EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de equações exponenciais: 1) 3x =81 (a solução é x=4) 2) 2x-5=16 (a solução é x=9)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3x=8 ( x=4). 2) 9x = 1 ( x=0). FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b. Exemplos de função exponencial:

f (x) =2X, f (x) =

X

4

3 , f (x) =π X

Uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável.

Obs: Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1.

A função exponencial f (x) = Xe é chamada de função exponencial natural, cujo valor é aproximadamente

e 2, 718282. Esta função é, algumas vezes, escrita como exp(x).

Exercício 1: Considere a função exponencial f(x) = (1/2)x. (a) Calcular os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(5) e; (b) Analisar o que ocorre com os valores de y = f(x) quando x aumenta?

FIG. 1 FIG.2

2. Dado o gráfico da função exponencial f(x)=2x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(4), e o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta? Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada abaixo como crescente ou decrescente.

f1(x)=7x, f2(x)=7-x + 2, f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x

)0 e 1( aanmaa nm

).4

3 ( 273 )4

).4(x 256

81

4

3 )3

4

xx

x

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de equações logarítmicas: 3) log3x

=5 (x=243) 4) log(x-1) = log 3 (x=4) 5) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (x=4) FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Algebricamente o logaritmo é um expoente. Ou seja, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o

logaritmo na base b de x é denotado por:

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos comuns.

Propriedades operatórias:

1) log a(M . N) = loga M + loga N

2) log a(M / N) = loga M – loga N

3) log aMN = N . log aM

4) Cologarítmo: log a1/b = - log ab = colog ab

5) Mudança de base

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a. Esta mudança de base poderá ser feita de acordo com a seguinte fórmula:

N

b

N

bN

alog

loglog

Exemplos:

a) log416 = log216 / log24 b) log864 = log264 / log28 c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.

Observações: 1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes: a) logbN = logN / logb b) logba . logab = 1

Exemplos: a) log37 . log73 = 1 b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

Exercícios (aplicando propriedades):

1) Calcular o valor de log3 (9 . 27)

Solução: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos: log3 (9 .27) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5

2) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular log 24:

Solução: log 24 = log (23 . 3) = log 23 + log 3 = 3 log 2 + log 3 = 3x + y

3) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6

Solução: Como log 2 e log 3 estão na base 10, vamos passar log2 6 para a base 10:

log26 = log 6/log 2 = log (2.3)/log 2 = (log 2 + log 3)/log 2 = (0,3 +0,4 )/0,3 = 7/3

Uma função logarítmica pode ser obtida tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados da equação

acima. Isto é: yb

b

x

b loglog

Que pode ser reescrito como: y =x

blog

de onde concluímos que a inversa de f (x) = é (x) =x

blog .

Isto implica que o gráfico de

x = e o de y =x

blog são reflexões um do outro, em relação à reta y = x.

A equação nos diz que as funções logb(bx) e blog x cancelam o efeito de outra quando compostas em

qualquer ordem; por exemplo

Exemplo: Resolver a equação x

4log = 2

Log4 x = 2 -> x = 42 -> x = 16 logo a solução é S = { 16 }

Exercícios:

a) log2 x = 3

b) log4x = 0

c) log3x = 2

d) log5x = 1

e) log100 = x f) log1000 = x

g) log0,100 = x h) log0,001 = x

i) Calcule o log101,4, dados log102 = 100,301 e log107 = 100,845

Função Modular

A função f(x) = | x | recebe o nome de função modular. Gráfico:

É claro para compreender as funções modulares, é preciso, primeiramente, ter feito um estudo

sistemático sobre as propriedades de módulo de um número real e passaremos a fazer isso. Propriedades:

1. 22|| xx

2. rxrrx ||0

3. |||||| yxxy

4. |||||| yxyx

Exercícios Propostos. 4. Resolva as inequações: a) | x – 3 | < 4 b) |2 x – 1 | < 3 c) |3 x – 1 | < -2

d) |3 x – 1 | < 3

1

e) | x – p | < r

f) | x | r

5. Para cada uma das funções abaixo determine, se possível:

1.Domínio; 2.Interseções com os eixos; 3.Esboço gráfico;

a) f x x( )

b) f x x x( ) 1 2

c) f x x x( ) 2 3 2

d) f x x x( ) 2 3 4

e) f xx

x( )

( )

1

1

f) f x x x( ) 2 4 3 1

Algumas Funções Elementares Nesta seção, faremos uma rápida abordagem , se concentrando nos gráficos, sobre algumas funções importantes.

A função .3x

TABELA GRÁFICO

x x3

-5 -125

-2 -8

-1 -1

-0.5 -0.125

-0.2 -0.08

0.2 0.08

0.5 0.125

1 1

2 8

5 125

A função x

1.

TABELA GRÁFICO

x 1/x

-5 -1/5

-2 - ½

-1 -1

-0.5 -2

-0.2 -5

0.2 5

0.5 2

1 1

2 ½

5 1/5

O gráfico desta função chama-se hipérbole.

A função x

TABELA GRÁFICO

x x

0 0

1 1

2 1,4142

3 1,7320

4 2

5 2,2360

7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

2.0

1.0

1.0

2.0

10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

7.0

6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0