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GEOMETRIAANALITICANELLOSPAZIO(3DGeometry)

SISTEMADIRIFERIMENTONELLOSPAZIOLageometriaanaliticadellospazioèmoltosimileallageometriaanaliticadelpiano.Perquestomotivole

formulesonospessoun'estensionediquellegiàconosciute.

Per rappresentare lo spazio con un riferimento di tipo cartesiano si usano tre rette, a due a due

perpendicolari:gliassix,y,z.Ilpuntodiintersezionedegliassi,èdettoorigineesiindicaconO.Lecoordinatesonoquindix,y,z.L’origineOhacoordinateO(0;0;0).

Un punto generico Pè individuato da una terna ordinata di numeri reali, P(x;y;z); x, ye zsono dettirispettivamenteascissa,ordinataequotadelpuntoP.IlpuntoA(x;y)èlaproiezionediPnelpianoOxy.

FORMULARIO

Inparticolare,seilsegmentoABèparalleloall’assex,vale AB = xB − xA

seilsegmentoABèparalleloall’assey,vale AB = yB − yA seilsegmentoABèparalleloall’assez,valeAB = zB − zA

VETTORINELLOSPAZIOUnvettorenellospazioèindividuatodallesuecomponenticartesiane.

Adognipunto A ax;ay;az( ) èassociatounvettore OA! "!!

= a"= ax"i + ay

"j + az

"k che

hailprimoestremonell’origineOconmodulo:

!a = ax

2 + ay2 + az

2

2

Piùingenerale:

Le componenti di un vettore v!= AB" !""

con primo estremo in A xA; yA; zA( ) e secondo estremo inB xB; yB; zB( ) ,ossiailvettorecheloindentifica,cheneindicala“direzione”èdatoda:

AB! "!!

xB − xA; yB − yA; zB − zA( )

OPERAZIONIFRAVETTORI

Consideriamoduevettori a!ax;ay;az( ) e b

!bx;by;bz( ) .Analogamenteaquantoaccadeperilpiano:

⇒ SOMMA a!+!b = ax + bx; ay + by; az + bz( )

⇒ DIFFERENZA a!−!b = ax − bx; ay − by; az − bz( )

⇒ PRODOTTOPERUNOSCALARE, k ∈! k ⋅ !a = kax; kay; kaz( )

⇒ PRODOTTOSCALARE !a i!b = !a

!b cosθ

doveθ èl’angolofraiduevettori !a i!b = ax ⋅bx + ay ⋅by + az ⋅bz (evidenziandolecomponenti)

Vettoriparalleli

Dati due vettori a!ax;ay;az( ) e b

!bx;by;bz( ) , essi sono paralleli se e solo se essi hanno le componenti

proporzionali ossia: ∃k ∈! tale che !a = k

!b , ossia:

a!kbx;kby;kbz( ) . Se b

!bx;by;bz( ) ha le componenti tutte

nonnullesipuòanchescrivere:

!a "!b ⇔ ax

bx=ayby

=azbz

= k

Vettoriperpendicolari

Datiduevettori a!ax;ay;az( ) e b

!bx;by;bz( ) ,essisonoperpendicolariseesolosefradiessic’èunangolo

θ = π 2 equindi cosθ = cosπ 2 = 0 .Ciòcomportacheilloroprodottoscalaresia0,ossia:

!a ⊥!b ⇔ ax ⋅bx + ay ⋅by + az ⋅bz = 0

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ILPIANOELASUAEQUAZIONEL’equazione di un generico piano nello spazio ha equazione del tipo: ax + by + cz + d = 0

InfattiungenericopianosipuòscriverecomeilluogogeometricodeipuntiP x;y;z( ) dellospaziopercuiilvettore PP0! "!!

,con

P0 x0;y0;z0( ) è ortogonale al vettore !n a;b;c( ) , cheha la stessadirezionedella retta passanteperP0 e perpendicolare al

piano:

PP0! "!!

x − x0;y − y0;z − z0( ) ⊥ !n a;b;c( ) ⇔ PP0

! "!!i"n = 0

x − x0( ) ⋅a + y − y0( ) ⋅b + z − z0( ) ⋅c = 0 ossia ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 Ponendod = −ax0 − by0 − cz0 sihaappuntol’equazione ax + by + cz + d = 0

RICORDA: i coefficienti dell’equazione di un piano a, b, c rappresentano SEMPRE le componenti di un

vettore !n a;b;c( ) cherisultaortogonale,normalealpianostessoesichiamanocoefficientidirettividel

piano:ilvettore !n a;b;c( ) risultaortogonaleatutteledirezioniparallelealpiano.

Casiparticolari:

• Sed=0,ilpianopassaperl’origine(0;0;0).

