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Formelsammlung Mathematik

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Formelsammlung fr den Modullehrgang 1 Eintrittsprfung 1)Zahlenbereiche Natrliche Zahlen = positive Zahlen { } 1, 2, 3, = Ganze Zahlen = Positive und negative Zahlen, sowie Null { } 0, 1, 2, 3, = Rationale Zahlen = Bruchzahlen pp, q und q 0q = ` ) Reelle Zahlen = Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht durch Brche darstellen lassen (irrationale Zahlen) "vollstndige" Zahlengerade = 2)Griechisches Alphabet 3)Logische Symbole F x t fo E x aus F von Teilmenge keine ist E F EF x t fo E x aus F von Teilmenge eine ist E F EElemente gleiche enthalten D und C D gleich C D CA von Element kein ist AA von Element ist Avereinigt n geschnitteoder undungefhrgrer gleich grerkleiner gleich kleiner = > < lg ;lg ;,7 75 5 Formelsammlung fr den Modullehrgang 2 4)Potenz- und Wurzelgesetze Definitionen nn Faktorena a a a mit n=

0 10 = a mit a a a =1 Rechengesetze (1) n m n ma a a+= Multiplikation bei gleicher Basis (2) n n nb a b a ) ( = Multiplikation bei gleichem Exponenten (3)0 =a mit aaan mnmDivision bei gleicher Basis (4)0 ||

\|= b mitbabannnDivision bei gleichem Exponenten (5)( )n mnma a= Potenzieren (6)01 1||

