FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2015/10/Taks123R.pdf · a b c R D E J Kosinusni izrek: a b c bc2 2 2 2 cosD 3. Površine in prostornine geometrijskih teles

© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.

FORMULE

1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija

● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y

● Linearna funkcija: ( )f x kx n ● Smerni koeficient: 2 1

2 1

y yk

x x

● Naklonski kot premice: tank ● Kot med premicama: 2 1

1 2

tan1

k k

k k

2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S)

● Trikotnik: 1 sin2 2

cc vS ab

( )( )( )s s a s b s c ,

2a b c

s

● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga: 4abc

RS

, Sr

s , 2

a b cs

● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3

, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R

● Deltoid, romb: 2

e fS

● Romb: 2 sinS a

● Paralelogram: sinS ab ● Trapez: 2

a cS v

● Dolžina krožnega loka: 180

rl

● Ploščina krožnega izseka:

2

360r

S

● Sinusni izrek: 2sin sin sin

a b cR

● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc

3. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve)

● Prizma: 2 plP S S , V S v

● Piramida: plP S S , 13

V S v

● Krogla: 24P r , 34

3r

V

● Valj: 22 2P r rv , 2V r v

● Stožec:

2P r rs , 213

V r v

4. Kotne funkcije

● 2 2sin cos 1

● sintancos

● cos( ) cos cos sin sin

● sin( ) sin cos cos sin

● 2

2

11 tancos

● sin2 2sin cos

● 2 2cos2 cos sin

5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba

● 2( )f x ax bx c Teme: ( , )T p q ,

2b

pa

, 4D

qa

● 2 0ax bx c Ničli: 1,2 2

b Dx

a

, 2 4D b ac



6. Logaritmi

● log xa y x a y ● log logn

a ax n x

● log ( ) log loga a ax y x y ● log

loglog

ab

a

xx

b

● log log loga a ax

x yy

7. Zaporedja

● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d , 1(2 ( 1) )2nn

s a n d

● Geometrijsko zaporedje: 1

1n

na a q , 1

1

1

n

n

qs a

q

● Navadno obrestovanje: 0nG G o , 0

100

G n po

● Obrestno obrestovanje: 0n

nG G r , 1100

pr

8. Obdelava podatkov (statistika)

● Srednja vrednost (aritmetična sredina): 1 2 ... nx x xx

n

1 1 2 2

1 2

...

...k k

k

f x f x f xx

f f f

9. Odvod

● Odvodi nekaterih elementarnih funkcij:

1

2

( ) , ( )

( ) sin , ( ) cos

( ) cos , ( ) sin

1( ) tan , ( )cos

1( ) ln , ( )

( ) , ( )

n n

x x

f x x f x nx

f x x f x x

f x x f x x

f x x f xx

f x x f xx

f x e f x e

● Pravila za odvajanje:

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

k f x k f x

f x f x g x f x g x

g x g x

f g x f g x g x

10. Kombinatorika in verjetnostni račun

● Permutacije brez ponavljanja: !nP n

● Variacije brez ponavljanja: !( )!

rn

nV

n r

● Variacije s ponavljanjem: ( )p r r

nV n

● Kombinacije brez ponavljanja: !! !( )!

rr nn

V n nCrr r n r

● Verjetnost slučajnega dogodka A : število ugodnih izidov

število vseh izidovm

P An


1. Špela je na pravokotni svileni šal naslikala zaporedje enakokrakih trikotnikov, kot kaže skica. Trikotniki imajo višino enako dolžini osnovnice. Osnovnice trikotnikov so na spodnjem robu šala, prvi trikotnik zaporedja ima levo oglišče v levem spodnjem kotu šala.

1.1. Izračunajte ploščino petega trikotnika zaporedja.

(4 točke) 1.2. Izračunajte obseg petega trikotnika zaporedja.

(5 točk) 1.3. Koliko trikotnikov zaporedja lahko Špela nariše na šal, ki je dolg 1 m?

(6 točk)

Rešitev Naloga

Točke Rešitev Dodatna navodila

1.1 1 ugotovitev, da osnovnica petega trikotnika meri 5 cm

1 ugotovitev, da višina petega trikotnika meri 5 cm

2 izračun ploščine petega trikotnika, npr.:

5 5 1122 2

S

cm2

1* + 1

Skupaj 4

Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila

1.2 1 uporaba Pitagorovega izreka

2 izračun dolžine kraka petega trikotnika, npr.:

2

2 55 5,592

a cm.

1* + 1

2 izračun obsega petega trikotnika, npr.:

2 5,59 5 16,18o cm

1* + 1

Skupaj 5


1.3 2 ugotovitev, da dolžine osnovnic trikotnikov

sestavljajo aritmetično zaporedje na n

1 + 1

2 ugotovitev, da je vsota dolžin osnovnic m narisanih

trikotnikov manjša od 100, npr.:

1 + 1

1 cm

1 cm

Prvi trikotnik

Drugi trikotnik

Tretji trikotnik

Četrti trikotnik

Peti trikotnik


2 1 1 1 1002mm

S m

1 rešitev neenačbe, npr.: 14m

1 odgovor, npr.: Špela lahko na šal nariše 13 trikotnikov.

Skupaj 6 Kandidat dobi 6 točk, če kot odgovor navede katero koli število trikotnikov manjše ali enako 13 in odgovor ustrezno utemelji.

2. Trgovec ima 8 kg kave po 900 tolarjev. Koliko kilogramov kave po 1500 tolarjev mora primešati, da bo mešanica po 1350 tolarjev?

(5 točk)

Rešitev 2. Skupaj 5 točk

Nastavitev enačbe, npr.: (8 )1350 8 900 1500x x ............................................. 2 točki

Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka

Rešitev, npr.: 24x .................................................................................................. 1 točka

Odgovor: Primešati mora 24 kg kave ......................................................................... 1 točka Opomba: Če kandidat pride do pravilne rešitve s sistematičnim poskušanjem, lahko dobi vse

točke.

3. V ogradi so ovce in noji. Koliko ovac in koliko nojev je v ogradi, če smo našteli skupaj 54 glav in 156 nog?

(5 točk)


Nastavitev enačb, npr.: 54, 4 2 156x y x y ........................................... (1 + 1) 2 točki

Reševanje ................................................................................................................. 1* točka

Rešitev, npr.: 24, y=30 x ....................................................................................... 1 točka

Odgovor: Ovac je 24, nojev 30. .................................................................................. 1 točka

Opombe: 1. Če je vidno sistematično poskušanje, ki je vodilo do pravilnega rezultata in odgovora, dobi kandidat vse točke.

2. Če je rezultat uganjen in preverjen, dobi kandidat največ 3 točke. 3. Če je napisan le pravilen rezultat oz. odgovor brez preverjanja, dobi kandidat 1 točko.

4. Pravilna šeststrana prizma ima dolžino osnovnega roba 6 cm, visoka pa je 8 cm. Prizmo so prevrtali skozi središči osnovnih ploskev. Premer valjaste odprtine je 2 cm.

4.1. Narišite skico prvotne prizme in izračunajte površino te prizme.

(5 točk) 4.2. Izračunajte prostornino prvotne prizme.

(5 točk) 4.3. Za koliko odstotkov je prostornina prevrtanega telesa manjša od prostornine

prvotnega telesa?


(5 točk)


4.1. (5 točk)

Skica ........................................................................................................................... 1 točka

Postopek, npr.: 26 3

2 64

aP av ........................................................................... 2* točki

Vstavljeni podatki in izračun:

2 2 2475,061 cm 475,06 cm (ali 475 cm )P ................................................. (1 + 1) 2 točki

4.2. (4 točke)

Postopek, npr.: 23 32prizme

a vV in vstavljeni podatki ....................................... (1 + 1)2 točki

Izračunana prostornina 3 3432 3 cm ( 748,246 cm )prizmeV ...................... (1* + 1) 2 točki

4.3. (6 točk)

Prostornina valja: 2 325,13 cmvV r v ....................................................... (1* + 1) 2 točki

Razmerje: 25,13

0,03358748,25

p ................................................................. (2* + 1) 3 točke

Odgovor: Za 3,36% . ................................................................................................... 1 točka

5. Izračunajte dolžino žice, ki jo potrebujemo za izdelavo žičnega modela kocke z eno telesno

diagonalo, če meri rob kocke 10 cm. Narišite skico kocke.

(5 točk)


Skica ........................................................................................................................... 1 točka


Upoštevani robovi, npr.: 12l a .............................................................................. 1 točka

Diagonala: 3 17,3 cmD a ...................................................................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 137,3 cm ...................................................................................................... 1 točka

6. Dan je enakokraki trapez ABCD z osnovnicama 10 cm, = = 6 cmAB a CD c in kotom

o 60DAB .

6.1. Narišite skico trapeza in izračunajte njegovo ploščino.

(5 točk) 6.2. Izračunajte dolžino diagonale .BD

(3 točke)

6.3. Izračunajte površino in prostornino pokončne 5 cm visoke prizme, ki ima

za osnovno ploskev dani trapez.

(7 točk)


6.1. (5 točk)

vb

a

a

c

b

A BE

D C

Skica trapeza .............................................................................................................. 1 točka

Določena višina trapeza, npr.: tan 2 3 3,46 cm2Tr

a cv

............... (1* + 1) 2 točki

Izračunana ploščina: 216 3 27,71 cm2 Tr

a cS v

............................... (1* + 1) 2 točki

6.2. (3 točke)


Izračunana diagonala, npr.: 2 2 2| | | | | | 76

| | 8,72 cm

BD ED EB

BD

......................................................................... (1* + 2) 3 točke

6.3. (7 točk)

Izračunan krak, npr.: | | | | 4 cm2cos

a cAD BC b

............................... (1* + 1) 2 točki

Prostornina prizme: 380 3 138,56 cmV O v ...................................... (1* + 1) 2 točki

Površina prizme: 22 2 2 16 3 24 5 175,43 cmPP O pl O o v ...................... (2* + 1) 3 točke

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu ne napiše ustreznih enot, izgubi v celoti 1 točko.

7. Dani sta funkciji 3( ) logf x x in ( ) 4.g x x Narišite grafa obeh funkcij v istem koordinatnem

sistemu. S slike odčitajte koordinati njunega presečišča. Rešitev preverite z računom.

(5 točk)

x0 1

1

y


Narisan graf logaritemske funkcije ................................................................. (1* + 1) 2 točki

Narisana premica ....................................................................................................... 1 točka


x

1

0 1

y

P

Določeno presečišče: 3,1P ..................................................................................... 1 točka

Račun, npr.: 33 log 3 1f in 3 3 4 1g ..................................................... 1 točka

8. Dan je trikotnik ABC s stranicami: 9 cm, 12 cm, 15 cm.a b c

8.1. Izračunajte obseg in ploščino trikotnika.

(4 točke) 8.2. Izračunajte največji notranji kot trikotnika.

(4 točke) 8.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, ki ima za osnovno ploskev dani trikotnik,

višina pa je enaka polmeru trikotniku očrtanega kroga.

(7 točk)


8.1. (4 točke)

Obseg trikotnika: 36 cmo ........................................................................................ 1 točka

Ploščina trikotnika,

npr.: uporaba Heronove formule: 254 cmS ................................................ (2* + 1) 3 točke

8.2. (4 točke)

Izračunan kot o90 .................................................................................... (3* + 1) 4 točke

8.3. (7 točk)

Izračunan polmer: 7,5 cmR ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina: 3405 cmV ............................................................ (1* + 1) 2 točki

Površina prizme: 2378 cmP ...................................................................... (1* + 2) 3 točke

Opomba: Če v končnih rešitvah ni enot ali so napačne, kandidat (v celoti) zgubi največ 2 točki.

9. V koordinatnem sistemu narišite premici z enačbama 3 1 0x y in 4y .Izračunajte

koordinati njunega presečišča.


(5 točk)

1

1

0 x

y


Narisana prva premica .................................................................................. (1*+1) 2 točki

Narisana druga premica .......................................................................................... 1 točka

Nastavljena enačba, npr.: 3 1 4x ali

ugotovitev 4py ................................................................................................... 1 točka

Določena abscisa presečišča 1px ali

zapisano presečišče 1,4P .................................................................................... 1 točka


1

1

0x

P

y

Opomba: Če je presečišče samo odčitano s slike, dobi kandidat 1 točko od zadnjih dveh.

10. V trikotniku ABC s stranico 6 cmc je razmerje kotov : : 2 : 3 : 4 .

10.1. Izračunajte velikosti notranjih kotov trikotnika.

(5 točk)

10.2. Izračunajte dolžini stranic a in b ter ploščino trikotnika.

(7 točk) 10.3. Izračunajte prostornino prizme, če je njena osnovna ploskev trikotnik ABC ,

višina pa meri 6 cm .

(3 točke)


10.1. (5 točk)

Zapis razmerja, npr.: 2 , 3 , 4t t t ............................................................. 1 točka

Nastavitev enačbe, npr.: 2 3 4 180t t t ......................................................... 1* točka

Rešitev enačbe, npr.: o20t .. ............................................................................... 1 točka

Koti: o o o40 , 60 , 80 ..................................................................... (1*+1) 2 točki

10.2. (7 točk)

Uporaba sinusnega izreka, npr.: sin sina c ................................................. 1 točka

Izračunana dolžina stranice, npr.: 3,9 cma .............................................. (1*+1) 2 točki


Izračunana dolžina stranice, npr.: 5,3 cmb .............................................. (1*+1) 2 točki

Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 210,2 cmS ....................................... (1*+1) 2 točki

10.3. (3 točke)

Izračunana prostornina prizme, 361cmV S v ......................................................................................... (1*+2) 3 točke

Opomba: Če je prostornina brez enot ali z napačno enoto, kandidat izgubi 1 točko.

