Geometrija 2 - Poligoni i poliedripoincare.matf.bg.ac.rs/.../predavanja20_21/poli.pdfUnutraxost i spo axost poliedarske povrxi eTorema 2.1 Neka je ωprosta poliedarska povrx i Otaqka

Poligon Poliedarske povrxi

UNIVERZITET U BEOGRADU

MATEMATIQKI FAKULTET

Geometrija 2

Poligoni i poliedri

Tijana Xukilovi

2. novembar 2020


Poligonska linija i poligon

Definicija 1.1

Poligonska linija A0 . . . An−1An je unija dui A0A1, . . . ,An−1An koje nazivamo ivice poligonske linije. TaqkeA0, . . . An nazivaju se temena poligonske linije.

zatvorena poligonska linija = poligon

susedna temena/ivice

prost/sloen poligon

dijagonala poligona

unutraxa dijagonala poligona


Poligonska linija i poligon

Definicija 1.1

Poligonska linija A0 . . . An−1An je unija dui A0A1, . . . ,An−1An koje nazivamo ivice poligonske linije. TaqkeA0, . . . An nazivaju se temena poligonske linije.

zatvorena poligonska linija = poligon

susedna temena/ivice

prost/sloen poligon

dijagonala poligona

unutraxa dijagonala poligona


Unutrxost poligona

O

aA3

A2

A1

A0

A10

A9

A8

A7

A6

A5

A4

A4 A3

A2A1

A0

A9

A8A7

A6A5

O

a

Slika 1: Unutraxost prostog i sloenog poligona


Presek prostog poligona i polupravih

Teorema 1.1

Neka ravni π prostog poligona p pripadaju dve poluprave ai b sa istim temenom O 6∈ p, koje ne sadre temena poligona.Tada su brojevi k(a) i k(b) preseqnih taqaka a i b redom sapoligonom p iste parnosti.



Dokaz

Razmatrajmo poluprave a1 = OA1, . . . , an = OAn. Onerazlau ravan poligona na m ≤ n uglova. Razlikujemo trisluqaja.

Pretpostavimo da obe poluprave a i b pripadaju istomuglu ∠a1a2. Poxto unutar tog ugla nema temenapoligona, svaka ivica poligona seqe pravu a ako i samoako seqe b, pa je tada k(a) = k(b).



Dokaz

Razmatrajmo poluprave a1 = OA1, . . . , an = OAn. Onerazlau ravan poligona na m ≤ n uglova. Razlikujemo trisluqaja.

Pretpostavimo da obe poluprave a i b pripadaju istomuglu ∠a1a2. Poxto unutar tog ugla nema temenapoligona, svaka ivica poligona seqe pravu a ako i samoako seqe b, pa je tada k(a) = k(b).



Dokaz

Pretpostavimo sada da prave a i b pripadaju susednimuglovima: a ⊂ ∠a1a2, b ⊂ ∠a2a3. Tada su za ivicepoligona mogui sledei sluqajevi:

Oa3

a2

a1

12 3

45 a

b

Slika 2: k(a)− k(b) je paran broj



Dokaz

Ako a i b ne pripadaju ni istom, ni susednim uglovima,mogue je nai r pravih t1, . . . , tr tako da su a, t1, . . . , tr, bu susednim uglovima. Prema prethodno dokazanombrojevi:

k(a)− k(t1), k(t1)− k(t2), . . . , k(tr)− k(b)

su parni, pa je i k(a)− k(b) paran, tj. k(a) i k(b) suiste parnosti.


Unutraxost prostog poligona

Definicija 1.2

Neka je p prost poligon u ravni π i O ∈ π, O 6∈ p. Ako svakapoluprava te ravni sa temenom u O koja ne sadri temenapoligona p sa poligonom ima neparan broj zajedniqkihtaqaka, onda je O unutar poligona p. U suprotnom, O jeizvan poligona.

Teorema 1.2

Unutraxost i spoaxost prostog poligona su neprazniskupovi.