• Senell’equazionedelpianomancaunadellevariabili,ilpianoèparalleloall’assediquellavariabile

(ossiaèperpendicolarealpianodelleduevariabilipresenti):

• Senell’equazionedelpianomancanoduevariabili,ilpianoèparalleloalpianodiquellevariabili:

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PIANOPERTREPUNTIUnpianoèunivocamentedeterminatodallaconoscenzadisuoitrepuntinonallineati.Per trovarne l’equazione basta risolvere un sistema 3x3 imponendo il passaggio dei tre punti

nell’equazionecartesiana:

Se i punti sonoallineati, esistono infiniti pianipassantiper i trepunti allineati (sono i pianidel fascio

passanteperlarettadeterminatadaipuntiallineati).

PIANOPASSANTEPERUNPUNTO,PARALLELOADUNPIANODATOL’equazionedelpianopassanteperP0 x0;y0;z0( ) eparalleloalpiano ax + by + cz + d = 0 èdatada:

a ⋅ x − x0( ) + b ⋅ y − y0( ) + c ⋅ z − z0( ) = 0

Ricordaresemprecheunpianononèdefinitounivocamentedaivaloria,b,c;infattisesimoltiplicaosidividea,b,cperun

qualsiasinumerononnullo,siottieneun’altraequazionedellostessopiano.Ingeneralepossiamoporreunadiquestevariabili

ugualia1ecalcolareunivocamentelealtre.

POSIZIONERECIPROCADIDUEPIANIConsideriamoduepianidiequazione α :ax + by + cz + d = 0 eβ : ′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0 .

PIANIPARALLELI: α ! β ⇔ "n ! ′"n ⇔ a

′a= b

′b= c

′c(con ′a , ′b , ′c ≠ 0 )

PIANIPARALLELIECOINCIDENTI: α ! β et α ≡ β ⇔ a

′a= b

′b= c

′c= d

′d

PIANIPERPENDICOLARI: α ⊥ β ⇔ !n ⊥ ′!n ⇔ a ⋅ ′a + b ⋅ ′b + c ⋅ ′c = 0

DISTANZADIUNPUNTODAUNPIANO

Datoilpianoα :ax + by + cz + d = 0 eilpunto A xA; yA; zA( ) ,lamisuradellaDISTANZAdiAdalpianoèdatada:

d A;α( ) = axA + byA + czA + d

a2 + b2 + c2

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LARETTAELASUAEQUAZIONE1)UnarettanellospazioèdefinitasesiconosceunsuopuntoP0 x0;y0;z0( ) eunvettorecheneidentificaladirezione

!v = l;m;n( ) .AlloraunpuntoP x;y;z( ) appartieneatalerettaseesolose:

PP0! "!!

x − x0;y − y0;z − z0( ) # "v l;m;n( ) ossia PP0! "!!

= k ⋅ "v ,con k ∈! .

x = x0 + kly = y0 + kmz = z0 + kn

⎧

⎨⎪

⎩⎪

k ∈! Equazioniparametriche

RICORDA:

I coefficienti l, m, n si chiamano coefficienti direttivi della retta: il vettore !v = l;m;n( ) individua la

direzionedellaretta.

2)Setuttiicoefficientidirettivisonononnulli,sipuòscriverel’equazionedellarettainformacartesiana:

x − x0l

= y − y0m

= z − z0n

Equazionicartesiane

Seunodeicoefficientidirettiviènullo(adesempion=0),delsistemainizialesiscrive:

x − x0l

= y − y0m

; z − z0 = 0

3) Infineuna rettanello spazio si puòdeterminare come intersezionediduepianinonparalleli enon

coincidenti:

ax + by + cz + d = 0′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪Equazionecomeintersezionediduepiani

Equazionedellarettapassanteperduepunti A xA; yA; zA( ) e B xB; yB; zB( ) :

• Equazioniparametriche:

la retta AB ha la direzione del vettore AB! "!!

xB − xA; yB − yA; zB − zA( ) quindi

l;m;n( ) = xB − xA; yB − yA; zB − zA( ) dacuileequazioniparametriche:x = xA + kly = yA + kmz = zA + kn

⎧

⎨⎪

⎩⎪

k ∈!

• Equazionecartesiana:

eliminandoilparametrokdalleequazioniprecedenti(quandol,m,ntuttinonnulli)siricava:x − xAxB − xA

= y − yAyB − yA

= z − zAzB − zA

cheècomunquelacondizionediallineamentoditrepuntinellospazio.

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DallarettacomeintersezionediduepianiallarettainformaparametricaInquestosenso,bastaporreunadelletrevariabiliugualeakericavarelealtreduevariabiliinfunzionedikstesso;siottieneunsistemaconletreequazionicercate.

DallarettainformaparametricaallarettacomeintersezionediduepianiInquestosenso,bastaricavareilparametrokpresenteinunadelletreequazioniedandareasostituirenellealtredueequazionicherimangonolequalisarannoappuntoiduepianiincidenti.

FasciodipianiaventiperasseunadatarettaIlfasciodipianiaventiperasseunarettaèl’insiemedituttiipianicontenentilarettastessa.Selarettaè

individuatacomeax + by + cz + d = 0′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪,ilfasciodipianisipuòscriverecome:

ax + by + cz + d + k ′a x + ′b y + ′c z + ′d( ) = 0 Ovviamente, con un solo parametro reale k, il fascio comprende tutti i piani, tranne il piano′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0 ,analogamenteaquantoavvieneperifascidirettenelpiano.