11. Poiščite vse ničle polinoma: 3 2( ) 4 4.p x x x x

(5 točk)


Postopek določanja ničel (Hornerjev algoritem, razcep …) ....................................... 2* točki

Določene ničle: 2, 1, 2 ....................................................................... (1 + 1 + 1) 3 točke

Opomba: Če je postopek le nakazan, kandidat dobi le eno točko od prvih dveh.

12. Osnovna ploskev pokončne piramide ABCDV je pravokotnik s stranicama 60 cmAB a in

80 cm.BC b Stranski rob piramide meri 1,3 m.

12.1. Narišite skico piramide in skicirajte njeno mrežo.

(4 točke) 12.2. Izračunajte prostornino piramide.

(6 točk) 12.3. Izračunajte ploščino stranske ploskve .BCV

(5 točk)


12.1. (4 točke)

Skica piramide, npr.: ..................................................................................................... 2 točki


A

V

D

C

B

vs

Skicirana mreža, npr.: ...................................................................................... (1* + 1) 2 točki

12.2. (6 točk)

Postopek, npr.: napisan obrazec 3

abvV (tudi

3Sv

V ) ............................................ 1 točka

Izračunana diagonala pravokotnika, npr.: 2 2 1,0 (m)d a b ............................. 1 točka

Izračunana višina piramide, npr.: 2

2 1,2 (m)2d

v s ............................ (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina: 3 30,192 m (192 dm )V .......................................... (1* + 1) 2 točki

12.3. (5 točk) 1. način:

Npr. izračunana stranska višina: 2

2 1,24 (m)2bb

v s ......................... (1* + 1) 2 točki


Npr. izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )2

bb vS

.............................. (1* + 2) 3 točke

2. način:

Zapis ali uporaba Heronovega obrazca ...................................................................... 1 točka

Izračun polovičnega obsega trikotnika 1,7 m ............................................... (1* + 1) 2 točki

Izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )S ................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.

13. Na skici je osni presek pokončnega valja. Natančno izračunajte površino tega valja.

(4 točke)

Rešitev 13. Skupaj 4 točke

1. možnost:

Zapis ali uporaba podatkov, npr.: 2 cm, 10 cm r v ............................................ 1 točka

Uporaba obrazca z vstavljenimi podatki, npr.: 2 2 2 10P .................. (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 248 cmP ................................................................................................ 1 točka

2. možnost:

Zapis ali uporaba podatkov, npr.: 5 cm, v 4 cm r .............................................. 1 točka

Uporaba obrazca z vstavljenimi podatki, npr.: 2 5 5 4P .................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 290 cmP ................................................................................................ 1 točka

Opomba: Če je rezultat le približen ali brez oziroma z napačno enoto, kandidat ne dobi

zadnje točke.

14. Seštejte vsa naravna števila, manjša od 100, ki so deljiva s 6.


(5 točk)


Ugotovitev, da gre za vsoto členov aritmetičnega zaporedja ..................................... 1 točka

Zapis (ali uporaba) podatkov: 1 6, 6a d ............................................................... 1 točka

Ugotovitev, da je: 16 n ......................................................................................... 1 točka

Izračunana vsota, npr.: 16 6 962ns ........................................................ (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat napiše vsoto, npr.: 6 12 18 96 816 , dobi vse točke,

če pa napiše le končno rešitev, dobi 1 točko. Če kandidat samo zapiše vsa ustrezna števila, dobi 1 točko.

15. Dana je enačba parabole: 2 6 5.y x x

15.1. Parabolo natančno narišite.

(6 točk) 15.2. Zapišite enačbo premice, ki gre skozi teme parabole in je vzporedna abscisni osi.

(3 točke)

15.3. Izračunajte dolžino daljice, ki jo parabola odreže od premice 3.y

(6 točk)


y

x

1

10


15.1. (6 točk)

Narisana parabola ........................................................................................................ 6 točk Od tega za:

ničli: 1 21, x 5x ............................... 2 točki,

teme: 3, 4T ..................................... 2 točki,

odsek na ordinatni točki: (0) 5f ....... 1 točka,

pravilna oblika ..................................... 1 točka.

Opomba: Za le izračunani ničli dobi kandidat 1 točko, za le izračunano teme dobi kandidat

1 točko.

15.2. (3 točke)

4y ........................................................................................................................ 3 točke


Opomba: Za enačbo z vstavljenimi podatki ali za skozi teme narisano premico vzporedno osi x

dobi kandidat 2 točki.

15.3. (6 točk)

1. način:

Zapisana enačba, npr.: 2 6 5 3x x .................................................................... 1 točka

Urejena enačba: 2 6 8 0x x ................................................................................ 1 točka

Rešena enačba: 1 22, 4x x .................................................................................... 2 točki

Izračunana razdalja: 2d (ali 2 cm ) ........................................................................ 2 točki

2. način:

Narisana premica 3y ............................................................................................ 2 točki

Določeni presečišči (lahko samo abscisi) .................................................................... 2 točki

Izračunana razdalja: 2d (ali 2 cm ) ........................................................................ 2 točki

16. Janez se je odločil varčevati. Na bančni račun je položil 2000000 tolarjev. Letna obrestna mera

je 2 % , pripis obresti leten in obrestovanje obrestno.

16.1. Koliko denarja bo imel Janez po 2 letih?

(5 točk) 16.2. Koliko denarja bo imel skupaj po sedmih letih, če po 2 letih položi

še 1000000 tolarjev?

(4 točke) 16.3. Kolikšna bi morala biti obrestna mera, da bi se začetna vloga podvojila

v 10 letih?

(6 točk)


16.1. (5 točk)

Zapisan ali upoštevan obrestovalni faktor: 1,02r .................................................... 1 točka

Napisan obrazec, npr.: 0n

nG G r ............................................................................. 1 točka

Vstavljeni podatki in izračun: 2

2 2000000 1,02 2080800G tolarjev ....................................................... (1* + 1) 2 točki

Odgovor: Janez bo imel 2080800 tolarjev ................................................................ 1 točka

16.2. (4 točk)

Upoštevanje stanja po drugem pologu, npr.: 2 3080800G tolarjev ........................ 1 točka

Vstavljeni podatki in izračun: 5

7 3080800 1,02 3401452,14G (ali 3401452 ) tolarja ............................. (1* + 1) 2 točki

Odgovor: Čez 7 let bo imel 3401452,14 (ali 3401452 ) tolarja ................................. 1 točka

16.3. (6 točk)

Obrazec z uporabo podatka, npr.: 100 02G G r ......................................................... 2 točki

Izražen obrestovalni faktor, npr.: 10 2r ali 10 2r ................................................... 2 točki

Izračunana vrednost, npr.: 1,07177r ...................................................................... 1 točka

Odgovor: Obrestna mera je približno 7,2 % . ........................................................... 1* točka


17. Narišite premico 2 3 3 0x y ter določite njeno presečišče z abscisno osjo. Za katere x

poteka premica nad x osjo?

1

1

0 x

y

(5 točk)


Narisana premica ......................................................................................... (1*+1) 2 točki

1

1

0 x

y

M

Določeno presečišče: 3, 02

x y ali 3,2

0M ......................................... (1*+1) 2 točki


Na intervalu 32

x < ali 3,2

x .......................................................................... 1 točka

18. Rob kocke meri 80 cm . Ostružimo jo v največji možni valj.

18.1. Izračunajte razliko med površino kocke in površino valja.

(7 točk)

18.2. Izračunajte prostornino dobljenega valja. Rezultat zaokrožite na celo število 3dm .

(3 točke) 18.3. Koliko odstotkov prostornine kocke znašajo ostružki?

(5 točk)


18.1. (7 točk)

Izračunana površina kocke, npr.: 2 26 38400cmkP a ............................. (1*+1) 2 točki

Določena polmer in višina valja (lahko tudi le

uporabljeno pri izračunu): 40 cm, 80 cmr v ..................................................... 2 točki

Izračunana površina valja,

npr.: 22 30159 cmvP r r v (lahko tudi 230144 cm ) .......................... (1*+1) 2 točki

Izračunana razlika 28241cmk vP P (lahko tudi 28256 cm ) ............................... 1 točka

18.2. (3 točke)

Izračunana prostornina valja,

npr.: 2 3402 dmvV r v ........................................................................... (1*+2) 3 točke

18.3. (5 točk)

Izračunana prostornina kocke,

npr.: 3 3512000 cmkV a ......................................................................... (1*+1) 2 točki

Izračunana prostornina ostružkov

npr.: 3110 dmostV ............................................................................................... 1 točka

Izračunan delež ostružkov,

npr.: 21,5 %ost

k

Vp

V ................................................................................. (1*+1) 2 točki

Opozorilo: Tudi napačno računanje deleža med površinama (namesto med prostorninama) da rezultat 21,5 %.

19. Mama je skuhala 124

kg korenja, 334

kg graha in 142

kg krompirja. Mešano zelenjavo je

shranila v vrečke po 34

kg. Najmanj koliko vrečk je potrebovala?

(4 točke)



Postopek reševanja, npr.: 1 3 2 12 3 4 104 4 4 2 ........................................... (1* + 1) 2 točki

Deljenje, npr. 1 310 : 142 4

...................................................................................... 1* točka

Odgovor: Potrebovala bo 14 vrečk. ............................................................................ 1 točka

20. Po podatkih na skici izračunajte obseg in ploščino osenčenega lika.

(4 točke)

3 cm

4 cm5 cm

5 cm

4 cm


Izračunan obseg: 20 cmo (le postopek reševanja 1 točka) ..................................... 2 točki

Izračunana ploščina: 217 cmS (le postopek reševanja 1 točka) ............................. 2 točki

21. Septembra 2000 smo dali za liter kurilnega olja 113,90 tolarja, maja 2004 pa 98,40 tolarja.

a) Za koliko odstotkov je bila cena kurilnega olja maja 2004 nižja od cene septembra 2000?

(5 točk) b) Koliko tolarjev je dala družina septembra 2000 za poln rezervoar kurilnega olja v obliki

kvadra dimenzij in ?2,5 m, 1,2 m 1,5 m Narišite skico rezervoarja.

(5 točk)

c) Ali zadošča 2310 litrov kurilnega olja za ogrevanje od 1. oktobra do 15. marca

naslednjega leta, če je dnevna poraba 15 litrov?

(5 točk)


21.1. (5 točke)

Računanje razlike ....................................................................................................... 1 točka

Nastavitev, npr.: 15,5

113,9p (števec, imenovalec) ........................................... (1 + 1) 2 točki


Rešitev: 0,136p ..................................................................................................... 1 točka

Odgovor: 13,6 %p (14 % ) .................................................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat npr. izračuna, da je nova cena 86,4 % stare, dobi 2 točki.

21.2. (5 točk)

Skica rezervoarja ........................................................................................................ 1 točka

Prostornina rezervoarja: obrazec in vstavljeni podatki, npr.: 3 32,5 1,2 1,5 m 4,5 mV a b c ........................................................................ 1 točka

4500 lV ................................................................................................................... 1 točka

Izračunana vrednost goriva: 512550 tolarjev .......................................................... 1* točka

Odgovor .................................................................................................................... 1* točka 21.3. (5 točk)

Npr.:izračunano število dni (154 ) ................................................................... (1* + 1) 2 točki

Določeno število dni po koledarju: 165 ali 166 ali 167 ................................ (1* + 1) 2 točki

Odgovor: Ta količina kurilnega olja ne zadošča. ........................................................ 1 točka

22. Na skici je trikotnik .ABC

A

C

B

105°

12 cm

16 cm

22.1. Izračunajte dolžino stranice b AC in kot a . Velikost kota zapišite v

stopinjah in minutah.

(6 točk)

22.2. Izračunajte ploščino trikotnika. Rezultat zaokrožite na 2cm natančno.

(4 točke) 22.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, katere osnovna ploskev je dani trikotnik,

njena višina pa 1 m.

(5 točk)



22.1. (6 točk)

Izračunana stranica, npr. z uporabo kosinusovega izreka: 2 2 2 2 499,3865b c a a c cos , 22,35 cm b ( 22 cm ) ....................... (1 + 1) 2 točki

Računan kot, npr.: 2 2 2 499,3865 256 144

cos 0,854962 2 22,35 16

b c ab c

............................... (2* + 1) 3 točke

Na minuto zaokrožena velikost kota: o31 15́ ( o31 14́ ) ....................................... 1* točka

22.2. (4 točke)

Katerakoli pravilna formula za ploščino trikotnika ...................................................... 1 točka

Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka

Ploščina trikotnika, npr.: 292,728 cmS .................................................................. 1 točka

Zaokrožena vrednost: 293 cmS ........................................................................... 1* točka

22.3. (5 točk)

Upoštevanje: 1 m 100 cmv ................................................................................. 1 točka

Izračunana prostornina prizme: 39300 9273 cmV .................................. (1* + 1) 2 točki

Izračunana površina prizme: ali 25219 (5220 5221) cmP .......................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.

23. Dani sta enačbi parabole 21 32 2

y x x in premice 32

y x .

a) Parabolo in premico natančno narišite v dani koordinatni sistem.

(8 točk) b) Izračunajte abscisi presečišč parabole in premice.

(4 točke) c) Za katere x leži premica nad parabolo?

(3 točke)


y

x

1

10


23.1. (8 točk)

Narisana parabola (ničli, teme, začetna vrednost, oblika) ................... (2 + 2 + 1 + 1) 6 točk

Narisana premica ........................................................................................................ 2 točki


Opomba: Samo izračunani ničli: 1 21, 3x x ............... 1 točka.

Samo izračunani koordinati temena (1, 2)T ... 1 točka.

23.2. (4 točke)

Nastavek, npr.: 21 3 32 2 2

x x x ........................................................................... 1 točka


Rešitev enačbe: 1 20, 4x x ......................................................................... (1 + 1) 2 točki

Opomba: Če kandidat "pokvari" rezultat z napačnimi ordinatami presečišč, to toleriramo. 23.3. (3 točke)

Nastavitev neenačbe, npr.: 23 1 32 2 2

x x x ......................................................... 1 točka

Reševanje ................................................................................................................. 1* točka

Odgovor: Na intervalu 0,4 (ali 0 4x ) ............................................................... 1 točka

Opomba: Če kandidat prebere rešitev s slike, dobi vse 3 točke.

24. Dana je parabola 2 2 3y x x . Izračunajte koordinati temena in koordinate presečišč s

koordinatnima osema. Parabolo narišite.

(5 točk)

y

x0

1

1



Izračunani ničli: 1 23, 1x x ................................................................................... 1 točka

Napisano presečišče z osjo y : 0, 3N ................................................................... 1 točka

Izračunani koordinati temena: ( 1, 4)T ..................................................................... 1 točka

y

x0

1

1

T

Narisana parabola:

graf poteka skozi značilne točke, pravilna oblika ............................................. (1 + 1) 2 točki

25. Dan je krog s polmerom 12 cm.

25.1. Izračunajte središčni kot, ki pripada 4 cm dolgi tetivi. Narišite skico.

(4 točke)

25.2. 73 % kroga je pobarvano z rdečo barvo. Koliko 2cm meri pobarvani del kroga?

(6 točk) 25.3. Izračunajte obseg in ploščino kvadrata, ki je krogu očrtan.

(5 točk)


25.1. (6 točk)


S

r r

t

Skica s tetivo in označenim središčnim kotom ................................................. (1 + 1) 2 točki

Postopek računanja kota, npr.: 2sin2

t

r ................................................................. 1 točka

Vstavljeni podatki, npr.: 1sin

2 6 ............................................................................. 1 točka

Izračun, npr.: o9 36'2

............................................................................................. 1 točka

Rešitev: o19 11' (ali o19,18 ) ................................................................................. 1 točka

25.2. (4 točke)

Ploščina kroga: 2144 452,39 cmS .................................................................. 1 točka

Ploščina pobarvanega dela, npr. 1 0,73S S ........................................................... 1 točka

Vstavljen podatek za S ............................................................................................. 1* točka

Rešitev: 21 330 cmS ................................................................................................ 1 točka

25.3. (5 točk)

2a r

Ugotovitev, da je stranica kvadrata 24 cm ................................................................ 1 točka

Izračunan obseg: 4 96 cmo a ..................................................................... (1 +1) 2 točki

Izračunana ploščina: 2 2576 cmS a ............................................................ (1 +1) 2 točki


26. Iz zlate palice v obliki kvadra z robovi 10 cm , 5 cm in 4 cm izdelujejo obeske v obliki krogle s

premerom 0,4 cm (krogle so polne). Največ koliko obeskov lahko naredijo iz ene takšne palice?

(5 točk)


Izračunana prostornina krogle: 3

34 0,0335 cm3kr

V

.............................. (1* + 1) 2 točki

Izračunana prostornina palice: 3200 cmpV abc .................................................. 1 točka

Izračunano število: : 5970p kn V V ..................................................................... 1* točka

Odgovor: Naredijo lahko največ 5970 obeskov. ....................................................... 1 točka

Opomba: Upoštevajte vse rezultate, ki nastanejo s pravilnimi zaokroževanji.

27. Dana sta polinoma 3 2 6p x x x x in 2 4q x x .

27.1. Delite polinom p x s polinomom q x in zapišite količnik in ostanek.

(6 točk) 27.2. Izračunajte skupno ničlo obeh polinomov.

(5 točk)

27.3. Izračunajte vrednost izraza 2 1 3p q .

(4 točke)


27.1. (6 točk)

Postopek deljenja ............................................................................................. (1 + 1) 2 točki (Opomba: Kandidat dobi 1 točko, če je postopek le pravilno začel.)

Pravilno izračunan količnik in ostanek .............................................................. (1 + 1) 2 točki

Zapisan količnik ( ) 1k x x in ostanek ( ) 2 4r x x ................................... (1 + 1) 2 točki

27.2. (5 točk)

1. način:

Ničle polinoma ( )p x : 2, 0, 3 (samo razcep 1 točka) ............................................... 2 točki

Ničle polinoma ( )q x : 2, 2 (samo razcep 1 točka) .................................................... 2 točki

Skupna ničla: 2x .................................................................................................. 1 točka

2. način:

Zapis: 3 2 26 4x x x x (ali ( ) ( )p x q x ) ............................................................... 1 točka

Urejanje enačbe: 3 22 6 4 0x x x ....................................................................... 1 točka

Reševanje enačbe ...................................................................................................... 1 točka

Rešitev: 1 2x (lahko še 2 2 2x in 3 2 2x ) ............................................. 1 točka

Ugotovitev, da je 1 2x skupna ničla polinomov ..................................................... 1 točka

Opomba: Za uganjeno in nepreverjeno rešitev dobi kandidat le zadnjo točko, za uganjeno in preverjeno (ne izračunano) rešitev, dobi 3 točke.


27.3. (4 točke)

Vstavljene vrednosti, npr.: 3 2 22 1 1 6 1 3 4 .................................. 1 točka

Vrednosti: 2 4 5 ........................................................................................... (1 + 1) 2 točki

Rešitev: 13 ................................................................................................................. 1 točka

28. V ravnini je trikotnik ABC s podatki: o36 cm, 44 cm, 84a b .

28.1. Izračunajte dolžino stranice c na centimeter natančno.

(4 točke) 28.2. Izračunajte velikost kota na stopinjo natančno.

(4 točke) 28.3. Izračunajte ploščino trikotnika in ploščino trikotniku včrtanega kroga.

(7 točk)


28.1. (4 točke)

Pravilna formula, npr.: 2 2 2 2 cosc a b ab .......................................................... 1 točka

Vstavljene vrednosti, npr.: 2 2 2 o36 44 2 36 44 cos84c .................................. 1 točka

Računanje ( ali2 2900,85 c 53,86c ) .................................................................. 1* točka

Rezultat: 54 cmc .................................................................................................... 1 točka

28.2. (4 točke)

Pravilna formula, npr.: sin

sina

c

......................................................................... 1 točka

Vstavljene vrednosti ................................................................................................... 1 točka

Računanje ( ali osin 0,6647 41,66 ) ................................................................ 1 točka

Rezultat: o42 ....................................................................................................... 1 točka

28.3. (7 točk)

1. način:

Ploščina trikotnika: o

2sin 36 44 sin84 787,66 cm2 2

abS

............................................. (1 + 1 + 1) 3 točke

Polmer včrtanega kroga: 11,77 cmSr

s ................................................... (1 + 1*) 2 točki

Ploščina trikotniku včrtanega kroga: 2 2435,10 cmS r .......................... (1 + 1*) 2 točki

2. način:

Ploščina trikotnika: ( )( )( )S s s a s b s c ............................................................ 1 točka

Vstavljeni podatki ...................................................................................................... 1* točka

2788,05 cmS ........................................................................................................ 1* točka

Polmer včrtanega kroga: 11,76 cmSr

s ................................................... (1 + 1*) 2 točki

Ploščina trikotniku včrtanega kroga: 2 2434,47 cmS r .......................... (1 + 1*) 2 točki


Opomba: Kandidat dobi vse točke za izračun polmera in ploščine, če je računal z zaokroženimi

podatki in dobil npr.: 211,76 cm; 434,25 cm .r S

Opomba: Če kandidat nikjer ne zapiše enot ali zapiše napačne enote, v celoti izgubi 1 točko.

29. Dani so prvi štirje členi aritmetičnega zaporedja: 4, 1, 2, 5.

29.1. Zapišite naslednja dva člena tega zaporedja in dvajseti člen.

(5 točk) 29.2. Kolikšna je vsota prvih trideset členov tega zaporedja?

(4 točke) 29.3. Od vključno katerega člena naprej so vsi členi večji od 100?

(6 točk)


29.1. (5 točk)

Nadaljevanje zaporedja: 8,11 ...................................................................... (1 + 1) 2 točki

Dvajseti člen: 20 1 19 4 19 3 53a a d ....................................... (1 + 1 + 1) 3 točke

Opomba: Če je kandidat določil 20. člen s preštevanjem členov, dobi vse točke. 29.2. (4 točke)

Izračunana vsota, npr.: 3030 2 4 29 3 11852

s ........................ (1 + 1 + 1) 3 točke

Odgovor: Vsota je 1185. ............................................................................................ 1 točka

Opomba: Če je kandidat določil vsoto s preštevanjem členov, dobi vse točke. Samo za formulo vsota n-členov dobi 1 točko.

29.3. (6 točk)

Zapis pogoja, npr.: ali1 n1 100 a 100a n d (lahko tudi enačaj) ..................... 2 točki

Upoštevani podatki, npr.: 4 1 3 100n (lahko tudi enačaj) .............................. 1 točka

Računanje ................................................................................................................... 1 točka

Izračun, npr.: 35,66n (ali enačaj) ........................................................................... 1 točka

Odgovor: Od vključno 36. člena naprej so vsi členi večji od 100. ............................. 1 točka

Opomba: Če kandidat le izračuna 36. člen in pravilno zapiše odgovor, dobi vse točke.

30. Polmer pokončnega stožca meri ,3 cm stranica stožca pa .5 cm Skicirajte stožec in označite

osni presek. Izračunajte ploščino osnega preseka.

(5 točk)


Skica stožca (tudi brez označenega osnega preseka) ............................................... 1 točka


1. način:

Izračunana višina: 2 2 ,v s r 4 cmv ....................................................... (1 + 1) 2 točki

Izračunana ploščina: 212 cmS (formula + izračun) ....................................... (1 + 1) 2 točki

2. način:

Uporaba oziroma zapis Heronovega obrazca ............................................................ 1 točka

Izračun oziroma upoštevanje 8s (polovica obsega) ............................................... 1 točka

Upoštevani podatki ..................................................................................................... 1 točka

Rešitev: 212 cmS ................................................................................................... 1 točka

31. Zapišite enačbo kvadratne funkcije, katere graf seka abscisno os pri 1 21 in 3,x x ordinatno

os pa v točki 30,2

A .

(5 točk)


1. način:

Zapisana katerakoli oblika kvadratne funkcije ............................................................ 1 točka

Upoštevanje ničel, npr.: 1 3 0a x x ............................................................... 1 točka

Upoštevanje točke A, npr.: 30 1 0 32

a .......................................................... 1 točka

Izračunan koeficient: 12

a ..................................................................................... 1 točka

Rešitev, npr.: 1( ) 1 32

f x x x ........................................................................ 1 točka

2. način:

Zapisana katerakoli oblika kvadratne funkcije ............................................................ 1 točka

Zapis sistema enačb, npr.:

0

9 3 0

30 02

a b c

a b c

c

.................................................................. 1 točka

Reševanje sistema enačb ........................................................................................ 1* točka

Rešitev sistema: 1 3, 1,2 2

a b c .......................................................................... 1 točka

Rešitev: 21 3( )2 2

f x x x ..................................................................................... 1 točka


32. Janez in Meta sta mož in žena. Janez na mesec zasluži 980 evrov, Meta pa 1050 evrov.

32.1. Za koliko odstotkov je Metina plača večja od Janezove?

(5 točk)

32.2. Izračunajte, koliko denarja ostane Janezu, če da vsak mesec 5 % plače sinu in

4 % hčeri.

(4 točke)

32.3. Kdo bi imel večjo plačo in za koliko evrov, če bi se Janezova plača povečala za 15 % ,

Metina pa za 8 %?

(6 točk)


32.1. (5 točk)

Ugotovljena oziroma uporabljena osnova: 980 ......................................................... 1 točka

Ugotovljen oziroma uporabljen delež, npr.: 70 ......................................................... 1 točka

Izračunano razmerje, npr.: 70 0,0714980

p ........................................................ 1 točka

Razmerje izraženo v odstotkih: 7,14 %p . ........................................................... 1* točka

Odgovor, npr.: Metina plača je večja za 7,14 % . ..................................................... 1* točka

32.2. (4 točke)

1. način:

Vsota odstotkov .......................................................................................................... 1 točka

Zapis in izračun deleža, npr.: 9 % od 980 88,2 ........................................... (1 + 1) 2 točki

Izračunana razlika: 891,8 evra. .................................................................................. 1 točka

2. način:

hči dobi 39,2 evra ....................................................................................................... 1 točka

sin dobi 49 evrov ....................................................................................................... 1 točka

skupaj dobita 88,2 evra .............................................................................................. 1 točka

Janezu ostane 891,8 evra .......................................................................................... 1 točka

32.3. (6 točk)

Izračunana povečana Janezova plača: 1127 evrov ...................................... (1* + 1) 2 točki

Izračunana povečana Metina plača: 1134 evrov ........................................... (1* + 1) 2 točki

Izračunana razlika: 7 ................................................................................................. 1 točka

Odgovor, npr.: Meta bi imela 7 evrov večjo plačo. .................................................. 1* točka

Opomba: Upoštevajo se vsi pravilno zaokroženi rezultati.

33. Dani sta funkciji ( ) 2 3f x x in ( ) 5 .g x x

33.1. V isti koordinatni sistem natančno narišite grafa obeh funkcij.


(5 točk)

33.2. Izračunajte ostri kot, ki ga oklepata grafa funkcij ( )f x in ( ).g x

Izračunani kot zapišite na stotinko stopinje natančno.

(6 točk)

33.3. Izračunajte, pri katerem x ima funkcija ( )f x za 10 večjo vrednost od funkcije ( ).g x

(4 točke)

x

y

1

1

0


33.1. (5 točk)

graf funkcije ( )f x ......................................................................................................... 2 točki

graf funkcije ( )g x ........................................................................................................ 2 točki

natančnost obeh grafov .............................................................................................. 1 točka


33.2. (6 točk)

Zapisana oziroma uporabljena smerna koeficienta: 1 22, 1k k ................ (1 + 1) 2 točki

Uporabljen obrazec, npr.: 2 1

1 2

tan1

k k

k k

.............................................................. 1 točka

Vstavljene vrednosti in izračunana vrednost, npr.:

1 2tan 31 2 1

................ 1 točka

Izračunan kot, npr.: o71,565 ................................................................................ 1 točka

Rešitev: o71,57 (enota je obvezna) ..................................................................... 1 točka

33.3. (4 točke)

Zapisana enakost, npr.: ( ) 10 ( )f x g x ................................................................... 1 točka

Nastavljena enačba, npr.: 2 3 10 5x x ............................................................. 1 točka

Reševanje enačbe ...................................................................................................... 1 točka

Rešitev: 6x ............................................................................................................ 1 točka

34. Tone je za 2,5 kg banan in 1 kg mandarin plačal 4 evre, Jože pa je v isti trgovini za 1 kg banan

in 3 kg mandarin dal 5,5 evra. Koliko stane kilogram banan in koliko kilogram mandarin v tej

trgovini?

(5 točk)


Napisan sistem enačb, npr.: 2,5 4, 3 5,5x y x y .............................................. 1 točka

Reševanje sistema ................................................................................................... 1* točka

Rešitev: 1, 1,5x y ....................................................................................... (1 + 1) 2 točki

Odgovor, npr.: 1 kg banan stane 1 evro, mandarin pa 1,5 evra. .............................. 1 točka


Opomba: Če kandidat rešitev ugane, dobi 1 točko. Če kandidat rešitev ugane in preveri njeno pravilnost, dobi vse točke.

35. Dani sta parabola 2 2 2y x x in premica 2 1.y x

35.1. Izračunajte koordinate presečišč parabole in premice.

(5 točk) 35.2. Parabolo in premico natančno narišite v isti koordinatni sistem.

(6 točk) 35.3. Izračunajte kot, ki ga premica oklepa z abscisno osjo.

Kot zapišite v stopinjah in minutah.

(4 točke)

x

y

1

1

0


35.1. (5 točk)

Nastavitev enačbe, npr.: 2 2 2 2 1x x x ............................................................. 1 točka


Rešitev enačbe: 1 21, 3x x .......................................................................... (1 + 1) 2 točki

Izračunani ordinati: 1 21, 5y y ............................................................................... 1 točka

35.2. (6 točk)


Narisana parabola s temenom (1,1)T , odsekom 2 na ordinatni osi

in pravilne oblike ....................................................................................... (1 + 1 + 2) 4 točke

Opomba: Samo za izračun temena in odseka na ordinatni osi dobi kandidat (1 + 1) 2 točki.

Narisana premica ........................................................................................................ 2 točki

35.3. (4 točke)

Uporaba zveze: tan 2 .......................................................................................... 2 točki

(Samo tan k le 1 točka.)

Izračunana velikost kota: o63,4349 .................................................................... 1 točka

Rešitev zapisana v stopinjah in minutah, npr.: o63 26' ....................................... 1 točka

36. Na skici je pravokotni trikotnik. Izračunajte stranice trikotnika.

x

x + 3x – 3

(5 točk)


Nastavljena enačba, npr.: 2 223 3x x x ....................................................... 2 točki

Opomba: Samo Pitagorov izrek 1 točka.

Urejena enačba, npr.: 2 12 0x x ........................................................................... 1* točka

Rešitev enačbe: 1 20, 12x x ................................................................................. 1 točka

Stranice: 9,12,15 ....................................................................................................... 1 točka


37. Na eno decimalno mesto natančno izračunajte ploščino osenčenega lika na skici.

10 cm

10 c

m10 cm

10 cm

10 cm

(5 točk)


Izračunana ploščina kvadrata: 21 100 (cm )S .......................................................... 1 točka

Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 2

22

343,30 (cm )

4a

S ..................... (1* + 1) 2 točki

Razlika ploščin: 1 2S S ............................................................................................ 1* točka

Rešitev: 256,7 (cm )S ............................................................................................. 1 točka

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot ali če so enote napačno zapisane, v celoti izgubi 1 točko.

38. Pravokotnik s stranicama 10 cm in 4 cm zavrtimo okrog daljše stranice za o360 .

38.1. Narišite skico in izračunajte površino nastalega valja na 2mm natančno.

(6 točk) 38.2. Izračunajte dolžino najdaljše toge palice, ki bi jo še skrili v ta valj.

(4 točke) 38.3. Kolikšen kot oklepa ta palica z osnovno ploskvijo valja? Kot označite na skici.

(5 točk)


38.1. (6 točk)

Skica valja ................................................................................................................... 1 točka


b r

a v

Ugotovitev: 4 cm, 10 cmr v ...................................................................... (1 + 1) 2 točki

Postopek, npr.: 2P r r v ................................................................................. 1* točka

Izračun: 22 4 4 10 351,86 cmP ( 235186 mm ) ............................. (1* + 1) 2 točki

38.2. (4 točke)

Uporaba Pitagorovega izreka ..................................................................................... 1* točki

Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka

Računanje z rešitvijo: 164 12,8 cmd ................................................... (1* + 1) 2 točki

38.3. (5 točk)

Na skici označen kot ................................................................................................... 1 točka Opomba: Zadošča ena skica z narisanimi podatki.

r

v

d

Uporaba kotne funkcije, npr.: tan2vr

.................................................................... 1 točka

Izračun, npr.: 10tan = 1,258

........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Rešitev: o51,34 .................................................................................................... 1 točka

39. Enaki pravokotni deščici s širino 12 cm oklepata kot o35 (glejte sliko). Izračunajte ploščino

osenčenega romba.


35

12 cm

(5 točk)


Ugotovitev, da je višina romba 12 cmv ali da je kot o35 ................................. 1 točka

Uporaba kotne funkcije, npr.: o 12sin35a

................................................................ 1 točka

Stranica romba: o

12 cmsin35

a ali 20,92 cma .................................................... 1 točka

Uporaba formule za ploščino romba ........................................................................ 1* točka

Izračunana ploščina romba, npr.: 2251,06 cmS .................................................... 1 točka

40. Izračunajte ničle polinoma 3 2( ) 5 7 3p x x x x .

(5 točk)


Izračun prve ničle, npr.: 1 1x ....................................................................... (1* + 1) 2 točki

Zapis ali uporaba kvadratne enačbe, npr.: 2 4 3 0x x ........................................ 1 točka

Izračun preostalih ničel, npr.: 2 1x in 3 3x ................................................. (1 + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko za uporabo ustreznega postopka za iskanje ničel.

41. Dolžine stranic trikotnika predstavljajo prve tri člene aritmetičnega zaporedja. Obseg tega trikotnika meri 21 cm, najkrajša stranica pa 4 cm. Izračunajte dolžine stranic trikotnika.

(5 točk)



Uporaba formule za splošni člen: 1 2 34, 4 , 4 2a a d a d ............................... 1 točka

Zapis enačbe, npr.: 1 2 3 21a a a .......................................................................... 1 točka

Poenostavitev enačbe, npr.: 12 3 21d .................................................................. 1 točka

Izračun diference: 3d ............................................................................................. 1 točka

Rešitev: 1 2 34 cm, 7 cm, 10 cma a a ................................................................ 1 točka

Opomba: Če kandidat napiše samo pravilne dolžine stranic trikotnika in diferenco, dobi skupaj 4 točke.

42. Dani sta kvadratni funkciji 21( )2

f x x in 2( ) 3g x x x .

42.1. Narišite grafa obeh funkcij v dani koordinatni sistem.

(6 točk) 42.2. Izračunajte presečišči grafov danih funkcij.

(6 točk)

42.3. Izračunajte 2 1f g .

(3 točke)


y

x

1

10


42.1. (6 točk)

Narisan graf funkcije f .............................................................................................. 3 točke

Narisan graf funkcije g .............................................................................................. 3 točke

Opomba: Kandidat dobi 1 točko za ničli, 1 točko za teme in 1 točko za obliko.


y

x

1

10

42.2. (6 točk)

Zapis enačbe, npr.: 2 21 32

x x x ........................................................................... 1 točka

Reševanje enačbe, npr.: 2 2 0x x ....................................................................... 1* točka

Izračunani abscisi presečišč: 1 0x in 2 2x ............................................... (1 + 1) 2 točki

Zapis presečišč: 1 0,0P in 2 2,2P .............................................................. (1 + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi vse točke, tudi če presečišči prebere iz preglednic.

42.3. (3 točke)

Izračun: 2 2f ....................................................................................................... 1 točka

Izračun: 1 2g ...................................................................................................... 1 točka

Izračun: 2 1 0f g .......................................................................................... 1 točka

43. Iz valja in stožca sestavimo telo na sliki. Kot pri vrhu osnega preseka stožca meri o44 .

44

11 cm

9 cm

43.1. Izračunajte višino telesa.

(5 točk)


43.2. Izračunajte polmer osnovne ploskve valja.

(3 točke) 43.3. Izračunajte površino in prostornino telesa.

(7 točk)


43.1. (5 točk)

Zapis enačbe: ocos22

11sv

............................................................................. (1 + 1) 2 točki

Opomba: Kandidat dobi prvo točko, če uporabi lastnosti pravokotnega trikotnika

s kotom o22 .

Izražena višina stožca, npr.: o11 cos22sv ............................................................. 1 točka

Izračun višine stožca, npr.: 10,20 cmsv ................................................................. 1 točka

Izračun višine telesa, npr.: 19,20 cmv ................................................................. 1* točka

43.2. (3 točke)

Zapis enačbe: osin2211r

........................................................................................ 1 točka

Izražen polmer, npr.: o11 sin22r ........................................................................... 1 točka

Izračun polmera osnovne ploskve, npr.: 4,12 cmr ................................................ 1 točka

43.3. (7 točk)

Izračun prostornine valja, npr.: 3479,94 cmvV ..................................................... 1* točka

Izračun prostornine stožca, npr.: 3181,31 cmsV ................................................... 1* točka

Izračun prostornine telesa, npr.: 3661,25 cmV .................................................... 1* točka

Izračun površine valja, npr.: 22 339,63 cmvP r r v ...................................... 1* točka

Izračun površine stožca, npr.: 2195,70 cmsP r r s ..................................... 1* točka

Ugotovitev, da je treba odšteti dvakratnik ploščine osnovne ploskve ........................ 1 točka

Izračun površine telesa, npr.: 2428,68 cmP ........................................................ 1* točka

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, v celoti izgubi 1 točko.

44. Cena kilograma solate se je v enem letu gibala, kakor prikazuje razpredelnica:

Mesec jan. feb. mar. apr. maj jun. jul. avg. sep. okt. nov. dec.

Cena za kg solate [€]

4,50 4,50 3,00 3,00 1,20 1,20 0,60 0,60 0,60 1,10 1,10 3,20

44.1. Izračunajte povprečno ceno kilograma solate od januarja do decembra.

(3 točke) 44.2. Za koliko odstotkov je povprečna cena kilograma solate nižja od najvišje cene?

(5 točk) 44.3. Izračunajte zaslužek od prodane solate v celotnem letu, če mesečno prodajo prikazuje

naslednji diagram:

(7 točk)


50

250

150

350

450

400

300

200

100

jan. feb. mar. apr. maj jun. jul. avg. sep. okt. nov. dec.

količina

[kg]

meseci


44.1. (3 točke)

Pravilno seštete vrednosti: 24,6 evra ........................................................................ 1 točka

Zapis, npr.: 24,6

12x ................................................................................................. 1 točka

Izračun: 2,05x evra ............................................................................................... 1 točka

44.2. (5 točk)

Največja vrednost: 4,50 evra ..................................................................................... 1 točka

Zapis, npr.: 100M

M

x xp

x

.......................................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Števec ulomka 1* točka, imenovalec ulomka 1 točka.

Rezultat: 54,4 %p ................................................................................................. 1 točka

Odgovor: Povprečna cena kilograma solate je za 54,4 % nižja od najvišje cene. ... 1 točka

44.3. (7 točk)

Pravilno prebrane vrednosti v posameznem mesecu ................................................ 3 točke

Opomba: Kandidat dobi 1 točko za vsake 4 pravilno prebrane vrednosti.

Upoštevanje cene za posamezno količino ................................................................. 3 točke

Rezultat: 7290 evrov ................................................................................................. 1 točka

Mesec jan. feb. mar. apr. maj jun. jul. avg. sep. okt. nov. dec. skupaj

količina [kg]

300 250 300 350 250 400 450 300 300 250 200 300 3650

zaslužek [€]

1350 1125 900 1050 300 480 270 180 180 275 220 960 7290


45. Dano je zaporedje 20 3na n . Izračunajte vsoto vseh pozitivnih členov zaporedja.

(4 točke)


Ugotovitev, da je šest členov pozitivnih .......................................................... (1* + 1) 2 točki

Zapis, npr.: 6 17 14 11 8 5 2s .................................................................... 1* točka

Rezultat: s =6

57 ....................................................................................................... 1 točka

46. Kvadratu s stranico 7 cm odrežemo enakokraki pravokotni trikotnik s krakoma 4 cm (glejte sliko). Izračunajte obseg tako nastalega petkotnika.

(4 točke)


Uporaba Pitagorovega izreka za izračun hipotenuze pravokotnega trikotnika,

npr.: 2 2 24 4x ........................................................................................................ 1 točka

Izračun, npr.: 4 2 cmx .......................................................................................... 1 točka

Ugotovitev, da so preostale stranice dolge 3 cm , 3 cm , 7 cm , 7 cm ..................... 1 točka

Izračun obsega, npr.: 7 7 3 3 4 2 20 4 2 cmo ................................... 1* točka

Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.

