ÖZDEĞERLER-ÖZVEKTÖRLER

GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif

bir yoldur.

Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın.

Bazı vektörler bir A matrisi ile çarpıldıkları zaman yön değiştirir, bazıları ise

değiştirmezler. Bazı özel x vektörleri, Ax vektörü ile aynı yönde kalmaktadır.

İşte bu vektörlere “özvektörler” denir.

Bir özvektörün A matrisi ile çarpımı olan Ax vektörü, orijinal x vektörünün

olmak üzere katıdır.

Sonuç olarak temel denklem xAx şeklindedir. Burada skaleri A

matrisinin bir özdeğeridir. Bu skaler, özvektörün A matrisi ile çarpılması

halinde elde edilen yeni vektörün uzunluğunun, orijinal x vektörüne

göre büyüdüğü, küçüldüğü ya da aynı kalıp kalmadığı bilgisini

vermektedir. Özdeğer sıfır değerini alabilir. Bu durumda xAx 0 olur ve

özvektör x, sıfır uzayında tanımlıdır.

GİRİŞ

Eğer A birim matris ise, xIx olur. Bu durumda n×1 boyutlu tüm vektörler

özvektördür ve A matrisinin tüm özdeğerleri 1 ’dir.

A matrisinin nnT : şeklinde bir doğrusal dönüşümün tanım matrisi olduğu

varsayılsın.

Bu durumda xAx eşitliği sağlanıyorsa xx T olur. Bunun anlamı, eğer x,

A matrisinin özvektörü ise T dönüşümünün sonucunda x vektörünün görüntüsü bir

skalerle çarpımı olan x vektörüdür.

GİRİŞ

Ax

x

2Ax x

Özdeğer=2

1Ax x

Özdeğer=1

1 Ax x

Özdeğer=-1

Ax 0

Özdeğer=0

Ax x

Ax

x

Ax 0

x

GİRİŞ

ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR

Tanım: Özdeğer, Özvektör

A bir nn boyutlu kare matris olsun. Eğer λ bir skaler ve x vektörü de sıfır

olmayan, 0x , bir sütun vektörü olmak üzere,

xAx

eşitliği sağlanıyorsa x vektörü, A matrisinin özvektörü, λ skaleri de A matrisinin

özdeğeridir. Aynı zamanda x, λ özdeğerine karşılık gelen özvektördür.

Bir skaler olan λ, nn boyutlu A matrisi için xAx denkleminde x’in sonsuz

çözümü olduğu durumda bir özdeğer tanımlar.

ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR

Temel Özellikler

Özdeğer λ sıfır değerini alabilirken, özvektör x asla sıfır vektörü olamaz. Özdeğer sıfır olduğunda xAx 0 , A matrisinin tersi alınamaz. Boyutu nn olan bir A matrisinin tersinin alınabilir olması için tüm

özdeğerlerinin sıfırdan farklı olması gerekir.

ÖZ-UZAY

Tanım: Öz Uzay

Boyutu nn olan bir A matrisi için öz uzay, A matrisinin her bir

özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörlerin oluşturduğu kümedir

ÖZDEĞERLER

Teorem: Özdeğerlerin Sayısı

Eğer λ, nn boyutlu A matrisinin özdeğeri ve x vektörü de bu A matrisinin

özvektörü ise, 0x olmak üzere, 0xIA n eşitliğinde 0 ndet IA ’ı

sağlayacak şekilde, A’nın en fazla n adet farklı özdeğeri bulunur.

ÖZDEĞERLER

0xIA n denkleminin sonsuz çözümü sadece ve sadece 0 ndet IA

olduğunda ya da diğer bir deyişle nIA matrisinin tersi alınamaz olduğu durumda

vardır. Çünkü bu matrisin tersinin alınamaması demek her bir sütunda pivot elemanın

olmaması ve dolayısıyla homojen denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması

demektir. Bu durumun aksine nIA ’nin tersi alınabiliyorsa, ortaya çıkan tek çözüm

sıfır çözümdür.

