Franka Miriam Brucklerprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat08-2020.pdf · 2020-04-09 · Kombinatorika Vjerojatnost Kombinatorika prije renesanse Gdje smo dosad spominjali

Kombinatorika Vjerojatnost

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2019.

Kombinatorika i vjerojatnost

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Kombinatorika prije renesanse

Gdje smo dosad spominjali pocetke kombinatorike?

Kina, Indija.I zidovi su vec rano pokazivali interes za kombinatoriku, npr. Rabbiben Ezra (Abraham ben Meir ibn Ezra, 1092–1167), spanjolskizidovski ucenjak i pjesnik, je prebrajao moguce konjunkcije(astroloska poklapanja) planeta.

Jedan od najpoznatijih povijesnih kombinatornih zadatakapripisuje se pak zidovskom povjesnicaru Josipu Flaviju (FlaviusJosephus) iz 1. st. n. e.:


Povijest matematike

http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/flavius-joseph-analysis-en.pdf



Gdje smo dosad spominjali pocetke kombinatorike? Kina, Indija.I zidovi su vec rano pokazivali interes za kombinatoriku, npr. Rabbiben Ezra (Abraham ben Meir ibn Ezra, 1092–1167), spanjolskizidovski ucenjak i pjesnik, je prebrajao moguce konjunkcije(astroloska poklapanja) planeta.



Povijest matematike




Gdje smo dosad spominjali pocetke kombinatorike? Kina, Indija.I zidovi su vec rano pokazivali interes za kombinatoriku, npr. Rabbiben Ezra (Abraham ben Meir ibn Ezra, 1092–1167), spanjolskizidovski ucenjak i pjesnik, je prebrajao moguce konjunkcije(astroloska poklapanja) planeta.



Povijest matematike



Josipov zadatak, prema Sv. Ambroziju (4. st.)

Flavije Josip se navodno za vrijeme rimske opsade naselja Jodfatskrivao u spilji s jos 40 zidovskih vojnika. Kad su Rimljani otkriliskroviste, vojnici su se htjeli radije ubiti nego biti zarobljeni, ali jeJosip htio spasiti zivot bar sebi i jednom svom prijatelju. Predlozioje da provedu decimatio: Svi se stanu u krug, a svaki deseti seubije. Gdje trebaju stati Josip i njegov prijatelj da budu jedini kojice zivi biti zarobljeni?

Varijante ovog zadatka pojavljuju se i u europskom srednjem vijekui renesansi (kod Cardana: Ludus Sancti Petri), u srednjevjekovnojzidovskoj i muslimanskoj literaturi, u Indiji, a u 17. st. i u Japanu.Obicno je polazni broj ljudi paran, a pola (

”zle”) treba eliminirati.


Povijest matematike


Josipov zadatak, prema Sv. Ambroziju (4. st.)

Flavije Josip se navodno za vrijeme rimske opsade naselja Jodfatskrivao u spilji s jos 40 zidovskih vojnika. Kad su Rimljani otkriliskroviste, vojnici su se htjeli radije ubiti nego biti zarobljeni, ali jeJosip htio spasiti zivot bar sebi i jednom svom prijatelju. Predlozioje da provedu decimatio: Svi se stanu u krug, a svaki deseti seubije. Gdje trebaju stati Josip i njegov prijatelj da budu jedini kojice zivi biti zarobljeni?

Varijante ovog zadatka pojavljuju se i u europskom srednjem vijekui renesansi (kod Cardana: Ludus Sancti Petri), u srednjevjekovnojzidovskoj i muslimanskoj literaturi, u Indiji, a u 17. st. i u Japanu.Obicno je polazni broj ljudi paran, a pola (

”zle”) treba eliminirati.


Povijest matematike


U zidovskih i europskih srednjevjekovnih autora kombinatorni seproblemi cesto pojavljuju vezano za teoloske teme.

Primjer

U zidovskom tekstu Sefer Jetzira (Knjiga stvaranja, vj. 8. st.)racuna se broj odabira 2 od 22 slova jer se raznim kombinacijamaslova pripisivalo misticna znacenja.

Ramon Llull (ca. 1232–1316)

Katalonski mistik, teolog i filozof. Htio je identificirati temeljnekategorije kombiniranjem kojih se moze konstruirati svo znanje.Stoga je osmislio dijagrame koji ilustriraju kombinacije bozanskihosobina.


Povijest matematike

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ramon_Llull_-_Ars_Magna_Fig_1.png


Pascalov trokut prije Pascala

binomni teorem za eksponente 2 i 3 je u Indiji bio poznat iprije Brahmagupte, a kod njega se moze naci eksplicitno;vidjeli smo: u staroindijskoj i starokineskoj matematici sekoristio za aproksimativno racunanje 2. i 3. korijena;indijske spoznaje o binomno teoremu preuzeo je (najkasnije)Nas.ır ad-Dın At.-T. usı (1201–1274), koji u jednom rukopisu iz1265. opisuje konstrukciju aritmetickog trokuta u kojem sukoeficijenti razvoja (a + b)n (i to primjenjuje na racunanjekorijena);u isto doba je taj trokut poznat i u Kini (1303. u jednomtekstu od Czu Sice, Zhu Shijie)U Europis se prvi put pojavljuje u Stifelovoj Arithmeticaintegra (1544.) odnosno na naslovnici jednog Apianusovogdjela (1527.).Svi ti autori ga koriste za korjenovanje, ali vjerojatno barpodsvijestno bila poznata i kombinatorna interpretacija.


Povijest matematike


Nastanak kombinatorne teorije vjerojatnosti

Iako su ljude igre na srecu fascinirale od davnina, tek u dobarenesanse pomalo se prestaje rezultate primjerice bacanja kockegledati kao rezultat utjecaja nadnaravnih sila.Prvi pokusaj matematicko-racionalnog pristupa: Girolamo Cardanou Liber de ludo aleae (vj. 1562., ali objavljena tek 1662.).Namjena te knjizice bila je pomoc profesionalnim kockarima. Iako iCardano jos srecu u igri shvaca kao uplitanja

”princeva autoriteta”,

pokusava racionalno opisati sanse za dobitak.Tako kaze: Uloge treba stavljati u onom omjeru u kojem su brojevipovoljnih i nepovoljnih slucajeva, iskazano u terminima

”koeficijenta” (omjera za kladenje).

Objasnio je i nejednakost vjerojatnosti suma bacanja dvije kocke,kao i 1620. Galileo Galilei za tri kocke (i to je objavljeno tek punokasnije, tek 1718.).


Povijest matematike


Pascal i de Fermat

Utemeljitelji kombinatorne teorije vjerojatnosti ipak su druga dvavelika znanstvenika: Blaise Pascal (1623–1662) i Pierre de Fermat(1601–1665).

Tijekom 1654. dopisivali su se vezano za odredenekockarske probleme (Chevalier de Mere – Antoine Gombaud,1607–1684) i tako postavili temelje ovoj disciplini.

Problem kocaka

Kolika je vjerojatnost da pri 24 bacanja para kocaka bar jednompadne par sestica?

Problem bodova

Dva igraca igraju pravednu igru u krugovima. Onaj koji prvi ostvari6 pobjeda dobiva sve uloge. Kako podijeliti ulog ako je igraprekinuta pri stanju 5 : 3?


Povijest matematike


Pascal i de Fermat

Utemeljitelji kombinatorne teorije vjerojatnosti ipak su druga dvavelika znanstvenika: Blaise Pascal (1623–1662) i Pierre de Fermat(1601–1665). Tijekom 1654. dopisivali su se vezano za odredenekockarske probleme (Chevalier de Mere – Antoine Gombaud,1607–1684) i tako postavili temelje ovoj disciplini.

Problem kocaka

Kolika je vjerojatnost da pri 24 bacanja para kocaka bar jednompadne par sestica?

Problem bodova

Dva igraca igraju pravednu igru u krugovima. Onaj koji prvi ostvari6 pobjeda dobiva sve uloge. Kako podijeliti ulog ako je igraprekinuta pri stanju 5 : 3?


Povijest matematike


Problem kocaka je lako rjesiv, sto su ubrzo shvatili i Pascal iFermat.

Drugi problem je puno vazniji i zapravo je on potakaorazvoj vjerojatnosti.Pascal i Fermat su se uskoro suglasili oko njegova rjesenja igeneralizitali ga.Prvom igracu treba jos a (1), a drugom jos b (3) bodova dodobitka. Stoga je igra gotova najkasnije za a + b − 1 (3) krugova.U tih a + b − 1 krugova moze nastupiti 2a+b−1 (8) jednakovjerojatnih nizova pobjeda. Ako je k od njih u korist prvog igraca,a preostalih l u korist drugog, pravedna podjela uloga je u omjeruk : l (7 : 1).

5 : 3

A B

6 : 3 5 : 4

A B

6 : 4 5 : 5

6 : 5 5 : 6

A B

A B


Povijest matematike


Problem kocaka je lako rjesiv, sto su ubrzo shvatili i Pascal iFermat. Drugi problem je puno vazniji i zapravo je on potakaorazvoj vjerojatnosti.Pascal i Fermat su se uskoro suglasili oko njegova rjesenja igeneralizitali ga.Prvom igracu treba jos a (1), a drugom jos b (3) bodova dodobitka. Stoga je igra gotova najkasnije za a + b − 1 (3) krugova.U tih a + b − 1 krugova moze nastupiti 2a+b−1 (8) jednakovjerojatnih nizova pobjeda. Ako je k od njih u korist prvog igraca,a preostalih l u korist drugog, pravedna podjela uloga je u omjeruk : l (7 : 1).

5 : 3

A B

6 : 3 5 : 4

A B

6 : 4 5 : 5

6 : 5 5 : 6

A B

A B


Povijest matematike


Kako izbjeci ispisivanje svih 2a+b−1 mogucnosti?

Pascal je prvouocio da nisu bitni redoslijedi, nego samo brojevi pobjeda. Stoga jetrazio efikasan nacin da prebroji nizove dva slova fiksne duljinen = a + b − 1 u kojima jedno od slova dolazi tocno odnosno bar kputa. Za to je upotrijebio trokut koji je po njemu dobio ime.Pascal je prvi koji ga je detaljno analizirao i dokazao razne odnosemedu brojevima u trokutu (binomni koeficijenti): Le Traite dutriangle arithmetique (1654.).Na taj nacin je kroz korespondenciju Pascala i Fermata u povijesusla prva razdioba vjerojatnosti, binomna razdioba: vjerojatnosttocno k uspjeha u n pokusaja fiksne vjerojatnosti uspjeha p je(

n

k

)pk(1− p)n−k .


Povijest matematike


Kako izbjeci ispisivanje svih 2a+b−1 mogucnosti? Pascal je prvouocio da nisu bitni redoslijedi, nego samo brojevi pobjeda. Stoga jetrazio efikasan nacin da prebroji nizove dva slova fiksne duljinen = a + b − 1 u kojima jedno od slova dolazi tocno odnosno bar kputa. Za to je upotrijebio trokut koji je po njemu dobio ime.Pascal je prvi koji ga je detaljno analizirao i dokazao razne odnosemedu brojevima u trokutu (binomni koeficijenti): Le Traite dutriangle arithmetique (1654.).Na taj nacin je kroz korespondenciju Pascala i Fermata u povijesusla prva razdioba vjerojatnosti, binomna razdioba: vjerojatnosttocno k uspjeha u n pokusaja fiksne vjerojatnosti uspjeha p je(

n

k

)pk(1− p)n−k .


Povijest matematike


Blaise Pascal (1623.–1662.)

Sin pravnika Etienna Pascala, koji se iz hobija bavio imatematikom. Otac je odlucio da Blaise ne smije uciti matematikudok ne navrsi 15 godina, no s 12 godina Blaise se sam poceo bavitigeometrijom te ga je otac nasao kako ugljenom na zidu ispisujedokaz da je zbroj kutova u trokutu jednak dva prava kuta. To jeoca tako impresioniralo da je dozvolio Blaiseu da proucavaEuklidove Elemente. Blaise Pascal je u dobi od 14 godina poceopratiti oca na sastanke Mersenneovog kruga. Sa 16 je dokazaoznameniti Pascalov teorem o misticnom heksagonu.Kako mu je otac bio zaposlen kao sakupljac poreza, Pascal je urazdoblju 1642.–1645. izumio mehanicki kalkulator, poznat kaoPascaline.


Povijest matematike


1646. godina bila je prekretnica u Pascalovom zivotu: od te godineintenzivno se posvetio vjeri i filozofiji. Povod prekretnici bila jeoceva ozljeda nakon koje su ga njegovala dva brata iz jednogvjerskog pokreta koji su ostavili dubok dojam na Pascala. U istodoba Pascal se poceo baviti i fizikom. Tako je 1647. dokazaopostojanje vakuuma. Nakon toga susreo se s Descartesom, koji nijevjerovao u postojanje vakuuma i koji je poslije susreta u pismuHuygensu napisao da Pascal

”. . . ima previse vakuuma u glavi”.

Pascal je 1653. objavio djelo o ravnotezi u tekucinama u kojemu semoze naci Pascalov zakon tlaka, na osnovi kojega je SI jedinica zatlak dobila ime paskal (Pa).


