Goniometrie - matematika.sgo.czmatematika.sgo.cz/Matematika_2/Puvodni_data/Resene_priklady/... · Goniometrie Stránka 867 5.2.Goniometrické vzorce 1. Vypočtěte bez použití kalkulačky:

Goniometrie

Goniometrie

Stránka 863

Obsah

5. Goniometrie .................................................................................................................... 864

5.1. Základní hodnoty goniometrických funkcí ..................................................................... 864

5.2. Goniometrické vzorce ..................................................................................................... 867

5.3. Goniometrické funkce ..................................................................................................... 873

5.4. Goniometrické rovnice .................................................................................................... 882

5.5. Sinova a kosinova věta .................................................................................................... 894

Goniometrie

Stránka 864

5. Goniometrie

5.1. Základní hodnoty goniometrických funkcí

1. Určete hodnoty goniometrických funkcí:

a) 25

sin6

b) 25

tg6

c) 33

cos4

d) 35

cotg4

e) 19

cos3

f) 37

cotg6

g) 19

sin4

h) 19

tg4

Řešení:

a) 25 1

sin sin6 6 2

b) 25 3

tg6 2

c) 33 2

cos4 2

d) 35

cotg 14

e) 19 1

cos3 2

f) 37

cotg 36

g) 19 2

sin4 2

h) 19

tg 14

2. Určete hodnotu výrazu:

a)

11

2 2

1

1 3 9tg315 0,4 sin 210

1 3 16

b)

1

2 19 2cos 225 0,1 sin 450 tg225

2 3

c)

12

21 289 1 11,7 : cos240 sin90

25 9 3

Goniometrie

Stránka 865

Řešení:

a)

11 1

2 2

1 1

1 3 9 1 3 4 100 1tg315 0,4 sin 210 tg315

1 3 16 1 3 3 16 2

2

50 1 50 973 14 3 2 3 6

3

b)

1

2 19 2 2 2 2cos 225 0,1 sin 450 tg225 10 1

2 3 2 3 3

2 410 9

6 6

c)

12

21 289 1 1 10 17 1 11,7 : cos240 sin90 : 9 1 1 1 0

25 9 3 17 5 2 9

3. Vypočtěte:

a) 7cos0 3sin 8tg2

b) 2

4 2 5 7sin cos cot

3 3 4 4g

c) 2tg0 cos sin cotg2 2

d) 3

6tg4 4cos 2sin2 2

e)

2tg cotg

3 3

2tg cotg

3 3

f) tg cotg sin tg6 6 6 3

g)

3 3tg cotg

4 4

sin cos 62

h) 3

sin cos tg cotg4 4 4 4

Řešení:

a) 7cos0 3sin 8tg 7 3 0 42

b) 2

4 2 5 7 3 1 5sin cos cot 1

3 3 4 4 4 2 4g

c) 2tg0 cos sin cotg 2 0 1 1 0 22 2

d) 3

6tg4 4cos 2sin 6 0 4 0 2 1 22 2

e)

2 3 2 3tg cotg 33 3 3 3 1

2 2 33tg cotg 33 3 33

Goniometrie

Stránka 866

f) 3 1 3 2 3

tg cotg sin tg 3 3 16 6 6 3 3 2 2 2

g)

3 3tg cotg

1 14 41

1 1sin cos 6

2

h) 3 2 2

sin cos tg cotg 1 1 14 4 4 4 2 2

4. Rozhodněte, zda následující tvrzení je pravdivé:

a) 23 3

sin6 2

b) 7 3

sin3 2

c) 19 2

cos4 2

d) 5 1

cos3 2

Řešení:

a) 23 1

sin6 2 . Tvrzení není pravdivé.

b) 7 3

sin3 2

. Tvrzení je pravdivé.

c) 19 2

cos4 2 . Tvrzení není pravdivé.

d) 5 1

cos3 2

. Tvrzení není pravdivé.

5. Z grafu funkce nebo jednotkové kružnice zjistěte, zda následující tvrzení je pravdivé.

a) sin 20 sin140

b) sin35 cos65

c) cos20 cos140

d) cos35 cos65

e) cos50 cos320

f) cos230 sin190

Řešení:

a) Tvrzení je pravdivé.

b) Tvrzení je pravdivé.

c) Tvrzení není pravdivé.

d) Tvrzení je pravdivé.

e) Tvrzení není pravdivé.

f) Tvrzení je pravdivé.

Goniometrie

Stránka 867

5.2. Goniometrické vzorce

1. Vypočtěte bez použití kalkulačky:

a) sin13 cos17 sin17 cos13

b) cos20 cos25 sin20 sin25

c) 2 2 3cos cos

8 8

d) sin15 sin75 cos75 cos15

Řešení:

a) Využijeme vzorec sin( ) sin cos sin cosx y x y y x

1sin13 cos17 sin17 cos13 sin(13 17 ) sin30

2

b) Využijeme vzorec cos( ) cos cos sin sinx y x y y y

2cos 20 cos 25 sin 20 sin 25 cos(20 25 ) cos 45

2

c) Využijeme vzorec 3

cos sin cos sin2 8 8

x x

a vzorce

2 2cos2 cos sinx x x

2 2 3 2cos cos cos 2 cos

8 8 8 4 2

d) 2 2 3sin15 sin75 cos75 cos15 cos 75 sin 75 cos150

2

2. Upravte výraz sin35 cos5 cos35 sin5

cos25 cos5 sin 25 sin5

.

Řešení: Využijeme vzorce sin sin cos cos sinx y x y x y a

cos cos cos sin sinx y x y x y

sin 35 5sin35 cos5 cos35 sin5 sin30 3tg30

cos 25 cos5 sin 25 sin5 cos 25 5 cos30 3

3. Určete tg x , jestliže:

a) 4

cos a ;5 2

x x

b) 1 3

sin a ;22 2

x x

c) 3

sin 0,6 a ;2

x x

Goniometrie

Stránka 868

Řešení:

a) 2 2

2

2

sin cos 1

16sin 1

25

9sin

25

3sin

5

3; sin

2 5

3

35tg 4 4

5

x x

x

x

x

x x

x

b) 2 2

2

2

sin cos 1

1cos 1

4

3cos

4

3cos

2

3 3 3;2 cos tg

2 2 3

x x

x

x

x

x x x

c) 2 2

2

2

sin cos 1

0,36 cos 1

cos 0,64

cos 0,8

cos 0,8

0,6 3tg

0,8 4

3tg

4

x x

x

x

x

x

x

x

4. Určete sin x , jestliže:

a) 8 3

tg a ;15 2

x x

b) 1 3

tg a ;2 2

x x

c) cotg 3 a ;2

x x

Goniometrie

Stránka 869

Řešení:

a) 2 2

2 2

2 2

sin sin 8 15tg cos sin 225

sin sin 1cos cos 15 864

sin cos 1

289 64 8sin 1 sin sin

64 289 17

3 8; sin2 17

x xx x x

x xx x

x x

x x x

x x

b)

2 2

2

sin 1

cos 2

1sin cos

2

1cos cos 1

4

4cos

5

3 4; cos2 5

4cos

5

x

x

x x

x x

x

x x

x

c)

2 2

2

2

cos3

sin

cos 3sin

sin 9sin 1

10sin 1

1sin

10

1sin

10

1; sin

2 10

x

x

x x

x x

x

x

x

x x

Goniometrie

Stránka 870

5. Určete cos x , jestliže 15 3

sin a ;217 2

x x

.

