Spazio dei giunti e spazio operativo

Lo spazio dei giunti (o spazio delle configurazioni) è lo spazio in cui è definito il vettore q delle variabili di giunto. La sua dimensione è indicata con N.Lo Spazio operativo (o spazio Cartesiano) è lo spazio in cui è definito il vettore x = (p, )T. La sua dimensione è indicata con M.

p è il vettore delle coordinate cartesiane della posizione dell’organo terminale. In generale ha dimensione 3x1 (coordinate x,y,z).

è il vettore rappresentante l’orientamento dell’organo terminale. In generale ha dimensione 3x1.

Le dimensioni effettive dei vettori p e dipendono dallo spazio di lavoro e dal compito che il robot deve eseguire.

Il problema cinematico inverso riguarda la determinazione delle variabili di giunto una volta assegnati posizione e orientamento dell’organo terminale.

Il problema cinematico inverso

Le equazioni da risolvere sono in generale non lineari• Non è sempre possibile trovare una soluzione analitica (in forma chiusa)• Si possono avere soluzioni multiple.• Si possono avere infinite soluzioni (manipolatori ridondanti).• In funzione della struttura cinematica del braccio, possono non esistere soluzioni ammissibili.

L’esistenza di una soluzione è sempre garantita se la posizione e l’orientamento desiderati appartengono allo spazio di lavoro destro del manipolatore.

Il problema delle soluzioni multiple è legato non solo al numero di gradi di libertà ma anche al numero di parametri di D-H nulli.

Il problema cinematico inverso

Nei casi in cui non sia facile o non esistano soluzioni analitiche si ricorre a tecniche numeriche di soluzione

Nel caso di manipolatore a sei gradi di libertà l’esistenza di una soluzione analitica è sempre garantita se ricorre almeno una delle seguenti condizioni:

A) tre assi di giunti rotoidali adiacenti si intersecano (polso sferico);

B) tre assi di giunti rotoidali adiacenti sono paralleli

Nel caso A, si può scindere il problema in due sottoproblemi disaccoppiando la soluzione per la posizione da quella per l’orientamento.

Il problema cinematico inverso

Determinazione della relazione tra le velocità dei giunti e le corrispondenti velocità angolari e lineari dell’organo terminale. Tali legami sono descritti da una matrice di trasformazione dipendente dalla configurazione del manipolatore.

Cinematica differenziale

Matrice Jacobiana e cinematica Matrice Jacobiana e cinematica differenzialedifferenzialeSi consideri una funzione vettoriale g(x) di dimensioni (m x 1), i cui elementi gi siano dotati di derivata rispetto al vettore x di dimensioni (n x 1).Si definisce matrice Jacobiana (o Jacobiano) la matrice (m x n)

x

xg

x

xgx

xg

x

xgxJ

m

g

2

1

Se x(t) è una funzione derivabile rispetto a t, si ha

xxJxx

gtxg

dt

dxg g

Jacobiano geometrico = matrice di trasformazione dipendente dalla configurazione corrente del braccio

Jacobiano analitico = matrice delle derivate parziali della funzione di cinematica diretta rispetto alle variabili di giunto

Cinematica differenziale

qqJp

v

q

qkqJ

qqJp

x

A

A

Importanza del calcolo dello Jacobiano del braccio:

• individuazione delle singolarità• analisi della ridondanza• algoritmi per l’inversione cinematica• individuazione del legame tra forze applicate all’organo terminale e coppie sviluppate ai giunti (statica)• derivazione equazioni di moto e sintesi degli schemi di controllo

Cinematica differenziale e statica

Singolarità cinematicheSingolarità cinematiche

Le configurazioni che causano una diminuzione di rango della matrice Jacobiana J sono dette singolarità cinematiche.

In corrispondenza delle singolarità:a) si ha una perdita di mobilità della strutturab) possono esistere infinite soluzioni al problema

cinematico inversoc) velocità ridotte nello spazio operativo possono

causare velocità molto elevate nello spazio dei giunti

Per manipolatori a polso sferico, il problema dell’individuazione delle singolarità può essere disaccoppiato:

• singolarità di polso, caratterizzate nello spazio dei giunti e difficilmente gestibili

det(J22)=0• singolarità di struttura portante, caratterizzate nello spazio operativo (cartesiano) e facilmente evitabili.

det(J11)=0

Singolarità cinematicheSingolarità cinematiche

)det()det()det( 2211

2221

11 0

JJJ

JJ

JJ

Obiettivo della cinematica differenziale è quello di determinare la relazione tra la velocità ai giunti e la velocità dell’organo terminale.