Povijest matematike


U doba dopisivanja s de Fermatom Pascalovo zdravlje pocelo jepokazivati prve znakove slabljenja.U listopadu iste godine zamalo je izgubio zivot u nezgodi, kad suse uplasili konji koji su vukli njegovu kociju te je kocija ostalavisjeti na mostu nad Seinom. Slabljenje zdravlja i opisana nezgodaostavile su i psiholoske posljedice te se on jos vise okrece vjeri.Usmjerio se na jansenizam, izvorno katolicki pokret koji su papeproglasile heretickim. Karakteristike tog pokreta su naglasavanjeistocnoga grijeha i vjera u predodredenost. U ovom razdoblju pisaoje filozofska djela, od kojih je najznamenitije Pensees (Misli), skuposobnih razmisljanja o ljudskoj patnji. U tom djelu zapisana jepoznata Pascalova vaga.Od mladih dana bolezljiv i u jakim bolovima (bio je sklon migreni),u to je doba sve bolesniji. Umro je 1662. u Parizu, s 39 godina,nakon metastaziranja raka iz zeluca u mozak.


Povijest matematike


Christiaan Huygens (1629–1695)

Nizozemski znanstvenik, sistematizirao je i prosirio Pascalove iFermatove rezultate.Autor je prve objavljene knjige o teoriji vjerojatnosti, De ratiociniisin ludo aleae (1656). U toj se knjizi prvi put razmislja o ocekivanju,no definicija je jos malo nejasno opisana kao vrijednost igre:Ako imamo jednaku sansu osvojiti 3 ili 7 novcica, igra

”vrijedi” 5

novcica, dakle je to prikladan ulog.Sam izraz ocekivanje potjece od jednog drugog nizozemskogmatematicara, Fransa van Schootena (1615–1660), koji jeHuygensovu knjigu preveo na latinski jezik.


Povijest matematike


Ars Conjectandi

Ovo djelo Jacoba Bernoullija (1654–1705) objavljeno jeposthumno, 1713. Smatra se prvim bitnim djelom o vjerojatnosti.To nije samo zato jer je vrlo opsezno, nego i jer sadrzi mnogenovosti.Tu se prvi put vjerojatnost diskutira teorijski, kao broj izmedu 0 i 1.Ars Conjectandi ima 4 dijela.Prvi dio je u biti Huygensovo djelo uz Bernoullijeve komentare.Drugi dio opisuje kombinatorne principe bitne za vjerojatnost.Posebno, tu su klasicni rezultati o permutacijama i kombinacija teprvi potpun dokaz binomnog teorema za cjelobrojne eksponente.Drugi die se u trecem dijelu primjenjuje na konkretne zadatke.Najvazniji je cetvrti, nezavrsen, dio. On se bavi pitanjima primjenevjerojatnosti na

”civilna, moralna i ekonomska” pitanja.


Povijest matematike


Posebno, ovdje je postavljeno pitanje veze vjerojatnosti a priori i aposteriori : Ako imamo dovoljno mnogo rezultata nekog slucajnogpokusa, mozemo li iz njih procijeniti teorijsku vjerojatnost?Kao odgovor na to daje:

Teorem (Bernoullijev (slabi) zakon velikih brojeva –”Zlatni

teorem”)

Neka je p = rn teorijska vjerojatnost uspjeha u slucajnom pokusu.

Za dovoljno velik broj N medusobno nezavisno provedenih pokusarazlika relativne frekvencije uspjeha R

N do p nece biti veca odfiksnog iznosa: ∣∣∣∣RN − p

∣∣∣∣ ≤ 1

n.


Povijest matematike


Danas govorimo o konvergenciji po vjerojatnosti relativnihfrekvnecija prema teorijskoj vjerojatnosti:Ako slucajni pokus provodimo neogranicen broj puta, uvijek u istimuvjetima, te tako da je svako izvodenje nezavisno od ostalih,relativne frekvencije uspjeha ce sve manje varirati i s vjerojatnoscu1 teziti prema p.

∀ε > 0 limN→∞

P

(∣∣∣∣RN − p

∣∣∣∣ < ε

)= 1.

O Ars Conjectandi bit ce jos i kasnije rijeci . . .


Povijest matematike


Abraham de Moivre (1667.–1754.)

Roden u Francuskoj, zbog vjere morao iseliti u Englesku U Londonu jezivio od

”instrukcija”. U Engleskoj je pak bio diskriminiran zbog

nacionalnosti i nikad nije uspio dobiti mjesto profesora, iako su muprijatelji bili Halley i Newton. Poznata je i anegdota o njegovoj smrti . . .

Glavno de Moivreovo djelo je The Doctrine of Chance: A method ofcalculating the probabilities of events in play (latinska verzija 1711.,engleska 1718., 1738., 1756.). Ono sadrzi mnoge zanimljive zadatke iprimjene te nekoliko vaznih definicija (primjerice, statisticka nezavisnostdogadaja).U Miscellanea Analytica (1730.) je koristio formulu

n! ≈ K√n(ne

)n(za velike n). Uz K =

√2π ta je formula poznata kao Stirlingova. U

izdanju Doctrine of chance 1738. de Moivre ju kao takvu koristi i otkricete konstante pripisuje skotskom matematicaru Jamesu Stirlingu.


Povijest matematike


Abraham de Moivre (1667.–1754.)

Roden u Francuskoj, zbog vjere morao iseliti u Englesku U Londonu jezivio od

”instrukcija”. U Engleskoj je pak bio diskriminiran zbog

nacionalnosti i nikad nije uspio dobiti mjesto profesora, iako su muprijatelji bili Halley i Newton. Poznata je i anegdota o njegovoj smrti . . .Glavno de Moivreovo djelo je The Doctrine of Chance: A method ofcalculating the probabilities of events in play (latinska verzija 1711.,engleska 1718., 1738., 1756.). Ono sadrzi mnoge zanimljive zadatke iprimjene te nekoliko vaznih definicija (primjerice, statisticka nezavisnostdogadaja).U Miscellanea Analytica (1730.) je koristio formulu

n! ≈ K√n(ne

)n(za velike n). Uz K =

√2π ta je formula poznata kao Stirlingova. U

izdanju Doctrine of chance 1738. de Moivre ju kao takvu koristi i otkricete konstante pripisuje skotskom matematicaru Jamesu Stirlingu.


Povijest matematike


De Moivreov centralni granicni teorem

Stirlingovu je formulu koristio da bi izveo prvu formulaciju centralnoggranicnog teorema, dakle i prvu pojavu normalne razdiobe (objavljeno uizdanju 1756.). De Moivreov centralni granicni teorem odnosi se na slucajp = 1

2 , a na druge p ga je 1812. prosirio Laplace. Pojednostavljeno, radise o sljedecem. Provodimo niz neovisnih slucajnih pokusa u kojima je usvakome uspjeh jednako vjerojatan (p). Za velike brojeve n pokusa sevjerojatnos da je postignuto bar l i najvise m uspjeha moze procijeniti kao

m∑i=l

(n

i

)·(

1

2

)n

≈ Φ

(2m − n√

n

)− Φ

(2l − n√

n

), (1)

pri cemu se integrali

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−t

2/2dt. (2)

mogu tabelirati.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


De Moivre je teorem otkrio pokusavajuci izracunavati vjerojatnostiza veliki broj n u binomnoj razdiobi. 1733. je pokazao da vrijedi(

nn2 + d

)·(

1

2

)n

≈ 2√2πn

e−2d2/n

i ∑|k−n/2|≤d

(n

k

)·(

1

2

)n

≈ 4√2π

∫ d/√n

0e−2t

2dt.

(k − n

2√n,

√n

2n

(n

k

))Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Problem kockareve propasti (izdanje 1756.)

Dva kockara igraju igru u kojoj u svakom krugu ulazu isti iznos.Neka je p vjerojatnost da prvi dobije ulog u pojedinom krugu igre.Ako znamo koliko je tko imao novca na pocetku, koja jevjerojatnost da ce drugi igrac ostati bez novca (propasti)?

a = b: Pascal, Fermat, Huygensopci slucaj: Jacob Bernoulli (nije opisao postupak), de MoivreDe Moivreov

”trik”: Zamislimo da igraci imaju novce slozene u

tornjeve (jedan novcic = jedan ulog). Nominalne vrijednosti:(qp

)i(i = a, a− 1, . . . , 2, 1 za prvog; i = a + 1, a + 2, . . . , a + b zadrugog). Ulaze se uvijek najgornji novcic.Dakle, nominalni ulogdrugog je u svakom krugu q

p veci nego onaj prvog pa je nominalnaocekivana vrijednost igre 0:


Povijest matematike



Dva kockara igraju igru u kojoj u svakom krugu ulazu isti iznos.Neka je p vjerojatnost da prvi dobije ulog u pojedinom krugu igre.Ako znamo koliko je tko imao novca na pocetku, koja jevjerojatnost da ce drugi igrac ostati bez novca (propasti)?a = b: Pascal, Fermat, Huygensopci slucaj: Jacob Bernoulli (nije opisao postupak), de Moivre

De Moivreov”trik”: Zamislimo da igraci imaju novce slozene u





Povijest matematike



Dva kockara igraju igru u kojoj u svakom krugu ulazu isti iznos.Neka je p vjerojatnost da prvi dobije ulog u pojedinom krugu igre.Ako znamo koliko je tko imao novca na pocetku, koja jevjerojatnost da ce drugi igrac ostati bez novca (propasti)?a = b: Pascal, Fermat, Huygensopci slucaj: Jacob Bernoulli (nije opisao postupak), de MoivreDe Moivreov



)i(i = a, a− 1, . . . , 2, 1 za prvog; i = a + 1, a + 2, . . . , a + b zadrugog). Ulaze se uvijek najgornji novcic.

Dakle, nominalni ulogdrugog je u svakom krugu q



Povijest matematike



Dva kockara igraju igru u kojoj u svakom krugu ulazu isti iznos.Neka je p vjerojatnost da prvi dobije ulog u pojedinom krugu igre.Ako znamo koliko je tko imao novca na pocetku, koja jevjerojatnost da ce drugi igrac ostati bez novca (propasti)?a = b: Pascal, Fermat, Huygensopci slucaj: Jacob Bernoulli (nije opisao postupak), de MoivreDe Moivreov






Povijest matematike


p

(q

p

)i+1

− q

(q

p

)i

= 0, ∀i

Ako je P vjerojatnost propasti drugog, Q = 1− P je vjerojatnostpropasti prvog.Ukupni nominalno ocekivani dobici za oba moraju biti jednaki jersu jednaki u svakom krugu, dakle:

Pb∑

j=1

(q

p

)a+j

= (1− P)a∑

i=1

(q

p

)i

⇒

P =1−

(qp

)a1−

(qp

)a+b= pb

pa − qq

pa+b − qa+b


Povijest matematike


Daniel Bernoulli (1700.–1782.)

Necak Jacoba i sin Johanna Bernoullija, Eulerov prijatelj.Najpoznatiji je po doprinosima matematickoj fizici. 1760-ih godinaprvi uvodi tehnike diferencijalnog racuna u teoriju vjerojatnosti, asvoja je otkrica primjenjivao na pitanja osiguranja. Utemeljio je iprimjenu teorije vjerojatnosti na kineticku teoriju plinova.Najpoznatiji mu je doprinos analiza jednog znamenitogvjerojatnosnog paradoksa:

St. Petersburski paradoks

Igrac baca novcic. Kockarnica ce mu isplatiti 1 novcic ako u prvombacanju padne glava, 2 ako glava prvi put padne u drugombacanju, 4 ako glava prvi put padne u trecem bacanju itd. 2n−1

ako se glava prvi put pojavi u n-tom bacanju.Koliko iznosi pravedni ulog igraca na pocetku igre?

Naziv paradoksa potjece od tog da je D. B. svoju analizu zadatkaobjavio u izvjestajima St. Petersburgske Akademije znanosti 1738.


Povijest matematike


Lako je uociti: Vjerojatnost dobitka 2n−1 je 2−n.

Stoga ocekivanaisplata igracu iznosi

2−1 · 1 + 2−2 · 2 + 2−3 · 22 + . . . =∞∑n=1

1

2=∞

Cini se dakle da koliko god na pocetku igrac ulozi, u konacnici ceprofitirati (a kockarnica bankrotirati). Ili?Vjerojatnosti dobitka unutar prvih pet bacanja su: p1 = 50% zadobitak u prvom bacanju; p2 = 75% za dobitak unutar prva dvabacanja; p3 = 87,5% za dobitak unutar prva tri bacanja;p4 = 93,8%; p5 = 96,9%. Vidimo: vrlo je vjerojatno (96,875 %)da bi igrac dobio unutar prvih 5 bacanja, i to (najvise) 16 kn, daklese ulog od otprilike 16 kn se cini pravednim. Gdje je to doteorijskih ∞?


Povijest matematike


Lako je uociti: Vjerojatnost dobitka 2n−1 je 2−n. Stoga ocekivanaisplata igracu iznosi

2−1 · 1 + 2−2 · 2 + 2−3 · 22 + . . . =∞∑n=1

1

2=∞

Cini se dakle da koliko god na pocetku igrac ulozi, u konacnici ceprofitirati (a kockarnica bankrotirati). Ili?

Vjerojatnosti dobitka unutar prvih pet bacanja su: p1 = 50% zadobitak u prvom bacanju; p2 = 75% za dobitak unutar prva dvabacanja; p3 = 87,5% za dobitak unutar prva tri bacanja;p4 = 93,8%; p5 = 96,9%. Vidimo: vrlo je vjerojatno (96,875 %)da bi igrac dobio unutar prvih 5 bacanja, i to (najvise) 16 kn, daklese ulog od otprilike 16 kn se cini pravednim. Gdje je to doteorijskih ∞?


Povijest matematike


Lako je uociti: Vjerojatnost dobitka 2n−1 je 2−n. Stoga ocekivanaisplata igracu iznosi

2−1 · 1 + 2−2 · 2 + 2−3 · 22 + . . . =∞∑n=1

1

2=∞

Cini se dakle da koliko god na pocetku igrac ulozi, u konacnici ceprofitirati (a kockarnica bankrotirati). Ili?Vjerojatnosti dobitka unutar prvih pet bacanja su: p1 = 50% zadobitak u prvom bacanju; p2 = 75% za dobitak unutar prva dvabacanja; p3 = 87,5% za dobitak unutar prva tri bacanja;p4 = 93,8%; p5 = 96,9%. Vidimo: vrlo je vjerojatno (96,875 %)da bi igrac dobio unutar prvih 5 bacanja, i to (najvise) 16 kn, daklese ulog od otprilike 16 kn se cini pravednim. Gdje je to doteorijskih ∞?


Povijest matematike


Daniel Bernoulli (1738.) uvodi ideju srednje koristi: Ako igrac imapuno novca, mali dobitak mu malo znaci.Oznacimo funkciju koristi s U (engl. utility). Njena varijabla jetrenutni kapital K igraca. Daniel Bernoulli uzima, da je promjenakoristi (dU) pri promjeni kapitala s K na K + dK trenutnomkapitalu obrnuto proporcionalna:

dU = kdKK.

Uzmimo da je k = 1 te da je pocetna korist U0 = 0, a pocetnikapital K0. Dobijemo:

U(K ) = lnK

K0.


Povijest matematike


Ocekivana korist je onda, prema Danielu Bernoulliju, jednaka

U =∞∑n=1

pnU(Kn) =∞∑n=1

pn lnKn

G0=∞∑n=1

1

2nln

K0 − u + 2n−1

K0,

buduci da kapital u slucaju uloga u i dobitka u n-tom bacanju rastes K0 − u na Kn = K0 − u + 2n−1.

Stoga D. B. predlaze rjesenjeproblema rjesavanjem jednadzbe

U =∞∑n=1

ln(K0 − u + 2n−1)

2n= lnK0

s obzirom na u. Numericki to nije tesko i dobije se, primjerice, daza pocetni kapital 10 je prikladan ulog ca. 3, a za pocetni kapital1000 prikladan ulog ispada ca. 6.


Povijest matematike


Ocekivana korist je onda, prema Danielu Bernoulliju, jednaka

U =∞∑n=1

pnU(Kn) =∞∑n=1

pn lnKn

G0=∞∑n=1

1

2nln

K0 − u + 2n−1

K0,

buduci da kapital u slucaju uloga u i dobitka u n-tom bacanju rastes K0 − u na Kn = K0 − u + 2n−1. Stoga D. B. predlaze rjesenjeproblema rjesavanjem jednadzbe

U =∞∑n=1

ln(K0 − u + 2n−1)

2n= lnK0

s obzirom na u. Numericki to nije tesko i dobije se, primjerice, daza pocetni kapital 10 je prikladan ulog ca. 3, a za pocetni kapital1000 prikladan ulog ispada ca. 6.


Povijest matematike


Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

Namjera Laplaceovog oca bila je da Laplace nade zvanje u crkvi, teje u skladu s tim bilo njegovo pocetno skolovanje i upis studijateologije na sveucilistu u Caenu kad je imao 16 godina. Tokomdvije godine na sveucilistu otkrio je ljubav prema matematici te jenapustio studij teologije i otisao u Pariz. Jedan od profesora izCaena koji je u njemu otkrio matematicki talent dao mu je pismopreporuke za d’Alemberta. On je brzo uocio Laplaceovesposobnosti te mu je pomogao i u usmjeravanju matematickograda i u nalazenju radnog mjesta. Tako je ubrzo Laplace dobiomjesto profesora matematike na vojnoj skoli.

1780. godine Laplace je poceo suradivati sa znamenitim kemicaremLavoisierom1, te se tako poceo baviti i teorijom topline. Zajedno suutvrdili kemijsku ekvivalenciju disanja i izgaranja drvenog ugljena.

1Antoine Lavoisier, 1743.–1794., otac moderne kemije, prepoznao je iimenovao kisik i vodik, dao prvu verziju zakona sacuvanja masa i odbacioflogistonsku teoriju.


Povijest matematike


Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

Namjera Laplaceovog oca bila je da Laplace nade zvanje u crkvi, teje u skladu s tim bilo njegovo pocetno skolovanje i upis studijateologije na sveucilistu u Caenu kad je imao 16 godina. Tokomdvije godine na sveucilistu otkrio je ljubav prema matematici te jenapustio studij teologije i otisao u Pariz. Jedan od profesora izCaena koji je u njemu otkrio matematicki talent dao mu je pismopreporuke za d’Alemberta. On je brzo uocio Laplaceovesposobnosti te mu je pomogao i u usmjeravanju matematickograda i u nalazenju radnog mjesta. Tako je ubrzo Laplace dobiomjesto profesora matematike na vojnoj skoli.1780. godine Laplace je poceo suradivati sa znamenitim kemicaremLavoisierom1, te se tako poceo baviti i teorijom topline. Zajedno suutvrdili kemijsku ekvivalenciju disanja i izgaranja drvenog ugljena.

1Antoine Lavoisier, 1743.–1794., otac moderne kemije, prepoznao je iimenovao kisik i vodik, dao prvu verziju zakona sacuvanja masa i odbacioflogistonsku teoriju.


Povijest matematike


Prvi Laplaceovi matematicki radovi bili su iz podrucjadiferencijalnih i diferencijskih jednadzbi, te primjena u mehanici ifizikalnoj astronomiji. Tokom 1770-ih reputacija mu je stalno rasla,a Laplace je usavrsavao svoje matematicke tehnike i sve se viseusmjeravao prema dva podrucja na kojima ce dati svoje najvaznijerezultate: teoriji vjerojatnosti i nebeskoj mehanici. Tako je 1780-ihLaplace postao jedan od najznacajnijih i najutjecajnijihznanstvenika svog doba.

Kako mu je ugled rastao, tako su Laplaceu rasle i ambicije te jevec 1771. pokusao biti izabran u Francusku akademiju znanosti. Teje godine prednost dana Vandermondeu, a iduce Cousinu kojeg jeLaplace smatrao bitno slabijim matematicarem od sebe te ga je toprilicno naljutilo. 1773. godine Laplace je izabran za pridruzenogclana Akademije, punopravan clan postaje 1785.


Povijest matematike


Prvi Laplaceovi matematicki radovi bili su iz podrucjadiferencijalnih i diferencijskih jednadzbi, te primjena u mehanici ifizikalnoj astronomiji. Tokom 1770-ih reputacija mu je stalno rasla,a Laplace je usavrsavao svoje matematicke tehnike i sve se viseusmjeravao prema dva podrucja na kojima ce dati svoje najvaznijerezultate: teoriji vjerojatnosti i nebeskoj mehanici. Tako je 1780-ihLaplace postao jedan od najznacajnijih i najutjecajnijihznanstvenika svog doba.Kako mu je ugled rastao, tako su Laplaceu rasle i ambicije te jevec 1771. pokusao biti izabran u Francusku akademiju znanosti. Teje godine prednost dana Vandermondeu, a iduce Cousinu kojeg jeLaplace smatrao bitno slabijim matematicarem od sebe te ga je toprilicno naljutilo. 1773. godine Laplace je izabran za pridruzenogclana Akademije, punopravan clan postaje 1785.


Povijest matematike


U doba pred Francusku revoluciju, Laplace je radio kao ispitivac priKraljevskom artiljerijskom odredu. Tu je 1785. godine ispitao ipropustio sesnaestogodisnjeg Napoleona Bonapartea.1787. godine dovrsio je dokaz stabilnosti Sunceva sustava. Zavrijeme Revolucije, Laplace je 1790. bio clan komisije zastandardizaciju mjera koja je radila na uvodenju metrickog idecimalnog sustava. To je bila jedina komisija Akademije koja jesmjela nastaviti rad i nakon sto je strahovlada 1793. ukinulaAkademiju. Ipak, ubrzo zatim su iz komisije izbaceni kako Laplace,tako i neki njeni drugi clanovi (medu inim Lavoisier i Coulomb).Naime, strahovlada je zahtijevala da clanovi komisije budu zasluznipo

”svojim republikanskim vrlinama i mrznji prema kraljevima”.


Povijest matematike


Iako je uspio izbjeci sudbinu giljotine, za razliku od Lavoisiera imnogih drugih kolega, ovo doba je bilo tesko za Laplacea. Kad jeskupa s Lagrangeom trebao konstruirati kalendar po zeljirevolucionarne vlade, iako je znao da su njihove ideje suprotneastronomskim podacima, odlucio je ne suprotstavljati se politickojdogmi. Slicno se konformisticki slozio s podjelom pravoga kuta nasto dijelova.

Tokom 1795. Laplace je predavao (ne samo) teoriju vjerojatnostina novoosnovanoj uciteljskoj skoli Ecole Normale.


Povijest matematike


Iako je uspio izbjeci sudbinu giljotine, za razliku od Lavoisiera imnogih drugih kolega, ovo doba je bilo tesko za Laplacea. Kad jeskupa s Lagrangeom trebao konstruirati kalendar po zeljirevolucionarne vlade, iako je znao da su njihove ideje suprotneastronomskim podacima, odlucio je ne suprotstavljati se politickojdogmi. Slicno se konformisticki slozio s podjelom pravoga kuta nasto dijelova.Tokom 1795. Laplace je predavao (ne samo) teoriju vjerojatnostina novoosnovanoj uciteljskoj skoli Ecole Normale.


Povijest matematike


Kao osobna karakteristika Laplacea osobito je uocljiv njegovpoliticki oportunizam, tako da je paralelno sa svojom znanstvenomkarijerom uspio u burnim francuskim vremenima prijelaza 18. u 19.stoljece odrzati se i na mnogim visokim pozicijama.

Unatoc izvanrednim znanstvenim rezultatima, Laplace se nijeistaknuo u meduljudskim odnosima. S vremenom je postajao svemanje skroman oko svojih dostignuca i sve vise je ignorirao drugeljude oko sebe. Tako je nakon posjeta Akademiji 1780.− 81. Lexellkomentirao kako je Laplace dao do znanja da se smatra najboljimmatematicarem u Francuskoj. Prema svojim dobrociniteljima izmladosti i kasnijim politickim prijateljima ponasao se nezahvalno is prezirom. Ipak, imao je nezavisan karakter i otvoreno iskazivaosvoje misljenje, a osobito potkraj zivota pokazao se i velikodusnim:u jednom je slucaju zadrzao svoj rezultat od objavljivanja kako bijedan njegov ucenik mogao dobiti potpunu zaslugu za istrazivanje.


Povijest matematike


Kao osobna karakteristika Laplacea osobito je uocljiv njegovpoliticki oportunizam, tako da je paralelno sa svojom znanstvenomkarijerom uspio u burnim francuskim vremenima prijelaza 18. u 19.stoljece odrzati se i na mnogim visokim pozicijama.Unatoc izvanrednim znanstvenim rezultatima, Laplace se nijeistaknuo u meduljudskim odnosima. S vremenom je postajao svemanje skroman oko svojih dostignuca i sve vise je ignorirao drugeljude oko sebe. Tako je nakon posjeta Akademiji 1780.− 81. Lexellkomentirao kako je Laplace dao do znanja da se smatra najboljimmatematicarem u Francuskoj. Prema svojim dobrociniteljima izmladosti i kasnijim politickim prijateljima ponasao se nezahvalno is prezirom. Ipak, imao je nezavisan karakter i otvoreno iskazivaosvoje misljenje, a osobito potkraj zivota pokazao se i velikodusnim:u jednom je slucaju zadrzao svoj rezultat od objavljivanja kako bijedan njegov ucenik mogao dobiti potpunu zaslugu za istrazivanje.


Povijest matematike


Najpoznatije Laplaceovo djelo je Traite de Mecanique Celeste(1799–1825). Tu se primjerice nalazi znamenita Laplaceovadiferencijalna jednadzba M U = 0 (koja je bila poznata i rpijenjega) za potencijal U:

∂2U

∂x2+∂2U

∂y2+∂2U

∂z2= 0.

Radi se u biti o upotpunjenju Newtonova djela Philosophiaenaturalis principia mathematica. U Mecanique Celeste Laplaceobraduje opca pravila ravnoteze i kretanja krutih tijela, tekucina iplinova, zakon univerzalne gravitacije, kretanja centara gravitacijepojedinih tijela Sunceva sustava, nebesku mehaniku, nastanakplime i oseke, itd.


Povijest matematike


U matematici u Mecanique Celeste vidi se i jak utjecaj dva velikaLaplaceova suvremenika: Lagrangea i Legendrea. Iako jakoznacajno djelo, Mecanique Celeste je teska za citanje, a mnogi sudetalji neobjasnjeni. Tu se prvi put pojavljuje formulacija

”Lako se

vidi” koja je kasnije postala popularna u matematickim tekstovima.Laplace ju je koristio na vise mjesta gdje je bio uvjeren u tocnostsvojih rezultata, ali ih nije znao — ili htio — obrazloziti.

Kako je Napoleonova moc rasla, Laplace se sve vise odricao ranijihrepublikanskih nacela. Kad je 1799. Napoleon postao prvi konzul,Laplace je postao ministar unutarnjih poslova, no za to se pokazaoneprikladnim te je smijenjen vec nakon sest tjedana. Napoleon jekasnije ironicno komentirao, aludirajuci na Laplaceove uspjehe uinfinitezimalnom racunu, da je Laplace

”unio duh beskonacno

malog u drzavnu upravu”.