Řešení: 2 2

2

2

sin cos 1

225cos 1

289

64cos

289

8cos

17

3 8;2 cos

2 17

x x

x

x

x

x x

6. Určete cotg x , jestliže:

a) 5 3

cos a ;23 2

x x

b) 3

cos a ;2 2

x x

Řešení:

a) 2 2

2

2

sin cos 1

25sin 1

169

144sin

169

12sin

13

3 12;2 sin

2 13

x x

x

x

x

x x

b) 2 2

2

2

sin cos 1

3sin 1

4

1sin

4

1sin

2

1; sin

2 2

x x

x

x

x

x x

Goniometrie

Stránka 871

7. Rozložte na součin:

a) cos2 2cos 1x x

b) sin cos2 1x x

c) 2cos sin 2 tg x x x

d) sin tg x x

Řešení:

a)

2 2 2 2

2 2

cos 2 2cos 1 cos sin 2cos 1 cos 1 cos 2cos 1

2cos 1 2cos 1 2cos 2cos 2cos cos 1

x x x x x x x x

x x x x x x

b)

2 2 2 2

2

sin cos 2 1 sin cos sin 1 sin 1 sin sin 1

sin 1 2sin 1 sin 2sin 1

x x x x x x x x

x x x x

c) 2 2

2 2 2 2

sin2cos sin 2 tg 2 cos sin 2sin cos

cos

2cos 2sin 2sin 2cos

xx x x x x x x

x

x x x x

d)

sin cos 1sin sin cos sin

sin tg sin tg cos 1cos cos cos

x xx x x xx x x x x

x x x

8. Určete, za jakých podmínek má daný výraz smysl:

a) sin 2

cos

x

x

b) 2cos

sin 2

x

x

c) sin 3

1 sin 2

x

x

d) 1 cos

2 sin

x

x

e) 1

tg 1sin

xx

f) cos

2sin

sin 24

xx

x

g) 2 cos

1 cos

x

x

h) 2

1 tg

1 cotg

x

x

i) sin x

j) 1

sin x

k) 2 sin x

l) 2 cos x

m) tg x

n) cotg x

Řešení:

a) cos 0 , 2

x x k k Z

b) sin 2 0 2 0 0 , 2

x x k x k k Z

c) 1 sin 2 0 sin 2 1 2 2 , 2 4

x x x k x k k Z

d) 2 sin 0 sin 2x x x R

e) sin 0 cos 0 0 , 2

x x x k k Z

f) 3 3

sin 2 0 2 2 2 2 , 4 4 2 4 8

x x k x k x k k Z

g) 1 cos 0 cos 1 2 , x x x k k Z

h) cos 0 sin 0 , 2

x x x k k Z

Goniometrie

Stránka 872

i) sin 0 2 , 2k Z

x k k

j) sin 0 2 ,2k Z

x k k

k) 2 sin 0 sin 2x x x R

l) 2 cos 0 cos 2x x x R

m) tg 0 ,2k Z

x k k

n) cotg 0 ,2k Z

x k k

Goniometrie

Stránka 873

5.3. Goniometrické funkce

1. Je dána funkce 2sin2y x . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) D f R

c) 2;2H f

d) p

2. Je dána funkce 3sin3

xy . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) D f R

c) 3;3H f

d) 6p

Goniometrie

Stránka 874

3. Je dána/ funkce 1

sin 32

y x . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) D f R

c) 1 1

;2 2

H f

d) 2

3p

4. Je dána funkce 2sin6

y x

. Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) D f R

c) 2;2H f

d) 2p

Goniometrie

Stránka 875

5. Je dána funkce sin 23

y x

. Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a) sin 26

y x

b) D f R

c) 1;1H f

d) p

6. Je dána funkce 1

cos 32

y x . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a) 1

cos32 3

y x

b) D f R

Goniometrie

Stránka 876

c) 1 1

;2 2

H f

d) 2

3p

7. Je dána funkce 2cosx 1y . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) D f R

c) 3;1H f

d) 2p

8. Je dána funkce cos 22

xy . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) D f R

Goniometrie

Stránka 877

c) 1;3H f

d) 4p

9. Kolik průsečíků mají v intervalech 0;100 funkce cosy x a sin2y x ?

Řešení: Grafy v intervalu 0;2

1 2 3 4

cos sin 2

cos 2sin cos

cos 2sin 1 0

cos 0

2sin 1 0

3 5; ; ;

2 2 6 6

4 kořeny v intervalu 0;2

x x

x x x

x x

x

x

x x x x

V intervalu 0;100 mají funkce 200 průsečíků.

10. Načrtněte graf funkce siny x . Určete periodu funkce.

Řešení:

p

11. Načrtněte graf funkce siny x . Určete periodu funkce.

Řešení:

Funkce není periodická.

Goniometrie

Stránka 878

12. Načrtněte graf funkce cosy x . Určete periodu funkce.

Řešení:

p

13. Načrtněte graf funkce cosy x . Určete periodu funkce.

Řešení:

2p

14. Je dána funkce 6

y tg x

. Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

Goniometrie

Stránka 879

b) 2 2

;3 6k Z

D f k k

c) H f R

d) p

15. Je dána funkce cot4

y g x

. Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Řešení:

a)

b) 5

;4 4k Z

D f

c) H f R

d) p

16. Je dána funkce 1 cotg y x . Určete:

a) Graf funkce

b) Definiční obor

c) Obor hodnot

d) Periodu funkce

Goniometrie

Stránka 880

Řešení:

a)

b) 0 k ; kk Z

D f

c) H f R

d) p

17. Určete periodu a obor hodnot následujících funkcí:

a) sin3y x

b) 2sin 2y x

c) sin 2 1y x

d) sin(2 1)y x

e) 1 1

cos 12 2

y x

f) 1

2cos3

y x

g) 2tg y x

h) 1 1

tg2 2

y x

i) 3cotg 2y x

j) sin 2y x

k) cos4y x

Řešení:

a) 2

, 1,13

p H f

b) , 2,2p H f

c) , 0,2p H f

d) , 1,1p H f

e) 1 1

4 , ,2 2

p H f

f) 6 , 2,2p H f

g) , p H f R

h) 2 , p H f R

Goniometrie

Stránka 881

i) , 2

p H f R

j) , 0,1p H f

k) , 1,02

p H f

Goniometrie

Stránka 882

5.4. Goniometrické rovnice

1. Řešte rovnice s neznámou x R :

a) sin 0x

b) cos 1 0x

c) cotg 0x

d) tgx 1

e) 1

sin2

x

f) 3

cos2

x

Řešení:

a) sin 0 ;x x k k Z

b) cos 1 0 cos 1 2 ;x x x k k Z

c) cotg 0 cos 0 ;2

x x x k k Z

d) 3

tg 1 ;4

x x k k Z

e) 1 2

1 5sin 2 ; 2 ;

2 6 6x x k k Z x k k Z

f) 1 2

3 5 7cos 2 ; 2 ;

2 6 6x x k k Z x k k Z


a) 1

sin 62

x

b) 2

cos32

x

c) tg 12

x

d) cotg 4 0x

Řešení:

a)

1 1

2 2

1sin 6

2

6 2 ;6 36 3

5 56 2 ;

6 36 3

x

x k x k k Z

x k x k k Z

b)

1 1

2 2

2cos3

2

3 23 2 ;

4 4 3

5 5 23 2 ;

4 12 3

x

x k x k k Z

x k x k k Z

c) tg 12

2 ;2 4 2

x

xk x k k Z

Goniometrie

Stránka 883

d) cotg 4 0

4 ;2 8 4

x

x k x k k Z


a) cos 2 13

x

b) 3

sin 36 2

x

c) 2

cos3 3 2

x

d) 1 8

tg 34 88

x

e) cotg 32 6

x

Řešení:

a) cos 2 13

22 2 2 2

3 3 3

3k Z

x

x k x k x k

K k

b)

