Frenetov trobrid - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Frenetov trobrid Uoµcimo da se odstupanje krivulje od pravca

Frenetov trobrid

Jelena Sedlar

Fakultet graevinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Frenetov trobrid 1 / 19

Frenetov trobrid

Uočimo da se odstupanje krivulje od pravca (tj. zakrivljenost) možeopisati sljedécim smjerovima.

Pitanje. Kako matematički modelirati ove smjerove?


Frenetov trobrid

Uočimo da se odstupanje krivulje od pravca

(tj. zakrivljenost) možeopisati sljedécim smjerovima.



Frenetov trobrid

Uočimo da se odstupanje krivulje od pravca (tj. zakrivljenost)

možeopisati sljedécim smjerovima.



Frenetov trobrid




Frenetov trobrid


Pitanje.

Kako matematički modelirati ove smjerove?


Frenetov trobrid




Frenetov trobrid

Véc prije smo uočili da vektor ṙ(t) ima tangencijalni smjer.

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja regularna u t ∈ I . Vektor

t(t) =ṙ(t)|ṙ(t)|

naziva se vektorom tangente krivulje r.


Frenetov trobrid


Definicija.

Neka je r : I → R3 prostorna krivulja regularna u t ∈ I . Vektor

t(t) =ṙ(t)|ṙ(t)|



Frenetov trobrid


Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja

regularna u t ∈ I . Vektor

t(t) =ṙ(t)|ṙ(t)|



Frenetov trobrid


Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja regularna u t ∈ I .

Vektor

t(t) =ṙ(t)|ṙ(t)|



Frenetov trobrid



t(t) =ṙ(t)|ṙ(t)|



Frenetov trobrid



t(t) =ṙ(t)|ṙ(t)|

naziva se vektorom tangente krivulje r.Jelena Sedlar (FGAG) Frenetov trobrid 3 / 19

Frenetov trobrid

Kako dobiti smjer zakrivljenosti krivulje?

Uočimo da za vektor ṫ(t) vrijedi

ṫ(t) = lim∆t→0

t(t + ∆t)− t(t)∆t

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

.

Napomena. Jako je važno da vektori t(t) i t(t + ∆t) budu iste duljine!


Frenetov trobrid

Kako dobiti smjer zakrivljenosti krivulje? Uočimo da za vektor ṫ(t) vrijedi


t(t + ∆t)− t(t)∆t

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

.



Frenetov trobrid



t(t + ∆t)− t(t)∆t

=

lim∆t→0

∆t(t)∆t

.



Frenetov trobrid



t(t + ∆t)− t(t)∆t

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

.



Frenetov trobrid



t(t + ∆t)− t(t)∆t

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

.

Napomena.

Jako je važno da vektori t(t) i t(t + ∆t) budu iste duljine!


Frenetov trobrid



t(t + ∆t)− t(t)∆t

= lim∆t→0

∆t(t)∆t

.



Frenetov trobrid

Definicija.

Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Vektori

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)

nazivaju se redom vektorom glavne normale i vektorom binormale u točkit ∈ I .

Definicija. Ureena trojka (t(t),n(t),b(t)) zove se Frenetov trobridkrivulje r u točki t ∈ I .


Frenetov trobrid

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .

Vektori

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)




Frenetov trobrid

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Vektori

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

i b(t) = t(t)× n(t)




Frenetov trobrid


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)




Frenetov trobrid


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)

nazivaju se redom vektorom glavne normale

i vektorom binormale u točkit ∈ I .



Frenetov trobrid


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)




Frenetov trobrid


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)


Definicija.

Ureena trojka (t(t),n(t),b(t)) zove se Frenetov trobridkrivulje r u točki t ∈ I .


Frenetov trobrid


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)


Definicija. Ureena trojka (t(t),n(t),b(t))

zove se Frenetov trobridkrivulje r u točki t ∈ I .


Frenetov trobrid


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)| i b(t) = t(t)× n(t)




Frenetov trobrid

Propozicija.

Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Frenetov trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.Dokaz. Uočimo naprije za t(t) i n(t) da su:

1 jedinični (po definiciji),2 meusobno okomiti jer je

|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt

⇒ ṫ(t) · t(t) + t(t) · ṫ(t) = 0⇒ 2ṫ(t) · t(t) = 0⇒ ṫ(t) · t(t) = 0⇒ ṫ(t)⊥t(t)

⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid

Propozicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .

Frenetov trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.Dokaz. Uočimo naprije za t(t) i n(t) da su:


|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid

Propozicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Frenetov trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.

Dokaz. Uočimo naprije za t(t) i n(t) da su:


|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid

Propozicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Frenetov trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.Dokaz.