POSIZIONIRECIPROCHEDIDUERETTEDuerettenellospaziosonocomplanari(quandoappartengonoadunostesso piano; in tal caso possono essere incidenti, parallele distinte,parallelecoincidenti)oppuresonosghembe,senonsonocomplanari.

RETTEPARALLELEDueretteconvettoridirezione

!v = l;m;n( ) e !w = ′l ; ′m ; ′n( ) sonoparalleleseesolose

!v " !w⇔ !v = k !w,k ∈#⇔ l′l= m

′m= n

′n

RETTEPERPENDICOLARIDueretteconvettoridirezione

!v = l;m;n( ) e !w = ′l ; ′m ; ′n( ) sonoperpendicolariseesolose

!v ⊥ !w⇔ !v i

!w = 0⇔ l ⋅ ′l +m ⋅ ′m + n ⋅ ′n = 0

RETTESGHEMBEOINCIDENTISe iduevettoridirezionenonsonoparalleli, leduerettesonosghembequandononhannopuntiincomuneoppureincidentiquandohannounpuntoincomune.N.B.Dueretteperpendicolaripossonoesseresiaincidentisiasghembe,comeinfigura:retsono

perpendicolarieincidentimentresetsonoperpendicolariesghembe.

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RETTEEPIANIConsideriamo un pianoα con vettore normale

!n a;b;c( ) non nullo e una retta r con vettore direzione !v = l;m;n( ) nonnullo.Siha:

Rettaparallelaalpiano r !α ⇔ "n ⊥ "v ⇔ a ⋅ l + b ⋅m + c ⋅n = 0 Inparticolareseilpianoelarettahannoalmenounpuntoincomune,alloralarettagiacesulpiano.

Rettaperpendicolarealpiano

r ⊥ α ⇔ !n " !v ⇔ l

a= mb= nc

DISTANZEDISTANZADIUNPUNTODAUNPIANODatoilpianoα :ax + by + cz + d = 0 eilpunto A xA; yA; zA( ) ,laDISTANZAdiAdalpianoèdatada:

d A;α( ) = axA + byA + czA + d

a2 + b2 + c2

DISTANZAFRADUEPIANIPARALLELISeα ,β sonoduepianiparalleli,ladistanzafraessisicalcolacomed P;β( ) ,essendoPunpuntosceltoapiaceresulpianoα .

DISTANZADIUNPUNTODAUNARETTANonc’èunaformulaspecifica!Note le coordinate di P e l’equazione della retta r (forma parametrica o

cartesiana),unmetodopuòesserequelloditrovarel’intersezioneHfrailpiano

passanteperP,perpendicolareallarettare larettarstessa; ladistanzasarà

PH.

DISTANZATRADUERETTEPARALLELENonc’èunaformulaspecifica!Se r ed s sono due rette parallele, la loro distanza si può calcolare come la

distanzatraunpuntoRsceltoapiaceresurelarettas.

DISTANZAFRADUERETTESGHEMBENonc’èunaformulaspecifica!Sipossonotrovareipunti R∈r, S ∈s talicheilvettore RS

! "!siaperpendicolaresiaalladirezionedirche

alladirezionedis.Fattoquesto,ladistanzafralerettesghembesarà:d r;s( ) = RS .

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SUPERFICIESFERICALasuperficiesfericaèilluogogeometricodeipuntidellospaziochehannotuttilastessadistanzardaun

puntofissodettocentroC x0;y0;z0( ) .

Equazioni x − x0( )2 + y − y0( )2 + z − z0( )2 = r2

Oppure: x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 ,conC −a2; −b2; −c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e r =

12

a2 + b2 + c2 − 4d

L’equazione precedente rappresenta quella di una superficie sferica se e solo sea2 + b2 + c2 − 4d ≥ 0 (condizionedirealtà).

PianoesferaDatounpianoα eunasuperficiesfericadicentroCeraggior,siha:

− Sed C;α( ) < r ,ilpianointersecalasferainuncerchio;− Sed C;α( ) = r ,ilpianoèperpendicolareallasfera(PC ⊥ α )− Sed C;α( ) > r ,ilpianononintersecalasfera.

EquazionedelpianotangenteaunasferaDataunasuperficiesfericadicentroCeraggioreunsuopuntoP x1;y1;z1( ) , ilpiano tangente inPallasuperficiesfericahavettoreperpendicolaredatoda PC

! "!!.

AREADIUNTRIANGOLONELLOSPAZIOAreadiuntriangolodivertici A x1, y1, z1( ), B x2, y2, z2( ), C x3, y3, z3( ) :

A = 12

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

2

+y1 z1 1y2 z2 1y3 z3 1

2

+x1 z1 1x2 z2 1x3 z3 1

2