1 1 1

2 2 2

3sin 3

6 2

23 2 3 2

6 3 3 6 6 3

2 5 5 23 2 3 2

6 3 6 18 3

2 5 2;

6 3 18 3k Z

x

x k x k x k

x k x k x k

K k k

c)

1 11

1 1

2 22

2 2

2cos

3 3 2

3 9 4 132 2 6

3 3 4 3 12 4

53 6 6 ;

4 4

5 15 4 192 2 6

3 3 4 3 12 4

3 34 6 6 ;

4 4

5 36 ; 6

4 4k Z

x

x xk k x k

x k x k k Z

x xk k x k

x k x k k Z

K k k

Goniometrie

Stránka 884

d) 1 8

tg 34 88

tg 3 14

33

4 4 3 3 3

3k Z

x

x

x k x k x k

K k

e)

1 11

cotg 32 6

22 6 6 2

2k Z

x

x xk k x k

K k


a) 22cos cos 0x x

b) 22sin 3sin 1 0x x

c) 23cotg 2cotg 3 0x x

d) sin 2sin 1 1x x

e) 3tg tg x x

f) 2 2sin cos sin 0x x x

g) 22cos 2cos 3cos 3x x x

h) 24cos 2 1 3cos 3 0x x

i) 2tg 3cotg 1x x

Řešení:

a)

2

1 1

2 2 21 22

2cos cos 0

cos 2cos 1 0

cos 02

1 52cos 1 0 cos 2 2

2 3 3

5; 2 ; 2

2 3 3k Z

x x

x x

x x k

x x x k x k

K k k k

b) 2

2

2

12

1 1 11 12

2 2 21

2sin 3sin 1 0

sub.: sin

2 3 1 0

3 3 4 2 1 3 9 8 3 1

2 2 4 4

3 1 1 1 7 11sin 2 2

4 2 2 6 6

3 1 31 sin 1 2

4 2

7 11 32 ; 2 ; 2

6 6 2k Z

x x

y x

y y

y

y x x k x k

y x x k

K k k k

Goniometrie

Stránka 885

c) 2

1,2

1 1

2 2

3cotg 2cotg 3 0

2 4 4 3 2 4cotg

2 3 2 3

3cotg

3 6

3 5cotg 3

63

5;

6 6k Z

x x

x

x x k

x x k

K k k

d)

2

2

2

12

1 1 1

2 2 21 22

sin 2sin 1 1

2sin sin 1 0

sub.: sin

2 1 0

1 1 4 2 1 1 1 8 1 3

2 2 4 4

1 31 sin 1 2

4 2

1 3 1 1 7 11sin 2 2

4 2 2 6 6

7 112 ; 2 ; 2

2 6 6k Z

x x

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k x k

K k k k

e)

3

2

1 1

2 2

2,3

3 3

tg tg

tg tg 1 0

tg 0 0

tg 14

tg 13

tg 14

;4 2k Z

x x

x x

x x k

x x k

x

x x k

K k k

Goniometrie

Stránka 886

f)

2 2

2 2

2

2

2

12

1 1 1

2 2 21 22

sin cos sin 0

sin 1 sin sin 0

2sin sin 1 0

sub.: sin

2 1 0

1 1 4 2 1 1 1 8 1 3

2 2 4 4

1 3 31 sin 1 2

4 2

1 3 1 1 5sin 2 2

4 2 2 6 6

3 52 ; 2 ;

2 6 6

x x x

x x x

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k x k

K k k

2k Z

k

g)

2

2

1 1

23 23 2 3

2cos 2cos 3 cos 3

2cos 2cos 3 cos 1

2cos cos 1 3 cos 1 0

cos 1 2cos 3 0

cos 1 2

3 112cos 3 0 cos 2 2

2 6 6

112 ; 2 ; 2

6 6k Z

x x x

x x x

x x x

x x

x x k

x x x k x k

K k k k

h)

2

2

12 1 2

34 3 4

4cos 2 1 3 cos 3 0

4cos 2cos 2 3 cos 3 0

2cos 2cos 1 3 1 2cos 0

2cos 1 2cos 3 0

1 5cos 2 ; 2

2 3 3

3 7cos 2 ; 2

2 6 6

5 72 ; 2 ; 2 ; 2

6 3 3 6k Z

x x

x x x

x x x

x x

x x k x k

x x k x k

K k k k k

Goniometrie

Stránka 887

i)

2

2

2

12

1 1 1

2 2 2

2tg 3cotg 1

12tg 3 1

tg

2tg tg 3 0

sub.: tg

2 3 0

1 1 4 2 3 1 1 24 1 5

2 2 4 4

1 5 3 3tg 56 18 180

4 2 2

1 51 tg 1 45 180

4

56 18 180 ;45 180k Z

x x

xx

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k

K k k


a) 1 1

3 2tg tg 6

xx

b) 2

2sin 1cos tg

tg 2

xx x

x

c) 2sin 3sin cos 0x x x

d) sin 2 sinx x

e) 22tg 7tg 6 0x x

f) 2 29sin 11cos 7sin2 3x x x

g) 2 26sin 7sin2 8cos 0x x x

Řešení:

a)

2

2

2

2

12

1 1 1

2 2 2

1 13 2tg

tg 6

6 tg 18tg 12tg

12tg 17tg 6 0

sub.: tg

12 17 6 0

17 17 4 12 6 17 289 288 17 1

2 12 24 24

17 1 3 3tg 36 52 180

24 4 4

17 1 2 2tg 69 26 180

24 3 3

36

xx

x x x

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k

K

52 180 ;69 26 180k Z

k k

Goniometrie

Stránka 888

b) 22

22

1 1

2 2

sin 1cos tg

tg 2

sin sin 1cos

sin cos 2

cos

1sin cos sin cos

2

12sin cos

2

1sin 2

2

2 26 12

5 52 2

6 12

5;

12 12k Z

xx x

x

x xx

x x

x

x x x x

x x

x

x k x k

x k x k

K k k

c)

2

1

2

sin 3 sin cos 0

sin sin 3 cos 0

sin 0 0

sin 3 cos 0 sin 3 cos tg 3 23

0 ; 23k Z

x x x

x x x

x x k

x x x x x x k

K k k

d)

1

2 3

sin 2 sin

2sin cos sin

sin 2cos 1 0

sin 0 0

1 5cos 2 2

2 3 3

50 ; 2 ; 2

3 3k Z

x x

x x x

x x

x x k

x x k x k

K k k k

Goniometrie

Stránka 889

e)

2

2

2

12

1 1 1

2 2 2

2tg 7tg 6 0

sub.: tg

2 7 6 0

7 7 4 2 6 7 49 48 7 1

2 2 4 4

7 12 tg 2 63 26 180

4

7 1 3 3tg 56 18 180

4 2 2

63 26 180 ;56 18 180k Z

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k

K k k

f)

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

2

12

1 1 1

9sin 11cos 7sin 2 3

9sin 11cos 7sin 2 3 sin cos

6sin 14sin cos 8cos 0

6tg 14tg 8 0

sub.: tg

6 14 8 0

14 14 4 6 8 14 196 192 14 2

2 6 12 12

14 2 4 4tg 53 7 180

12 3 3

x x x

x x x x x

x x x x

x x

y x

y y

y

y x x k

2 2 2

14 21 tg 1 45 180

12

53 7 180 ;45 180k Z

y x x k

K k k

g)

