Upload
dita-martiana
View
197
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
FUNGSI FUNGSI LINIELINIERR
Chairul A.S.
PENGERTIAN DAN UNSUR PEMBENTUK FU:ngsi
PENGERTIANPENGERTIANFungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara suatu variabel dengan variabel lain.
UNSUR PEMBENTUK FUNGSI:UNSUR PEMBENTUK FUNGSI:VariabelVariabelKoefisienKoefisienKonstantaKonstanta
UNSUR PEMBENTUK FUNGSI
VariabelVariabel adalah unsur pembentuk fungsi yang melambangkan faktor tertentu dinyatakan dengan huruf atau simbol yang lain Ada 2 jenis variabel:
1. variabel terikat/dependent variable. 2. variabel bebas/independent variable.
KoefisienKoefisien adalah bilangan yang melekat pada variabel
KonstantaKonstanta adalah bilangan yang berdiri sendiri tidak melekat pada variabel
Contoh: Y = f(X)Y = 3 + 0,2 X
FUNGSI LINIER
FUNGSI LINIER
FUNGSI LINIER
FUNGSI LINIER
FUNGSI LINIER
Soal latihan Bentuklah dan gambarkan persamaan linier
yang garisnya lewat titik-titik dengan koordinat berikut ini:
(-1,4) dan (1,0) (-1,-2) dan (-5,-3) (0,0) dan (1,5) (1,4) dan (2,3)
Bentuklah dan gambarkan persamaan linier yang garisnya lewat titik dengan koordinat (4,3) dan memiliki slope sebesar: –1 2 5
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
SejajarSejajar apabila persamaan garis yang satu memiliki slope yang sama besarnya dengan garis-garis yang lain, meskipun konstantanya tidaklah sama.
Y = aY = a1 1 + b+ b11X sejajar Y = aX sejajar Y = a22 + b + b22X X jika:jika: b b11 = b = b22
BerhimpitBerhimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain.
Y = aY = a + bX berhimpit nY = n(a+ bX berhimpit nY = n(a22 + b + b22X) X)
BerpotonganBerpotongan apabila persamaan garis yang satu memiliki slope yang berbeda besarnya dengan garis-garis yang lain.
Y = aY = a1 1 + b+ b11X berpotongan X berpotongan dengandengan :: Y = a Y = a22 + b + b22X X jikajika :: b b11 ≠ b ≠ b22
Berpotongan secara tegak lurus Berpotongan secara tegak lurus apabila slope persamaan garis yang satu merupakan lawan kebalikan slope garis-garis yang lain.
Y = aY = a1 1 + b+ b11X berpotongan tegak lurus X berpotongan tegak lurus dengandengan :: Y = a Y = a22 + b + b22X X
jikajika b b11 = - 1/b = - 1/b2 2 atau atau bb11 . b . b2 2 = - 1= - 1
Soal latihan
Selidiki hubungan antara garis Y + 3X – 6 = 0 dengan
garis-garis berikut ini: Y/2 – X/6 = 1 X/3 + Y/9 = 1 2Y + 6X – 12 = 0 Y + 2X – 3 = 0
PENCARIAN AKAR-AKAR FUNGSICara Substitusi: Cara Substitusi:
Selesaikan salah satu persamaan, lalu substitusikan ke dlm persamaan yg lain
Jika persamaan 1: Y = 7 - 2/3X dalam bentuk lain : 2X + 3Y = 21
persamaan 2: Y = 23/4 -1/4X dalam bentuk lain : X + 4Y = 23selesaikan persamaan 2 (boleh juga persamaan 1 dulu): X + 4Y = 23
X = 23 – 4YKemudian mensubstitusikannya dalam persamaan 1: 2X + 3Y = 21
2(23 – 4Y) + 3Y = 21
46 – 8Y + 3Y = 21
–5Y = –25
Y = 5Substitusikan nilai Y = 5 kedalam persaman 2: X + 4Y = 23
X + 4(5) = 23
X = 3
FUNGSI LINIER Cara eliminasi Cara eliminasi dilakukan dengan jalan
mengeliminir/menghilangkan salah satu bilangan unknown-nya (bisa X atau Y) terlebih dahulu. Perhatikan contoh yang sama berikut ini.
