FUNCION CUADRATICA

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

y

O

DE LAS PARABOLAS…

Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura, o en el diario vivir etc.

FUNCION CUADRATICA

Definición. Se llama función cuadrática a una función polinómica de variable real, que tiene grado

dos. La función cuadrática tiene la forma:

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales,

es decir que Df = IR

IRa, b y c

Representación gráfica

La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y.

Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba.

Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:

Los coeficientes a y c

“a” indica la Concavidad (abertura de la parábola), siendo mas angosta en la gráfica cuando “a” es paulatinamente mayor.

La concavidad de la parábola es hacia arriba cuando “a” es positivo, y hacia abajo cuando “a” es negativo.

“c” indica la intersección de la parábola con el eje Y.

Eje de simetría La curva llamada parábola, que

corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibe el nombre de Eje de Simetría y para determinar su valor reemplazamos las variables en la expresión…

Y

0

Vértice

Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia arriba (a >0) tendremos un punto mínimo llamado vértice.

Si es cóncava hacia abajo (a<0) el vértice será el punto máximo de la gráfica.

El vértice es un par ordenado (x,y) en donde x es el eje de simetría, e y se obtiene evaluando la función con el eje de simetría.

●V

●V

Discriminante El estudio de discriminante Δ =b2-4ac cuyos factores

son de la Ec.Cuadrática nos señalará que: Si Δ>0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene dos

soluciones reales: la gráfica interseca en dos puntos al eje x.

Si Δ=0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene una única solución real: la gráfica interseca en un punto al eje x.

Si Δ<0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 no tiene soluciones reales: la gráfica no interseca el eje x

Raíces de la función cuadrática

Para determinar los puntos de intersección de la función cuadrática (parábola) con el eje X se usa la siguiente fórmula:

O También

2 4

2

b b acx

a

En donde a, b y c son las variables de la función cuadrática.

● ●

X1X2

Estudio de la función

Corte con el eje y La función corta el eje y en el punto y

= f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta: la función corta el eje y en el punto (0,

c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada

la función:

tendremos que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

CORTE EJE Y (X=0)

(0,C)

●

● ●

X1X2

Veamos por ejemplo la función:                       

que cortara el eje x cuando:                                           

a = -1; b= 4 y c = 5

que tendrá por solución general:

que resulta:                          

operando:

Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la

figura.

Ejemplo: Función cuadrática: y = 2x2 – 5 x + 1

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10

F(0)=

¿Nº de soluciones o cortes en eje X? b2 4 a c = 0 1 intersección

¿En dónde corta la curva al eje X?

22 0 5 0 1

1

Corte en eje Y, en (0,1)

Δ=

a=2 b= -5 c= 1 reemplazando

Apliquemos…

2

1

2

2 ( 5) 4 2 1

2 2

2 17

4

2 17

4

2 17

4

x

x

x

x

Estos son los puntos de intersección de la curva con el eje X

Eje de Simetría:

Reemplazando…( 5)

2 25

4

x

x

Vértice: Valorizamos la función para x= 5/4

F(5/4)= 2

5 52 5 14 4

25 252 116 417

8

Luego V(5/4,-17/8)

Por lo tanto en la función y = 2x2 – 5 x + 1

Intersecciones a. eje Y: A(0,1)

b. eje X:

2 17( ,0)

4

2 17( ,0)

4

A

B

c. Vértice de la parábola: V(5/4,-17/8)

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Intenta analizar las siguientes funciones y grafica cada una de ellas.

1. f(x) = x2- 6x + 9

2. f(x) = x2+6x+8

3. f(x) = -x2+2x+8

4. f(x) = 2x2+x-6

Mientras tanto en el 4º …

¡… ESTOS ALUMNOS SI QUE PIENSAN…!

“Lento pero

seguro…”¿o NO?

Veamos las respuestas…

Función1. a) Intersección eje Y: A(0,9) b) Intersección eje X: B(3,0), B(3,0) c) Eje de simetría: x=3 d) Vértice: V(3,0)

GRACIAS POR TU ATENCION

Lic. Pérez Melo 2010