2 2

2 2

2

2

2

12

1 1 1

2 2 2

6sin 7sin 2 8cos 0

6sin 14sin cos 8cos 0

6tg 14tg 8 0

sub.: tg

6 14 8 0

14 14 4 6 8 14 196 192 14 2

2 6 12 12

14 2 4 4tg 53 7 180

12 3 3

14 21 tg 1 45 180

12

x x x

x x x x

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k

K

53 7 180 ;45 180k Z

k k

Goniometrie

Stránka 890


a) 7sin 4cos 8x x

b) 5 2

4sin 3cos2

x x

c) sin sin2 sin3 sin4 0x x x x

d) sin 2 cos2 tg 1x x x

Řešení:

a)

2 2

22

2 2

2

2

2

12

7sin 4cos 8

8 4cossin

7

pomocí rovnice sin cos 1

64 64cos 16coscos 1

49

64 64cos 16cos 49cos 49

65cos 64cos 15 0

sub.: cos

65 64 15 0

64 64 4 65 15 64 4096 3900

2 65 130

64 14

1

x x

xx

x x

x xx

x x x

x x

y x

y y

y

1 1 1

2 2 2

30

64 14 3 3cos 53 8 180

130 5 5

64 14 5 5cos 67 23 180

130 13 13

53 8 180 ;67 23 180k Z

y x x k

y x x k

K k k

b)

2 2

22

2 2

2

2

5 24sin 3cos

2

5 23cos

5 2 6cos2sin4 8

pomocí rovnice sin cos 1

50 60 2 cos 36coscos 1

64

50 60 2 cos 36cos 64cos 64

100cos 60 2 cos 14 0

50cos 30 2 cos 7 0

x x

xx

x

x x

x xx

x x x

x x

x x

Goniometrie

Stránka 891

2

2

12

1 1

1

2 2

2

sub.: cos

50 30 2 7 0

30 2 30 2 4 50 7

2 50

30 2 1800 1400 30 2 40 2

100 100

30 2 40 2 7 2 7 2cos

130 10 10

351 52 360

30 2 40 2 2 2cos

130 10 10

261 52 360

261 52 360 ;351 5

y x

y y

y

y x

x k

y x

x k

K k

2 360k Z

k

c)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

sin sin 2 sin 3 sin 4 0

sin sin cos cos sin

sin 2 sin 2 cos cos 2 sin

2sin cos cos sin sin

sin 2cos cos sin

sin 3cos sin sin 3 4sin

sin 4 2sin 2 cos 2 4sin cos cos sin

x x x x

x y x y x y

x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x x

24sin cos 1 2sinx x x

2 2

2 2

1 1

2

2

2 3

2

sin 2sin cos sin 3 4sin 4sin cos 1 2sin 0

sin 1 cos 3 4sin 4cos 8sin cos 0

sin 0

4 6cos sin 4 8cos 0

4 6cos 1 cos 4 8cos 0

4 6cos 4 4cos 8cos 8cos 0

4 6cos 4 4cos 8cos 8c

x x x x x x x x

x x x x x x

x x k

x x x

x x x

x x x x

x x x

3

3 2

2

2 2

os 0

8cos 4cos 7cos 0

cos 8cos 4cos 7 0

cos 02

x

x x x

x x x

x x k

Goniometrie

Stránka 892

2

2

2

34

3 3 3

4 4 4

8cos 4cos 7 0

sub.: cos

8 4 7 0

4 4 4 8 7 4 16 224 4 4 15 1 5

2 8 16 16 4

1 5 1 5cos 72 360

4 4

1 5 1 5cos 288 360

4 4

90 ; 72k Z

x x

y x

y y

y

y x x k

y x x k

K k k

d)

2 2

2 2

3

2

sin 2 cos 2 tg 1

sin2sin cos cos sin 1

cos

2sin cos cos 2sin cos sin cos

2sin cos cos sin cos sin cos 0

cos sin 2sin cos 1 cos

2sin cos cos sin cos cos 1 sin 0

2sin cos cos s

x x x

xx x x x

x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x

2

1 1

in sin cos sin 0

2sin cos cos sin sin sin cos 1 0

sin 2cos cos sin sin cos sin 0

sin 0 0 180

x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x k

2 2

2

2

2 2

2 2

sin2sin cos cos 1 sin 0

cos

sin2sin cos 2sin 0

cos

1sin 2cos 2sin 0

cos

12cos 2sin 0

cos

2cos 2sin cos 1 0

cos cos 1 2sin cos 0

cos sin 2sin cos 0

cos 2 sin 2 0

cos 2 sin 2

xx x x x

x

xx x x

x

x x xx

x xx

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

Goniometrie

Stránka 893

2

2

2 45 380

22,5 90

cos 0

2

22,5 90 ; 180k Z

x k

x k

x

x k

K k k

Goniometrie

Stránka 894

5.5. Sinova a kosinova věta

1. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 104 cm a úhly 43 , 77 . Určete velikosti

zbývajících stran a úhlu .

Řešení:

a) a) Vypočteme úhel

180

180 43 77 60

b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c

sin sin

104

sin 43 sin 77

104sin 77 148,58 cm

sin 43

a c

c

c

c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b

sin sin

104

sin 43 sin 60

104sin 60 132,1 cm

sin 43

a b

b

b

2. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 86 cm, b = 43 cm a úhel 56 42́ . Určete

velikost strany c a úhlů , .

Řešení:

a) a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel

sin sin

86 43

sin 56 42́ sin

43 sin 56 42́sin 0,42

86

24 42́

a b

b) b) Vypočítáme velikost úhlu

180

180 56 42́ 24 42́ 98 36́

Goniometrie

Stránka 895

c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c

sin sin

86

sin 56 42́ sin 98 36́

86sin 98 36́ 101,74 cm

sin 56 42́

a c

c

c

3. V trojúhelníku ABC známe stranu b = 12,6 cm, c = 18,4 cm a úhel 76 23́ . Určete

velikost úhlů , a strany a.

Řešení:

a) a) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b

sin sin

12,6 18,4

sin sin 76 23́

12,6 sin 76 23́sin 0,37

18,4

41 43́

b c


180

180 41 43́ 75 23́ 62 54́

c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a

sin sin

12,6

sin 62 54́ sin 41 43́

12,6 sin 62 54́16,86 cm

sin 41 43́

a b

a

a

4. V trojúhelníku ABC známe stranu b = 18,9 cm, c = 32,6 cm a úhel 56 14́ . Určete

velikost úhlů , a strany a.

Řešení:

a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel

sin sin

18,9 32,6

sin 56 14́ sin

32,6 sin 56 14́sin 1,43

18,9

b c

Protože sin 1 , takový trojúhelník neexistuje. Tato úloha nemá řešení.

Goniometrie

Stránka 896

5. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 15,6 cm, c = 26,4 cm a úhel 63 19́ . Určete

velikost úhlů , a strany b.

Řešení:

a) a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel

sin sin

15,6 26,4

sin sin 63 19́

15,6 sin 63 19́sin 0,53

26,4

31 52́

a c


180

180 31 52́ 63 19́ 84 49́

c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b

sin sin

26,4

sin84 49́ sin 63 19́

26,4 sin84 49́29,43 cm

sin 63 19́

b c

b

b

6. V trojúhelníku ABC je dáno c = 105 cm, 68 43́ , 43 51́ . Určete velikost úhlu

a stran a, b.

Řešení:

a) a) Vypočítáme velikost úhlu

180

180 68 43́ 43 51́ 67 26́

b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b

sin sin

105

sin 43 51́ sin 67 26́

105 sin 43 51́78,77 cm

sin 67 26́

b c

b

b

Goniometrie

Stránka 897

c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a

sin sin

78,77

sin 68 43́ sin 43 51́

78,77 sin 68 43́105,95 cm

sin 43 51́

a b

a

a

7. V trojúhelníku ABC je dáno a = 36,8 cm, 23 46́ , 92 12́ . Určete velikost úhlu

a stran b, c.

