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INTRO GEOMETRIA Liceo Scientifico “G. Salvemini” Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA

GEOMETRIA - salvemini.na.it · POLIGONI REGOLARI Un poligono regolare ha lati e angoli congruenti. Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice

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  • INTRO

    GEOMETRIA

    Liceo Scientifico “G. Salvemini” Corso di preparazione per la gara provinciale delle

    OLIMPIADI DELLA MATEMATICA

  • TRIANGOLI

    Criteri di congruenza

    Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:

    2 lati e 1 angolo compreso

    1 lato e 2 angoli

    3 lati

    L’angolo esterno ..

    SUPPLEMENTARE dell’ANGOLO ADIACENTE ..

    è uguale alla SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI non ADIACENTI

  • POLIGONI SIMILI

    Due poligoni sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali

    Il rapporto di similitudine R è il rapporto tra due lati corrispondenti. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è R. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è R2.

  • Criteri di similitudine dei triangoli

    Due triangoli sono simili se hanno:

    2 coppie di lati proporzionali e 1 angolo congruente

    3 angoli congruenti

    3 coppie di lati proporzionali

  • TEOREMA DELLA BISETTRICE

    AC : CD = AB : BD

    La bisettrice di un TRIANGOLO divide il LATO OPPOSTO in SEGMENTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI.

    A

    B

    C

    D

  • TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

    AB2 + AC2 = BC2

    A

    B C

    H

    AH = Altezza relativa all’ipotenusa

    BC

    ACABAH

    TEOREMA DI PITAGORA

    I triangoli ABC, ABH e CAH sono SIMILI

    I° TEOREMA DI EUCLIDE AB2 = BH·BC AC2 = CH·BC

    II° TEOREMA DI EUCLIDE AH2 = BH·HC

  • APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA

    2ld

    ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO

    DIAGONALE DI UN QUADRATO

    d l

    l

    l/2

    h

    32

    lh 3

    3

    2hl

    AREA DEL TRIANGOLO EQUILATERO

    334

    33

    9

    43

    43

    222

    222 hhlllh

    lA

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

    Traccia il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende triangolo e quadrato come in figura:

    I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono .. Le aree dei triangoli ACD e ABE sono = ..

  • SOLUZIONE

    Tracciamo il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende

    triangolo e quadrato come in figura:

    I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono congruenti perchè hanno per ipotenusa

    il lato del quadrato BCDE ed hanno angoli congruenti.

    Segue che l'area di ACD =

    Analogamente, l'area di ABE =

    In conclusione l'area di ABC =

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

    AO = 2 OH

    A B

    C

    .O

    H

    30°

    D

    Considera il triangolo che si forma unendo il centro con un vertice e con un

    punto simmetrico:

    Adesso costruisci i due triangoli ..

  • SOLUZIONE

    AO = 2 OH

    La parte comune è formata da 6

    triangoli = 6/9 dell’area del

    triangolo ABC

    3

    2

    3

    2 AAcomune

    A B

    C

    .O

    H

    30°

    D

    A B

    C

    .O

    D

    F E

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

    Detto ABC il triangolo che forma la base, la zona di sicurezza è un triangolo A′B′C′ (con A′ appartenente alla bisettrice dell’angolo in A) interno al triangolo ABC. Dette H e K le proiezioni di A′ e B′ rispettivamente sul lato AB, si ha A′H = 1 metro.

  • SOLUZIONE

    1 30° aaaa

    2

  • CIRCONFERENZA E CERCHIO

    La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro. Il CERCHIO è la figura piana compresa.

    C r

    L’asse di una corda passa per il centro

    L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento

    PROPRIETA’

    Raggio e retta tangente in un punto sono perpendicolari

    Misura della circonferenza = 2r

  • MISURA DEGLI ANGOLI

    Gli angoli si possono misurare in .. GRADI

    Un ANGOLO GRADO ° è la 360-esima parte di un angolo GIRO

    Si divide in 60 ANGOLI PRIMI ‘. Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI ‘’

    RADIANTI

    A B

    La misura in radianti di un angolo al centro che insiste su un arco AB di

    una circonferenza di raggio r è: r

    AB

    Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio !

    :180: rg

    rg

    180

    180

    g

    r

  • )90(2

    )270(2

    3

    )0(0

    )360(2 )180(

    )120(3

    2

    )300(3

    5

    )60(3

    )240(3

    4

    )150(6

    5

    )330(6

    11

    )30(6

    )210(6

    7

    )135(4

    3

    )315(4

    7

    )45(4

    )225(4

    5

    ANGOLI ELEMENTARI

  • AREA DI FIGURE PIANE

    2

    hbA

    TRIANGOLO RETTANGOLO

    hbA

    PARALLELOGRAMMO

    TRAPEZIO

    2

    )( hbBA

    CERCHIO

    2rA

    2

    21 ddA

    ROMBO

    SEGMENTO CIRCOLARE DI AMPIEZZA (RADIANTI)

    2

    2rA

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

    Con riferimento alla figura, siano A e B estremità di sbarre contigue, V il vertice dell’arco AB , M il punto medio di AB e O il centro della circonferenza cui appartiene l’arco AB. Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x ..

