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FormelsammlungSo läuft die nächste Klausur!
Mathematik | Physik | Chemie
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3
1. Nützliches1.1 Römische Zahlenzeichen 1.2 Griechisches Alphabet 1.3 Einheiten von Größen
2. Zahlenbereiche2.1 Teilbarkeiten in2.2 Termumformungen2.3 Bruchrechnen2.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen2.5 Mittelwerte
3. Prozentrechnung3.1 Grundbegriffe
4. Zinsrechnung4.1 Grundbegriffe
5. Geometrie5.1 Das Dreieck5.2 Das Viereck5.3 Strahlensätze5.4 Vektoren in der Ebene5.5 Stereometrie
Inhaltsverzeichnis
*
6. Trigonometrie6.1 Kreisfunktionen6.2 Ebene Trigonometrie
7. Lösen von Gleichungen7.1 Äquivalenzumformungen7.2 Lineare Gleichungen 7.3 Quadratische Gleichungen7.4 Polynome n-ten Grades7.5 Gleichungen n-ten Grades
8. Stochastik8.1 Ereignisse8.2 Kombinatorik8.3 Wahrscheinlichkeit8.4 Verteilungen
9. Physik9.1 Größen und Einheiten
10. Chemie10.1 Formeln und Periodensystem© DSA youngstar GmbH, 2012
445
67779
10
10
1113141517
1920
2021212222
23232426
30
32
4
1. Nützliches1.1 Römische Zahlenzeichen
Römische Zahlen sind Zahlenzeichen (Symbole), die ihren Ursprung in der römischen Antike haben. Die Darstellung der Zahlen beruht auf der Addition und Subtraktion der Werte von sieben Symbolen.
Zahl Zeichen Zahl Zeichen Zahl Zeichen
1 I 11 XI 30 XXX
2 II 12 XII 40 XL
3 III 13 XIII 50 L
4 IV 14 XIV 60 LX
5 V 15 XV 99 XCIX
6 VI 16 XVI 100 C
7 VII 17 XVII 300 CCC
8 VIII 18 XVIII 400 CD
9 IX 19 XIX 500 D
10 X 20 XX 1.000 M
1.2 Griechisches Alphabet (Druckbuchstaben)
A a Alpha H h Eta N n Ny T t Tau
B b Beta Q q Theta X x Xi U u Ypsilon
G g Gamma I i Jota O o Omikron F f Phi
D d Delta K k Kappa P p Pi C c Chi
E e Epsilon L l Lambda R r Rho Y y Psi
Z z Zeta M m My S s Sigma W w Omega
Das griechische Alphabet ist die Weiterentwicklung der phönizischen Schrift. Sie wird seit dem 9. Jahrhundert v. Chr. geschrieben. Es umfasst 24 Buchstaben.
5
1.3 Einheiten von Größen
Länge1 km = 1.000 m1 m = 10 dm1 dm = 10 cm1 cm = 10 mm
1 m = 0,001 km1 dm = 0,1 m1 cm = 0,01 m1 mm = 0,1 cm
Fläche1 km2 = 100 ha1 ha = 100 a1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2
1 dm2 = 100 cm2
1 cm2 = 100 mm2
1 a = 0,01 ha1 m2 = 0,01 a1 dm2 = 0,01 m2
1 cm2 = 0,0001 m2
1 mm2 = 0,01 cm2
Rauminhalt1 m3 = 1.000 dm3
1 dm3 = 1.000 cm3
1 cm3 = 1.000 mm3
1 dm3 = 0,001 m3
1 cm3 = 0,001 dm3
1 mm3 = 0,001 cm3
Volumen1 hl = 100 l1 l = 100 cl1 cl = 10 ml
1 l = 1 dm3
1 cl = 10 cm3
1 ml = 1 cm3
Masse1 t = 10 dt1 dt = 100 kg1 kg = 1.000 g1 g = 1.000 mg
1 kg = 0,001 t1 kg = 0,01 dt1 g = 0,001 kg1 mg = 0,001 g
Zeit1 Jahr = 12 Monate1 Monat = 28 - 31 Tage1 Tag = 24 h 1 h = 60 min1 min = 60 s
1 Tag = 1.440 min1 Tag ≈ 0,00274 Jahre1 Jahr ≈ 8.766 h*1 min ≈ 0,0167 h*Bedingt durch das Schaltjahr werden sechs Stunden zu einem Jahr (8.760 Stunden) dazu gerechnet.