Řešení:


180

180 23 46́ 92 12́ 64 2́

b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b

sin sin

36,8

sin 23 46́ sin 92 12́

36,8 sin 92 12́91,24 cm

sin 23 46́

a b

b

b


sin sin

36,8

sin 23 46́ sin 64 2́

36,8 sin 64 2́82,1 cm

sin 23 46́

a c

c

c

8. Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno b =156 cm, 62 20́ a 48 26́ .

Řešení:


180

180 62 20́ 48 26́ 69 14́

b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a

sin sin

156

sin 69 14́ sin 62 20́

156 sin 69 14́164,7 cm

sin 62 20́

a b

a

a

Goniometrie

Stránka 898


sin sin

156

sin 62 20́ sin 48 26́

156 sin 48 26́

sin 62 20́

131,78 cm

b c

c

c

c

9. Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno c = 56 cm, 32 14́ , 50 40́ .

Řešení:


180

180 32 14́ 50 40́ 97 6́

b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany a

sin sin

56

sin 32 14́ sin 50 40́

56 sin 32 14́38,62 cm

sin 50 40́

a c

a

a

c) c) Pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany b

sin sin

56

sin 97 6́ sin 50 40́

56 sin 97 6́71,85 cm

sin 50 40́

b c

b

b

10. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 26 cm, b = 12 cm,

42 .

Řešení:

a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu c 2 2 2

2 2 2

2 cos

26 12 2 26 12 cos 42 356,28

18,88 cm

c a b ab

c

c

Goniometrie

Stránka 899

b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel

sin sin

12 18,88

sin sin 42

12 sin 42sin 0,425

18,88

25 9́

b c

c) Dopočítáme úhel

180

180 ( )

180 25 9́ 42 112 51́

11. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 15,2 cm, c = 10,9 cm

a 58 .

Řešení:

a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu b 2 2 2

2 2 2

2 cos

15,2 10,9 2 15,2 10,9 cos58 174,26

13,2 cm

b a c ac

b

b

b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel

sin sin

13,2 10,9

sin 58 sin

10,9 sin 58sin 0,7

13,2

44 26́

b c

c) c) Dopočítáme úhel

180

180

180 58 44 26́ 77 34́

Goniometrie

Stránka 900

12. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno b = 64 cm, c = 80 cm

a 99 25́ .

Řešení:

a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu a 2 2 2

2 2 2

2 cos

64 80 2 64 80 cos99 25́ 12171,4

110,32 cm

a b c bc

a

a


sin sin

110,32 80

sin 99 25́ sin

80 sin 99 25́sin 0,72

110,32

45 40́

a c


180

180

180 99 25́ 45 40́ 34 55́

13. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 8,4 cm, b = 7,4 cm,

c = 11,3 cm.

Řešení:

a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

cos2

7,4 11,3 8,4cos 0,67

2 7,4 11,3

48

a b c bc

bc b c a

b c a

bc

Goniometrie

Stránka 901


sin sin

8,4 7,4

sin 48 sin

7,4 sin 48sin 0,66

8,4

40 53́

a b


180

180

180 48 40 53́ 91 7´


c = 32,6 cm.

Řešení:

a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

cos2

12,8 32,6 10,4cos 1,34

2 12,8 32,6

cos 1

a b c bc

bc b c a

b c a

bc

Tato úloha nemá řešení, tento trojúhelník nelze sestrojit, což jsme mohli zjistit i použitím

trojúhelníkové nerovnosti ( a b c )


c = 32,1 cm.

Řešení:


2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

cos2

28,2 32,1 39,9cos 0,13

2 28,2 32,1

82 36́

a b c bc

bc b c a

b c a

bc

Goniometrie

Stránka 902


sin sin

39.9 28,2

sin82 36́ sin

28,2 sin82 36́sin 0,7

39,9

44 29́

a b


180

180

180 82 36́ 44 29́ 52 55́

16. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 30,6, cm, b = 35,7 cm,

102 .

Řešení:

a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu c 2 2 2

2 2 2

2 cos

30,6 35,7 2 30,6 35,7 cos102 2665,1

51,62 cm

c a b ab

c

c


sin sin

35,7 51,62

sin sin102

35,7 sin102sin 0,68

51,6

42 35́

b c


180

180

180 42 35́ 102 35 25́

Goniometrie

Stránka 903

17. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 19,6 cm, c = 22,3 cm

a 93 .

Řešení:

a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu b 2 2 2

2 2 2

2 cos

19,6 22,3 2 19,6 22,3 cos93 927,2

30,45 cm

b a c ac

b

b


sin sin

30,45 22,3

sin 93 sin

22,3 sin 93sin 0,73

30,45

47

b c


180

180

180 93 47 40


c = 26,6 cm.

Řešení:


2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

cos2

38,4 26,6 21,9cos 0,83

2 38,4 26,6

33 33́

a b c bc

bc b c a

b c a

bc


sin sin

21,9 38,4

sin 33 33́ sin

38,4 sin 33 33́sin 0,97

21,9

75 43́

a b

Goniometrie

Stránka 904


180

180

180 33 33́ 75 43́ 70 44́

19. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže

: 2 :3a b , : 1: 2 .

Řešení:

sin 2

sin 3

12

2 2

sin 2

sin 2 3

sin 2 3cos 41 25'; 82 50 '; 180 55 45'

2sin cos 3 4

: : c sin : sin : sin sin 41 25' : sin82 50 ' : sin 55 45'

a

b

a b

20. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže

: : 3: 5:10 .

Řešení:

: : 3 :5 :10

3 5 10 180

18 180

10

30 ; 50 ; 100

: : sin 30 : sin 50 : sin100

d d d

d

d

a b c

21. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže

62,3 mma , 41,8mmc , 130 42' .

Řešení: Využijeme kosinovu větu 2 2 2 2 cos 95 mm

sinsin sin 29 48'

sin

180 19 30 '

b a c ac b

a a

b b

Goniometrie

Stránka 905

22. Určete velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže 18,3 cma , 27,6 cmb ,

30,8 cmc .

Řešení: Využijeme kosinovu větu 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos cos 362

cos 62 25'2

180 81 35'

b c aa b c bc

bc

a c b

ac

23. Vypočítejte velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku, jehož strany mají délky 2a ,

3

2a , 3a .

Řešení: Proti 3a leží úhel

2

2 2

2 2 2 2

3 33 2 2 2 cos

2 2

99 4 6 cos

4

11cos

24

117 16 '46 ''

a a a a a

a a a a


8 cmb , 5 cmc , 28 35' .

Řešení: Úloha má dvě řešení.

1

1

1

sin

sin

sin sin

50

101 25'

10, 2

b

c

b

c

a cm

2

2

2

sin

sin

sin

sin

130

21 25'

3,81

a

b

a b

a cm


6 cmb , 9 cmc , 75

Řešení:

sin

sin

sin sin 75 1,45

c

b

c

b

Úloha nemá řešení.

Goniometrie

Stránka 906


2cma , 3cmb , 7 cmc .

Řešení: Úloha má jedno řešení.

2 2 22 2 2 2 cos cos 28 57 '18''

2

sinsin sin 46 34 '2 ''

sin

180 104 28'40 ''

b c aa b c bc

bc

b b

a a


3cma , 8cmb 4 cmc .

Řešení: Úloha nemá řešení. Není splněna trojúhelníková nerovnost ( 3 4 8 ).

