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1
3.1. Respuesta en el Tiempo
Capítulo 4, Sistemas de Control para Ingeniería (3ºEd.) Norman Nise)
2
Tema 3.1: Respuesta Temporal
3.1.1. Introducción3.1.2. Polos, ceros y respuesta del sistema3.1.3. Sistemas de primer orden3.1.4. Sistemas de segundo orden3.1.5. El sistema general de segundo orden3.1.6. Sistemas subamortiguados de segundo orden3 1 7 R t d i t l
3
3.1.1. Introducción
4
SISTEMA Masa, resorte y amortiguador
función de transferencia X(s)/F(s)
2
5 6
7
BUEN AMORTIGUAMIENTO8
MAL AMORTIGUAMIENTO
3
910
3.1.2. Polos, ceros y respuesta del sistema
11
Polos y ceros
( ) ( )
1 1
1 1 0 1 1 01 1
1 11 1 0 1 1 0
1 11 1 0 1 1 0
... ...
... ...
... ( ) ... ( )
( )( )(
n n m m
n n m mn n m m
n n m mn n m m
n n m mn n m m
d y d y dy d u d u dua a a a y b b b b udt dt dt dt dt dt
a s y a s y a sy a y b s u b s u b u b u
a s a s a s a y s b s b s b b u s
y sF su
− −
− −− −
− −− −
− −− −
+ + + + = + + + +
+ + + + = + + + +
+ + + + = + + + +
=1
1 1 01
1 1 0
...) ...
m mm m
n nn n
b s b s b bs a s a s a s a
−−
−−
+ + + +=+ + + +
11 1 0 1 2
11 1 0 1 2
... ( )( )...( )... ( )( )...( )
m mm m m
n nn n m
b s b s b b s z s z s za s a s a s a s p s p s p
−−
−−
+ + + + = − − −
+ + + + = − − −
zi = ceros del sistema
pi = polos del sistema12
Polos y ceros
Polos de una función de Transferencia:Valores de la variable de la Transformada de Laplace, s, que ocasionan que la función de transferencia se vuelva infinita Cualquiera raíces del denominador de la función de transferencia que son comunes a raíces del numerador
Ceros de una función de Transferencia:Valores de la variable de la Transformada de Laplace,s, que ocasionan que la función de transferencia se convierta en ceroCualquiera raíces del numerador de la función de transferencia que son comunes a raíces del denominador
4
13
Respuesta del sistema
La respuesta de salida de un sistema es la suma de dos respuestas:
Respuesta forzada y Respuesta libreFormas de determinar la respuesta:
Solución de una ecuación diferencial.Transformada inversa de Laplace. Uso de polos y ceros de la Función de
Transferencia.
14
Ejemplo
( ) ( )( ) 5
535255
2+
+=+
+=++=
sssB
sA
ssssC
( )( ) 5
252
0 =++= →ss
sA
( )532
5 =+= −→sssB
( ) tetc 5
53
52 −+=
( ) ( )( )5
2++=
sssG ( )
ssR 1=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ssssRsGsC 1
52
++=
15
• Un polo de la función de entrada genera la respuesta forzada
• Un polo de la función de transferencia genera la respuesta libre
• Un polo real en –α genera la respuesta exponencial e-αt
• Los ceros y polos generan las amplitudes para las respuestas forzada y libre
16
Ejemplo
Respuesta forzada
Respuesta libre
Tomando la Transformada inversa de Laplace
Respuesta forzada
Respuesta libre
( ) ttt eKeKeKKtc 54
43
221
−−− +++=
( ) ( ) ( ) ( )5424321
++
++
++=
sK
sK
sK
sK
sC
5
17
3.1.3. Sistemas de primer orden
18
Sistemas de primer orden
( ) ( ) ( ) ( )assasGsRsC+
==
( ) ( ) ( ) atnf etctctc −−=+= 1
El polo en la entrada genera la respuesta forzada: ( ) 1=tc f
El polo del sistema en –a produce la respuesta libre: ( ) atn etc −−=
Cuando t=1/a
37.011 == −
=− ee at
at ( ) 63.037.011 11 =−=−= =−
= atat
at etc
1/a se llama constante de tiempo de la respuesta
19
Constante de tiempo: tiempo para que e-at decaiga al 37% de su valor inicial
Constante de tiempo: Tiempo que toma la respuesta de escalón para alcanzar el 63% de su valor final
Frecuencia Exponencial: Recíproco de la constante de tiempo
Constante de tiempo: Recíproco de la parte real del polo
Polo: -a Constante de tiempo=1/a
Polo: -a Constante de tiempo=1/a
Frecuencia exponiencial: a
20
Respuesta sistema de primer orden a escalón unitario
6
21
Tiempo de levantamiento, Tr
Tiempo necesario para que la forma de onda pase de 0.1 a 0.9 de su valor final
( ) ( ) ( ) atnf etctctc −−=+= 1
Haciendo c(t)=0.1 y c(t)=0.9
aaaTr 2.211.031.2 =−=
Tiempo de establecimiento, Ts
Tiempo necesario para que la respuesta alcance el 2% alrededor de su valor final
Haciendo c(t)=0.98: ( )a
sT 4=
22
FUNCION DE TRANSFERENCIA DE PRIMER ORDEN POR MEDIO DE PRUEBA
Con una entrada escalón, podemos medir la constante de tiempo y el valor en estado estable, y a partir de éstos se puede calcular la función de transferencia
( ) ( )asKsG+
=Sea el sistema de primer orden:
Respuesta al escalón: ( ) ( ) ( )asaK
saK
assKsC
+−=
+=
Identificando K y a a partir de pruebas, se puede obtener la función de transferencia del sistema
23
Resultado de Laboratorio de una prueba escalón del sistema
Constante de tiempo: Tiempo en alcanzar el 63% valor final
63% valor final: 0.63x0.72=0.45Tiempo en alcanzar el valor
0.45=0.13segConstante de tiempo: 1/a=0.13seg
Luego: a=1/0.13=7.7
Determinación de K:
K/a=0.72 K=5.54
( ) ( )7.754.5
+=
ssGFunción de Transferencia obtenida
24
3.1.4. Sistemas de segundo orden
7
25
Sistemas de Segundo Orden
26
Sobreamortiguado
( ) ( ) ( )( )146.1854.79
999
2 ++=
++=
sssssssC
Polo entrada en el origen
Polos sistemas
( ) tt eKeKKtc 146.13
854.721
−− ++=
27
Subamortiguado
( ) ( )929
2 ++=
ssssC
Polos: 81 js ±−=
( ) ( )teKKtc t 8cos21−+=
28
No Amortiguado
( ) ( )99+
=ss
sC
Polos: 3j±
( ) ( )φ−+= tKKtc 3cos41
8
29
Críticamente amortiguado
( ) ( ) ( )22 39
969
+=
++=
ssssssC
Dos polos en -3
( ) tt teKeKKtc 33
321
−− ++=
30
Respuesta Sobreamortiguada
( ) ( )929
2 ++=
ssssC
( ) ( )929
2 ++=
sssG
( ) ( )º47.198cos06.118888cos1 −−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= −− tetsentetc tt
La parte real del polo es igual a la frecuencia de decaimiento exponencial de la amplitud senoidalLa parte imaginaria del polo es igual a la frecuencia de la oscilación senoidalLa constante de tiempo exponencial es igual al recíproco de la parte real del poloEl valor de la parte imaginaria es la frecuencia real de la senoide. Esta frecuencia se llama frecuencia natural de oscilación, ωd
31
Ejemplo
Los polos son: 23.135 js ±−=
( ) ( ) ( )φ−+=++= −− teKKtsenKtkeKtc tt 23.13cos23.1323.13cos 54132
51
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
2
31tanKKφ 2
3224 KKK +=
Respuesta: constante mas una senoidal exponencialmente amortiguada
32
1. Respuestas sobreamortiguadas:
Polos: dos complejos en –σ1, σ2
Resppuesta libre: dos exponenciales con constantes de tiempo iguales al recíproco de las posiciones de polo
( ) tt eKeKtc 2121
σσ −− +=
2. Respuestas subamortiguadas:
Polos: dos polos complejos en dd jως ±−Respuesta libre: senoide amortiguada con una envolvente exponencial, cuya constanate de tiempo es igual al recíproco del polo. La frecuencia en radianes de la senoide, la frecuencia amorgiuada de oscilación, es igual a la parte imaginaria del polo
( ) ( )φωσ −= − tAetc dtd cos
9
33
3. Respuestas no amortiguadas:
Polos: dos imaginarios en 1ωj±
Respuesta libre: senoide no amortiguada con frecuencia de radianes igual a la parte imaginaria de los polos
( ) ( )φω −= tAtc dcos
4. Respuestas críticamente amortiguadas:
Polos: dos reales en –σ1
Respuesta libre: un término es un exponencial cuya constante de tiempo es igual al recíproco de la posición del polo. Otro término es el producto del tiempo, t, y un exponencial con constante de tiempo igual al recíproco de la posición del polo
( ) tt teKeKtc 1121
σσ −− +=
34
Respuestas escalón para casos de amortiguamiento de un sistema de segundo orden
35
3.1.5. El sistema general de segundo orden
36
El sistema general de segundo orden
Frecuencia natural: ωn
Es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento
Factor de amortiguamiento relativo: ζ
Especificación que se aplica a los sistemas de segundo orden subamortiguados.
Describe de forma cuantitativa la oscilación amortiguada, cualquiera sea la escala de tiempo
onencialtiempodteConssegnaturalPeriodo
segradnaturalFrecuenciaonencialodecaimientdeFrecuencia
exp___tan)_(_
21
)/_(_exp___
πξ ==
10
37
Sin amortiguamiento: polos en el eje jω
( )bs
bsG+
= 2
bn =ω
polos en el eje jω en bj±
2nb ω=
nn
asegradnaturalFrecuencia
onencialodecaimientdeFrecuenciaωω
σξ 2
)/_(_exp___ ===
na ξω2=
Sistema subamortiguado: parte real polos complejos σ=a/2
( ) 22
2
2 nn
n
sssG
ωξωω
++=
FUNCION DE TRANSFERENCIA GENERAL DE SEGUNDO ORDEN
38
( ) 22
2
2 nn
n
sssG
ωξωω
++=
Polos función de transferencia:
0=ξ
No amortiguado
122,1 −±−= ξωξω nnS
39
10 << ξ
Subamortiguado
Críticamente amortiguado
1=ξ
40
1>ξ
Sobreamortiguado
11
41
3.1.6. Sistemas subamortiguados de segundo orden
42
Sistemas Subamortiguados de Segundo Orden
( ) ( ) ( )2221
22
2
22 nnnn
n
ssK
sK
ssssC
ωξωωξωω
+++=
++= ( )
( )
( ) ( )222
2
2
1
111
ξωξω
ξωξ
ξξω
−++
−−
++
+=nn
nn
s
s
ssC
( )
( )φξωξ
ξωξ
ξξω
ξω
ξω
−−−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
−+−−=
−
−
te
ttetc
nt
nnt
n
n
2
2
2
2
2
1cos1
11
1sin|
1cos1
( )21 1tan ξξφ −= −
43 44
Tiempo de pico, Tp: Tiempo para alcanzar el primer pico o máximo
Sobrepaso en porcentaje, %OS: Cantidad que la forma de onda sobrepasa el valor en estado estable, expresada como porcentaje del valor en estado estable
Tiempo de asentamiento, Ts: Tiempo para que las oscilaciones amortiguadas de la respuestas transitoria alcancen y permanezcan a no más de 2% del valor en estado estable
Tiempo de levantamiento, Tr: Tiempo necesario para que la forma de onda pase de 0.1 del valor final a 0.9 del valor final
12
45 46
Evaluación de Tp
( ) ( ) 22
2
2 nn
n
ssssCtc
ωξωω
++==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ℑ
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( )222
2
2
222
2
1
11
1 ξωξω
ξωξ
ω
ξωξωω
−++
−−
=−++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ℑ
•
nn
nn
nn
n
sstc
Igualando a cero la derivada
21 ξωπ−
=n
nt
21 ξωπ
−=
n
PT
( ) tsenetc ntn n 2
21
1ξω
ξω ξω −−
= −•
πξω ntn =− 21
47
Evaluación de %OS
100% xc
ccOSfinal
mínmáx −=
1=finalc
100%21
xeOS⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
=ξξπ
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−==
22 1
2
11
1cos1
ξξπξξππ
ξξπ eseneTcc Pmáx
( )( )100%ln
100%ln22 OSOS
+−=
πξ
48
Evaluación de Ts
( ) ( )φξωξ
ξω −−−
−= − tetc ntn 2
21cos
111
02.01
12
=−
− tne ξω
ξ
( )n
STξω
ξ 2102.0ln −−=
nST
ξω4=
Ts varía entre 3.91 y 7.74 cuando ζ cambia de 0 a 0.9
Aproximación:
13
49
Evaluación de Tr
50
dn
PTωπ
ξωπ =
−=
21
dnST
σξω44 ==
ξωξωθ ==
n
ncos
Aplicando Pitágoras: la distancia radial del origen al polo es la frecuencia natural no amortiguada ωn
Relación entre la posición de los polos con las especificadionesde Tp, Ts, y %OS
51
Las líneas horizontales sobre el plano s son líneas de valor imaginario constante, también son líneas de tiempo de pico constante
Las líneas verticales sobre el plano s son líneas de valor real constante, también son líneas de tiempo de asentamiento constante
Como ζ=cosθ, las líneas radiales son líneas de ζ constante, por lo tanto de sobrepaso en porcentaje constante
52
dn
PTωπ
ξωπ =
−=
21
dnST
σξω44 ==
ξωξωθ ==
n
ncos
Ts2<Ts1
Tp2 <Tp1
%OS1<%OS2
14
53
Respuestas escalón de sistemas subamortiguados de segundo orden cuando se mueven los polos:a. con la parte real constante;b. con la parte imaginaria constante;c. con el factor de amortiguamiento relativo constante
54
3.1.7. Respuesta de sistema con polos adicionales
55
Respuesta de sistemas con polos adicionales
Las fórmulas que describen el sobrepaso en porcentaje, tiempo de asentamiento y tiempo de pico se dedujeron sólo para un sistema con dos polos y sin ceros
Bajo determinadas condiciones los sistemas con polos y ceros adicionales pueden aproximarse a uno de segundo orden
56
Sea el sistema con dos polos complejos en: 21 ξξω −±− n
Y un polo real en: rα−
Respuesta al escalón:
( ) ( )( ) rdn
dn
sD
sCsB
sAsC
αωξωωξω
++
++++
+= 22
( ) ( ) ( ) tdd
t rn DetCsentBetAutc αξω ωω −− +++= cos
15
57
Respuestas de los componentes de un sistema de tres polos:a. gráfica de los polos;b. respuestas de los componentes: el polo no dominante estácerca del par dominante de segundo orden (Caso I), lejos del par (Caso II), y en el infinito (Case III)
58
Si αr>>ζωn (Caso II) el exponencial puro decae con mucha mayor rapidez que la respuesta subamortiguada de segundo orden
Si el término exponencial decae a un valor insignificante en el instante del primer sobrepaso, los parámetros sobrepaso en porcentaje, tiempo de asentamiento y tiempo de pico serán generados por el componente de la respuesta de segundo orden
La respuesta se aproxima a la de un sistema de segundo orden
59
Si αr no es mucho mayor que ζωn (Caso I), la respuesta transitoria del polo real no decaerá a un valor insignificante en el tiempo de pico o asentamiento generados por el par de segundo orden
El sistema no puede ser aproximado por un sistema de segundo orden
60
Los polos adicionales deben estar separados mas de cinco veces más a la izquierda que los polos dominantes para aproximar la respuesta del sistema a la respuesta de un sistema de segundo orden con sólo dos polos
16
61
El residuo del polo no dominante se reduce en magnitud cuando se aleja más hacia la izquierda del semiplano izquierdo
( ) ( )( ) csD
bassCBs
sA
csbasssbcsC
++
++++=
+++= 22
1=Acabc
ccaB−+
−= 2
2
cabcbcaccaC
−+−−= 2
22
cabcbD−+
−= 2
Cuando el polo se aproxima al infinito, o ∞→c
A=1 B=-1 C=-a D=0
El residuo del polo no dominante y su respuesta, se convierte en cero cuando el polo no dominante se aproxime al infinito
62
3.1.8. Respuesta de sistemas con ceros
63
Respuesta de sistemas con cero
Polos:
Cero:
Se cambia de posición: -3, -5 y -10
828.21 j±−
Cuando el cero se aleja de los polos dominantes, la respuesta seaproxima a la del sistema de dos polos
64
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )cs
bcacbs
cbabcs
Bbs
Acsbs
assT+
+−+−++
+−+−=+
++
=++
+=
Si el cero está alejado de los polos, entonces es a es grande en comparación con b y c
( ) ( ) ( )( )( )csbs
acs
bcbs
cbasT++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++−+
++−≈ 11
El cero se ve como un simple factor de ganancia y no cambia las amplitudes relativos de los componentes de la respuesta
17
65
Sistemas de Fase no Mínima( ) ( ) ( ) ( )saCssCsCas +=+Sistema con cero:
Si el cero está en semiplano derecho: a es negativo, luego la respuesta escalada es de signo contrario a la respuesta del sistema sin el cero
Ejemplo: Respuesta para un escalón unitario negativo
66
3.1.9. Efecto de no linealidades sobre respuesta en el tiempo
67
a. Efecto de la saturación de un amplificador sobre la respuesta de velocidad angular de la carga;b. Diagrama de bloques Simulink
Efecto de no linealidades sobre la respuesta en el tiempo
68
a. Efecto de la zona muerta sobre la respuesta de desplazaminto angular de la carga;b. Diagrama de bloques Simulink
18
69
a. Efecto del juego sobre el desplazamiento angular de la carga;b. Diagrama de bloques Simulink
70
Preguntas de repaso
71
3.1. Respuesta en el tiempo1. Mencione la especificación de desempeño para un sistema de primer orden.2. ¿Qué nos dice la especificación de desempeño para un sistema de primer orden?3. En un sistema con una entrada y una salida ¿Cuáles polos generan la respuesta en
estado estable?4. En un sistema con una entrada y una salida ¿Cuáles polos generan la respuesta
transitoria?5. ¿Qué parte de una respuesta genera la parte imaginaria de un polo?6. ¿Qué parte de una respuesta genera la parte real de un polo?7. ¿Cuál es la diferencia entre a frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia
amortiguada o de oscilación?8. Si un polo se mueve con una parte imaginaria constante, ¿qué tendrá en común las
respuestas?9. Si un polo se mueve con una parte real constante, ¿qué tendrá en común las
respuestas?10. Si un polo se mueve a lo largo de una línea radial que se prolonga desde el origen,
¿qué tendrá en común las respuestas?11. Haga una lista de cinco especificaciones para un sistema subamortiguado de
segundo orden. 12. Para la pregunta 11, ¿cuántas especificaciones determinan por completo la
respuesta?13. ¿Qué posiciones de polo caracterizan 1) el sistema subamortiguado, 2) el sistema
sobreamortiguado y 3) el sistema críticamente amortiguado?14. Mencione dos condiciones bajo las que la repuesta generada por un polo se puede
despreciar. 15. ¿Como se puede justificar la cancelación de un polo - cero?
72
FIN