6
Zahlen ohne Null nicht negativ positiv nicht
positiv negativ
natürliche – –
ganze
rationale
reelle
2.1 Teilbarkeit in
Teiler (t|a): t ist Teiler von a, wenn es eine Zahl b gibt, sodass t · b = a ergibt.
1) Ist t Teiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Summe a + b.2) Ist t Teiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Differenz a - b.3) Ist t Teiler von a und a Teiler von b, dann ist t auch Teiler von c (Transitivität).4) Ist t Teiler von a, dann ist t Teiler jedes Produktes a · b.
Teiler t Eine natürliche Zahl ist durch t teilbar, …
2 wenn ihre letzte Ziffer eine 2, 4, 6, 8 oder 0 ist.
3 wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
4 wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.
5 wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.
6 wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
8 wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.
9 wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
10 wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
2. Zahlenbereiche
= {0, 1, 2, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2…} x x kn
,k und n� � �{ }= | = ∈ ∈ ∗
*
*
*
oder0 ≥ +
oder0 ≥ +
oder0 ≥ +
oder0 > +∗
oder0 > +∗
oder0 > +∗
oder0 ≤ −
oder0 ≤ −
oder0 ≤ −
0 oder * < −
oder0 < −∗
oder0 < −∗
*
Teilbarkeitsregeln
*
*
=
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
7
Addition Multiplikation
Kommutativgesetz a + b = b + a a · b = b · aAssoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · cDistributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c
Binomische Formeln(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b) · (a - b) = a2 - b2
2.3 Bruchrechnung
Erweitern/Kürzen
Addition/Substraktion
Multiplikation/Division
2.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Potenz , Basis a (Grundzahl) und Exponent n (Hochzahl).
Sonderfälle sind:
Für gilt mit
2.2 Termumformungen
ab
cd
ad bcbd
+ =+
ab
cd
a db c
: =⋅
⋅
ab
a cb c
=⋅
⋅
ab
a cb c
=:
:
ab
cd
a cb d
⋅ =⋅
⋅
ab
cd
ad bcbd
− =−
a a a a mit a \ ; nn
n Faktoren a
0� ����� ����� � �= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
a a a a mit a \ ; nn
n Faktoren a
0� ����� ����� � �= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
a a , a a, aa
-nn1 0 10 1= ( ≠ ) = =
a a apq p q pq
1
= ( ) = a a p q0� � �, , ,∈ > ∈ ∈ ∗
gleiche Basis gleicher Exponent Potenzieren
a a am n m n⋅ = +
a a am n m n: = −
a b a bn n n( )⋅ = ⋅
a b a bn n n( ): = :( ) ( )a a am n mn n m= =
Potenzen
a a , a a, aa
-nn1 0 10 1= ( ≠ ) = =a a , a a, a
a-n
n1 0 10 1= ( ≠ ) = =
Nenner 0 a a , a a, aa
-nn1 0 10 1= ( ≠ ) = =
Die Gesetze gelten für alle m,n bei positiven reellen Basen. Für m,n gelten sie bei Basen aus .
a a p q0� � �, , ,∈ > ∈ ∈ ∗
a a p q0� � �, , ,∈ > ∈ ∈ ∗a a a a mit a \ ; nn
n Faktoren a
0� ����� ����� � �= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈a a a a mit a \ ; nn
n Faktoren a
0� ����� ����� � �= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈a a a a mit a \ ; nn
n Faktoren a
0� ����� ����� � �= ⋅ ⋅ … ⋅ ∈ { } ∈
8
a = cn ist gleich (gelesen: n-te Wurzel aus a).
Man nennt a Radikand, n Wurzelexponent, Quadratwurzel und Kubikwurzel.
a n c� �, \ 1 0∈ ∈ { }, ≥∗
Wurzelgesetze
Für alle und gilt:
1)
2) 3)
4)
Wurzeln
Das Wurzelziehen ist eine Art umgekehrtes Quadrieren: Man sucht eine Zahl, sodass das Quadrat dieser Zahl unsere ursprüngliche Zahl ergibt.
