Problemas de Valores en la Frontera en Coordenadas Rectangulares

CAPÍTULO 13

Contenidos

• 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables• 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la

Frontera• 13.3 Ecuación de Calor• 13.4 Ecuación de Onda• 13.5 Ecuación de Laplace• 13.6 Problemas de Valores en la Frontera no

homogéneos• 13.7 Desarrollos en Series Ortogonales• 13.8 Series de Fourier con Dos Variables

13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables

• Ecuación Diferencial Lineal ParcialSe se establece que u denota la variable dependiente y x, y son variables independientes, la forma general de una ecuación diferencial lineal parcial de segundo orden se expresa emdiante

(1)

Cuando G(x, y) = 0, (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.

GFuyu

Exu

Dy

uC

yxu

Bx

uA

2

22

2

2

Separación de Variables

• Si suponemos que u = X(x)Y(y), entonces

",",',' 2

2

2

2

XYy

uYX

x

uXY

yu

YXxu

Ejemplo 1

Determine las soluciones producto de

SoluciónSea u = X(x)Y(y) y entonces

Introducimos una constante de separación real como −.

.42

2

yu

x

u

YY

XX

XYYX'

4"

,'4"

Ejemplo 1 (2)

Así que

Para los tres casos: = 0: X” = 0, Y’ = 0 (3) = −2 > 0, > 0

X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0 (4) = 2 > 0, > 0

X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0 (5)

(2) 0' ,04"

'4

"

YYXXYY

XX

Ejemplo 1 (3)Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) sonX = c1 + c2x y Y = c3. Así

(6)cuando A1 = c1c3 , B1 = c2c3. Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) sonX = c4 cosh 2x + c5 sinh 2x y ASí

(7)

donde A2 = c4c6, B2 = c5c6.

xBAcxccXYu 11321 )(

xeBxeAu

ecxcxcXYu

yy

y

2sinh2coshor

)2sinh2cosh(22

2

22

654

.

2

6yecY

Ejemplo 1 (4)

Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) sonX = c7 cos 2x + c8 sin 2x e Así

(8)

donde A3 = c7c9, B3 = c8c9.

.2

9yecY

xeBxeAu yy 2sin2cos22

33

Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial

parcial, entonces al combinación linealu = c1u1 + c2u2 + … + ckuk

donde las ci = 1, 2, …, k son constantes, también es una

solución.

TEOREMA 13.1Principio de Superposición

Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de segundo orden

donde A, B, C, D, E, y F son constantes reales, eshiperbólica si parabólica sielíptica si

DEFINICIÓN 13.1Clasificación de Ecuaciones

02

22

2

2

Fuyu

Exu

Dy

uC

yxu

Bx

uA

042 ACB042 ACB

042 ACB

Ejemplo 2

Clasifique la siguiente ecuación:

Solución (a)

0(c) (b) 3)( 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

u

x

u

y

u

x

uyu

x

ua

parabólicaACB

C,BAy

u

x

u

:04

;0,030;3

2

2

2

Ejemplo 2 (2)

elípticaACB

CBAy

u

x

uc

ahiperbólicACB

CBAy

u

x

ub

:04

;1,0,1;0 )(

:04

;1,0,10; )(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera• Introducción

Ecuaciones clásicas:

(1)

(2)

(3)

Se conocen como la ecuación unidimensional del calor, ecuación de onda unidimensional, y forma bidimensional de la ecuación de Laplace, respectivamente.

0,2

2

ktu

x

uk

2

2

2

22

t

u

x

ua

02

2

2

2

y

u

x

u

Observación:

• La ecuación de Laplace se abrevia como 2u = 0, donde

se llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres dimensiones el Laplaciano de u es

2

2

2

22

y

u

x

uu

2

2

2

2

2

22

z

u

y

u

x

uu

Problemas de Valores en la Frontera

• Resolver:

Sujeta a : (BC) (11)

(IC)

0,0,2

2

2

22

tLxt

u

x

ua

0,0),(,0),0( ttLutu

Lxxgtu

xfxut

0,)(,)()0,(

0

• y Resolver:

Sujeta a:

(BC) (12)

byaxy

u

x

u

0,0,02

2

2

2

axxfbxuxu

byxu

xu

axx

0,)(),(,0)0,(

0,0,00

13.3 Heat Equation

• IntroducciónLa ecuación de calor puede desribirse así:

(1)

(2)

(3)

,2

2

tu

x

uk

0,0 tLx

,0),0( tu 0,0),( ttLu

,)()0,( xfxu Lx 0

Solución de los PVF• Usando u(x, t) = X(x)T(t), y − como la constante de

separación:

(4)

(5)

(6)

kTT

XX

0 XX

0 TkT

• Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en u(0, t) = X(0)T(t) = 0 y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Luego obtenemos X(0) = X(L) = 0 y

(7)De las discusiones antriores obtenemos

,0)0( X 0)( LX,0 XX

(10) 0 ,sincos)(

(9) 0 ,sinhcosh)(

(8) 0 ,)(

221

221

21

xcxcxX

xcxcxX

xccxX

• Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo X(x) = 0. Aplicando la primera condición a(10) se obtiene c1 = 0. Por tanto X(x) = c2 sin x. La condición X(L) = 0 implica que

(11)Tenemos que sin L = 0 para c2 0 y = n/L, n = 1, 2, 3, … Los valores n = n

2 = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … y las soluciones correspondientes

(12)

0sin)( 2 LcLX

... 3, 2, ,1 ,sin)( 2 nxLn

cxX

son los valores propios y funciones propias, respectivamente. La solución general de (6) es

y por tanto

(13)

donde An = c2c3.

tLnkecT )/(3

222

xLn

eATtxXu tLnknn

sin)()( )/( 222

• Ahora usando las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), 0 < x < L, tenemos

(14)Por el principio de superposición la función

(15)debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces

1

sin)()0 ,(n

n xLn

Axfxu

xLn

Axfxu nn

sin)()0,(

1

)/(

1

sin),(222

n

tLnkn

nn x

Ln

eAutxu

• Se conoce como un desarrollo de semiintervalo para f en a en una serie seno. Si ponemos An = bn, n = 1, 2, 3, … entonces:

(16)Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie infinita

(17)

L

n xdxLn

xfL

A0

sin)(2

xLn

exdxLn

xfL

txu

tLnk

n

L sinsin)(2

),(

)/(

10

222

• Por ejemplo, u(x, 0) = 100, L = , y k = 1, entonces

1

(18) sin)1(1200

),(

,)1(1200

2

n

tnn

n

n

nxen

txu

nA

13.4 Ecuación de Onda• Introducción

Considere la ecuación de onda

(1)

(2)

(3)

,2

2

2

22

t

u

x

ua

0,0 tLx

,0),0( tu 0,0),( ttLu

,)()0,( xfxu )(0

xgtu

t

Solución del PVF• Con la suposición u(x, t) = X(x)T(t), de (1) se

obtiene

de modo que(4)(5)

Ta

TXX

2

0 XX 02 TaT

• Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene(6)

Sólo = 2 > 0, > 0 lleva a una solución no trivial. Por tanto la solución general de (4) es

X(0) = 0 y X(L) = 0 implican que c1= 0 y c2 sin L = 0. Por tanto se tiene que = n/L, n = 1, 2, 3, …

,0)0( X 0)( LX,0 XX

xcxcX sincos 21

• Los valores propios y las funciones propias son:

tL

anct

L

anctT

nxL

ncxXLnn

sincos)(

es (5) de generalsolución La

,...3,2,1,sin)(,/

43

2222

• Sean An = c2c3, Bn = c2c4, soluciones que satisfacen (1) y (2) son

(7)

y

(8)

xLn

tLan

BtLan

Au nnn

sinsincos

1

sinsincos),(n

nn xLn

tLan

BtLan

Atxu

• Al sustituir t = 0 en (8) y usando u(x, 0) = f(x) se obtiene

Puesto que esta última expresión es un desarrollo en semiintervalo para f en una serie de senos, podemos identificar An = bn:

(9)

1

sin)()0,(n

n xLn

Axfxu

L

n xdxLn

xfL

A0

sin)(2

• Para determinar Bn se deriva (8) con respecto a t y fijando t = 0:

Así se obtiene

(10)

L

n

nnt

nnn

dxLn

xgLL

anB

xLn

Lan

Bxgtu

xLn

tLan

Lan

BtLan

Lan

Atu

0

10

1

sin)(2

sin)(

sincossin

L

n dxLn

xgan

B0

sin)(2

Ondas Estacionarias

• Es fácil transformar (8) en

n

nn

n

nnnnn

nnn

CB

CA

BAC

xLn

tLan

Ctxu

cos,sin,

(11) sinsin) ,(

22

• Cuando n = 1, u1(x, t) se llama primer onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de vibración. La frecuencia f1 = a/2L del primer modo normal se llama la frecuencia fundamental o primera armónica. Observe Fig 13.9.

T

LLa

f21

21

Fig 13.9

13.5 Ecuación de Laplace

• Introducción Considere el siguiente problema de valores en la frontera

(1)

(2)

(3)

byaxy

u

x

u

0,0,02

2

2

2

byxu

xu

axx

0,0,0

0

axxfbxuxu 0,)(),(,0)0,(

Solución del PVF

• Con u(x, y) = X(x)Y(y), (1) se transforma en

Las tres condiciones homogéneas de frontera en (2) y (3) se traducen en X’(0) = 0, X’(a) = 0, Y(0) = 0.

(5) 0"

(4) 0"

""

YY

XXYY

XX

• Por tanto disponemos de siguientes ecuaciones (6)

Para = 0, (6) se transforma enX” = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0

La solución es X = c1 + c2x. X’(0) = 0 implica que c2 = 0 y X = c1 también satisface la condición X’(a) = 0. Así X = c1, c1 0 es una solución no trivial.

• Para = −2 < 0, > 0, (6) no posee ninguna solución no trivial.

,0)0( X 0)( aX,0 XX

• Para = 2 > 0, > 0, (6) se transforma en X” + 2X = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0

Aplicando X’(0) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x, se tiene que c2 = 0 y por tanto X = c1 cos x . De la condición X’(a) = 0 se obtiene −c1 sin a = 0, y tiene que ser = n/a, n = 1, 2, 3, …. Los valores propios de (6) son n = (n/a)2, n = 1, 2, …

• Relacionando 0 con n = 0, las funciones propias de (6) son

Para Y” – Y = 0, cuando 0 = 0, la solución es Y = c3 +

c4y. Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4y.

,...2,1,cos;0, 11 nxan

cXncX

• Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución esY = c3 cosh (ny/a) + c4 sinh (ny/a)

Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4 sinh (ny/a).

• Las soluciones un = XY son

,...2,1for ;0for

,...2,1,cossinh;0,

41410

0

nccAnccA

nxan

yan

AnyA

n

n

• El principio de superposición conduce a que

(7)

Sustituimos y = b, entonces

es le desarrollo de semiintervalo de f en una serie de cosenos.

10 cossinh)() ,(

nn x

an

ban

AbAxfbxu

10 cossinh),(

nn x

an

yan

AyAyxu

• Si se hacen las identificaciones A0b = a0/2 y An

sin (nb/a)= an, n = 1, 2, …., se tiene

(9) cos)(sin

2

cos)(2

sin

(8) )(1

)(2

2

0

0

00

00

a

n

a

n

a

a

xdxan

xfb

an

aA

xdxan

xfa

ban

A

dxxfab

A

dxxfa

bA

Problema de Dirichlet• Demostrar que la solución del siguiente

Problema de Dirichlet

)(),(,0)0,(

0),(,0),0(

0,0,0 2

2

2

2

xfbxuxu

yauyu

byaxy

u

x

u

es

(10) sin)(sinh

2

sinsinh),(

0

1

a

n

nn

xdxan

xf

abn

aA

xan

yan

Ayxu

Superposition Principle• Queremos dividir el siguiente problema

(11)

en dos problemas, cada uno de los cuales tenga condiciones homogéneas de frontera en fronteras paralelas, como se muestra en las siguientes tablas.

axxgbxuxfxu

byyGyauyFyu

byaxy

u

x

u

0,)(),(,)()0,(

0,)(),(,)(),0(

0,0,02

2

2

2

• Problema 1:

axxgbxuxfxu

byyauyu

byaxy

u

x

u

0),(),(),()0,(

0,0),(,0),0(

0,0,0

11

11

21

2

21

2

• Problema 2:

axbxuxu

byyGyauyFyu

byaxy

u

x

u

0,0),(,0)0,(

0),(),(),(),0(

0,0,0

22

22

22

2

22

2

• Suponemos que u1 y u2 son soluciones del problema 1 y problema 2, respectivamente. Si definimos u = u1 + u2, entonces

etcétera. Fig 13.15.