persamaan 1: Y = 7 - 2/3X 2X + 3Y = 21
persamaan 2: Y = 23/4 -1/4X X + 4Y = 23
misal menghilangkan bilangan X terlebih dahulu (boleh juga bilangan Y dulu) sebagai berikut:
2X + 3Y = 21 x1 2X + 3Y = 21
X + 4Y = 23 x2 2X + 8Y = 46 (-)
-5Y = -25
Y = 5
Masukkan nilai Y = 5 kedalam persaman 2: X + 4Y = 23
X + 4(5) = 23
X = 3
FUNGSI LINIER Cara DeterminanCara Determinan
Secara umum determinan dituliskan dengan notasi sbb: a b
c d
Prinsip mengerjakan : mengalikan unsurnya secara diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan perkalian unsurnya secara diagonal dari kiri bawah ke kanan atas.
Untuk determinan berderajad dua (2x2): a b a b = ad – cb c d c d (–) (+) Untuk determinan berderajad tiga (3x3): a b c a b c a b d e f d e f d e = aei + bfg + cdh – gec –
hfa – idb g h i g h i g h (–) (–) (–) (+) (+) (+)
FUNGSI LINIER Cramers rule: Apabila ada dua persamaan dengan dua bilangan un-known:
Persamaan 1: aX + bY = c
Persamaan 2: dX + eY = f
Secara matriks dapat dituliskan a b X c
=
d e Y f
FUNGSI LINIER Apabila ada tiga persamaan dengan tiga bilangan un-known:
Persamaan 1: aX + bY + cZ = k
Persamaan 2: dX + eY + fZ = l
Persamaan 3: gX + hY + iZ = m
Secara matriks dapat dituliskan a b c X k
d e f Y = l
g h i Z m
FUNGSI LINIER
FUNGSI LINIERpersamaan 1: Y = 7 - 2/3X 2X + 3Y = 21
persamaan 2: Y = 23/4 -1/4X X + 4Y = 23
Secara matriks dapat dituliskan 2 3 X 21
=
1 4 Y 23
Soal latihanCarilah akar-akar fungsi berikut ini:A. 2X + 3Y = 21 dan 8X – 4Y – 4 = 0
B. 2X + 2Y = 30 dan 4X – 8Y = -24
C. X + Y + Z = 3 dan 5X – 9Y –2Z = 8 dan 3X + 5Y – 3Z = 45
TUGAS Tentukan persamaan garis yang
melewati titik dengan koordinat (4,2) dan tegak lurus dengan garis yang melewati titik-titik berkoordinat (1,0) dan (9,16)
APLIKASI FUNGSI LINIERAPLIKASI FUNGSI LINIER
Chairul A.S.
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Fungsi PermintaanFungsi Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan negatif antara jumlah barang yang diminta dengan harganya
Secara umum bentuk fungsi permintaan dituliskan:
Q = -aP + b atau P = -1/a Q + b/a Secara grafis hubungan tersebut dapat digambarkan:
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Fungsi PenawaranFungsi Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan positif antara jumlah barang yang diminta dengan harganya
Secara umum bentuk fungsi penawaran dituliskan:
Q = aP – b atau P = 1/a Q + b/a Secara grafis hubungan tersebut dapat digambarkan:
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Keseimbangan PasarKeseimbangan Pasar
Pada keadaan ini jumlah yang diminta konsumen sama dengan jumlah yang ditawarkan produsen dan harga yang ditawarkan sama dengan harga yang diminta
Secara grafis keseimbangan (Equilibrium) ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva permintaan dengan kurva penawaran.
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Contoh : Fungsi permintaan: Q = -P + 15 P = -Q + 15
Fungsi penawaran : Q = 2P – 6 P = 0,5Q + 3
Equilibrium:Equilibrium:
QPERMINTAAN = Q PENAWARAN
-P + 15 = 2P – 6
21 = 3P
PE = 7
Q = -P + 15 Q = 2P – 6
Q = -(7) + 15 atau Q = 2(7) – 6
Q = 8 Q = 8
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Secara grafis keseimbangan tersebut digambarkan:
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Pengaruh Pajak Dan Subsidi Terhadap Keseimbangan PasarPengaruh Pajak Dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Pajak menjadikan harga jual lebih mahal (menambahi harga jual)
merubah fungsi penawaran Contoh : Fungsi permintaan : P = -Q + 15 Q = -P
+ 15
Fungsi penawaran : P = 0,5Q + 3 Q = 2P – 6 + 3
pajak sebesar 3 perunit barang
Fungsi penawaran sebelum pajak : Q = 2P – 6
Berarti harga jual sebelum pajak : P = 0,5Q + 3
Setelah pajak harga jual menjadi : P = 0,5Q + 3 + 3
P = 0,5Q + 6
0,5Q = P – 6
Fungsi penawaran setelah pajak : Q = 2P – 12
Sementara permintaan tetap : Q = -P + 15
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Dengan demikian keseimbangan setelah pajak:
QPERMINTAAN = Q PENAWARAN
-P + 15 = 2P – 12
27 = 3P
PE = 9
Pada harga keseimbangan ini jumlah yang ditransaksikan:
Q = -P + 15 Q = 2P – 12
Q = -(9) + 15 atau Q = 2(9) – 12
Q = 6 Q = 6
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Secara grafis seluruh permasalahan di atas tersebut digambarkan:
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Besarnya beban pajak yang ditanggung masing-masing pihak:
Beban pajak yang ditanggung konsumenBeban pajak yang ditanggung konsumen
Per unit barang = 9 – 7 = 2
Total = 6 x 2 = 12
Beban pajak yang ditanggung produsenBeban pajak yang ditanggung produsen
Per unit barang = 3 – 2 = 1
Total = 6 x 1 = 6
Pajak yang diterima pemerintahPajak yang diterima pemerintah
Per unit barang = 3
Total = 6 x 3 = 18
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Subsidi menjadikan harga jual lebih murah (mengurangi harga jual) merubah fungsi penawaran
Contoh : Fungsi permintaan : P = -Q + 15 Q = -P + 15
Fungsi penawaran : P = 0,5Q + 3 Q = 2P – 6 – 1,5
pajak sebesar 1,5 perunit barang
Fungsi penawaran sebelum subsidi : Q = 2P – 6
Berarti harga jual sebelum subsidi : P = 0,5Q + 3
Setelah subsidi harga jual menjadi : P = 0,5Q + 3 – 1,5
P = 0,5Q + 1,5
0,5Q = P – 1,5
Fungsi penawaran setelah subsidi : Q = 2P – 3
Sementara permintaan tetap : Q = -P + 15
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Dengan demikian keseimbangan setelah subsidi:
QPERMINTAAN = Q PENAWARAN
-P + 15 = 2P – 3
18 = 3P
PE = 6
Pada harga keseimbangan ini jumlah yang ditransaksikan:
Q = -P + 15 Q = 2P – 3
Q = -(6) + 15 atau Q = 2(6) – 3
Q = 9 Q = 9
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Secara grafis seluruh permasalahan di atas tersebut digambarkan:
APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Besarnya subsidi yang diterima masing-masing pihak:
Besar subsidi yang diterima konsumenBesar subsidi yang diterima konsumen
Per unit barang = 7 – 6 = 1
Total = 9 x 1 = 9
Besar subsidi yang diterima produsenBesar subsidi yang diterima produsen
Per unit barang = 1,5 – 1 = 0,5
Total = 9 x 0,5 = 4,5
subsidi yang diberikan pemerintahsubsidi yang diberikan pemerintah
Per unit barang = 1,5
Total = 9 x 1,5 = 13,5
APLIKASI MIKRO : Keseimbangan Pasar Kasus Banyak Barang
Dalam kasus dua barang yang berhubungan, permintaan dapat dituliskan:
Qx = f(Px, Py) sementara Qy = f(Px, Py)
= a – bPx + cPy = k + lPx – mPy
Dimana: Qx = jumlah barang x yang diminta
Qy = jumlah barang y yang diminta
Px = harga barang x
Py = harga barang y Jika koefisien dari harga barang lain positif artinya kedua
barang saling substitutif (mengganti) sebaliknya jika tanda koefisien negatif maka kedua barang saling komplementer (melengkapi).