P = Jp(q)q w = Jo(q)q

V = = J(q) q J è lo Jacobiano geometrico del manipolatore

p

w

Cinematica differenziale e statica

Determinare le velocità ai giunti data la velocità nello spazio operativo

V = = J(q) q

q = J-1(q)

Metodi di integrazione numerica consentono di ricavare il vettore q dal vettore delle velocità ai giunti

p

w

p

wJ-1 è l’inversa dello Jacobiano

Cinematica differenziale e statica

StaticaStatica

Lo Jacobiano J lega anche le forze esplicate dall’organo terminale e le coppie applicate ai giunti:

è il vettore delle coppie ai giunti è il vettore delle forze all’organo terminale

qJ T

Pianificazione di traiettoriePianificazione di traiettorie

OBIETTIVO: generare gli ingressi di riferimento per il sistema di controllo del moto:xstart --> xgoal

PERCORSO: luogo dei punti dello spazio dei giunti o dello spazio operativo che il manipolatore deve descrivere nell’esecuzione del movimento assegnatoTRAIETTORIA: percorso su cui è specificata la legge oraria di moto (velocità ed accelerazione in ogni punto)

Pianificazione di traiettoriePianificazione di traiettorie

DATI IN INPUT:definizione del percorsovincoli del percorsovincoli dovuti alla dinamica del manipolatoreDATI IN OUTPUT:nello spazio dei giunti: traiettorie dei vari giuntinello spazio operativo: traiettoria dell’organo terminale

Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti

L’algoritmo di pianificazione genera una funzione q(t) che interpola i valori assegnati per le variabili di giunto nel rispetto dei vincoli imposti.

In generale l’utente individua la posizione e l’orientamento desiderati per l’organo terminale (spazio operativo). Generare una traiettoria nello spazio dei giunti richiede un’inversione cinematica che fornisca i valori di riferimento per le variabili di giunto.

Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti

L’algoritmo di pianificazione deve in generale soddisfare i seguenti requisiti:•Le traiettorie generate devono essere poco onerose dal punto di vista computazionale•Le posizioni e le velocità dei giunti siano funzioni continue del tempo•Siano minimizzati effetti indesiderati (e.g. traiettorie a curvatura non regolare)

Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti

Moto punto-punto: il manipolatore deve muoversi da una configurazione iniziale delle variabili di giunto ad una finale in un intervallo di tempo fissato tf.

Per imporre la legge di moto su un giunto si possono scegliere funzioni polinomiali.

Polinomio cubico: consente di imporre i valori iniziale qi e finale qf delle variabili di giunto e le velocità iniziale e finale (generalmente nulle).

Polinomio di quinto grado: consente di imporre i valori iniziale qi e finale qf delle variabili di giunto, le velocità iniziale e finale e il valore dell’accelerazione iniziale e finale.

Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti

Polinomio cubico:

(velocità parabolica)

(accelerazione lineare)

23

122

3

012

23

3

26

23

atatq

atatatq

atatatatq

I coefficienti del polinomio sono determinati imponendo le 4 condizioni iniziali su posizione e velocità:

fff

ffff

i

i

qatata

qatatata

qa

qa

122

3

012

23

3

1

0

23

Profilo di velocità trapezoidaleProfilo di velocità trapezoidale

Traiettorie nello spazio dei Traiettorie nello spazio dei giuntigiunti Profilo di velocità trapezoidale

Il profilo di velocità trapezoidale è utilizzato in ambito industriale.

Presenta una accelerazione costante nella fase di partenza, una velocità di crociera e una deceleraione costante nella fase di arrivo. La traiettoria corrispondente è di tipo polinomiale misto: un tratto lineare raccordato con due tratti parabolici nell’intorno delle posizioni iniziale e finale.

Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo

L’algoritmo di pianificazione di traiettoria nello spazio operativo genera la legge di moto dell’organo terminale, secondo un percorso di caratteristiche geometriche definite nello spazio operativo.

Per esprimere analiticamente il moto dell’organo terminale si fa riferimento a primitive di percorso.

Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo

Siano p un vettore 3x1 e f() una funzione vettoriale continua nell’intervallo [i, f],

p= f() definisce la rappresentazione parametrica della curva e viene detto parametro.

Si chiama ascissa curvilinea s del punto p la lunghezza d’arco di di estremi p e pi se p segue pi, l’opposto di tale lunghezza se p precede pi.

La relazione p= f(s) fornisce una nuova rappresentazione parametrica di

Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo

In corrispondenza del punto p sono definiti 3 versori caratteristici della curva:

versore tangente

versore normale

versore binormale

ntb

ds

pd

dspd

n

ds

dpt

2

2

2

2

1

Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativo

Traiettorie nello spazio Traiettorie nello spazio operativooperativoSegmento nello spazio:Il segmento congiungente il punto pi con il punto pf ha rappresentazione parametrica

La legge oraria lungo il percorso è descritta dalla funzione s(t)

0

1

2

2

ds

pd

ppppds

dp

pppp

spsp

if

if

if

if

i

Controllo del motoControllo del moto

In generale, il problema del controllo di un manipolatore consiste nel determinare l’andamento delle forze o coppie che gli attuatori devono applicare ai giunti in modo da garantire l’esecuzione di operazioni comandate

Il controllo del moto può essere realizzato nello spazio dei giunti o nello spazio Cartesiano.

