Množiny Kombinatorika Logické funkcie Teória grafovrajnik/uktg/skriptaMKLFTG.pdf · Množiny Kombinatorika

MnožinyKombinatorikaLogické funkcieTeória grafov

prof. RNDr. Martin Škoviera, PhD.

Katedra informatiky, FMFI UK

Bratislava, 2007

2

Obsah

2 Množiny 52.1 Základné operácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Karteziánsky súčin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Binárne relácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Ekvivalencie a rozklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Usporiadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Mohutnosti množín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1 Kardinálne čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Kombinatorika 313.1 Prirodzené čísla a matematická indukcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Dirichletov princíp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Základné enumeračné pravidlá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Variácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Kombinácie bez opakovania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Kombinácie s opakovaním, polynomická veta . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7 Princíp zapojenia a vypojenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4 OBSAH

Kapitola 2

Množiny

Obsah2.1 Základné operácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Karteziánsky súčin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Binárne relácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Ekvivalencie a rozklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Usporiadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Zobrazenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Mohutnosti množín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.1 Kardinálne čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Základné operácie

Pojem množiny je jedným zo základov súčasnej matematiky. Bez objasnenia základov te-órie množín je dnes nepredstaviteľné hlbšie štúdium akéhokoľvek matematického predmetu– ani diskrétnej matematiky.

Teória množín pracuje s dvoma ústrednými pojmami, ktorými sú „množina“ a „byťprvkom“. Pod množinou si predstavujeme súbor objektov, ktoré (spravidla) majú nejakúspoločnú vlastnosť. Tieto objekty nazývame prvkami množiny. Súhrnom svojich prvkovje množina jednoznačne určená. Ak A je množina, skutočnosť, že x je jej prvkom zapi-sujeme takto: x ∈ A. Opak zapisujeme x /∈ A. Treba povedať, že v čistej matematikeprvkom množiny môže byť opäť jen množina. Vzťah ∈, „byť prvkom“ je preto relácioumedzi množinami. Dve množiny A a B sa teda rovnajú práve vtedy, keď majú tie istéprvky:

A = B ⇔ (∀x : x ∈ A⇔ x ∈ B)

Ako zadávame množiny? Jednou z možností je vymenovať všetky jej prvky. Zápis A ={a, b, c, d} označuje množinu, ktorej prvky sú (množiny) a, b, c a d a žiadne iné. Druhoumožnosťou je zadanie množiny pomocou vlastnosti, ktorú majú mať jej prvky. Zápisom

5

6 KAPITOLA 2. MNOŽINY

A = {x; P (x)} vyjadrujeme skutočnosť, že množinu A tvoria tie a len tie prvky, ktorémajú vlastnosť P . Takto môžeme zadať napríklad niektoré významné číselné množiny:

N−množina prirodzených číselZ−množina celých číselQ−množina racionálnych číselR−množina reálnych čísel

Pri takomto spôsobe zadávania množín si však musíme dávať pozor na vlastnosť P :nie každá vlastnosť určuje množinu. Vyplýva to z nasledujúceho príkladu známeho akoRusselov paradox:

Uvažujme vlastnosť R(x) : x /∈ x. Ako sme už spomenuli, prvkami množín sú opäťmnožiny. Zo skúsenosti vieme, že vyššie uvedená vlastnosť je často splnená. Napríklad N /∈N, lebo prvkami množiny N sú prirodzené čísla, no samotná množina N nie je prirodzenéčíslo. Zdá sa, že R je „rozumná vlastnosť“ a nič nám nebráni vytvoriť množinu M ={x; R(x)}. Do množiny M patria napríklad známe číselné množiny N, Z, R a mnohéďalšie, ba aj všetky množiny, ktoré nám zídu na um. Čo však samotná množina M?

Sú len dve možnosti: buďto M má vlastnosť R alebo ju nemá. Ak M má vlastnosťR, tak ju – podľa definície množiny M – musíme zaradiť medzi prvky množiny M . ČižeM ∈M – no to je spor, lebo odporuje vlastnosti R.

Ostáva teda iba druhá možnosť: M nemá vlastnosť R. Z definície vlastnosti R terazvyplýva, že M ∈M . No každý prvok množiny M , teda aj sama M , spĺňa vlastnosť R,čiže M /∈M – opäť spor.

Dôsledkom týchto úvah je, že M = {x; R(x)} nie je množinou. Inými slovami, vlast-nosť R je taká, že nám nedovoľuje vytvoriť množinu. Príčina tohto paradoxu spočíva vtom, že sme pojem množiny zaviedli len intuitívne (ako „súbor“). Ak sa chceme vyhnúťRusselovmu paradoxu, musíme vybudovať základy teórie množín systematicky. Toto sarieši pomocou axiomatickej výstavby teórie množín. My sa axiomatickou teóriou množínzaoberať nebudeme. Namiesto toho budeme pracovať len s takými súbormi, ktoré tvoriamnožiny a používať postupy, ktoré nám umožnia vytvoriť nové množiny z už známychvýchodiskových množín.

Nech A a B sú množiny. Budeme hovoriť, že A je „podmnožinou“ množiny B, ak každýprvok množiny A je zároveň prvkom množiny B. Túto skutočnosť zapisujeme A ⊆ B.Symbolicky:

A ⊆ B ⇔ (∀x : x ∈ A⇒ x ∈ B)

Ak A ⊆ B, ale A 6= B, tak hovoríme, že A je „vlastnou podmnožinou“ množiny B apíšeme A ⊂ B, prípadne – kvôli dôrazu – A $ B.

Pozorovaním definícií uvidíme tiež to, že A = B práve vtedy, keď A ⊆ B a zároveňB ⊆ A. Toto pozorovanie často používame pri dokazovaní rovnosti dvoch množín (X) aY : najprv dokážeme X ⊆ Y a potom Y ⊆X (alebo obrátene).

Nové množiny často vytvárame ako podmnožiny už jestvujúcich množín – do podmno-žiny zahrnieme všetky prvky danej množiny, ktoré majú predpísanú vlastnosť. Napríkladmôžeme vytvoriť množinu F = {x ∈ (N); x je deliteľné číslo 5} všetkých prirodzenýchčísel, ktoré sú násobkami čísla 5.

2.1. ZÁKLADNÉ OPERÁCIE 7

Z daných množín A a B môžeme vytvoriť novú množinu A∪B, ktorej prvky sú práveprvky množiny A a prvky množiny B. Symbolicky:

A ∪B = {x; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Množina A ∪B sa nazýva „zjednotenie“ množín A a B.

Axióma 1 (Axióma zjednotenia).

∀S ∃U∀ x : (x ∈ U ⇔ ∃ A ∈ S : x ∈ A)

Množina U =⋃S sa nazýva zjednotením množiny S.

Príklad 2.1.⋃{{a, b}, {c, d}, {e, f}} = {a, b, c, d, e, f}

⋃{A,B} = A ∪B,

⋃{A,A} = A

Ak A a B sú ľubovoľné množiny, môžeme vytvoriť ich „prienik“ A ∩ B, množinuvštkých prvkov, ktoré patria súčasne do oboch množín A a B:

A ∩B = {x; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Poznamenajme, že prienik môžeme vytvoriť aj ako podmnožinu každej z množín, ktoréprienik vytvárajú:

A ∩B = {x ∈ A; x ∈ B} = {x ∈ B; x ∈ A}

Môže sa stať, že množiny A a B nemajú žiadne spoločné prvky – potom množinaA ∩B nemá žiadne prvky. Množina bez prvkov sa nazýva „prázdna množina“ a označujesa ∅ (niekedy tiez {}). Ak A ∩B = ∅, hovoríme, že množiny A a B sú „disjunktné“.

Je zrejmé, že existuje len jedna prázdna množina a že je podmnožinou každej množiny.Zo všetkých podmnožín danej množiny A môžeme vytvoriť novú množinu P(A) –

potenčnú množinu množiny A:

P(A) = {X; X ⊆ A}

Niekedy sa táto množina označuje 2A – z dôvodov, ktoré budú zrejmé neskôr. Všimnimesi, že potenčná množina je vždy neprázdna, lebo ∅ ∈ P(A) pre každú množinuA. Napríkladak A = {a, b} tak P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Operácie zjednotenia a prieniku môžeme za istých podmienok zovšeobecniť na „systémymnožín“. Ak A je neprázdna množina, jej prvky sú opäť množiny. Preto sa na ňu môžemedívať aj ako na systém množín, ktoré môžeme zjednotiť alebo preniknúť. Nech A 6= ∅.Definujme ⋃

A = {x; ∃Z ∈ A : x ∈ Z}⋂A = {x; ∀Z ∈ A : x ∈ Z}

Napríklad pre A = {∅, {1, 2}, {1, 3}} máme ∪A = {1, 2, 3} a ∩A = ∅, pre A = {∅}dostávame ∪A = ∩A = ∅ a pre A = {{1, 2}, {1, 3}} máme ∩A = {1}.

Veľmi často všetky operácie vykonáme vnútri nejakej „veľkej“ množiny U , v ktorejsú ako podmnožiny obsiahnuté všetky množiny, ktoré potrebujeme. Množinu U v takomprípade nazývame „univerzum“.

V univerze U môžeme ku každej množine A ⊆ U vytvoriť jej „doplnok“ (komplement))ako množinu


AC = {x ∈ U ; x /∈ A}

Doplnok však môžeme vytvoriť nielen vzhľadom na univerzálnu množinu, ale aj vzhľa-dom na ľubovoľnú inú množinu. Na to nám slúži ďalšia operácia s množinami – rozdielmnožín.

Nech A a B sú ľubovoľné množiny. „Rozdielom“ množín A a B rozumieme množinyvšetkých tých prvkov množiny A, ktoré nepatria do B:

A−B = {x ∈ A; x /∈ B}

Doplnok množiny A v univerze U potom nie je nič iné ako množina U −A. Na druhejstrame rozdiel množín A a B v univerze U môžeme vyjadriť pomocou doplnku:

A−B = A ∩BC

Poznamenajme, že pri práci v univerze U býva zvykom položiť ∪∅ = ∅ a ∩∅ = U . Tátovoľba má v istých situáciach svoje výhody. Stretneme sa s nimi často najmä v nasledujúcejkapitole.

V nasledujúcich dvoch tvrdeniach zhrnieme základné vzťahy medzi štyrmi operáciamina možinách, ktoré sme doposiaľ zaviedli.

Tvrdenie 2.1. (a) A ∪A = A, A ∩A = A (idempotentnosť)

(b) A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A (komutatívnosť)

(c) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C, A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩C (asociatívnosť)

(d) A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C) , A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C) (distri-butívnosť)

(e) (A ∪B)C

= AC ∩BC , (A ∩B)C

= AC ∪BC (de Morganove zákony)

(f)(AC

)C= A

(g) A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A

(h) A ∩AC = ∅, A ∪AC = U

(i) A ∩ (A ∪B) = A, A ∪ (A ∩B) = A (absorpcia)

Dôkaz. Vo všetkých pripadoch možno použiť priamy dôkaz a pridŕžať sa nasledujúcejschémy, napr.

(c) 1. x ∈ A ∪ (B ∪C) vyberieme ľubovoľný prvok x ∈ A ∪ (B ∪C)

2. (x ∈ A) ∨ x ∈ (B ∪C) rozpíšeme podľa definície zjednotenia

3. (x ∈ A) ∨ [(x ∈ B) ∨ (x ∈ C)] opäť rozpíšeme

4. (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C) disjunkcia je asociatívna logická operácia

5. x ∈ (A ∪B) ∨ (x ∈ C) podľa definície zjednotenia

6. x ∈ (A ∪B) ∪C podľa definície zjednotenia

2.1. ZÁKLADNÉ OPERÁCIE 9

Na výber prvku x sme nekládli žiadne obmedzenia. Z toho vyplýva, že každý prvok zA ∪ (B ∪C) patrí aj do (A ∪B) ∪C. Naviac pri dôkaze sme používali len ekvivalentnéúpravy výrokov a tým sme dokázali aj tvrdenie, že každý prvok z (A ∪B) ∪ C patrí domnožiny A ∪ (B ∪C). Dokázali sme teda

A ∪ (B ∪C) ⊆ (A ∪B) ∪C a(A ∪B) ∪C ⊆ A ∪ (B ∪C) čiže(A ∪B) ∪C = A ∪ (B ∪C) .

Zhrnieme celý postup: vybrali sme ľubovoľný prvok x z množiny ležiacej na ľavejstrane identity. Využili sme definície množinových operácií a výrok “x patrí do zloženejmnožiny” sme rozpísali na zložený výrok o príslušnosti x do množín A, B. Tento zloženývýrok sme upravili využijúc poznatky z výrokovej logiky. (Pozor, tu si treba uvedomiť, čisme použili ekvivalentné úpravy, napr. (p ∨ q)⇔ (q ∨ p), alebo len “jednostranné”, – napr.(p ∧ q)→ p.) Zložený výrok sme potom, použijúc definície množinových operácií, upravilina výrok o príslušnosti prvku do “zloženej” množiny z pravej strany identity. Ak sme priúpravách výrokov použili ekvivalentné úpravy, dokázali sme týmto rovnosť množín; ak smepoužili neekvivalentné úpravy, dokázali sme množinovú inklúziu.Pri dôkaze ďaľšieho tvrdenia budeme stručnejší:

(d) 1. [x ∈ A ∩ (B ∪C)]⇔ [(x ∈ A) ∧ x ∈ (B ∪C)]

2. [(x ∈ A) ∧ x ∈ (B ∪C)]⇔ [(x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∨ (x ∈ C))]

3. [(x ∈ A) ∧ ((x ∈ B) ∨ (x ∈ C))]⇔⇔ [((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C))]

4. [((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C))]⇔⇔ [(x ∈ A ∪B) ∧ x ∈ (A ∪C)]

5. [(x ∈ A ∪B) ∧ x ∈ (A ∪C)]⇔ [x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪C)].

V krokoch 1, 2, 4 a 5 sme použili definície prieniku a zjednotenia, v kroku 3, ktorýje kľúčový pre dôkaz identity, sme využili distributívny zákon pre konjunkciu a dis-junkciu z výrokovej logiky.

Tvrdenie 2.2. Nech A,B a C sú ľubovoľné množiny. Potom platia nasledujúce rovnosti:

(a) (A ∩B)−C = A ∩ (B −C) = (A−C) ∩ (B −C)

(b) (A ∪B)−C = (A−C) ∪ (B −C)

(c) C − (A ∩B) = (C −A) ∪ (C −B)

(d) C − (A ∪B) = (C −A) ∩ (C −B)

(e) A− (B −C) = (A−B) ∪ (A ∩C)

(f) (A−B)−C = A− (B ∪C)


Dôkaz. Pri dôkazoch týchto identít nebudeme používať bezprostredne definície množi-nových operácií, ale využijeme už dokázané množinové identity. Budeme sa pridržiavaťtakejto taktiky: zoberieme tú stranu identity, ktorá vyzerá zložitejšie a snažíme sa ju ek-vivalentnými úpravami upraviť na výraz ležiaci na druhej strane identity. Pri úpraváchnajprv nahradíme rozdiel množín X−Y prienikom X ∪Y C . Ak je Y v tvare zjednoteniaalebo prieniku množín, využijeme de Morganove zákony a upravíme výraz na taký tvar, vktorom vystupujú už len doplnky „ jednoduchých“ množín. Potom použijeme distributívnyzákon, využijeme asociatívny, komutatívny a absorbčný zákon, resp. zákon idempoten-tnosti a upravíme výraz na potrebný tvar.

Tento postup ilustrujeme na dôkaze identít (c) a (e):

(c) (C −A) ∩ (C −B) = (C ∩AC) ∪ (C ∩BC) = C ∩ (AC ∪BC) == C ∩ (A ∩B)C = C − (A ∩B)

(e) A − (B − C) = A ∩ (B ∩ CC)C = A ∩ (BC ∪ C) = (A ∩ BC) ∪ (A ∩ C) == (A−B) ∪ (A ∩C)

Čitateľ si môže všimnúť rozdiely medzi dôkazmi identít z Tvrdenia 2.1 a Tvrdenia 2.2Kým v prvých sme robili ekvivalentné úpravy výrokov, v druhých ekvivalentné úpravymnožín. Častou chybou býva neuvedomenie si rozdielu medzi množinovými a logickýmioperáciami, čo vedie k nezmyselným tvrdeniam typu (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) = (A ∪B), kdena jednej strane rovnosti (ekvivalencie) stojí výrok, na druhej množina.

Ďalším pravidlom, ktoré nám umožňuje tvoriť nové množiny, je pravidlo (axióma)neusporiadanej dvojice:

Ak A a B sú ľubovoľné množiny, tak existuje množina {A,B}, ktorej prvky sú len Aa B.

Toto konštrukčné pravidlo je veľmi silné. Napríklad ak A = ∅ a B = ∅, tak dostávamemnožinu {∅, ∅} = {∅}, ktorá má práve jeden prvok, a to ∅. Z množín ∅ a {∅} môžemevytvoriť {∅, {∅}}, ktorá má dva prvky. Zaveďme teraz takéto označenie: ∅ = 0, {∅} = 1,{∅, {∅}} = {0, 1} = 2. Z týchto množín môžeme teraz vytvoriť dvojice {0, 1} a {1, 2} a znich pomocou pravidla zjednotenia aj množinu {0, 1}∪{1, 2} = {0, 1, 2}, ktoré označíme 3.Analogickým spôsobom môžeme pokračovať ďalej a postupne vytvoriť všetky prirodzenéčísla tak, že položíme n = {1, 2, . . . , n − 1}; symbol n − 1 znamená číslo vytvorené vbezprostredne predchádzajúcom kroku.

Všimnime si, že na vytvorenie prirozdených čísel sme potrebovali len existenciu prázd-nej množiny a možnosť vytvoriť z akýchkoľvek dvoch množín A a B dve nové množiny:A ∪B a {A,B}

Ako uvidíme v nasledujúcej časti, pravidlo neusporiadanej dvojice umožňuje do „amorf-ných“ množín uviesť štruktúru – usporiadanie, rozklad a podobne – čo má rozhodujúcivýznam pre matematiku i jej aplikácie.

2.2 Karteziánsky súčinV praxi neraz potrebujeme pracovať s usporiadanými súbormi objektov. Samotný pojemmnožiny na opis takýchto javov nestačí, lebo množina je jednoznačne určená svojimi prv-kami – bez ohľadu na ich poradie: {0, 1, 2} = {1, 2, 0}. Na tento účel potrebujeme pojem

2.2. KARTEZIÁNSKY SÚČIN 11

usporiadanej n-tice (a1, a2, . . . , an), ktorá by mala tú základnú vlastnosť, že dve usporia-dané n-tice (a1, a2, . . . , an) a (b1, b2, . . . , bn) sa rovnajú práve vtedy, keď pre i = 1, 2, . . . , nplatí ai = bi. Teraz ukážeme, ako sa dá takýto objekt zaviesť.

