ТРИГОНОМЕТРИЈА

ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФУНКЦИЈЕ:

СИНУС – sin КОСИНУС- cos

ТАНГЕНС – tg КОТАНГЕНС - ctg

СЕКАНС – sec КОСЕКАНС – cosec

ОШТРИ УГЛОВИ У ПРАВОУГЛОМ ТРОУГЛУ:

hipotenuza

katetanaspramna)ugaosin(

hipotenuza

katetanalegla)ugaocos(

katetanalegla

katetanaspramna)ugao(tg `

katetanaspramna

katetanalegla)ugao(ctg

katetanalegla

hipotenuza)ugaosec(

katetanaspramna

hipotenuza)ugao(eccos

РАДИЈАНА = 180

b

ceccos

a

ceccos

a

csec

b

csec

b

actg

a

bctg

a

btg

b

atg

c

acos

c

bcos

c

bsin

c

asin

1xcosxsin

xsin

1ecxcos

xcos

1xsec

1ctgxtgxtgx

1ctgx

xsin

xcosctgx

xcos

xsintgx

22

За комплементне углове 90 важи:

cossin

sincos

ctgtg

tgctg

eccossec

sececcos

ВРЕДНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ ФУНКЦИЈА ЗА УГЛОВЕ ОД 30°, 45°, 60°:

30°6

45°

4

60°

3

sin 2

1

2

2

2

3

cos 2

3

2

2

2

1

tg 3

3 1 3

ctg 3 1 3

3

3

2

a2

3a

30ctg

3

3

3

1

2

3a

2

a

30tg

2

3

a2

3a

30cos

2

1

a2

a

30sin

3

3

3

1

2

3a

2

a

60ctg

3

2

a2

3a

60tg

2

1

a2

a

60cos

2

3

a2

3a

60sin

1a

a45ctg

1a

a45tg

2

2

2

1

2a

a45cos

2

2

2

1

2a

a45sin

1. У правоуглом троуглу a=8см, b=6cm. Одредити вредности свих

тригонометријских функција углова и .

2. У правоуглом троуглу с=10см а 3

2tg . Одредити катете.

Решење:

13

1320

13

1330

3

2b

3

2a

13

1330

13

13

13

30

13

900b

13

900b100b

9

13

100bb9

4

10bb3

2

cba

b3

2a

3

2

b

a

b

atg

22

22

22

2

222

10c

100c

c3664

cba

2

2

222

4

5

8

10

a

ceccos

3

5

6

10

b

csec

4

3

8

6

a

bctg

3

4

6

8

b

atg

5

3

10

6

c

bcos

5

4

10

8

c

asin

3

5

6

10

b

ceccos

4

5

8

10

a

csec

3

4

6

8

b

actg

4

3

8

6

a

btg

5

4

10

8

c

acos

5

3

10

6

c

bsin

3. У правоуглом троуглу c=24 а 8,0sin . Одредити катете.

4. Одредити вредности осталих тригонометријских функција оштрог угла

ако је: а) 8,0sin б) 225,0tg

а)

4,1436,207b

36,20764,368576b

576b64,368

24b2,19

cba

2,195

96a

96a5

5

4

24

a

5

48,0

c

a

c

asin

2

2

222

222

5

3cos90

5

3cos

25

9

25

161cos

1cos25

16

1cos5

4

1cossin

5

48,0sin

2

2

2

2

22

4

5

sin

1eccos

3

5

cos

1sec

4

3

tg

1ctg

3

4

5

35

4

cos

sintg

Оштар

угао=> 90 =>вредности свих

тригонометријских

функција су

позитивне

б)

5. Доказати идентитете:

