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2013
Christiam Huertas
www.xhuertas.blogspot.com
Ecuación lineal y cuadrática
ECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA Mathema
Prof.: Christiam Huertas 2
Importancia de las ecuaciones
ECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA Mathema
Prof.: Christiam Huertas 3
Teoría de ecuaciones
Ecuación
Es una igualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas
donde hay por lo menos una variable.
( ) ( )
son expresiones matemáticas.
Ejemplos
Transponiendo términos podemos llegar a lo siguiente
( ) ( )⏟
( )
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Es decir, ( ) es la forma general de una ecuación.
Dependiendo de una ecuación puede ser:
√ }
}
Solución de una ecuación
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
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Ejemplos
Sea la ecuación
Si , entonces (V)
Luego, es solución de la ecuación.
Sea la ecuación
Si , entonces (V)
Si , entonces (V)
Si , entonces ( ) (V)
Luego, y son las soluciones de la ecuación.
Sea la ecuación
Si , entonces (V)
Si , entonces ( ) (V)
Luego, y – son las soluciones de la ecuación.
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Sea la ecuación √
Si , entonces √ (V)
Luego, es solución de la ecuación.
Sea la ecuación
Vemos que la ecuación se verifica para cualquier número; es decir, la ecuación
tiene infinitas soluciones.
Sea la ecuación
Vemos que la ecuación no se verifica para ningún valor; es decir, la ecuación no
tiene solución.
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Aplicación
Si es una solución de la ecuación √ , determine el valor de
(
)
Solución
Como es solución de la ecuación, entonces
√
Luego, √
√
√
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Conjunto solución de una ecuación
Es el conjunto formado por la reunión de todas las soluciones que presenta una
ecuación y se denota por .
Si la ecuación no tiene solución, diremos que el conjunto solución es el conjunto
vacío: .
Ejemplos
Para la ecuación
su conjunto solución es
Para la ecuación
su conjunto solución es
Para la ecuación
su conjunto solución es
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Para la ecuación √
su conjunto solución es
Para la ecuación
su conjunto solución es
Para la ecuación
su conjunto solución es
Aplicación
Si es el conjunto solución de la ecuación
determine el valor de .
Solución
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Como es solución …(*)
Como es solución
Restamos las ecuaciones,
Reemplazamos el valor de en (*):
Por lo tanto, .
Nota.
Resolver una ecuación significa determinar el conjunto solución.
Ejemplo
Resuelva la siguiente ecuación.
( ) ( )
Resolución
De la ecuación se obtiene
( ) ( )
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Factorizando
( )( )
( )( )( )
Aplicamos el siguiente teorema.
Teorema del producto igual a cero.
Si , entonces,
En el ejemplo
Entonces, son las soluciones.
Por lo tanto, .
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Clasificación de las ecuaciones según su conjunto solución
1. Ecuación compatible
Es aquella que tiene al menos una solución.
Se subdividen en
a. Ecuación compatible determinada
Es aquella que tiene un número limitado de soluciones.
b. Ecuación compatible indeterminada
Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones.
2. Ecuación incompatible o inconsistente
Es aquella que no tiene soluciones; es decir, su conjunto solución es el vacio: .
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Ejemplos
√
son ecuaciones compatibles.
√ son ecuaciones compatibles determinadas.
es una ecuación compatible indeterminada.
También la ecuación √ es indeterminada.
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es una ecuación incompatible o inconsistente.
También la ecuación √ √ es incompatible.
Ecuación paramétrica
Forma general
Incógnita:
Parámetros: y .
1. Primer caso:
Entonces,
{
}
Luego, la ecuación será compatible determinada si .
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2. Segundo caso:
Reemplazamos en la ecuación
Luego, la ecuación será compatible indeterminada si .
3. Tercer caso:
Reemplazamos en la ecuación
Luego, la ecuación será incompatible (o inconsistente) si .
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Ejemplo
Dada la ecuación paramétrica.