Nech a a b sú množiny. Potom množinu {{a, b}, {a}} nazývame usporiadanou dvojicouprvkov a a b a označujeme (a, b):

{{a, b}, {a}} =: (a, b)

Prvok a sa nazýva prvou zložkou usporiadanej dvojice (a, b) a prvok b jej druhouzložkou.

(Myšlienka vyššie uvedenej definície je táto: v množine {{a, b}, {a}} prvok {a, b} špe-cifikuje zložky usporiadanej dvojice bez poradia a prvok {a} stanovuje jej prvú zložku.)

Je ľahké vidieť, že platí:

Tvrdenie 2.3. Dve usporiadané dvojice (a, b) a (c, d) sa rovnajú práve vtedy, keď a = c ab = d.

Pomocou usporiadaných dvojíc môžeme už zaviesť usporiadané trojice, štvorice atď.Stačí postupne položiť

(a1, a2, a3) := (a1, (a2, a3))

(a1, a2, . . . , an) = (a1, (a2, a3, . . . , an))

A požadovaná vlastnosť, aby sa usporiadané n-tice rovnali práve vtedy, keď sa rovnajú ichodpovedajúce zložky, bude splnená.

Je dobré si uvedomiť, že nič by sa nestalo, keby sme definíciu usporiadanej trojicezaviedli trebárs takto:

(a1, a2, a3) : = ((a1, a2), a3)

a podobne by sme postupovali ďalej. Požadovaná vlastnosť o rovnosti by bola opäť splnená.S podobnými situáciami sa stretávame v matematike bežne: nie je podstatné ako sa presnedaný objekt definuje; podstatné je aké má definovaný objekt vlastnosti.

Pomocou pojmu usporiadanej dvojice teraz zavedieme pojem karteziánskeho súčinudvoch množín.

Karteziánskym súčinom dvoch množín A a B nazveme množinu

A×B = {(x, y); x ∈ A, y ∈ B}.

Keďže (x, y) ∈ P(P(A ∪ B)), máme A × B ⊆ P(P(A ∪ B)), čo zaručuje existenciukarteziánskeho súčinu na základe nám už známych konštrukčných princípov.

Ak A = {a1, a2, . . . , an} a B = {b1, b2, . . . , bn}, tak karteziánsky súčin môžemereprezentovať obdĺžnikovou tabuľkou (maticou), ktorej riadky sú označené prvkami mno-žiny A, stĺpce prvkami množiny B, pričom na priesčeníku i -teho riadku a j -teho stĺpca jeumiestnený prvok (ai, bj).


b1 b2 . . . bj . . . bn

a1...

a2...

......

ai . . . . . . . . . (ai, bj)...am

Definíciu karteziánskeho súčinu môžeme ľahko rozšíriť na prípad n množín:

A1 ×A2 × · · · ×An = {(x1, x2, . . . , xn); xi ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n}.

Uveďme teraz niektoré elementárne vlastnosti karteziánskeho súčinu. V prvom rade sivšimnime, že karteziánsky súčin nie je komutatívny (môže sa stať, že A × B 6= B ×A;kedy?) ani asociatívny (môže sa stať, že (A×B)×C 6= A× (B ×C)). Okrem toho platí

Tvrdenie 2.4. Nech A, B a C sú ľubovoľné množiny. Potom:

(a) A×B 6= ∅ práve vtedy, keď A 6= ∅ aj B 6= ∅.

(b) Ak A×B 6= ∅ a A×B = C ×D, tak A = C a B = D.

(c) Ak C 6= ∅ a A×C = B ×C, tak A = B.

(d) Ak A ⊆ B, tak A×C ⊆ B ×C.

(e) (A ∩B)×C = (A×C) ∩ (B ×C), (A ∪B)×C = (A×C) ∪ (B ×C).

(f) (A−B)×C = (A×C)− (B ×C).

Dôkaz. Platnosť tvrdení (a) – (c) vyplýva priamo z definícií. Na ukážku urobíme dôkazčasti (f).

(x, y) ∈ (A×C)− (B ×C) ≡ [(x, y) ∈ A×C] ∧ [¬((x, y) ∈ B ×C)] ≡≡ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ C)] ∧ ¬[(x ∈ B) ∧ (y ∈ C)]

≡ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ C)] ∧ [¬(x ∈ B) ∨ ¬(y ∈ C)] ≡≡ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ C) ∧ ¬(x ∈ B)]∨∨ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ C) ∧ ¬(y ∈ C)] ≡≡ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ Bc) ∧ (y ∈ C)] ≡≡ [(x ∈ A−B) ∧ (y ∈ C)] ≡≡ (x, y) ∈ (A−B)×C

2.3. BINÁRNE RELÁCIE 13

2.3 Binárne relácie

Medzi prvkami dvoch množín A a B môže existovať istý vzťah. Formálnym spôsobomtakýto vzťah opisujeme pomocou pojmu binárna relácia.

Binárna relácia z množiny A do množiny B je ľubovoľná podmnožina R kartezián-skeho súčinu A × B. Skutočnosť, že (a, b) ∈ R, v tomto kontexte spravidla zapisujemeaRb. Množinu A nazývame oborom a množinu B kooboromrelácie R. Ak a = b, hovoríme, že R je binárna relácia na množine A.

Analogicky definujeme aj n-árnu reláciu medzi množinami A1, A2, . . . ,An, ako ľu-bovoľnú podmnožinu R ⊆ A1 ×A1 × . . .×A1; 2-árna relácia je teda to isté ako binárnarelácia.

Ak A = {a1, a2, . . . , am} a B = {b1, b2, . . . , bn}, tak binárnu reláciu medzi A a Bmôžeme reprezentovať maticou m×n, kde riadky sú označené prvkami množiny A, stĺpceprvkami množiny B, pričom na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca je umiestnenečíslo χR(i, j) (indikátor), také, že

χR(i, j) =

{1, ak (ai, bj) ∈ R0, ak (ai, bj) /∈ R

(2.1)

Ďalšou, veľmi názornou, reprezentáciou bineárnej relácie je reprezentácia pomocougrafu. Prvky množín A aj B znázorníme bodmi (malými krúžkami) v rovine, pričom bodyodpovedajúce množine A umiestnime do jedného stĺpca a body odpovedajúce množine Bdo druhého stĺpca. Od prvku ai vedieme šípku k prvku bj práve vtedy, keď ai R bi. Binár-nej relácii takto zodpovedá systém bodov (ktoré nazývame vrcholy) a šípok (nazývanýchorientované hrany) – orientovaý graf , nazývame tiež grafom binárnej relácie.

an

ai

a2

a1

bm

bj

b2

b1

Binárne relácie sa dajú istým spôsobom kombinovať – skladať. Pojem kompozície (aleboskladania) relácií je podstatný pre pochopenie ich úlohy v matematike i v jej aplikáciách.

Nech R je binárna relácia z množiny A do množiny B a nech S je binárna reláciaz množiny B do množiny C. Potom môžeme vytvoriť novú reláciu RS z množiny A domnožiny C, ktorá je definovaná takto:

RS = {(x, y) ∈ A×C; existuje prvok b ∈ B taký, že xRb a zároveň bSy}


an

ai

a2

a1

bm

bj

b2

b1

cr

ck

c2

c1

Relácia RS sa nazýva kompozícia relácie R a relácie S (v tomto poradí) a niekedy saoznačuje aj S ◦R.

Pozrime sa teraz na nasledujúci neformálny príklad.

Príklad 2.2. Nech A je množina všetkých obyvateľov Slovenska, ktorí majú priezviskoKováč. Skúmajme dve relácie R a S na množine A; to znamená R,S ⊆ A × A. NechaRb označuje, že Kováč b je synom Kováča a. Nech xSy znamená, že Kováč x je bratomKováča y. Ak nastáva situácia, že aSb a bRc, zisťujeme, že Kováč c je synovcom Kováčaa. Túto skutočnosť môžeme celkom prirodzene zapísať ako aSRb. To znamená, že SR jerelácia „byť synovcom“. Ak však aRb a bSc, vidíme, že c je synom Kováča a. Inak povedané,relácia RS je totožná s reláciou R. Záverom tohto príkladu môžeme povedať, že pomocouskladania relácií môžeme skúmať rozličné zaujímavé vzťahy, a že poradie v akom relácieskladáme je podstatné.

Kompozíciu binárnych relácií si ľahko môžeme názorne reprezentovať pomocou grafovrelácií. Zoberieme graf relácie R ⊆ A × B a relácie S ⊆ B × C, pričom množinu Breprezentujeme len raz – medzi množinami A a C (pozri obrázok2.3). Potom aRSc právevtedy, keď existuje postupnosť dvoch súhlasne orientovaných šípok vedúca z A do C.

Relácie môžeme skladať aj opakovane.Ak R ⊆ A × B, S ⊆ B × C a T ⊆ C × D, môžeme vytvoriť binárne operácie

(RS)T ×A×B a R(ST )×A×D. Ukážeme, že tieto dve relácie sa vždy rovnajú – inýmislovami: skladanie binárnych relácií je asociatívne. To nám pri skladaní binárnych reláciíumožňuje vynechať zátvorky.

Tvrdenie 2.5. Nech A, B, C a D sú množiny a nech R ⊆ A × B, S ⊆ B × C aT ⊆ C ×D sú binárne relácie. Potom (RS)T = R(ST ).

Dôkaz. Máme ukázať, že každá usporiadaná dvojica (a, d), a ∈ A, d ∈ D, ktorá patrído (RS)T , patrí aj do R(ST ) a obrátene: ak (a, d) ∈ (RS)T , existuje c ∈ C také, že(a, c) ∈ R∧(b, c) ∈ S∧(c, d) ∈ T . Ale potom aj (a, b) ∈ R∧(b, d) ∈ ST a (a, d) ∈ R(ST )(Pozri obrázok 2.1).

Opačné tvrdenie dokazujeme analogicky.

2.4. EKVIVALENCIE A ROZKLADY 15

2.4 Ekvivalencie a rozklady

V tomto nasledujúcom článku sa budeme venovať binárnym reláciam so špeciálnymi vlast-nosťami a to takými, ktoré sa najčastejšie vyskytujú v rôzných aplikáciach.

Nech A je množina a R ⊆ A×A nech je binárna relácia na A. Reláciu R nazveme

(a) reflexívnou, ak pre každý prvok a ∈ A platí aRa;

(b) symetrickou, ak zo vzťahu aRb vyplýa vždy bRa;

(c) tranzitívnou, ak zo vzťahov aRb a bRc vyplýa vždy aRc.

Nech idA = {(a, a); a ∈ A} ⊆ A×A označuje identickú reláciu a pre ľubovoľnú reláciuR nech R− označuje binárnu reláciu {(b, a); (a, b) ∈ R} – reláciu opačnú k R. Potomľahko nahliadneme, že relácia R je reflexívna práve vtedy, keď idA ⊆ R; je symetrickápráve vtedy, keď R− ⊆ R; a je tranzitívna práve vtedy, keď R ◦R ⊆ R.

Ak R je ľubovoľná relácia, R ∪ idA je reflexívna relácia. Z ľubovoľnej relácie R jemožné vyhotoviť aj symetrickú či tranzitívnu reláciu: relácia R± = R ∪ R− sa nazývasymetrizáciou relácie R a relácia R∗ = R∪R2∪R3∪· · · =

⋃k≥0R

k, kde Rk = R◦R◦· · ·◦R(k-krát) sa nazýva tranzitívnym uzáverom relácie R. Symetrizácia (tranzitívny uzáver)relácie R je najmenšia symetrická (tranzitívna) relácia obsahujúca reláciu R; to znamená,že ak S je symetrická (tranzitívna) relácia obsahujúca R, tak R± ⊆ S (R∗ ⊆ S).

Relácia, ktorá je reflexívna, symetrická a tranzitívna sa nazýva reláciou ekvivalenciealebo jednoducho ekvivalenciou. Ak R je relácia a xRy, tak hovoríme, že prvky x a y súekvivalentné (vzhľadom na reláciu R).

Význam tohto typu relácie spočíva v tom, že predstavuje zovšeobecnenie rovnosti, akúsirovnosť so „zmenenou rozlišovacou schopnosťou“. Všimnite si, že idA je relácia ekvivalenciea že a idA b práve vtedy, keď a = b. Teda idA je vlastne reláciou rovnosti. Na označenierelácií ekvivalencie sa často používajú symboly pripomínajúce rovnosť: ∼=,',≡, .=,≈,�a podobne. Typické relácie ekvivalencie sú relácie, v ktorých dva prvky sú ekvivalentnépráve vtedy, keď majú nejakú (špecifickú) rovnakú vlastnosť. Napríklad pre dve celé číslax a y položíme x ≡ y práve vtedy, keď x a y dávajú rovnaký zvyšok po delení danýmprirodzeným číslom k. Menej formálne príklady:

Príklad 2.3. v množine všetkých občanov Slovenskej republiky je relácia ekvivalencie„mať rovnaký dátum narodenia“ alebo relácia „mať rovnaké číslo občianskeho preukazubez ohľadu na sériu“ a podobne.)

Pojem relácie ekvivalencie veľmi úzko súvisí s pojmom rozkladu množiny. Rozkladmnožiny A je – voľne povedané – opačný proces ako vytvorenie množiny ∪A. Systémmnožín S ⊆ P(A) sa nazýva rozklad množiny A, ak

(a) pre každý prvok X ∈ S platí X 6= ∅;

(b) pre ľubovoľné dva rôzne prvky X 6= Y platí X ∩ Y = ∅;

(c) zjednotenie všetkých prvkov systému S je A, čiže⋃S = {x ∈ A; ∃Y ∈ S : x ∈ Y } = A.


(Inými slovami – množina A je rozkladom množiny ∪A vo všeobecnosti len vtedy, keď∅ /∈ A. Teda A− {∅} je rozkladom množiny ∪A vždy.)Špeciálne, ak S = {A1,A2, . . . ,An}, tak S je rozklad množiny A, ak každá množina Ai

je neprázdna, Ai ∩Aj = ∅ pre každé i 6= j a A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A.Všimnime si, že z rozkladu S = {A1,A2, . . . ,An} množiny A môžeme ľahko vytvoriť

reláciu ekvivalencie RS na A takto: dva prvky x a y množiny A budú ekvivalentné vtedy,keď patria do toho istého „rozkladanca“ Ai. Na druhej strane môžeme pomocou akejkoľvekrelácie ekvivalencie na množine A definovať rozklad množiny A. Stačí pre prvok x ∈ Apoložiť

R[x] = {y ∈ A : yRx}

a systém {R[x] : x ∈ A} bude tvoriť rozklad množiny A. O tom sa presvedčíme v dôkazenasledujúcej teorémy, ktorá ukazuje, že pojem rozkladu množiny A a pojem ekvivalenciena množine A sú dve strany tej istej mince.

Tvrdenie 2.6. Nech S je rozklad množiny A. Nech RS je lineárna relácia na A danápredpisom aRSb práve vtedy, keď existuje množina X ∈ S taká, že a ∈ X aj b ∈ Y . PotomRS je relácia ekvivalencie. Obrátene, ak binárna relácia S je ekvivalenciou na množine A,tak systém

TS = {S[x]; x ∈ A}

je rozklad množiny A. Naviac platí, že T(RS) = S a R(TS) = S.

Dôkaz. Je ľahké priamo overiť, že relácia RS je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Abysme ukázali, že systém TS je rozklad množiny A najprv overíme, že ľubovoľné dve množinyS[x] a S[y] sú buďto totožné alebo disjunktné. Ak xSy, tak ľahko preveríme, že S[x] =S[y]. Naozaj ak q ∈ S[x], tak qSx. Súčasne máme xSy, takže z tranzitívnosti dostávameqSy. To znamená, že q ∈ S[y]. Keďže q bol ľubovoľný prvok množiny S[x], z uvedenéhovyplývaS[x] ⊆ S[y]. Obrátená inklúzia sa dokáže analogicky. Preto S[x] = S[y]. Nechteraz S[x] ∩ S[y] 6= ∅. Potom existuje prvok z ∈ A taký, že z ∈ S[x] a zároveň z ∈ S[y].Zo vzťahu z ∈ S[x] dostávame zSx a podobne zo vzťahu z ∈ S[y] dostávame, že z ∈Sy a teda (so symetrie relácie S) aj y ∈ Sz. No teraz máme y ∈ Sz a súčasne zSx,takže z tranzitívnosti vyplýva ySx. To však znamená S[y] = S[x]. Tým sme dokázali,že ak S[y] 6= S[x], tak S[x] ∩ S[y] = ∅. Napokon si uvedomme, že x ∈ S[x] na základereflexívnosti, čo znamená, žeA ⊆ ∪x∈AS[x]. Teda systém TS naozaj tvorí rozklad množinyA.Zvyšok dôkazu je ľahký: ak vyjdeme z rozkladu S, skonštruujeme ekvivalenciu RS a ňouindukujeme rozklad množiny A, dostaneme očividne pôvodný rozklad S. To je vyjadrenérovnosťou T(RS) = S. Ak vyjdeme z ekvivalencie S, skonštruujeme rozklad TS a z tohorozkladu odvodíme reláciu ekvivalencie, dostávame opäť S – to je druhá rovnosť R(TS) =S.

2.5 Usporiadania

Ďalším typom binárnej relácie na množine, ktorým sa budeme podrobnejšie zaoberať jerelácia usporiadania. Tá nám umožňuje zoradiť prvky a určiť, či daný prvok je „predchod-com“ iného alebo nie.

2.5. USPORIADANIA 17

Usporiadaním na množine A rozumieme ľubovoľnú binárnu reláciu, ktorá je reflexívna,tranzitívna a antisymetrická. Posledná vlastnosť znamená, že ak usporiadané dvojice (x, y)aj (y, x) sú súčasne v relácií, tak potom x = y. Reláciu usporiadania značíme obyčajnesymbolom ≤ alebo jeho variantmi 5,⊆,�,. a podobne. Pre reláciu usporiadania ≤ na Ateda platí:

(a) x ≤ x pre každý prvok x ∈ A (reflexívnosť);

(b) ak x ≤ y a y ≤ z, tak x ≤ z pre všetky x, y, z ∈ A (tranzitívnosť);

(c) ak x ≤ y a y ≤ x, tak x = y pre všetky x, y ∈ A (antisymetria).