Unutraxost prostog poligona

Definicija 1.2

Neka je p prost poligon u ravni π i O ∈ π, O 6∈ p. Ako svakapoluprava te ravni sa temenom u O koja ne sadri temenapoligona p sa poligonom ima neparan broj zajedniqkihtaqaka, onda je O unutar poligona p. U suprotnom, O jeizvan poligona.

Teorema 1.2

Unutraxost i spoaxost prostog poligona su neprazniskupovi.


Povezanost

Teorema 1.3

Ako u ravni π poligonska linija koja povezuje taqke A i Bnema zajedniqkih taqaka sa prostim poligonom p ⊂ π, ondasu A i B ili obe unutar ili obe izvan p.

Teorema 1.4

Unutraxost i spoaxost prostog ravnog poligona supovezani likovi.


Triangulacija poligona

Triangulacija je razlagae nekog lika na trouglove.

Triangulacija prostog poligona je razlagae egoveunutraxosti unutraxim dijagonalama koje semeusobno ne seku.

Lema 1.1

Svaki prost poligon sa vixe od 3 temena ima unutraxudijagonalu.

Teorema 1.5

Svaki prost poligon dopuxta triangulaciju i svakatriangulacija poligona sa n temena se sastoji od taqnon− 2 trougla.





Lema 1.1


Teorema 1.5






Lema 1.1


Teorema 1.5






Lema 1.1


Teorema 1.5



Poliedarski model glatke povrxi

Slika: ”Stanford bunny“


Poliedarska povrx

Definicija 2.1

1 Poligonske povrxi su susedne ako imaju zajedniqkuivicu.

2 Konaqan niz poligonskih povrxi qije su svake dveuzastopne povrxu susedne je lanac poligonskih povrxi.

3 Skup poligonskih povrxi je povezan ako za svake dvepovrxi postoji lanac koji ih spaja.


Poliedarska povrx

Definicija 2.2

Konaqan povezan skup poligonskih povrxi je poliedarskapovrx ako:

1 za povrxi tog skupa koje imaju zajedniqko teme,odgovarajui unutraxi uglovi su posni rogastepovrxi koja sem tih povrxi nema drugih;

2 svaka du koja pripada nekoj od ivica poligonskihpovrxi pripada najvixe jox jednoj od ivica neke drugepovrxi tog skupa.

temena

ivice

posni


Poliedarska povrx

Definicija 2.2

Konaqan povezan skup poligonskih povrxi je poliedarskapovrx ako:

1 za povrxi tog skupa koje imaju zajedniqko teme,odgovarajui unutraxi uglovi su posni rogastepovrxi koja sem tih povrxi nema drugih;

2 svaka du koja pripada nekoj od ivica poligonskihpovrxi pripada najvixe jox jednoj od ivica neke drugepovrxi tog skupa.

temena

ivice

posni


Proste i sloene poliedarske povrxi

Slika: Mebijusova traka i Klajnova boca


Unutraxost i spoaxost poliedarske povrxi

Teorema 2.1

Neka je ω prosta poliedarska povrx i O taqka van tepovrxi. Ako su a i b poluprave sa temenom O koje ne sekuivice poliedarske povrxi ω, tada su brojevi k(a) i k(b)preseqnih taqaka a i b redom sa ω iste parnosti.

Definicija 2.3

Ako O 6∈ ω i ako poluprava sa temenom O koja ne sadritemena i ne seqe ivice ω ima sa ω neparan broj zajedniqkihtaqaka, onda je O unutar ω, a inaqe je izvan.

Skup svihtaqaka unutar ω je unutraxost, a izvan spoaxost.

Unutraxost i spoaxost su neprazni skupovi.

Relacija povezanosti na skupu S\ω je relacijaekvivalencije sa dve klase.



Teorema 2.1


Definicija 2.3

Ako O 6∈ ω i ako poluprava sa temenom O koja ne sadritemena i ne seqe ivice ω ima sa ω neparan broj zajedniqkihtaqaka, onda je O unutar ω, a inaqe je izvan.

Skup svihtaqaka unutar ω je unutraxost, a izvan spoaxost.





Teorema 2.1


Definicija 2.3

Ako O 6∈ ω i ako poluprava sa temenom O koja ne sadritemena i ne seqe ivice ω ima sa ω neparan broj zajedniqkihtaqaka, onda je O unutar ω, a inaqe je izvan. Skup svihtaqaka unutar ω je unutraxost, a izvan spoaxost.





Teorema 2.1


Definicija 2.3






Teorema 2.1


Definicija 2.3





Poliedri

Definicija 2.4

Unutraxost poliedarske povrxi ω je otvoreni poliedar,ω je egov rub, a unija otvorenog poliedra i egovog ruba jezatvoren poliedar.

temena

ivice

dijagonale

posni


Poliedri

Definicija 2.4

Unutraxost poliedarske povrxi ω je otvoreni poliedar,ω je egov rub, a unija otvorenog poliedra i egovog ruba jezatvoren poliedar.

temena

ivice

dijagonale

posni


Izomorfni poliedri

Definicija 2.5

Dva poliedra Ω i Ω′ su izomorfna ako postoji bijekcijakojom se incidentna temena, ivice i posni poliedra Ωpreslikavaju, redom, na incidentna temena, ivice i posnipoliedra Ω′.

Slika 5: Izomorfni poliedri


Dualni poliedri

Definicija 2.6

Dva poliedra Ω i Ω′ su dualna ako postoji bijekcija kojomse incidentna temena, ivice i posni poliedra Ωpreslikavaju, redom, na incidentna posni, ivice i temenapoliedra Ω′.

Slika 6: Dualni poliedri


Povratni poligoni

Definicija 2.7

Prost poligon (ravan ili prostoran) kome su straniceivice neke poliedarske povrxi naziva se povratnimpoligonom te povrxi.

T0

T4

T1

T2

T3

T5

T6

T7

Slika 7: Povratni poligon T1T2T3T7T6T5


Rod poliedarske povrxi

Definicija 2.8

Povratni poligon p razlae poliedarsku povrx ω akopostoje (bar) dve posni te povrxi takve da svaki lanackoji ih spaja, a sastoji se iz posni povrxi ω, sadrinajmae jedan par susednih posni kojima je zajedniqkaivica stranica poligona p.

Definicija 2.9

Najvei mogui broj povratnih poligona poliedarskepovrxi ω, koji nemaju zajedniqkih taqaka i ne razlau tupovrx, nazivamo rodom poliedarske povrxi.


Povrxi roda 0, 1 i 2

Slika: Primeri poliedarskih i glatkih povrxi roda 0, 1 i 2


Ojlerova karakteristika i rod povrxi

Ojlerova karakteristika poliedarske povrxiM je broj

χ(M) = T

temena

− I

ivice

+ P

posni

Teorema 2.2

Svi poliedarski modeli neke glatke povrxi imaju istuOjlerovu karakteristiku.


Ojlerova karakteristika i rod povrxi

Ojlerova karakteristika poliedarske povrxiM je broj

χ(M) = T

temena

− I

ivice

+ P

posni

Teorema 2.2

Svi poliedarski modeli neke glatke povrxi imaju istuOjlerovu karakteristiku.


Ojlerova karakteristika povrxi roda 0

Teorema 2.3

Ako jeM poliedarski model sfere, tada je χ(M) = 2.

Dokaz

Triangulixemo posni unutraxim dijagonalama.

Unutraxa dijagonala razlae poligon na 2:broj temena T ostaje isti,broj ivica I i broj posni P se poveaju za 1.

χ = T − I + P = const

Pokaimo da je χ = 2.



Dokaz nastavak

Dokaz indukcijom po broju trouglova u triangulaciji.

Slika: Triangulacije τ1, τ2, τ3

τn, χn: dodamo tn+1

r broj poligona na rubu skupa τk:

χk = χ1 − r + 1 = 2− r.

Konaqna triangulacija nema rub: χ = 2!


Ojlerova karakteristika povrxi roda 0Dokaz nastavak




Slika: Sluqaj 1


χk = χ1 − r + 1 = 2− r.







Slika: Sluqaj 2


χk = χ1 − r + 1 = 2− r.







Slika: Sluqaj 3


χk = χ1 − r + 1 = 2− r.







Slika: Sluqaj 4


χk = χ1 − r + 1 = 2− r.




Dokaz nastavak





χk = χ1 − r + 1 = 2− r.




Dokaz nastavak





χk = χ1 − r + 1 = 2− r.



Topoloxki pravilni poliedri

Definicija 2.10

Poliedar se zove topoloxki pravilan ako:

svaka egova posan ima isti broj ivica,

svaki egov roga ima isti broj ivica.

Teorema 2.4

Postoji taqno 5 neizomorfnih, topoloxki pravilnihpoliedara kojima je rub poliedarska povrx nultog roda.


Topoloxki pravilni poliedri

Definicija 2.10

Poliedar se zove topoloxki pravilan ako:

svaka egova posan ima isti broj ivica,

svaki egov roga ima isti broj ivica.

Teorema 2.4

Postoji taqno 5 neizomorfnih, topoloxki pravilnihpoliedara kojima je rub poliedarska povrx nultog roda.


Platonova tela

Platon (457− 347 p.n.e.), ”Timaj" ili ”O metafizici"

tetraedar = suvoa vatre

oktaedar = pokretivost vazduha

ikosaedar = vlanost vode

heksaedar (kocka) = stabilnost zeme

dodekaedar = Univerzum


Leonardo da Vinqi (1452− 1519)


Johan Kepler (1571− 1630)

Slika: Keplerov model Solarnog sistema(Joaquin Baldwin 3D Printed Designs)

http://www.shapeways.com/product/K74QXNJ7A/kepler-s-platonic-solids-model-of-the-solar-system


Johan Kepler (1571− 1630)

Slika: Keplerov Solarni sistem


Dokaz teoreme 2.4

T, I, P - broj temena, ivica, posni

p - broj ivica iz jednog temena

q - broj ivica jedne posni

χ = T − I + P = 2 2I = pT = qP

2 = 2Ip− I + 2I

q=⇒ 1

p+ 1q

= 1I

+ 12 >

12

poliedar p q T I P

tetraedar 3 3 4 6 4

kocka (heksaedar) 3 4 8 12 6

oktaedar 4 3 6 12 8

dodekaedar 3 5 20 30 12

ikosaedar 5 3 12 30 20


Dualnost Platonovih tela

Slika 11: Tetraedar je dualan (i izomorfan) samom sebi



Slika 11: Heksaedar i oktaedar su dualni



Slika 11: Ikosaedar i dodekaedar su dualni


Konstrukcija Platonovih tela

Konstrukcije:

tetraedar;

oktaedar;

dodekaedar;

ikosaedar.

http://www.geometrija.matf.bg.ac.rs/geometrija4/tetraedar.avi

http://www.geometrija.matf.bg.ac.rs/geometrija4/oktaedar.avi

http://www.geometrija.matf.bg.ac.rs/geometrija4/dodekaedar.avi

http://www.geometrija.matf.bg.ac.rs/geometrija4/ikosaedar.wmv



AB

C

D

E

B

C D

A

F

Slika 12: Tetraedar i oktaedar

Domai

Dokazati da su tetraedar ABCD i oktaedar ABCDEFpravilni poliedri.Kako se konstruixe kocka?



Slika: Konstrukcija ikosaedra korixeem ”zlatnihpravougaonika"



a b

a + b

(a + b) : a = a : b

zlatni presek

a

b

b

a

2

Slika 12: Zlatni presek i ikosaedar



Euklidova konstrukcija dodekaedra1

1animacija prof. Zorana Luqia



P, Q sredixta posni sa

zajedniqkom ivicom BC

H = S(BC), N = S(BE),O = S(CF )R ∈ [P N ], S ∈ [P O], T ∈ [HQ]:

P R : RN = P N : P R,

P S : SO = P O : P S,

QT : T H = QH : QT.

U, V, W van kocke, na pravama

upravnim na posni kocke u

R, S, T :

UR = V S = W T = P R = P S = QT.

UBW CV pravilan petougao

Documents

Geometrija 2 - Poligoni i poliedripoincare.matf.bg.ac.rs/.../predavanja20_21/poli.pdfUnutraxost i spo axost poliedarske povrxi eTorema 2.1 Neka je ωprosta poliedarska povrx i Otaqka