( )( ) ( )( )
Halle los valores de para que la ecuación sea compatible determinada, compatible
indeterminada e inconsistente respectivamente.
Resolución
En la ecuación vemos que
( )( )⏟ ( )( )⏟
i. Compatible determinada,
( )( )
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ii. Compatible indeterminada,
( )( ) ( )( )
iii. Incompatible o inconsistente,
( )( ) ( )( )
Ecuación polinomial
Es aquella ecuación que presenta la siguiente forma general.
( )
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Donde
: son los coeficientes (reales o complejos)
: es la incógnita.
Si , tenemos ( )
Ecuación lineal
Si , tenemos ( )
Ecuación cuadrática
Si , tenemos ( )
Ecuación cúbica
y así sucesivamente.
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Raíz de un polinomio
Sea ( ) un polinomio no constante, diremos que es una raíz del polinomio ( ) si y
solo si ( ) .
Ejemplos
1. Sea el polinomio ( ) .
Si ( )
Si ( )
Entonces y son las raíces del polinomio ( ).
2. Sea el polinomio ( ) .
Si ( ) ( ) ( ) ( )
Si ( )
Si ( ) ( ) ( ) ( )
Entonces y son las raíces del polinomio ( ).
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Nota
A las soluciones de una ecuación polinomial, se les llama también raíces del
polinomio.
Ejemplo
Dada la ecuación polinomial ( ) ,
Sus soluciones son: y
Sus raíces son: y
Raíz de multiplicidad
Sea ( ) un polinomio. Diremos que es una raíz de multiplicidad , si y solo si
( ) es un factor de ( ) y ( ) no es factor de ( ).
Es decir, ( ) ( ) ( ) con ( ) .
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Ejemplos
1. Dado el polinomio ( ) ( ) ( )
Vemos que
es una raíz de multiplicidad cinco y
es una raíz simple.
2. Dada la ecuación ( ) ( ) ( )( ) .
Tiene por soluciones a: , y ; es decir, .
y sus raíces son:
} es una raíz de multiplicidad dos (raíz doble).
es una raíz simple.
} es una raíz de multiplicidad tres (raíz triple).
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La ecuación tiene en total 6 raíces contadas con todas sus multiplicidades,
Luego,
Aplicación
1. Dada la ecuación polinomial
( ) ( )
Si la suma de sus raíces es cero, calcule el valor de .
Solución
Vemos que las raíces son:
Por dato
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2. Dado el polinomio ( ) ( ) ( ) .
Si ( ) tiene cinco raíces y es una raíz de multiplicidad dos, halle la suma de las
soluciones de la ecuación ( ) .
Solución
Como es una raíz de multiplicidad dos, entonces
Por dato la ecuación tiene cinco raíces, entonces
ECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA Mathema
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Las soluciones de la ecuación son:
y ; es decir y .
Por lo tanto, la suma de las soluciones es .
Ecuación lineal
Es aquella ecuación polinomial de la forma
( )
Hallemos la raíz y/o solución de la ecuación.
Se tiene la ecuación
es la solución o la raíz de la ecuación.
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{
}
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Ejemplos
1. Resuelva la ecuación lineal
Resolución
Multiplicamos por :
( ) ( )
Luego
{
}
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2. Resuelva la ecuación
√
√
√
√
Resolución
De la ecuación se obtiene
√
√
⏟
√
√
⏟
√ √
√
√ √
√
( √ √ ) (
√
√ )
⏟
√ √
√ √ {√ √ }
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Ecuación cuadrática
Es aquella ecuación polinomial de la forma
( )
con .
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Veamos algunos métodos para hallar las soluciones de una ecuación cuadrática.
1) Por factorización.
Ejemplo 1. Resuelva le ecuación
Factorizamos por aspa simple
( )( )
{
}
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Ejemplo 2. Resuelva la ecuación
( )
Se tiene la ecuación
( ) ( )
( )
( )( )
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2) Completando el cuadrado.