Zápis x ≤ y obyčajne čítame „x predchádza y“.Usporiadaná dvojica (A,≤), kde ≤ je relácia usporiadania na A sa nazýva usporiadaná

množina. Samotná množina A sa v tejto súvislosti nazýva jej nosičom. Poznamenajme,že ak R je relácia usporiadania, aj R− je reláciou usporiadania. Reláciu (≤)− zapisujeme≥. Okrem toho píšeme x < y, ak x ≤ y a x 6= y. Analogický význam majú aj symboly ⊂,≺a podobne. Relácia < však nie je reláciou usporiadania vo vyššie uvedenom zmysle, lebonie je reflexívna. Niekedy sa takejto relácii hovorí relácia ostrého usporiadania, zúženierelácie, zúženie usporiadania.Príklad 2.4. Potenčná množina P(A) je usporiadaná reláciou inklúzie ⊆. Všimnime si,že v P(A) sa môžu nájsť dvojice prvkov X a Y také, že ani X ⊆ Y , ani Y ⊆ X.Napríklad v P(1, 2, 3) sa to stane pre X = {1, 2} a Y = {2, 3}. Inak povedané, tieto dvaprvky nie sú porovnateľné. V usporiadanej množine (A,≤) teda hovoríme , že x a y súporovnateľné ak x ≤ y alebo y ≤ x a neporovnateľné v opačnom prípade.

Príklad 2.5. Číselné množiny N,Z,Q a R sú množiny usporiadané bežnou reláciou uspo-riadania podľa veľkosti. Ak sa vrátime k definícii prirodzeného čísla, pri ktorej 0 je totžnás prázdnou množinou a číslo n je totožné s množinou všetkých predchádzajúcich prirodze-ných čísel (čize n = {0, 1, . . . , n− 1}), tak vidíme, že nerovnosť prirodzených čísel m ≤ nje totožná s inklúziou m ⊆ n chápanou ako medzi množinami. Zároveň však m < n právevtedy, keď m ∈ n.

Príklad 2.6. Nech A = {0, 1} × {0, 1} × . . . × {0, 1} = {0, 1}n. Pre dve usporiadanén-tice x = (x1, x2, . . . , xn) a y = (y1, y2, . . . , yn) položíme x ≤ y ak xi ≤ yi pre každéi = 1, 2, . . . , n. Pritom berieme na množine {0, 1} prirodzené usporiadanie 0 ≤ 1. Naprí-klad (0, 0, 1, 1, 0, 1) ≤ (0, 1, 1, 1, 0, 1). Ľahko sa ukáže, že ({0, 1}n,≤) je usporiadaná mno-žina. Aj tu ľahko nájdeme dvojice neporovnateľných prvkov. Tento príklad sa dá ľahkozovšeobecniť. Ak (A1,≤1), (A2,≤2), . . . , (An,≤n) sú usporiadané množiny, na ich karte-ziánskom súčine A = A1 × A2 × . . . × An môžeme definovať súčinové usporiadanie ≤predpisom (a1, a2, . . . , an) ≤ (b1, b2, . . . , bn) ak ai ≤ bi pre každé i = 1, 2, . . . , n.

Ak v usporiadanej množine (A,≤) neexistujú neporovnateľné dvojice prvkov, tak po-tom v Aplatí:

(d) pre každé x ∈ A, z ∈ A buďto x ≤ z alebo z ≤ x.

Tejto vlastnosti sa hovorí dichotómia. Usporiadaná množina A s vlastnosťou dichotó-mie sa nazýva úplne usporiadaná, no používajú sa tiež termíny lineárne či totálne uspo-riadaná množina. Ak chceme zdôrazniť, že množina (A,≤) nie je úplne usporiadaná,


hovoríme, že je čiastočne usporiadaná. Typickými príkladmi úplne usporiadaných množínsú číselné množiny N, Z, R.

Teraz si ukážeme jeden významný príklad úplného usporiadania, ktorému hovorímelexikologické usporiadanie a s ktorým sa bežne stretávame v slovníkoch. Nech (A,≤) jeúplne usporiadaná množina. Na množinu A sa budeme dívať ako na abecedu (je dané po-radie znakov). Utvorme teraz všetky karteziánske mocniny An = A×A× . . .×A (n-krát)vrátane A0 = {∅} a z nich ďalej vytvorme množinu A∗ = ∪i≥0Ai .Prvky množiny An bu-deme nazývať slová dĺžky n. Slovo dĺžky 0 sa nazýva prázdne slovo. Množina A∗ je množinavšetkých slov nad abecedou A. Na A∗ zavedieme úplné usporiadanie ≤L, ktoré nazývamelexikologickým usporiadaním, a to takto: x = (x1, x2, . . . , xm) ≤ (y1, y2, . . . , ym) = yak je splnená niektorá z nasleduhúcich podmienok:

(a) existuje index i taký, že xi < yi a súčasne xj = yj pre všetky indexy j také, že1 ≤ i < j. (Inými slovami – slová x a y majú zhodný začiatočný úsek až po indexi− 1 a na i− tom mieste nastáva „správna“ ostrá nerovnosť.)

(b) m ≤ n a zároveň xi = yi pre i = 1, 2, . . . ,m. (To znamená, že slovo x je podslovomslova y.)

Tieto podmienky zabezpečujú, že v {0, 1}∗ platí (0, 0) ≤ (0, 0, 1) (podľa podmienky (2))a „palica“ ≤ „polica“ v Slovníku slovenského jazyka (podľa pravidla (1), lebo a ≤ o).

Podľa podmienky (2) prázdne slovo ∅ predchádza všetky ostatné slová, je teda prvým,či najmenším prvkom množiny A∗. Túto terminológiu podrobnejšie rozvedieme.

Nech (A,≤) je ľubovoľná usporiadaná množina. Prvok x ∈ A nazveme minimálnym,ak pre každý prvok y, pre ktorý y ≤ x, platí y = x (t.j. od prvku x neexistuje menší).Analogicky definujeme maximálny prvok (stačí použiť ≥ namiesto ≤ ). Prvok x ∈ Anazveme najmenším prvkom, ak pre všetky y ∈ A platí x ≤ y. Analogicky definujemenajväčší prvok.

Všimnime si, že množina (A,≤) môže mať najviac jeden najmenší prvok, a ak ho má,musí byť porovnateľný so všetkými ostatnými prvkami. Naproti tomu množina (A,≤)môže mať niekoľko minimálnych prvkov – tie však budú navzájom neporovnateľné. Naj-menší prvok usporiadanej množiny, ak existuje, je jeho jediným minimálnym prvkom.

Skonštruujeme prípad usporiadanej množiny, ktorá má veľa minimálnych a maximál-nych prvkov. Na to použijeme všeobecnú konštrukciu indukovaného usporiadania. Nech(A,≤) je usporiadaná množina a nech B ⊆ A. položme ≤B=: ≤ ∩(B×B). To znamená,že pre dva prvky b, c ∈ B platí b ≤B c práve vtedy, keď b ≤ c.

Ľahko sa overí, že ≤B je usporiadanie na B; naviac, ak ≤ je úplné usporiadanie na A,tak ≤B je úpné usporiadanie na B. Usporiadanie ≤B sa nazýva indukovaným usporiada-ním.

Ako príklad zoberme usporiadanú množinu A, {0, 1}n so súčinovým usporiadaním za-vedeným vyššie. Táto množina má najmenší prvok 0 = (0, 0, . . . , 0) a najväčší prvok1 = (1, 1, . . . , 1) a pritom nie je čiastočne usporiadaná. Zoberme teraz množinuB, {0, 1}n−−{0, 1} s indukovaným usporiadaním. Jej minimálne prvky sú (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . (0, . . . , 0, 1)a maximálne vzniknú z minimálnych zámenou núl a jednotiek.

Usporiadané množiny je niekedy výhodné graficky znázorniť. Nech (A,≤) je usporia-daná množina. Nech x a y sú také dva jej prvky, že x ≤ y, ale neexistuje z ∈ A, pre ktoréby platilo x ≤ z ≤ y. V takom prípade hovoríme, že x bezprostredne nasleduje y (alebo

2.6. ZOBRAZENIA 19

tiež y pokrýva x), čo značíme symbolom x ≤· y. Usporiadanej množine (A,≤) priradímeteraz grafickú reprezentáciu nazývanú Hasseho diagram, takto. Prvky množiny budeme re-prezentovať bodmi roviny a nazývame ich vrcholmi diagramu. Ak x ≤· y, zakreslíme tietobody neďaleko od seba, pričom bod z umiestnime vyššie ako x (nie nevyhnutne priamonad x). Body x a y spojíme krivkou, najlepšie úsečkou; túto spojnicu nazveme hranoudiagramu. Ako príklad uvádzame na obrázku 1.3 Hasseho diagram usporiadanej množiny({0, 1}3,≤) so súčinovým usporiadaním a množiny ({0, 1}3 − {0, 1},≤) s indukovanýmusporiadaním (namiesto (x1, x2, . . . , xn) tu aj v ďalšom budeme písať x1x2 . . . xn).

000

010

101

111

001

011

100

110

001 010 100

011 101 110

Obr. 2.1: Hasseho diagramy

2.6 Zobrazenia

Pojem zobrazenia patrí medzi najdôležitejšie pojmy celej matematiky. Intuitívne povedané,zobrazenie je "pravidlo", podľa ktorého každému prvku jednej množiny, povedzme A,jednoznačne priradíme prvok množiny, povedzme B. Rôznym prvkom množiny A pritommôžeme, no nemusíme, priradiť ten istý prvok množiny B.

Ako jednoduchý príklad zobrazenia nám môže poslúžiť priradenie priezviska každémuobčanovi Slovenskej republiky.

Formálne je zobrazenie špečiálnym druhom binárnej relácie. Ak R ⊆ A×B je binárnarelácia, označme pr1 R = {a ∈ A; existuje b ∈ B také, že (a, b) ∈ R}. Analogicky, pr2R = {b ∈ B; existuje a ∈ A také, že (a, b) ∈ R}. Tieto množiny prvou projekciou relácie R(alebo tiež nosičom relácie R) a druhou projekciou relácie R (alebo tiež obrazom relácie R).Reláciu R ⊆ A×B nazveme všade definovanou, ak jej nosičom je celá množinaA. Zaveďmeďalej takáto označenie: pre každý prvok x ∈ A nech R(x) = {y ∈ B; (x, y) ∈ R}. Tútomnožinu nazveme obrazom prvku x ∈ A v relácii R. Reláciu R nazveme jednoznačnou, akpre každý prvok x ∈ A má množina R(x) najviac jeden prvok.

Zobrazenie f z množiny A do množiny B je binárna relácia f ⊆ A × B, ktorá jevšade definovaná a jednoznačná. Teda pre každý prvok a ∈ A existuje jediný prvok b ∈ Btaký, že afb. Tento prvok b spravidla označujeme f(a) a nazývame ho obrazom prvkua. Z druhej strany, ak b ∈ B, tak každý prvok a ∈ A taký, že b = f(a) sa nazýva vzorprvku b. Množinu A nazývame oborom alebo definičným oborom a množinu B kooborom


alebo oborom hodnôt zobrazenia f (tieto pojmy zaviedli už pre relácie). Na vyjadrenieskutočnosti, že f ⊆ A × B je zobrazenie, štandardne používame označenie f : A → B

alebo Af−→ B. (Skutočnosť, že f prvku a ∈ A priraďuje prvok b ∈ B (t.j. f(a) = b),

označujeme priraďovacou šípkou: f7→, na rozdiel od zobrazovacej šípky, ktorú používamena označenie samotného zobrazenia f : A→ B, v ktorom množina A je oborom a množinaB je kooborom.)

Ešte raz zhrňme: v zobrazení f : A → B má každý prvok a ∈ A jediný obraz f(a),naproti tomu prvok b ∈ B môže mať viacero vzorov, no nemusí mať ani jeden.

Príklady zobrazení:

1. Ak A je ľubovoľná neprázdna množina a a ∈ A je pevne zvolený prvok (konštanta),tak existuje konštantné zobrazenie f : A → B, x 7→ a, ktoré každému prvku x ∈ Apriradí prvok a.

2. f : R → R, x 7→ ax + b, kde a, b ∈ R sú konštanty, sa nazýva lineárne zobraze-nia(lineárna funkcia)1.

3. Ak A ×B je karteziánsky súčin dvoch neprázdnych množín, tak π1 : A×B → A,(x, y) 7→ x je zobrazenie, ktoré sa nazýva projekciou karteziánskeho súčinu na prvéhočiniteľa (alebo prvou projekciou). Analogicky definujeme druhú projekciu (prípadneďalšie projekcie, ak uvažujeme karteziánsky súčin viac ako dvoch množín). Nech Aje ľubovoľná množina. Zobrazenie, ktoré každému prvku x ∈ A priraďuje ten istýprvok, t.j. f : A→ A, x 7→ x, sa nazýva identickým zobrazením a označuje sa idA.

4. Ak f : A → B je ľubovoľné zobrazenie a C ⊆ A tak môžeme skonštruovať zúže-nie zobrazenia f na množinu C, čo je zobrazenie f |C : C → B definované takto:(f |C)(x) = f(x) pre každý prvok x ∈ C.

5. Pomocou zobrazení môžeme opisovať aj podmnožiny nejakej množiny. Nech U jeuniversum a A ⊆ U . Definujme zobrazenieχA : U → {0, 1} takto:

χA(x) =

{1 ak x /∈ A;

0 pre x ∈ B.(2.2)

Toto zobrazenie sa nazýva charakteristická funkcia množiny A.

6. Ľubovoľné zobrazenie a : N → X množiny prirodzených čísel do množiny X sa na-zýva postupnosťou v množine X. Niekedy sa pod (konečnou) postupnosťou rozumieaj zobrazenie b : {0, 1, . . . , n− 1} →X. Pre postupnosť však používame odlišné ozna-čenie. Namiesto zápisu pomocou šípky spravidla používame zápis a = (ai)i∈N = (ai)

∞i=0 = (ai)i≥0

alebo b = (bi)n−1i=0 . Používajú sa aj označenia a = (a1, a2, . . .) a b = (b1, b2, . . . , bn−1),

a = (a(i))i∈N a podobne. Konečné postupnosti b = (b1, b2, . . . , bn−1), kde bi ∈ Xsa tiež zvyknú nazývať slová nad abecedou X. V tom prípade sa používa označenieb0, b1, . . . , bn−1 bez zátvoriek a čiarok.

1Slová „zobrazenie“ a „funkcia“ používame ako synonymá. Niektorí autori však pod funkciou rozumejúzobrazenie, ktorého kooborom je nejaká číselná množina. Slovo „postupnosť“ používame aj v zmysle neko-nečnej postupnosti.

2.6. ZOBRAZENIA 21

Podobne ako relácie môžeme skladať aj zobrazenia. Ak f : A→ B g : B → C môžemevytvoriť zloženú reláciu fg s oborom A a kooborom C. Je ľahké presvedčiť sa o tom, žetáto relácia je zobrazením. Ak a f7→ b a b g7→ c, tak a fg7→ c. Na rozdiel od bežných binárnychrelácií, pri zobrazeniach zápis afgc nepoužívame. Keďže b = f(a) a c = g(b), mámec = g(b) = g(f(a)). Preto v tejto súvislosti dávame prednosť označeniu g ◦ f pre zloženézobrazenie, pričom správanie tohto zloženého zobrazenia je jednoznačne charakterizovanévzťahom

g ◦ f(a) = g(f(a)).

Tento zápis neznamená nič iné, že hodnotu zobrazenia g ◦ f : A→ C zistíme tak, že najprvurčíme hodnotu zobrazenia f : A → B na prvku a ∈ A a následne hodnotu zobrazeniag : B → C na prvku f(a) ∈ B.

Pri definícii zobrazenia sa nič nehovorilo o tom, koľko prvkov z množiny A sa môžezobraziť na ten istý prvok množiny B ani či každý prvok množiny B je obrazom nejakéhoprvku z množiny A. Ak takéto podmienky pridáme k definícii, dostaneme dôležité typyzobrazení.

Zobrazenie f : A → B nazývame injektívne alebo injekcia, ak pre každé a, c ∈ Aa b ∈ B z rovností f(a) = b f(c) = b vyplýva, že a = c. Inými slovami, v injekcii nemôženastať, žeby dva rôzne prvky množiny A mali ten istý obraz.

Zobrazenie f : A→ B je surjektívne alebo surjekcia, ak pre každý prvok b ∈ B existujeaspoň jeden prvok a ∈ A taký, že f(a) = b. Inak povedané, v surjekcii je každý prvokmnožiny B obrazom nejakého prvku množiny A.

Zobrazenie f : A→ B je bijektívne alebo bijekcia, ak je injekcia a zároveň surjekcia.Na označenie injekcie sa tiež používa názov prosté zobrazenie a surjektívne zobrazenie

sa tiež zvykne nazývať zobrazením na množinu B. Bijektívne zobrazenie sa tiež nazývavzájomne jednoznačné, lebo sprostredkuje vzájomne jednoznačnú korešpondenciu medziprvkami množiny A a prvkami množiny B.

Vyššie uvedené triedy zobrazení môžeme výhodne opísať pomocou pojmu inverznejrelácie. Ak R ⊆ A ×B je binárna relácia, symbolom R− označme reláciu z množiny Bdo množiny A definovanú takto: R− = {(b, a) ∈ B×A; (a, b) ∈ R}. Relácia R− sa nazývainverznou reláciou k relácii R.

Je zrejmé, že inverzná relácia k zobrazeniu nemusí byť zobrazenie. Platí však nasledu-júce jednoduché tvrdenie:

Tvrdenie 2.7. Nech f : A→ B je zobrazenie. Potom:

(a) f je injektívne práve vtedy, keď f− je jednoznačná relácia;

(b) f je surjektívne práve vtedy, keď f− je všade definovaná relácia;

(c) f je bijektívne práve vtedy, keď f− je zobrazenie.

Ak zobrazenie f : A→ B je bijektívne, tak – ako sme práve spomenuli – f− je zobra-zenie. No nielen to: f− je dokonca bijektívne zobrazenie. Označujeme ho f−1: B → A anazývame inverzným zobrazením k bijekcii f .

Platí naviac takéto tvrdenie:

Tvrdenie 2.8. Nech f : A→ B a g : B → C sú zobrazenia. Potom:


(a) ak f a g sú injekcie, tak aj g ◦ f : A→ C je injekcia;

(b) ak f a g sú surjekcie, tak aj g ◦ f : A→ C je surjekcia;

(c) ak f a g sú bijekcie, tak aj g ◦ f : A→ C je bijekcia.

Presvedčiť sa o tom, že zobrazenie f : A → B je bijekcia, môže byť niekedy dosťpracné. Pri riešení tohto problému býva preto vhodné nasledujúce tvrdenie.

Tvrdenie 2.9. zobrazenie f : A → B je bijekcia práve vtedy, keď existuje zobrazenieg : B → A také, že g ◦ f = idA a zároveň f ◦ g = idB

Dôkaz. Ak f je bijekcia, stačí položiť g = f−1 a identity g ◦ f = idA a f ◦ g = idB súsplnené. Obrátene, predpokladajme, že tieto identity sú splnené.Najprv ukážeme, že z prvej vyplýva, že f je injekcia. Nech f(x) = z = f(y) pre nejakéx, y ∈ A a z ∈ B. Potom x = idA(x) = g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(z) = g(f(y)) = g ◦ f(y) =idA(y) = y. Naozaj, táto rovnosť znamená, že f je injekcia.Ďalej sa presvedčíme o tom, že z druhej identity vyplýva, že f je surjekcia. Nech b jeľubovoľný prvok množiny B. Keďže f ◦ g = idB je bijekcia, prvok b ∈ B má vzhľadomna zobrazenie idB vzor v množine B – totiž samého seba; prvok b. Tento teraz zobrazímedo množiny A zobrazením g. Položme g(b) = a. Keďže f ◦ g = idB, máme b = idB =f ◦ g(b) = f(g(b)) = f(a). Znamená to, že k prvku b ∈ B sme našli prvok a ∈ A taký,že f(a) = b – jeho vzor zvhľadom na zobrazenie f .Keďže prvok b ∈ B bol ľubovoľný,zisťujeme, že každý prvok množiny B má nejaký vzor vzhľadom na zobrazenie f . Inýmislovami, že f je surjekcia.

Na záver tejto časti zavedieme ešte jedno označenie, ktoré býva niekedy veľmi užitočné:Pre množiny A a B označme symbolom BA množinu všetkých zobrazení f : A → B.Ponechávame čitateľovi, aby sa presvedčil o tom, že pre každú množinu B je množina B∅

neprázdna, no ak A 6= ∅, tak množina ∅A je prázdna. Totiž ∅ je (jediným!) zobrazením∅ → B, čiže B∅ = {∅}, no naproti tomu neprázdnu množinu nemožno zobraziť do ∅.Presvedčte sa o tom starostlivým preverením príslušných definícií.

2.7 Mohutnosti množínPojem bijekcie teraz využijeme na spresnenie a zovšeobecnenie intuitívneho pojmu počtuprvkov množiny.

Budeme hovoriť, že dve množiny A a B sú ekvivalentné alebo že majú rovnakú mo-hutnosť, ak existuje bijekcia f : A → B, rôznu mohutnosť, ak neexistuje. Je zrejmé, žetento vzťah je symetrický, lebo f−1 : B → A je bijekcia. Keďže bijekcia medzi množinamiA a B predstavuje vzájomne jednoznačnú korešpondenciu medzi prvkami týchto množín,znamená to, že ich prvky sa líšia síce menami, ale je ich „rovnako veľa“. Pojem mohutnostiteda zovšeobecňuje pojem počtu prvkov.

Všimnime si, že ak množiny A a B majú rovnakú mohutnosť a množiny B a C majútiež rovnakú mohutnosť, tak aj množiny A a C majú rovnakú mohutnosť – ako by smeprirodzene očakávali. Ak totiž f : A → B je bijekcia zabezpečujúca rovnakú mohutnosťmnožín A a B a g : B → C je bijekcia zabezpečujúca rovnakú mohutnosť množín B aC, tak g ◦ f : A→ C zabezpečuje rovnakú mohutnosť množín A a C. Môžeme povedať,

2.7. MOHUTNOSTI MNOŽÍN 23

že všetky tri mnoziny A, B a C majú rovnakú mohutnosť. To nás oprávňuje zaviesť zápis|A| = |B| pre skutočnosť, že množiny A a B majú rovnakú mohutnosť.

Budeme hovoriť, že množina A má n prvkov (alebo že má mohutnosť n), ak existujebijekcia f : A→ {0, 1, 2, . . . , n− 1} = n. Symbolicky to zapíšeme takto: |A| = n.

Množina, ktorá má mohutnosť niektorého prirodzeného čísla je konečná množina; os-tatné množiny sú nekonečné.

Intuitívne je zrejmé, že množina všetkých prirodzených čísel N = {0, 1, 2, . . . } nie jekonečná. Dokázať toto tvrdenie exaktne je možné napríklad takýmto postupom.

Ak m a n sú rôzne prirodzené čísla, tak ich mohutnosti sú rôzne, čoho dôsledkom je,že žiadna vlastná podmnožina konečnej množiny nie je s celou množinou ekvivalentná.(Vypracovať podrobnosti tohto postupu dá istú prácu.) Naproti tomu množina N, ako ochvíľu uvidíme, obsahuje vlastnú podmnožinu, ktorá je ekvivalentná s N. Preto N nemôžebyť konečná. Za požadovanú vlastnú podmnožinu rovnakej mohutnosti ako N môžemezobrať napríklad množinu 2N = {0, 2, 4, . . . } všetkých párnych prirodzených čísel. Naozaj,zobrazenie

h : N→ 2Nx 7→ 2x

je injektívne rovnako ako zobrazenie

k : 2N→ Nx 7→ x

2

Ľahko sa presvedčíme, že k ◦ h = idN a h ◦ k = id2N, takže k = h−1, čiže obe zobrazeniasú bijekcie. Teda |2N| = |N|, no 2N $ N.

Množinu A nazveme nekonečne spočítateľnou, ak má rovnakú mohutnosť ako množinaprirodzených čísel N. Mohutnosť nekonečne spočítateľnej množiny sa zvykne označovaťsymbolom ℵ0, ktorý je odvodený od prvého písmena ℵ hebrejskej abecedy (alef) a číta sa„alef-nula“. Teda |N| = ℵ0. Množinu nazveme spočítateľnou, ak je konečná alebo nekonečnespočítateľná, a nespočítateľnou ak nie je spočítateľná.

Teraz ukážeme, že množina (0, 1) všetkých reálnych čísel na otvorenom intervale medzi0 a 1 je nespočítateľná. Prvým krokom bude, že každé reálne číslo reprezentujeme pomocounekonečnej postupnosti nôl a jednotiek.

Pod postupnosťou v množineA rozumieme ľubovoľné zobrazenie f : N→ A. Namiestof(i) často píšeme fi a namiesto f : N→ A často píšeme (fi)

∞i=0 alebo (f0, f1, f2, . . . ). Ak

A = {0, 1}, postupnosť sa nazýva binárnou.Naznačíme proces, akým je možné číslu c ∈ (0, 1) bijektívne prideliť nekonštantnú

binárnu postupnosť – čiže skonštruovať bijekciu (0, 1) → {0, 1}N − {0,1} =: B (kde0 = (0, 0, . . . ) a 1 = (1, 1, . . . )).

Nech c ∈ (0, 1). Interval (0, 1) teraz rozdelíme na dva (takmer) rovnaké polovice –podintervaly

(0, 12)a⟨12 , 1). Ak c ∈

(0, 12)položíme f0 = 0. Ak c ∈

(12 , 1)položíme f0 = 1.

Ak c = 12 položíme f0 = 1 a f1 = f2 = · · · = 0, čím sme v tomto prípade určili už celú

postupnosť. Ak hľadaná postupnosť f ešte nie je úplne určená, pokračujeme v porceseďalej. Povedzme, že c ∈

(12 , 1). Teraz rozdelíme tento interval na dva:

(12 ,

34

)a⟨34 , 1). Ak


b0 = ( b00 , b01 , b02 , . . ., b0n , . . .)

b1 = (b10, b11 , b12 , . . ., b1n , . . .)

... = . . .

bn = (bn0 , bn1 , bn2 , . . . , bnn , . . . )... · · ·

c ∈(12 ,

34

), položíme f1 = 0 (pričom máme f0 = 1). Ak c ∈

(34 , 1), položíme f1 = 1.

Ak c = 34 položíme f1 = 1 a f2 = f3 = · · · = 0, čím sme opäť určili celú postupnosť.

Analogicky postupujeme v ďalších krokoch.Nie je veľmi ťažké sa presvedčiť, že takto priradíme každému číslu c ∈ (0, 1) nejakú

binárnu postupnosť a že taká postupnosť nie je konštantná (lebo 0, 1 /∈ (0, 1)). Obrátene,ak je zadaná nekonštantná binárna postupnosť f , pomocou postupného delenia intervalu(0, 1) na polovice a vyberaním ľavého či pravého podintervalu podľa toho, či skúmaný členfi našej postupnosti f je 0 alebo 1 môžeme postupne „polohu“ čísla c vymedziť. (Presnýdôkaz tu však vyžaduje poznatky z topológie reálnych čísel, čo je ďaleko nad rámec tohtotextu).Tým sme ukázali, že existuje bijekcia ϕ : (0, 1)→ B.

Ďalším krokom je ukázať, že množina B nie je spočítateľná. Na to použijeme techniku,ktorá sa nazýva diagonálna metóda a rôzne jej variácie majú široké použitie.

Predpokladajme kvôli sporu, že množina B je spočítateľná. To znamená, že existujebijekcia N → B. Táto bijekcia definuje „očíslovanie“: prvkov množiny B prirodzenými čís-lami, alebo – inak povedané zoradenie jej prvkov do nekonečnej postupnosti (b0, b1, b2, . . .).Každý člen bi je sám nekonečnou postupnosťoubi = (b0, b1, b2, . . .). Zapíšeme teraz tieto postupnosti do tabuľky 2.7 tak, že každá postup-nosť bi bude v jednom riadku, a členy rovnakého poradia budú v jednom stĺpci.

Hoci táto tabuľka 2.7 obsahuje všetky prvky množiny B, ľahko skonštruujeme binárnupostupnosť, ktorá v tejto tabuľke nie je. Naozaj, definujeme binárnu postupnosť c =(c0, c1, c2, . . .) tak, že od postupnosti b0 sa bude odlišovať členom b00, od b1 členomb11,. . . , od bn členom bnn a tak ďalej. Stačí teda položiť

ci = 1− bii.

Je teraz zrejmé, že c ∈ B, no c sa líši od každej z postupností bi, i = 0,1,. . . , čo jespor. Toto dokazuje,že množina B nie je spočítateľná.

Keďže množina B je ekvivalentná s intervalom (0,1), aj on je nespočítateľnou mno-žinou. Keďže (0, 1) ⊆ R, množina všetkých reálnych čísel je tiež nespočítateľná. V sku-točnosti majú množiny (0,1) a R rovnakú mohutnosť. Funkcia arctan: R → (−π2 ,

π2 ) je

bijekcia, lineárna funkcia f : (−π2 ,π2 )→ (0, 1), x→ 1

πx+ 12 je tiež bijekcia a ich zložením

získavame požadovanú bijekciu B → (0, 1).Vráťme sa teraz k spočítateľným množinám. Zatiaľ vieme, že N je spočítateľná mno-

žina. Vieme tiež, že aj každá podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná. Spočíta-teľná je aj množina Z všetkých celých čísel. Stačí ju totiž zoradiť do postupnosti , a to jeľahké: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . . O niečo náročnejšie je ukázať, že množina Q všetkýchracionálnych čísel je spočítateľná. Prv než se o tom presvedčíme, dokážeme nasledujúce


tvrdenia.

Tvrdenie 2.10. Nech A0,A1, . . . ,Ai, . . . sú spočítateľné množiny (môže byť ich konečneaj nekonečne-spočítateľne-veľa). Potom aj množina A0 ∪A1 ∪ . . .∪Ai∪. . . je spočítateľná.

Poznámka. Zatiaľ sme definovali zjednotenie iba dvoch množín(a tým aj zejdnotenie ľu-bovoľného konečného počtu množín). Tu však hovoríme aj o konečnom zjednotení množín.To sa definuje takto:

∞⋃i=0

Ai = A0 ∪A1 ∪ . . . ∪Ai ∪ . . . = {x; existuje index i taký, že x ∈ Ai}.

Podobne definujeme aj prienik:∞⋂i=0

Ai = A0 ∩A1 ∩ . . . ∩Ai ∩ . . . = {x; x ∈ Ai pre každý index i}.

Dôkaz. Keďže každá z množín Ai je spočítateľná, môžeme jej prvky zoradiť do postup-nosti (ai0, a

i1, . . .). Zapíšeme teraz tieto postupnosti do tabuľky tak, že každá postupnosť

(ai0, ai1, . . .) bude v jednom riadku a členy rovnakého poradia budú tom istom stĺpci. Teraz

stačí prepísať túto tabuľkud do jedného riadka, čo sa dá urobiť viacerými spôsobmi. Jedenje označený na nasledujúcom obrázku.

a00, a01, a02, . . ., a0n, . . .a10, a11, a12, . . ., a1n, . . .a20, a21, a22, . . ., a2n, . . .

Tým sme dostali nasledujúcu postupnosť obsahujúcu všetky prvky množiny A0∪A1∪. . .: a00, a10, a01, a20, a11, a02, a30, a21,. . . . Tým je ukázané, že množinaA0∪A1∪. . . je spočítateľná.

Teraz je už ľahké dokázať, že množina Q je spočítateľná. Každé racionélne číslo sinajprv vyjadríme zlomkom v základnom tvare; tento zápis je jednoznačný. Nech Rn ozna-čuje množinu všetkých racionálnych čísel, ktoré majú v základnom tvare menovateľ n.Potom R1 = Z a existuje prirodzená bijekcia Rn → Z, totiž zobrazenie ± a

n 7→ ±a. Tedakaždá z množín Rn je spočítateľná. Podľa predchádzajúceho tvrdenia musí byť spočíta-teľná aj množina R1 ∪R2 ∪ . . . ∪Rn ∪ . . . = Q.Podobným trikom môžeme dokázať nasledujúci dôsledok Tvredia 1.8.

Tvrdenie 2.11. Ak A a B sú spočítateľné množiny, tak aj ich karteziánsky súčin A×Bje spočítateľná množina.

2.7.1 Kardinálne čísla

V tejto časti ukážeme, že na mohutnosť množiny -zovšeobecnenie počtu jej prvkov- samôžeme dívať aj ako na nejaké číslo, ktoré v tejto súvislosti budeme nazývať kardinálnečíslo. Nepovieme, čo sú kardinálne čísla; povieme len aké vlastnosti majú a ako sa dajúsčitovať, násobiť a mocniť.


Hovoríme, že dve množiny majú rovnaké kardinálne číslo, ak sú ekvivalentné, čiže akmajú rovnakú mohutnosť. Kardinálne číslo je teda to, čo je spoločné všetkým navzájomekvivalentným množinám -je to akési stelesnenie ekvivalencie množín. Kardinálne číslomnožiny A označujeme |A|.Niektoré kardinálne čísla už poznáme: v časti 1.5 sme si už povedali, že množina je n-prvková ak je ekvivalentná s množinou n = {0, 1, . . . , n−1}. Za kardinálne číslo všetkých n-prvkových množín môžeme preto zobrať prirodzené číslo n, teda množinu {0, 1, . . . , n−1}.Ďalej sme si povedali, že množina je nekonečne spočítateľná, ak je ekvivalentná s množinouN . Mohutnosť množiny N sme označovali symbolom ℵ0 (alef-nula), čo budeme považovaťza kardinálne číslo všetkých nekonečne spočítateľných množín. Teda |N| = |Z| = |Q| = ℵ0.Napokon vieme, že množina R nie je spočítateľná; jej kardinálne číslo sa označuje c anazýva sa mohutnosť kontinua. Uvidíme, že c = 2ℵ0 a že aj nespočítateľné množiny môžumať rôzne kardinálne čísla.Zo skúsenosti vieme, že zjednotením dvoch disjunktných konečných množín, pričom jednamá m prvkov a druhá má n prvkov, dostaneme (m+ n)-prvkovú konečnú množinu. V na-sledujúcej kapitole venovanej kombinatorike sa s týmto pozorovaním stertneme ako s pra-vidlom súčtu.

Definícia 1. Nech p a q sú ľubovoľné kardinálne čísla. Nech A a B sú disjunktné množinytaké, že |A| = p a |B| = q. Definujme

p+ q : = |A ∪B|

Poznamenajme, že táto definícia nezávisí od konkrétnej voľby množín A a B. Aktotiž A′ a B′ sú disjunktné množiny, pre ktoré |A′| = |A| = p a |B′| = |B| = q, tak|A′ ∪B′| = |A ∪B|.

Pri definícii súčinu kardinálnych čísel vychádzame z toho, že karteziánsky súčin m-prvkovej množiny a n-prvkovej množiny má m · n prvkov. V kombinatorike sa tento faktnazýva pravidlom súčinu.

Definícia 2. Nech p a q sú ľubovoľné kardinálne čísla. Nech A a B sú ľubovoľné množinytaké, že |A| = p a |B| = q. Definujeme

p· q : = |A×B|.

Podobne ako v predchádzajúcej definícii, súčin kardinálnych čísel nezávisí od konkrétnejvoľby množín: ak |A′| = |A| a |B′| = |B|, tak |A′ ×B′| = |A×B|.

Mocnenie kardinálnych čísel sa zakladá na nasledujúcom porovnaní, ktoré – ako uvi-díme v nasledujúcej kapitole – súvisí s počtom s opakovaním. Ak A je m-prvková množinaa B je n-prvková množina, tak množina BA všetkých zobrazení A → B má nm (teda|B||A|) prvkov.

Definícia 3. Nech p a q sú ľubovoľné kardinálne čísla.Nech A a B sú množiny také, že|A| = p a |B| = q. Definujme

qp = |BA|.

Čitateľ sa opäť môže presvedčiť, že ani táto definícia nezávisí od konkrétnej voľbymnožín: ak |A′| = |A| a |B′| = |B|, tak |BA′

| = |BA|.Z definícii ľahko odvodíme nasledujúce tvrdenia


Tvrdenie 2.12. Nech p, q a r sú ľubovoľné kardinálne čisla. Potom platí:

(a) p+ q = q + p, p· q = q· p (komutatívnosť)

(b) (p+ q) + r = p+ (q + r) (p· q)· r=p· (q· r) (asociatívnosť)

O niečo ťažšie sa dokáže nasledujúce tvrdenie (hlavne jeho druhá časť):

Tvrdenie 2.13. Nech p, q a r sú ľubovoľné kardinálne čisla. Potom platí:

(a) pq· pr=pq+r

(b) (p· r)r=pr· qr

(c) (pq)r=pq·r

Prejdime teraz k niektorym kritériam dôsledku. Z tvrdení 2.8 a 2.9 ľahko odvodíme, žeℵ0+ℵ0=ℵ0=ℵ0· ℵ0. Dá sa tiež ukázať, že pre každé prirodzené číslo n platí n· ℵ0=ℵ0=ℵ0na že ℵ0ℵ0=2ℵ0 .

Veľkosti kardinálnych čísel môžeme porovnávať podobne ako veľkosti prirodzenýchčísel.

Definícia 4. Nech p a q sú kardinálne čísla. Nech A a B sú ľubovoľné množiny, prektoré |A| = p a |B| = q. Budeme hovoriť, že p je menšie alebo rovnaké ako q (alebo, že pneprevyšuje q) a písať p ≤ q, ak existuje injekcia A → B. Ďalej budeme hovoriť, že p jemenšie ako q a písať p < q ak p ≤ q a zároveň p 6= q. Symboly p ≥ q a p > q budú maťzrejmý význam.

Predchádzajúca definícia sa nám hneď na prvý pohľad zdá byť plne v súhlase s našouintuíciou. Zároveň však kladie prirodzenú otázku: ak p a q sú kardinálne čísla také, že p ≤ qa súčasne p ≥ q, musí platiť aj p = q. Preložené do jazyka zobrazení: ak A a B sú množinya f : A→ B a g : B → A sú injekcie, musí už existovaťaj bijekcia A→ B? Táto otázkaje obzvlášť zaujímavá v súvise s nekonečnými množinami. Napr. |N| = |Q| = ℵ0, pritomvšak prirodzené vloženie N→ Q , x 7→ x, je injekcia, ktorá nie je bijekciou. Našťastie našeotázky majú kladnú odpoveď, ktorá je obsahom nasledujúcej netriviálnej teorémy:

Teoréma 2.14 (Cantorova-Bernsteinova). Nech A a B sú ľubovoľné množiny. Ak existujeinjektívne zobrazenie f : A → B a injektívne zobrazenie g : B → A, tak množiny A a Bsú ekvivalentné.

Dôkaz. Každý prvok y ∈ B je obrazom najviac jedného prvku x ∈ A v zobrazení f .Ak taký prvok x jestvuje, nazveme ho rodičom prvku y. Podobne je každý prvok x ∈ Aobrazom najviac jedného prvku y ∈ B v zobrazení g. Tento prvok y, ak existuje, sa tiežbude nazývať rodičom prvku x.

Pre každý prvok t z množiny A alebo z množiny B budeme sledovať reťazec jehoprvkov. Formálne prvok z nazveme predkom prvku t, ak existuje postupnosť z = zn, zn−1,. . . , z1, z0 = t prvkov množiny A ∪B taká, že pre každé i = 0, . . . , n − 1 je prvok zi+1

rodičom prvku zi. Pre ľubovoľný t ∈ A ∪ B môžu nastať tri navzájom sa vylučujúceprípady.

1. t má nekonečne veľa predkov – inými slovami, každý predok prvku t má rodiča;


2. existuje taký predok z prvku t, ktorý už nemá rodiča, pričom z ∈ A;

3. existuje taký predok z prvku t, ktorý nemá rodiča, pričom z ∈ B

Nech teraz Ai, i = 1, 2, 3, je množina všetkých t ∈ A, ktoré majú vyššie uvedenú vlast-nosť i. Podobne definujme aj množiny Bi, i = 1, 2, 3. Keďže sa prípady vylučujú súmnožiny Ai ako aj Bi po dvoch disjunktné.

Ľahko nahliadneme, že predok prvku t ∈ A patriaci do A tiež leží v Ai. Podobnétvrdenie platí aj o t ∈ B. Preto f |A1 : A1 → B1 je bijekcia, f |A2 : A2 → B2 je bijekciaa g|B3 : B3 → A3 je bijekcia. Napokon vidíme, že zobrazenie h : A → B definovanépredpisom

h(x) =

{f(x), ak x ∈ A1 ∪A2

g−1(x), ak x ∈ A3

je bijekcia.

Pri dôkaze naspočítateľnosti množiny (0, 1) sme zároveň vlastne ukázali, že |(0, 1)| =

|{0, 1}N| = |{0, 1}||N| = 2ℵ0 . Hneď potom sme nahliadli, že |R| = |(0, 1)|. Odtiaľ dostávamevzťah pre mohutnosť kontinua c:

c = |R| = |(0, 1)| = 2ℵ0 .

Keďže množina N je spočítateľná, ale R nie je, (a N ⊆ R) dostávame, že 2ℵ0>ℵ0. Ana-logická nerovnosť(notoricky známa pre prirodzené čísla) platí všeobecne. Vyplýva to znasledujúcich dvoch tvrdení.

Tvrdenie 2.15. Pre ľubovoľnú množinu A platí:

|P| = 2|A|

Dôkaz. Ľahko nahliadneme, že zobrazenie Φ : P(A)→ {0, 1}A, ktoré podmnožine X ⊆ Apriradí jej charakteristickú funkciu χx : A → {0, 1} (pozri príklad 4 v článku 1.4) jebijekcia. Preto |P(A)| = |{0, 1}A| = 2|A|

Ako dôsledok tohto tvrdenia dostávame, že mohutnosť kontinua c je totožná s mohut-nosťou množiny všetkých podmnožín množiny N : c = |R| = 2ℵ0 = 2|N| = |P(N)|.

Teoréma 2.16 (Cantorova). Pre každú množinu A platí

|P(A)| > |A|.

Dôkaz. Je zrejmé, že |A| ≤ |P(A)|, lebo zobrazenieA→ P(A), x 7→ {x} je injektívne. Abysme ukázali, že |A| 6= |P(A)| stačí sa presvedčiť o tom, že neexistuje surjekcia A→ P(A).Predpokladajme, kvôli sporu, že zobrazenie f : A → P(A) je surjektívne. Keďže prekaždý prvok x ∈ A je f(x) ⊆ A, má zmysel sa spýtať, či x ∈ f(x) alebo x /∈ f(x).Zoberme teda množinu B = {x ∈ A; x /∈ f(x)} ⊆ A. Táto množina musí mať vzhľadomna zobrazenie f vzor v množine A; nech je to prvok y ∈ A. Patrí prvok y do množiny B?Keby y ∈ B, tak y by spĺňal vlastnosť definujúcu množinu B, totiž y by nepatril do f(y).No f(y) = B a dostali by sme, že y /∈ B -spor. Preto y /∈ B. No B = f(y), takže y /∈ f(y).Tým je prvok y splnená podmienka príslušnosti do množiny B, takže y ∈ B – čo je spor.Tento spor dokazuje, že surjekcia A→ P(A) nemôže existovať. Teoréma je dokázaná.


Poznámka. 1. Stojí za povšimnutie, že predchádzajúci dôkaz je založený na myšlienkeveľmi podobnej tej, ktorá leží v jadre Russelovho paradoxu.

2. Z Cantorovej teorémy2.16 vyplýva, že medzi nespočítateľnými množinami existujúmnožiny rôznych mohutností, ba dokonca ľubovoľne veľkých mohutností. Môžeme totižzobrať nespočítateľnú množinu R mohutnosti c=2ℵ0 a postupne brať množiny P(R),P(P(R)), P(P(P(R))) atď. Tým dostaneme neobmedzene rstúci sled nespočítateľnýchmohutností 2ℵ0<2(2

ℵ0 )<2(2(2ℵ0 ))

< . . .

Nerovnosti medzi kardinálnými číslami

1.) Ak κ1 ≤ λ1 a κ2 ≤ λ2, tak κ1 + κ2 ≤ λ1 + λ2.

2.) Ak κ1 ≤ λ1 a κ2 ≤ λ2, tak κ1·κ2 ≤ λ1·λ2.

3.) κ ≤ κ+ λ pre λ ≥ 0

4.) κ ≤ κ·λ pre λ ≥ 1

5.) κ+ κ = 2·κ

6.) κ+ κ ≤ κ·κ

7.) κ ≤ κλ pre λ ≥ 1

8.) λ ≤ κλ pre κ ≥ 2

9.) Ak κ1 ≤ κ2 a λ1 ≤ λ2, tak κλ11 ≤ κ2λ2

10.) κ·κ = κ2


Kapitola 3

Kombinatorika

Obsah3.1 Prirodzené čísla a matematická indukcia . . . . . . . . . . . 313.2 Dirichletov princíp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Základné enumeračné pravidlá . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Variácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Kombinácie bez opakovania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Kombinácie s opakovaním, polynomická veta . . . . . . . . . 453.7 Princíp zapojenia a vypojenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Prirodzené čísla a matematická indukciaKombinatorika je matematická disciplína, ktorá sa zaoberá úlohami o štruktúrach definova-ných na konečných množinách. Najčastejšie ide o podmnožiny, usporiadané n-tice, relácie,zobrazenia, rozklady a množstvo iných objektov, ktoré jednotne nazývame kombinatoric-kými konfiguráciami. Aj keď korene kombinatoriky siahajú hlboko pred náš letopočet,rozvoj kombinatoriky ako modernej disciplíny je úzko spojený s nástupom informatiky.Kombinatrika tvorí jeden zo základných pilierov tohto vedného odboru. Dnešnú kombina-toriku charakterizuje niekoľko všeobecných typov úloh. Spomedzi nich sú najdôležitejšie:

(1) zostrojiť konfigurácie požadovaných vlastností;

(2) nekonštruktívnymi metódami dokázať existenciu alebo neexistenciu konfigurácie istýchvlastností;

(3) určiť počet všetkých konfigurácií daného typu;

(4) charakterizovať také konfigurácie pomocou iných pojmov, vlastností a parametrov;

(5) nájsť algoritmus, ktorý umožňuje všetky požadované konfigurácie zostrojiť;

(6) spomedzi všetkých konfigurácií vybrať optimálnu (alebo extremálnu – maximálnu, čiminimálnu) podľa daných kriterií.

31

32 KAPITOLA 3. KOMBINATORIKA

Spomedzi nich sa v tejto kapitole budeme stretávať najmä s úlohami typu (4), (3) a (1).Ako sme povedali, kombinatorika sa zaoberá prevažne konečnými štruktúrami. Je tu

však jedna nekonečná množina, ktorá má pre kombinatoriku podstatný význam: množinaN = {0, 1, 2, . . .} všetkých prirodzených čísel. O tejto množine už vieme, že je lineárneusporiadaná bežnou reláciou ≤ podľa veľkosti. Toto usporiadanie má jednu veľmi dôležitúvlastnosť (vlastnosť dobrého usporiadania): Každá neprázdna podmnožina množiny N mánajmenší prvok. (To, že prirodzené čísla majú túto vlastnosť sa nahliadne ľahko sporom:keby existovala v N neprázdna podmnožina M bez najmenšieho prvku, tak by sme ľahkoskonštruovali ostro klesajúcu nekonečnú postupnosť n0 > n1 > n2 > . . . prvkov množinyM . Lenže taká postupnosť v N očividne neexistuje.)

Ďalšia dôležitá vlastnosť množiny N je základom metódy matematickej indukcie, ktoráje v kombinatorike prakticky všadeprítomná. Znie takto:

Nech M ⊆ N je podmnožina spĺňajúca dve podmienky :

(I1) 0 ∈M ;

(I2) ak x ∈M , tak potom aj (x+ 1) ∈M .

Potom M = N.Princíp matematickej indukcie môžeme teraz sformulovať takto.

Teoréma 3.1. Nech (V (n))n∈N je postupnosť výrokov. Predpokladajme, že

(i) platí výrok V (0);

(ii) pre každé prirodzené číslo n, ak platí V (n) , tak potom platí V (n+ 1),

Potom výrok V (n) platí pre každé prirodzené číslo.

Poznámka. Bod (i) sa nazýva báza indukcie a bod (ii) sa nazýva indukčný krok .

Dôkaz. Definujme množinu A = {n ∈ N; platí výrok V (n)} . Podmienka (i) našej teorémyznamená, že 0 ∈ A . Podmienka (ii) hovorí, že platí implikácia “ak n ∈ A, tak aj (n+ 1) ∈A.” To znamená, že sú splnené vyššie spomenuté podmienky (I1) a (I2), a preto A = N.

Bežne sa využíva niekoľko modifikácií teorémy 3.1. Stáva sa, že vlastnosť V (n) platí ibapre prirodzené čísla n ≥ n0 pre nejaké číslo n0. V tom prípade najprv overíme pravdivosťvýroku V (n0) a potom dokážeme pravdivosť implikácie – pre každé n ≥ n0, ak platí V (n),tak platí aj V (n + 1). Tým je potom dokázaná pravdivosť výroku V (n) pre každé n ≥n0. Niekedy je výhodné použiť ďalší variant matematickej indukcie – úplnú matematickúindukciu.

Teoréma 3.2. Predpokladajme, že z platnosti výroku V (k) pre každé k < n vyplýva ajplatnosť výroku V (n). Ak platí výrok V (0), tak výrok V (n) platí pre každé prirodzené číslon.

Poznamenajme, že overenie platnosti V (0) nemožno vynechať.

3.2. DIRICHLETOV PRINCÍP 33

3.2 Dirichletov princíp

V tejto časti sa budeme zaoberať jednoduchým no veľmi dôležitým princípom, ktorý máširoké použitie pri riešení rozličných problémov a často vedie k pre- kvapujúcim záverom.Je známy v rôznych formách. Najjednoduchšia je azda táto:Ak n + 1 predmetov ukladáme do n priečinkov, tak aspoň jeden priečinok bude obsahovaťdva alebo viac predmety.

Exaktnejšie môžeme tento princíp sformulovať takto:Neexistuje injektívne zobrazenie (n+ 1)-prvkovej množiny do n-prvkovej množiny.

Dokážeme všeobecnejšie tvrdenie

Teoréma 3.3. Nech A a B sú konečné množiny, pričom |A| = n, |B| = m a n > mPotom neexistuje žiadne injektívne zobrazenie f : A→ B.

Dôkaz. Nech S je množina všetkých prirodzených čísel s takých, že existuje s-prvkovámnožina, ktorá sa dá injektívne zobraziť na t - prvkovú, kde t < s. Naším cieľom jeukázať, že S = ∅. Predpokladajme, sporom, že S 6= ∅. Potom (na základe princípu dobréhousporiadania) S má najmenší prvok – nech n je najmenší prvok množiny S a nech f :{a1, a2, . . . , an} = A → B = {b1, b2, . . . , bm} je injekcia, kde m < n. Zrejme m ≥ 2, leboinak by boli všetky zobrazenia A→ B konštantné, a teda nie injektívne. Predpokladajme,že f(an) = br pre nejaké r ∈ {1, 2, . . . ,m}. Keby každý z prvkov f(a1), f(a2), . . . , f(an−1)bol rôzny od bm, tak zúženie zobrazenia f na množinu a1, a2, . . . , an−1 by bolo injektívnymzobrazením A−{an} → B−{bm}. To by však bol spor s voľbou čísla n. Preto musí existovaťj ∈ {1, 2, . . . , n− 1}, že f(aj) = bm. Kedže f je injekcia, f(an) 6= bm, takže r ≤ m− 1. Nopotom zobrazenie g : A− {an} → B − {bm} definované predpisom

g(aj) = br,

g(ai) = f(ai) pre i 6= j, i ∈ {1, 2, . . . , n− 1}

je opät injektívne. Znova sme dostali spor s definíciou čísla n, a teda množina S je prázdna.

Prvýkrát upozornil na tento jednoduchý princíp nemecký matematik 19. storočia P.Dirichlet. Dnes je známy aj ako „holubníkový princíp“ podľa toho, že ak viac ako n ho-lubov používa n holubníkových dier, tak aspoň dva holuby vychádzajú tou istou dierou.Poznamenajme, že tento princíp nedáva nijaký návod ako nájsť dieru používanú viac akojedným holubom. Preto je tento princíp často existenčný.

Medzi dôsledky Dirichletovho princípu patrí aj skutočnosť, že ak konečná množina mám prvkov aj n prvkov, tak m = n.

Príklad 3.1. V Bratislave sa v každom okamihu vyskytujú aspoň dvaja ľudia, ktorímajú rovnaký počet vlasov na hlave. Nech A je množina obyvateľov Bratislavy a B ={0, 1, . . . , 200000}. Zobrazenie f : A → B priraďuje bratislavčanovi x jeho počet vlasovf(x) ∈ B (počet vlasov človeka neprevyšuje 200 000). Keďže |A| > 200001, zobrazenienemôže byť injektívne. Poznamenajme, že toto zobrazenie sa každú chvíľu mení – stačí saučesať.


Príklad 3.2. V postupnosti (a1, a2, . . . , an) ľubovoľných n prirodzených číselexistuje súvislá podpostupnosť (ak+1, ak+2, . . . , al) taká, že súčet ak+1 + ak+2+ + · · ·+ alje deliteľný číslom n.

Aby sme sa o tom presvedčili, uvažujme n súčtov a1, a1 + a2, . . . , a1 + a2 + + · · ·+ an.Ak je medzi nimi niektorý deliteľný číslom n, sme hotoví. Nech preto každý z nich dávapo delení číslom n nenulový zvyšok. Keďže súčtov je n, no možných hodnôt pre zvyšky jelen n − 1, dva z týchto súčtov povedzme a1 + a2 + · · · + ar a a1 + a2 + · · · + as (pričomr < s) dávajú po delení číslom n ten istý zvyšok z. Máme teda

a1 + a2 + · · ·+ ar = bn+ z

a1 + a2 + · · ·+ as = cn+ z

pre vhodné b, c ∈ Z. Odčítaním prvého súčtu od druhého dostávame

ar+1 + ar+2 + · · ·+ as = (c− b)n,

čo znamená, že posledný súčet je deliteľný číslom n.

Uvedieme ešte silnejšiu formu Dirichletovho princípu:

Teoréma 3.4. Ak f : A→ B je zobrazenie konečných množín také, že |A| = n, |B| = m an/m > r pre nejaké prirodzené číslo r, tak existuje prvok množiny B, na ktorý sa zobrazíaspoň r prvkov množiny A.

Dôkaz. Nech B = {1, 2, . . . ,m} a nech ni je počet prvkov množiny A, ktoré sa zobraziana prvok i ∈ B. Keby pre každé z čísel ni platilo ni ≤ r, tak by sme dostali

r <n

m=n1 + n2 + . . .+ nm

m≤ mr

m= r.

Tento spor dokazuje teorému.

3.3 Základné enumeračné pravidláÚloha určiť počet kombinatorických konfigurácií daného typu je jednou z najtypickejšíchkombinatorických úloh. Existuje obrovské množstvo rôznych druhov kombinatorickýchkonfigurácií, keďže existuje nepreberné množstvo praktických úloh kombinatorického cha-rakteru. Veľká väčšina úloh sa však dá zaradiť do jednej z nasledujúcich tried s dvomapodtriedami:

1. Určiť počet neusporiadaných konfigurácií, pričom opakovanie objektov v konfigurá-ciách je alebo nie je povolené.

2. Určiť počet usporiadaných konfigurácií, pričom opakovanie objektov v konfiguráciáchje alebo nie je povolené.

Čitateľ iste pozná pojem kombinácií, ktorý spadá pod bod A, a pojem variácií, spa-dajúci pod bod B. Tieto dva pojmy však na riešenie kombinatorických úloh nestačia,pretože konfigurácie môžu kombinovať usporiadané aj neusporiadané črty. Oveľa dôleži-tejšie je preto ovládať základné enumeračné pravidlá a ovládnuť umenie „matematizácie“

3.3. ZÁKLADNÉ ENUMERAČNÉ PRAVIDLÁ 35

kombinatorických úloh – čo znamená vedieť vyabstrahovať konfigurácie v podobe podmno-žín, usporiadaných k-tic, zobrazení, relácií rozkladov a podobne, a potom na ich zrátanieenume- račné pravidlá použiť.

Prvé z nich je veľmi jednoduché:

Teoréma 3.5 (Pravidlo súčtu). Nech X1, X2, . . . , Xn, n ≥ 2 sú navzájom disjunktnépodmnožiny konečnej množiny X, pričom X = X1 ∪X2 ∪ . . . ∪Xn. Potom

|X| = |X1|+ |X2|+ · · ·+ |Xn|.

Dôkaz. Nech najprv n = 2. nech X1 = {a1, a2, . . . , ar} and X2 = {b1, b2, . . . , bs}. KeďžeX1∩X2 = ∅, platíX1∪X2 = {c1, c2, . . . , cr, cr+1, . . . , cr+s}, kde ci = ai pre i ∈ {1, 2, . . . , r}a cj = bj−r pre j ∈ {r + 1, . . . , r + s}. Z tohto už ľahko vidno, že |X| = |X1 ∪ X2| =|X1|+ |X2|. Pre n ≥ 3 sa dôkaz ľahko dokončí matematickou indukciou.

Opakovaným použitím tohto pravidla získavame ďalšie pravidlo. Je zložitej- šie, no máčastejšie použitie.

Teoréma 3.6 (Pravidlo súčinu). Nech X1, X2, . . . , Xn, n ≥ 2, sú ľubovoľné konečnémnožiny. Potom |X1 ×X2 × · · · ×Xn| = |X1| · |X2| · · · · · |Xn|.

Dôkaz. Budeme postupovať indukciou vzhľadom na n, pričom v indukčnom kroku použi-jeme pravidlo súčtu. Tvrdenie teorémy platí aj pre n = 1 (ale nič nehovorí) a to využijemeako bázu indukcie. Nech teraz tvrdenie teorémy platí aj pre nejaké n ≥ 1. Ukážeme, žeplatí aj pre n + 1. Chcem určiť počet prvkov množiny X1 × X2 × · · · × Xn × Xn+1. AkXn+1 = ∅, tak |X1 × X2 × · · · × Xn× ×Xn+1| = 0 = |X1| · |X2| · · · · · |Xn+1|. V tomtoprípade teda tvrdenie platí. Nech preto |Xn+1| = s ≥ 1, pričom Xn+1 = {a1, a2, . . . , as}.Položme pre každé i ∈ {1, 2, . . . , s}

Yi = X1 ×X2 × · · · ×Xn × {ai}.

Je zrejmé, že |Yi| = |X1 ×X2 × · · · ×Xn| a podľa indukčného predpokladu teda platí

|Yi| = |X1| · |X2| · · · · · |Xn|.

Pretože

X1 ×X2 × . . .×Xn ×Xn+1 =

s⋃k=1

Yi

a množiny Y1, Y2, . . . , Ys sú navzájom disjunktné, z pravidla súčtu dostávame

|X1 ×X2 × · · · ×Xn+1| =s∑

k=1

|Yk| = |X1| · |X2| · · · · · |Xn| · |Xn+1|.

Príklad 3.3. Koľko štvorciferných čísel deliteľných piatimi môžeme vytvoriť z cifier 0, 1,3, 5, 7? Nech M = {0, 1, 3, 5, 7} . Potom každé hľadané číslo je charakterizované usporia-danou štvoricou, ktorá patrí do množiny

U = (M − {0})×M ×M × {0, 5}.


Podľa pravidla súčinu dostávame

|U | = 4 · 5 · 5 · 2 = 200.

Príklad 3.4. Koľkokrát za deň cifry na digitálnych hodinách ukazujú rastúcu postupnosť?Čas na ukazateli digitálnych množín môžeme zakódovať usporiadanou šesticou prirodze-ných čísel x = (x1, x2;x3, x4;x5, x6). Predpokladajme, že x1 < x2 < · · · < x6. Hoci vovšeobecnosti čas musí spĺňať x1 ≤ 2, vidíme, že x1 = 2 by nevyhnutne viedlo k x5 ≥ 6, čonie je možné. Preto x1 ∈ {0, 1} a x5 ≤ 5. Ak x1 = 1, tak x5 = 5 a ak x1 = 0, tak x5 = 4alebo 5. Množinu X hľadaných postupností rozdelíme takto

X1 = {x ∈ X; x1 = 1},X04 = {x ∈ X; x1 = 0, x5 = 4},X05 = {x ∈ X; x1 = 0, x5 = 5}.

V prvej množine sú postupnosti tvaru (1, 2; 3, 4; 5, x6), z čoho vyplýva |X1| == 4. V druhej sú postupnosti tvaru (0, 1; 2, 3; 4, x6), takže |X04| = 5. Počet prvkov množiny|X05| spočítame takto: pre (x2, x3, x4) sú len tieto možnosti: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).Pre x6 sú možnosti 6, 7, 8, 9. Každá postupnosť v X05 je charakterizovaná usporiadanoudvojicou ((x2, x3, x4), x6), ktorých je podľa pravidla súčinu 4 · 4 = 16. Napokon podľapravidla súčtu dostávame |X| = |X1|+ |X04|+ |X05| = 4 + 5 + 16 = 25.

3.4 Variácie

Variácie spolu s kombináciami patria medzi najjednoduchšie a najbežnejšie kombinatorickékonfigurácie.Zatiaľ čo variácie sú usporiadané štruktúry, kombinácie sú neusporiadané.Ukazuje sa, že jednoduchšie je začat študium usporiadaných konfigurácií a na neusporia-dané sa dívať ako na triedy ekvivalencie usporiadaných štruktúr.

Ako prvý odvodíme výsledok o počte zobrazení medzi konečnými množinami. Pripo-meňme označenie z predchádzajúcej kapitoly: pre lubovolné množiny A a B označujemesymbolom BA množinu všetkých zobrazení A→ B.

Teoréma 3.7. Ak A a B sú konečné množiny, pričom |A| = n a |B| = m, tak∣∣BA∣∣ = |B||A| = mn.

Dôkaz. Teorému dokážeme indukciou vzhľadom na n. Pre n = 0 (a každé prirodzené císlom = |B|) teoréma platí, lebo B∅ = {∅}. Predpokladajme teraz, že teoréma platí pre nejakén ≥ 0 a všetky prirodzené čísla m. Nech |A| = n + 1, pričom A = {a1, . . . , an, an+1}. AkB = ∅, tak ∅A = ∅ a tvrdenie platí. Ak m ≥ 1 a B = {b1, b2, . . . , bm}, pre k ∈ {1, 2, . . . ,m}položíme

Yk = {f ∈ BA; f(an+1) = bk}.

3.4. VARIÁCIE 37

Množiny Yk sú navzájom disjunktné a BA = ∪mk=1Yk. Okrem toho zúženia zobrazení f ∈ Ykna množinu A−{an+1} sú po dvoch rôzne a dávajú všetky zobrazenia {a1, a2, . . . , an} → B,z indukčného predpokladu dostávame |Yk| = mn. Napokon

∣∣BA∣∣ =

m∑k=1

|Yk| = m ·mn = mn+1 = |B||A| .

Pre A = {1, 2, . . . , n} a |B| = m sa prvky množiny BA nazývajú variácie s opakovanímn-tej triedy z m prvkov (množiny B). V súhlase s označením zavedením v članku 2.4namiesto šípkového označenia pre tieto zobrazenia používame označenie sekvenciálne f :{1, 2, . . . , n} → B označujeme

(f(1), f(2), . . . , f(n)) = (f1, f2, . . . , fn). Z tohto vyjadrenia je zrejmé, že existujebijekcia B{1,2,...,n} → B ×B × · · · ×B (n-krát) a teda Teoréma 3.7 vyplýva aj priamo zpravidla súčinu.

Napríklad ak B = {a, b}, tak všetky variácie tretej triedy z množiny B sú (usporiadanélexikograficky):

(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b).

Poznámka. Teorémy (3.5 – 3.7) sú základom definície súčtu, súčinu a mocnenia ľubo-volných kardinálnych čísel, ako sme ich zaviedli v článku 2.6. Tieto definície teda zovše-obecňujú našu praktickú skúsenosť z konečných množín na nekonečné množiny ľubovolnejkardinality.

Teoréma 2.7,5 Nech A je konečná množina, |A| = n. Potom počet všetkých podmnožínmnožiny A je |P(A)| = 2n.

Teraz určíme počet všetkých injektívnych zobrazení medzi dvoma množinami.

Teoréma 3.8. Nech A a B sú konečné množiny, pričom |A| = n a |B| = m. Potom početvšetkých injektívnych zobrazení z A do B je

m · (m− 1) . . . (m− n+ 1) =

n−1∏i=0

(m− i) .

Dôkaz. Nech IAB označuje počet injekcií A→ B. Budeme postupovať indukciou vzhľadom

na n. Ak A = ∅ , tak existuje jediná injekcia A → B. V súčine−1∏i=0

(m − i) máme nulový

počet činiteľov, a taký súčin sa definitoricky kladie za 1. Teda v tomto prípade výsledokplatí. Predpokladajme, že tvrdenie našej teorémy je správne pre nejaké n ≥ 0 a pre všetkyprirodzené čísla m. Nech |A| = n + 1 a nech A = {a1, a2, . . . , an, an+1}. Ak B = ∅, takBA = ∅ a tvrdenie platí. Nech teda m ≥ 1 a B = {b1, b2, . . . , bm}. Definujme teraz prek ∈ {1, 2, . . . ,m} množinu

Yk = {f ∈ BA; f je injektívne a f(an+1) = bk}.


Množiny Y1, Y2, . . . , Ym sú navzájom disjunktné a každá injekcia A → B patrí donejakej z nich. Preto |Y1|+ |Y2|+ · · ·+ |Ym| = IAB .Určíme |Yk| pre ľubovolné k. Kedže zúžením injekcie je opät injekcia, zúženia zobrazeníf ∈ Yk na množinu A−{an+1} sú injekcie A−{an+1} → B−{bk}. Naviac medzi zúženiamisa každá taká injekcia vyskytuje práve raz. Preto

|Yk| = IA−{an+1}B−{bk} .

Podľa indukčného predpokladu

|Yk| =n−1∏i=0

(m− 1− i) =

n∏i=1

(m− i).

Odtiaľ vyplýva, že

IAB = m

n∏i=1

(m− i) =

n∏i=0

(m− i)

Všimnime si, že ak |A| > |B|, tak Teoréma 3.8 hovorí, že neexistuje žiadna injekciaA→ B, čo je obsah teorémy 3.3. Dirichletov princíp je teda dôsledkom teorémy 3.8.

Injekcie z množiny A = {1, 2, . . . , n} do množiny B, kde |B| = m, sa nazývajú variácie(bez opakovania) n-tej triedy z m prvkov (množiny B).

Na označenie počtu variácií bez opakovania n-tej triedy z m prvkov používame symbolmn = m(m− 1) . . . (m− n+ 1), pričom v súhlase s teorémou 3.8 platia vzťahy m0 = 1 am1 = m číslo mn sa nazýva n-tý klesajúci faktoriál z m. Číslo mm = m(m− 1) · · · · · 2 · 1sa označuje m! a nazýva sa m-faktoriál.Príklad 3.5. Máme zostaviť vlajku z troch rovnakých vodorovných farebných prvkov,alebo troch rovnakých zvislých prvkov, pričom máme k dispozícií látky n rôznych farieb(v neobmedzenom množstve). Nech H je množina vlajok prvého a V množina vlajokdruhého druhu. Zrejme H ∩V = ∅ a |H| = |V |. Každú vlajku z množiny H charakterizujeusporiadaná trojica rôznych farieb, čiže injekcia {1, 2, 3} → F , kde F je množina farieb.Z teorémy 3.8 vyplýva, že |H| = n(n − 1)(n − 2) = n3, a teda počet rôznych vlajok je2n3.

Napríklad variácie bez opakovania druhej triedy z prvkov množiny B = {1, 2, 3} sú (vlexikografickom usporiadaní) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2). Ak A = {1, 2, . . . , n} a|B| = n, tak variácie n-tej triedy z n prvkov množiny B nie sú nič iné ako bijekcie A→ Ba ich počet je podľa teorémy 3.8 n · (n − 1) · · · · · 2 · 1 = n!. Tieto variácie sa nazývajúpermutáciami množiny B. (Niekedy je o permutáciach výhodné predpokladať, že A = B.)

Zo zápisu permutácie ako postupnosti, v ktorej sa vyskytujú bez opakovania všetkyprvky množiny B je zrejmé, že každá permutácia množiny B určuje nejaké lineárne usporia-danie množiny B. Obrátene, každé lineárne usporiadanie množiny B definuje permutáciuf množiny B – ak b ∈ B je i-ty najmenší prvok množiny B (t.j. i-ty z ľava), stačí položiťf(i) = b.

3.5. KOMBINÁCIE BEZ OPAKOVANIA 39

Teoréma 3.9. Existuje vzájomne jednoznačná korešpondencia medzi permutáciami ľubo-volnej množiny B a lineárnymi usporiadaniami množiny B. Preto počet lineárnych uspo-riadaní n-prvkovej množiny je n!

Na záver vyslovíme ešte zovšeobecnené pravidlo súčinu, ktoré je zosilnením teorémy 3.8.Dôkaz indukciou prenechávame čitateľovi.

Teoréma 3.10. Nech X je konečná množina. Nech A ⊆ Xk, k ≥ 2, je pod- množinakarteziánskeho súčinu Xk, ktorej prvky označíme (x1, x2, . . . , xk) a ktorá splňa podmienky:

(1) prvok x1 je možné z množiny X vybrať n1 spôsobmi;

(2) pre každé i ∈ {1, . . . , k − 1}, po akomkoľvek výbere usporiadanej i-tice (x1, x2, . . . , xi)je možné prvok xi+1 vybrať vždy ni+1 spôsobmi.

Potom |A| = n1 · n2 · · · · · nk.

3.5 Kombinácie bez opakovaniaKombinácie bez opakovania sú neusporiadané súbory neopakujúcich sa prvkov – inýmislovami podmnožiny nejakej základnej množiny. Presnejšie povedané, kombinácie (bez opa-kovania) k-tej triedy z n prvkov množiny A sú k-prvkové podmnožiny množiny A, ktorejmohutnosť je |A| = n. Kombinácie k-tej triedy prvkov množiny A skátene nazývame tiežk-kombináciami.

Množina všetkých k-prvkových podmnožín množiny A sa označuje Pk(A) alebo(Ak

)a

ich počet(nk

). Symbol

(nk

)sa nazýva kombinačným číslom alebo binomickým koeficientom

(dôvody pochopíme neskôr).Bezprostredne z definície symbolu

(nk

)vyplývajú tieto jeho vlastnosti:

• Pre každé n ≥ 0 platí(n0

)= 1, lebo každá množina má práve jednu prázdnu množinu.

• Pre každé n ≥ 0 platí(nn

)= 1, lebo každá n-prvková množina má práve jednu

n-prvkovú podmnožinu, totiž samú seba.

• Pre každé n ≥ 0 platí(n1

)= n, lebo každá n-prvková množina má práve n rôznych

1-prvkových podmnožín.

• Pre každé k ≤ n platí(nk

)=(n

n−k). Počet k-prvkových podmnožín ľubovoľnej n

prvkovej množiny A je ten istý ako počet (n− k)-prvkových podmnožín množiny A,lebo zobrazenie

(Ak

)→(An−k), x 7→ A− x je bijekcia.

• Pre každé k > n platí(nk

)= 0, lebo n-prvková množina nemá podmnožiny s viac ako

n prvkami.

Určíme teraz hodnotu symbolu(nk

).

Teoréma 3.11. Nech A je konečná množina, pričom |A| = n. Potom počet k-kombináciíz množiny A je

|Pk(A)| =(n

k

)=n(n− 1) . . . (n− k + 1)

k(k − 1) . . . 1=nk

k!.


Dôkaz. Nech K = {0, 1, . . . , k − 1}. Budeme skúmať injekcie K → A, čiže na množineIKA . Na IKA zavedieme binárnu reláciu R takto:

f R g práve vtedy, keď f ({0, 1, . . . , k − 1}) = g ({0, 1, . . . , k − 1})

Potom R je relácia ekvivalencie. Každá trieda ekvivalencie C na množine IKA je jednoznačneurčená jednou k-prvkovou podmnožinou M , na ktorú zobrazenia z množiny C zobraziamnožinu {0, 1, . . . , k−1}. Ak v týchto zobrazeniach zameníme koobor A za M , dostanemepráve všetky permutácie množiny M . Preto |C| = k!. Každá trieda ekvivalencie na IKA mák! prvkov. Preto k!

(nk

)== nk = IKA . Počet k-prvkových podmnožín množiny A je teda,

podľa teorémy 3.8,(nk

)= |IKA |/k! = nk/k!.

Kombinačné čísla majú veľké množstvo zaujímavých vlastností. Uvedieme aspoň nie-ktoré z nich.

Teoréma 3.12. Pre ľubovoľné prirodzené čísla n a k platí:(n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n+ 1

k + 1

).

Dôkaz. Tvrdenie je možné ľahko dokázať pomocou vyjadrenia(nk

)= nk/k! tak, že úpravou

vzťahu na ľavej strane dostaneme kombinačné číslo na pravej strane. My však dokážemetúto rovnosť pomocou množinovej interpretácie. Nech A je množina, ktorá má |A| = n+ 1a nech b ∈ A je pevný prvok. Množinu

(Ak+1

)rozložíme na dve časti B0 a B1: B0 bude

združovať (k+1)-podmnožiny, ktoré neobsahujú prvok b, naproti tomu B1 bude združovaťvšetky tie, ktoré prvok b obsahujú. Keďže každá množina v B0 je podmnožinou množinyA−{b}, dostávame |B0| =

(nk+1

). Každá množina v B1 zas určuje k-prvkovú podmnožinu

množiny A− {b}. Preto |B1| =(nk

). Odtiaľ(

n+ 1

k + 1

)=

(A

k + 1

)= |B0|+ |B1| =

(n

k + 1

)+

(n

k

).

Tento rekurentný vzťah je základom umiestnenia kombinačných čísel v rovine do tvarutrojuholníka, v ktorom je možné postupne vyčísľovať kombinačné čísla s použitím jedinéhofaktu, že

(n0

)=(nn

)= 1 pre každé n.

(00

)(10

) (11

)(20

) (n1

) (22

)(30

) (31

) (32

) (33

)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1


Príklad 3.6. Majme domino (variant známej spoločenskej hry), ktorého každý kameň jerozdelený na dve časti a na každej polovici je vyznačená jedna z hodnôt 0, 1, . . . , n; žiadnaz dvoch častí sa nedá odlíšiť ako prvá alebo druhá. Aká je pravdepodobnosť toho, že dvanáhodne vybrané kamene sa dajú k sebe priložiť, čiže obsahujú rovnakú hodnotu aspoňna jednej strane? (Poznamenajme, že bežné domino má n = 6.) Kameň, na ktorom súnapísané hodnoty i, j ∈∈ {0, 1, . . . , n}, môžeme jednoznačne zakódovať množinou {i, j}.Keďže sa môže stať, že i = j (takým kameňom sa hovorí dublety), máme 1 ≤ |{i, j}| ≤ 2.Celkový počet kameňov je teda

(n+11

)+(n+12

)=(n+22

), podľa teorémy 3.12. Špeciálne pre

n = 6 dostávame(82

)= 28. Počet všetkých možných výberov dvoch kameňov je potom

((n+22

)2

)=

1

2

(n+ 2

2

)((n+ 2

2

)− 1

).

Určíme teraz počet dvojíc kameňov, ktoré sa daju priložiť k sebe. Toto číslo je zhodné spočtom neusporiadaných dvojíc množín {i, j}, {k, l} ∈ P1 ({0, 1, . . . , n})∪P2 ({0, 1, . . . , n})takých, že {i, j} ∩ {k, l} 6= ∅. Pre každé i ∈ {0, 1, . . . , n} zistíme, aký je počet dvojíckameňov, ktoré majú spoločnú hodnotu i. Všimnime si, že okrem hodnoty i sa na týchtokameňoch objavujú ešte dve ďalšie hodnoty j a k, pričom j 6= k; môže sa však stať,že jedna z týchto hodnôt je totožná s i. Z tohto je jasné, že každú dvojicu kameňov sospoločnou hodnotou i môžeme jednoznačne reprezentovať dvojprvkovou množinou {j, k}.Takto dostávame

(n+12

)dvojíc kameňov so spoločnou hodnotou i. Vzhľadom na počet

výberov hodnoty i, dostávame (n+ 1)(n+12

)dvojíc kameňov domina, ktoré sa dajú priložiť

k sebe. Z toho vyplýva, že pravdepodobnosť javu, že pri náhodnom výbere dvojice kameňovje možné tieto kamene priložiť k sebe, je

(n+ 1)(n+12

)((n+22 )2

) =2(n+ 1)

(n+12

)(n+22

) ((n+22

)− 1) .

Pre bežné domino (n = 6) dostávame pravdepodobnosť 7/18 < 0,4.

Dôležitým výsledkom o kombinačných číslach je nasledujúca teoréma, ktorá vysvetľuje,prečo kombinačné čísla nazývajú aj binomické koeficienty.

Teoréma 3.13 (Binomická veta). Pre každé reálne číslo x a prirodzené číslo n platí

(1 + x)n =

n∑k=0

(n

k

)xk.

Dôkaz. Tvrdenie zrejme platí pre n = 0. Ďalej budeme postupovať indukciou vzhľadomna n. Ak predpokladáme platnosť tvrdenia pre nejaké n ≥ 0, tak použitím tvrdenia 3.12dostávame:


(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x)

=

( n∑k=0

(n

k

)xk)

(1 + x)

= 1 +

((n

0

)+

(n

1

))x+

((n

1

)+

(n

2

))x2 + . . .

+

((n

n− 1

)+

(n

n

))xn + xn+1

=

n+1∑k=0

(n+ 1

k

)xk

čo bolo treba dokázať.

Poznámka. Definíciu binomického koeficientu(n

k

)môžeme rozšíriť z prirodzeného čísla

n na ľubovoľné reálne číslo z, ak na základ jeho rozšírenia zoberieme teorému 3.11.Položme (

z

k

):=

zk

k!=z(z − 1) . . . (z − k + 1)

k!.

Pre takéto binomické koeficienty je možné dokázať analóg binomickej teorémy, ktorý vtomto prípade vyzerá takto:

Pre ľubovoľné z ∈ R a pre každé reálne číslo z také, že |x| < 1 platí

(1 + x)z =

∞∑k=0

(z

k

)xk.

Ak z ∈ N, tak všetky binomické koeficienty pre k > z sú nulové a dostávame opäťtvrdenie teorémy 3.13 (pre |x| < 1, čo nie je až také podstatné). Takáto rozšírená bino-mická teoréma je užitočná pri dokazovaní rozličných vlastností kombinačných čísel. Dôkazzovšeobecnenej binomickej teorémy presahuje rámec tohto textu.

Dôsledok 3.14. Platia tieto identity (n ≥ 1)

(a)n∑k=0

(n

k

)= 2n,

(b)n∑k=0

(−1)k(n

k

)= 0,

(c)∑

0≤k≤n,k párne

(n

k

)=

∑0≤k≤n,k nepárne

(n

k

)= 2n−1.


Dôkaz. Tvrdenie (a) dostaneme priamo z binomickej teorémy, ak položíme x = 1 a (b)dostaneme, ak položíme x = −1.

Jednu z rovností v (c) dostaneme, ak sčítame identity (a) a (b) a vydelíme dvoma,druhú rovnosť získame podobne odčítaním.

Identitu (a) môžeme ľahko dokázať aj kombinatorickou úvahou: na pravej strane máme2n, čo je |P(A)|, kde |A| = n. To isté číslo môžeme vyjadriť aj v tvare súčtu

|P(A)| =n∑k=0

|Pk(A)|.

Teoréma 3.15 (Cauchyho sčítací vzorec). Pre všetky prirodzené čísla m a n platí

k∑i=0

(m

i

)(n

k − i

)=

(m+ n

k

).

Dôkaz. Nech A1 a A2 sú disjunktné množiny, pričom |A1| = m a |A2| = n. PoložmeA = A1 ∪ A2. Nech X ⊆ A. Potom X ∩ A = X ∩ (A1 ∪ A2) == (X ∩ A1) ∪ (X ∩ A2).Označme Xi = X ∩ Ai, i = 1, 2, . . .. Potom X1 a X2 sú disjunktné podmnožiny A1 resp.A2 a X = X1 ∪X2.

Skúmajme zobrazenie

f : Pk(A)→ ∪ki=0(Pi(A1)× Pk−i(A2)),

x 7→ (x1, x2).

Keďže každú podmnožinu X možeme vyjadriť ako zjednotenie množiny X1 == X∩A1

s množinou X2 = X ∩A2, vidíme, že zobrazenie f je bijektívne. Z teorémy 3.11 a pravidla

súčinu vieme, že |Pi(A1)× Pk−i(A2)| =(m

i

)(n

k − i

).

Požitím pravidla súčtu napokon dostávame(m+ n

k

)= |Pk(A)| = | ∪ki=0 Pi(A1)× Pk−1(A2)| =

k∑i=0

(m

i

)(n

k − i

).

Tým je dôkaz skončený.

Poznámka. Tvrdenie 3.15 môžeme dokázať aj pomocou binomickej teorémy takto. Zrejmeplatí (1 + x)m+n = (1 + x)m(1 + x)n. Ak rozpíšeme pravú aj ľavú stranu tejto rovnostipodľa teorémy 3.13, dostáneme

m+n∑k=0

(m+ n

k

)xk =

(m∑i=0

(m

i

)xi

)(n∑j=0

(n

j

)xj

).

Súčty na pravej strane roznásobíme podľa distributívneho zákona a roztriedime podľamocnín premennej x. Zistíme, že pri xk sa vyskytuje koeficient

k∑i=0

(m

i

)(n

k − i

).


Na ľavej strane sa pri xk vyskytuje koeficient(m+ n

k

). Keďže dva mnohočleny sa

rovnajú práve vtedy, keď pri rovnakých mocninách premennej sa vyskytujú rovnaké ko-eficienty, musí platiť

k∑i=0

(m

i

)(n

k − i

)=

(m+ n

k

).

Rovnakou metódou je možné dokázať celý rad ďalších identít-vzťahov medzi kombinač-nými číslami. Čitateľ si môže sám vyskúšať, aká identita vyplýva zo vzťahu (1 + x)n+1 =

(1+x)n(1+x). Na záver tohto článku sa pozrieme na číslo(n

k

)ako na funkciu premennej

k pri pevnom n.

Teoréma 3.16. Pre každé prirodzené číslo n platí:

(a) ak n je párne, tak(n

0

)<

(n

1

)< · · · <

(n

n/2− 1

)<

(n

n/2

)>

(n

n/2 + 1

)> · · · >

(n

n

);

(b) ak n je nepárne, tak(n

0

)<

(n

1

)< · · · <

(n

(n− 1)/2

)=

(n

(n+ 1)/2

)> · · · >

(n

n− 1

)>

(n

n

).

Dôkaz. Skúmajme pomer (nk

)(nk−1) =

nk

k!

(k − 1)!

nk−1=n− k + 1

k.

Ľahko zistíme, že pre k ≤ n/2 je tento pomer väčší ako 1, a teda(n

k

)>

(n

k − 1

). Ak n

je nepárne, z rovnosti(n

k

)=

(n

n− k

)dostávame rovnosť

(n

(n− 1)/2

)=

=

(n

(n+ 1)/2

). Odtiaľ už vyplýva tvrdenie.

Z tohto tvrdenia vyplýva, že funkcia(n

k

)nadobúda svoju najväčšiu hodnotu v strede

celočíselneho intervalu 〈0, n〉, pričom ak n je párne, táto hodnota sa nadobúda raz, ak n

je nepárne – dvakrát. Po túto hodnotu funkcia(n

k

)rastie, od nej potom klesá.

3.6. KOMBINÁCIE S OPAKOVANÍM, POLYNOMICKÁ VETA 45

3.6 Kombinácie s opakovaním, permutácies opakovaním, polynomická veta

Najprv sa budeme venovať kombináciám s opakovaním. Z názvu týchto konfigurácií vy-plýva, že ide o konfigurácie, v ktorých sa nerozlišuje poradie, no prvky sa môžu opako-vať. Pri ich presnej definícii budeme vychádzať z variácií s opakovaním, teda zobrazení{1, 2, . . . , k} → A. Všimnime si najprv, že na množine A{1,2,...,k} všetkých variácií s opa-kovaním k-tej triedy v množine B môžeme zaviesť reláciu ekvivalencie R takto: Nechf, g ∈ A{1,2,...,k}. Položme fRg práve vtedy, keď |f−1({x})| = |g−1({x})| pre každý prvokx ∈ A.

Inými slovami, dve variácie s opakovaním budú ekvivalentné práve vtedy, keď v obochsa rovnaké prvky opakujú rovnaký počet krát.

Kombinácie s opakovaním k-tej triedy z m prvkov množiny A (kde |A| = m) definujemeako triedy ekvivalencie R na množine A{1,2,...,k}.

Ako príklad uvedieme vyššie definovanú ekvivalenciu R na množine{a, b}{1,2,3,4}. Triedy tejto ekvivalencie budú kombinácie s opakovaním štvrtej triedy vmnožine {a, b}. Variácie patriace do tej istej triedy rozkladu sú uvedené v tom istomstĺpci. Vnútri každej triedy sú variácie zobrazené lexikograficky. Variácie sú napísané akoslová-bez zátvoriek a čiarok.

aaaa aaab aabb abbb bbbbaaba abab babbabaa abba bbabbaaa baab bbba

bababbaa

Počet kombinácií s opakovaním štvrtej triedy z dvoch prvkov je teda 5.

Teoréma 3.17. Nech A je n-prvková množina a k prirodzené číslo. Potom počet všetkýchkombinácií s opakovaním k-tej triedy v množine A je(

n+ k − 1

k

).

Dôkaz. Kombinácie s opakovaním k-tej triedy v množine A sú prvky rozkladu množinyA{1,2,...,k} indukovaného reláciou ekvivalencie R popísanej vyššie. Bez ujmy na všeobec-nosti môžeme predpokladať, že A = {1, 2, . . . , n}. Z každej triedy ekvivalencie R, čiže kom-binácie s opakovaním, vyberieme slovo, ktoré je lexikograficky najmenšie (to znamená, žev ňom sú prvky množiny A zoradené podľa veĺkosti). S trochou nepresnosti budeme totoslovo stotožňovať so samotnou kombináciou s opakovaním. Nech c1c2 · · · ck je teda kombi-nácia s opakovaním k-tej triedy v množine A = {1, 2, . . . , n}, pričom c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ ck.Priraďme teraz tejto postupnosti novú postupnosť d1d2 · · · dk tak, že položíme

f(ci) = di = ci + i− 1, i = 1, 2, . . . , k.

Všimnime si, že di ∈ {1, 2, . . . , n + k − 1} a že d1 < d2 < . . . < dk, teda postupnosťd1d2 . . . dk reprezentuje kombináciu bez opakovania k-tej triedy z množiny {1, 2, . . . , n +k − 1}. Napríklad ak c1c2 . . . ck = 22233, tak d1d2 . . . dk = 23467.


Ľahko vidieť, že zobrazenie c1c2 . . . ck 7−→ d1d2 . . . dk je injektívne. Na druhej straneak {e1, e2, . . . ek} ⊆ {1, 2, . . . , n + k − 1} je kombinácia bez opakovania k-tej triedy, mô-žeme predpokladať, že e1 < e2 < . . . < ek. Postupnosti e1e2 . . . ek priradíme postupnosťh1h2 . . . hk takto:

hi = ei − i+ 1, i = 1, 2, . . . , k.

Ľahko vidno, že h1 ≤ h2 ≤ . . . ≤ hk a že hi ∈ {1, 2, . . . , n}. Teda h1h2 . . . hk je kombinácias opakovaním k-tej triedy z množiny A. Okrem toho, f(hi) = ei. Z uvedeného vyplýva, žezobrazenie

c1c2 . . . ck 7−→ d1d2 . . . dk

definuje bijekciu medzi kombináciami k-tej triedy s opakovaním v množine {1, 2, . . . , n} akombináciami bez opakovania k-tej triedy v množine {1, 2, . . . , n+ k− 1}. Hľadaný početkombinácií s opakovaním je preto (

n+ k − 1

k

).

Príklad 1. Uvažujme polynómy s viacerými premennými x1, x2, . . . , xn. Polynómy vy-tvárame z členov tvaru xαi1x

βi2. . . xγil , kde α > 0, β > 0, . . . , γ > 0, ktoré sa nazývajú

monómy. Stupeň monómu je číslo α+ β + . . .+ γ (v zápise automaticky predpokladáme,že i1, i2, . . . , il sú rôzne prvky množiny {1, 2, . . . , n}). Polynóm je tvaru

n∑l=0

∑i1<i2<...<il

ai1i2...ilx%i1xσi2 . . . x

τil

pričom koeficienty ai1i2...il sú nejaké čísla (môžu byť aj nuly) a % , σ, . . . , τ sú kladnéexponenty (v rôznych monómoch môžu byť rôzne). Poznamenávame, že vo vnútornej sumesčítame cez všetky kombinácie l-tej triedy z množiny {1, 2, . . . , n}.

Koľko je rozličných monómov stupňa k? Ak premenné x1, x2, . . . , xn medzi sebou ko-mutujú, tak na poradí nezáleží a exponent nad premennou vyjadruje počet opakovanípremennej v monóme – ide teda o kombinácie s opakovaním. Preto sa počet rôznych mo-nómov stupňa k rovná číslu (

n+ k − 1

k

).

Ak premenné medzi sebou nekomutujú, na poradí záleží, a potom máme dočinenia s va-riáciami s opakovaním. V tomto prípade je počet monómov nk.

Príklad 2. Turista chce z dovolenky poslať k priateľom pohľadnice. Má na výber n dru-hov pohladníc. Koľkými spôsobmi môže nakúpiť k pohladníc? Koľkými spôsobmi môženakúpené pohľadnice poslať?

Je očividné, že nakúpené pohľadnice tvoria neusporiadaný súbor a že môžeme z jednéhodruhu kúpiť viacero kusov pohľadníc (ak k > n, zrejme ani inú možnosť nemá). Súborypohľadníc preto tvoria kombinácie s opakovaním. To znamená, že na nákup má(

n+ k − 1

k

)

3.6. KOMBINÁCIE S OPAKOVANÍM, POLYNOMICKÁ VETA 47

možností.Koľkými spôsobmi môže pohľadnice poslať? Keby boli všetky pohľadnice navzájom

rôzne, tak pohľadnice sa dajú rozoslať k! spôsobmi, lebo rozoslanie predstavuje bijekciumedzi rôznymi druhmi pohľadníc a ich adresátmi. Ak je však z nejakého druhu viac po-hľadníc, tieto sú medzi sebou zameniteľné. Predpokladajme, že v nakúpenom súbore je kipohľadníc i-teho druhu, i = 1, 2, . . . . . . , n (ki ≥ 0). Dve bijekcie z množiny nakúpenýchpohľadníc do množiny priateľov budeme považovať za ekvivalentné, ak v obidvoch ten istýadresát dostane ten istý druh pohľadnice. Ak uvažujeme ľubovoľnú pevnú bijekciu, zá-menou pohľadníc v i-tom druhu dostaneme z nej ki! ekvivaletných bijekcií. Tieto zámenymôžeme vykonať nezávisle v každom druhu. Podľa pravidla súčinu dostávame, že každátrieda ekvivalencie má k1!k2! . . . kn! prvkov. Počet spôsobov rozoslania pohľadníc je teda

k!

k1!k2! . . . kn!.

V predchádzajúcom príklade sme skúmali vlastne takúto všeobecnú situáciu. Mámedve množiny A (pohľadnice) a B (priatelia), pričom |A| = k = |B|. Množina A je roz-ložená na množiny A1, A2, . . . , An s mohutnosťami |Ai| = ki. V tomto mieste môžemetrocha porušiť definíciu rozkladu v tom, že pripustíme medzi množinami A1, A2, . . . , Anaj prázdne množiny. Skúmame teraz bijekcie A → B, pričom dve bijekcie f a g budemepovažovať za ekvivalentné, ak pre každý prvok y ∈ B existuje index i ∈ {1, 2, . . . , n} taký,že obidva prvky f−1 aj g−1 patria do tej istej množiny Ai. (V reči predchádzajúceho prí-kladu: každý adresát y dostal pri rozosielke f aj pri rozosielke g pohľadnicu toho istéhodruhu – hoci možno nie tú istú). Táto vlastnosť sa dá vyjadriť aj ináč. Nechp : A→ {A1, A2, . . . , An} je projekcia množiny na svoj rozklad; to znamená, že pre ľubo-voľný prvok a ∈ A platí p(a) = Ai práve vtedy, keď a ∈ Ai. Potom f aj g sú ekvivalentnévtedy a len vtedy, keď pf−1 = pg−1. Triedy ekvivalencie týchto bijekcií sa nazývajú per-mutáciami s opakovaním z k1 prvkov prvého druhu, k2 prvkov druhého druhu, . . ., knprvkov n-tého druhu. Úvahou v predchádzajúcom príklade sme ukázali, že počet takýchtopermutácií s opakovaním je

k!

k1!k2! . . . kn!.

Tá istá hodnota sa objavuje aj ako počet iných konfigurácií.

Tvrdenie 3.18. Nech A a B sú konečné množiny, kde |A| = n a |B| = k. Nech B ={b1, b2, . . . , bk}. Potom počet zobrazení f : A → B takých, že pre každý prvok bi platí|f−1({bi})| = ni, kde ni sú zadané nezáporné celé čísla so súčtom n1 + n2 + . . .+ nk = n,sa rovná

n!

n1!n2! . . . nk!.

Dôkaz. Nech (ai1 , ai2 , . . . , ain) je ľubovoľná permutácia množiny A zakódovaná ako uspo-riadanie. Definujme zobrazenie A→ B tak, že prvých n1 prvkov množiny A pošleme na b1,druhých n2 prvkov na b2 atď. Prvých n1 prvkov môžeme však ľubovoľne spermutovať azobrazenie sa nezmení. Nezávisle môžeme permutovať aj ďalšie skupiny. Z toho dostaneme,že k1!k2! . . . kn! permutácií dáva to isté zobrazenie. Je tiež zrejmé, že každé zobrazenie také,


že |f−1({bi})| == mi pre každý prvok bi ∈ B, vznikne hore uvedeným spôsobom. Preto

počet týchto zobrazení jen!

n1!n2! . . . nk!.

Číslan!

n1!n2! . . . nk!sa zvyknú označovať

(n

n1, n2, . . . , nk

)a nazývať polynomické ko-

eficienty. Ak k = 2, tak (n

n1, n2

)=

(n

n1

)=

(n

n− n1

)=

(n

n2

),

čiže polynomické koeficienty sú prirodzeným zovšeobecnením binomických koeficientov.Vysvetlenie názvu týchto čísel poskytuje nasledujúci výsledok.

Teoréma 3.19 (Polynomická veta). Nech n a k sú kladné prirodzené čísla. Potom

(x1 + x2 + . . .+ xk)n =∑

n1,n2,...,nk

(n

n1, n2, . . . , nk

)xn11 xn2

2 . . . xnk

k , ni ≥ 0

pričom sčítame cez všetky usporiadané n-tice prirodzených čísel (n1, n2, . . . , nk), pre ktorén1 + n2 + . . .+ nk = n.

Dôkaz. Vynásobme n činiteľov (x1 +x2 + . . .+xk) a združme rovnaké monómy. Koeficientpri xn1

1 xn22 . . . xnk

k je pritom počet spôsobov, ktorými sa tento monóm pri vynásobení získa.ZrejmeM = xn1

1 xn22 . . . xnk

k vznikne vždy, keď x1 vyberieme z n1činiteľov, x2 z n2 činiteľovatď. Inými slovami, výraz M zodpovedá zobrazeniu z množiny n činiteľov do množinyx1, x2, . . . , xk pričom n1 činiteľov je zobrazených na x1, n2 činiteľov na x2 atď. Počettakýchto zobrazení je podľa tvrdenia 2.18

n!

n1!n2! . . . nk!=

(n

n1, n2, . . . , nk

).

Poznámka. Ľahko sa nahliadne,že(n

n1, n2, . . . , nk

)=

(n

n1

)(n− n1n2

). . .

(n− n1 − n2 − . . .− nk−1

nk

).

Táto rovnosť zodpovedá skutočnosti, že počet spôsobov, ktorými vznikne monóm xn11 xn2

2 . . . xnk

k ,sa dá popísať aj takto: najprv vyberieme x1 z n1 členov (x1 + x2 + . . .+ xn) , čo môžemeurobiť

(nn1

)spôsobmi. Potom vyberieme x2 z n2 spomedzi zvyšných n − n1 členov, čo

môžeme urobiť(n−n1

n2

)spôsobmi, atď. kým nevyberieme aj xk z nk spomedzi ostávajúcich

n − n1 − n2 . . . − nk−1 členov, čo môžeme urobiť(n− n1 − n2 − . . .− nk−1

nk

)spôsobmi.

Toto vyjadrenie nie je jednoznačné, keďže poradie čísel n1, n2 . . . nk môžeme ľubovoľnemeniť.

3.7. PRINCÍP ZAPOJENIA A VYPOJENIA 49

3.7 Princíp zapojenia a vypojenia

Začneme jednoduchou otázkou. Ak sú dané dve konečné množiny A a B, ako vypočítamepočet prvkov ich zjednotenia? Odpoveď je očividná: od súčtu mohutností množín A a Bmusíme odrátať mohutnosť ich prieniku. Inými slovami,

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Pre tri množiny je odpoveď podobná:

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.

To znamená, že najprv „zapojíme“ prvky jednotlivých množín, potom „vypojíme“ prvkyprienikov dvojíc množín a napokon opäť „zapojíme“ prvky prieniku všetkých troch mno-žín. (Čitateľovi odporúčame presvedčiť sa o platnosti tohto vzťahu s pomocou Vennovhodiagramu pre tri prenikajúce sa množiny.)

Princíp zapojenia a vypojenia (alebo inklúzie a exklúzie) je ďalekosiahlym zavšeobec-nením vyššie uvedených vzťahov pre dve a tri množiny.

Nech M1,M2, . . . ,Mn sú konečné množiny. Pre ľubovoľné prirodzené číslo k také, že0 ≤ k ≤ n položme

Sk =∑

i1<i2<...<ik

|Mi1 ∩Mi2 ∩ . . . ∩Mik |,

pričom súčet prebieha cez všetky kombinácie {i1, i2, . . . , ik} z indexov {1, 2, . . . , n}. Prek = 0 dostávame prienik množínMi z prázdnej množiny indexov, čo podľa dohody z prvejkapitoly je univerzum – základná množina X, v ktorej vedieme všetky úvahy o množináchM1,M2, . . . ,Mn. Preto

S0 = |X|.

Teoréma 3.20 (Princíp zapojenia a vypojenia). Nech M1,M2, . . . ,Mn sú konečné mno-žiny. Potom

|M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn| =

n∑k=1

(−1)k+1∑

i1<i2<...<ik

|Mi1 ∩Mi2 ∩ . . . ∩Mik | =

=n∑k=1

(−1)k+1Sk

Dôkaz. Nech x je ľubovoľný prvok z množiny M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn. Zaveďme označenie

Jx = {i; x ∈Mi}.

Aby sme ukázali, že pravá a ľavá strana rovnosti predstavujú to isté číslo, všimnime si,že prvok x je na ľavej strane zarátaný iba raz. Ak totiž preberáme prvky množiny M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn, na x naďabíme len raz. Koľkokrát je započítaný na pravej strane?

Predpokladajme, že prvok x patrí do pmnožínMi; to znamená, že Jx == {j1, j2, . . . , jp} ⊆{1, 2, . . . , n}. Z toho vyplýva, že v S1 je prvok x zarátaný p =

(p1

)-krát, totiž raz v každom

sčítanci |Mj1 |, |Mj2 |, . . . , |Mjp |. V S2 je x zarátaný(p2

)-krát, raz za každý sčítanec tvaru


|Mji ∩Mj2 |. Všeobecne – prvok x je zarátaný v Si(pi

)-krát. Celkove je teda prvok x na

pravej strane započítaný toľkokrát:

n∑k=1

(−1)k+1

(p

k

)= −

n∑k=1

(−1)k(p

k

)=

(p

0

)−(p

0

)−

n∑k=1

(−1)k(p

k

)=

=

(p

0

)−

n∑k=0

(−1)k(p

k

)=

(n

0

)−

p∑k=0

(−1)k(p

k

).

Podľa dôsledku 2.14(b) dostávame(p

0

)−

p∑k=0

(−1)k(p

k

)= 1− 0 = 1,

čiže prvok x je aj na pravej strane zarátaný práve raz. To dokazuje našu teorému.

Poznámka. Teorému 2.20 môžeme ľahko dokázať aj matematickou indukciou. Najprvsa presvedčíme o platnosti vzťahu pre dve množiny M1 a M2. Nech je vzťah platný pren ≥ 2 množín. Zoberme teraz n + 1 množín M1,M2, . . . ,Mn,Mn+1. Na hľadaný počet|M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn ∪Mn+1| použime vzťah pre dve množiny:

|M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn ∪Mn+1| = |(M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn) ∪Mn+1| =

=

∣∣∣∣ n⋃k=1

Mk

∣∣∣∣+ |Mn+1| −∣∣∣∣( n⋃

k=1

Mk

)∩Mn+1

∣∣∣∣.Na tretí sčítanec aplikujeme distributívny zákon, čím dostaneme∣∣∣∣( n⋃

k=1

Mk

)∩Mn+1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ n⋃k=1

(Mk ∩Mn+1)

∣∣∣∣.Potom použijeme indukčný predpoklad na prvý a tretí sčítanec, keďže v obidvoch výrazochvystupuje už zjednotenie n množín. Po úprave dostaneme požadovaný vzťah pre n + 1.Podrobnosti prenechávame na čitateľa.

Predpokladajme teraz, že množiny M1,M2, . . . ,Mn sú podmnožinami nejakej koneč-nej množiny X. Aký počet má komplement množiny M1 ∪M2 ∪ ∪ . . . ∪Mn v univerzeX?

Počítajme

|X − (M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn)| = |X| − |M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn|

= |X| −n∑k=1

(−1)k+1 Sk = |X|+n∑k=1

(−1)k Sk

=

n∑k=0

(−1)k Sk.

Tým sa dostali k nasledujúcemu výsledku:


Dôsledok 3.21. Nech M1,M2, . . . ,Mn sú podmnožiny konečnej množiny X a nech M ′i

je komplement množiny M i v univerze X, i = 1, 2, . . . , n. Potom

|M ′1 ∩M ′

2 ∩ . . . ∩M ′n| =

n∑k=0

(−1)k Sk

Dôkaz. Výsledok vyplýva z predchádzajúceho výpočtu a z jedného z de Morganovýchzákonov.

Predchádzajúci výsledok je základom najpoužívanejšej formy princípu zapojenia a vy-pojenia, ktorú teraz opíšeme.

Majme nejakú základnú množinu X, pričom |X| = N a nech α1, α2, . . . , αn sú nejakévlastnosti, ktoré prvky množiny môžu, no nemusia mať. NechNαi1αi2 . . . αik je počet prvkov množiny X, ktoré majú každú z vlastností αi1 , αi2 , . . . , αik(a prípadne aj iné vlastnosti, no tie nás nezaujímajú). Nech N(0) = Nα′1α

′2 . . . α

′n označuje

počet prvkov množiny X, ktoré nemajú žiadnu z vlastností α1, α2, . . . , αn. Naším cieľomje vypočítať N(0).

PoložmeM i = {x ∈X; x má vlastnosť αi}.

Potom|M i1 ∩M i2 ∩ . . . ∩M ik | = Nαi1αi2 . . . αik ,

pričom prienik množín M i z prázdnej množiny indexov dáva∣∣∣∣⋃i∈∅

M i

∣∣∣∣ = |X| = N

a|M ′

1 ∩M ′2 ∩ . . . ∩M ′

n| = Nα′1α′2 . . . α

′n = N(0).

Z predchádzajúceho dôsledku dostávame

Dôsledok 3.22. V N -prvkovej množine nech každý prvok má alebo nemá niektoré z vlast-ností α1, α2, . . . , αn. Nech Nαi1αi2 . . . αik označuje počet prvkov, ktoré majú každú z vlast-ností αi1 , αi2 , . . . , αik prípadne aj nejaké iné. Nech N(0) = Nα′1α

′2 . . . α

′n označuje počet

prvkov uvažovanej množiny, ktoré nemajú žiadnu z vlastností α1, α2, . . . , αn. Potom

N(0) =

n∑k=0

(−1)kSk =

n∑k=0

(−1)k∑

i1<i2<...<ik

Nαi1αi2 . . . αik . �

Poznámka. Existuje praktický spôsob ako si môžeme ľahko zapamätať predchádzajúcivzorec ako aj množstvo podobných vzťahov. Predpokladajme, že chceme určiť počet prv-kov, ktoré majú vlastnosti αi1 , αi2 , . . . , αir a nemajú vlastnosti αj1 , αj2 , . . . , αjs . Priro-dzene predpokladáme, že {i1, i2, . . . , ir, j1, j2, . . . , js} ⊆ {1, 2, . . . , n} a že všetky uvažovanévlastnosti sú navzájom rôzne. Potom hľadaný počet získame formálnym rozvojom výrazu

Nαi1αi2 . . . αir (1− αj1)(1− αj2) . . . (1− αjs)


podľa distributívneho zákona, pričom kladieme N.1 = N , N.αi = Nαi a podobne. Naprí-klad počet prvkov, ktoré majú vlastnosť α1 a nemajú ani vlastnosť α2 ani α3 je

Nα1(1− α2)(1− α3) = Nα1(1− α2 − α3 + α2α3) =

= Nα1 −Nα1α2 −Nα1α3 +Nα1α2α3.

špeciálneN(0) = Nα′1α

′2 . . . α

′n = N(1− α1)(1− α2) . . . (1− αn)

Rozvinutím posledného výrazu dostávame napokon vzťah z dôsledku 3.22,

N(1− α1)(1− α2) . . . (1− αn) =

n∑k=0

(−1)k∑

i1<i2<...<ik

Nαi1αi2 . . . αik ,

o čom sa ľahko presvedčíme matematickou indukciou.

V predchádzajúcom dôsledku sme určili početN(0) všetkých spomedziN prvkov, ktorénemajú žiadnu z uvažovaných vlastností. Tento výsledok je možné zovšeobecniť – dá satotiž určiť aj počet N(r) všetkých prvkov, ktoré majú práve r vlastnosti, ako aj početN(≥ r) všetkých prvkov, ktoré majú aspoň r vlastností:

N(r) =

n∑k=r

(−1)k−r(k

r

)Sk

N(≥ r) =

n∑k=r

(k − 1

r − 1

)Sk.

Dôkaz týchto vzťahov presahuje rámec tohto úvodného textu.Niekedy je tieto súčty namáhavé presne vypočítať (čo býva pravidlom pri súčtoch so

striedavými znamienkami), preto sa vtedy musíme uspokojiť s približnými hodnotami.Namiesto úplného súčtu

N(r) =

n∑k=r

(−1)k−r(k

r

)Sk

s hornou hranicou sčítania n uvažujeme len súčet

N(r)s =

r+s∑k=r

(−1)k−r(k

r

)Sk

prvých s členov úplného súčtu. Tieto oscilujú okolo hľadanej hodnoty N(r), pričom ak sje nepárne, čiastočný súčet je pod hľadanou hodnotou:

N(r)s ≤ N(r).

Ak s je párne, čiastočný súčet je nad hľadanou hodnotou:

N(r)s ≥ N(r).

Tieto vzťahy a odhady, známe ako Bonferroniho nerovnosti, nachádzajú svoje praktickéuplatnenie pri vyčíslení pravdepodobností rozličných javov. Ich dôkazy však presahujúrámec tohto textu, a preto ich vynechávame.


Príklad 3. Skupina N pánov sa má zúčastniť večierka. Hostiteľ vyžaduje od účastníkovformálny odev – frak a tvrdý čierny klobúk. Pred vstupom do sály páni odovzdajú svojeklobúky v šatni. Večierok prebehne veľmi úspešne a páni pri svojom odchode nie sú schopnírozoznať svoje klobúky. Aká je pravdepobodnosť toho, že žiaden pán si nezoberie vlastnýklobúk?

Ak pánov aj ich klobúky očíslujeme 1, 2, . . . , N , tak rozmiestnenie klobúkov na hlavepredstavuje permutáciu množiny {1, 2, . . . , N}. Naším cieľom je najprv určiť počet DN

permutácií, ktoré nenechávajú žiaden prvok na mieste. Počet permutácií, ktoré nechávajúna mieste k-prvkovú podmnožinu {i1, i2, . . . , ik} je (N −k)!. S použitím vyššie zavedenýchoznačení dostaneme

Sk =

(N

k

)(N − k)!,

odkiaľ zisťujme, že hľadaný počet permutácií je

DN = N(0) =

N∑k=0

(−1)kSk =

N∑k=0

(−1)k(N

k

)(N − k)! =

=

N∑k=0

(−1)kN !

k!(N − k)!(N − k)! = N !

N∑k=0

(−1)k

k!

Keďže všetkých permutácií N prvkov je N !, pravdepodobnosť toho, že žiaden pán nemána hlave svoj klobúk je

N !N∑k=0

(−1)k

k!

N !=

N∑k=0

(−1)k

k!.

Z matematickej analýzy poznáme Taylorov rozvoj funkcie ex, ktorý dáva vzťah

ex =

∞∑k=0

xk

k!,

Pre x = −1 dostávame rovnosť

e−1 =

∞∑k=0

(−1)k

k!,

z čoho vidno, že nami určená pravdepodobnosť je N -ty čiastočný súčet tohto rozvoja číslae−1. Ak je číslo N dostatočne veľké, tak hľadaná pravdepodobnosť je približne 1/e – o čosiviac ako 1/3.

Na záver uvedieme ešte dve aplikácie princípu zapojenia a vypojenia. Ich dôkaz pone-cháme na čitateľovi.

Dôsledok 3.23. Počet surjektívnych zobrazení f : A→ B, kde |A| = n a |B| == m, je

SAB =

m∑k=0

(−1)k(m

k

)(m− k)n. �


Dôsledok 3.24. Nech ϕ(n) označuje počet kladných prirodzených čísel menších ako pri-rodzené číslo n > 1 a nesúdeliteľných s n. Nech n = pα1

1 pα22 . . . pαr

r je kánonický rozkladčísla n na súčin mocnín rôznych prvočísiel p1, p2, . . . , pr. Potom

ϕ(n) = n

(1− 1

p1

)(1− 1

p2

). . .

(1− 1

pr

). �

Index

axioma zjednotenia, 7

báza indukcie, 32

charakteristická funkcia, 20

dichotómia, 17Dirichletov princíp, 33

enumeračné pravidlá, 34neusporiadané konfigurácie, 34usporiadané konfigurácie, 34

graf, 13

holubníkový princíp, 33

indukčný krok, 32

koobor, 13

metódadiagonálna, 24

množinalexikologické usporiadanie, 18mohutnosť, 22nekonečne spočítateľna, 23nespočítateľná, 23totálne usporiadaná, 17úplne usporiadaná, 17

množinydoplnok(komplement, 7rozdiel, 8

orientované hrany, 13

podmnožina, 6vlastná, 6

postupnosť v množine, 23binárna, 23

prienik, 7

reláciebinárne, 13

graf, 13kompozícia, 14n-árne, 13

univerzum, 7

variácie, 36bez opakovania, 38s opakovaním, 37

vetapolynomická, 48Princíp zapojenia a vypojenia, 49Cantorova, 28Cantorova-Bernsteinova, 27Cauchyho sčítací vzorec, 43pravidlo súčinu, 35

zovšeobecnené, 39pravidlo súčtu, 35

yúženie zobrazenia, 20

číslokardinálne, 25

55

Documents

Množiny Kombinatorika Logické funkcie Teória grafovrajnik/uktg/skriptaMKLFTG.pdf · Množiny Kombinatorika