28. Určete délky všech stran trojúhelníku, jestliže 6 cmat , 9 cmbt 8 cmc .

Řešení:

2 2

22 2

2

22 2

22

2

2

2 2; ;

3 3

2 2

2 2 2 16 64 36 113 32 cos cos

43 3 3 64 16

3

112

2 16

1136 64 2 6 8 136 11,7 cm

4 16

2 2

3 3cos

a b

a b

b a a

a

a a

b

ABT t t c

t c t

t t c t c

t c

at c t c

aa a

t c t

2

22 2

36 64 16 728 57 '

2 2 6 8 82

3

72 8 cm

2 8

a

b

a a

t c

bt c t c b

Goniometrie

Stránka 907

30. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 6 cma , 5 cmbt 45 .

Řešení:

1

1

2221

1

2 2 2

1 1 1 1

2

2

2

2 2 2

2 2 2 2

sinsin sin 58 3'6 ''

sin

180 76 56 '53''

2 cos 13,8 cm2

2 cos 10,5 cm

121 56 '54 ''

13 3'6 ''

3, 2

2 cos 4,4 cm

b b

b b

a a

t t

ba t at b

c a b ab c

b cm

c a b ab c

31. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 6 cmc , 5 cmat , 8 cma .

Řešení: 2

2 22

2 2

2 2 2 2

922 cos cos cos

2 2 16

92 cos 64 36 2 6 8 6,8 cm

16

a

a

ac t

a at c c

ca

b a c ac b b

32. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, je-li dáno 6 cma , 9 cmat 4 cmbt .

Řešení:

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 1 83 3

43 2 3 3cos cos cos

2 8 92 3 2 3

3 3

42 cos 16 36 2 4 6 11,1 cm

2 2 9

1 23 3

3 2 3cos

12

3 2

CB

b a

b

b a

a b

a

S TB

at t

t

b bt a t a b

at t

at

2

2 2

64

499

2 3 3 81

2 cos 7,6 cm2 2

a a

a ac t t c

Goniometrie

Stránka 908

34. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 10 cma , 8 cmat , 6 cmbv .

Řešení:

1 1

2 2

222

2 2 2

6sin 36 52 '11''

10

22 1'27 '' 121 6 '32 ''sin 5 6 32 sin157 58'33'' nemá řešenísin 8 10 8

2 cos 11,4 cm2 2

2 cos 6,9 cm

b

a

a a

v

a

a

t

a ab t t b

c b a ab c

35. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 6 cmat , 4cmbt , 8 cmct .

Řešení: 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 22 cos 2 cos

3 3 3 3 3

1cos 104 28'39 ''

2 4

1 2 1 2 8 82 cos 2 2 2

2 3 3 3 3 2 3

c a b a b c a b a b

a b c

a b

a b a b

t t t t t t t t t t

t t t

t t

a at t t t

2 2 2 2

2

2

2

2 2

2 2 2

1

3 4

7,4 cm

1 2 1 2 16 1 2 12 cos 16 2 4 6

2 3 3 3 3 2 9 3 3 4

16 816 9 cm

2 9 3

2 cos2 2

2 cos 4,3 cm

b a b a

a

a

b bt t t t

bb

a at b b

c a b bc c

36. Vypočítejte délky úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže 15 cmc , 21cmb a poměr

velikosti úhlů : 2 :1 .

Řešení:

sin 21 7

sin 15 5 sin 2 7 2sin cos 7 7cos

2 sin 5 sin 5 102

1

45 34 '2 ''; 91 8'45''; 43 16 '53''

b

c

Goniometrie

Stránka 909

37. V trojúhelníku ABC je dán poměr délek stran : : 2 : 4:5a b c . Vypočítejte velikosti

vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.

Řešení:

2 2 2

2 2 2

2 ; 4 ; 5

5 2 4 2 2 4 cos

4 16 25 525 4 16 16cos cos 108 12 '

16 16

4 2 5 2 2 5 cos

1316 4 25 20cos cos 49 28'

20

22 20 '

a d b d c d

d d d d d

d d d d d

38. V rovnoběžníku ABCD je dáno: 6,2 cm, 5,4 cm, 4,8 cmAB BC AC . Určete:

a) Délky všech stran rovnoběžníku.

b) Velikosti všech vnitřních úhlů.

c) Délky úhlopříček.

d) Délky výšek v rovnoběžníku.

Řešení:

a) 6,2 cm

5,4 cm

CD AB

AD BC

b) 2 2 2

cos2

48 16 '53''

131 43'7 ''

AB BC AC

AB BC

c) 2 2 22 cos

10,6 cm

BD AB AD AB AD

BD

d) sin sin 4 cma

a

vv AD

AD

39. V rovnoběžníku ABCD je dáno: 10,8 cm, 5,4 cm, 27 11'aAD v . Určete:

a) Délky všech stran rovnoběžníku

b) Velikosti všech vnitřních úhlů

c) Délky úhlopříček

d) Délky výšek v rovnoběžníku

Řešení:

a) sin 9,2 cm

sin

a av vAD

AD

b) 152 49'

Goniometrie

Stránka 910

c) 2 2 2

2 2 2

2 cos

5 cm

2 cos

19,4 cm

BD AB AD AB AD

BD

AC AB AD AB AD

AC

d) sin sin 10,8 cmb

b

vv AB

AB

40. V lichoběžníku ABCD jsou dány délky stran 8 cma AB , 5 cmb BC ,

3 cmc CD , 4 cmd AD . Určete velikosti vnitřních úhlů.

Řešení:

22 2

2 2 2 2 2 2

22 2

2 cos

5 4 5 4cos

2 2 5 4 10

66 25'18''

25 25 16 17cos

2 2 5 5 25

47 9 '22 ''

180 132 50 '38''

180 113 34 '42 ''

b a c d a c d

a c d b

a c d

b a c d

b a c

41. Na jednom břehu řeky je úsečka KL, 40 mKL . Na druhém břehu řeky je bod S,

75 13', 45 20'LKS KLS . Určete šířku řeky.

Řešení:

tg1 1 tg tgtg tg tg

tg tg tg tgtg

tg

tg tg 37,6 cm

tg tg

a b KL

KL KLx x x xa KL x

a

x xb

b

KL

Goniometrie

Stránka 911

43. V rovnoběžníku ABCD je dáno: 8 cmAB , 2 cmAD , 30DAB Vypočítejte

obsah rovnoběžníku ABCD a poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.

Řešení: 2

2 2 2

sin 30 8 cm

2sin

2 cos

9,8 cm

S AB AD

ACr

AC AB BC AB BC

r

44. V trojúhelníku ABC je 8,1 cmb , 132 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané

trojúhelníku ABC.

Řešení:

5,45 cm2sin

br

45. V trojúhelníku ABC je 6,3 cmc , 48 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané

trojúhelníku ABC.

Řešení:

4,24 cm2sin

cr

46. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 5 cm, 6 cm, sin 0,78a b .

Řešení:

21sin 11,7 cm

2S ab

47. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 4 cm, 7 cm, 35b c .

Řešení:

21sin 8,03 cm

2S bc

48. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 9 cm, 3 cm, 63a c .

Řešení:

21sin 12,03 cm

2S ac

Goniometrie

Stránka 912

49. V trojúhelníku ABC je 3,7 cma , 56 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané

trojúhelníku ABC.

Řešení:

2,23 cm2sin

ar

50. V trojúhelníku ABC je 33 , 15 a poloměr kružnice opsané je 8cm. Vypočítejte

délky stran trojúhelníku ABC.