Sonuç olarak A matrisinin özdeğerlerini bulabilmek için 0xIA n homojen

denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması gerekmektedir

ÖZDEĞERLER Teorem:Özdeğer ve Determinant

Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımı, matrisin determinantına eşittir.

1 2. ... det( )n

A

Teorem: Özdeğer ve İz

Özdeğerlerin toplamı matrisin izine eşittir.

1 2 11 22... ...n nn

trace a a a

Sonuç olarak özdeğerlerlerin toplamları ve çarpımları matrisin kendisi

üzerinden hesaplanabilir.

Teorem: Sıfır Özdeğeri ve Determinant

Boyutu nn olan bir A matrisinin sadece ve sadece determinantı sıfır

olduğunda tersi alınamaz. Özdeğerlerden en az biri sıfır ise bu determinant

sıfır değerini alır.

Tekil matrislerin en az bir özdeğeri sıfırdır.

ÖZDEĞERLER

Matrislerin Toplamlarının ve Çarpımlarının Özdeğerleri:

, A matrisinin özdeğeri, da B matrisinin özdeğeri olmak üzere, AB matrisinin

özdeğeri . değildir. Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için A ve B’nin aynı x özvektörüne

sahip olmaları gerekir. Aynı şekilde A+B’nin özdeğeri de değildir.

Eğer x, hem A hem de B matrisinin özvektörü ise ABx x eşitliği geçerlidir. Bazı

durumlarda tüm özvektörler ortaktır. Bunun sağlanabilmesi için AB=BA olmalıdır.

ÖZDEĞERLER

KARAKTERİSTİK DENKLEM Tanım: Karakteristik Denklem, Karakteristik Polinom

0 ndet IA denklem sistemine A matrisinin karakteristik denklemi,

0 ndet IA polinomuna da karakteristik polinomu denir. A matrisinin

özdeğerleri, karakteristik polinomun kökleridir.

Karakteristik denklem sadece değerlerini içerir, x değerlerini içermez.

2×2’lik bir a b

c d

A matrisi için karakteristik polinom

2 dettrace A A

şeklindedir.

Not: Yukarıda verilen karakteristik polinom eşitliği sadece 2×2’lik

matrisler için geçerlidir.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

Herhangi bir n×n boyutlu matris için özdeğerler hesaplanırken şu adımlar izlenmelidir:

1. nIA determinantı hesaplanır. Bu determinantın sonucu n ya da n ile

başlayan, n-inci dereceden bir polinomdur.

2. 0 ndet IA için polinomun kökleri bulunur. Bulunan n adet kök, A matrisinin

n adet özdeğerini tanımlar. Ayrıca bu değerler nIA ’yı tekil hale getirir.

3. Her bir değeri için 0xIA n çözülerek özvektör x bulunur.

Eğer 0xIA n işleminin sonucunda 0x sonucu bulunuyorsa, özdeğer değildir.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI Örnek:

2 1

1 2

A matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.

1.adım: A matrisinin karakteristik denklemi

021

12

A

2 4 3 0 ya da 1 3 0 .

2. adım: Bu denklemin köklerinden özdeğerler, 1 ve 3 bulunur.

3.adım: Özvektör denklemi 0xIA n

1

2

2 1 0

1 2 0

x

x

veya

1 2

1 2

2 0

2 0

x x

x x

Bu bir homojen denklem sistemi olduğu için mutlaka bir çözüm vardır.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

1 için,

1 2

1 2

0

0

x x

x x

Burada 1 ’e karşılık gelen özvektör, 02 x için,

1

11x

olup,

1

1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

3 için,

1 2

1 2

0

0

x x

x x

Burada 3 ’e karşılık gelen özvektör, 02 x için,

1

12x

olup,

1

1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

BENZER MATRİSLER

Tanım: Benzer (Similar) Matrisler

A ve B nn boyutlu iki matris olmak üzere, 1 PBPA şeklinde tanımlanmış

ve tersi alınabilir bir P matrisi mevcutsa bu iki matris benzer matrislerdir.