)(0)(),(),(),(

)()(0),0(),0(),0(

21

21

xgxgbxubxubxu

yFyFyuyuyu

Fig 13.15

• Se deja como ejercicio determinar que la solución del problema 1 es

ban

Axdxan

xga

abn

B

xdxan

xfa

A

xan

yan

Byan

Ayxu

n

a

n

a

n

nnn

coshsin)(2

sinh

1

sin)(2

sinsinhcosh),(

0

0

11

• La solución del problema 2 es

abn

Aydybn

yGb

ban

B

ydybn

yFb

A

ybn

xbn

Bxbn

Ayxu

n

b

n

b

n

nnn

coshsin)(2

sinh

1

sin)(2

sinsinhcosh),(

0

0

12

13.6 PVF no homogéneos• Introducción

Un típico PVF no homogéneo para la ecuación de calor es

(1)

Cuando se genera calor a una rapidez r en una varilla, la ecuación de calor de (1) toma la forma

(2)está demostrado que la ecuación (2) no es separable.

Lxxfxu

ttutLututu

tLxtu

txFx

uk

0 ),()0 ,(

0 ),() ,( ),() ,0(

0 ,0 ,) ,(

10

2

2

tu

rx

uk

2

2

Cambio de Variables Dependientes

• u = v + , es una función a determinar.

EDP y CF Independientes del Tiempo

• EDP y CF Independientes del tiempoPrimero considere la fuente de calor F y que las condiciones en la frontera son independientes del tiempo:

(3)

• PDE -> EDP ecuaciones diferenciales parciales ??????• BC -> CF condiciones en la frontera ??????

Lxxfxu

tutLuutu

tLxtu

xFx

uk

0 ),()0 ,(

0 ,) ,( ,) ,0(

0 ,0 ,)(

10

2

2

• En (3), u0 y u1 son constantes. Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x), (3) puede reducirse a ods problemas:

)()()0(

0),(,0),0( :2 Prombla

)(,)0(,0)("{ :1 Prombla

2

2

10

xxfx,v

tLvtvt

v

x

vk

uLuxFk

Ejemplo 1Resolver (2) sujeta a

SoluciónSi permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x), entonces

(4)

puesto que t = 0.

10),()0,(

0,),1(,0),0( 0

xxfxu

tututu

,2

2

2

2

x

v

x

u

tv

tu

Ejemplo 1 (2)Sustituyendo (4) en (3) se tiene

(5)La ecuación (5) se reduce a una EDP homogénea si se exige que sea una función que satisfaga la EDO

Así se tiene

(6)

k

rrk " ó 0"

tv

rkx

vk

2

2

21

2

2)( cxcx

kr

x

Ejemplo 1 (3)

Además,

Se tiene que v(0, t) = 0 y v(1, t) = 0, si elegimos (0) = 0 y (1) = u0

Aplicando estas condiciones a (6) se tiene c2 = 0, c1 = r/2k + u0.

0)1(),1(),1(

0)0(),0(),0(

utvtu

tvtu

Ejemplo 1 (4)

En consecuencia

Por último, la condición inicial u(x,0) = v(x, 0) + (x) implica que v(x,0) = u(x, 0) − (x) = f(x) – (x). Tenemos el nuevo PVF homogéneo:

xukr

xkr

x

0

2

22)(

10 ,22

)()0(

0 ,0),1( ,0),0(

0 ,10 ,

02

2

2

xxukr

xkr

xfx,v

ttvtv

txtv

x

vk

Ejemplo 1 (5)

• De manera usual se encuentra

(7) sin22

)(2

tienese ),0( inicialcondición laCon

sin),(

1

0 02

1

22

xdxnxuk

rx

k

rxfA

x,v

xneAtxv

n

n

tknn

Ejemplo 1 (6)

Una solución del problema original es

(8)