47. Podjetje je načrtovalo, da bo imelo v prvi tretjini leta povprečni mesečni dohodek 55000 evrov.

Januarja je ustvarilo 45500 evrov dohodka, februarja 58000 evrov dohodka, marca pa tri četrtine

februarskega dohodka. Aprilski dohodek je bil ravno tolikšen, da je bil načrt podjetja dosežen.

47.1. Izračunajte, kolikšen je bil aprilski dohodek podjetja.


(7 točk) 47.2. S histogramom prikažite mesečni dohodek podjetja za prve štiri mesece leta.

(4 točke) 47.3. Koliko odstotkov od celotnega dohodka v prvi tretjini leta je podjetje ustvarilo februarja?

(4 točke)


47.1. (7 točk)

Izračun dohodka v marcu, npr.: 3 od 58000 435004

evrov ........................... (1 + 1) 2 točki

Zapis enačbe, npr.: 45500 58000 43500 550004

x ............................. (1* + 1) 2 točki

Preoblikovanje enačbe, npr.: 147000 220000x ...................................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 73000x evrov ........................................................................................... 1 točka

47.2. (4 točke)

Prikaz s histogramom ................................................................................................. 4 točke

meseci

v letu

mesečnidohodekv evrih

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

januar februar marec april

Opomba: Kandidat dobi za pravilno označeni osi z enotami in vrednostmi 2 točki, za dva pravilna stolpca pa 1 točko.

47.3. (4 točke)

Zapis, npr.: 58000 100220000

............................................................................... (1* + 1) 2 točki

Rešitev, npr.: 26,4 % ................................................................................................ 1 točka

Odgovor: Februarja je podjetje ustvarilo 26,4 % dohodka v prvi tretjini leta. ............ 1 točka


48. Navpični zid je visok 4,8 m. Matej ima 5,2 m dolgo lestev. Pod kakšnim kotom glede na ravna

tla jo mora položiti, da bo z njo dosegel natanko vrh zidu? Narišite skico.

(4 točke)


Skica ........................................................................................................................... 1 točka

Uporaba kotne funkcije, npr.: 4,8

sin5,2

.................................................................. 1 točka

Izračun, npr.: o o67,4 tudi 112,6 .............................................................. 1* točka

Odgovor: Matej mora položiti lestev pod kotom o67,4 . ............................................ 1* točka

Opomba: Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem.

49. V kinodvorani so v maju predvajali pet filmskih predstav. Strukturni krog prikazuje delež gledalcev posamezne predstave glede na skupno število gledalcev v kinodvorani v maju. Najbolj obiskano predstavo si je ogledalo 1768 ljudi.

Beli pesek

34 %

Dan v življenju

12 %

Ko se zdani Pariz

8 %

Kocka 3

28 %

49.1. Izpolnite spodnjo preglednico.

Naslov filmske predstave

Relativna frekvenca Absolutna frekvenca

Beli pesek

Kocka 3

Ko se zdani

Dan v življenju

Pariz

(8 točk)


49.2. Koliko je bilo vseh gledalcev v maju? Koliko je bilo gledalcev, ki so si ogledali 3 najmanj obiskane predstave v kinodvorani v maju?

(4 točke)

49.3. Cena vstopnice je 5 evrov. Izračunajte, koliko evrov več so zaslužili z najbolj obiskano predstavo v primerjavi z najmanj obiskano.

(3 točke)


49.1. (8 točk)

Izračunana in v preglednico vpisana relativna frekvenca filma Ko se zdani ............... 2 točki

V preglednico vpisane relativne frekvence 34, 28, 12, 8 ............................................. 1 točka

Izračunane in v preglednico vpisane absolutne frekvence:

1768, 1456, 936, 624, 416 ............................................................... (1 + 1 + 1 + 1 + 1) 5 točk

Opomba: Kandidat v celoti izgubi 1 točko, če so vrednosti pravilno izračunane, niso pa vpisane v preglednico.

49.2. (4 točke)

Izračun: 1768 1456 936 624 416 5200 ........................................................ 1 točka

Izračun: 416 624 936 1976 ................................................................................ 1 točka

Odgovor: V maju je bilo v kinodvorani 5200 gledalcev. Tri najmanj

obiskane predstave si je ogledalo 1976 gledalcev. ......................................... (1 + 1) 2 točki

49.3. (3 točke)

Zaslužek z vstopnicami za najbolj obiskano predstavo – Beli pesek: 8840 evrov ..... 1 točka

Zaslužek z vstopnicami za najmanj obiskano predstavo – Pariz: 2080 evrov ........... 1 točka

Razlika med zaslužkoma: 6760 evrov ....................................................................... 1 točka

50. Samo je imel v shrambi jabolka. Potem ko jih je 14

pojedel sam, 4 jabolka pa je pojedla Tadeja,

mu je ostala še 12

jabolk. Izračunajte, koliko jabolk je imel Samo v shrambi.

(4 točke)


Pravilna strategija reševanja, npr. zapis enačbe: 1 144 2

x x x ............................. 2 točki

Reševanje ................................................................................................................. 1* točka

Rezultat: 16x .......................................................................................................... 1 točka

Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje 1 točka, če je nalogo rešil s pravilnim sklepanjem, pri

tem pa uporabil nepravilen zapis, npr. 1 44 .


51. Jernej je gradil stolpe iz kock. Prvega je zgradil iz 5 kock, drugega iz 8 kock, tretjega iz 11 kock in tako naprej. Izračunajte, koliko kock je Jernej potreboval za deveti stolp, ki je s predhodnimi osmimi stolpi tvoril aritmetično zaporedje.

(4 točke)

Rešitev 51. Skupaj (4 točke)

Zapis prvega člena in diference aritmetičnega zaporedja: 1 5a in 3d = ..... (1 + 1) 2 točki

Uporaba formule za deveti člen zaporedja, npr.: 9 1 8a a d ................................... 1 točka

Rezultat: 9 29a ....................................................................................................... 1 točka

Opomba: Kandidat dobi vse točke, če je pravilno zapisal prvih devet členov zaporedja.

52. Ana, Luka in Miha so si razdelili 260 evrov. Ana je dobila 30 % celotnega zneska, Luka pa enak znesek kakor Miha. Koliko je dobil vsak?

(4 točke)

Rešitev 52. Skupaj (4 točke)

Ana: 30 % od 260 = 78 evrov .................................................................................. 1 točka

Upoštevana razlika: 260 78 182 evrov .............................................................. 1* točka

Luka in Miha: 91 evrov ............................................................................................. 1* točka

Odgovor, npr.: Ana je dobila 78 evrov, Luka in Miha pa vsak po 91 evrov. ............... 1 točka

53. Izračunajte dolžino hipotenuze pravokotnega trikotnika na skici:

30

2 2x

5 1x

(5 točk)

Rešitev 53. Skupaj (5 točk)

Uporaba kotnih funkcij: o 2 2sin305 1

xx

.................................................................... 1 točka

Upoštevanje o 1sin302

............................................................................................ 1 točka


Izračun: 3x ............................................................................................................. 1 točka

Zapis dolžine hipotenuze, npr.: 16AB ................................................................ 1* točka


54. Vsota dolžin vseh robov lesene kocke meri 96 cm.

54.1. Narišite skico in izračunajte dolžino roba kocke.

(4 točke) 54.2. Izračunajte površino kocke v kvadratnih milimetrih in prostornino kocke v litrih.

(6 točk) 54.3. Izračunajte prostornino največje krogle, ki jo lahko s struženjem naredimo iz dane kocke.

(5 točk)

Rešitev 54. Skupaj (15 točk)

54.1. (4 točke)

Narisana skica kocke .................................................................................................. 1 točka

B

D C

A

A B

CD

a

a

a

Ugotovitev, da ima kocka 12 robov. ........................................................................... 1 točka

Uporaba formule za izračun roba kocke: 12 96a ................................................. 1* točka

Izračun osnovnega roba: 8 cma ............................................................................ 1 točka

54.2. (6 točk)

Izračun površine kocke, npr.: 2 2 26 8 384 cm 38400 mmP ....................................................... (1* + 1 + 1*) 3 točke

Izračun prostornine kocke, npr.: 3 38 512 cm 0,512 lV ............... (1* + 1 + 1*) 3 točke

54.3. (5 točk)

Ugotovitev, da je premer krogle: 2 8r ...................................................................... 2 točki

Izračun polmera krogle: 4 cmr .............................................................................. 1 točka

Uporaba formule in izračun prostornine krogle, npr.: 3

3 34 4 cm 267,95 cm3

V

..................................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem.

55. Dana je premica 1 13

y x . Določite y tako, da bo točka 3,T y ležala na premici. Izračunajte

razdaljo točke T od koordinatnega izhodišča.

(4 točke)



Vstavljen podatek v enačbo premice: 3x ............................................................... 1 točka

Izračunana ordinata točke: 2y ............................................................................... 1 točka

Uporaba formule za izračun razdalje med točkama oziroma uporaba Pitagorovega izreka .................................................................................... 1* točka

Rezultat, npr.: 13 .................................................................................................... 1 točka

Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.

56. Metrsko ravno palico smo po dolžini razžagali na pet različnih kosov z dolžinami

3 1350 mm, dm, m2 4

in 0,12 dm. Natančno izračunajte, koliko meri peti kos.

(4 točke)


Zapis dolžin v isti enoti, npr.: 35 cm, 15 cm, 25 cm, 1,2 cm ...................................... 2 točki

Opomba: Kandidat dobi 1 točko za dve pravilno zapisani dolžini.

Zapis, npr.: 100 35 15 25 1,2x ................................................................... 1* točka

Rezultat, npr.: 23,8 cmx ........................................................................................ 1 točka

57. Dan je polinom 3( ) 3 2p x x x .

57.1. Izračunajte ničle polinoma in presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo.

(6 točk) 57.2. Narišite graf polinoma v dani koordinatni sistem.

(4 točke)

57.3. Izračunajte abscise presečišč polinoma s premico 2y x .

(5 taočk)


x

y

1

10


57.1. (6 točk)

Uporaba Hornerjevega algoritma ............................................................................... 1 točka

Ugotovljena ena ničla polinoma, npr.: 1 1x ............................................................ 1 točka

Upoštevanje kvadratne enačbe ................................................................................ 1* točka

Izračun preostalih dveh ničel, npr.: 2 31, 2x x .......................................... (1 + 1) 2 točki

Presečišče z ordinatno osjo: 0, 2 .......................................................................... 1 točka

57.2. (4 točke)


y

x

1

10

Slika ............................................................................................................................ 4 točke

Opomba: Kandidat dobi 2 točki za pravilno upoštevanje ničel, 1 točko za presečišče z ordinatno osjo in 1 točko za obliko.

57.3. (5 točk)

Zapis enačbe: 3 3 2 2x x x ............................................................................... 1 točka

Preoblikovanje enačbe, npr.: 3 4 0x x .................................................................. 1 točka


Rešitve: 1 2 30, 2, 2x x x .................................................................................... 2 točki

Opomba: Kandidat dobi 1 točko za dve pravilno zapisani rešitvi.

58. Novakovi so v kopalnici, ki je dolga ,3,6 m široka 3 m in visoka ,2,4 m položili nove keramične

ploščice, vsaka ploščica meri .20 cm 30 cm S ploščicami so popolnoma prekrili tla in dve

sosednji steni.

58.1. Koliko kvadratnih metrov površine so prekrili s keramičnimi ploščicami?

(5 točk) 58.2. Koliko ploščic so uporabili?

(4 točke)

58.3. Kvadratni meter ploščic stane 15 evrov. Koliko denarja bi prihranili pri nakupu ploščic,

če bi s ploščicami prekrili le tla in manjšo steno?

(6 točk)


58.1. (5 točk)

Izračun površine, npr.: 3,6 3 3 2,4 3,6 2,4S ................................ (1 + 1 + 1) 3 točke

Rezultat: 226,64 mS .............................................................................................. 1 točka

Odgovor, npr.: S keramičnimi ploščicami so prekrili 226,64 m površine. . ................. 1 točka

58.2. (4 točke)


Izračun ploščine ploščice, npr.: 220 30 600 cmpS ............................................ 1 točka

Nakazano deljenje .................................................................................................... 1* točka

Rezultat: 444 ............................................................................................................. 1 točka

Odgovor, npr.: Uporabili so 444 ploščic. ................................................................... 1 točka

58.3. (6 točk)

Izračun ploščine, npr.: 1 3,6 3 3 2,4S (ali 1 3,6 2,4S S ) ............................. 1* točka

Rezultat: 21 18 mS ................................................................................................... 1 točka

Vrednost nakupa ploščic za ploščino 1S : 270 evrov ................................................ 1 točka

Vrednost nakupa ploščic za ploščino S : 399,60 evra .............................................. 1 točka

Razlika: 129,60 evra ................................................................................................ 1* točka

Odgovor, npr.: Če bi prekrili le tla in manjšo steno, bi prihranili 129,60 evra. ........... 1 točka

59. Tina je julija s študentskim delom zaslužila 218,40 evra, Lea 98,20 evra, Meta pa 101,60 evra.

Avgusta je Tina zaslužila za petino manj, Lea je svoj zaslužek povečala za 15 % , Meta pa je

zaslužila enako kakor julija.

59.1. Izračunajte manjkajoče vrednosti in izpolnite preglednico.

Tina Lea Meta

Zaslužek julija v evrih

Zaslužek avgusta v evrih

(5 točk)

59.2. Izračunajte povprečni zaslužek deklet v juliju in povprečni zaslužek deklet v avgustu. Izračunajte, za koliko evrov je bil povprečni avgustovski zaslužek deklet nižji od povprečnega zaslužka v juliju.

(5 točk)

59.3. Meta je svoj celotni zaslužek naložila v banki, ki obrestuje obrestno po letni obrestni meri

2,5 % z letnim pripisom obresti. Izračunajte, koliko evrov več bo imela čez štiri leta.

(5 točk)


59.1. (5 točk)

Tina Lea Meta

Zaslužek julija v evrih 218,40 98,20 101,60

Zaslužek avgusta v evrih 174,72 112,93 101,60

Pravilno izpolnjena celotna prva vrstica preglednice in Metin zaslužek v avgustu .... 1 točka

Tinin zaslužek v avgustu ................................................................................ (1* + 1) 2 točki

Lein zaslužek v avgustu ................................................................................. (1* + 1) 2 točki

Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje ena točka od zadnjih štirih točk, če Tininega in Leinega zaslužka v avgustu ne vpiše v preglednico.

59.2. (5 točk)


Izračunan povprečni zaslužek deklet v juliju: 139,40 evra ............................ (1* + 1) 2 točki

Izračunan povprečni zaslužek deklet v avgustu: 129,75 evra ....................... (1* + 1) 2 točki

Razlika: 9,65 evra ...................................................................................................... 1 točka

59.3. (5 točk)

Izračun celotnega Metinega zaslužka: 203,20 evra ................................................. 1 točka

Izračun ali uporaba obrestovalnega faktorja: 1,025r ............................................. 1 točka

Zapis ali uporaba formule, npr.: 44 0G G r .............................................................. 1 točka

Znesek čez 4 leta: 224,29 evra ............................................................................... 1 točka

Razlika: 21,09 evra .................................................................................................. 1* točka

60. Diagram prikazuje načine prihoda dijakov v šolo.

60.1. Izračunajte in v preglednico zapišite število dijakov glede na način prihoda v šolo, če vemo,

da se jih z avtobusom pripelje 125 . Izračunajte število vseh dijakov na šoli.

(6 točk)

Način prihoda Peš Vlak Kolo Avtobus Osebni avto

Število dijakov

60.2. Izračunajte in v preglednico zapišite velikosti središčnih kotov v kotnih stopinjah.

(6 točk)


Velikost pripadajočega središčnega kota v stopinjah

60.3. Izračunajte verjetnost, da slučajno izbrani dijak v šolo ni prišel peš.

(3 točke)


60.1. (6 točk)

Uporaba pravilne strategije za izračun števila vseh dijakov, npr.: 0,25 125x ........ 1 točka


Izračun števila vseh dijakov: 500 .............................................................................. 1 točka

Izračunane absolutne frekvence, razen za prihod z avtobusom: ....... (1 + 1 + 1 + 1) 4 točke


Število dijakov 135 40 80 125 120

Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje ena točka, če absolutne frekvence niso zapisane v

preglednico.

60.2. (6 točk)

Uporaba pravilne strategije za izračun središčnih kotov, npr. za prihod

peš: o0,27 360 .......................................................................................................... 1 točka

Izračunane velikosti središčnih kotov: ............................................ (1 + 1 + 1 + 1 + 1) 5 točk

Način prihoda Peš Vlak Kolo Avtobus Osebni

avto

Velikost pripadajočega središčnega kota v stopinjah

97,2 28,8 57,6 90 86,4

Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje ena točka, če velikosti središčnih kotov niso zapisane v

preglednico. Opomba: Kandidat dobi vse točke, če rezultate pravilno zaokroži na cele stopinje.

60.3. (3 točke)

1. način:

Število dijakov, ki niso prišli v šolo peš, npr.: 500 135 365- ............................... 1* točka

Uporaba formule za verjetnost slučajnega dogodka in izračun, npr.:

365 0,73500

....................................................................................................... (1 + 1) 2 točki

2. način:

Verjetnost slučajnega dogodka, da je dijak prišel v šolo peš: 0,27 .......................... 1 točka

Uporaba formule za verjetnost nasprotnega dogodka in izračun, npr.:

1 0,27 0,73 ................................................................................................ (1* + 1) 2 točki

61. Ravno zemljišče ima obliko trikotnika. Ena stranica meri 70m . Drugi dve oklepata z njo kota o24

in o78 . Izračunajte velikost (ploščino) zemljišča.

(5 točk)



Tretji kot, npr.: o78 .................................................................................................... 1 točka

Izračunana druga stranica, npr.: 29,11 (m)a .................................................. (1* + 1) 2 točki

Izračunana ploščina zemljišča: 2996,5 mS ................................................... (1* + 1) 2 točki

Opomba: Ploščino, izračunano neposredno z ugotovitvijo, da je trikotnik enakokrak, npr.: 2

2sin 996,5 m2

cS

, vrednotimo s 5 točkami.

62. Dan je polinom 3 2( ) 2 8 4.p x x x x

62.1. Izračunajte ničle polinoma p x .

(5 točk)

62.2. Skicirajte graf polinoma p x .

(5 točk)

62.3. Izračunajte koordinate presečišč grafa polinoma ( )p x s premico 5 4.y x

(5 točk)



62.1. (5 točk)

Postopek, npr.: razstavljanje ali Hornerjev algoritem ....................................................... 2 točki

Določene ničle: 1 2 312, , 22

x x x , vsaka 1 točka, skupaj ...................................... 3 točke

62.2. (5 točk)

Skiciran graf ....................................................................................................................... 5 točk Od tega za vsako vidno presečišče s koordinatnima osema po 1 točka in ena točka za obliko.


62.3. (5 točk)

Nastavitev enačbe, npr.: 3 22 8 4 5 4x x x x ...................................................... 1 točka

Reševanje enačbe ......................................................................................................... 1* točka

Presečišča: 1 2 33 7(0,4), ( , ), ( 1,9)2 2

P P P , vsako 1 točka, skupaj ..................................... 3 točke

Opomba: Le abscise presečišč vrednotimo z 2 točkama od zadnjih treh.

63. Ploščina osnovne ploskve pokončnega stožca meri 264 cm , stranica pa je dolga 10 cm .

63.1. Narišite skico stožca ter izračunajte kot med stranico stožca in osnovno ploskvijo na minuto natančno.

(5 točk) 63.2. Izračunajte prostornino stožca na dve decimalni mesti natančno.

(5 točk) 63.3. Natančno izračunajte ploščino osnega preseka in plašč stožca.

(5 točk)


63.1. (5 točk)


Skica ................................................................................................................................ 1 točka

Polmer osnovne ploskve: 8 cmr ................................................................................. 1 točka

Izračunana velikost kota, npr.: cos 0,8rs

, o36,86 ............................... (1* + 1) 2 točki

Zaokrožitev na minuto natančno: o36 52́ ................................................................. 1 točka

63.2. (5 točk)

Višina stožca: 6 (cm)v .................................................................................... (1* + 1) 2 točki

Prostornina: 3402,1238... cmV ....................................................................... (1* + 1) 2 točki

Zaokrožitev: 3402,12 cmV .......................................................................................... 1 točka

63.3. (5 točk)

Ploščina preseka, npr.: pS r v ........................................................................ (1* + 1) 2 točki

Rešitev: 248 cmpS ...................................................................................................... 1 točka

Plašč: 280 cmplS ........................................................................................... (1* + 1) 2 točki

64. Ana je v treh dneh nabrala 20 kg kostanjev. Prvi dan je nabrala 14

celotne količine, drugi dan pa

40% celotne količine. Koliko kg kostanjev je nabrala prvi, koliko drugi in koliko tretji dan?

(4 točke)


Izračun, da je 14

od 20 kg enako 5 kg ..................................................................... 1 točka

Izračun, da je 40 % od 20 kg enako 8 kg ............................................................... 1 točka

Izračun, da je ostanek 7 kg ....................................................................................... 1 točka

Odgovor, npr.: Ana je prvi dan nabrala 5 kg, drugi dan 8 kg in tretji dan 7 kg

kostanja. ..................................................................................................................... 1 točka


65. Na sliki je valjasto telo s kvadratno odprtino v sredini in njegova osnovna ploskev. Višina telesa

meri 9,1 cm, stranica kvadrata 8,4 cmAB in polmer kroga 7,4 cm.SC

S

C

A B

65.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve telesa.

(3 točke) 65.2. Izračunajte površino telesa.

(6 točk) 65.3. Izračunajte prostornino telesa.

(6 točk)


65.1. (3 točke)

Izračun ploščine kroga, npr.: 2 27,4 172,03 cmKrS ......................................... 1 točka

Izračun ploščine kvadrata, npr.: 2 28,4 70,56 cmKvS .......................................... 1 točka

2 2101,47 cm 101,5 cmo Kr KvS S S ................................................................. 1* točka

65.2. (6 točk)

Zapis ali uporaba formule: 0 , ,2 pl V pl PP S S S ..................................................... 1 točka

Izračun ploščine plašča valja: 2, 2 7,4 9,1 423,1 cmpl VS ...................... (1 + 1) 2 točki

Izračun ploščine plašča prizme: 2, 4 8,4 9,1 305,8 cmpl PS ...................... (1 + 1) 2 točki

Rezultat: 2931,9 cmP ........................................................................................... 1* točka

Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če pravilno upošteva napačno izračunano ploščino osnovne ploskve.

65.3. (6 točk)

1. način:

Zapis ali uporaba formule, npr.: V PV V V .............................................................. 1 točka

Izračun prostornine valja, npr.: 2 37,4 9,1 1565,5 cmVV ....................... (1 + 1) 2 točki

Izračun prostornine prizme, npr.: 2 38,4 9,1 642,1 cmPV ........................... (1 + 1) 2 točki

Rezultat, npr.: 3923,4 cmV .................................................................................... 1 točka

2. način:


Ugotovitev, da je osnovna ploskev telesa 0S ............................................................. 2 točki

Zapis ali uporaba formule 0V S v ............................................................................ 2 točki

Rezultat, npr.: 3923,4 cmV ..................................................................................... 2 točki

Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, se mu v celoti odšteje 1 točka.

66. Andraž je imel črtasti zvezek s 14 vrsticami na vsaki strani. V prvo vrstico na prvi strani je napisal 1 črko, v vsako naslednjo vrstico pa 3 črke več kakor v prejšnjo vrstico.

66.1. Izračunajte število črk, ki jih je Andraž napisal v 9. vrstico na prvi strani.

(5 točk) 66.2. Izračunajte število črk, ki jih je Andraž napisal na prvo stran. Ali je lahko na prvo

stran napisal 300 črk?

(5 točk) 66.3. Andraž je zaključil pisanje črk, ko je v neko vrstico zapisal 37 črk.

Koliko vrstic je Andraž popisal na ta način?

(5 točk)


66.1. (5 točk)

Ugotovitev, da je število črk v zaporednih vrsticah aritmetično zaporedje ................. 1 točka

Ugotovitev, da je 1 1a in 3d ...................................................................... (1 + 1) 2 točki

Izračun, npr.: 9 1 8 25a a d ........................................................................ (1 + 1) 2 točki

66.2. (5 točk)

Uporaba formule za vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja

12 12nn

s a n d ................................................................................................. 1 točka

Ugotovitev, da je 14n ............................................................................................. 1 točka

Izračun, npr.: 1414 2 1 13 3 2872

s ........................................................ (1 + 1) 2 točki

Odgovor, npr.: Andraž na ta način na prvo stran ne more napisati 300 črk. .............. 1 točka

66.3. (5 točk)

Ugotovitev, da mora biti 37na ................................................................................ 1 točka

Zapis ali uporaba enačbe: 1 1 37a n d ............................................................. 1 točka


Rezultat: 13n .......................................................................................................... 1 točka

Odgovor, npr.: Na ta način je popisal 13 vrstic. ........................................................ 1 točka

Opomba: Če kandidat pravilno zapiše vse potrebne člene zaporedja in na podlagi tega zapisa

pravilno reši nalogo, dobi vse točke.

67. Telo sestavljata dve enaki kocki z robom 15 cm, kakor kaže slika. Razdalja med točkama 2A in

1F je 14 cm.


1A

1F

2A

2F

67.1. Izračunajte prostornino telesa. Zapišite jo v 3dm .

(4 točke) 67.2. Izračunajte površino telesa.

(6 točk)

67.3. Izračunajte razdaljo med točkama 1A in 2.F

(5 točk)


67.1. (4 točke):

Izračun prostornine ene kocke: 3 31 3375 cmV a ...................................... (1* + 1) 2 točki

Izračun prostornine telesa: 312 6750 cmV V ...................................................... 1 točka

Zapis v 3dm , npr.: 36,75 dm ................................................................................... 1* točka

67.2. (6 točk):

1. način:

Izračun površine ene kocke: 2 21 6 1350 cmP a ...................................... (1* + 1) 2 točki

Ugotovitev, da je območje, kjer se kocki stikata, pravokotnik s stranicama dolžine 14 cm in 15 cm ............................................................................................... 1 točka

Izračun ploščine pravokotnika: 214 15 210 cmS ............................................... 1 točka

Ugotovitev, da je površina telesa: 12 2P P S ..................................................... 1 točka

Izračun površine telesa: 22280 cmP ..................................................................... 1 točka

2. način:

Ugotovitev, da je površina telesa sestavljena iz kvadratov s stranico dolžine

15 cm in pravokotnikov s stranicama dolžin 1 cm in 15 cm .......................... (1* + 1) 2 točki

Izračun ploščine kvadrata: 2 215 225 cmKS ........................................................ 1 točka

Izračun ploščine pravokotnika: 21 15 15 cmPS ................................................... 1 točka


Ugotovitev, da je površina telesa: 10 2K PP S S ................................................ 1 točka

Izračun površine telesa: 22280 cmP ..................................................................... 1 točka

67.3. (5 točk)

Ugotovitev, da je razdalja med točkama 1A in 2F enaka dolžini hipotenuze

v pravokotnem trikotniku .............................................................................................. 2 točki

Ugotovitev, da sta dolžini katet v pravokotnem trikotniku 16 cm in 30 cm ................. 1 točka

Izračun 1 2A F , npr. uporaba Pitagorovega izreka:

2 2 21 2 16 30A F .................................................................................................... 1* točka

Rezultat, npr.: 1 2 34 cmA F ..................................................................................... 1 točka

68. Dan je polinom 3 2( ) 6 9 4p x x x x .

68.1. Izračunajte ničle in začetno vrednost polinoma p .

(6 točk) 68.2. Skicirajte graf polinoma v dani koordinatni sistem in zapišite, za katere vrednosti

x je polinom p pozitiven.

(4 točke) 68.3. Izračunajte vrednosti spremenljivke x , za katere je tangenta na graf polinoma

vzporedna z abscisno osjo.

(5 točk)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


68.1 1 upoštevanje, da je 3 26 9 4 0x x x

1 uporaba postopka za računanje ničel, npr. Hornerjev algoritem

3 izračunane ničle: 1,2 31, 4x x 1 + 1 + 1

1 izračunana začetna vrednost: 0 4p

Skupaj 6


68.2 3 1* + 1* + 1 Pravilno upoštevanje ničel in začetne vrednosti polinoma ter pravilna oblika grafa polinoma.


y

1

x10

–4

4

f (x)

1* rešitev, npr.: 4x Kandidat dobi postopkovno točko, če iz napačno narisanega grafa pravilno prebere vrednosti x , za

katere je polinom pozitiven.

Skupaj 4


68.3 1 Upoštevanje, da je smerni koeficient tangente

enak 0 in da je smerni koeficient tangente

enak odvodu polinoma v iskanih točkah.

1 izračun odvoda: 2'( ) 3 12 9p x x x

1* reševanje enačbe: 23 12 9 0x x

2 rešitvi enačbe: 1 21, 3x x 1 + 1

Skupaj 5

69. Oglišča pravokotnika v pravokotnem koordinatnem sistemu so podana s točkami

(1,1), (7,1), (7,3)A B C in (1,3)D .

69.1. Narišite sliko v dani koordinatni sistem in izračunajte obseg pravokotnika ABCD .

(5 točk)

69.2. Točka T leži na stranici AB , tako da je razmerje : 1 2AT TB : , točka S pa

razpolavlja stranico BC . V dani koordinatni sistem narišite točki T in S ter

izračunajte dolžino daljiceTS .

(6 točk) 69.3. Pravokotnik ABCD predstavlja plašč 3-strane prizme. Osnovna ploskev prizme je

enakostranični trikotnik. Višina prizme je 2v . Izračunajte prostornino te prizme.

(4 točke)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


69.1 2 pravilno narisan pravokotnik, npr.:


x

y

10

1(1,1)A (7,1)B

(7,3)C(1,3)D

(3,1)T

(7,2)S

2 ugotovitev, da stranici pravokotnika merita

2 in 6

1 + 1

1* izračunan obseg pravokotnika: 16

Skupaj 5


69.2 2 pravilno narisani točki T in S 1 + 1

1. način

2 ugotovitev, da je 4TB in 1BS 1 + 1

1 uporaba Pitagorovega izreka

1 rezultat, npr.: 17 4,1TS

2. način

2 ugotovitev, da so koordinate točk 3,1T in

7,2S

1 + 1

1 uporaba formule za razdaljo med dvema točkama

1 rezultat, npr.: 17 4,1TS

Skupaj 6


69.3 1 ugotovitev, da je osnovna ploskev

enakostranični trikotnik s stranico 2

2 zapis in uporaba formule za prostornino

prizme, npr.: 2 34

aV v

1 + 1

1 rezultat, npr.: 2 3 3,5V

Skupaj 4


70. List papirja ima obliko pravokotnika s stranicama 15 cm in 10 cm.

70.1. Ta list papirja zvijemo v plašč valja tako, da je krajša stranica pravokotnika višina valja.

Izračunajte prostornino valja na 3cm natančno.

(5 točk) 70.2. Na vogalih pravokotnika smo izrezali kvadrate s stranico 3 cm, kot kaže skica.

Dobili smo mrežo škatle brez pokrova. Določite robove škatle in izračunajte njeno prostornino.

(5 točk) 70.3. Izračunajte, koliko odstotkov površine škatle predstavlja ploščina dna škatle.

(5 točk)


70.1. (5 točk)

..................................................................................................................................................... I

zračunan polmer osnovne ploskve valja: 2,387... cmr ............................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... I

zračunana prostornina valja: npr. 3179,047... cmV ..................................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... Z

aokrožen rezultat: 3179 cmV ................................................................................... 1 točka

70.2. (5 točk)

..................................................................................................................................................... D

oločeni robovi škatle: 9 cm, 4 cm in 3 cm, vsak 1 točka, skupaj ............................... 3 točke

..................................................................................................................................................... I

zračunana prostornina: 3108 cmV ............................................................... (1* + 1) 2 točki

70.3. (5 točk)

..................................................................................................................................................... P

ovršina škatle: 2114 cmP ............................................................................. (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... D

no škatle: 236 cmS .................................................................................................. 1 točka

..................................................................................................................................................... O

dstotek: 32 %p (31,6 %ali 31,58 ... %) .................................................... (1* + 1) 2 točki


71. Pokončni valj in 4-strana prizma imata enaka plašča. Pri obeh je plašč kvadrat s ploščino 236 cm .

71.1. Narišite skico valja, izračunajte polmer osnovne ploskve, višino in prostornino valja. Polmer zaokrožite na 2 decimalni mesti (v cm), prostornino pa na celo število kubičnih centimetrov.

(6 točk) 71.2. Narišite skico prizme in izračunajte njeno prostornino.

(6 točk) 71.3. Izračunajte, za koliko odstotkov je prostornina prizme manjša od prostornine valja.

(3 točke)


71.1. (6 točk)

v

2r

..................................................................................................................................................... S

kica valja ....................................................................................................................... 1 točka

..................................................................................................................................................... P

olmer osnovne ploskve valja: 0,95 cmr ...................................................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... V

išina valja: 6 cmv ..................................................................................................... 1 točka

..................................................................................................................................................... P

rostornina valja: 317 cmvV ........................................................................... (1* + 1) 2 točki

71.2. (6 točk)

a

a

v

..................................................................................................................................................... Skica prizme.................................................................................................................... 1 točka


..................................................................................................................................................... R

ob osnovne ploskve prizme: 1,5 cma .......................................................... (1* + 1) 2 točki

..................................................................................................................................................... V

išina prizme: 6 cmv .................................................................................................. 1 točka

..................................................................................................................................................... P

rostornina prizme: 313,5 cmpV ..................................................................... (1* + 1) 2 točki

71.3. (3 točke)

..................................................................................................................................................... R

azlika prostornin: 33,5 cmv pV V ............................................................................ 1 točka

..................................................................................................................................................... Odstotek: 21 % (20,6 ali 20,59) .......................................................................... (1* + 1) 2 točki

72. Dani sta funkciji ( ) 2xf x in ( ) 6.g x x Narišite grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem.

S slike odčitajte koordinati njunega presečišča. Rešitev preverite z računom.

(5 točk)

y

1

x10



y

1

1 x0

P

.......................................................................................................................................................... Narisan graf eksponentne funkcije ....................................................................................... 2 točki

.......................................................................................................................................................... Narisana premica ................................................................................................................ 1 točka

.......................................................................................................................................................... Določeno presečišče: P(2, 4) .............................................................................................. 1 točka

.......................................................................................................................................................... R

ačun, npr: 2(2) 2 4 in (2) 2 6 4f g ..................................................................... 1 točka

73. Polmer nogometne žoge je meril 12 cm. Ponoči se je na mrazu prostornina žoge zmanjšala za

6 % . Izračunajte novo prostornino in polmer žoge.

(5 točk)

Rešitev


73 1 začetna prostornina žoge, npr.: 32304 7238,23 cmZV

1* upoštevanje deleža zmanjševanja

1 nova prostornina žoge, npr.: 32165,76 6803,94 cmNV

2 novi polmer žoge, npr.: 11,75 cmNr 1* + 1

Skupaj 5

74. Na sliki je graf logaritemske funkcije ( ) logaf x x . Glede na sliko izpolnite preglednico in

izračunajte vrednost osnove a .


x

y

10

1

(5 točk)

x ( )f x

1

2

Rešitev Naloga


74 2 izpolnjena preglednica:

x ( )f x

1 0

9 2

1 + 1

1 zapis enačbe, npr.: 2 log 9a

1 upoštevanje definicije logaritma, npr.: 2 9a

1 rezultat: 3a

Skupaj 5

75. Na sliki je trikotnik z obsegom 36 cm . Izračunajte dolžine stranic in ploščino trikotnika.

A B

C

5x

8x

5x

(5 točk)


Rešitev


75 1 zapis ali uporaba formule za obseg trikotnika,

npr.: 8 5 5 36x x x

1 izračun: 2x

1 izračun dolžin stranic trikotnika: 16 cmAB ,

10 cmBC CA

1 uporaba ustreznega postopka za izračun ploščine trikotnika, npr. Heronov obrazec

1 rezultat, npr.: 248 cmS

Skupaj 5

76. Dan je trikotnik ABC na sliki.

76.1. Izračunajte obseg in ploščino trikotnika ABC .

(7 točk) 76.2. Zapišite enačbo premice skozi točki B in C .

(4 točke)

76.3. Enačba premice skozi točki A in C je 4 173 3

y x .

Izračunajte velikost kota trikotnika ABC pri oglišču A .

(4 točke)

x

y

10

1

( 5, 1)A ( 1, 1)B

( 2,3)C


Rešitev Naloga


76.1 1 uporaba ustreznega postopka za izračun dolžin stranic trikotnika, npr. formule za izračun razdalje med dvema točkama

3 izračun dolžin stranic trikotnika: 4AB ,

17BC , 5CA

1 + 1 + 1

1* izračun obsega trikotnika, npr.:

9 17 13,12o

1 uporaba ustreznega postopka za izračun

ploščine trikotnika, npr.: 4 42

S

1 izračun ploščine trikotnika, npr.: 8S

Skupaj 7


76.2 2 izračun smernega koeficienta premice,

npr.: 3 1 42 1

k

1 + 1

1 uporaba postopka za izračun enačbe premice,

npr.: 1 4 1y x

1 enačba premice, npr.: 4 5y x

Skupaj 4


76.3 1 ugotovitev, da je kot pri oglišču A enak naklonskemu kotu premice skozi točki A in C

1 uporaba ali zapis smernega koeficienta

premice, npr.: 43

k

1 uporaba formule za izračun naklonskega kota,

npr.: 4tan3

1 rezultat: 53,13 °

Skupaj 4

77. Dana je racionalna funkcija 2

4 4xf x

x

.

77.1. Izračunajte ničlo in pol ter zapišite enačbo vodoravne asimptote funkcije f .

(3 točke) 77.2. Izračunajte ekstrem funkcije f .

(8 točk) 77.3. V dani koordinatni sistem narišite graf funkcije f .

(4 točke)


x

y

10

1

Rešitev Naloga


77.1 1 izračun ničle: 1x

1 izračun pola: 1,2 0x

1 enačba vodoravne asimptote: 0y

Skupaj 3


77.2 4 odvod funkcije:

2 2

4 4 3

4 4 4 2 4 8 4 8x x x x x xf x

x x x

2 + 1 + 1

1 upoštevanje potrebnega pogoja za ekstrem

funkcije: 0f x

1 reševanje enačbe, npr.:

3

4 8 0x

x

1 rešitev: 2x


1 ekstrem funkcije, npr.: 2,1E

Skupaj 8


77.3 4 skiciran graf funkcije 2 + 2

x

y

1

10

Skupaj 4 Kandidat dobi za vsako pravilno narisano vejo grafa funkcije po dve točki.

78. Janez je za jutranjo telovadbo delal počepe. Prvi dan jih je naredil 6 , potem pa vsak dan dva več

kakor prejšnji dan. Število počepov je povečeval do številke 60 , nato pa jih je vsak dan naredil

60 .

78.1. Izračunajte, kateri dan je Janez prvič naredil 60 počepov.

(5 točk)

78.2. Izračunajte, koliko počepov je Janez naredil skupaj v prvih 40 dneh.

(5 točk) 78.3. Janez je za vsak počep porabil 2 sekundi. Ali je bila minuta in pol dovolj za

vse počepe 20. dne? Odgovor računsko utemeljite.

(5 točk)

Rešit Točke Rešitev Dodatna navodila


ev Naloga

78.1 1 ugotovitev ali upoštevanje, da je zaporedje aritmetično

1 upoštevanje: 60na

1 uporaba formule za splošni člen aritmetičnega

zaporedja: 6 1 2 60n

1 reševanje enačbe

1 rezultat: 28n

Skupaj 5


78.2 2 uporaba formule za vsoto prvih n členov

aritmetičnega zaporedja, npr.:

2828 2 6 28 1 2 9242

s

1 + 1

2 izračun skupnega števila počepov za

preostalih 12 dni, npr.: 12 60 720

1* + 1

1 izračun skupnega števila počepov v 40 dneh:

924 720 1644

Skupaj 5


78.3 2 izračun dvajsetega člena zaporedja:

20 6 19 2 44a

1 + 1 Kandidat dobi prvo točko, če

upošteva formulo 20 1 19a a d .

1 izračun časa, npr.: 20 2 44 88st

1 utemeljitev, npr.: 88s je manj kakor minuta in

pol

1 odgovor: Minuta in pol je zadostovala za vse počepe 20. dne.

Skupaj 5

79. Klavdija je kupila stekleničko valjaste oblike s polmerom 1,5 cm in višino 15 cm .

79.1. V stekleničko je prelila 30 ml parfuma. Kako visoko nad dnom je gladina parfuma?

(5 točk) 79.2. Steklenička je bila v embalaži v obliki kvadra. Izračunajte površino embalaže, če je ta

najmanjša možna.

