broj cifara u odnosu na broj sigurnih cifara rezultat treba zaokružiti na vrijednost odredjenu brojem sigurnih cifara uz najviše jednu nesigurnu cifru KOREKCIJE REZULTATA MJERENJA Korigiranje rezultata mjerenja = metrološka aktivnost kojom se poslije mjerenja korigira rezultat u skladu sa unaprijed posebnom funkcijom da bi se eliminirale sistematske greške ili neke druge pojave koje se smatraju smetnjom Nekorigovani rezultat je rezultat mjerenja prije korekcije za predpostavljenu sistematsku grešku Korigovani rezultat je rezultat mjerenja dobijen poslije korekcije nekorigovanog rezultata uzimajuči u obzir predpostavljene sistematske greške STATISTIČKA OBRADA REZULTATA MJERENJA Ponavljajući mjerenja jedne iste veličine pod istim uvjetima koristeći pri tome isto mjerno sredstvo sa dovoljno velikom rezolucijom dobijaju se različite vrijednosti rezultata Pod predpostavkom da su sistematske greške eliminirane aritmetička sredina rezultata mjerenja može se smatrati pravom vrijednošću mjerene veličine Aritmetička sredina je

Zadatak statističke obrade rezultata je procjena prave vrijednosti mjerene veličine i procjene mjerne nesigurnosti korigovanog rezultata mjerenja Procjena prave vrijednosti mjerene veličine uključuje

1 odredjivanje najvjerovatnije vrijednosti mjerene veličine za koju se prikazuje da je jednaka aritmetičkoj sredini rezultata mjerenja

2 korigovanje ove vrijednosti za poznate sistematske greške mjerenja Procjena mjerne nesigurnosti uključuje odredjivanje njene slučajne komponente na osnovu ponovljenih mjerenja i sistematske komponente kao posledice nepoznatih (neisključenih) sistematskih grešaka

Apsolutna greška 0xxx ii minus=∆

Suma apsolutnih grešaka 011

)( xnxxn

i

i

n

i

i sdotminus=∆ sumsum==

Prava vrijednost sumsum==

∆minus=n

i

i

n

i

i xn

xn

x11

0

11

Aritmetička sredina

apsolutnih grešaka sum=

∆=n

i

ixn 1

1ε

Aritmetička sredina mjerenja sum=

=n

i

ixn

x1

1

Obzirom da je vjerovatnoća pojavljivanja pozitivnih i negativnih apsolutnih grešaka (ako su sistematske greške eliminirane) podjednaka može se pisati

εplusmn= xx0

1 Pri velikom broju ponovljenih mjerenja jednako vjerovatno nastaju slučajne greške

jednakih vrijednosti ali suprotnog znaka 2 Vjerovatnoća pojavljivanja malih grešaka veća je od vjerovatnoće pojavljivanja

velikih grešaka Na osnovi konstatacije 1 može se zaključiti da je lim ε=0 što znači da je pri velikom broju ponovljenih mjerenja aritmetička sredina rezultata mjerenja jednaka pravoj vrijednosti mjerene veličine U teoriji grešaka predhodna konstatacija veže se za Gausovu metodu najmanjih kvadrata odnosno za odredjivanje veličine A tako da slijedeći izraz ima minimalnu vrijednost

2

1

)()( AxAfn

i

i minus=prime sum=

Pri ovome je kvadrat 2)( Axi minus odstupanja i-tog rezultata mjerenja od veličine A koja

sa najvećom vjerovatnoćom predstavlja najbolju aproksimaciju prave vrijednosti mjerene veličine U praksi se često umjesto termina aritmetička sredina koristi termin bdquosrednja vrijednostldquo (mean) Ako se zna da je ukupan broj mjerenja N a da se kod analiziranja uzima uzorak (skup) od n članova može se reći da je aritmetička sredina za ukupan broj od N mjerenja

sum=

=N

i

ixN1

1micro

n mjerenja treba da bude reprezentativan uzorak a to treba da znači da uzorkovanje treba da bude slučajno Veličina σ2 se naziva varijansa ili dispersija i jednaka je aritmetičkoj sredini kvadrata apsolutnih grešaka