Observe que

ransitoriasolución t: as 0),(

estable estado desolución : as )(),(

ttxv

txtxu

10

2 sin22

),(22

n

tknn xneAxu

kr

xkr

txu

EDP y BF Dependientes del Tiempo• En esta situación, una nueva forma de solución es

u(x, t) = v(x, t) + (x, t) Puesto que

(9)

(1) se transforma

(10)

y 2

2

2

2

2

2

tt

v

t

u

xx

v

x

u

)0 ,()()0 ,(

)() ,() ,( ),() ,0() ,0(

) ,(

00

2

2

2

2

xxfxv

tutLtLvtuttvtt

vtxF

xk

x

vk

• Las CF en v en (10) pasan a ser homogéneas si exigimos que

(11)Ahora construimos una función que satisfaga ambas condiciones en (11). Una función de esta forma es

(12)

Observe que xx = 0. Si sustituimos(13)

el problema en (1) se transforma en

)() ,( ),() (0, 00 tutLtut

)]()([)() ,( 010 tutuLx

tutxu

)]()([)() ,() ,( 010 tutuLx

tutxvtxu

(14)

donde G(x, t) = F(x, t) – t.

)0 ,()()0 ,(

)() ,() ,( ),() ,0() ,0(

) ,(

00

2

2

2

2

xxfxv

tutLtLvtuttvtx

vtxF

xk

x

vk

• Antes de resolver (14), señalamos la estrategia básica:

Suponemos que se pueden hallar coeficientes dependientes del tiempo vn(t) y Gn(t) tales que v(x, t) y G(x, t) en (14) pueden desarrollarse en serie

(15)

• donde sin(nx/L), n = 1, 2, … son las funciones propias de X”+ X = 0, X(0) = 0, X(L) = 0 correspondientes a los valores propios

n = n2 = n22/L2

1

1

sin)() ,( and

sin)() ,(

nn

nn

xLn

tGtxG

xLn

tvtxv

Ejemplo 2Resolver

Solución Hacemos corresponder este problema con (1) para obtener k = 1, L = 1, F(x, t) = 0, u0(t) = cos t, u1(t) = 0, f(x) = 0. De (12) obtenemos

y entonces como se indica en (13), sustituimos(16)

10 ,0)0 (

0 ,0) ,1( ,cos) ,0(

0 ,10 ,2

2

xx,u

ttuttu

txtu

x

uk

txtxttx cos)1(]cos0[cos),(

txtxvtxu cos)1() ,() ,(

Ejemplo 2 (2)Para obtener el PVF para v(x, t):

(17)

Los valores propios y las funciones propias del problema de Sturm-Liouville

X +X = 0, X(0) = 0, X(1) = 0son n = n

2 = n22 y sin nx, n = 1, 2, ….

10 ,1)0 ,(

0 ,0) ,1( ,0) ,0(

0 ,10 ,sin)1(2

2

xxxv

ttvtv

txtv

txx

v

Ejemplo 2 (3)

Con G(x, t) = (1 – x) sin t, suponemos a partir de (15) y para t fijo, v y G pueden escribirse como series de seno d eFourier:

(18)

y (19)

1

sin)() ,(n

n xntvtxv

1

sin)(sin)1(n

n xntGtx

Ejemplo 2 (4)

Tratando t como un parámetro,

Por lo tanto

(20)

tn

xdxnxt

xdxntxtGn

sin2

sin)1(sin2

sinsin)1(12

)(

1

0

1

0

1

sinsin2

sin)1(n

xntn

tx

Ejemplo 2 (5)De (18), tenemos

(21)

La EDP se transforma en

1

1

222

2

sin)(y

sin))((

nn

nn

xntvt

v

xnntvx

v

nt

tvntv

xnn

txntvntv

nn

nnnn

sin2)()('

sinsin2

sin)()('

22

11

22

Ejemplo 2 (6)

Para cada n, la solución general de la EDO es:

donde Cn denota la constante arbitraria. De ahí

(22)

tnnn eC

n

ttnn

tv22

1

cossin2)( 44

22

xneCnn

ttntxv

n

tnn

sin

)1(

cossin2) ,(

144

2222

Ejemplo 2 (7)Cn puede determinarse la condición inicial v(x, 0) a (22). De l serie de Fourier

nC

nn

xdxnxCnn

xnCnn

x

n

n

nn

2

)1(

2

sin)1(2)1(

2

sin)1(

21

44

1

044

144

Ejemplo 2 (8)Por tanto

144

22

144

22

44

sin)1(

cossin2

)cos1(),(

sin)1(

cossin2),(

2

)1(

2

2222

2222

n

tntn

n

tntn

n

xnn

e

nn

ettn

txtxu

xnn

e

nn

ettntxv

nnnC

13.7 Desarrollos en Series Ortogonales• Ejemplo 1

La temperatura de una varilla de unidad unitaria se determina de

Determine u(x, t).

