1

1 BOumlLUumlM

VEKTOumlRLER

2

TanımMatematik istatistik mekanikhellip gibi ccedileşitlibilim dallarında uzunluk alan hacim yoğunlukkuumltle elektriksel yuumlkhellip gibi buumlyuumlkluumlkler cebirselkurallara goumlre ifade edilirler

Bu tuumlr ccedilokluklara

ldquoSkalerrdquo

buumlyuumlkluumlkler denir

3

Tanım hareket hız kuvvethellip

gibi hem youmlnuuml hem

doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml

olan ccedilokluklara ldquoVektoumlrel

Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir

4

Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı

bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına

vektoumlr denir

bull A Başlangıccedil noktası

bull B Bitim noktasıdır

A

B

ABu

bull yada u ile goumlsterilir

u

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AA ya da 0

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir

6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve

buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir

u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan

vektoumlr

-u

ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

2

TanımMatematik istatistik mekanikhellip gibi ccedileşitlibilim dallarında uzunluk alan hacim yoğunlukkuumltle elektriksel yuumlkhellip gibi buumlyuumlkluumlkler cebirselkurallara goumlre ifade edilirler

Bu tuumlr ccedilokluklara

ldquoSkalerrdquo

buumlyuumlkluumlkler denir

3

Tanım hareket hız kuvvethellip

gibi hem youmlnuuml hem

doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml

olan ccedilokluklara ldquoVektoumlrel

Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir

4

Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı

bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına

vektoumlr denir

bull A Başlangıccedil noktası

bull B Bitim noktasıdır

A

B

ABu

bull yada u ile goumlsterilir

u

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AA ya da 0

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir

6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve

buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir

u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan

vektoumlr

-u

ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

3

Tanım hareket hız kuvvethellip

gibi hem youmlnuuml hem

doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml

olan ccedilokluklara ldquoVektoumlrel

Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir

4

Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı

bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına

vektoumlr denir

bull A Başlangıccedil noktası

bull B Bitim noktasıdır

A

B

ABu

bull yada u ile goumlsterilir

u

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AA ya da 0

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir

6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve

buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir

u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan

vektoumlr

-u

ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

4

Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı

bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına

vektoumlr denir

bull A Başlangıccedil noktası

bull B Bitim noktasıdır

A

B

ABu

bull yada u ile goumlsterilir

u

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AA ya da 0

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir

6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve

buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir

u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan

vektoumlr

-u

ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AA ya da 0

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir

6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve

buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir

u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan

vektoumlr

-u

ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve

buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir

u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan

vektoumlr

-u

ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v

vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim

noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln

başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına

birleştiren vektoumlrduumlr

1 2u uu 1 2v vv ise

1 1 2 2u v u v u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v

u

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet

Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n v v v v

11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

-ku u

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln

Bir Skaler İle Ccedilarpımı

Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

1 1 n nu v u v w uv

u+v

-vw

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlREL İŞLEMLER

Vektoumlrlerin Farkı

w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir

Paralelkenar Youmlntemi

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın

tanımladığı vektoumlruumln elemanları

AB OB OA

AB OB OA

1 2 1 2 AB b b a a

1 1 2 2AB b a b a

AB B A

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)

B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her

K noktası iccedilin

KB KA AB

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 2

1 2 nu u u u

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU

NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA

2 22

OB BC CA

2 2 2x y z

Uzunluk

2 2 2r x y z

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

Nu u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

1 2 nu u uu

2 2 2

1 2 nu u u u

ise

1 2 nN

uu u

uu u u

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve

P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki

mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

İki Nokta Arasındaki Mesafe

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

100i 010j 001k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

OA OB BC CA r

OB OD OE

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİ

Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u u e e e

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k

1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere

1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k

1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

İki Boyut

Ox

y

ij

P

M(xy) M x y

OM OP PM

OP x i

PM y j

OM x y i j

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

29

i j

z

y

x

O

k

OM xi y j z k

OM x y z

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Uumlccedil Boyut

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Skaler Ccedilarpım

Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uv ile goumlsterilir

uv u v Cos 0

vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB

OC OB

OC OB

OCCos

OA

OC OA Cos

uv OB OA Cos

uv u v Cos

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cos

0

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım

uv u v Cos

u v

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk ve 0ij ik jk

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v

1

n

r r

r

u v

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u v

1 1 2 2 n nu v u v u vCos

u v

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

1 2 nu u u u 1 2 nv v v v

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

)() 22 uuuuub

wuvuwvuc

)()

)()()() vmuvumvumd

(m skaler)

11) uuue

0) vuvuf

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım

u

v

vu

Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u v ya da u v

ile goumlsterilir

w u v e u v Sin

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar

Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği

gibi

sinu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

A taban yuumlkseklik

sin v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen

w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel

Permuumltasyon

0i i i j k i k j

j i k 0j j j k i

k i j k j i 0k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v

Not Determinant konusu ile ilişkilidir

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım

Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise

1 0 u u v

u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir

2 0 v u v

u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 22 2 2

u v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

u v w uw v uv w

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

u v w ccedilarpım vektoumlruuml

v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri

wvu

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvua

)

wuvuwvub

)()

)()()() vmuvumvumc

(m skaler)

0) paraleldirvileuvud

e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

u v w u v w Cos

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı

u v w v w u Cos

İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan

paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB

OB OB e

OB OA Cos e

OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml

OB OA Cos ya da

OB OAe

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ

56

BİRİNCİ

BOumlLUumlM

BİTTİİİİİİİ