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INTRO
GEOMETRIA
Liceo Scientifico “G. Salvemini” Corso di preparazione per la gara provinciale delle
OLIMPIADI DELLA MATEMATICA
TRIANGOLI
Criteri di congruenza
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:
2 lati e 1 angolo compreso
1 lato e 2 angoli
3 lati
L’angolo esterno ..
SUPPLEMENTARE dell’ANGOLO ADIACENTE ..
è uguale alla SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI non ADIACENTI
POLIGONI SIMILI
Due poligoni sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali
Il rapporto di similitudine R è il rapporto tra due lati corrispondenti. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è R. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è R2.
Criteri di similitudine dei triangoli
Due triangoli sono simili se hanno:
2 coppie di lati proporzionali e 1 angolo congruente
3 angoli congruenti
3 coppie di lati proporzionali
TEOREMA DELLA BISETTRICE
AC : CD = AB : BD
La bisettrice di un TRIANGOLO divide il LATO OPPOSTO in SEGMENTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI.
A
B
C
D
TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
AB2 + AC2 = BC2
A
B C
H
AH = Altezza relativa all’ipotenusa
BC
ACABAH
TEOREMA DI PITAGORA
I triangoli ABC, ABH e CAH sono SIMILI
I° TEOREMA DI EUCLIDE AB2 = BH·BC AC2 = CH·BC
II° TEOREMA DI EUCLIDE AH2 = BH·HC
APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA
2ld
ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO
DIAGONALE DI UN QUADRATO
d l
l
l/2
h
32
lh 3
3
2hl
AREA DEL TRIANGOLO EQUILATERO
334
33
9
43
43
222
222 hhlllh
lA
QUESITO
SUGGERIMENTO
Traccia il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende triangolo e quadrato come in figura:
I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono .. Le aree dei triangoli ACD e ABE sono = ..
SOLUZIONE
Tracciamo il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende
triangolo e quadrato come in figura:
I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono congruenti perchè hanno per ipotenusa
il lato del quadrato BCDE ed hanno angoli congruenti.
Segue che l'area di ACD =
Analogamente, l'area di ABE =
In conclusione l'area di ABC =
QUESITO
SUGGERIMENTO
AO = 2 OH
A B
C
.O
H
30°
D
Considera il triangolo che si forma unendo il centro con un vertice e con un
punto simmetrico:
Adesso costruisci i due triangoli ..
SOLUZIONE
AO = 2 OH
La parte comune è formata da 6
triangoli = 6/9 dell’area del
triangolo ABC
3
2
3
2 AAcomune
A B
C
.O
H
30°
D
A B
C
.O
D
F E
QUESITO
SUGGERIMENTO
Detto ABC il triangolo che forma la base, la zona di sicurezza è un triangolo A′B′C′ (con A′ appartenente alla bisettrice dell’angolo in A) interno al triangolo ABC. Dette H e K le proiezioni di A′ e B′ rispettivamente sul lato AB, si ha A′H = 1 metro.
SOLUZIONE
1 30° aaaa 2
CIRCONFERENZA E CERCHIO
La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro. Il CERCHIO è la figura piana compresa.
C r
L’asse di una corda passa per il centro
L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento
PROPRIETA’
Raggio e retta tangente in un punto sono perpendicolari
Misura della circonferenza = 2r
MISURA DEGLI ANGOLI
Gli angoli si possono misurare in .. GRADI
Un ANGOLO GRADO ° è la 360-esima parte di un angolo GIRO
Si divide in 60 ANGOLI PRIMI ‘. Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI ‘’
RADIANTI
A B
La misura in radianti di un angolo al centro che insiste su un arco AB di
una circonferenza di raggio r è: r
AB
Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio !
:180: rg
r
g
180
180
g
r
)90(2
)270(2
3
)0(0
)360(2 )180(
)120(3
2
)300(3
5
)60(3
)240(3
4
)150(6
5
)330(6
11
)30(6
)210(6
7
)135(4
3
)315(4
7
)45(4
)225(4
5
ANGOLI ELEMENTARI
AREA DI FIGURE PIANE
2
hbA
TRIANGOLO RETTANGOLO
hbA
PARALLELOGRAMMO
TRAPEZIO
2
)( hbBA
CERCHIO
2rA
2
21 ddA
ROMBO
SEGMENTO CIRCOLARE DI AMPIEZZA (RADIANTI)
2
2rA
QUESITO
SUGGERIMENTO
Con riferimento alla figura, siano A e B estremità di sbarre contigue, V il vertice dell’arco AB , M il punto medio di AB e O il centro della circonferenza cui appartiene l’arco AB. Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x ..