Teorem:

Eğer nn boyutlu iki matris benzer matris ise, karakteristik denklemleri ve

buna bağlı olarak da özdeğerleri birbirine eşittir.

SATIR-DENK MATRİSLER

Tanım: Satır-Denk Matrisler

İki mn boyutlu matris sadece ve sadece aynı satır uzayına sahipse

satır-denk matrislerdir.

Yani satır işlemleriyle bir matris diğerine benzetilebilir durumdadır.

Bu iki matrisin tanımladığı homojen denklem sistemleri aynı çözüm

kümesine (aynı boş uzaya) sahiptir.

SATIR-DENK MATRİSLER

Not: nn boyutlu A ve B matrisleri satır-denk matrisler ise benzer matris olmak zorunda

değildirler. Örneğin satır-denk matrisler 2 0

0 1

A ve 1 0

0 1

B ‘yi ele alınsın.

Eğer bu iki matris benzer matris olsalardı 1 PBPA şeklinde tanımlanmış ve tersi alınabilir

bir P matrisi ortaya çıkardı. B matrisi birim matris olduğu için IPPPIPA 11 olur. A

matrisi birim matris olmadığı için A ve B matrisleri eş matrisler değillerdir. Ayrıca benzer

matrislerin özdeğerleri birbirine eşit oldukları halde satır-denk matrisler için aynı durum söz

konusu değildir.

KÖŞEGEN MATRİSLER Teorem: Köşegen Matris

Boyutu n×n olan simetrik bir A matrisinin n×1 boyutlu ve n adet doğrusal bağımsız

özvektörleri 1 2, ,...,n

x x x olduğu varsayılsın. Bu özvektörleri sütunlarında barındıran

P matrisine özvektör matrisi denir. APP1 matrisi ise özdeğer matrisidir. Bir A

matrisinin özdeğer matrisinin tersi olan -1P , A matrisi ile çarpılır ve elde edilen

sonuç da P ile çarpılırsa, ortaya çıkan Λ matrisinin köşegen elemanları, A matrisinin

özdeğerlerini verir.

nxxxP ,,, 21

1

2

0 0

0 0

0 0n

1P AP Λ

KÖŞEGEN MATRİSLER

İspat:

A matrisi özvektörleri tanımlayan P matrisi ile çarpılsın. AP matrisinin ilk sütunu 1

Ax ‘dir.

Bu sütun 1 1x vektörüne eşittir. P’nin her bir sütunu özdeğerleri ile çarpılırsa,

1 1 1n n n AP A x x x x

Burada yapılan işlem AP matrisini PΛ matrisine dönüştürmektir.

1

21

0 0

0 0

0 0

n n

n

1 n 1x x x x PΛ

KÖŞEGEN MATRİSLER

Böylece aşağıdaki eşitlikler geçerli olmaktadır:

AP PΛ -1P AP Λ veya -1

A PΛP

P matrisinin tersi vardır. Çünkü A matrisinin özvektörlerinin doğrusal

bağımsız oldukları varsayılmıştı. Diğer bir deyişle n adet bağımsız

özvektör olmaksızın köşegenleştirme işlemi yapılamaz.

KÖŞEGEN MATRİSLER Teorem:

Özvektörler 1,..., nx x ve bunlara karşılık gelen özdeğerler doğrusal bağımsız ise n

farklı özdeğere sahip nxn boyutlu bir matris köşegenleştirilebilir.

İspat:

0xx 2211 cc olsun. A matrisini bulabilmek için bu ifadeyi önce 1 sonra da 2 ile

genişletilsin. Daha sonra elde ettiğimiz sonuçları birbirinden çıkararak,

0xx 221111 cc

0xx 222112 cc

0xx 22211121 cc

sonucu elde edilir.

