Graficas en Coordenadas Rectangulares

8/16/2019 Graficas en Coordenadas Rectangulares

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Grafcas en coordenadas rectangulares

Un sistema de coordenadas rectangulares permite especifcar y localizarpuntos en un plano además de proporcionar de manera geométrica larepresentación de ecuaciones con dos variables así como de unciones engeneral la intercepción de los ejes X y Y orman planos o cuadrantes quepresentan propias características de ubicación de un par ordenado quepermiten en si ubicar la positiva del mismo

n general un punto ! cualquiera presenta coordenadas rectangularesrepresentadas por el eje X o abscisa y el eje Y llamado también ordenada"de este modo cada punto en un plano coordenado puede asociare#actamente un par de n$meros reales es necesario también identifcar alvalor de # como una variable independiente y al valor de y como unavariable dependiente%


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a. Interceptos

X&' Y&'

Un intercepto es el punto donde la gráfca interseca tanto en el eje #como en el eje y" por defnición los interceptos sonX&'

Y&'

Ceros realesUn cero real de una unción ( es cualquier valor de X para el cual)#*& ' en toda gráfca y en general el dominio de una unciónconsistía en todos los valores X que están incluidos en la gráfca y elrango constituye a todos los valores Y que están en la gráfca%

+,!-./0


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2x + y = 1. Dibuja la gráfica.

Al despejar se tiene:

12 +−= x y Donde la pendiente (m es !2 y el intercepto en y es

("# 1.

Halla el dominio de defnición de las siguientes unciones:

( ) 2

3

2a)

−

=

x

x y

2

1 b)

−

=

x

y

Solución:

( ) { }2a $ " $ Dominio $ x x − = → = → = −1


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( )b 2 " 2 Dominio 2# x x − > → > → = + ∞

jemplo

2

1a)

+

=

x y

Simetrías

#aminar el comportamiento grafco de una unción es importante a fn deobservar si una gráfca es simétrica al eje #" eje y u origen" además de queacilitara la gráfca de una unción

2% Una gráfca es simétrica con respecto al eje y si y solo si el parordenado )3X" Y* pertenece a la gráfca cuando )X" Y* está en ella%

4% Una gráfca es simétrica con respecto al eje X si y solo si )X"3Y*pertenece a la gráfca )X" Y* pertenece a ella%


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5% Una gráfca es simétrica con respecto al origen si y solo si )3X" 3Y*pertenece a la gráfca cuando )X" Y* pertenece también a la gráfca%


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Traslación y reexión de unciones

6oda grafca que se basa en la ubicación de puntos y en el uso de cualquiersimetría que e#ista pero esta no es necesariamente la estrategia $nica paragrafcar una unción" sin embargo como algunas unciones y grafcasaparecen con muc7a recuencia e#isten grafcas base que sirven depropósito especial para la grafcacion de una unción" de las principalestenemos0

8rafcas base

a% ()#* & X

b% ()#*& X94

c% ()#*& X95

d% ()#*& 2:X


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e% ()#*& ; X ;

% ()#*& )X*94

Al modificar una función mediante una manipulación algebraica la gráfica de la nueva

función puede obtenerse a partir de la gráfica base realizando una manipulación


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geométrica, esto significa que la función es desplazada o trasladada c unidades, es decir

la función sufre una transformación y se trasladara horizontal o verticalmente.

as principales transformaciones se resumen as!"

#cuación transformada1. $% f&'( ) c la gráfica se desplaza c unidades hacia arriba

2. $% f&'( * c la gráfica se desplaza c unidades hacia aba+o

. $%f&-c( se desplaza c unidades hacia la izquierda

/. $%f&'0c( se desplaza c unidades hacia la derecha

. $% 0f&'( se refle+a la función con respecto al e+e '

. $%f&0'( se refle+a con respecto al e+e $

3. $%f&'( c 4 1 la gráfica se e5pande verticalmente con respecto al e+e ' las c

unidades

6. $% cf. &'( c 7 1la grafica se comprime verticalmente con respecto al e+e 5 las c

unidades.

#+emplos"

estas !ara"olas y Sistemas de ecuaciones


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inclinacion denominada pendiente de la recta defnida por el cambio verticaly el cambio orizontal

(ormas de la pendiente

!en #$% &ormas

! cero


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232

2

32

4

4

5

5

A

A

B

-

X

Y

232

2

32

4

4

5

5

A

A

B

-

X

Y

Tabla de valores Gráfico

(plicaciones y unciones lineales

,uc7as situaciones antes de nivel de economía" administración ycarreras afnes pueden describirse utilizando rectas como niveles deproducción abricación de bienes demandas oertas entre otras" unade las principales aplicaciones que los consumidores demandaran"esta situación y en general es la demanda y la oerta%

X y (x, y)

2 2 (2, 2) 1 (1, )

! 4 (!, 4)"1 # ("1, #)


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C

!

@

!or lo general la" mayor proyección la cantidad demandada es menorcuando el precio baja la cantidad demandada aumenta" esta elaciónrepresenta a la demanda%

Dgual manera y por lo general cuando a mayor precio y unidad se

presenta mayor es la cantidad que los productores están dispuestos aproveer" cuando el precio disminuye también lo 7ace la cantidadsuministrada esta relación representa a la oerta%

Eentremos entonces la atención en las curvas de oerta y demandapor la acilidad que representa en análisis de proyecciones y estadosactuales de una situación económica sus relaciones grafcas estándadas por%

Eurva de demanda

Eurva de oerta


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.

C

!

&unciones cuadr)ticas

Una unción es cuadrática si y solo si )#* puede escribirse

en donde a" b y c pertenecen a los


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jemplos0

y = x2 % &x + $.


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jemplo 4%

/ea( ) 2 / , f x x x= − + −

%

Una representación tabular de esta unción es la siguiente0

n este caso las constantes son0 a = -1, b = 4, c = -3. sta parábola

abre 7acia abajo dado que1a = −I su vértice es el punto má#imo" cuya

coordenada x es0

( )

/ /2

2 2 1 2 x

bV

a

−= − = − = =

− −

n la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde

( ) ( ) ( )2

2 2 / 2 ,

/ 6 , 1

f = − + − =

= − + − =

!or lo que el vértice de la parábola es el punto ) 4" 2 *%

?l igual que en la recta" el término independiente indica el punto donde laparábola intersecta al eje y % n esta unción es el punto )'"35*%


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l dominio de esta unción es& , (− ∞ ∞

y el rango es& , 18− ∞

%

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