10 ,1)0 (

0,0 ), ,1( ,0) ,0(

0 ,10 ,

1

2

2

xx,u

ththuxu

tu

txtu

x

uk

x

Ejemplo 1 (2)

Solución Si suponemos que u(x, t) = X(x)T(t) y usamos − como la constante de separación, tenemos

(1)

(2)

(3)

0 XX

0 TkT

,0)0( X )1()1( hXX

Ejemplo 1 (3)(1) y (3) constituyen un problema regular de Sturm-Liouville

(4)Como en Ejemplo 2 de Sec 12.5, (4) posee soluciones no triviales sólo para = 2 > 0, > 0. La solución general es X = c1 cos x + c2 sin x. X(0) = 0 implica c1 = 0. Aplicando la segunda condición en (4) a X = c2 sin x, se tiene

(5)

0)1()1( ,0)0( ,0 hXXXXX

hh

tanor 0sincos

Ejemplo 1 (4)Por el hecho de que la gráfica de y = tanx e y = −x/h, h > 0, tengan un número infinito de intersecciones para x > 0, (5) tiene un número infinito de raíces. Si las raíces positivas consecutivas se denotan n, n = 1, 2, …, entonces los valores propios son n = n

2 y las funciones propias correspondientes son X(x) = c2 sin nx, n = 1, 2, …. La solución de (2) es

1

3

sin),(

sin so and ,)(

2

22

nn

tkn

ntk

nntk

xeAtxu

xeAXTuectT

n

nn

Ejemplo 1 (5)

Ahora en t = 0, u(x, 0) = 1, 0 < x < 1, de forma que(6)

(6) es un desarrollo de u(x, 0) = 1 en términos de las funciones ortogonales que surgen del problema regular de Sturm-Liouville (4). El conjunto {sin nx} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1. De (8) de Sec 12.1, tenemos

(7)

1

sin1n

nn xA

1

0

2

1

0

sin

sin

dxx

dxxA

n

n

n

Ejemplo 1 (6)Determinamos que

(8)

1

0

1

0

2

2sin21

121

]2cos1[21

sin

nn

n

n

dxx

dxx

)cos1(1

0

1cos

1sin

),cos(2

1sin

en a transformse (8) ,sincos (5), departir ay

cossin22sin Utilizando

1

0

21

0

2

nn

nn

n

nn

nnn

nnn

xxdx

hxdx

h

Ejemplo 1 (7)De ahí (7) se transforma en

12

2

sin)cos(

)cos1(2),(

último,Por

)cos(

)cos1(2

2

nn

tk

nn

n

nn

nn

xeh

htxu

h

hA

n

Ejemplo 2

• Observe Fig 13.19. La EDP se describe mediante

10 ,0,)0 (

0 ,0,0) ,0(

0 ,10 ,

0

1

2

2

2

22

xt

xx,

tx

t

txtx

a

t

x

Fig 13.19

Ejemplo 2 (2)Solución De manera similar, tenemos

(9)(10)(11)

(9) junto con la condición homogénea en la frontera en (11),

(12)es un problema regular de Sturm-Liouville.