9
x
SOLUZIONE
Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x . Per il Teorema di Pitagora, deve valere: 9
x
3333
9
3
3
3
9
3
9
36
545436 xx
30° 60°
QUESITO NUMERICO
SUGGERIMENTO
Si cerchi la relazione tra il raggio di 1 e quello di 0 : sarà la stessa esistente tra il raggio di n e quello di n-1 .
A tale scopo essendo D0O0B0 = 60° (angolo a centro di D0C0B0) segue che il triangolo D0O0B0 è equilatero ..
SOLUZIONE
Quindi, poichè B0H0 è perpendicolare a C0D0 , H0 è punto medio di O0D0 e il raggio di 1 è R(0) 4
1
Con la stessa costruzione si mostra che in generale vale
POLIGONI REGOLARI
Un poligono regolare ha lati e angoli congruenti. Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente n assi di simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono.
Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a
, pertanto la somma degli angoli
interni è (n-2)180°. Gli angoli esterni invece misurano 360°/n
e dunque la loro somma consiste in un angolo di 360°.
POLIGONI REGOLARI
Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono.
QUESITO
SUGGERIMENTO
I triangoli AEB e ACB sono isosceli. Calcoliamo la misura di un angolo del pentagono e dimostriamo che il triangolo BCP ..
SOLUZIONE
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
Gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda (arco) sono: - CONGRUENTI se insistono dallo stesso arco - SUPPLEMENTARI se insistono dallo archi opposti - LA META' dell'angolo al centro corrispondente
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo:
QUADRILATERO INSCRIVILE IN UNA CIRCONFERENZA
Un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza (e si dice CICLICO) solo se la somma delle ampiezze degli angoli opposti è = 180°. Per esempio, il trapezio isoscele, il rettangolo e il quadrato sono sempre inscrittibili, mentre il trapezio rettangolo, il parallelogramma e il rombo no.
Un altro criterio per stabilire se un
quadrilatero è ciclico è verificare se sullo
stesso lato insistono angoli congruenti:
QUADRILATERO CIRCOSCRIVIBILE AD UNA CIRCONFERENZA
Un quadrilatero si può circoscrivere a una circonferenza solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali: per esempio, il rombo e il quadrato sono sempre circoscrivibili, mentre il rettangolo e il parallelogramma no.
Corde, secanti e tangenti in una circonferenza
Teorema delle due corde: Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in parti in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione.
PA : PC = PD : PB
Teorema delle due secanti: Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un'intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l'altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.
PA : PC = PD : PB
Teorema della secante e della tangente: Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.
PD : PT = PT : PC
QUESITO
SUGGERIMENTO
SOLUZIONE
VOLUMI E SUPERFICI DI SOLIDI
3lV
CUBO di lato l
abcV
PARALLELEPIPEDO di dim. a,b,c
CILINDRO di raggio di base r
e altezza h
hrV 2
rhSL 2
SFERA diraggio r
3
3
4rV
24 rS
CONO
hrV 2
3
1
raSL
PIRAMIDE
hAV base3
1
aPS baseL
QUESITO
SUGGERIMENTO
D
C
d = 4 km
P
I
Sviluppiamo sul piano la superficie laterale della montagna, tagliandola lungo il segmento DC. Si avrà un settore circolare di centro C, raggio 4 km, ossia la lunghezza di DC, e delimitato da un arco di circonferenza di 4π km, ossia ..
SOLUZIONE
D
C
d = 4 km
P
I
D
P
4 km C
4π km
D
I 1 km
3 km
Lo sviluppo è un semicerchio. Il triangolo ICD è rettangolo.
L’ipotenusa ID = 5 km.
QUESITO A RISPOSTA APERTA
SUGGERIMENTO (a)
SOLUZIONE (a)
SUGGERIMENTO (b)
Ridisegna il quadrilatero ABCM e la circonferenza circoscritta:
Il triangolo ABC è isoscele e gli angoli che insistono sulla corda AB ..
SOLUZIONE (b)
SCHEDA DI VALUTAZIONE
QUESITO DI LOGICA
SOLUZIONE
A B C D
PIOVE T (V)
V – S (F)
V - S (F) T (V)
NON PIOVE
S (F) V – T (V)
V – T (V) V (V) – S (F)