)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ

Standardna devijacija ( sdandardno odstupanje ili srednja kvadratna greška) je odstupanje koje bi se javilo u svih n mjerenja čija je veličina takva da je kvadrat ukupne greške jednak ukupnom zbiru kvadrata grešaka mjerenja

sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ

U praksi kao što je rečeno ne zna se vrijednost mjerene veličine već se može odrediti samo najvjerovatnija vrijednost odnosno srednja vrijednost uzorka Tako se može pisati xxii minus=ν

Varijansa

Srednja kvadratna greška

Standardna devijacija cijelog skupa

Standardna devijacija aritmetičke sredine

Prava vrijednost se nalazi u intervalu srednje vrijednosti plusmnstandardna devijacija aritmetičke sredine

Interval odredjen predhodnom jednačinom naziva se bdquoconfidence intervalldquo ili interval pouzdanosti Ako greške ispunjavaju navedene Gausove uvjete (slučajni procesi) vjerovatnoća da se mjereni rezultat nadje u intervalu pouzdanosti je 67 Ako se posmatra skup diskretnih vrijednosti (mjerenja) na horizontalnu osu nanose se izmjerene vrijednosti a na vertikalnu broj mjerenja pri kojima je izmjerena ta vrijednost Broj ponavljanja pojedine vrijednosti naziva se učestanost (frekvencija) rezultata mjerenja (fi)

Na ordinati se mogu nanositi i relativne učestanosti rezultata mjerenja (fin) umjesto učestanosti mjerenja Koristeći učestanost rezultata mjerenja može se pisati da je aritmetička sredina mjerenja

sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1

Pri mjerenju kontinualne veličine skup mjerenja čini diskretni skup koji se razlikuje za diferencijalno male priraštaje Histogram je grafički prikaz rezultata mjerenja u kome su na apscisi dati rezultati mjerenja unutar opsega mjerene veličine a na ordinati učestanost njihovih ponavljanja

Grupisanje rezultata u intervale histograma u odnosu na ukupan interval mjerenja R(x) =xmax-xmin gdje je xmax-najveći a xmin-najmanji rezultat Moraju se obuhvatiti sve izmjerene vrijednosti i svaki pojedini rezultat mora pripadati samo po jednom intervalu

Broj intervala histograma je 1+asymp nm Pri crtanju dijagrama na apscisu se nanose intervali histograma a na ordinatu učestanost intervala relativna učestanost intervala ili procentualna učestanost intervala Učestanost intervala je broj mjerenja koja pripadaju intervalu histograma

PARAMETRI VJEROVATNOĆE REZULTATA MJERENJA Osnovni parametri koji karakterišu vjerovatnoću rezultata mjerenja su -gustina raspodjele vjerovatnoće mjerenja f(x) -funkcija raspodjele vjerovatnoće rezultata mjerenja F(x) Ako se posmatra proces mjerenja sa velikim brojem ponavljanja (nrarrinfin) tako da se zbog broja mjerenja može smanjiti širina intervala histograma tako da postaje ∆xrarr0 Obvojnica histograma je u ovom slučaju neprekidna funkcija i označava se sa f(x) Ova nenegativna realna i neprekidna funkcija definirana je za svaki prirodan broj x i naziva se gustina raspodjele vjerovatnoće mjerenjaOva se funkcija matematski definira kao

kao funkciju raspodjele vjerovatnoće

Normalna raspodjela greške se specificira sa dva parametra prosječnom vrijednošću i varijansom Kada je prosječna vrijednost

nula a varijansa σσσσ2 onda je

8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ

Ova funkcija zadovoljava tri uslova

(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin

=int (prosječna vrijednost je 0)

(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin

= σint (varijansa je σ2)

Najvažnije osobine normalne raspodjele su

1 Gausova funkcija gustine raspodjele je pozitivna i neprekidna za svaku realnu vrijednost promjenljive x

2 Strmina zvonaste Gausove krive zavisi tako što se sa smanjivanjem standardne devijacije povećava strmina

3 Zvonasta kriva je osno simetrična u odnosu na vertikalu kroz maksimum

4 Površina ispod krive je jednaka 1

5 Vjerovatnoća da se rezultat mjerenja nadje u intervalu (x1x2) je

6 Funkcija raspodjele je

rarr

Standardna devijacija indirektno mjerene veličine Ako se sa si označi standardna devijacija veličine xi onda je standardna devijacija indirektno mjerene veličine y jednaka