а)

sin

cos1

cos1

sin

41

40cos90

41

40cos

1681

1600cos

1600cos1681

1600cos1600cos81

16001coscos1600

81

1coscos40

9

1cossin

cos40

9sin

40

9

cos

sin

40

9225,0tg

2

2

22

22

2

2

22

9

41

sin

1eccos

40

41

cos

1sec

9

40

tg

1ctg

41

9

41

40

40

9cos

40

9sin

T11

1cossin

cos1sin

cos1cos1sinsin

sin

cos1

cos1

sin

22

22

б) 1cossincossin 2224

1

в) 2222 ctgcoscosctg

г) 272cos54cos36cos18cos 2222

T11

1cossin

1coscossinsin

1cossincossin

22

2222

2224

T22

211

118sin36sin36cos18cos

172cos54cos36cos18cos2222

2222

36sin54cos

905436

18sin72cos

907218

Tcoscos

coscoscos

cossin1cos

coscoscossincos

sinsin

coscoscos

sin

cos

ctgcoscosctg

44

422

422

22222

2

2

2

22

2

2

2222

22

22

sin1cos

1cossin

136cos36sin

118cos18sin22

22

д)

cossin

tg1

cos

ctg1

sin1

22

ђ) 01cossin3cossin2 4466

1

Tcossincossin

cossincossin

sincoscossin

cossincossin

sincoscossin

cossincossin

cos1cossin1sin

cossincossin

cossincossin

cossincossin

cos

cossin

sin1

cossin

cos

sincos1

cos

sin

cossin1

sin

1

cossin

cos

sincos

cos

sin

cossin

sin1

cossin

cos

sin1

cos

sin

cos1

sin1

cossintg1

cos

ctg1

sin1

22

22

33

33

22

22

22

22

22

22

22

cos1sin

sin1cos

1cossin

00

011

01cossin

01coscossin2sin

01coscossin2sin

01cos3sin3cos2cossin2sin2

01cos3sin3coscossinsincossin2

01cos3sin3cossin2

01cossin3cossin2

222

4224

4224

444224

44422422

443232

4466

2233 BABABABA

e) 1tg

2

1tgcos

cos21

sincos1cossin

cossin22

233

Tcossin

cos2

cossin

cos2

cossin

cos2

cossincossin

cossincos2

cossin

cos2

cossincossin

cos2cossin2

cossin

cos2

cossincossin

cos21cossin21

cossin

cos2

cossincossin

cos21coscossin2sin

1

cossin

cos2

cossincossin

cos21cossin

cos

cossin

2

cossincossin

cos21

cossin

cossin

1tg

2

cossin

cos21

cossin

cossin

1cos

sin

2

coscos

sincos

cos21

sincos1cossin

cossin1cossin

1tg

2

1cos

sincos

cos21

sincos1cossin

coscossinsincossin

1

1tg

2

1tgcos

cos21

sincos1cossin

cossin

2

2

222

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

22

233

ж) 3xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin22

443333

ТРИГОНОМЕТРИЈСКА КРУЖНИЦА – кружница са центром у координатном

почетку, полупречника 1.

T3331xcosxsin1xcosxsin1

3xcosxsin

xcosxsinxcosxsin

1

xcosxsin

xcosxcoxsinxsinxcosxsin

xcosxsin

xcosxcoxsinxsinxcosxsin

11

3xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

3xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

22

2222

2222

22

443333

22

443333

Позитивна оријентација-

супротно смеру казаљки на

сату

Негативна оријентација- као

смер казаљки на сату

КВАДРАНТИ:

ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФУНКЦИЈЕ:

СИНУС ( у-оса) КОСИНУС (х-оса)

ТАНГЕНС КОТАНГЕНС

0° 0 90°2

180° 270°

2

3

Sin 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tg 0 / 0 /

ctg / 0 / 0

Знак тригонометријских функција

SIN

COS

TG, CTG

+ +

- -

- +

- +

- +

+ -

6. Одредити вредности осталих тригонометријских функција ако је:

а) 3

1sin и

2

3

б) 2

1cos и

2

3

22cos

0cos.IIIkv2

3

3

22cos

9

8

9

11cos

1cos9

1

1cos3

1

1cossin

3

1sin

2

2

2

2

22

22tg

1ctg

4

2

2

2

22

1

3

22

3

1

cos

sintg

2

3sin

0sin.IIkv2

2

3sin

4

3

4

11sin

14

1sin

12

1sin

1cossin

3

1cos

2

2

2

2

22

3

3

3

3

3

1

tg

1ctg

3

2

12

3

cos

sintg

в) 3

2tg и 0

Интервал 0 обухвата два квадранта ( први и други) али с обзиром да је

3

2tg

г) 3

4ctg и

20

7. Израчунати вредност израза xcosxsin

xcosxsin33

33

ако је 2tgx .