Controllo nello spazio dei giuntiControllo nello spazio dei giunti

Il problema del controllo nello spazio dei giunti richiede la risoluzione di due problemi:

1) Inversione cinematica per convertire le specifiche di moto espresse nello spazio operativo in specifiche di moto nello spazio dei giunti

2) Sistema di controllo nello spazio dei giunti in grado di garantire l’inseguimento dei riferimenti ottenuti al punto 1)

Controllo nello spazio dei giuntiControllo nello spazio dei giunti

Controllo nello spazio operativoControllo nello spazio operativo

Percezione del robot

Sensori per la percezione dello stato interno del robot (sensori per la misura della posizione dei giunti del braccio, ad es. encoder) utilizzati per il controllo del moto del manipolatore

Sensori per la percezione dello stato esterno del manipolatore (sensori di prossimità, contatto e distanza, ad es. visione) utilizzati per la pianificazione dei comportamenti del robot

Encoder incrementaleEncoder incrementale

Controllo di un manipolatore Controllo di un manipolatore nello spazio dei giuntinello spazio dei giunti

Sistema di controllo PID (Proporzionale-Integrale-Derivativo):

dt

dee

qqe

dtteKeKeKV

pp

dp

qiqdqp

Controllo di un manipolatore Controllo di un manipolatore nello spazio dei giuntinello spazio dei giunti

Kd

Kp

+

+

+

SistAttuazione

VRobot+/-qd

+/-qd

ep

ep

q

qKi∫

Controllo di un manipolatore Controllo di un manipolatore nello spazio dei giuntinello spazio dei giunti

In ogni istante di campionamento devo passare da q(t) = qact a q(t+dt) = qnext

qact -> qnext : impostare una tensione al motore per far compiere al giuntoqnext – qact gradi

Controllo del motoControllo del moto

Un sistema di controllo fornisce un comando in tensione o in corrente agli attuatori (motori) dei giunti.

La potenza di controllo Pc associata al segnale di controllo deve essere trasformata in potenza utile Pu adatta ad attuare il movimento dei giunti

Controllo del motoControllo del moto

Un sistema di attuazione è costituito da:•una sorgente di alimentazione•un amplificatore di potenza•un servomotore•un organo di trasmissione

Algoritmo del controlloAlgoritmo del controllo

q = 0; p=pi; q=qi;While t<tf

J(q)q(t) = q(t-dt) + q(t-dt)dtq(t) = J-1(q(t-dt)) v(t-dt)t=t+dt

End while

Struttura geometrica del DexterStruttura geometrica del Dexter

8

7

6

5

4

3

2

1

x8

z8 z7

x6 x7

z6

z5

z4

x4x5

x2x3

z3

z2

x0z1

x1

z0

Architettura hardware del Architettura hardware del DexterDexter

Driver di Potenza Dexter

(Attuatori e Encoder)

Schede Controllo

Assi

Convertitore AD/DA

CPUControllo

Tensioni per i

motori

Segnali Encoder

PC

Tensioni di

riferimento

Dinamica di un robot Dinamica di un robot manipolatoremanipolatore

Il modello dinamico di un manipolatore descrive le relazioni esistenti tra le coppie di attuazione ai giunti e il moto della struttura.

La conoscenza del modello dinamico è fondamentale nei problemi di simulazione del moto, di analisi di strutture di manipolazione e di determinazione degli algoritmi di controllo.

Dinamica di un robot Dinamica di un robot manipolatoremanipolatore

Per un manipolatore a link rigidi, il modello dinamico nello spazio dei giunti è espresso come:

hqJqgqFqFqqqCqqB Tsv sgn,

Dinamica di un robot Dinamica di un robot manipolatoremanipolatore

La matrice B è di dimensioni nxn e tiene conto dei momenti di inerzia di ogni link.

Il vettore è di dimensioni nx1 e tiene conto dell’effetto centrifugo e dell’effetto di Coriolis indotto a ciascun giunto

e rappresentano i vettori delle coppie di attrito viscoso e di attrito statico coulombiano

g(q) è il vettore di coppie gravitazionali

è il vettore nx1 delle coppie ai giunti

è il vettore di coppie corrispondenti alle forze esterne h agenti sull’organo terminale

qC

qFv qFs sgn

hJ T