(5 točk)

79.3. Po mesecu dni je Klavdija porabila 15 % parfuma. Kako visoko je bila gladina parfuma po

enem mesecu?

(5 točk)

Rešitev Naloga



79.1 1 ugotovitev: 330 ml 30 cm

1 uporaba formule za prostornino valja, npr.:

230 1,5 v

1* preoblikovanje enačbe, npr.:

2

30

1,5v

1 rezultat, npr.: 4,2 cmv

1* odgovor, npr.: Gladina parfuma je približno

4,2 cm nad dnom.

Skupaj 5


79.2 2 Ugotovitev, da ima kvader za osnovno ploskev

kvadrat s stranico 3 cma , višina kvadra pa

meri 15 cmv .

1 + 1

2 uporaba formule za površino kvadra, npr.: 22 3 4 3 15P

1 + 1 Kandidat dobi 1 točko, če zgolj pravilno zapiše formulo

22 4P a av .

1 rezultat: 2198 cmP

Skupaj 5


79.3 1 Ugotovitev ali uporaba, da je prostornina sorazmerna z višino.

1 Upoštevanje, da je nova višina gladine

parfuma enaka 85 % prvotne višine.

1 zapis, npr.: 1 4,2 0,85v

1 rezultat: 1 3,6 cmv

1 odgovor, npr.: Po enem mesecu je bila gladina

parfuma približno 3,6 cm nad dnom.

Skupaj 5

80. Izračunajte x , tako da bodo ,x 2x , 2 1x tvorili naraščajoče geometrijsko zaporedje.

(5 točk)

Rešitev Naloga


80 1 upoštevanje definicije geometrijskega

zaporedja, npr.: 2 2 1

2x x

x x

1 preoblikovanje enačbe, npr.: 2 3 4 0x x

1* reševanje kvadratne enačbe

1 rešitev kvadratne enačbe: 1 4x , 2 1x

1 ugotovitev, da je zaporedje naraščajoče za

4x


Skupaj 5

81. Škatla za bonbone ima obliko pravilne šeststrane prizme. Osnovni rob prizme je dolg 6 cm, višina pa 5 cm. Na sliki je mreža šeststrane prizme.

81.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve prizme in velikost označenega kota na sliki.

(7 točk) 81.2. Izračunajte površino dane prizme.

(4 točke) 81.3. Skupna prostornina bonbonov v škatli je približno 254,34 cm3. Izračunajte

delež prostornine, ki jo zasedajo bonboni v škatli.

(4 točke)

Rešitev Naloga


81.1 2 uporaba formule za izračun ploščine pravilnega šestkotnika, npr.:

26 36 6

4S S

1 + 1

1 rešitev, npr.: 2 254 3 cm 93,53 cmS

1 upoštevanje, da so velikosti notranjih kotov

pravilnega šestkotnika 120

1 upoštevanje, da so velikosti notranjih kotov

pravokotnika 90

2 izračun kota , npr.:

360 120 90 90 60

1 + 1

Skupaj 7



81.2 2 izračun ploščine plašča prizme, npr.:

6 6 5 180plS cm2 1 + 1

2 izračun površine prizme, npr.: 22 54 3 180 108 3 180 cmP

367,06 cm2

1* + 1

Skupaj 4


81.3 2 uporaba formule za izračun prostornine prizme, npr.:

54 3 5 270 3V cm3 467,65 cm3

1* + 1

2 izračun deleža prostornine, ki jo zasedejo

bonboni, npr.: 254,34

0,5439467,65

1* + 1

Skupaj 4

82. Stolpčni diagram prikazuje starost članov nekega prostovoljnega gasilskega društva.

82.1. Podatke prikažite v spodnji preglednici s frekvencami in relativnimi frekvencami.

j starost jf 0jf

1 nad 0 do 10

2 nad 10 do 20

3 nad 20 do 30

4 nad 30 do 40

5 nad 40 do 50

6 nad 50 do 60

7 nad 60 do 70

8 nad 70 do 80

0

5

10

15

20

25

30

35

nad 0 do10

nad 10 do20

nad 20 do30

nad 30 do40

nad 40 do50

nad 50 do60

nad 60 do70

nad 70 do80

šte

vilo

čla

no

v

starost


(4 točke) 82.2. Koliko članov ima prostovoljno gasilsko društvo in koliko odstotkov članov je

starih nad 40 let?

(5 točk) 82.3. Izračunajte aritmetično sredino starosti članov prostovoljnega gasilskega

društva. Izračunajte, koliko članov iz starostne skupine nad 20 do 30 let bi se moralo na novo včlaniti v prostovoljno gasilsko društvo, da bi bila aritmetična sredina starosti 27 let.

(6 točk)

Rešitev Naloga


82.1 4 preglednica z absolutnimi in relativnimi frekvencami, npr.:

j starost jf 0jf

1 nad 0 do 10 8 0,0792

2 nad 10 do 20 22 0,2178

3 nad 20 do 30 30 0,2970

4 nad 30 do 40 20 0,1980

5 nad 40 do 50 10 0,0990

6 nad 50 do 60 5 0,0495

7 nad 60 do 70 4 0,0396

8 nad 70 do 80 2 0,0198

Kandidat dobi 1 točko za vsake 4 pravilno zapisane vrednosti.

Skupaj 4


82.2 2 izračun števila članov PGD, npr.:

8 22 30 20 10 5 4 2 101

1 + 1

2 izračun deleža članov, starih nad 40 let, npr.:

10 5 4 2 0,2079101

1* + 1

1 odgovor, npr.: PGD ima 101 člana, od tega je 20,79 % članov starih nad 40 let.

Skupaj 5


82.3 1 izračun aritmetične sredine razredov

2 uporaba formule za izračun aritmetične sredine starosti članov PGD, npr.:

5 8 15 22 25 30 35 20 45 10 55 5 65 4 75 2 29,26101

x

1* + 1

2 zapis enačbe, npr.:

5 8 15 22 25 30 35 20 45 10 55 5 65 4 75 227

101

x

x

1 + 1

1 rešitev: 114x

Skupaj 6


83. Luka ima v svojem prenosnem telefonu spominsko kartico velikosti 2048 MB. Na spominski

kartici 13

prostora zaseda glasba, 50 % prostora pa igrice. Največ koliko fotografij velikosti

1,2 MB lahko Luka še shrani na spominsko kartico?

(5 točk)

Rešitev Naloga


83 1 izračun, npr.: 1 2048 682,7 MB

3

1 izračun, npr.: 50 2048 1024 MB

100

1* izračun preostalega prostora, npr.:

2048 1024 682,7 341,3 MB

Kandidat lahko preostali prostor na kartici izračuna tudi tako, da ugotovi, da je preostalega

prostora 16

celotnega prostora na

njej.

1 izračun, koliko fotografij lahko shrani na

spominsko kartico, npr.: 341,3 :1,2 284,4

1 odgovor, npr.: Luka lahko na spominsko kartico shrani še največ 284 fotografij.

Skupaj 5

84. Na sliki je kvadrat s stranico 12 cm.

2a

a

a

A B

CD F

E

3a

84.1. Izračunajte dolžine stranic trikotnika AEF .

(6 točk) 84.2. Izračunajte velikost kotov FEC in .EAF

(6 točk) 84.3. Izračunajte ploščino trikotnika .AEF

(3 točke)

Rešitev Naloga


84.1 1 zapis ali upoštevanje, da je 6 cm

2a in


4 cm3a

1 zapis ali upoštevanje, da je 8 cmEC

1* uporaba Pitagorovega izreka

1 izračun dolžine stranice AE , npr.:

4 10 cmAE

1 izračun dolžine stranice EF , npr.:

10 cmEF

1 izračun dolžine stranice FA , npr.:

6 5 cmFA

Skupaj 6


84.2 1 uporaba kotne funkcije, npr.: 6tan

8

1 izračun velikosti kota , npr.: 36,87

2 uporaba kosinusnega izreka, npr.: 2 2 2

2 cosEF AE AF AE AF

Kandidat lahko velikost kota izračuna tudi tako, da z uporabo

kotnih funkcij najprej izračuna velikosti kotov BAE in FAD ter ju potem odšteje od velikosti pravega kota.

2 izračun velikosti kota , npr.: 45 1* + 1

Skupaj 6


84.3 1 uporaba Heronovega obrazca za izračun ploščine trikotnika AEF

Kandidat lahko ploščino trikotnika izračuna tudi tako, da najprej izračuna ploščine

trikotnikov ,ABE ECF in

AFD ter jih potem odšteje od ploščine kvadrata.

2 izračun ploščine, npr.:

2

18,04 18,04 12,65 18,04 10 18,04 13,42

60,10 cm

S

1* + 1

Skupaj 3

85. Otroci so ustvarjali mozaik iz kamenčkov, ki imajo obliko kocke. V prvem koraku so postavili dva kamenčka, v drugem koraku so okrog njiju postavili nov pas kamenčkov in v tretjem koraku okrog postavljenih kamenčkov spet nov pas kamenčkov (glejte sliko). Če bi tako nadaljevali, bi število na novo dodanih kamenčkov v vsakem koraku predstavljalo člene aritmetičnega zaporedja.


mozaik po

1. koraku

mozaik po

2. koraku

mozaik po

3. koraku

85.1. Zapišite prve tri člene tega zaporedja. Zapišite formulo za splošni člen tega zaporedja in jo uporabite za izračun sedmega člena tega zaporedja.

(5 točk) 85.2. En kamenček v mozaiku tehta 20 g. Izračunajte, koliko kilogramov tehtajo

kamenčki, ki jih potrebujemo za mozaik narejen iz desetih pasov.

(5 točk) 85.3. Izračunajte največjo razdaljo med dvema točkama na mozaiku, narejenem v treh

korakih (glejte desni mozaik na sliki), če imajo kamenčki obliko kocke s stranico 2 cm.

(5 točk)

Rešitev Naloga


85.1 1 zapisani prvi trije členi zaporedja:

1 2,a 2 10,a 3 18a

1 upoštevanje, da je diferenca aritmetičnega

zaporedja 8d

1 zapis formule za splošni člen aritmetičnega

zaporedja, npr.: 2 ( 1) 8na n

2 izračun sedmega člena aritmetičnega

zaporedja, npr.: 7 2 (7 1) 8 50a

1 + 1

Skupaj 5


85.2 1 uporaba formule za izračun vsote prvih desetih členov aritmetičnega zaporedja

2 izračun vsote prvih desetih členov aritmetičnega zaporedja, npr.:

1010 (2 2 (10 1) 8) 3802

s

1 + 1

1 izračun mase, npr.: 380 20 7600m g

1* pretvorba gramov v kilograme: 7,6 kgm

Skupaj 5


85.3 1* ugotovitev, da je največja razdalja enaka dolžini diagonale pravokotnika na desni sliki

2 ugotovitev, da sta dolžini stranic pravokotnika 10 cm in 12 cm

1 + 1

1 uporaba Pitagorovega izreka za izračun


dolžine diagonale

1 izračun največje razdalje, npr.:

2 210 12 15,62 cm

Skupaj 5

86. Šest 10-litrskih in pet 8-litrskih veder vode prelijemo v sod v obliki pokončnega valja s polmerom 2,5 dm. Izračunajte, kako visoko bo gladina vode v sodu, ki stoji pokonci.

(5 točk)

Rešitev Naloga


8 1 celotna količina vode: 100 l

1 pretvorba, npr.: 3100 l 100 dm

1 uporaba formule za prostornino, npr.: 2100 2,5 v

1 izražena višina, npr.:

2

100

2,5v

1 izračun višine, npr.: 5,1 dmv

Skupaj 5 Upoštevajo se vse rešitve, dobljene s pravilnim zaokroževanjem.

87. Notranji koti trikotnika ABC tvorijo aritmetično zaporedje z diferenco 10 .

Izračunajte vse notranje kote trikotnika ABC .

(5 točk)

Rešitev Naloga


87 1 zapis ali upoštevanje: o180

1 upoštevanje lastnosti aritmetičnega

zaporedja, npr.: o10 ,

o20

1 zapis in reševanje enačbe, npr.:

o o o10 20 180

1 rešitev enačbe, npr.: o50

1 rešitev, npr.: o o o50 , 60 , 70

Skupaj 5

88. Dani sta funkciji ( ) 2 3f x x in ( ) 3 3g x x .

88.1. Natančno narišite grafa obeh funkcij v dani koordinatni sistem.

Zapišite, katera izmed funkcij je naraščajoča. ____________


Zapišite, za katere vrednosti spremenljivke x je funkcija g pozitivna. _____________

(6 točk)

88.2. Računsko določite presečišče grafov funkcij f in g . Izračunajte kot, ki ga oklepata

grafa funkcij.

(6 točk)

88.3. Izračunajte ploščino trikotnika, ki je določen z grafoma funkcij f in g ter abscisno osjo.

(3 točke)

y

x

1

10

Rešitev Naloga



88.1 4 narisana grafa obeh funkcij

x

y

1

10

3

f(x)

g(x)

2 + 2

1 funkcija f je naraščajoča

1 funkcija g je pozitivna za 1x

Skupaj 6


88.2 1 upoštevanje: ( ) ( )f x g x

1 rešitev enačbe: 0x

1* presečišče: 0,3P

1 upoštevanje smernih koeficientov v formuli,

npr.:

2 3tan

1 2 3

1 izračun: tan 1

1 rešitev: o45

Skupaj 6


88.3 1* dolžina stranice trikotnika na abscisni osi, npr.:

52

1* višina trikotnika, pravokotna na abscisno os,

npr.: 3

1 ploščina trikotnika, npr.:

154

S

Skupaj 3

Documents

FORMULE - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2015/10/Taks123R.pdf · a b c R D E J Kosinusni izrek: a b c bc2 2 2 2 cosD 3. Površine in prostornine geometrijskih teles