5

4

5

3

3

4sin

3

4cos

5

3sin

0sinIkv

5

3sin

25

9sin

9sin25

9sin16sin9

91sin9

16sin

1sin3

4sin

1cossin

sin3

4cos

3

4

sin

cos

4

3tg

ctg

1tg

3

4ctg

2

2

22

22

2

2

22

7

9

xcos7

xcos9

xcosxcos8

xcosxcos8

xcosxcos2

xcosxcos2

xcosxsin

xcosxsin

xcos2xsin2xcos

xsin2tgx

3

3

33

33

33

33

33

33

8. Ако је 1cos2sin

cossin3

израчунати 2tg .

9. Израчунати sin и cos ако је 5cos4sin3

2

3tg

3tg2

3cos

sin2

cos:cos3sin2

coscos2sinsin3

cos2sincossin3

cos2sin1cos2sin

cossin3

1cossin

5cos4sin322

Смене: bcosasin

1ba

5b4a322

1b3

b45

3

b45a

2

2

5

4cos

5

3sin

5

3

35

9

35

165

3

b45a

5

4b04b504b5

016b40b25

9b9b16b4025

91b9

b16b4025

2

2

22

2

2

ПЕРИОД ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ ФУНКЦИЈА:

SIN, COS: T= 2

cosk2cos

sink2sin Zk

TG, CTG : T=

ctgkctg

tgktg Zk

10. Упростити израз:

780cos1860sin405ctg

1140tg390cos750sin

3

2

1

2

31

32

3

2

1

780cos1860sin405ctg

1140tg390cos750sin

2

160cos603602cos780cos

2

360sin603605sin1860sin

145ctg45360ctg405ctg

360tg603603tg1140tg

2

330cos30360cos390cos

2

130sin303602sin750sin

НЕГАТИВАН УГАО:

ctgctg

tgtg

coscos

sinsin

-

11. Упростити изразе:

а) 2cossin1

ctgcossin

б) xtg1

xcosxsin

xcosxsin

xsin2

2

2

2

2

2

2

222

2

222

ctg2

1

sin2

cos

cossin2

coscos

cossin2sin

sin1cos

cossin211sin

1sincos

cossin211sin

coscossin

cossin211sin

coscossin

coscossin2sin1sin

coscossin

cossin1

ctgcossin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsinxcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcosxsin

xcos

xcosxsin

xsin

xcosxsinxsinxcos

xcosxsinxcos

xcosxsin

xsin

xsinxcos

xcosxsinxcos

xcosxsin

xsin

xcos

xsinxcos

xcosxsin

xcosxsin

xsin

xcos

xsin1

xcosxsin

xcosxsin

xsin

xtg1

xcosxsin

xcosxsin

xsin

2222

22

22

22

2

22

2

2

2

2

2

2

в)

2

22

66

eccos

1

sec

1

4

3cossin

г)

tgsec

1

cos

1tg

3

СВОЂЕЊЕ НА ПРВИ КВАДРАН

4

1cossin

4

1

cossincos2sin4

1cos

4

1cossin

2

1sin

4

1

sin4

3sincos

2

3cos

4

3coscossinsin

sinsincos2cos4

3coscossinsincossin

sincos4

3cossin

eccos

1

sec

1

4

3cossin

222

42244224

42244224

4224422422

2223232

2

22

66

2

2

2

2

eccos

1sin

eccos

1sin

sin

1eccos

sec

1cos

sec

1cos

cos

1sec

3

2

3

2

3

23

3

23

3

22

3

2222

3

4222

3

4222

3

42

33

33

cos

sin

sin1cos

sin1sin

sin1cos

sinsin

sin1cos

cos1sin

sin1cos

1cossinsin

sin1cos

1cossincos1cossin

1

sin1cos

cossin1cossincossin

sin1cos

cossin1cossincossin

sin1cos

cossin1sin1cossin

sin1

cos

cos

1

cos

sin

cos

sin1

1

cos

1

cos

sin

cos

sin

cos

1

1

cos

1

cos

sin

tgsec

1

cos

1tg

1cossin

cos1sin

1cossin

22

22

22