\|= =a mita aannnPotenzen mit negativem Exponenten (7)01 1 = =||

\|a mit aa annnPotenzen mit negativem Exponenten (8)0 , ||

\|=||

\|b a mitabban nPotenzen mit negativem Exponenten Wurzeln (a, b 0) (1) mm nna a mit a 0, m , n = (4) n n na b a b mit n = (2) 1nn1a mit a 0, na= (5) ( )qm mq n na a mit n, q , m = (3) nnna amit b 0, nb b= (6) p npn m ma a mit n, p ,m = 5)Satz von Pythagoras 2 2 2c b a = + Formelsammlung fr den Modullehrgang 3 6)Binomische Formeln ( ) ( )( )( )3 2 2 3 32 2 22 23 32b ab b a a b ab ab a b ab a b a b a + = + = = + 7)Quadratische Gleichung ( ) ( )2 122 1 2 122 , 12:240x x x x a c bx axacx xabx x Vietaaac b bx c bx ax = + += = + = = + + 8)Funktionen a.) Lineare Funktionen Steigungxymq mx y=+ = b.) Quadratische Funktionen c bx ax y + + =2 Scheitelpunktformel: 22 22b b b 4ac by ax bx c a x c S |2a 4a 2a 4a| | | |= + + = + + ||\ \ Formelsammlung fr den Modullehrgang 4 9)Ebene Figuren AFlcheninhaltu Umfang a.)Dreieck b.)Viereck Formelsammlung fr den Modullehrgang 5 c.)Kreis 10) Krper Formelsammlung fr den Modullehrgang 6 Formelsammlung fr den Modullehrgang 7 Algebra und Arithmetik Folgen und Reihen Allgemein gilt: (1)n (2) 1a 1. Folgenglied na n-tes Folgenglied Teilsummenfolge nn 1 2 3 n kk 1s a a a a a== + + + + = Arithmetische Folge Graph Konstante Differenz n 1 nd a a+= Explizite Darstellung( )n 1a a n 1 d = + Rekursive Darstellung n 1 na a d+= +Summenformel ( )( )n 1 n 1n n 1 dns a a a n2 2 = + = + Geometrische Folge Allgemein:q 1, q 0 Graph Konstanter Quotient n 1naqa+=Explizite Darstellung n 1n 1a a q= Rekursive Darstellung n 1 na a q+= Summenformel Formelsammlung fr den Modullehrgang 8 endlich unendlich n nn 1 11 q q 1s a a1 q q 1 = = 11s a q 11 q= < Fibonacci-Folge n 2 n n 1 1 2a a a mit a 1, a 1+ += + = = Exponential- und Logarithmusfunktionen Allgemeine Exponentialfunktion xy a a 1, x = > Natrliche Exponentialfunktion xy e e Eulersche Zahl, x = Logarithmusfunktion( )ay log x x 0, a 1 = > > Logarithmus Basen (1) Allgemeiner Logarithmus( )xax log b a b = =(2) Dekadischer Logarithmus( ) ( )x10x log b lg b 10 b = = =(3) Natrlicher Logarithmus( ) ( )xex log b ln b e b = = =(4) Binrer Logarithmus( ) ( )x2x log c lb c 2 c = = =Basiswechsel( )( )( )blg xlog xlg b=Logarithmengesetze p, q 0 >( ) ( ) ( )a a alog pq log p log q = +( ) ( )a a aplog log p log qq| | = |\ ( ) ( )na alog p n log p = ( )( )na a1log p log pn= Formelsammlung fr den Modullehrgang 9 Geometrie 1.Allgemeine Bezeichnungen ABC Winkel mit dem Scheitel B ____AB Strecke von A nach B Winkelbeschriftung mit griechischen Buchstaben (siehe Formelsammlung Eintrittsprfung) 2.Winkel Formelsammlung fr den Modullehrgang 10 3.Winkelmae Grad: 1 60 (Minuten) 3600 (Sekunden) = = bzw. 180 bb Bogenmass =180 = Radiant:b180 = 4.Einheitskreis und Winkelfunktionen ( )( )( )( )( )Gsin xHAcos xHsin xGtan xcos x AG GegenkatheteA AnkatheteH Hypotenuse=== = 5.Trigonometrische Grundbeziehungen Trigonometrischer Pythagoras 2cos ( ) sin ( ) 1 + =Komplementr- und Supplemetrwinkelstze ( )( )( )( )sin(90 ) sin 90 cos( )cos(180 ) cos 180 cos( )cos(90 ) sin(180 ) sincos(90 ) sin(180 ) sin = + = + = = = = + = + = Formelsammlung fr den Modullehrgang 11 6.Spezielle Winkel: Hhen- und Tiefenwinkel Horizontalebene 7.Rechtwinkliges Dreieck Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck Satz von Pythagoras 2 2 2c a b = + 8.Allgemeines Dreieck Winkelsumme180 Sinus-Satz ( ) ( ) ( )a b c2Rsin sin sinR Umkreisradius= = = Cosinus-Satz ( )( )( )2 2 22 2 22 2 2a b c 2 b c cosb a c 2 a c cosc a b 2 a b cos= + = + = + Flchenberechnung Allgemein Formel von Heron ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2a b sin b c sin a c sinA2 2 2a b c2 R sin sin sin4 RR Umkreisradius = = = = = = ( ) ( ) ( )a b cA s s a s b s c wobei s2+ += =Formelsammlung fr den Modullehrgang 12 Inkreisradius ( ) ( ) ( )Arss a s b s ca b cr mit ss 2= + += = Kongruenz und hnlichkeit KongruenzstzeSSS - Stimmen zwei Dreiecke im Verhltnis der drei Seitenlngen berein, dann sind sie hnlich zueinander. SWS Stimmen zwei Dreiecke im Verhltnis der Lngen zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossene Winkel berein, dann sind sie hnlich. Ssw Stimmen zwei Dreiecke im Verhltnis zweier Seitenlngen und in dem der grsseren Seite gegenberliegenden Winkel berein, dann sind sie hnlich. WSW Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln berein, dann sind sie hnlich zueinander. Strahlenstze Formelsammlung fr den Modullehrgang 13 Wahrscheinlichkeit Kombinatorik n , k , k n Fakulttn! 1 2 3 n 0! 1 1! 1 = = = Binomialkoeffizient ( )( ) ( ) n n n 1 n k 1n!k k! n k ! 1 2 k + | | = = | \ Anzahl der geordneten Stichprobe mit Zurcklegen (Variation mit Wiederholung): kn Anzahl der geordneten Stichprobe ohne Zurcklegen (Variation ohne Wiederholung): ( )( ) ( )n!n n 1 n k 1n k != + Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurcklegen (Kombination ohne Wiederholung): nk|||\ Anzahl der mglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen (Permutation ohne Wiederholung) n! Wahrscheinlichkeitsrechnung wwEreignisraum, E EreignisE Gegenereignisn Anzahl der Versuchef Absolute Hufigkeith Relative Hufigkeit ( )A B A oder BA B A und BP E Wahrscheinlichkeit von E Relative Hufigkeit wwfhn=Gleichwahrscheinlichkeit ( )g Anzahl der gnstigen FlleP Em Anzahl der mglichen Flle= =Gegenwahrscheinlichkeit ( )( ) P E 1 P E = Formelsammlung fr den Modullehrgang 14 Additionsstze ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P E F P E P F P E F vereinbare EreignisseP E F P E P F unvereinbare Ereignisse = + = +und Multiplikation oderAddition Bernoulli Experiment Ziehen mit Zurcklegen ( ) ( )k n knn Gesamtumfang der Stichprobek Anzahl der Erfolgep Wahrscheinlichkeit fr Erfolgq 1 p Wahrscheinlichkeit fr MisserfolgnP k P "Genau k Erfolge in n Versuchen" p qk= | |= = |\ Hypergeometrische Verteilung Ziehen ohne Zurcklegen ( )121 211 2nN Gesamtumfang der Stichproben Kleine Stichprobe aus demGesamtumfangT 1.TeilmengeT 2.TeilmengeT T Nk Anzahl der Erfolge aus TT Tk n kP kNn+ =| | | | ||\ \ =| | |\