2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri

1 Witstonovim mostom izvršeno je 5 mjerenja jednog otpora pod istim

okolnostima Dobijene su vrijednosti 1483 1487 1482 1485 i 1480 Ω Kolika je

najvjerovatnija vrijednost mjerenog otpora te standardno odstupanje pojedinačnog

mjerenja s i standardno odstupanje aritmetičke sredine X

s sr

Najvjerovatnija vrijednost je aritmetička sredina svih pojedinačnih mjerenja prema kriterijumu minimalne sume kvadrata odstupanja

Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R

i Ri (Ω) (Ri-Rsr) (Ω) (Ri-Rsr)2 (Ω2)

1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292

2 Pojedinačni rezultati nekog mjerenja dati su u stupcu 2 u slijedećoj tabeli (A)

Koliki su aritmetička sredina standardno odstupanje i područje pouzdanosti

aritmetičke sredine za vjerovatnoću 95 (B) Za iste podatke odrediti prikladan

broj mjerenja i načiniti obradu mjerenja pomoću njih

A)

i Xi (Xi-Xsr) (Xi-Xsr)2

1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s

Metod i priroda mjerenja nisu poznati pa će se upotrijebiti Studentova t-raspodjela odakle za n=20 i P=95 rArr t=21

Područje pouzdanosti pri željenoj vjerovatnoći dato je sa n

tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn

B) Neka se napravi 7 grupa u rasponu od 1001 do 1077 pa će i (razlika od lijevog ruba jedne do lijevog ruba druge susjedne grupe) iznositi 11 bdquoUdaljenostldquo grupe (intervala) od proizvoljno odabrane nulte grupe označava se sa d Sredina nulte grupe je X0 i ona iznosi X0=(1034+1044)2 =1039

i=11 Broj članova f d f d f d2

1001-1011 I 1 -3 -3 9 1012-1022 II 2 -2 -4 8 1023-1033 III 3 -1 -3 3 1034-1044 IIII 4 0 0 0 1045-1055 IIIII 5 1 5 5 1056-1066 III 3 2 6 12 1067-1077 II 2 3 6 18

Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2

=minussdot=minus=sumsum

sumsum

f

fd

f

fdis

3 Kroz duži vremenski period obavljana su mjerenja gubitaka u različitim

uzorcima trafo lima iste vrste Gubici u svakom uzorku su mjereni 2 puta istim

uredjajem i pod jednakim okolnostima Podaci su (953 i 946 W) (931 i 935 W)

(974 i 979W) ( 948 i 942 W) (951 i 958 W) (958 i 953 W)Kolika je mjerna

nesigurnost (P=95) upotrijebljenog mjernog postupka

j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001

Radi se o k ponavljanja istog pokusa označenih sa j=123k svaki puta sa nj pojedinačnih mjerenja

W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ

Mjerna nesigurnost metode ne smije ovisiti o broju mjerenja pa se obično izražava granicama ovisnim o standardnom odstupanju Vjerovatnoći P=95 odgovaraju granice plusmn196 σ Prema tome mjerna nesigurnost metode pri P=95 iznosi plusmn196x0041 W =plusmn008 W 4 Iz ukupno 10 000 otpornika nominalnog iznosa 1000Ω odabran je uzorak od

200 otpornika čije je mjerenje dalo srednju vrijednost 10010 Ω uz standardno

odstupanje od 20Ω Odrediti na temelju ovih podataka koliko otpornika u cijelom

skupu odstupa od nazivnog iznosa za više od plusmn05

Rn=1000Ω nuk=10 000 nuz=200 Rsruz =10010Ω suz=20Ω

Rn05=5Ω prema tome treba odrediti koliko će otpornika biti izvan granica 995-1005Ω Iz uzorka Rsr uz plusmns daje granice 999-1003Ω Rsr uz plusmns daje granice 997-1005Ω Rsr uz plusmns daje granice 995-1007Ω To će dakle biti otpornici iznad +2s i ispod -3s- Prema tablicama (Gausova razdioba) izvan plusmn2s nalazi se 455 a iznad +2s je polovica od toga dakle 2275 Izvan plusmn3 nalazi se 027 a ispod -3s polovica dakle 0135

Ukupno će izvan željenog područja biti 2275 +0135 =241 svih otpornika ili 241 komada 5 Napon izvora izmjeren je 100 puta u istim uslovima voltmetrom dometa 12 V i

klase tačnosti 02 Srednja vrijednost svih rezultata je bila 975 V a standardno

odstupanje pojedine vrijednosti 14 mVKolika je mjerna nesigernost srednje

vrijednosti uz statističku sigurnost 683 Stvarna vrijednost mjerene veličine leži sa velikom vjerovatnoćom u bdquopojasu tolerancijeldquo oko mjernog rezultata- širina tog pojasa definirana je mjernom nesigurnošću koja se označava sa u(X) Mjerna nesigurnost sadrži dvije komponente -standardna nesigurnost tipa A (označava se sa uA) i -mjerna nesigurnost uB Standardna nesigurnost tipa A je komponenta mjerne nesigurnosti koja prizilazi iz statističke raspodjele mjernih rezultata- može se iskazati eksperimentalnom standardnom devijacijom Dobija se statističkom analizom rezultata uzastopnih mjerenja i načelno odgovara slučajnim pogreškama u klasičnom pristupu Ako je nge10 standardnom devijacijom s dobro se procjenjuje standardna devijacija σ beskonačnog skupa (σ~s) pa važi

n

su A =

Kod prebrojivog skupa rezultata (nlt10) sa nepoznatim rasipanjem procjena σ s pomoću standardne nesigurnosti odredjuje se prema Studentovoj t-raspodjeli

n

stu A sdot=

Vrijednosti t za različite nivoe pouzdanosti su

n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254

Standardna nesigurnost tipa B predstavlja komponentu koja proizilazi iz očekivane vjerovatnoće i podataka koji se mogu pronaći objasniti i kontrolirati Načelno odgovara sistematskim greškama u klasičnom pristupu Za veličine sa jednolikom vjerovatnosnom raspodjelom u intervalu širine 2∆X u čijem centru leži rezultat mjerenja X veličine X( sve vrijednosti te veličine leže u okolini plusmn∆X oko rezultata mjerenja) standardna

devijacija σ osnovnog skupa je ∆X 3 Standardna nesigurnost uB je

Bu = 3maxX∆

=σ

Za statističku sigurnost od 683 važi

22BA uuu +=

gdje je

uAstandardno odstupanje srednje vrijednosti a uB procijenjen iznos sistematskih grešaka

U slučaju da se radi o granicama pogrešaka mjernog instrumenta vrijedi 3

GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV

6 Pri umjeravanju ampermetra u 6 tačaka na opsegu 6A redom su utvrdjene stvarne vrijednosti 102A 198A 303A 404A 501A 599AKoja klasa tačnosti zadovoljava instrument Svaki se instrument umjerava na vrhu skale i u preostalim tačkama ravnomjerno rasporedjenim niz skalu Za navedene stvarne vrijednosti očitanja iznosile su redom 1A2A3A4A5A i 6AApsolutne vrijednosti pogrešaka su redom 20mA20mA30mA 40mA10mA i 10mANajveća pogreška je 40mA što prema mjernom opsegu od 6A iznosi 0046 =067 Razred ili klasa tačnosti može biti 01 02 05 1 15 25 5 Ovaj ampermetar može biti klase tačnosti 1 7 Koliko iznose postotne statističke granice pogrešaka kapaciteta pločastog

kondenzatora ako su granice pogrešaka razmaka d izmedju elektroda plusmn008

promjera D kružnih elektroda plusmn005 a dielektrične konstante zraka plusmn002

Kapacitet pločastog kondenzatora je d

SC r 0εε

= S je površina elektroda i ako su

kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=

Statističke granice pogrešaka složene veličine računaju se kao

sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2

sdot+plusmn=++plusmn= εGGGG DdC

8 Otpornici od 22Ω imaju standardnu devijaciju 05 a otpornici od 82 Ω imaju

standardnu devijaciju 1 Koliku postotnu standardnu devijaciju ima paralelna

kombinacija ta dva otpora

21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ

9 Otpor nazivne vrijednosti 1Ω opteretiv do 1W treba izmjeriti UI metodom Na

raspolaganju su slijedeći mjerni instrumenti a) ampermetar 2A kl 02 b)

ampermetar 1A kl05 c) voltmetar 15 V kl02 d) voltmetar 1V kl05 Koje se

najuže sigurne postotne granice pogrešaka mogu dobiti Ako je PRmax =1W onda uz Rn=1Ω znači da maksimalan napon koji se smije dovesti na otpornik iznosi U=1V odnosno maksimalna struja koja otpornikom smije protjecati iznosi I=1AKako je relativna pogreška instrumenta najmanja pri najvećem otklonu to se i napon i struja postavljaju upravo na te vrijednosti Granice pogrešaka instrumenata su

|GAa|=022A=4 mA |GAb|=051A=5 mA |GVc|=0215V=3 mV |GVd|=051V=5 mV Pošto su procentualne granice pogrešaka mjerenja napona odnosno struje jednake

|GU|=|GV|U i |GI|=|GA|I to slijedi

|GVc|=(3 mV)(1V) =03 |GVd|=(5 mV)(1 V) =05 |GIa| =(4 mA)(1 A) =04 |GIb| =(5 mA)(1A) ==5

I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=

sdot+sdotplusmn=rArr

Dakle RG biće minimalan kada su obje granice pogrešaka GU i GI minimalne a to u

ovom slučaju vrijedi ako se odaberu ampermetar pod a) i voltmetar pod c) Tada će biti

RG =plusmn07

10 Snaga tereta poznatog aktivnog otpora odredjena je mjerenjem njegovog

napona Ako su granice pogrešaka izmjerenog napona 03 a otpora 02 kolike

su statističke granice pogrešaka tako odredjene snage

R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2

2 +sdot=+=sdot+sdot= RURUP GGG

U

R

R

UG

U

R

R

UG

11 Voltmetar zanemarive pogreške mjeri napon izvora 10 puta sa rezultatima

501 502 499 500 501 502 502 501 499 502 V Izračunati mjernu nesigurnost izmjerenog napona i iskazati mjerni rezultat

Rezultat mjerenja VUn

Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=

Standardna nesigurnost tipa A

3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je

VuUU U )00380015( plusmn=plusmn=

12 Ampermetar zanemarive pogreške mjeri struju 5 puta sa rezultatima 1006

1003 1001 1000 1005AIzračunati nesigurnost i iskazati mjerni rezultat

Rezultat mjerenja 00311 5

1

== sum iIn

I A

Standardna nesigurnost tipa A je n

stuu I

III sdot=rArrne σ

Za n=5 faktor t=115 (uz P=683) Nesigurnost struje iznosi

3

5

1

2 10141151)()1(

1 minussdotsdot=minusminus

=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA

Iskaz mjernog rezultata (uz P=683)

)001300031( plusmn=plusmn= IuII A

3 prisustvo odredjenih sistematskih nedostataka mjernog sredstva kao što su prevelike dimenzione tolerancije u spojnim dijelovima i ležištima te prisustvo trenja i td

4 slučajna greška je ili pozitivna ili negativna 5 slučajne greške se mogu eliminirati obavljajući ista mjerenja više puta i

prikazivanjem rezultata kao neke srednje vrijednosti nekim statističkim metodama 6 slučajno promjenljivi efekti sredine koji prouzrokuju nekontrolisan i nepredvidiv

utjecaj na pokazivanje mjernog sredstva ( npr fluktuacija napona napajanja i td) APSOLUTNE GREŠKE Ako je xi izmjerena vrijednost a xs stvarna vrijednost neke fizikalne veličine onda se razlika

∆s = x i ndash xs

definiše kao stvarna apsolutna greška

Pošto se u pravilu ne raspolaže sa stvarnom vrijednošću uzima se vrijednost za koju se može predpostaviti da je najbliža stvarnoj i koja se zove tačna vrijednost (xt)

∆ t = x i ndash x t Umjesto xt može se uzeti srednja vrijednost (x s r) te se dobije apsolutna greška srednje vrijednosti

∆x = x i ndash xsr RELATIVNE GREŠKE Relativne greške praktičnije je koristiti u odnosu na apsolutne radi toga što se dobiju tačniji podaci o mjerenoj veličini Na primjer ako je apsolutna greška ∆x=01(V) ova greška nije ista ako se mjeri napon 10(V) ili 100(V) Relativna greška se definiše kao odnos apsolutne greške i stvarne (tačne) vrijednosti

i t

rt

x xg

x

minus=

ili

i sr

rsr

x xg

x

minus=


i t

r

x xg

DV

minus=


i t

r

x xg

MO

minus=




10 ndash 01(Ω) le R s le 10 + 01(Ω)

99(Ω) le R s le 101(Ω)