Povijest matematike


U matematici u Mecanique Celeste vidi se i jak utjecaj dva velikaLaplaceova suvremenika: Lagrangea i Legendrea. Iako jakoznacajno djelo, Mecanique Celeste je teska za citanje, a mnogi sudetalji neobjasnjeni. Tu se prvi put pojavljuje formulacija

”Lako se

vidi” koja je kasnije postala popularna u matematickim tekstovima.Laplace ju je koristio na vise mjesta gdje je bio uvjeren u tocnostsvojih rezultata, ali ih nije znao — ili htio — obrazloziti.Kako je Napoleonova moc rasla, Laplace se sve vise odricao ranijihrepublikanskih nacela. Kad je 1799. Napoleon postao prvi konzul,Laplace je postao ministar unutarnjih poslova, no za to se pokazaoneprikladnim te je smijenjen vec nakon sest tjedana. Napoleon jekasnije ironicno komentirao, aludirajuci na Laplaceove uspjehe uinfinitezimalnom racunu, da je Laplace

”unio duh beskonacno

malog u drzavnu upravu”.


Povijest matematike


Usprkos neuspjehu na mjestu ministra unutarnjih poslova, Laplaceje dobio mjesto u Senatu. U predgovoru trecem dijelu Mechaniqueceleste Laplace pise da je od svih u tom djelu iznesenih istina,autoru tj. njemu, najvrednija njegova predanost mirotvorcu Europe.Tu je posvetu u kasnijim izdanjima, nakon sto je Napoleon izgubiovlast, uklonio. 1805. godine dobiva orden Legije casti, a 1806.postaje plemic s titulom Comte de l’Empire. Kao senator, 1814. jeglasovao za smjenu Napoleona i povratak dinastije Bourbona.Kako ju na to slijedilo znamenitih sto Napoleonovih dana, Laplacese nasao u neugodnoj poziciji te je napustio Pariz do konacnogNapoleonova poraza. Nakon toga ostao je vjeran dinastijiBourbona, ali nepopularan u politickim krugovima. 1817. godinekralj Louis XVIII imenovao ga je markizom. Svoje je zadnjepoliticke prijatelje izgubio 1826., kada je odbio potpisatiAkademijin dokument podrske slobodi novina.


Povijest matematike


Theorie Analytique des Probabilites (1812)

Laplace se problemima vjerojatnosti poceo baviti krajem 18. st. U ovomznamenitom djelu obraduje sve klasicne probleme i njihovu povijest, ali iprosiruje mnoge starije rezultate.Drugo izdanje je poznato po 153 strane dugom predgovoru koji je postaopoznat i bivao odvojeno tiskan kao Essai Philosophique sur lesProbabilites. Cilj mu je siroj publici pribliziti vjerojatnosni racun.Filozofski aspekt: slucajnost nije nista drugo do naziv za dogadaje kojimajose ne znamo objasniti uzrok; svemir je deterministicki i inteligencija(Laplaceov demon) koja bi znala sve podatke o trenutnom stanju, moglabi matematicki opisati sva buduca stanja.

Danas znamo da to nije moguce, zbog temelja teorije kaosa i prirodefizikalnih mjerenja: Nijedno mjerenje nije sasvim egzaktno, a vec malegreske u pocetnim uvjetima mogu izazvati velike razlike u proracunatimefektima.


Povijest matematike


Theorie Analytique des Probabilites (1812)

Laplace se problemima vjerojatnosti poceo baviti krajem 18. st. U ovomznamenitom djelu obraduje sve klasicne probleme i njihovu povijest, ali iprosiruje mnoge starije rezultate.Drugo izdanje je poznato po 153 strane dugom predgovoru koji je postaopoznat i bivao odvojeno tiskan kao Essai Philosophique sur lesProbabilites. Cilj mu je siroj publici pribliziti vjerojatnosni racun.Filozofski aspekt: slucajnost nije nista drugo do naziv za dogadaje kojimajose ne znamo objasniti uzrok; svemir je deterministicki i inteligencija(Laplaceov demon) koja bi znala sve podatke o trenutnom stanju, moglabi matematicki opisati sva buduca stanja.Danas znamo da to nije moguce, zbog temelja teorije kaosa i prirodefizikalnih mjerenja: Nijedno mjerenje nije sasvim egzaktno, a vec malegreske u pocetnim uvjetima mogu izazvati velike razlike u proracunatimefektima.


Povijest matematike


Prvi dio Theorie Analytique des Probabilites je posvecenmatematickoj analizi, a drugi zapocinje s klasicnom definicijomvjerojatnosti:

Definicija

Vjerojatnost dogadaja je omjer brojeva za taj dogadaj povoljnih isvih mogucih slucajeva, ako ne postoji razlog da pretpostavimo daneki slucaj nastupa cesce od drugih, odnosno ako su svi slucajeviza nas jednako vjerojatni.

Laplace dokazuje osnovna pravila racuna vjerojatnosti, npr. da jevjerojatnos da nastupi jedan od dva dogadaja koji se medusobnoiskljucuju jednaka zbroju njihovih vjerojatnosti.


Povijest matematike


Prvi dio Theorie Analytique des Probabilites je posvecenmatematickoj analizi, a drugi zapocinje s klasicnom definicijomvjerojatnosti:

Definicija

Vjerojatnost dogadaja je omjer brojeva za taj dogadaj povoljnih isvih mogucih slucajeva, ako ne postoji razlog da pretpostavimo daneki slucaj nastupa cesce od drugih, odnosno ako su svi slucajeviza nas jednako vjerojatni.

Laplace dokazuje osnovna pravila racuna vjerojatnosti, npr. da jevjerojatnos da nastupi jedan od dva dogadaja koji se medusobnoiskljucuju jednaka zbroju njihovih vjerojatnosti.


Povijest matematike


Buffonov problem

Nazvan je po Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon(1707–1788), koji ga je prvi opisao 1777.

Problem je . . .

Ako u ravnini imamo paralelne jednako razmaknute pravce,razmaka a, te ako na ravninu bacamo iglu duljine l ≤ a, kolika jevjerojatnost da igla padne tako da sijece neki od pravaca?


Povijest matematike


al/2

l/2

ϕ

d

d

ϕ

π

a2

Uvjet je l2 sinϕ < d . Dakle, ako su ϕ uniformno distribuirani

unutar [0, π], a d unutar [0, a/2], trazena je vjerojatnost omjerapovrsine ispod krivulje d = l

2 sinϕ izmedu 0 i π te pravokutnika

[0, π]× [0, a]/2: Dobije se 2laπ .


Povijest matematike


Laplace je primijetio da se ta formula moze upotrijebiti zastatisticko-eksperimentalno racunanje vrijednosti π. Dosad najboljitako ostvareni rezultat ostvario je Lazzerini 1901. s 3408 bacanja:6 decimala.