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación
Sumamos
( ) √
( ) √
( √ )( √ )
√ √
√ √
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3) Por fórmula general.
Las raíces de la ecuación cuadrática estan dadas por
√
√
Demostración
De la ecuación
Multiplicamos por para completar el cuadrado.
( ) ( )
Sumamos :
( ) ( )
( )
( ) √
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( ) √
( √ ) ( √ )
√ √
√
√
Luego,
√
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Nota
A la expresión se le llama discriminante de la ecuación y se denota por ;
es decir,
es el discriminante de la ecuación.
Luego, las raíces se pueden expresar como
√
√
Ejemplo
Resuelva la ecuación
Identificando los coeficientes
Luego, ( ) ( )( )
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Entonces,
( ) √
( ) √
Es decir;
√
√
√
√
{ √
√
}
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Ejemplo
Resuelva la ecuación .
Identificando los coeficientes
Luego, ( ) ( )( )
Entonces,
( ) √
( ) √
√
√
{ √
√
}
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Propiedades
En la ecuación cuadrática de raíces y se cumple:
1. Suma de raíces
2. Producto de raíces
(son los teoremas de Cardano)
3. Diferencia de raíces
De la identidad de Legendre
( ) ( )
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Ejemplos
1. Dada la ecuación de raíces y .
Calcule el valor de
Solución
Por el teorema de Cardano
Se pide calcular
( )
( )
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2. Dada la ecuación de raíces y , de modo que
. Calcule el valor de .
Solución
Ordenamos la ecuación y obtenemos
( )
Por el teorema de Cardano
Pero por dato
(
)
( ) ( )
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Luego
3. Dada la ecuación de raíces y ,
calcule el valor de .
Solución
Como las raíces son y ,
entonces .
Por Cardano y .
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( )( )
Ahora por la identidad de Legendre se sabe que
( ) ( )
√ √
√
√
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Análisis de la naturaleza de las raíces
En la ecuación cuadrática de coeficientes reales, raíces ; y
discriminante se cumple:
i. Si , las raíces ; son reales y .
ii. Si , las raíces ; son reales y .
iii. Si , las raíces ; no son reales, son complejos imaginarios y
conjugados; es decir, son de la forma
, donde .
Vemos que
y
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Aplicación
1. Si el conjunto solución de la ecuación
(√ ) ( )
es , determine el menor valor de .
Solución
Como el conjunto solución de la ecuación es unitario, entonces, , luego
( (√ )) ( )
(√ ) ( )
(√ ) ( )
√ √
√ √
Por lo tanto, el menor valor de es √ .
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Reconstrucción de una ecuación cuadrática
Si ; son las raíces de una ecuación cuadrática, entonces la ecuación viene dada
por
( )
Ejemplos
1. Reconstruya una ecuación cuadrática de raíces: y .
La ecuación cuadrática es
( ) ( )( )
2. Forme una ecuación cuadrática de raíces: y .
La ecuación cuadrática es
( ) ( )( )
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3. Si y son las raíces de la ecuación ,
determine una ecuación cuadrática de raíces
( ) y ( )
Solución
Por el teorema de Cardano
y
La ecuación cuadrática de raíces ( ) y ( ) está dada por
( ( ) ( )) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
ECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA Mathema
Prof.: Christiam Huertas 46
Definiciones
Dada la ecuación cuadrática de raíces y (no nulas).
Diremos que la ecuación
1. Tiene raíces simétricas si y solo si ; es decir
2. Tiene raíces recíprocas si y solo si
; es decir
Ejemplo
Dada la ecuación cuadrática de raíces recíprocas cuyo conjunto
solución es {
}; halle el valor de y .
ECUACIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA Mathema
Prof.: Christiam Huertas 47
Solución
Como la ecuación tiene raíces recíprocas
( ) (
)
𝛼 ⏟
𝑘
Luego las raíces son y
.
Por Cardano se obtiene: