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Funciones Reales en una Variable
La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva
Concepto de función
Definición de Función
Donde xfyx
IRBIRAf
:
Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B . En símbolos matemáticos
: Variable Independientex : ariable Dependientey f x V
!x A IR y B IR y f x
En forma de esquema
es la imagen de f x x : es la preimagen de x f x
¿ Cuál es Función ?
A B
B
A B
A BA
¿ Cuál es Función ?
Menú
Representación Grafica
Plano CartesianoMétodo de Óvalos
A IR
B IR
y f x
x
;P x f x
Menú
Dominio y Recorrido
Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la función a
( )x A y B f x y
Y lo denotaremos por Dom f
Dominio y Recorrido
Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la función a
( )y B x A f x y
Y lo denotaremos por Rec f
Dominio y Recorrido (Rango) en el plano cartesiano
Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos
¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?
4 2f x x
DominioRecorrido
2 0x 2x
2;Dom f
4 2y x
24 2y x 4 2y x
24 2y x Re 4;c f
Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y
Y su grafica es
Menú
Tabla de Evaluación
Clasificación de las funciones
Función Lineal
Función Cuadráticas
Función Cúbica
Función Potencia
f x mx b
2f x ax bx c
3f x ax
cf x x
Función Raíz f x x donde 0x
Función Reciproca 1f x
x donde 0x
Funciones Racionales
11 1 0
11 1 0
n nn nm m
m m
p x a x a x a x af x
q x b x b x b x b
Funciones Irracionales f x mx b
Función Valor Absoluto f x x
donde0
0 0
0
x si x
x si x
x si x
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
xf x b
l gbf x o x
Funciones Trigonométricas
f x Sen x
f x Cos x
f x Tang x
Funciones Hiperbólicas
2
x xe ef x Senh x
2
x xe ef x Cosh x
x x
x x
e ef x Tangh x
e e
Menú
Ver Graficas
Propiedades de las funciones
Se dice que es una Función Inyectiva si
Función Inyectiva (1-1)
Función Epiyectiva (sobre)
Función Biyectiva
fDombababfaf ,
IRBIRAf :
Se dice que
IRBIRAf :
es una Función Sobre si Bfc Re
Se dice que
IRBIRAf : es una Función Biyectiva si
es inyectiva y sobre a la vez
Función Inversa
Sea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa
de
y
1f f es una función biyectiva tal que
1 :f B A 1f y x y f x
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:
Operaciones con funciones
Suma de f y g xgxfxgf
f g x f x g x
f g x f x g x
0f xf
x g xg g x
Sean :f A C :g B D
Resta de f y g
Producto de f y g
Cociente de f y g
dos funciones tal que
Dom f Dom g y
Composición de de f y g g f x g f x
Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea función
12 xxf
1
1
xf x
x
2 1f x x
a)
b)
c)
2.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para que sea función
42 xxf
2
1
xf x
x
a)
b)
3 5 1
( ) 2 1 1
3 1 3
x si x
f x si x
x si x
3.- Trace la grafica de la siguiente función
a)
b)
28
201
065
)(
2 xsix
xsix
xsix
xf
5.- Usando alguna aplicación grafica determine Dominio, Recorrido
23 xxf
2
4
4h x
x
1f x Sen
x
log 1f x x
123
1
x
xxf
2 4
xh x
x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6.- Sean la funciones definidas por
1 xxf 2g x x
Hallar dominio de cada una de las siguientes funciones.
xgxfxgf f g x f x g x
f g x f x g x 0f xf
x g xg g x
7.- Para cada uno de los pares de funciones determine(f O g) (x) y g f x
22 6f x x 7 2g x x
2 1f x x x 1g x x
Terminar
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a)
b)
Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica
Función Potencia Función Raíz Función Reciproca
Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
f x Sen x f x Cos x f x Tang x
Menú
f x Senh x f x Cosh x f x Tangh x
Funciones Hiperbólicas