KÖŞEGEN MATRİSLER

Buradan 1 0c olduğu görülmektedir. Eğer ’lar birbirinden farklıysa ve

1 x 0 ise, 1 0c sonucu elde edilir. Aynı şekilde 2 0c ’dır. Başka

herhangi kombinasyon 1 1 2 2c c x x 0 sonucunu vermez. Bu yüzden x1 ve x2

bağımsız olmak zorundadır.

Not: Ters alma ve köşegenleştirme işlemleri ile ilgili şu bilgilere dikkat

edilmelidir;

- Bir matrisin tersinin alınabilmesi özdeğelerine(sıfır olup olmadıklarına)

bağlıdır.

- Bir matrisin köşegenleştirilebilmesi ise özvektörlerinin doğrusal

bağımsızlıklarına bağlıdır.

KÖŞEGEN MATRİSLER

ÜST ÜÇGEN MATRİSLER

Teorem: Üst Üçgen Matrisin Özdeğerleri

Üst üçgen bir matrisin özdeğerleri, köşegen elemanların üzerinde tanımlıdır.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalar şunlardır:

1. Özdeğerler 1 2, ,...,n

birbirinden bağımsız ise özvektörler 1 2, ,...,n

x x x de

bağımsızdır. Tekrar etmeyen özdeğerlere sahip herhangi bir matris köşegenleştirilebilir.

2. Özvektör matrisi P eşsiz değildir. Özvektörler sıfır olmayan herhangi bir sabit ile çarpılabilir.

3. A matrisini köşegenleştirmek için özvektör matrisi kullanılmak zorundadır. -1P AP Λ

ifadesinden AP PΛ ve ayrıca özdeğer tanımından xAx olduğu bilinmektedir. Bu

eşitlikler ancak ve ancak x vektörünün bir özvektör olduğu durumda sağlanır.

MATRİSİN KUVVETLERİ

Tanım: Matrisin Kuvvetleri

Herhangi bir nn boyutlu A matrisi bir köşegen matris ile benzer matris olabiliyorsa

köşegenleştirilebilirdir. Köşegenleştirilebilen bir A matrisi için -1A PΛP eşitliği

sağlanmalıdır. Burada P tersi alınabilir ve ise köşegen bir matristir.

Bu özellik kullanılarak bir matrisin kuvvetleri kolaylıkla elde edilebilir.

MATRİSİN KUVVETLERİ

Örneğin A köşegenleştirilebilir bir matris olmak üzere A3’ü bulunsun.

33 -1 -1 -1 -1A PΛP PΛP PΛP PΛP

-1 -1 -1PΛP PΛP PΛP

-1 -1 -1PΛ P P Λ P P ΛP

-1PΛΛΛP

3 -1PΛ P olur.

Bu durum genellendiğinde, eğer -1A PΛP ise k k -1

A PΛ P olur.

MATRİSİN KUVVETLERİ Teorem: Bir n×n boyutlu A matrisi ele alındığında, A’nın tüm kuvvetleri için özvektörler sabit kalır.

Özdeğerler ise A matrisinin kuvveti ile orantılıdır. Diğer bir deyişle eğer x, A matrisinin

özvektörü ise, aynı zamanda A2, A3,…,At’nin de özvektörüdür.

xxA22

xxA33

xxAkk (k pozitif bir tam sayı olmak üzere)

Ak matrisi için özvektör matrisi hala P’dir. Fakat özdeğer matrisi kΛ olur.

Teorem: A matrisinin özdeğerleri ise 1A matrisinin özdeğerleri 1 olup özvektörleri A

matrisinin

özvektörleri ile aynıdır.

TEOREMLER Teorem: Her bir simetrik matris T

A QΛQ şeklinde reel özvektörlerden oluşan Λ

ve ortanormal özvektörlerden oluşan Q için bir faktörizasyona sahiptir.

Teorem:

A ve B köşegenleştirilebilen matrisler olsun. Eğer AB=BA eşitliği sağlanıyorsa bu iki

matris aynı özvektör matrisi P’ye sahiptir.