K MOG

100

sdot= plusmn



VMO

Kx

KGnd 750100

15050


110075


x

GG nd

V








)( xnxxn

i

i

n

i



∆minus=n

i

i

n

i

i xn

xn

x11

0

11



∆=n

i

ixn 1

1ε


=n

i

ixn

x1

1


εplusmn= xx0




2

1

)()( AxAfn

i

i minus=prime sum=



sum=

=N

i

ixN1

1micro


)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ


sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ


Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



i sr

rsr

x xg

x

minus=


i t

r

x xg

DV

minus=


i t

r

x xg

MO

minus=




10 ndash 01(Ω) le R s le 10 + 01(Ω)

99(Ω) le R s le 101(Ω)



K MOG

100

sdot= plusmn



VMO

Kx

KGnd 750100

15050


110075


x

GG nd

V








)( xnxxn

i

i

n

i



∆minus=n

i

i

n

i

i xn

xn

x11

0

11



∆=n

i

ixn 1

1ε


=n

i

ixn

x1

1


εplusmn= xx0




2

1

)()( AxAfn

i

i minus=prime sum=



sum=

=N

i

ixN1

1micro


)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ


sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ


Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



K MOG

100

sdot= plusmn



VMO

Kx

KGnd 750100

15050


110075


x

GG nd

V








)( xnxxn

i

i

n

i



∆minus=n

i

i

n

i

i xn

xn

x11

0

11



∆=n

i

ixn 1

1ε


=n

i

ixn

x1

1


εplusmn= xx0




2

1

)()( AxAfn

i

i minus=prime sum=



sum=

=N

i

ixN1

1micro


)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ


sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ


Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA









)( xnxxn

i

i

n

i



∆minus=n

i

i

n

i

i xn

xn

x11

0

11



∆=n

i

ixn 1

1ε


=n

i

ixn

x1

1


εplusmn= xx0




2

1

)()( AxAfn

i

i minus=prime sum=



sum=

=N

i

ixN1

1micro


)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ


sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ


Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA





)( xnxxn

i

i

n

i



∆minus=n

i

i

n

i

i xn

xn

x11

0

11



∆=n

i

ixn 1

1ε


=n

i

ixn

x1

1


εplusmn= xx0




2

1

)()( AxAfn

i

i minus=prime sum=



sum=

=N

i

ixN1

1micro


)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ


sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ


Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA





sum=

=N

i

ixN1

1micro


)(

10

1

2xx

n

n

i

i minus= sum=

σ


sum=

∆=n

i

ixn 1

21σ


Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



Varijansa







sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA





sum=

=n

i

ii xfn

x1

1 mlen i

nfm

i

i =sum=1








8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA










8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA







8045 8075 8105 8135 8165 8195 Vrijednosti

mjerenja

Broj

mjerenja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



2

22

1 ef (e) exp( )

22= minus

σπσ


(i) f(e)ge0

(ii) ef (e)de 0

infin

minusinfin


(iii) 2 2e f (e)de

infin

minusinfin









rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



rarr


2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



2 2 2 2 2 2 2y 1 2 n

1 2 n

df df dfs ( ) s ( ) s ( ) s

dx dx dx= + + +

odnosno

2n2

y iii 1

dfs s

dx=

=

sum )

Primjeri





s sr


Ω== sum

=

414831

1

n

i

iRn

R Ω=minus

minus= sum

=

72)(1

1

1

2n

i

i RRn

s

Ω== 21n

ss

R


1 1483 -04 016 2 1487 36 1296 3 1482 -14 196 4 1485 16 256

n=5 1480 -34 1156 Σ 7417 292





A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA







A)


1 1044 00 000 2 1064 20 400 3 1044 00 000 4 1028 -16 256 5 1054 10 100 6 1004 -40 1600 7 1030 -14 196 8 1032 -12 144 9 1076 32 1024

10 1058 14 196 11 1034 -10 100 12 1038 -06 036 13 1052 08 064 14 1022 -22 484 15 1070 26 676 16 1062 18 324 17 1048 04 016 18 1048 04 016 19 1054 10 100

n=20 1018 -26 676 Σ 20880 6408

4104

20

20881

1

=== sum=

n

i

iXn

X

84119

0864)(

1

1

1

2 ==minusminus

= sum=

n

i

i XXn

s



tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA





tsX plusmn

pa se dobije

0864104

20

841124104 plusmn=

sdotplusmn




Σ 20 7 55

310420

71191030 =sdot+=+=

sumsum

f

fdiXX

781)20

7(

20

5511)( 22

2


sumsum

f

fd

f

fdis






j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



j i Xji (W)

jX (W) (Xji- jX )2 (W2)