APLIKASI MIKRO : Keseimbangan Pasar Kasus Banyak Barang
Pasar barang xPasar barang x Pasar barang yPasar barang y
Permintaan: Qx = 10 – 4Px + 2Py Permintaan: Qy = 9 + 4Px – 3Py
Penawaran : Qx = 6Px – 6 Penawaran : Qy = 7Py – 3
Keseimbangan pasar barang xKeseimbangan pasar barang x Keseimbangan pasar barang yKeseimbangan pasar barang y
QPERMINTAAN = Q PENAWARAN QPERMINTAAN = Q PENAWARAN
10 – 4Px + 2Py = 6Px – 6 9 + 4Px – 3Py = 7Py – 3
–10Px + 2Py = –16 4Px – 10Py = –12
Secara simultan keseimbangan harga dan jumlah dapat dicari:
–10Px + 2Py = –16 x5 –50Px + 10Py = –80
4Px – 10Py = –12 4Px – 10Py = –12
------------------------- --------------------------- (+)
–46Px = –92
Px = 2
APLIKASI MIKRO : Keseimbangan Pasar Kasus Banyak Barang
Substitusikan dalam: 4Px – 10Py = –12
4(2) – 10Py = –12
Py = 2
Substitusikan Px = 2 dan Py = 2 dalam:
Qx = 10 – 4Px + 2Py Qy = 9 + 4Px – 3Py
Qx = 10 – 4(2) + 2(2) Qy = 9 + 4(2) – 3(2)
Qx = 6 Qy = 11
Atau dan Atau
Qx = 6Px – 6 Qy = 7Py – 3
Qx = 6(2) – 6 Qy = 7(2) – 3
Qx = 6 Qy = 11
APLIKASI MIKRO : Biaya Dan Penerimaan
Fungsi BiayaFungsi Biaya
fixed cost (FC)
Biaya variabel cost (VC)
total cost (TC)
TFC = k
TVC = f (Q) = aQ + 0
TC = f (Q) = TFC + TVC = k + aQ
TFCAFC = ------ Q TVCAVC = ------- Q TCAC = ----- Q
APLIKASI MIKRO : Biaya Dan Penerimaan
Fungsi PenerimaanFungsi Penerimaan
Penerimaan merupakan hasil kali harga jual dengan jumlah yang terjual.
TR = f(Q) = P.Q
APLIKASI MIKRO : Biaya Dan Penerimaan
Keuntungan PerusahaanKeuntungan Perusahaan
APLIKASI MIKRO : Biaya Dan Penerimaan
contoh kasus, apabila menjual produknya seharga 1000, biaya tetap yang dipikul, TFC = 60.000, dan biaya variabel per produk sebesar 500 (TVC = 500Q).
Total Revenue TR = P Q Total Cost TC = TFC + TVC
= 1000 Q = 60.000 + 500Q
bila memproduksi dan menjual produk sebesar 100 maka
TR = 1000 Q TC = 60.000 + 500Q
= 1000 (100) = 60.000 + 500(100)
= 100.000 = 110.000
Maka keuntungan atau kerugian dapat dihitung:
= TR- TC
= 100.000 – 110.000
= -10.000 (selisih negatif berarti rugi)
APLIKASI MIKRO : Biaya Dan Penerimaan
Apabila perusahaan menjual produk sebesar 120
TR = 1000 Q TC = 60.000 + 500Q
= 1000 (120) = 60.000 + 500(120)
= 120.000 = 120.000
Maka : = TR- TC
= 120.000 – 120.000
= 0 (selisih nol berati break even) Apabila perusahaan menjual produk sebesar 150
TR = 1000 Q TC = 60.000 + 500Q
= 1000 (150) = 60.000 + 500(150)
= 150.000 = 135.000
Maka : = TR- TC
= 150.000 – 135.000
= 15.000 (selisih positif berarti untung)
APLIKASI MAKRO : Fungsi Konsumsi Dan Penabungan
Consumsi Pendapatan Nasional
Tabungan
Y = C + SDimana: Y = Pendapatan Nasional C = Besarnya konsumsi masyarakat S = Besarnya tabungan masyarakat
Fungsi KonsumsiFungsi KonsumsiC = f(Y) C = a + bY
Dimana: a = autonomous consumption = konsumsi otonom
b = Marginal Propensity to Consume = MPC = C/Y
APLIKASI MAKRO : Fungsi Konsumsi Dan Penabungan
Fungsi PenabunganFungsi PenabunganY = C + S S = Y- C
S = Y – (a + bY)
= Y – a – bY
= –a +(1–b)Y
Dimana: S = Besarnya penabungan masyarakat
–a = autonomous saving = penabungan otonom
1–b = Marginal Propensity to Save = MPS
= S/Y
= 1–MPC
MPC + MPS = 1
APLIKASI MAKRO : Fungsi Konsumsi Dan Penabungan
APLIKASI MAKRO : Fungsi Investasi
Fungsi InvestasiFungsi Investasi
I = f(i) = I = Io – pi
Dimana: Io = autonomous investment/investasi otonom
p = proporsi investasi terhadap tingkat bunga
APLIKASI MAKRO : Fungsi Pajak
Fungsi PajakFungsi Pajak
Pajak tetap : Tx = t
Pajak progresif : Tx = hY
Pajak campuran : Tx = t + hY
Dimana: Tx = Besarnya pajak
t = autonomous pajak
h = proporsi pajak terhadap pendapatan
APLIKASI MAKRO : Pendapatan Siap Pakai
Pendapatan Siap PakaiPendapatan Siap Pakai
Yd = Y – Tx + Tr
Dimana: Yd = Pendapatan siap pakai/disposable income
Y = Pendapatan Nasional
Tx = Pajak/Tax
Tr = Pembayaran alihan/Transfer Payment
Yd = C + SYd = C + S
C = f(Yd) dan S = f(Yd)
C = a + bYd S = -a + (1-b)Yd
APLIKASI MAKRO : Fungsi Impor
Fungsi ImporFungsi Impor
M = f(Y) = M0 + mY
Di mana:M0 = impor otonom/autonomous import
m = marginal propensity to impor = M/Y
Y = Pendapatan nasional
APLIKASI MAKRO : Analisis Pendapatan Nasional
Analisis Pendapatan NasionalAnalisis Pendapatan NasionalY = C + I + G + (X – M) Contoh diketahui:
Konsumsi masyarakatnya : C = 2.000 + 0,75 Yd
Investasi : I = 1.500 – 400i
Pengeluaran pemerintah : G = 700
Pembayaran alihan : Tr = 100
Pajak : Tx = 300 + 0,2Y
Ekspor : X = 1.600
Impor : M = 900 + 0,1Y
Jika tingkat bunga (i) adalah 15 persen, maka pendapatan nasional perekonomian tersebut dapat dihitung sebagai berikut:
APLIKASI MAKRO : Analisis Pendapatan Nasional
Sektor Rumah tanggaSektor Rumah tangga
C = 2.000 + 0,75Yd sementara Yd = Y – Tx + Tr
= Y – (300 + 0,2Y) + 100
= Y – 300 – 0,2Y + 100
C = 2.000 + 0,75(0,8Y – 200) = 0,8Y – 200
C = 2.000 + 0,6Y – 150
C = 1.850 + 0,6Y
Sektor perusahaanSektor perusahaan
I = 1.500 – 400i dimana i = 15% = 0,15
I = 1.500 – 400(0,15)
I = 1.500 – 60
I = 1.440
APLIKASI MAKRO : Analisis Pendapatan Nasional
Sektor pemerintahSektor pemerintah
G = 700
Tr = 100
Tx = 300 + 0,2Y
Sektor luar negeriSektor luar negeri
X = 1.600
M = 900 + 0,1Y
Pendapatan nasional:Pendapatan nasional:
Y = C + I + G + X – M
Y = (1.850 + 0,6Y) + (1.440) + (700) + (1.600) – (900 + 0,1Y)
Y = 1.850 + 0,6Y + 1.440 + 700 + 1.600 – 900 – 0,1Y
Y – 0,6 Y + 0,1Y = 1.850 + 1.440 + 700 + 1.600 – 900
0,5Y = 4690
Y = 9.380