Teorem:

Reel simetrik bir matrisin özdeğerleri reeldir.

Teorem:

Reel simetrik bir matrisin özvektörleri her zaman birbirine diktir.

Teorem:

Bir n×n boyutlu A matrisi için birbirinden farklı özdeğerler 1,..., n ve bunlara karşılık

gelen özvektörler 1,..., nx x ise, 1,..., n

x x kümesi doğrusal bağımsızdır.

SİMETRİK MATRİSLER Simetrik Matrisler:

Simetrik matrislere ilişki önemli iki özellik şunlardır:

1. Simetrik bir matrisin özdeğerleri birbirinden farklı ve reeldir.

2. Simetrik bir matrisin özvektörleri ortanormal(uzunlukları bir ve iç çarpımları

sıfır olan vektörler ortanormaldir) hale dönüştürülebilir.

Simetrik bir matris için A=AT eşitliği geçerlidir. Bu eşitliği özdeğerler ve özvektörler

açısından incelensin. -1A PΛP eşitliğinin transpozu alınıırsa TT T -1

A P ΛP olur.

A=AT olduğu için ilk formdaki -1

P , ikinci formdaki TP ’a eşit olmalıdır. O halde

TP P I ‘dir. Bunun anlamı: P’deki her bir özvektör diğer özvektörlere ortogonaldir

(özvektörler birbirine diktir ve çarpımları sıfırdır).

Ayrıca AT matrisinin özdeğerleri A matrisinin özdeğerlerine eşittir.

H izdüşüm matrislerinin özdeğerleri 0 ya da 1 ’dir.

R yansıma matrislerinin özdeğerleri 1 ya da 1 ’dir.

Her bir simetrik matrisin özvektör matrisi P, ortogonal bir matris olan Q’ya

dönüşür. Ortogonal matrisler için 1 T Q Q eşitliği geçerlidir.

SİMETRİK MATRİSLER

Teorem:

Simetrik bir A matrisinin 1 ve 2 ile tanımlanan iki farklı özdeğerine karşılık

gelen özvektörleri 1x ve 2x olsun. Bu durumda 1x ve 2x ortogonal vektörlerdir.

SİMETRİK MATRİSLER

SİMETRİK MATRİSLER İspat:

111 xAx ve 222 xAx

olduğundan,

12112 xxAxxTT

21121 xxAxxTT

İlk eşitliğin transpozu alınarak,

21121 xxxAxTTT

ve ikinci eşitlikten çıkarılarak (A=AT olduğundan),

21210 xxT

özdeğerler 21 olduğundan,

021 xxT

İspat tamamlanır.

CHOLESKY AYRIŞIMI

Teorem:

Eğer A boyutu nn rankı rn ve pozitif yarı tanımlı matris ise L köşegen

elemanlarının r adedi pozitif ve n-r adedi sıfır olan bir alt üçgen matris olmak üzere,

A=LTL

şeklinde ayrıştırılabilir

CHOLESKY AYRIŞIMI Cholesky Ayrışımı:

Tüm pozitif tanımlı simetrik A matrisleri TA LL şeklinde ayrıştırılabilir. Burada L,

köşegen elemanları pozitif olan bir alt üçgen matrisidir. L matrisine A matrisinin Cholesky

faktörü denir.3×3’lük bir A matrisi için Cholesky ayrışımı şu şekilde yapılır:

11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0

0 0

0 0

T

l l l l

l l l l

l l l l

A LL

211 21 11 31 11

2 221 11 21 22 31 21 32 22

2 2 231 11 31 21 32 22 31 32 33

l l l l l

l l l l l l l l

l l l l l l l l l

CHOLESKY AYRIŞIMI

L matrisinin elemanları şu şekilde elde edilir: 1

2

1

k

kk kk kj

j

l a l

1

1

1 i

ki ki ij kj

jii

l a l ll

, i>j için