ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

NOMBRE: Cristhian Fajardo FECHA: 09 - 07 - 2015 CURSO: 4to “A” EIE-CRI CODIGO: 577

ANÁLISIS DE SEÑALES

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Consideremos un SLIT al cual se le aplica una excitación x(t), donde x(t)⇔X(f ).

Mediante el cambio de variables t' = t − τ, la integral dentro de los corchetes es

La cantidad H(f) se denomina “Función de Transferencia”, y es la caracterización de un sistema lineal invariante en el tiempo (SLIT) en el dominio de la frecuencia. La función de transferencia H(f) y la respuesta impulsional h(t) forman entonces un par de transformadas de Fourier, es decir, en un SLIT se verifica que h(t)⇔H(f ).

Pero la integral es la transformada de Fourier X(f) de x(t), de donde Y(f ) = H(f )X(f ).

Un sistema lineal invariante en el tiempo puede describirse en el dominio de la frecuencia si se observa que la transformada de Fourier de la respuesta es el producto de la transformada de Fourier X(f) de la excitación por la función de transferencia H(f) del sistema. Las relaciones espectro-temporales correspondientes serán:

y(t) = h(t) ∗ x(t)⇔Y(f) = H(f)X(f)

donde h(t)⇔H(f ); x(t)⇔X(f); y(t)⇔Y(f)

Entonces, por simetría o dualidad, podemos demostrar que

En general, para señales reales se verifica que

En resumen, la convolución de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación de sus espectros en el dominio de la frecuencia; igualmente, la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución de sus espectros en el dominio de la frecuencia. La convolución es conmutativa, asociativa y distributiva.

DISTORSIÓN EN SISTEMAS

Sea un sistema lineal invariante en el tiempo en el cual

x(t)⇔X(f ); h(t)⇔H(f); y(t) ⇔Y(f)

Y(f ) =|H(f )|exp[ jβ(f )]⋅ X(f )

o también

Se tiene ahora el problema de determinar las restricciones que existen sobre |H(f)| y β(f) para que la señal de salida y(t) sea idéntica a la señal de entrada x(t). Es evidente que si H(f) = 1, las dos formas de onda serían idénticas; sin embargo, ésta no es una condición necesaria. En cualquier sistema físico la señal siempre experimenta una cierta atenuación; si la atenuación es constante para todas las frecuencias, ella no representa ningún problema pues la amplitud original puede restaurarse mediante amplificación. Por otra parte, la transmisión no puede ser instantánea y la señal de salida tendrá un cierto retardo en relación con la señal de entrada. Se dice entonces que hay transmisión sin distorsión cuando la señal de salida está definida mediante la expresión y(t) = hox(t – to).

Donde ho es la “atenuación (o ganancia)” y to el “retardo de transmisión” de la señal a través del sistema.

Y(f ) = ho exp(−j2π to f ) ⋅X(f )

Se puede decir que la condición necesaria y suficiente para que se efectúe la transmisión sin distorsión se verifica cuando

H(f ) = ho exp(− j2π to f ) ⇔ h(t) = ho δ(t − to)

En consecuencia, |H(f )|= ho y β(f) = -2π to f

Una expresión más general para la fase es:

β(f ) = −2π to f ± nπ para todo n entero

En resumen, la transmisión sin distorsión requiere que la magnitud o módulo de la función de transferencia sea constante e independiente de la frecuencia, y que la característica de fase sea una función lineal de la frecuencia.

TIPOS DE DISTORSIÓN

• DISTORSIÓN DE AMPLITUD

La “Distorsión de Amplitud”, algunas veces llamada también “Distorsión de Frecuencia”, se produce cuando |H(f)| no es constante dentro de la banda de paso del sistema, es decir, las componentes de frecuencia son atenuadas (o amplificadas) en forma diferente en las diferentes gamas de frecuencia. La manifestación más común de la distorsión de amplitud es el exceso de ganancia o de atenuación en los bordes de la banda y las ondulaciones o rizado de |H(f)|dentro de la banda de paso. Por ejemplo, en un canal telefónico la atenuación en los bordes de la banda se debe a los filtros presentes en el sistema, a las características pasaalto de los transformadores y a los capacitores en serie presentes. El rizado dentro de la banda de paso es causado principalmente por desequilibrios de impedancia y las reflexiones consiguientes.

• DISTORSIÓN DE FASE

La “Distorsión de Fase”, más conocida como “Distorsión de Retardo”, se manifiesta como una deformación de la envolvente de las señales, efecto que se produce en los circuitos cuando la característica de fase β(f) no es lineal. En este caso, las diferentes componentes de frecuencia tienen diferentes tiempos de propagación a través del sistema y como consecuencia se produce una dispersión de las señales a la salida. Para caracterizar esta situación, se consideran dos tipos de distorsión de retardo: la “distorsión de retardo de fase” y la “distorsión de retardo de envolvente o de grupo”, cada uno de los cuales define un tiempo de retardo dado.

FILTROS IDEALES

Aunque no son físicamente realizables, los filtros ideales permiten, por su descripción matemática sencilla, entender con menor dificultad sus efectos sobre las señales que se les aplican.

Para caracterizar estos filtros ideales, vamos a suponer que B es el ancho de banda de la banda de paso (frecuencias positivas) y to el retardo de transmisión (respuesta de fase lineal). Los filtros ideales son sistemas de fase lineal cuyas características generales hemos visto ya.

FILTRO IDEAL PASABAJO

HPB(f) = ho Π(f/2B ) exp(−j2πtof)

de donde HPB(f)= 2Bho sinc[2B(t – to)]

Obsérvese que la respuesta impulsional no es causal, pues hay una respuesta para t < 0: las colas de la función sinc(..) se extienden hasta -∞, Fig.(b). Sin embargo, si Bto >> 1, la cola que se extiende para t negativo es de amplitud muy pequeña y podría ser despreciada. Por lo tanto, aunque la característica pasabajo ideal nunca puede ser causal, ella puede aproximarse para que sea causal haciendo to lo suficientemente grande. Nótese que h(t) es máxima y simétrica en t = to. En sistemas físicos siempre habrá un retardo, de modo que to será pequeño pero jamás será cero.

La respuesta impulsional contiene también toda la información sobre el filtro. En efecto, el desplazamiento respecto al origen es el tiempo de retardo to, la distancia entre los dos ceros del lóbulo principal de la característica nos da el valor del ancho de banda B, y como el valor máximo de la característica es 2Bho , se obtiene también el valor ho de |H(f)|. El valor fc = B generalmente se denomina “frecuencia de corte”.

FILTRO IDEAL PASABANDA

Igual que en el filtro pasabajo, la respuesta impulsional del filtro ideal pasabanda tampoco es causal, Fig. (b). Obsérvese que la envolvente de la respuesta es parecida a la respuesta del filtro ideal pasabajo; la respuesta impulsional tiene la forma de una señal modulada de frecuencia fo. Nótese que todos los parámetros del filtro (fo , B, to y ho) se pueden deducir también de la respuesta impulsional. Las frecuencias de corte son fc1 = fo – B/2 y fc2 = fo + B/2.

FILTRO IDEAL PASAALTO

El filtro ideal pasaalto se puede considerar como la combinación de un filtro ideal pasatodo y un filtro ideal pasabajo, es decir,

FILTRO IDEAL ELIMINADOR DE BANDA

Este filtro se puede considerar como la combinación de un filtro ideal pasatodo y un filtro ideal pasabanda.

Ninguno de los filtros ideales considerados hasta ahora son causales debido a los bordes abruptos de las funciones de transferencia, cuyas respuestas impulsionales contienen funciones sinc(..) que se extienden para t < 0. Además, estos filtros no pueden ser realizados físicamente pues su característica de amplitud |H(f)| viola el Criterio de Paley-Wiener. Si se intentara generar una respuesta causal a partir de una respuesta no causal (como las halladas para los filtros ideales) haciendo h(t) = 0 para t < 0, entonces la respuesta de frecuencia se extenderá más allá de la banda de paso y contendrá rizados dentro de la misma banda.