FUNCTIA LOGARITMICA

Am ales acest subiect pentru a incerca sa facem mai usoara intelegerea acestei functii(logaritmice)

Definitie: - fie a>0 ; a≠1 ; - functiaf:(0;+∞)→R,definita

prin f(x)=logax se numeste functia logaritmica de baza a

Proprietatile functiei logaritmice:

Proprietatea I :

Proprietatea II :

-daca x=1 → f(1)=log a1=0 → graficul functiei logaritmica contine punctul (1;0).

-functia logaritmica este monotona,mai exact:

1. daca a>1, functia logaritmica este strict crescatoare;

2. daca 0<a<1, functia logaritmica este strict descrescatoare;

Proprietatea III: -monotonia functiei logaritmice este folosita la rezolvarea inecuatiilor,inegalitatilor logaritmice:

1. pentru a>1, avem log a x1

< log a x2 ↔ x1 < x2 ;

2. pentru 0<a<1, avem log a x1 < log a x2 ↔ x2 > x1 ;

Proprietatea IV:

Proprietatea V:

-functia logaritmica este:

1. concava,nu tine apa,daca a>1;2. convexa,tine apa, daca 0<a<1;

-pe graficul ei nu exista 3 puncte coliniare.

-functia logaritmica este bijectiva,adica injectiva si surjectiva;

-din faptul ca functia logaritmica este bijectiva → echivalenta: logax=logay ↔ x=y .

Proprietatea VI: -functia logaritmica este inversabila(orice functie bijectiva este inversabila),iar functia inversa este functia exponentiala avand acceasi baza, a ,astfel daca:

f:(0;+∞)→ R , f(x)=logax → inversa ei este functia

f -1 : R →(0;+∞) , f -1(x)= ax ;

-graficele lor sunt simetrice fata de prima bisectoare, dreapta y=x.

Graficul functiei logaritmice:

- fie functia logaritmica f:(0;+∞) → R , f(x)=logax ,a>0 ,a≠1;

- din proprietatile functiei logaritmice stim ca graficul functiei logaritmica contine punctul (1;0);

-vom trasa graficul functiei logaritmice tinand cont de valorile pe care le poate sa le ia baza logaritmului, respectiv a ,si anume : a ℮(0;1) sau a>1;

-astfel in trasarea graficului functiei logaritmice avem doua cazuri:

Cazul 1: a ℮(0;1) , cand baza logaritmului este subunitara;

Cazul 2: a>1, cand baza logaritmului este supraunitara.

Cazul 1. baza functiei logaritmice este subunitara : a ℮(0;1)   -gragicul functiei cu baza subunitara , a ℮(0;1) ,este format dintr-o

singura ramura care coboara convex ,tine apa, intersectand axa Ox in punctual de coordinate (1;0);

-graficul de valori: 

-din tabelul de mai sus observam ca punctul (1;0) de pe graphic delimiteaza graficul functiei logaritmice astfel:1. G f este situate desupra axei Ox daca 0<x<1 → f(x)>0 ;

2. G f intesecteaza axa Ox daca x=1 ,punctul (1;0) ℮ G f → f(1)=0;

3. G f este situate sub axa Ox daxa x>1 → f(x)< 0.

-graficul functiei logaritmice cu baza subunitara ,a ℮(0;1),este in ce in ce mai apropiat de axele de coordinate xOy cu cat baza este mai mica

y

X(1,0)

G f

Cazul 2. baza functiei logaritmice este supraunitara :a>1  -graficul functiei logaritmice cu baza supraunitara , a>1 , este

format dintr-o singura ramura care urca concav ,nu tine apa,intersectand axa Ox in punctele de coordonate (1;0) ;

-tabelul de valori :  

-din tabelul de mai sus observam ca punctul (1;0) de pe graphic delimiteaza graficul functiei logaritmice astfel:

1. G f este situat sub axa Ox daca 0<x<1 → f(x)< 0;

2. G f intersecteaza axa Ox daca x=1 ,punctul (1;0) ℮ G f → f(1)=0;

3. G f este situate desupra axei Ox daca x>1 → f(x)> 0.

y

x-in acest caz functia logaritmica este strict crescatoare;

(1,0)

G f

TEOREMA. SEMNUL

FUNCTIEI LOGARITMICE

-semnul functiei logaritmice este important in rezolvarea unor inegalitati, inecuatii, precum si in determinarea domeniului de definitie al diferitelor functii.

-fie functia logaritmica f:(0;+∞) → R ,

f(x)=logax ,a>0,a≠1;

-avem urmatoarele cazuri:

www.wikipedia.org www.matematica.com.ro www.referate.ro

Bibliografie:

ANDREI DUMEA

STEFANIA

JOVREA

MADALINA SORA

FLORIN CORNEA

CLAUDIA HIRTEA

FLORINA

MIHALE

MADALIN

COSTEA

Echipa de proiect:

Profesor coordonator:CARMEN LEZEU

VA MULTUMIM PENTRU VIZIONARE, SPERAM CA ATI INTELES.

SFARSIT