Uočimo naprije za t(t) i n(t) da su:


|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid

Propozicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Frenetov trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.Dokaz. Uočimo naprije za t(t) i n(t) da su:


|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid


1 jedinični (po definiciji),

2 meusobno okomiti jer je

|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒

t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1

/ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt

⇒ ṫ(t) · t(t) + t(t) · ṫ(t) = 0

⇒ 2ṫ(t) · t(t) = 0⇒ ṫ(t) · t(t) = 0⇒ ṫ(t)⊥t(t)

⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt

⇒ ṫ(t) · t(t) + t(t) · ṫ(t) = 0⇒ 2ṫ(t) · t(t) = 0

⇒ ṫ(t) · t(t) = 0⇒ ṫ(t)⊥t(t)

⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt

⇒ ṫ(t) · t(t) + t(t) · ṫ(t) = 0⇒ 2ṫ(t) · t(t) = 0⇒ ṫ(t) · t(t) = 0

⇒ ṫ(t)⊥t(t)

⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒

n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid



|t(t)| = 1 ⇒ t(t) · t(t) = |t(t)|2 = 1 / ddt


⇒{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)|

}⇒ n(t)⊥t(t)


Frenetov trobrid

Propozicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja biregularna u t ∈ I .Frenetov trobrid (t(t),n(t),b(t)) je ortonormiran.Dokaz. Za tréci vektor b(t) = t(t)× n(t) vrijedi da je:

1 jedinične duljine jer je

|b(t)| = |t(t)× n(t)| = |t(t)| |n(t)| sin](t(t),n(t)) == |t(t)| |n(t)| sin π

2= 1,

2 okomit na vektore t(t) i n(t) (slijedi iz definicije vektorskogprodukta). QED


Frenetov trobrid



|b(t)| = |t(t)× n(t)| =

|t(t)| |n(t)| sin](t(t),n(t)) == |t(t)| |n(t)| sin π

2= 1,



Frenetov trobrid



|b(t)| = |t(t)× n(t)| = |t(t)| |n(t)| sin](t(t),n(t)) =

= |t(t)| |n(t)| sin π2= 1,



Frenetov trobrid




2=

1,



Frenetov trobrid




2= 1,



Frenetov trobrid




2= 1,

2 okomit na vektore t(t) i n(t)

(slijedi iz definicije vektorskogprodukta). QED


Frenetov trobrid




2= 1,

2 okomit na vektore t(t) i n(t) (slijedi iz definicije vektorskogprodukta).

QED


Frenetov trobrid




2= 1,



Frenetov trobrid

Definicija.

Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I .Pravac kroz točku r(t) razapet vektorom:

1 t(t) naziva se tangenta,2 n(t) naziva se glavna normala,3 b(t) naziva se binormala.

Ureena trojka tangente, glavne normale i binormale naziva se Frenetovatrojka pravaca.


Frenetov trobrid


(bi)regularna u t ∈ I .Pravac kroz točku r(t) razapet vektorom:




Frenetov trobrid

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I .

Pravac kroz točku r(t) razapet vektorom:1 t(t) naziva se tangenta,2 n(t) naziva se glavna normala,3 b(t) naziva se binormala.



Frenetov trobrid

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I .Pravac kroz točku r(t) razapet vektorom:




Frenetov trobrid


1 t(t) naziva se tangenta,

2 n(t) naziva se glavna normala,3 b(t) naziva se binormala.



Frenetov trobrid


1 t(t) naziva se tangenta,2 n(t) naziva se glavna normala,

3 b(t) naziva se binormala.Ureena trojka tangente, glavne normale i binormale naziva se Frenetovatrojka pravaca.


Frenetov trobrid





Frenetov trobrid

Definicija.

Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I .Ravnina kroz točku r(t) razapeta vektorima:

1 t(t) i n(t) naziva se oskulacijska ravnina u točki t ∈ I ,2 t(t) i b(t) naziva se rektifikacijska ravnina u točki t ∈ I ,3 n(t) i b(t) naziva se normalna ravnina u točki t ∈ I .

Ureena trojka oskulacijske, rektifikacijske i normalne ravnine naziva seFrenetova trojka ravnina.


Frenetov trobrid


(bi)regularna u t ∈ I .Ravnina kroz točku r(t) razapeta vektorima:




Frenetov trobrid

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I .

Ravnina kroz točku r(t) razapeta vektorima:1 t(t) i n(t) naziva se oskulacijska ravnina u točki t ∈ I ,2 t(t) i b(t) naziva se rektifikacijska ravnina u točki t ∈ I ,3 n(t) i b(t) naziva se normalna ravnina u točki t ∈ I .



Frenetov trobrid

Definicija. Neka je r : I → R3 prostorna krivulja (bi)regularna u t ∈ I .Ravnina kroz točku r(t) razapeta vektorima:




Frenetov trobrid


1 t(t) i n(t) naziva se oskulacijska ravnina u točki t ∈ I ,

2 t(t) i b(t) naziva se rektifikacijska ravnina u točki t ∈ I ,3 n(t) i b(t) naziva se normalna ravnina u točki t ∈ I .



