Embed Size (px)
Citation preview
Geometria w grafice komputerowej
Maciej Czarnecki
1
Spis treści
0 Geometria euklidesowa 3
1 Geometria analityczna na płaszczyźnie 5
2 Geometria analityczna w przestrzeni 6
3 Krzywe i powierzchnie stopnia 2 7
4 Rachunek macierzowy 9
5 Liczby zespolone i kwaterniony 10
6 Przekształcenia geometryczne 12
7 Krzywe parametryczne 14
8 Powierzchnie regularne 18
2
0 Geometria euklidesowa
Definicja 0.1. Rn, +, ·
Stwierdzenie 0.2. Rn jest przestrzenią liniową
Definicja 0.3. kombinacja liniowa
Definicja 0.4. podprzestrzeń liniowa
Przykład 0.5. podprzestrzeń liniowa = zbiór rozwiązań jednorodnego układurównań liniowych
Definicja 0.6. liniowa niezależność, równoległość wektorów
Definicja 0.7. baza, wymiar
Przykład 0.8. baza kanoniczna
Definicja 0.9. współrzędne wektora w bazie
Definicja 0.10. przekształcenie liniowe
Definicja 0.11. En, −→pq
Stwierdzenie 0.12. En jest przestrzenią afiniczną
Definicja 0.13. dodawanie punktu i wektora
Definicja 0.14. środek ciężkości; dla odcinka, trójkąta
Definicja 0.15. położenie ogólne
Definicja 0.16. podprzestrzeń afiniczna
Stwierdzenie 0.17. przedstawienie liniowe
Definicja 0.18. wymiar, prosta, płaszczyzna
Definicja 0.19. równoległość podprzestrzenie afinicznych
Przykład 0.20. podprzestrzeń afiniczna = zbiór rozwiązań układu równań li-niowych
Definicja 0.21. układ współrzędnych, współrzędne punktu
Definicja 0.22. otoczka wypukła, odcinek, trójkąt, czworościan, sympleks
Definicja 0.23. równoległościan
Definicja 0.24. przekształcenie afiniczne
Definicja 0.25. translacja
Stwierdzenie 0.26. Przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształcenialiniowego z translacją
3
Definicja 0.27. (standardowy) iloczyn skalarny
Stwierdzenie 0.28. własności iloczynu skalarnego
Uwaga 0.29. inne iloczyny skalarne
Definicja 0.30. norma, wektor jednostkowy
Stwierdzenie 0.31. własności normy
Twierdzenie 0.32. nierówność Schwarza
Definicja 0.33. kąt pomiędzy wektorami, prostopadłość
Twierdzenie 0.34. cosinusów, Pitagorasa
Definicja 0.35. prostopadłość podprzestrzeni
Twierdzenie 0.36. istnienie bazy ortonormalnej
Stwierdzenie 0.37. współrzędne wektora w bazie ortonormalnej
Definicja 0.38. przekształcenie ortogonalne
Definicja 0.39. odległość punktów
Definicja 0.40. odległość podzbiorów
Definicja 0.41. kula, sfera, koło, okrąg
Definicja 0.42. objętość sympleksu, pole trójkąta, objętość czworościanu
Stwierdzenie 0.43. objętość równoległościanu, pole równoległoboku
Definicja 0.44. izometria
Twierdzenie 0.45. Mazura–Ulama
4
1 Geometria analityczna na płaszczyźnie
Definicja 1.1. iloczyn skalarny, norma i odległość w R2
Definicja 1.2. równanie parametryczne prostej
Definicja 1.3. równanie ogólne prostej
Definicja 1.4. równanie kierunkowe prostej
Definicja 1.5. równanie odcinkowe prostej
Stwierdzenie 1.6. warunek równoległości prostych
Stwierdzenie 1.7. warunek prostopadłości prostych
Definicja 1.8. kąt pomiędzy prostymi (normalne, kierunkowe)
Definicja 1.9. wektor normalny do prostej
Stwierdzenie 1.10. wzór na kąt pomiędzy prostymi
Stwierdzenie 1.11. odległość punktu od prostej
Stwierdzenie 1.12. odległość dwóch prostych równoległych
Stwierdzenie 1.13. środek odcinka, środek ciężkości trójkąta
Stwierdzenie 1.14. pole trójkąta, równoległoboku
5
2 Geometria analityczna w przestrzeni
Definicja 2.1. iloczyn skalarny, norma, odległość w R3
Definicja 2.2. iloczyn wektorowy
Stwierdzenie 2.3. własności liniowe iloczynu wektorowego
Stwierdzenie 2.4. własności geometryczne iloczynu wektorowego
Definicja 2.5. równanie parametryczne płaszczyzny
Definicja 2.6. równanie ogólne płaszczyzny
Stwierdzenie 2.7. wektor normalny do płaszczyzny (n = v × w)
Definicja 2.8. kąt pomiędzy płaszczyznami
Stwierdzenie 2.9. warunek równoległości, prostopadłości płaszczyzn
Stwierdzenie 2.10. odległość punktu od płaszczyzny