1 1 953 9495 0001225 n1=2 946 0001225

2 1 931 9330 0000400 n2=2 935 0000400

3 1 974 9765 0000625 n3=2 979 0000625

4 1 948 9450 0000900 n4=2 942 0000900

5 1 951 9545 0001225 n5=2 958 0001225

k=6 1 958 9555 0000625 n6=2 953 0000625 Σ 001


W

kn

XX

sk

j

j

k

j

nj

i

jji

0410612

010

)(

)(

1

1 1

2

=minus

=

minus

minus

=asymp

sum

sumsum

=

= =σ











n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA







n

su A =


n

stu A sdot=


n 3 5 6 8 10 20 30 50 100 200 P=683 132 115 111 108 106 103 102 101 100 100 P=95 430 278 257 237 226 209 205 201 198 197 P=99 993 460 403 350 325 286 276 268 263 254



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



Bu = 3maxX∆

=σ


22BA uuu +=

gdje je



GuB = Iz

K=02 rArrG=0212 =24 mV

913)3

24()

100

14()

3()( 2222 =+=+=

G

n

su mV





SC r 0εε


kružne onda je d

DC

DS r

4)

2(

20 πεε

π =rArr=


sum= part

partplusmn=

n

i

i

i

y Gx

yG

1

2 )(

2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



2

20

4d

D

d

C r πεεminus=

part

part d

D

D

C r

20 πεε

=part

part d

DC

r 4

20 πε

ε=

part

part

)100

(16416

2

2

4202

2

220

22

4

420

2

CG

d

DG

d

DG

d

DG D

r

d

r

C sdot++plusmn= ε

εεεεε

2242

02

2

2

42022

420

2

2

2

220

222

420

2

2

4

420

2 100

16

16100

16

4100

16

16ε

εε

ε

εε

εε

εε

εεG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

D

d

d

DG

r

D

r

r

D

r

r

C ++plusmn=

2

2

22

2

22

2

2

1001004100ε

εGG

DG

dG

r

DdC +sdot

+plusmn=

05040804 222

2

2





21

213

RR

RRR

+= 2

21

22

221

21221

1

3

)()(

)(

RR

R

RR

RRRRR

R

R

+

minus=

+

+minus=

part

part

221

21

2

3

)(()

RR

R

R

R

+

minus==

part

part

3

222

21

212

1221

222

22

321

1

33

100)

)(()

)(()()(

RRR

R

RR

R

R

R

R

Rsdot

++

+=

part

part+

part

part= σσσσσ

21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



21

21

1205

21

2

2

2

21

21

221

21

2

1

21

21

221

22

3 )()(100)(

100)(

σσσσσRR

R

RR

R

RR

RR

RR

R

RR

RR

RR

R

++

+=

+

++

+

+=

450)12282

22()50

8222

82( 22

3 =sdot+

+sdot+

=σ








I

UR =

IU

R 1=

part

part 2

I

U

I

Rminus=

part

part

RG

I

UG

IG

I

RG

U

RG IUIUR

10012

sdot

+plusmn=

part

part+

part

partplusmn=

2

1001001

IUIUR GGGU

I

I

UG

U

I

IG +plusmn=




RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA





RG =plusmn07




R

UP

2

= R

U

U

P2=

part

part 2

2

R

U

R

Pminus=

part

part

rArrsdot+=

part

part+

part

part=

PG

R

UG

R

UG

R

PG

U

PG RURUP

1004 24

42

2

222

2030441001004 222

2

22

4

2

4

422

4

2

2


U

R

R

UG

U

R

R

UG




Ui

i 01500951 10

1

asymp== sum=


3

10

1

2 1083)()1(

1 minus

=

sdot=minussdotminus

=asymp sumi

i

U

UU UUnnn

su σ

Mjerni rezultat je





1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA






1

== sum iIn

I A


stuu I

III sdot=rArrne σ


3

5

1

2 10141151)()1(


=sdot= sum IInn

tn

stu i

I

I = 13 mA



Documents

Greske mjerenja