Řešení:

2 sin 4,14 cm2sin

2 sin 8,71 cm2sin

180 15 33 132

2 sin 11,89 cm2sin

ar a r a

br b r b

cr c r c

51. V trojúhelníku ABC je 62 , 45 a poloměr kružnice opsané je 10 cm. Vypočítejte

délky stran trojúhelníku ABC.

Řešení:

2 sin 17,66 cm2sin

2 sin 14,14 cm2sin

180 45 62 73

2sin

2 sin 19,13 cm2sin

br b r b

cr c r c

ar

ar a r a

52. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 6 cmb , c 5 cm , 42 32́ .

Řešení:

21sin 10,14 cm

2S bc

53. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 11 cma , 8 cmc , 57 28́ .

Řešení:

21sin 37,1 cm

2S ac

Goniometrie

Stránka 913

54. V jakém zorném úhlu se jeví předmět dlouhý 100 m pozorovatelovi, který je od jednoho

jeho konce vzdálen 80 m a od druhého 110 m?

Řešení:

K výpočtu použijeme kosinovou větu. 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

cos2

80 110 100cos 0,48

2 80 110

61 7´

a b c bc

b c a

bc

Pozorovatel sleduje předmět pod úhlem 61 7́ .

55. Jak dlouhý předmět sleduje pozorovatel pod zorným úhlem 78 , je-li od jednoho jeho

konce vzdálen 130 m a od druhého konce 98 m?

Řešení:

K výpočtu použijeme kosinovou větu.

2 2 2

2 2 2

2 cos

98 130 2 98 130 cos78 21206,42

145,62 m

a b c bc

p

p

Pozorovatel sleduje předmět dlouhý 145,62 m.

56. Jak daleko je vzdálen pozorovatel od kraje předmětu dlouhého 156 m, který vidí pod

zorným úhlem 64 , je-li od druhého kraje vzdálen 92 m?

Řešení:

156 92

sin 64 sin

92 sin 64sin 0,53

156

32

180 64 32 84

156

sin84 sin 64

156 sin84172,62 m

sin 64

a

a

Pozorovatel je od kraje předmětu vzdálen 172,62 m.

Goniometrie

Stránka 914

57. Vypočítejte obvod rovnoběžníku, je-li strana a = 114 cm, úhlopříčka u = 132 cm a úhel

proti úhlopříčce je 56 .

Řešení:

132 114

sin 56 sin

114 sin 56sin 0,72

132

45 43́

180 56 45 43́ 78 17´

132

sin 78 17´ sin 56

132 sin 78 17´155,9 m

sin 56

2

2 114 155,9 539,8 m

b

b

o a b

o

Obvod rovnoběžníku je 539,8 m.

58. Vypočítejte obvod rovnoběžníku, je-li strana a = 38 cm, úhlopříčka u = 56 cm a úhel,

který svírají je 28 .

Řešení:

2 2 238 56 2 38 56 cos 28 822,18

28,67

2

2 38 28,67 133,34 cm

b

b

o a b

o

Obvod rovnoběžníku je 133,34 cm.

59. Vypočítejte obsah rovnoběžníku, je-li strana a = 31 cm, úhlopříčka u = 48 cm a úhel proti

úhlopříčce je 102 .

Řešení:

49 31

sin102 sin

31 sin102sin 0,62

49

38 19́

180 102 38 19́ 39 41́

49

sin 39 41́ sin102

49 sin 39 41́31,99 cm

sin102

b

b

Goniometrie

Stránka 915

2

180 102 78

sin sin

31,99 sin 78 31,29

31 31,29 969,99 cm

S a v

vv b

b

v

S

Obsah rovnoběžníku je 969,99 cm2.

60. Na kopci stojí rozhledna vysoká 28 m. Patu i vrchol vidíme z údolí pod výškovými úhly

o velikosti 27 , 32 . Jak vysoko je vrchol kopce nad rovinou údolí?

Řešení:

V trojúhelníku si dopočítáme všechny zbylé úhly:

28

sin 5 sin 58

28 sin 58272,45 m

sin 5

sin 27

272,45 sin 27 123,69 m

a

a

v

a

v

Kopec je vysoký 123,69 m.

61. Sílu F = 320 N rozložte na dvě složky F1 a F2 tak, aby první složka svírala se silou F úhel

o velikosti 42 26́ a druhá složka úhel o velikosti 24 32́ . Určete velikosti sil F1 a F2.

Řešení:

1

1

2

2

180 42 26́ 24 32́ 113 2́

180 42 26́ 113 2́ 24 32́

320

sin 24 32́ sin113 2́

320 sin 24 32́144,56 N

sin113 2́

320

sin 42 26́ sin113 2́

320 sin 42 26́234,62 N

sin113 2́

F

F

F

F

Síla F1 = 144,56 N, síla F2 = 234,62 N.

Goniometrie

Stránka 916

62. Síly F1 = 63 N a F2 svírají úhel 62 . Výslednice sil F = 112 N. Určete sílu F2.

Řešení:

2

2

180 62 118

63 112

sin sin118

63 sin118sin 0,49

112

29 47´

180 29 47´ 118 32 43́

112

sin 32 43́ sin118

112 sin 32 43́68,56 N

sin118

F

F

Síla F2 = 68,56 N.

63. Síla F = 80 N je rozložena na složky F1 = 44 N a F2 = 52 N. Vypočítej úhel složky F1 se

sílou F.

Řešení: 2 2 2

2 2 2

52 44 80 2 44 80 cos

44 80 52cos 0,8

2 44 80

36 52́

Odchylka výslednice sil F a síly F1 je 36 52́ .

64. Síla F = 120 N je rozložena na složky F1 = 68 N a F2 = 104 N. Vypočítej úhel složky F2

se sílou F.

Řešení: 2 2 2

2 2 2

68 104 120 2 104 120 cos

104 120 68cos 0,825

2 104 120

34 25́

Odchylka výslednice sil F a síly F2 je 34 25́ .

65. Určete výslednici sil F1 = 256 N a F2 = 108 N, které spolu svírají úhel 82 .

Řešení:

2 2 2

180 82 98

256 108 2 256 108 cos98 84895,72

291,37 N

F

F

Výslednice je 291,37 N.

Goniometrie

Stránka 917

66. Trojúhelník má stranu a = 68 cm. Pro jeho úhly platí : : 2 :3: 4 . Vypočítejte jeho

obsah.

Řešení:

: : 2 :3: 4

2

3 180 2 3 4 180 9 180 20

4

40 ; 60 ; 80

x

x x x x x x

x

sin sin

68 68 sin 6091,62 cm

sin 40 sin 60 sin 40

sin sin

68 68 sin80104,18 cm

sin 40 sin80 sin 40

a b

bb

a c

cc

2

131,9(131,9 68)(131,9 91,62)(131,9 104,18)( )( )( )

3067,71 cm

68 91,62 104,182 131,9 cm2

SS s s a s b s c

os

s

Obsah trojúhelníku je 3067,71 cm2.

67. Z vyhlídkové věže vysoké 25 m a vzdálené 45 m od řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu

17°. Jak je řeka široká?

Řešení:

2 245 25 51, 48 m

25tg ´

45

´ 29 3́

180 29 3́ 150 27´

180 17 150 27´ 12 33́

51,48

sin17 sin12 33́

51,48 sin1769,26 m

sin12 33́

b

c

c

Řeka je široká 69,23 metrů.

Goniometrie

Stránka 918

68. Z okna domu je vidět střecha protějšího domu ve výškovém úhlu 34 a jeho pata

v hloubkovém úhlu 21 . Dům je vysoký 124 m. Jak vysoko nad rovinou terénu je okno

pozorovatele?