Stwierdzenie 2.11. odległość płaszczyzn równoległych
Stwierdzenie 2.12. objętość czworościanu, pole trójkąta
Stwierdzenie 2.13. objętość równoległościanu, pole równoległoboku
Definicja 2.14. równanie ogólne prostej w E3
Definicja 2.15. kąt pomiędzy prostą i płaszczyną
Stwierdzenie 2.16. odległość prostych skośnych
6
3 Krzywe i powierzchnie stopnia 2
Definicja 3.1. elipsa w położeniu standardowym x2
a2 + y2
b2 = 1, a b > 0elipsa — izometryczny obraz elipsy w położeniu standardowym
Definicja 3.2. c =√a2 − b2; ogniska F1,2 = (∓c, 0), kierownice k1,2 : x = ∓a
2
cmimośród e = c
a , oś wielka 2a, oś mała 2b
Stwierdzenie 3.3. |XF1|+ |XF2| = 2a
Stwierdzenie 3.4. e = |XF2|d(X,k2)
dla X bliższego F2
Definicja 3.5. hiperbola w położeniu standardowym x2
a2 −y2
b2 = 1, a, b > 0hiperbola — izometryczny obraz hiperboli w położeniu standardowym
Definicja 3.6. c =√a2 + b2; ogniska F1,2 = (∓c, 0), kierownice k1,2 : x = ∓a
2
cmimośród e = c
a , oś rzeczywista 2a, oś urojona 2b;asymptoty m1,2 : y = ∓ b
ax
Stwierdzenie 3.7. | |XF1| − |XF2| | = 2a
Stwierdzenie 3.8. e = |XF2|d(X,k2)
dla X bliższego F2
Definicja 3.9. parabola w położeniu standardowym y2 = 2px, p > 0parabola — izometryczny obraz paraboli w położeniu standardowym
Definicja 3.10. ognisko F =(p2 , 0), kierownica k : x = −p2 , imośród e = 1
Stwierdzenie 3.11. |XF | = d(X, k)
Definicja 3.12. krzywa stożkowa — elipsa, hiperbola lub parabolastyczna do stożkowej — prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólna i do-
datkowo dla paraboli nierównoległa do osi symetrii
Stwierdzenie 3.13. l : Ax+By + C = 0 jest styczna do
elipsy ⇐⇒ a2A2 + b2B2 = C2
hiperboli ⇐⇒ a2A2 − b2B2 = C2
l : y = mx+ n jest styczna do paraboli ⇐⇒ p = 2mn
Stwierdzenie 3.14. Styczna w (x0, y0) do
elipsy x0xa2 + y0y
b2 = 1
hiperboli x0xa2 −
y0yb2 = 1
paraboli yy0 = p(x+ x0)
Definicja 3.15. ogólne równanie stopnia 2 w E2
ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0, a 6= 0 lub c 6= 0 lub b 6= 0
Stwierdzenie 3.16. można przyjąć b = 0
7
Twierdzenie 3.17. klasyfikacja afiniczna krzywych stopnia 2 w E2:
ξx2 + ηy2 = 0, ξ, η ∈ {−1, 0, 1}, ξ2 + η2 > 0
ξx2 + ηy2 = 1, ξ, η ∈ {−1, 0, 1}, ξ2 + η2 > 0
x2 + y = 0
Definicja 3.18. zbiór pusty, punkt, prosta; dwie proste równoległe, dwie prosteprzecinające się elipsa, hiperbola, parabola
Definicja 3.19. ogólne równanie stopnia 2 w E3
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx+ hy + iz + j = 0
jedna z: a, b, c, d, e, f różna od 0
Stwierdzenie 3.20. można przyjąć d = e = f = 0
Twierdzenie 3.21. klasyfikacja afiniczna powierzchni stopnia 2 w E3:
ξx2 + ηy2 + ζz2 = 0, ξ, η, ζ ∈ {−1, 0, 1}, ξ2 + η2 + ζ2 > 0
ξx2 + ηy2 + ζz2 = 1, ξ, η, ζ ∈ {−1, 0, 1}, ξ2 + η2 + ζ2 > 0
ξx2 + ηy2 + z = 0, ξ, η ∈ {−1, 0, 1}, ξ2 + η2 > 0
Definicja 3.22. zbiór pusty, punkt, prosta, płaszczyzna;dwie płaszczyzny równoległe, dwie płaszczyzny przecinające sięwalce: eliptyczny, hiperboliczny, parabolicznyelipsoidastożekhiperboloidy: jedno–, dwupowłokowaparaboloidy: paraboliczna, hiperboliczna
Stwierdzenie 3.23. Płaszczyzna styczna do powierzchni
ax2 + by2 + cz2 + dx+ ey + fz + g = 0
w punkcie (x0, y0, z0) ma równanie
(2ax0 + d)x+ (2by0 + e)y + (2cz0 + f)z − ax20 − by20 − cz20 − g = 0
8
4 Rachunek macierzowy
Definicja 4.1. macierz, Mmn – zbiór macierzy m× n
Definicja 4.2. dodawanie macierzy
Definicja 4.3. mnożenie macierzy przez skalar
Definicja 4.4. mnożenie macierzowe, wykonalność (w tym dla kwadratowych)
Definicja 4.5. macierz jednostkowa, diagonalna, górna/dolna trójkątna
Stwierdzenie 4.6. własności działań na macierzach: łączność, element neu-tralny lewo/prawostronny, rozdzielność, mieszana łączność
Przykład 4.7. nieprzemienność mnożenia macierzowego
Definicja 4.8. transpozycja
Definicja 4.9. wyznacznik przez rozwinięcie Laplace’a względem 1–szego wier-sza, przykład dla n = 2.
