15. Granicne vrednosti nizova

Broj c je granicna vrednost (limes) niza {xn} ako za svako ε > 0 postoji n0 ∈ N takvo da je za n ≥ n0 |xn − c| < ε.

Teorema. Ako je niz monoton i ogranicen, on je konvergentan (ima granicu).

1. Izracunati limn→∞(1 + 12 )(1 + 1

22 )(1 + 124 ) . . . (1 + 1

22n ).

2. Odrediti limn→∞ xn, ako je xn = 13 + 2

32 + . . . + n3n .

3. Neka je |q| < 1 i (a) xn = 1 + 3q + 5q2 + . . . + (2n + 1)qn; (b) Dxn = 1 + 22q + . . . + (n + 1)2qn. Naci limn→∞ xn.

4. Niz {xn} odreden je sa x1 = a, x2 = b i xn+2 = xn+xn+12 za n ∈ N . Dokazati da on konvergira i naci mu granicu.

5. Ispitati konvergenciju niza datog sa a0 = 1 i an+1 = 11+an

za n ≥ 0.

6. (a) Dokazati da za svaki niz {xn} sa svojstvom 1 = x0 ≥ x1 ≥ . . . ≥ xn ≥ . . . postoji n takvo da je x20

x1+ x2

1x2

+ . . .+x2

n−1xn

≥ 3, 999.

(b) Naci niz sa tim svojstvom takav da za svako n vazi x20

x1+ x2

1x2

+ . . . + x2n−1xn

< 4.

7. *Niz realnih brojeva a0, a1, . . . je neopadajuci. Ako je bn =∑n

k=1(1−ak−1ak

) · 1√ak

, dokazati: (a) za svako n ∈ N je0 ≤ bn < 2; (b) za dato c takvo da 0 ≤ c < 2 postoji neopadajuci niz a0, a1, . . . takav da je bn > c za beskonacnomnogo vrednosti n ∈ N .

8. Neka je x1 =√

2 i xn+1 = (√

2)xn za n ∈ N . Odrediti limn→∞ xn.

9. DNiz {xn} zadat je sa: x1 = 1, x2 = 2 i xn+2 = x2n+1 − xn

2 za n ∈ N . Dokazite da je niz {xn} konvergentan i naditemu granicu.

10. Neka je a > 0, x1 > 0 i za n ∈ N (a) xn+1 = 12 (xn + a

xn); (b) Dxn+1 = 1

3 (2xn + ax2

n). Dokazati da je niz {xn}

konvergentan i naci mu granicu.

11. Niz {xn} dat je ovako: x1 = − 32 , xn+1 = x2

n−32 za n ≥ 1. (a) Dokazati da je niz {x2n} konvergentan. (b) Dokazati

da je niz {x2n+1} konvergentan. (c) Dokazati da je niz {xn} konvergentan i naci mu granicnu vrednost.

12. Niz {an} zadat je sa a1 = 1994 i an+1 = a2n

2banc+21 . Dokazati da je on konvergentan i naci mu granicu.

13. Neka je {xn} niz realnih brojeva takav da za sve n ∈ N vazi 0 < xn < 1 i xn+1(1 − xn) ≥ 14 . Dokazati da je

limn→∞ xn = 12 .

14. Naci limn→∞( 1√n2+1

+ 1√n2+2

+ . . . + 1√n2+n

).

15. Izracunati limn→∞1·3·...·(2n−1)2·4·...·(2n) .

16. U nizu pozitivnih realnih brojeva za svako n ∈ N vazi an+1 = an

2 ili an+1 =√

an. Moze li postojati limn→∞ an ∈(0, 1)?

17. Posmatrajmo niz xn = (1+√

2+√

3)n. Svaki clan tog niza moze se zapisati u obliku xn = qn +rn

√2+sn

√3+tn

√6,

gde su qn, rn, sn, tn celi brojevi. Naci granicne vrednosti limn→∞rn

qn, limn→∞

sn

qni limn→∞

tn

qn.

18. Dat je niz {an} za kojeg vazi limn→∞(an+1 − an

2 ) = 0. Dokazati da limn→∞ an = 0.

19. Ako su zadati a, b,∈ R+ takvi da za sve n ∈ N postoji trougao sa stranicama an, bn, cn, dokazati da su ti trouglovijednakokraki.

20. *Prostor je pokriven sa n pravih kruznih konusa (beskonacnih na jednu stranu) s uglovima pri vrhu ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn.Dokazati da je ϕ2

1 + ϕ22 + . . . + ϕ2

n ≥ 16.