Řešení:

Dopočítáme potřebné úhly:

´ 21

90 ´

90 21 69

90 44 46

44 21 65

124

sin sin

124

sin 46 sin 65

124 sin 4698,42 m

sin 65

sin ´

sin ´

98,42 sin 21 35,12 m

c

c

c

v

c

v c

v

Okno pozorovatele je ve výšce 35,12 metrů.

69. Pilot letadla letícího vodorovně rychlostí 240 m/s vidí dům na zemi v hloubkovém úhlu

18 . Za dvě sekundy se úhel zvětšil na 43 . Urči výšku letadla.

Řešení:

Dopočítáme úhly

180 43 137

180 18 137 25

Vypočítáme dráhu letadla za 2 sekundy

2 240 480 md

Letadlo uletělo 480 m

Letadlo letí ve výšce 239,36 metrů.

sin18 sin

480 480 sin18350,97 m

sin18 sin 25 sin 25

sin 43 sin 43 350,97 sin 43 239,36 m

l d

ll

vv l

l

Goniometrie

Stránka 919

70. Z vyhlídkové věže 80 m nad hladinou moře je vidět letadlo ve výškovém úhlu 43 . Jeho

obraz ve vodě vidíme v hloubkovém úhlu 39 . Jak vysoko je letadlo nad hladinou moře?

Řešení:

Dopočítáme úhly

´ 39

90 39 51

180 51 43 39 47

Vypočítáme stranu c

80 80sin39 127,12 m

sin39c

c

Pomocí sinové věty vypočítáme výšku v

127,12

sin 43 39 sin 47

127,12 sin82172,12 m

sin 47

v

v

Letadlo letí ve výšce 172,12 metrů.

71. Těsně na břehu řeky stojí budova. Ze dvou oken nad sebou ve výškovém rozdílu 18 m je

vidět protější břeh řeky v hloubkových úhlech 4 a 12 . Jak široká je řeka?

Řešení:

Dopočítáme úhly.

12 4 8

90 12 78

Pomocí sinové věty vypočítáme stranu c.

18

sin 78 sin8

18 sin 78126,51 m

sin8

cos 4 126,51 cos 4 126,2 m126,51

c

c

xx

Řeka je široká 126,2 metry.

Goniometrie

Stránka 920

72. Na vrcholku hory stojí rozhledna vysoká 25 m. Most v údolí vidíme z vrcholu věže

v hloubkovém úhlu 28 . Stejný most vidíme od paty věže v hloubkovém úhlu 25 . Jak

vysoká je hora?

Řešení:

Dopočítáme úhly.

28 25 3

90 28 62

Pomocí sinové věty vypočítáme stranu c.

25

sin 62 sin 3

25 sin 62421,77 m

sin 3

sin 25421,77

421,77 sin 25 178,25 m

c

c

x

x

Hora je vysoká 178,25 metrů.

73. Střechu domu vidíme z určitého místa ve výškovém úhlu 38 26́ . Popojdeme-li

o 56 metrů blíže k domu, vidíme její střechu ve výškovém úhlu 56 43́ . Jak je dům

vysoký?

Řešení:

180 56 43́ 123 17´

180 38 26́ 123 17´ 18 17´

56

sin 38 26́ sin18 17´

56 sin 38 26́110,96 m

sin18 17´

sin 56 43́110,96

110,96 sin 56 43́ 92,76 m

c

c

v

v

Dům je vysoký 92,76 metrů.

Goniometrie

Stránka 921

74. V rovnoběžníku o stranách a = 21,4 cm a b = 38,6 cm, které svírají úhel 68 ,

vypočítejte délky úhlopříček.

Řešení: 2 2 2

1

1

2 2 2

2

2

38,6 24,1 2 38,6 24,1 cos68 1373,81

37,06 cm

180 68 112

38,6 24,1 2 38,6 24,1 cos112 2767,73

52,61 cm

u

u

u

u

Rovnoběžník má úhlopříčky o délkách 37,06 cm a 52,61 cm.

75. Vypočítejte strany rovnoběžníku, má-li úhlopříčky o délkách 68 cm a 108 cm. Úhlopříčky

svírají úhel o velikosti 56 .

Řešení: Úhlopříčky se navzájem půlí, budeme pracovat s jejich polovinami.

1

2

2 2 2

2 2 2

34 cm2

52 cm2

180 56 124

34 52 2 34 52 cos124 5837,31

76,4 cm

34 52 2 34 52 cos56 1882,69

43,69 cm

u

u

a

a

b

b

Rovnoběžník má strany o délkách 76,4 cm a 43,69 cm.

76. Dvě trasy metra vycházející z téhož místa svírají úhel 110 . Jejich cílové stanice se od

společného bodu nacházejí ve vzdálenostech 1 200 metrů a 850 m. Jak dlouhá je třetí trasa

metra, která cílové stanice spojuje?

Řešení: 2 2 2850 1200 2 850 1200 cos110 2860221,1

1691,22 m

a

a

Třetí trasa má délku 1691,22 metrů.

Goniometrie

Stránka 922

77. Ze stanice vyjely dva vlaky současně na tratích pod úhlem 132 . První vlak jel rychlostí

14,6 m/s a druhý 18,4 m/s. Jak daleko byly vlaky od sebe po 8 minutách jízdy?

Řešení: Vypočítáme dráhu, kterou jednotlivé vlaky ujely.

1

2

2 2 2

8min

8 60 480

14,6 480 7008 m

18,4 480 8832 m

7008 8832 2 7008 8832 cos132 209947505,4

26644,84 m 26,6 km

t

t s

s

s

v

v

Vlaky byly od sebe vzdáleny 26,6 km.

78. Těleso, které má hmotnost 782 kg je zavěšeno na vodorovném trámu na dvou lanech

různé délky. Lana svírají s trámem úhly o velikostech 46 , 58 . Vypočítej

namáhání lan v tahu.

Řešení:

1

1

2

2

90 46 44

90 58 32

180 44 32 104

728

sin 32 sin104

728 sin 32397,59 N

sin104

728

sin 44 sin104

728 sin 44521,19 N

sin104

F

F

F

F

Lana jsou namáhány silami F1 = 397,59 N a F2 = 521,19 N.

79. Na hmotný bod působí dvě síly 1 230 ; 75 F N F N , které svírají úhel 63 20' .

Určete velikost výslednice sil F a úhel, který svírá výslednice se silou 1F .

Řešení:

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

1

2 cos 180

92,4

cos2

46 33'

F F F F F

F N

F F F

F F

Goniometrie

Stránka 923

80. Na hmotný bod působí dvě síly 1 220 ; 30 F N F N , které svírají úhel 135 . Určete

velikost výslednice sil F a úhel, který svírá výslednice se silou 1F .

Řešení:

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

1

2 cos 180

21,2

cos2

93 25'

F F F F F

F N

F F F

F F

81. Sílu 65 F N rozložíme na dvě složky 1 230 , 40 F N F N . Jaký úhel svírají tyto síly?

Řešení: 2 2 2

1 2

1 2

cos2

cos 135 57 '

180 44 3'

F F F

F F

82. Síla F o velikosti 100N je rozložena do dvou složek. Síla 1F svírá se silou F úhel 55

a síla 2F svírá se silou F úhel 80 . Určete jednotlivé složky.

Řešení:

22

11

sin 55 sin 55391

sin 45 sin 45

sin80 sin80368

sin 45 sin 45

FF F N

F

FF F N

F

Documents

Goniometrie - matematika.sgo.czmatematika.sgo.cz/Matematika_2/Puvodni_data/Resene_priklady/... · Goniometrie Stránka 867 5.2.Goniometrické vzorce 1. Vypočtěte bez použití kalkulačky: