Cuadratica Qp

8/18/2019 Cuadratica Qp

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INGENIERIA INDUSTRIAL

PLANEACION Y DISEÑO DEINSTALACIONES

ING. JOAQUIN MANUEL

TREVIÑO DIAZ


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INTRODUCCION

La localización de una sola instalación pese a la

complejidad que como se ha visto puede llegar a

presentar, es solo un caso particular del problema de

localización.

De hecho, plantearse el problema de localizar unasola instalación supone ya una respuesta al problema

más general, que incluye las siguientes preguntas:

→ ¿uántas instalaciones!

→ ¿Dónde deben localizarse!

→ ¿on que capacidad!

→ ¿"u# actividades ha de desarrollar cada instalación!

→ ¿Con que instalaciones o clientes ha de relacionarse?


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$sta %ltima pregunta es la que concierne a nuestro

tema. &i las nuevas instalaciones han de relacionarseentre si y además relacionarse con las ya e'istentes, el

problema de localización m%ltiple se denomina de

asignación cuadrática.

&on numerosos los modelos de optimización para

instalaciones m%ltiples, algunos de los cuales revistengran complejidad y e'igen utilización de los más

potentes medios de cálculo.

La di(icultad para darles respuesta se acent%a por el

hecho de que estas instalaciones no son

independientes. $n un problema de esta complejidad,el objetivo de hallar la mejor solución, no siempre es

alcanzable pero, en cualquier caso, conviene

cuanti(icar los resultados de las decisiones y

determinar los óptimos e'actos o apro'imados en los

aspectos para los que ello sea (actible.


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DEFINICION

$l problema de asignación cuadrática o mejor conocido

como ")* por sus siglas en ingles, es un problema

estándar en la teor+a de locación.

$l problema de asignación cuadrática cubre una amplia

clase de problemas que envuelve la minimización delcosto total de interacción entre pares de departamentos,

nuevos y e'istentes. $stos problemas involucran desde

encontrar la asignación de (ábricas a localizaciones (ijas

que minimizan los costos de transporte, por ejemplo,

hasta la localización de subensamblajes en un chasis a

(in de minimizar la longitud del cableado que lointerconecta.

odo esto con el (in de minimizar una (unción que

e'presa costos, (lujos o distancias.


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$n resumen, consiste en tratar de asignar - instalaciones a una cantidad - de sitios o locaciones en donde se considera uncosto asociado a cada una de las

asignaciones.

$ste costo dependerá de las distancias y(lujo entre las instalaciones. De este modo

se buscará que este costo, en (unción de ladistancia y (lujo, sea m+nimo.


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ORIGEN

$l ")* (ue planteado por oopmans y /ec0mann en 1234como un modelo matemático para un conjunto de actividades

económicas indivisibles.

Posteriormente Sahni y Gonzales demostraron que a causa desu diversidad de aplicaciones y a la dificultad intrinseca del

problema, el QAP pertenece a los problemas no polinomiales

duros llamados NP-duros

$l ")* ha sido investigado e'tensamente por la comunidad

cienti(ica, lo que sumados a que es un problema aplicable a unsinnumero de situaciones, lo hacen un problema de gran interes

para el estudio.


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MODELO

EL QAP es quizas, el mas complejo y dificultoso de los problemas de

asignacion, en donde, relacionar dos asignaciones particulares tiene

un costo asociado; tal estructura

5ormalmente, el ")* puede ser de(inido por tres matrices n'n:

1. D = {dij} es la distancia entre la localidad i y la localidad j

2. F = {fhk} es el (lujo entre las (acilidades h y k , es decir la cantidad

de interacción 6trá(ico7 e'istente entre las (acilidades. *uederepresentar unidades manejadas entre una instalación y otra.

3. C = {chi} es el costo de asignar la (acilidad h en la localidad i.

http://www.monografias.com/trabajos14/matriz-control/matriz-control.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/matriz-control/matriz-control.shtml


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Ejemplo:

Tenemos las instalaciones i y j, y los sitios k y l.

Usamos el QAP cuando el costo de localizar la instalacion i en elsitio k y la instalacion j en el sitio l, esta en funcion de la distancia

entre los dos sitios k y l, y el grado de interaccion entre las dos

instalaciones j e i.


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$'iste un sistema de n instalaciones

y un sistema de n ubicaciones. *ara cada par de localizaciones, la distancia se

especi(ica y para cada par de las

instalaciones el peso o (lujo se especi(ica6es decir, la cantidad de (uentes

transportadas entre las dosinstalaciones7. $l problema es asignar

todas las instalaciones a diversaslocalizaciones con la meta de reducir al

minimo la suma de las distanciasmultiplicadas por los (lujos

correspondientes.

Sintetizando, el problema QAP es como sencillamente decir:


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APLICACIONES

Los QAP son frecuentemente tratados en el campo de la optimizacion. cubren unaamplia gama, entre ellos la minimizacion del costo total de interaccion entre pares de

facilidades.

Los mismos estan caracterizados por la considereacion de una seleccion o permutacion

de un conjunto discreto de elementos o por una asignacion entre ellos.

Dentro de las innumerables aplicaciones podemos encontrar:

1. Dise8o de centros comerciales donde se quiere que el p%blico recorra la menor

cantidad de distancia para llegar a tiendas de intereses comunes para un sector del

p%blico.


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9. Dise8o de terminales en aeropuertos, en dondese quiere que los pasajeros que deban hacer untransbordo recorran la distancia m+nima entreuna y otra terminal teniendo en cuenta el (lujo de

personas entre ellas.

. Dise8o de teclados de computadora, en dondese quiere por ejemplo ubicar las teclas de una(orma tal en que el desplazamiento de los dedos

para escribir te'tos regulares sea el m+nimo.


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;. Dise8o de circuitos el#ctricos, en donde es derelevante importancia dónde se ubican ciertas parteso chips con el (in de minimizar la distancia entreellos, ya que las cone'iones son de alto costo.

on los ejemplos anteriores de aplicaciones se puedeobservar que resolver este problema para un gran n%mero

de instancias es de vital importancia, y a la vez que tratar

de resolver el problema mediante t#cnicas completas puede resultar in(actible por el alto n%mero de instancias.


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PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE QAP

$l QAP es muy (ácil de plantear pero muy di(+cil de resolver y consisteen lo siguiente: encontrar un asignación optima de n instalaciones en n

ciudades minimizando el costo de transporte de materiales entre las

instalaciones siempre considerando la distancia entre las ciudades y

puede ser planteado matemáticamente en dos (ormas:

1. omo un problema de programacion

entera binaria9. omo problema de optimizacion

combinatoria


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Optimizacion combinatoria.

&ean 5 y D dos matrices cuadradas de n ' nsim#tricas, se trata de encontrar la asignación de n plantas a nlocalidades, que minimice:

Donde fij representa el (lujo de materiales de la planta i a la planta j y

dkl es la distancia de la ciudad k a la ciudad l .$l espacio de soluciones (actibles es de tama8o n?, de ah+ sucomplejidad. Las matrices de (lujo y las distancias 5 y Drespectivamente son sim#tricas, entonces se tiene que fij = fji y dkl =dlk , además fij = @ y dkl = @, para i = j.


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omo ya se menciono, el problema de asignación

cuadrática es muy di(+cil de resolver, sin embargo,e'isten algoritmos para ello, pero tales que, engeneral, el tiempo necesario para la resolución del

problema crece e'ponencialmente con lasdimensiones del mismo. *or este motivo, en generalhay que con(ormarse con soluciones de buena

calidad aunque no sean óptimas o aunque no se tengala certeza de que lo sean.

ales soluciones se obtienen mediante algoritmos,que permiten obtener soluciones satis(actorias entiempos de cálculo razonables, y de los que pararesolver el problema de asignación cuadrática, e'iste

un buen n%mero. Ano de tales algoritmos se describecon un ejemplo a continuación.


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Metodo del intercambio pareado

$ste m#todo comienza con una solución inicialpropuesta, en donde cada planta se asigna a un sitio.

Luego, se consideran todos los intercambios pareados,enti#ndase como combinaciones posibles, y se e(ect%a elintercambio que produce la má'ima reducción en elcosto total.

$l proceso contin%a hasta que no se encuentrenintercambios pareados que produzcan una reducción en

el costo total.

La solución resultante, que no necesariamente es unóptimo global, se conoce como la solución 9Bopt debidoa que ning%n intercambio pareado puede reducir más el

costo total.


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Ejemplo.

Metodo intercambio pareado

&uponga que se van a colocar cuatro máquinas en un taller y se disponen ;

sitios para su colocación. ) continuación aparecen la matriz de (lujo desdeB

hacia, para las máquinas 6de la ) a la D7 y la matriz de las distancias, para los

cuatro sitios 6del 1 al ;7:


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*or otro lado, esta segunda matriz, nos muestra las distancias e'istentes entre

los sitios. $jemplo: la distancia entre el sitio ; y 1 son C, entre el sitio ; y 9 es

C, y asi sucesivamente.


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2. ) continuación se (ormulan combinaciones posibles de maquinas, basadas en los (lujos de unamaquina a otra, tomando como re(erencia la matriz de (lujo.

*ara (ormular las combinaciones, no se deben tomar en cuenta aquellas

combinaciones cuyo (lujo es cero.

ombinaciones: )/, ), /, /D, ), /, D.


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. &e construye la primera parte una tabla que despu#s será

'pandida, donde se insertan los datos del (lujo y las distanciasara las combinaciones determinadas, como sigue:

De manera que el (lujo de la maquina ) a la /

es de 3, y como la maquina ) esta ubicada enel sitio 1 y la maquina / en el sitio 9 6seg%nla solución inicial propuesta7, la distanciaentre el sitio 1 y el sitio 9 es de 3. *araobtener el costo total, se hace una

multiplicacion de los (lujos por las distancias, para despues sumarse.

Nota: S.I. (A:1, B:2, C:3, C:4)

Tabla 1.


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4. Se buscan los intercambios de sitios de las maquinas que se pueden

realizar.

Ejemplo: Intercambiar maquina A que se encuentra en el sitio 1 por

la maquina B que se encuentra en el sitio 2 (segun la solucion inicial),

de manera que A quede en el sitio 2 y B en el 1.

Quedandonos como posibles intercambios pareados:

AB BC

AC BD AD CD

Nota: Son todas las combinaciones posibles que se pueden hacer.


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3. $stas combinaciones 6intercambios pareados7 se a8aden a latabla 1 como posibles soluciones.


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6. Para poder rellenar sus columnas es necesario realizar el

intercambio en la matriz de distancias:

a) Se intercambian los sitios de las maquinas A y B horizontalmente(renglones) de la matriz de distancia:

b7 &e intercambian los sitios de las maquinas ) y / verticalmente6columnas7 de la nueva matriz de distancias:


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De esta manera, con la nueva matriz de distancia )/, vamos rellenando lacolumna del intercambio )/ de la tabla 1, con los valores de la nueva matrizconstruida, considerando solo los sitios de los pares de maquinas.

$jemplo.)617/697: Del sitio 1 al sitio 9 ladistancia es ;.

)61767: Del sitio 1 al sitio ladistancia es C.

as+ sucesivamente hasta completar los pares. *ara terminar este paso serealiza la multiplicación de los (lujos por las distancias para sumarse ydeterminar el costo total de dicha combinación.


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Ejercicio AC


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Ejercicio AD


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Ejercicio BC


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Ejercicio BD


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Ejercicio CD


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4. Ana vez completada la tabla, se elige la opción que nos da elmenor costo total.

$ntonces, recordando que nuestra solución inicial propuesta (ue: ):1,

/:9, :, D:; y obtenemos que intercambiar por D nos da un menorcosto que el de la solución propuesta procedemos a realizar elintercambio de sitios quedándonos como nueva solución:

A:1, B:2, C:4, D:


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E. *uesto que se tiene una nueva solución inicial, es decir una nueva

colocación de las maquinas en los sitios, se toma la matriz resultante del

intercambio de D como la nueva matriz de distancia base, y se comienza latabla 9.

!abla 2

La columna (lujo y pares de maquinas se quedan igual, en la columna desolución inicial se escriben los valores del intercambio D.

2. Los intercambios pareados son los mismos, por lo que solo se prosigue alllenado de datos.


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Ejercicio AB T2


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Ejercicio AC T2


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Ejercicio AD T2


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Ejercicio BC T2


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Ejercicio BD T2


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Ejercicio CD T2


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1@. Ana vez completada la segunda tabla, nuevamente se busca la opción que brinde el menor costo.

omo podemos ver, el intercambio )D es el de menor costo con 19@, por

lo que a nuestra solución optima anterior ):1 /:9 :; D: le hacemos elintercambio )D, obteniendo:

A:3 B:2 C:4 D:1

) la cual se le nombra solución 9Bopt.


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$l procedimiento puede seguir tantas veces como se encuentren

costos totales menores.

La calidad de la solución (inal depende mucho de la solución con la

que se comenzó, por lo que se recomienda que el procedimiento se

ejecute con soluciones iniciales alternas.


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DINAMICADise8o de tablero de circuito.

&e tienen 6), /, 7 módulos electrónicos y posiciones 61,9,7 en donde situarlos sobre

una placa. &ea (i0 el n%mero de cables que conectan los módulos i y 0 y sea djl la

distancia entre las posiciones i y l de la placa. $l problema consiste en determinar la

ubicación de los módulos minimizando la longitud total del cable utilizado.

La solucion inicual propuesta es ):1, /:9, :. Los valores para el n%mero de cables y ladistancia se dan a continuación:

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