0 XX 02 TaT

y 0)0( X 0)1( X

0)1( ,0)0( ,0 XxXX

Ejemplo 2 (3)

Para = 0 y = −2, > 0, la única solución es X = 0. Para = 2, > 0, aplicando X(0) = 0 y X(1) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x se tiene c1 = 0, c2 cos = 0. Por tanto n = (2n – 1)/2 y los valores propios son n = n

2 = (2n – 1)22/4, y las funciones propias correspondientes son

,...3,2,1,2

12sinsin)( 22

nx

ncxcxX n

Ejemplo 2 (4)La condición inicial t(x, 0) = 0 implica X(x)T(0) = 0 ó T(0) = 0. Aplicada a T(t) = c3 cos ant + c4 sin ant de (10) implica c4 = 0, T(t) = c3 cos ant = c3 cos a((2n – 1)/2)t. Por tanto

(13) 2

12sin

212

cos),(

212

sin2

12cos

1

nn

nn

xn

tn

aAtx

xn

tn

aAXT

Ejemplo 2 (5)Cuando t = 0, se tiene que tener, para 0 < x < 1,

(14)

Como en Ejemplo 1, el conjunto {sin((2n – 1)/2)x} es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [0, 1]. Tenemos

1 212

sin)0,(n

n xn

Axx

22

1

1

0

2

1

0

)12(

)1(8

212

sin

212

sin

nxdx

n

xdxn

An

n

Ejemplo 2 (6)

Por último

12

1

2 212

sin2

12cos

)12(

)1(8),(

n

n

xn

tn

an

tx

13.8 Series de Fourier con Dos Variables

• Ecuación de Onda y de Transmisión de Calor en Dos Dimensiones Ecuación de calor en dos dimensiones:

(1)

Ecuación de onda en dos dimensiones:

(2)

tu

y

u

x

uk

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

t

u

y

u

x

ua

Fig 13.21

Ejemplo 1Determine la temperatura u(x, y, t) en la placa si la temperatura inicial es f(x, y) y los límites se matienen a temperatura cero durante el tiempo t > 0.Solución tenemos que resolver

cybxyxfyxu

tbxtcxutxu

tcytybutyu

tcybxt

u

y

u

x

uk

0,0),,()0,,(

0,0,0),,(,0),0,(

0,0,0),,(,0),,0( a sujeta

0,0,0, 2

2

2

2

Ejemplo 1 (2)Si ponemosu = XYT, obtenemos

(3)De manera similar, podemos obtener

de modo que

(4)

(5)

kTT

YY

XX '""

ó )( TXYTYXYTXk kTT

YY

XX

02 XX

2

kTT

YY

Ejemplo 1 (3)

Por la misma razón, introducimos otra constante de separación − en (5), entonces

Ahora las condiciones homogéneas(6) 0)(',0"

',

"

TkTYYkTT

YY

0)( ,0)0(

0)( ,0)0( implican

0) , ,( ,0) ,0 ,(

0) , ,( ,0) , ,0(

cYY

bXX

tcxutxu

tybutyu

Ejemplo 1 (4)De esta manera obtenemos dos problemas, uno en x

(7)y otro en y

(8)De forma similar tenemos dos conjuntos independientes de valores propios y funciones propias definidos por sin b = 0 y sin c = 0. Esto es

(9)

0)( ,0)0( ,0 bXXXX

0)( ,0)0( ,0 cYYYY

2

22

2

22

y ,c

n

b

mnm

Ejemplo 1 (5)

(10)

Después de sustituir los valores de (9) en (6), su solución general es:

... 3, 2, ,1 ,sin)( e

... 3, 2, ,1 ,sin)(

4

2

nyc

ncyY

mxb

mcxX

ycn

xbm

eAtyxu tcnbmkmnmn

sinsin) , ,( ])/()/[( 22

Ejemplo 1 (6)Usando el principio de superposición en la forma de una suma doble

(11)

En t = 0, tenemos

(12)y

(13)

ycm

xbm

eA

tyxu

m n

tcnbmkmn

sinsin

),,(

1 1

])/()/[( 22

ycn

xbm

Ayxfyxum n

mn

sinsin),()0,,(1 1

dydxycn

xbm

yxfbc

Ac b

mn

sinsin),(4

0 0

La ecuación (11) se llama serie de senos con dos variables. La serie de cosenos con dos variables es dada por

c b

m nmn

nn

mm

dxdyyxfbc

A

ycn

xbm

Aycn

A

xbm

AAyxf

0 000

1 110

1000

),(1

coscoscos

cos),(

c b

mn

c b

n

c b

m

ydxdycn

xbm

yxfbc

A

ydxdycn

yxfbc

A

xdxdybm

yxfbc

A

0 0

0 00

0 00

coscos),(2

cos),(2

cos),(2