Przykład 4.10. n = 3 schemat Sarusa
Stwierdzenie 4.11. detAT = detA
Stwierdzenie 4.12. rozwinięcie Laplace’a względem dowolnego wiersza i ko-lumny
Stwierdzenie 4.13. zachowanie wyznacznika przy operacjach elementarnychna wierszach/kolumnach
Twierdzenie 4.14. Cauchy’ego: det(AB) = detA detB
Definicja 4.15. macierz odwrotna
Stwierdzenie 4.16. wzór na macierz odwrotną
Stwierdzenie 4.17. GL(n) jest grupą
Definicja 4.18. macierz ortogonalna, O(n), SO(n)
Stwierdzenie 4.19. O(n), SO(n) są grupami
Definicja 4.20. macierz przekształcenia liniowego Rn → Rn w bazie
Przykład 4.21. macierz przekształcenia liniowego R2 → R2, R3 → R3 w baziekanonicznej
Stwierdzenie 4.22. macierz złożenia
Definicja 4.23. współrzędne jednorodne w Rn, przestrzeń rzutowa RPn
Definicja 4.24. macierz przekształcenia afinicznego we współrzędnych jedno-rodnych (baza kanoniczna)
Przykład 4.25. macierz translacji, przekształcenia liniowego we współrzędnychjednorodnych
9
5 Liczby zespolone i kwaterniony
Definicja 5.1. dodawanie w R2
(x, y) · (x′, y′) = (x+ x′, y + y′)
Definicja 5.2. mnożenie w R2
(x, y) · (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + yx′)
Definicja 5.3. jednostka urojona i = (0, 1); i2 = −1
Uwaga 5.4. (x, 0) ∼ x ∈ R; z = x+ yi = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1)
Definicja 5.5. liczby zespolone: C = R2 z + oraz ·Re, Im, postać kanoniczna
Twierdzenie 5.6. (C,+, ·) — ciało
0 = (0, 0), 1 = (1, 0), −z = (−x,−y), z−1 =(
xx2+y2 ,
−yx2+y2
)Definicja 5.7. sprzężenie z = x− yi
Stwierdzenie 5.8. własności sprzężenia:
z1 ± z2 = z1 ± z2, z1 · z2 = z1 · z2,(z1z2
)= z1
z2
Definicja 5.9. moduł |z| =√x2 + y2
Stwierdzenie 5.10. własności modułu:|z1 · z2| = |z1| |z2|,
∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1||z2| , |z1 + z2| ¬ |z1|+ |z2|, z · z = |z|2
Definicja 5.11. argument:dla z = x+ yi 6= 0: ϕ = argz, gdy cosϕ = x
|z| oraz sinϕ = y|z|
Argument główny Argz ∈ (−π, π]
Definicja 5.12. postać trygonometryczna 0 6= z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)
Stwierdzenie 5.13. Jeżeli z1 = |z1|(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = |z2|(cosϕ2 +i sinϕ2), to:
z1 · z2 = |z1| |z2| (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))z1z2
= |z1||z2| (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2))
Twierdzenie 5.14. wzór Moivre’a: jeżeli z = |z|(cosϕ+ i sinϕ), to
zn = |z|n(cosnϕ+ i sinnϕ)
Definicja 5.15. pierwiastek stopnia n z liczby z ∈ C: każda taka liczba w ∈ C,że wn = z.
Stwierdzenie 5.16. Jeżeli z = |z|(cosϕ + i sinϕ), to z posiada dokładnie npierwiastków stopnia n–tego, a dane są one wzorami:
wk = n√|z|(
cosϕ+ 2kπ
n+ i sin
ϕ+ 2kπn
), k = 0, . . . , n− 1
10
Przykład 5.17. pierwiastki stopnia n–tego z liczby z — wierzchołki n–kątaforemnego o środku 0 wpisanego w okrąg o promieniu n
√|z|
Przykład 5.18. |z− z0| = r okrąg o środku z0 i promieniu r; |z− z0| ¬ r kołoϕ1 ¬ argz ¬ ϕ2 kąt płaski o wierzchołku 0 i ramionach nachylonych do
dodatniej półosi rzeczywistej pod kątami ϕ1 oraz ϕ2|z − z1| = |z − z2| symetralna odcinka o końcach z1 z2
Przykład 5.19. eiϕ = cosϕ+ i sinϕ; eiπ = −1
Definicja 5.20. dodawanie w R4
(a, b, c, d) + (a′, b′, c′, d′) = (a+ a′, b+ b′, c+ c′, d+ d′)
Definicja 5.21. 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1)
· 1 i j k1 1 i j ki i −1 k −jj j −k −1 ik k j −i −1
Dla q = a+ bi+ cj + dk, q′ = a′ + b′i+ c′j + d′k
q · q′ = aa′ − bb′ − cc′ − dd′ + (ab′ + ba′ + cd′ − dc′)i+ (ac′ + ca′ − bd′ + db′)j + (ad′ + da′ + bc′ − cb′)k
Definicja 5.22. kwaterniony: H = R4 z + oraz ·
Twierdzenie 5.23. (H,+, ·) — ciało (nieprzemienne)0 = (0, 0, 0, 0), 1 = (1, 0, 0, 0), −q = (−a,−b,−c,−d),
q−1 =(
aa2+b2+c2+d2 ,
−ba2+b2+c2+d2 ,
−ca2+b2+c2+d2 ,
−da2+b2+c2+d2
)Definicja 5.24. Dla kwaternionu q = a+ bi+ cj + dk:
moduł ‖q‖ =√a2 + b2 + c2 + d2
sprzężenie q = a− bi− cj − dkwtedy q−1 = q
‖q‖2
Stwierdzenie 5.25. Dla kwaternionów w postaci wektorowej q = (s, v), q =(s′, v′), gdzie s, s′ ∈ R, v, v′ ∈ R3
q · q′ = (ss′ − 〈v, v′〉, sv′ + s′v + v × v′)
11
6 Przekształcenia geometryczne