    9

    x

  • SOLUZIONE

    Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x . Per il Teorema di Pitagora, deve valere: 9

    x

    3333

    9

    3

    3

    3

    9

    3

    9

    36

    545436 xx

    30° 60°

  • QUESITO NUMERICO

  • SUGGERIMENTO

    Si cerchi la relazione tra il raggio di 1 e quello di 0 : sarà la stessa esistente tra il raggio di n e quello di n-1 .

    A tale scopo essendo D0O0B0 = 60° (angolo a centro di D0C0B0) segue che il triangolo D0O0B0 è equilatero ..

  • SOLUZIONE

    Quindi, poichè B0H0 è perpendicolare a C0D0 , H0 è punto medio di O0D0 e il raggio di 1 è R(0) 4

    1

    Con la stessa costruzione si mostra che in generale vale

  • POLIGONI REGOLARI

    Un poligono regolare ha lati e angoli congruenti. Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente n assi di simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono.

    Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a

    , pertanto la somma degli angoli

    interni è (n-2)180°. Gli angoli esterni invece misurano 360°/n

    e dunque la loro somma consiste in un angolo di 360°.

  • POLIGONI REGOLARI

    Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono.

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

    I triangoli AEB e ACB sono isosceli. Calcoliamo la misura di un angolo del pentagono e dimostriamo che il triangolo BCP ..

  • SOLUZIONE

  • ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

    Gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda (arco) sono: - CONGRUENTI se insistono dallo stesso arco - SUPPLEMENTARI se insistono dallo archi opposti - LA META' dell'angolo al centro corrispondente

    Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo:

  • QUADRILATERO INSCRIVILE IN UNA CIRCONFERENZA

    Un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza (e si dice CICLICO) solo se la somma delle ampiezze degli angoli opposti è = 180°. Per esempio, il trapezio isoscele, il rettangolo e il quadrato sono sempre inscrittibili, mentre il trapezio rettangolo, il parallelogramma e il rombo no.

    Un altro criterio per stabilire se un

    quadrilatero è ciclico è verificare se sullo

    stesso lato insistono angoli congruenti:

  • QUADRILATERO CIRCOSCRIVIBILE AD UNA CIRCONFERENZA

    Un quadrilatero si può circoscrivere a una circonferenza solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali: per esempio, il rombo e il quadrato sono sempre circoscrivibili, mentre il rettangolo e il parallelogramma no.

  • Corde, secanti e tangenti in una circonferenza

    Teorema delle due corde: Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in parti in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione.

    PA : PC = PD : PB

    Teorema delle due secanti: Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un'intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l'altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.

    PA : PC = PD : PB

    Teorema della secante e della tangente: Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna.

    PD : PT = PT : PC

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

  • SOLUZIONE

  • VOLUMI E SUPERFICI DI SOLIDI

    3lV

    CUBO di lato l

    abcV

    PARALLELEPIPEDO di dim. a,b,c

    CILINDRO di raggio di base r

    e altezza h

    hrV 2

    rhSL 2

    SFERA diraggio r

    3

    3

    4rV

    24 rS

    CONO

    hrV 2

    3

    1

    raSL

    PIRAMIDE

    hAV base3

    1

    aPS baseL

  • QUESITO

  • SUGGERIMENTO

    D

    C

    d = 4 km

    P

    I

    Sviluppiamo sul piano la superficie laterale della montagna, tagliandola lungo il segmento DC. Si avrà un settore circolare di centro C, raggio 4 km, ossia la lunghezza di DC, e delimitato da un arco di circonferenza di 4π km, ossia ..

  • SOLUZIONE

    D

    C

    d = 4 km

    P

    I

    D

    P

    4 km C

    4π km

    D

    I 1 km

    3 km

    Lo sviluppo è un semicerchio. Il triangolo ICD è rettangolo.

    L’ipotenusa ID = 5 km.

  • QUESITO A RISPOSTA APERTA

  • SUGGERIMENTO (a)

  • SOLUZIONE (a)

  • SUGGERIMENTO (b)

    Ridisegna il quadrilatero ABCM e la circonferenza circoscritta:

    Il triangolo ABC è isoscele e gli angoli che insistono sulla corda AB ..

  • SOLUZIONE (b)

  • SCHEDA DI VALUTAZIONE

  • QUESITO DI LOGICA

  • SOLUZIONE

    A B C D

    PIOVE T (V)

    V – S (F)

    V - S (F) T (V)

    NON PIOVE

    S (F) V – T (V)

    V – T (V) V (V) – S (F)