Frenetov trobrid


1 t(t) i n(t) naziva se oskulacijska ravnina u točki t ∈ I ,2 t(t) i b(t) naziva se rektifikacijska ravnina u točki t ∈ I ,

3 n(t) i b(t) naziva se normalna ravnina u točki t ∈ I .Ureena trojka oskulacijske, rektifikacijske i normalne ravnine naziva seFrenetova trojka ravnina.


Frenetov trobrid





Frenetov trobrid

Napomena. Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je:1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Napomena.

Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je:1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Napomena. Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran

slijedi da je:1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Napomena. Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je:

1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Napomena. Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je:1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,

2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Napomena. Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je:1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,

3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Napomena. Iz činjenice da je Frenetov trobrid ortonormiran slijedi da je:1 b(t) vektor normale oskulacijske ravnine,2 n(t) vektor normale rektifikacijske ravnine,3 t(t) vektor normale normalne ravnine.


Frenetov trobrid

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja

koja leži u nekoj ravniniπ. Za proizvoljni t ∈ I vrijedi:

1 t(t) ∈ π, jer je t(t) tangencijalan na krivulju,2 n(t) ∈ π, jer je

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t

Sada iz t(t),n(t) ∈ π slijedi da je π oskulacijska ravnina krivulje r.

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja. Akokrivulja r leži u nekoj ravnini π, onda je π oskulacijska ravnina svake njenetočke.


Frenetov trobrid

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja koja leži u nekoj ravniniπ.

Za proizvoljni t ∈ I vrijedi:1 t(t) ∈ π, jer je t(t) tangencijalan na krivulju,2 n(t) ∈ π, jer je

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja koja leži u nekoj ravniniπ. Za proizvoljni t ∈ I vrijedi:


n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid


1 t(t) ∈ π,

jer je t(t) tangencijalan na krivulju,2 n(t) ∈ π, jer je

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid


1 t(t) ∈ π, jer je t(t) tangencijalan na krivulju,

2 n(t) ∈ π, jer je

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid


1 t(t) ∈ π, jer je t(t) tangencijalan na krivulju,2 n(t) ∈ π,

jer je

n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) =

lim∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t=

lim∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t

Sada iz t(t),n(t) ∈ π

slijedi da je π oskulacijska ravnina krivulje r.



Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t


Propozicija.

Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja. Akokrivulja r leži u nekoj ravnini π, onda je π oskulacijska ravnina svake njenetočke.


Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t


Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja.

Akokrivulja r leži u nekoj ravnini π, onda je π oskulacijska ravnina svake njenetočke.


Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t


Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja. Akokrivulja r leži u nekoj ravnini π,

onda je π oskulacijska ravnina svake njenetočke.


Frenetov trobrid



n(t) =ṫ(t)|ṫ(t)|

‖= ṫ(t) = lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷t(t + ∆t)−

∈π︷︸︸︷t(t)

∆t= lim

∆t→0

∈π︷︸︸︷∆t(t)

∆t




Frenetov trobrid

Nadalje, uočimo da iz t(t) = ṙ(t)|ṙ(t)| slijedi

ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =

ddt (√ṙ(t)ṙ(t)) = r̈(t)·ṙ(t)+ṙ(t)·r̈(t)

2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2

(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| −

ṙ(t) · ddt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =

ddt (√ṙ(t)ṙ(t)) =

r̈(t)·ṙ(t)+ṙ(t)·r̈(t)2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

=

=1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) =

{n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)


Frenetov trobrid


ṫ(t) =1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · d

dt(|ṙ(t)|)

)=

=

ddt (|ṙ(t)|) =


2√ṙ(t)ṙ(t)

=

= ṙ(t)·r̈(t)|ṙ(t)|

==

1

|ṙ(t)|2(r̈(t) |ṙ(t)| − ṙ(t) · ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|

)=

=1|ṙ(t)| r̈(t)−

ṙ(t)r̈(t)

|ṙ(t)|3ṙ(t),

r̈(t) = |ṙ(t)| ṫ(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)|2

ṙ(t) ={n(t) =

ṫ(t)|ṫ(t)| , t(t) =

ṙ(t)|ṙ(t)|

}=

= |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)Jelena Sedlar (FGAG) Frenetov trobrid 13 / 19

Frenetov trobrid

Dobili smo:

r̈(t) = |ṙ(t)| |ṫ(t)| · n(t) + ṙ(t)r̈(t)|ṙ(t)| · t(t)

Propozicija. Neka je r : I → R3 biregularna prostorna krivulja. Vektorr̈(t) sadržan je u oskulacijskoj ravnini krivulje r u točki t ∈ I i zatvaraoštri kut s vektorom n(t).


Documents

Frenetov trobrid - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG... · 2017. 5. 23. · Frenetov trobrid Uoµcimo da se odstupanje krivulje od pravca