Definicja 6.1. rzut ortogonalny na podprzestrzeń liniową
Definicja 6.2. rzut ortogonalny na podprzestrzeń afiniczną
Definicja 6.3. symetria względem podprzestrzeni afinicznej
Stwierdzenie 6.4. własności symetrii: inwolucja, izometria, zbiór punktów sta-łych
Stwierdzenie 6.5. klasyfikacja O(2) i SO(2)
Przekształcenia geometryczne płaszczyzny
6.6. idR2 — przedstawienie macierzowe
6.7. symetrie względem osi — przedstawienie macierzowe
6.8. symetria środkowa względem 0 — przedstawienie macierzowe
6.9. obrót dookoła 0 — przedstawienie macierzowe
6.10. rzuty na osie — przedstawienie macierzowe
6.11. powinowactwa względem osi — przedstawienie macierzowe
6.12. translacja — przedstawienie macierzowe we współrzędnych jednorodnych
6.13. symetria środkowa względem dowolnego punktu — przedstawienie macie-rzowe we współrzędnych jednorodnych
6.14. obrót wokół dowolnego punktu — przedstawienie macierzowe we współ-rzędnych jednorodnych
6.15. rzut prostopadły na dowolną prostą — przedstawienie macierzowe wewspółrzędnych jednorodnych wyprowadzenie
6.16. symetria względem dowolnej prostej — przedstawienie macierzowe wewspółrzędnych jednorodnych wyprowadzenie
Definicja 6.17. rzut równoległy
Definicja 6.18. rzut środkowy na prostą
6.19. rzut równoległy — przedstawienie macierzowe we współrzędnych jedno-rodnych
6.20. rzut środkowy — przedstawienie macierzowe we współrzędnych jednorod-nych
Przekształcenia geometryczne przestrzeni trójwymiarowej
6.21. idR3 — przedstawienie macierzowe
6.22. symetrie względem płaszczyzn i osi współrzędnych — przedstawienie ma-cierzowe
6.23. symetria środkowa względem 0 — przedstawienie macierzowe
12
6.24. rzuty na płaszczyzny i osie współrzędnych — przedstawienie macierzowe
6.25. obrót dookoła osi — przedstawienie macierzowe
6.26. translacja — przedstawienie macierzowe we współrzędnych jednorodnych
6.27. obrót dookoła osi wyznaczonej przez wektor jednostkowy v o kąt αprzedstawienie kwaternionowe
p 7→ q · p · q−1, gdzie q =(
cosα
2, sin
α
2v)
13
7 Krzywe parametryczne
Definicja 7.1. Krzywa parametryczna: ciągła funkcja α z przedziału I w płasz-czyznę R2 (krzywa płaska) lub przestrzeń R3.
Ślad krzywej parametrycznej: obraz funkcji α, czyli zbiór α(I).
Definicja 7.2. Krzywa α : I → R3 jest różniczkowalna, jeżeli jej wszystkieskładowe mają pochodne dowolnego rzędu, tzn. gdy
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) dla t ∈ I,
to funkcje x, y, z : I → R są klasy C∞.
Definicja 7.3. Wektor styczny do krzywej α w punkcie α(t):
α′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t))
Przykład 7.4. linia śrubowa α(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R.
Przykład 7.5. Wykres wartości bezwględnej nie jest krzywą różniczkowalnąprzy oczywistej parametryzacji α(t) = (t, |t|), ale jego parametryzacja
β(t) =
(−e 1t , e 1t
)dla t < 0
(0, 0) dla t = 0(e−
1t , e−
1t
)dla t > 0
w pewnym otoczeniu 0 jest różniczkowalna.
Przykład 7.6. Parametryzacje okręgu o środku (0, 0) i promieniu r > 0 napłaszczyźnie:
α(t) = (r cos t, r sin t)
β(t) = (r cos 2t, r sin 2t)
γ(t) =(r cos
t
r, r sin
t
r
)Przykład 7.7.
elipsax2
a2+y2
b2= 1 α(t) = (a cos t, b sin t)
hiperbolax2
a2− y2
b2= 1 α(t) = (a cosh t, b sinh t)
parabola y2 = 2px α(t) =(t2
2p, t
)Definicja 7.8. Prosta styczna do krzywej α w jej punkcie regularnym (czylitakim, że α′(t) 6= θ):
α(t) + lin (α′(t))
Definicja 7.9. Krzywa regularna: α′(t) = θ dla t ∈ I, czyli wszystkie punktysą regularne
14
Definicja 7.10. Długość łuku krzywej α : [a, b]→ R3:
s(t) =∫ t
a
‖α′(t)‖dt
Krzywa α jest sparametryzowana długością łuku, gdy ‖α′(t)‖ = 1 dla dowol-nego t.
Stwierdzenie 7.11. Każdą krzywą regularną można sparametryzować długo-ścią łuku.
Dokładniej, jeżeli α : [a, b]→ R3 jest krzywą regularną, a funkcja s : [a, b]→[0, l] jej długością łuku, to krzywa α ◦ s−1 : [0, l] → R3 jest sparametryzowanadługością łuku.
! Załóżmy odtąd, że krzywa α(s) = (x(s), y(s), z(s)) jest sparametryzowanadługością łuku (w szczególności jest ona także regularna).
Wektor styczny oznaczamy tradycyjnie przez t(s) = α′(s).
Definicja 7.12. Krzywizna krzywej w punkcie α(s):
k(s) = ‖α′′(s)‖
Wektor normalny do krzywej w punkcie, w którym k(s) 6= 0:
n(s) =α′′(s)k(s)
Definicja 7.13. Wektor binormalny do krzywej w punkcie α(s):
b(s) = t(s)× n(s)
Skręcenie krzywej w punkcie α(s): taka liczba τ(s), że
b′(s) = τ(s)n(s)
Przykład 7.14. t, n, b, k, τ dla okręgu
Przykład 7.15. t, n, b, k, τ dla linii śrubowej
Stwierdzenie 7.16. Dla krzywej α o krzywiźnie różnej od zera wektory t, n, bsą jednostkowe i wzajemnie prostopadłe oraz
t× n = b, b× t = n, n× b = t, t′ ‖ n, b′ ‖ n.
Dowód: Wektor normalny n jest jednostkowy, bo obliczamy go dzieląc wektorα′′ przez jego normę. Wektor styczny t jest wektorem jednostkowym, bo krzywajest sparametryzowaną długością łuku. Stąd
0 = 1′ = (〈t, t〉)′ = 2〈t, t′〉 = 2k〈t, n〉,
co oznacza, że t ⊥ n. Wektor binormalny b = t × n jest prostopadły do t i nz definicji iloczynu wektorowego, a jednostkowy, bo ‖b‖ = ‖t‖ ‖n‖ sin^(t, n) =1 · 1 · 1.
Korzystamy ze wzoru (u× v)× w = 〈w, u〉v − 〈w, v〉u:
b× t = (t× n)× t = 〈t, t〉n− 〈t, n〉t = 1 · n− 0 · t = n
15
n× b = −(t× n)× n = −〈n, t〉n+ 〈n, n〉t = 0 · n+ 1 · t = t
Na koniec t′ = kn ‖ n, wektor b jako jednostkowy jest prostopadły do b′ oraz
〈b′, t〉 = 〈(t× n)′ , t〉 = 〈t′ × n+ t× n′, t〉 = k〈n× n, t〉+ 〈t× n′, t〉 = 0,
czyli b′ jest także prostopadły do t, a tym samy jest równoległy do n. �
Definicja 7.17. Płaszczyzna ściśle styczna w punkcie α(s):
α(s) + lin (t(s), n(s))
Płaszczyzna normalna w punkcie α(s):
α(s) + lin (n(s), b(s))
Płaszczyzna prostująca w punkcie α(s):
α(s) + lin (t(s), b(s))
Twierdzenie 7.18. (trójścian Freneta) Dla krzywej α o krzywiźnie różnej odzera spełnione są warunki:
t′ = kn
n′ = −kt− τbb′ = τn
Dowód: Równość pierwsza i trzecia wynikają z definicji k i τ . Aby udowodnićdrugą wystarczy zróżniczkować
n′ = (b× t)′ = b′ × t+ b× t′ = τn× t+ b× kn= −τt× n− kn× b = −τb− kt.
�
Twierdzenie 7.19. (podstawowe twierdzenie teorii krzywych) Dla dowolnegoprzedziału I ⊂ R i dowolnych funkcji k : I → R+, τ : I → R istnieje krzywaα : I → R3, dla której k jest krzywizną, a τ skręceniem.
Krzywa ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izometrii prze-strzeni R3 zachowującej orientację.
Stwierdzenie 7.20. Jeżeli krzywa α jest sparametryzowana długością łuku, to
τ = −〈α′ × α′′, α′′′〉
k2
Dowód: Z definicji α′ = t, α′′ = kn. Stąd
α′′′ = (kn)′ = k′n+ kn′ = k′n+ k(−kt− τb) = −k2t+ k′n− kτb.
Ponieważ α′ × α′′ = kb, więc
〈α′×α′′, α′′′〉 = 〈kb,−k2t+k′n−kτb〉 = −k3〈b, t〉+kk′〈b, n〉−k2τ〈b, b〉 = −k2τ.
�
16
Twierdzenie 7.21. Załóżmy, że krzywa α ma dowolną parametryzację (nieko-niecznie łukową). Wtedy
k =‖α′ × α′′‖‖α′‖3
τ = −〈α′ × α′′, α′′′〉‖α′ × α′′‖2
Dowód: Niech α(u) będzie dowolną parametryzacją, a s(u) funkcją długościłuku. Wówczas krzywa β(s) = α◦u−1(s) jest sparametryzowana długością łuku.Istotnie, ze wzoru na pochodną złożenia odwzorowań i pochodną funkcji odwrot-nej otrzymujemy:
s′(u) = ‖α′(u)‖,(u−1
)′(s) =
1‖α′ (u−1(s)) ‖
β′(s) = α′(u−1(s)
) (u−1
)′(s), ‖β′(s)‖ = ‖α′
(u−1(s)
)‖ 1‖α′ (u−1(s)) ‖
= 1
Będziemy pisać krótko β′ = α′
‖α′‖ pamiętając o złożeniach z funkcją u−1.
β′′ =
(α′√〈α′, α′〉
)′=α′′ 1‖α′‖
√〈α′, α′〉 − α′ 1
2√〈α′,α′〉
2〈α′′ 1‖α′‖ , α′〉
〈α′, α′〉
=〈α′, α′〉α′′ − 〈α′, α′′〉α′
‖α′‖4=
(α′ × α′′)× α′
‖α′‖4
Ponieważ α′ ⊥ α′ × α′′, więc ‖(α′ × α′′)× α′‖ = ‖α′ × α′′‖ ‖α′‖ i ostatecznie
k = ‖β′′‖ =‖α′ × α′′‖‖α′‖3
Wzór na skręcenie otrzymujemy obliczając β′′′ i stosując 7.20. �
Wniosek 7.22. Krzywa płaska α(t) = (x(t), y(t)) (w dowolnej parametryzacji)ma krzywiznę (braną ze znakiem)
k =x′y′′ − x′′y′
((x′)2 + (y′)2)32
i oczywiście zerowe skręcenie.
Dowód: Traktujemy krzywą płaską jako krzywą w przestrzeni trójwymiarowejpisząc α(t) = (x(t), y(t), 0). Wówczas
α′ = (x′, y′, 0), α′′ = (x′′, y′′, 0), α′ × α′′ = (0, 0, x′y′′ − x′′y′),
skąd na mocy 7.21
k =|x′y′′ − x′′y′|(√(x′)2 + (y′)2
)3 .Znak krzywiźnie krzywej płaskiej nadajemy w zależności od kierunku przebiegu.�
17
8 Powierzchnie regularne
Definicja 8.1. Powierzchnia regularna: podzbiór S ⊂ R3 taki, że dla każdegopunktu p ∈ S istnieją takie zbiory otwarte V ⊂ R3 zawierający p i U ⊂ R2 orazodwzorowanie X : U → V ∩ S spełniająca warunki:
1. X jest odwzorowaniem klasy C∞,
2. X jest różnowartościowe,
3. dla dowolnego punktu q ∈ U różniczka dXq jest różnowartościowa.
Mówimy wtedy, że X jest parametryzacją powierzchni S w otoczeniu punktu p.
Przykład 8.2. 1. Płaszczyzna z = 0 ma prametryzację
(x, y) 7→ (x, y, 0).
2. Wykres funkcji różniczkowalnej:
graphh = {(x, y, h(x, y)) ; (x, y) ∈ U}
gdzie U jest otwartym podzbiorem R2 i h : U → R funkcją rózniczkowalną.Parametryzacją jest odwzorowanie h (w dowolnym punkcie).
3. Sfera jednostkowa:
S2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 = 1}
Sfery nie da się opisać jedną parametryzacją. Całą sferę można pokryćobrazami:
(a) sześciu rzutów postaci (x, y) 7→ (x, y,√
1− x2 − y2)(b) dwóch rzutów stereograficznych postaci
(x, y) 7→(
2x1 + x2 + y2
,2y
1 + x2 + y2,−1 + x2 + y2
1 + x2 + y2
)(c) czterech odwzorowań współrzędnych geograficznych postaci
(u, v) 7→ (cosu cos v, sinu cos v, sin v)
4. Powierzchnia obrotowa: wynik obrotu obrazu krzywej płaskiej dokoła osirozłącznej z tą krzywą i leżącej w płaszczyźnie krzywej. Jeżeli osią obrotujest oś Oz, a obraz krzywej α leży po jej dodatniej stronie w płaszczyźniexOz, to
α(v) = (ϕ(v), 0, ψ(v)),
przy czym v ∈ I, ϕ(v) > 0 dla v ∈ I, a parametryzacją tak otrzymanejpowierzchni obrotowej jest
X : (0, 2π)× I 3 (u, v) 7→ (cosuϕ(v), sinuϕ(v), ψ(v))
(do opisu całej powierzchni potrzebne są dwie takie parametryzacje).
18
5. Torus (obrotowy) T jest wynikiem obrotu okręgu o promieniu r wokół osizawartej w jego płaszczyźnie i odległej o jego środka o R > r. Torus Tmożna sparametryzować odwzorowaniami postaci
(0, 2π)× (0, 2π) 3 (u, v) 7→ (cosu (R+ r cos v), sinu (R+ r cos v), r sin v).
Torus jest więc iloczynem kartezjańskim dwóch okręgów.
Stwierdzenie 8.3. Jeżeli U jest zbiorem otwartym w R3, f : U → R funkcjąróżniczkowalną klasy C∞, zaś a ∈ f(U) wartością regularną funkcji f , czylidfx 6= 0 dla x ∈ f−1(a), to zbiór f−1(a) ⊂ R3 jest powierzchnią regularną.
Definicja 8.4. Niech X : U → S będzie parametryzacją powierzchni regularnejS w punkcie p, zaś q = (u0, v0) = X−1(p). Krzywe
α1 : u 7→ X(u, v0) oraz α2 : v 7→ X(u0, v)
nazywamy krzywymi parametryzacji X. Ich wektory styczne to odpowiednio:
Xu(u, v0) = α′1(u) =∂X∂u
(u, v0) = dX(u,v0)(e1)
Xv(u0, v) = α′2(v) =∂X∂v
(u0, v) = dX(u0,v)(e2)
Definicja 8.5. Przestrzenią styczną do powierzchni S w punkcie p ∈ S nazy-wamy podprzestrzeń liniową Tp(S) złożoną ze wszystkich wektorów stycznychw punkcie p do krzywych różniczkowalnych położonych na powierzchni S:
Tp(S) = lin(Xu(X−1(p)),Xv(X−1(p))
)= dXX−1(p)
(R2).
Każdy element przestrzeni Tp(S) nazywamy wektorem stycznym do powierzchniS w punkcie p.
Definicja 8.6. Niech X bedzie parametryzacją powierzchni S w punkcie p.Wektor
N(p) =Xu × Xv‖Xu × Xv‖
(X−1(p))
nazywamy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie p. Oczywiście‖N(p)‖ = 1 i N(p) ⊥ Tp(S).
Przykład 8.7. Opis wektorów parametryzacji i wektora normalnego
1. Płaszczyzny X(u, v) = (u, v, 0)
Xu = (1, 0, 0), Xv = (0, 1, 0), N = (0, 0, 1)
2. Wykres funkcji X(u, v) = (u, v, h(u, v))
Xu = (1, 0, h′u), Xv = (0, 1, h′v), N =(−h′u,−h′v, 1)√
(h′u)2 + (h′v)2 + 1
3. Parametryzacja geograficzna sfery X(u, v) = (cosu cos v, sinu cos v, sin v)
Xu = (− sinu cos v, cosu cos v, 0),
Xv = (− cosu sin v,− sinu sin v, cos v),
N = (cosu cos v, sinu cos v, sin v).
19
4. Parametryzacja powierzchni obrotowej X(u, v) = (cosuϕ(v), sinuϕ(v), ψ(v))
Xu = (− sinuϕ(v), cosuϕ(v), 0),
Xv = (cosuϕ′(v), sinuϕ′(v), ψ′(v)),
N =(cosuψ′(v), sinuψ′(v),−ϕ′(v))√
(ϕ′(v))2 + (ψ′(v))2.
Szczególnie prostą postać N otrzymujemy, gdy obracana krzywa jest spa-rametryzowana długością łuku, tzn. gdy (ϕ′(v))2 + (ψ′(v))2 = 1.
5. Parametryzacja torusa X(u, v) = (cosu (R+r cos v), sinu (R+r cos v), r sin v):wystarczy zastosować wzory dla powierzchni obrotowej biorąc
ϕ(v) = R+ r cos v, ψ(v) = r sin v.
Wtedyϕ′(v) = −r sin v, ψ′(v) = r cos v,
skąd
Xu = (− sinu (R+ r cos v), cosu (R+ r cos v), 0),
Xv = (−r cosu sin v,−r sinu sin v, r cos v),
N = (cosu cos v, sinu cos v, sin v).
Stwierdzenie 8.8. Jeżeli X : U → S oraz Y : W → S są parametryzacjamipowierzchni regularnej S w punkcie p, to odwzorowanie
Y−1 ◦ X : X−1 (X(U) ∩ Y(W ))→ Y−1 (X(U) ∩ Y(W ))
jest odwzorowanie klasy C∞ pomiędzy zbiorami otwartymi w R2.
Definicja 8.9. Funkcja rzeczywista f określona na powierzchni regularnej Sjest różniczkowalna, gdy jej złożenie z dowolną parametryzacją powierzchni S(na zbiorze, na którym złożenie ma sens) jest funkcją różniczkowalną.
Definicja 8.10. Przekształcenie ϕ : S1 → S2 określone pomiędzy powierzch-niami regularnymi jest różniczkowalne, gdy każde złożenie
X−12 ◦ ϕ ◦ X1,
gdzie X1, X2 są dowolnymi parametryzacjami powierzchni S1, S2 odpowiednio(na zbiorze, na którym złożenie ma sens) jest odwzorowaniem różniczkowalnympomiedzy zbiorami otwartymi w R2.
Definicja 8.11. Różniczką przekształcenia ϕ : S1 → S2 w punkcie p, gdzieS1, S2 są powierzchniami regularnymi, nazywamy przekształcenie liniowe dϕp :Tp(S1)→ Tϕ(p)(S2) dane wzorem
dϕp(w) = (ϕ ◦ α)′ (0)
gdzie α : (−ε, ε) → S1 jest krzywą różniczkowalną położoną na S1 i taką, żep = α(0), w = α′(0).
20
Przykład 8.12. Rzut Mercatora Φ jest ważnym dla opisu np. stref czasowychodwzorowaniem różniczkowalnym sfery S2 bez biegunów na walec obrotowyC : x2 + y2 = 1:
Φ(x, y, z) =
(x√
x2 + y2,
y√x2 + y2
,z√
x2 + y2
)
dla (x, y, z) ∈ S2, (x, y, z) 6= (0, 0,±1).
Definicja 8.13. Pierwszą formą podstawową powierzchni S w punkcie p nazy-wamy funkcję Ip : Tp(S)→ R daną wzorem
Ip(w) = 〈w,w〉 dla w ∈ Tp(S).
Definicja 8.14. W parametryzacji X powierzchni S w punkcie p liczby
E(p) = 〈Xu,Xu〉(X−1(p)), F (p) = 〈Xu,Xv〉(X−1(p)), G(p) = 〈Xv,Xv〉(X−1(p))
nazywamy współczynnikami pierwszej formy podstawowej Ip.Jeżeli wektor w jest styczny do S w punkcie p oraz w jest wektorem stycznym
do krzywej t 7→ X(u(t), v(t)) w punkcie 0, to
Ip(w) = E(u′)2 + 2Fu′ v′ +G(v′)2,
gdzie wszystkie argumentami funkcji są 0 lub p.
Przykład 8.15. Współczynniki pierwszej formy podstawowej
1. Płaszczyzna: E = 1, F = 0, G = 1.
2. Wykres funkcji: E = 1 + (h′u)2, F = h′uh′v, G = 1 + (h′v)
2.
3. Sfera: E = cos2 v, F = 0, G = 1.
4. Powierzchnia obrotowa: E = ϕ2(v), F = 0, G = (ϕ′(v))2 + (ψ′(v))2.
5. Torus: E = (R+ r cos v)2, F = 0, G = r2.
Definicja 8.16. Polem obszaru D zawartego w obrazie parametryzacji X nazy-wamy liczbę
A(D) =∫X−1(D)
√EG− F 2.
Przykład 8.17. Obszar Dε = X([ε, 2π − ε] × [ε, 2π − ε]) zawarty w obrazieparametryzacji torusa ma pole
A(Dε) =∫[ε,2π−ε]×[ε,2π−ε]
√EG− F 2 =
∫ 2π−εε
∫ 2π−εε
r(R+ r cos v)dudv
= (2π − 2ε)r∫ 2π−εε
(R+ r cos v)dv
= (2π − 2ε)2rR+ (2π − 2ε)r2(− sin(2π − ε) + sin ε)
Ponieważ wartość wyrażenia w ostatnim nawiasie dąży do 0 przy ε→ 0+, więcpole całego torusa wynosi 4π2Rr.
21
Definicja 8.18. Odwzorowaniem Weingartena powierzchni S w punkcie p na-zywamy odwzorowanie liniowe dNp : Tp(S) → Tp(S) będące różniczką odwzo-rowania N : S2 → S przypisującego punktowi p ∈ S wektor normalny N(p) wtym punkcie.
Definicja 8.19. Drugą formą podstawową powierzchni S w punkcie p nazywamyfunkcję IIp : Tp(S)→ R daną wzorem
IIp(w) = −〈dNp(w), w〉 dla w ∈ Tp(S).
Definicja 8.20. Krzywizną Gaussa powierzchni S w punkcie p nazywamy liczbę
K(p) = det dNp
Definicja 8.21. Krzywizną średnią powierzchni S w punkcie p nazywamy liczbę
H(p) = −12
tr dNp
Operator dNp jest samosprzężony, więc posiada tylko rzeczywiste wartościwłasne.
Definicja 8.22. Dla odwzorowania Weingartena dNp istnieją dwie (niekoniecz-nie różne) liczby k1, k2 oraz dwa wzajemnie prostopadłe wektory e1, e2 ∈ Tp(S)takie, że
dNp(e1) = −k1 e1, dNp(e2) = −k2 e2.
Liczby k1, k2 nazywamy krzywiznami głównymi, a kierunki wektorów e1, e2— kierunkami głównymi powierzchni S w punkcie p.
Wniosek 8.23.
K = k1k2, H =k1 + k2
2
Definicja 8.24. Punkt p powierzchni S jest
• eliptyczny, gdy K(p) > 0,
• hiperboliczny, gdy K(p) < 0,
• paraboliczny, gdy K(p) = 0 i dNp 6= 0,
• planarny, gdy dNp = 0.
Definicja 8.25. W parametryzacji X powierzchni S w punkcie p liczby
e(p) = 〈N(p),Xuu(X−1(p))〉, f(p) = 〈N(p),Xuv(X−1(p))〉, g(p) = 〈N(p),Xvv(X−1(p))〉,
nazywamy współczynnikami drugiej formy podstawowej IIp.Jeżeli wektor w jest styczny do S w punkcie p oraz w jest wektorem stycznym
do krzywej t 7→ X(u(t), v(t)) w punkcie 0, to
IIp(w) = e(u′)2 + 2fu′ v′ + g(v′)2,
gdzie wszystkie argumentami funkcji są 0 lub p.
22
Stwierdzenie 8.26.
K =eg − f2
EG− F 2, H =
12eG− 2fF + gE
EG− F 2
Przykład 8.27. Współczynniki drugiej formy i krzywizny
1. Wykres funkcji
Xuu = (0, 0, h′′uu), Xuv = (0, 0, h′′uv) Xvv = (0, 0, h′′vv)
e =h′′uu√
(h′u)2 + (h′v)2 + 1, f =
h′′uv√(h′u)2 + (h′v)2 + 1
,
g =h′′uv√
(h′u)2 + (h′v)2 + 1
K =h′′uuh
′′vv − (h′′uv)
2
((h′u)2 + (h′v)2 + 1)2
H =12h′′uu + h′′vv + h′′uu(h′v)
2 − 2h′′uvh′uh′v + h′′vv(h
′u)2
((h′u)2 + (h′v)2 + 1)32
2. Płaszczyzna: h ≡ 0, więc K ≡ 0, H ≡ 0.
3. Paraboloida hiperboliczna: h(u, v) = u2 − v2
h′u = 2u, h′v = −2v, h′′uu = 2, h′′uv = 0, h′′uu = −2
K =−4
(4u2 + 4v2 + 1)2, H =
−4(u2 + v2)
(4u2 + 4v2 + 1)2
4. Powierzchnia obrotowa
Xuu = (− cosuϕ(v),− sinuϕ(v), 0),
Xuv = (− sinuϕ′(v), cosuϕ′(v), 0),
Xvv = (cosuϕ′′(v), sinuϕ′′(v), ψ′′(v))
e = − ϕψ′√(ϕ′)2 + (ψ′)2
, f = 0, g = − ϕ′′ψ′ − ϕ′ψ′′√(ϕ′)2 + (ψ′)2
K = − ψ′(ϕ′′ψ′ − ϕ′ψ′′)ϕ ((ϕ′)2 + (ψ′)2)2
5. Gdy powierzchnia obrotowa powstaje z krzywej sparametryzowanej dłu-gością łuku, to
0 = 1′ =((ϕ′)2 + (ψ′)2
)′= 2ϕ′′ϕ′ + 2ψ′′ψ′
skąd
K = −ϕ′′
ϕ
23
6. Sfera: ϕ(v) = cos v, ψ = sin v
ϕ′(v) = − sin v, ψ′ = cos v, ϕ′′(v) = − cos v, ψ′′(v) = −sinv
K ≡ 1
7. Torus: parametryzacja ϕ(v) = R+r cos vr , ψ(v) = r sin vr jest łukowa, więc
wystarczy tylko ϕ′′(v) = − 1r cos vr , skąd już
K =cos vr
r(R+ r cos vr
)i krzywizna jest równa 0 na równoleżnikach z = r, ujemna wewnątrz, adodatnia na zewnątrz torusa.
24