U Theorie Analytique des Probabilites nalazi se i Bayesov teorem,koji je ime dobio po Thomas Bayesu (1702–1761) koji se prvi baviopitanjima uvjetne vjerojatnosti i formulirao specijalni slucaj togteorema:

Teorem

Za dogadaje A i B vrijedi

P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A).

Ime je tom teoremu dao Jules Henri Poincare.


Povijest matematike


Laplace je primijetio da se ta formula moze upotrijebiti zastatisticko-eksperimentalno racunanje vrijednosti π. Dosad najboljitako ostvareni rezultat ostvario je Lazzerini 1901. s 3408 bacanja:6 decimala.U Theorie Analytique des Probabilites nalazi se i Bayesov teorem,koji je ime dobio po Thomas Bayesu (1702–1761) koji se prvi baviopitanjima uvjetne vjerojatnosti i formulirao specijalni slucaj togteorema:

Teorem

Za dogadaje A i B vrijedi

P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A).

Ime je tom teoremu dao Jules Henri Poincare.


Povijest matematike


Vazan dio Theorie Analytique des Probabilites, vezan je zastatistiku i vezano za to za poopcenje de Moivreovog centralnoggranicnog teorema:

Teorem (De Moivre-Laplaceov centralni granicni teorem, modernaformulacija)

Za n nezavisnih Bernoullijevih pokusa u kojima je vjerojatnostuspjeha p, za dovoljno velik n je broj k uspjeha priblizno normalnodistribuiran, tj. za sve a < b je

limn→∞

(a ≤ k − np√

np(1− p)≤ b

)= Φ(b)− Φ(a).


Povijest matematike


Simeon-Denis Poisson (1781.–1840.)

Francuski fizicar i matematicar. U svom kratkom zivotu napisao jeoko 300 matematickih radova. Poznat je po doprinosima teorijivjerojatnosti i matematickoj fizici. Glavno vjerojatnosno djelo muje Recherches sur la probabilite des judgements en matierecriminelle et matiere civile (1837.).Uveo je Poissonovu razdiobu (granicni slucaj binomne za n→∞,p → 0, pn→ λ):

Poissonova razdioba

Za n→∞ i p → 0, ako uz to pn→ λ, je vjerojatnost k uspjeha uvremenoskom intervalu unaprijed definirane duljine, u kojem seprosjecno desava λ uspjeha, aproskimativon pk = λke−λ

k! , k ∈ N.


Povijest matematike


p/%

k

Od Poissona potjece naziv”zakon velikih brojeva”. Poisson navodi

dva razlicita oblika tog zakona, poznati je onaj kojeg je dokazaokoristeci Laplaceov centralni granicni teorem: Ako je X brojuspjeha u nizu pokusa i pi vjerojatnost uspjeha u i-tom pokusu,onda ∀ε,Q > 0 i dovoljno veliki broj pokusa n vrijedi

P

(∣∣∣∣Xn − p1 + . . .+ pnn

∣∣∣∣ > ε

)< Q.


Povijest matematike


p/%

k

Od Poissona potjece naziv”zakon velikih brojeva”. Poisson navodi

dva razlicita oblika tog zakona, poznati je onaj kojeg je dokazaokoristeci Laplaceov centralni granicni teorem: Ako je X brojuspjeha u nizu pokusa i pi vjerojatnost uspjeha u i-tom pokusu,onda ∀ε,Q > 0 i dovoljno veliki broj pokusa n vrijedi

P

(∣∣∣∣Xn − p1 + . . .+ pnn

∣∣∣∣ > ε

)< Q.


Povijest matematike


Iz Rusije s vjerojatnoscu . . .

Sredinom 19. st. glavnina aktivnosti iz teorije vjerojatnosti preselilase iz Francuske u Rusiju.Prvi veliki ruski vjerojatnosnicar bio je Pafnutij Lvovic Cebisov(1821.–1894.) On je 1846 generalizirao zakon velikih brojeva, a1887 centralni granicni teorem.Njegov student Andrej Andrejevic Markov (1856.–1922.) jeutemeljio teoriju stohastickih procesa, uvodeci ono sto danaszovemo Markovljevim lancima: nize slucajnih varijabli u kojima navjerojatnost rezultata utjece samo neposredno prethodni rezulzat.Markov je promatrao slijedove slova u Evgeniju Onjeginu ivjerojatnost pojave samoglasnika iza suglasnika.


Povijest matematike


Andrej Nikolajevic Kolmogorov (1903.–1987.)

Osnovni problem teorije vjerojatnosti na prijelazu iz 19. u 20.stoljece bio je nedostatak egzaktne osnove. Klasicna definicijavjerojatnosti a priori kao broja povoljnih slucajeva podijeljenog sbrojem mogucih, ako su svi jednako vjerojatni, je cirkularna (stoznaci

”jednako vjerojatni”?).

Problem je 1933. razrijesio Kolmogorov: je na temelju teorije mjerei po uzoru na teoriju skupova aksiomatizirao je vjerojatnost:


Povijest matematike


Kolmogorovljevi aksiomi vjerojatnosti

Neka je Ω neprazan skup i F familija podskupova od Ω (tepodskupove Kolmogorov naziva slucajnim dogadajima). Ako je

1 F”polje skupova“;

2 Ω ∈ F ;

3 postoji funkcija P, koja svakom A ∈ F pridruzuje nenegativnibroj P(A), vjerojatnost dogadaja A, tako da

4 P(Ω) = 1,

5 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) za disjunktne A,B ∈ F i

6 limn→∞ P(An) = 0, wenn A1 ⊇ A2 ⊇ A3 . . ., An ∈ F za sve ni ∩∞n=1An = ∅,

onda je Ω s F i P prostor vjerojatnosti.


Povijest matematike


Kolmogorov je bio izvanbracno dijete majke plemickog porijekla,koja je umrla pri porodu, i oca koji je do revolucije bio u egzilu (ipoginuo 1919.); stoga ga je odgojila teta. Nakon skolovanja je nekovrijeme radio kao kondukter na zeljeznici, a zatim se 1920. upisaona moskovsko sveuciliste. Studirao je matematiku, metalurgiju irusku povijest. 1931. postaje profesor na moskovskom sveucilistu.Od 1935. zivio je s prijateljem, topologom P. S. Aleksandrovim, uKomarovki, a njihov dom postaje okupljaliste niza znacajnihsovjetskih matematicara. Ozenio se 1942.Bavio se i matematickom i funkcionalnom analizom, teorijommjere, osnovama geometrije, topologijom, teorijom aproksimacija,povijescu i metodikom matematike te primjenama matematike.Zalagao se za posebno obrazovanje nadarene djece. Dobio je nizpriznanja. Imao je i mnogo nematematickih interesa, a osobito sezanimao za Puskinovu poeziju.


Povijest matematike

Documents

Franka Miriam Brucklerprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat08-2020.pdf · 2020-04-09 · Kombinatorika Vjerojatnost Kombinatorika prije renesanse Gdje smo dosad spominjali