c an= a n c� �, \ 1 0∈ ∈ { }, ≥∗
a a2 = a3
Notizen
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
nn
mn mn nm
mn nm
ma mknk *
�
�
�
( )
( )
{ }∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
=
= =
=
= ∈
+
−
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
nn
mn mn nm
mn nm
ma mknk *
�
�
�
( )
( )
{ }∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
=
= =
=
= ∈
+
−
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
nn
mn mn nm
mn nm
ma mknk *
�
�
�
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( )
{ }∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
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= =
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= ∈
+
−
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
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mn mn nm
mn nm
ma mknk *
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�
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( )
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∈ ≥
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⋅ = ⋅
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= =
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= ∈
+
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a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
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a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
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mn nm
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∈ ≥
⋅ =
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= =
=
= ∈
+
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1
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m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
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ab
ab
a a a
a a
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m n m nmn
n n n
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mn nm
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{ }∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
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= =
=
= ∈
+
−
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
nn
mn mn nm
mn nm
ma mknk *
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�
�
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∈ ≥
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⋅ = ⋅
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= ∈
+
−
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
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m n m nmn
n n n
m
nm nmn
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mn nm
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∈ ≥
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⋅ = ⋅
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= ∈
+
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1
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m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
nn
mn mn nm
mn nm
ma mknk *
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�
�
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( )
{ }∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
=
= =
=
= ∈
+
−
a a , a a, aa
-nn1 0 10 1= ( ≠ ) = =a n c� �, \ 1 0∈ ∈ { }, ≥∗ a n c� �, \ 1 0∈ ∈ { }, ≥∗
.
1
0
m, n \
a, b , a, b
a a a
a b a b
aa
a
ab
ab
a a a
a a
a a k
*
m n m nmn
n n n
m
nm nmn
n
nn
mn mn nm
mn nm
ma mknk *
�
�
�
( )
( )
{ }∈
∈ ≥
⋅ =
⋅ = ⋅
=
=
= =
=
= ∈
+
−
9
b = ac ist gleich c = loga b (gelesen: Logarithmus b zur Basis a).
Man nennt c Logarithmus, a Basis, b Numerus.
Insbesondere gilt: loga 1 = 0, loga a = 1,
Logarithmen
1 0 0a \ , b , b ∈ { }, ∈ >
a blog ba =
2.5 Mittelwerte
bei 2 Größen a1 , a2 bei n Größen a1 , a2,… , an
ArithmetischerMittelwert
GeometrischerMittelwert
Quadratischer Mittelwert
Der Mittelwert beschreibt den statistischen Durchschnittswert. Für den arithmeti-schen Mittelwert addiert man alle Werte eines Datensatzes und teilt die Summe durch die Anzahl aller vorhandenen Werte.
A = a a12 1 2( + )
G = a a1 22 ⋅ G = a a ... an
n1 2⋅ ⋅ ⋅
Q =n
a a a2n21
12
22 ( + + ... + )
A =n
a a ... an1
1 2( + + + )
Q a a= 12 1
2222 ( + )
g g
Achtung: log1 a ist nicht erklärt!
12
0
2 2
2 2 2
u, v
r
x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
12
0
2 2
2 2 2
u, v
r
x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
Logarithmengesetze
Basiswechsel log b log blog c
ln bln c
lg blg cc
a
a
= = =
u v u vlog log loga a a( ⋅ ) = +
log uv
log u log va a a= −
log u r log u rar
a = ( ∈ )
1 1log un
log u n * \an
a = ( ∈ { })
Für jede zulässige Basis, für alle und gilt:
12
0
2 2
2 2 2
u, v
r
x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
12
0
2 2
2 2 2
u, v
r
x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>
1 0 0a \ , b , b ∈ { }, ∈ >1 0 0a \ , b , b ∈ { }, ∈ >1 0 0a \ , b , b ∈ { }, ∈ >
a blog ba =
10
Zinsen in verschiedenen Zeiträumen:
Tageszinsen: Monatszinsen:
Zinseszinsen (Endwert Kn des Anfangskapitals K0 nach n Jahren)
Grundbegriffe
Grundwert GProzentwert WProzentzahl p
Prozentsatz: p
Promillesatz: Umrechnung: 1 = 10
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
Grundbegriffe
Kapital K Zinszahl #
Zinsen Z Zinsfaktor q
Rate, Rente R Zinsdivisor D
Zinssatz des Kapitals p Anzahl der Tage tper annum (pro Jahr) p. a. Anzahl der Monate mSchuld, Darlehen S Anzahl der Jahre n
1100
100100
1100
360
100
100
100 12
100 360
100
1001000 0
0
# K t
q p p
Dp
Z K p
Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
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K K q K p
n lg K lg Klg q
n
m
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nn
n
n
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)
= ⋅ ⋅
=+
= +
=
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=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
1100
100100
1100
360
100
100
100 12
100 360
100
1001000 0
0
# K t
q p p
Dp
Z K p
Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
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K K q K p
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m
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n
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= ⋅ ⋅
=+
= +
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=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
1100
100100
1100
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=+
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=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
1100
100100
1100
360
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100 12
100 360
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1001000 0
0
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q p p
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Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
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=+
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=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
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= ⋅ = ⋅+
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1100
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1001000 0
0
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q p p
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Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
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K K q K p
n lg K lg Klg q
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m
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n
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(
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=+
= +
=
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=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
1100
100100
1100
360
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100 12
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100
1001000 0
0
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Z K p n
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=+
= +
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=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
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1100
100100
1100
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100 12
100 360
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0
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n
n
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( )
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)
= ⋅ ⋅
=+
= +
=
=⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
1100
100100
1100
360
100
100
100 12
100 360
100
1001000 0
0
# K t
q p p
Dp
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Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
p ZK
K K q K p
n lg K lg Klg q
n
m
t
nn
n
n
(
(
( )
)
)
= ⋅ ⋅
=+
= +
=
=⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
#( = 1
100⋅K ⋅t)
q( =100+ p100
=1+ p100
)
D=( 360
p)
Z = K ⋅p100
Zn =K ⋅p⋅n100
Zm = K ⋅p⋅m100⋅12
Zt =K ⋅p⋅t
100⋅360=#D
p= Z ⋅100K
Kn =K0⋅qn =K0 ⋅
100+p100
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟n
n= lg Kn− lg K0
lg q
1100
100100
1100
360
100
100
100 12
100 360
100
1001000 0
0
# K t
q p p
Dp
Z K p
Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
p ZK
K K q K p
n lg K lg Klg q
n
m
t
nn
n
n
(
(
( )
)
)
= ⋅ ⋅
=+
= +
=
=⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
3.1 Grundbegriffe
4.1 Grundbegriffe
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
3. Prozentrechnung
4. Zinsrechnung
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
100
1000
100
100
100
100
100
000
000
00
p p
p
p p
g Wp
W p G
p WG
G Wp
p p
=
=
=
=⋅
=⋅
=⋅
=
Jahreszinsen: Rendite:
11
5. Geometrie
Gleichschenkliges Dreieck
a = b; U = 2a + c
Gleichseitiges Dreieck
U = 3a
5.1 Das Dreieck
α β= α β=
c
ahc
b
A B
C
h a cc14
2 2= −
, ,α β γ
A a4
32
=
60α β γ= = =
h a2
3=
α β=
A c hc12
= ⋅
1100
100100
1100
360
100
100
100 12
100 360
100
1001000 0
0
# K t
q p p
Dp
Z K p
Z K p n
Z K p m
Z K p t #D
p ZK
K K q K p
n lg K lg Klg q
n
m
t
nn
n
n
(
(
( )
)
)
= ⋅ ⋅
=+
= +
=
=⋅
=⋅ ⋅
=⋅ ⋅
⋅
=⋅ ⋅
⋅=
=⋅
= ⋅ = ⋅+
=−
Seiten a, b, c Winkel Höhe h Flächeninhalt A Umfang U
Umkreismittelpunkt UDer Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Inkreismittelpunkt MDer Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Höhenschnittpunkt HDie Schnittstelle der drei Höhen.
Schwerpunkt SDer Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede Seitenhal-bierende vom Eckpunkt des Dreiecks aus im Verhältnis 2 : 1.
S
U
M
H
c
ab
A B
C
12
Allgemeines Dreieck
U = a + b + c
180α β γ+ + =
A a h b h c ha b c12
12
12
= ⋅ = ⋅ = ⋅
c
ab
A B
C
hc
α β= α β=
, ,α β γ
Rechtwinkliges Dreieck
U = a + b + c
Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Kathetensatz: a2 = c · p; b2 = c · q Höhensatz: h2 = p · q
Hypotenusenabschnitte: p + q = c
90γ =
c
ab
A B
C
hc
q p
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
drei Seitenlängen übereinstimmen a = a´; b = b´; c = c´ sss
zwei Seitenlängen und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel über-einstimmen
z.B.: a = a´; b = b´; = ´ sws
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen z.B.: a = a´; b = b´ ; = ´ (b>a) SsW
einer Seite und den anliegenden Win-keln übereinstimmen z.B.: a = a´; = ´; = ´; wsw
, ,α β γ, ,α β γ
, ,α β γ, ,α β γ
Kongruenzsätze
, ,α β γ, ,α β γ, ,α β γ, ,α β γ
13
Beliebiges Viereck
Rechteck
Alle Innenwinkel betragen 90°. Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
M Mittelpunkt
e, f Schrägachsen
m1 , m2 Symmetrieachsen
a = c; b = d
U = 2(a+b); A = a · b
Quadrat
Alle Innenwinkel betragen 90°. Die Diagonalen sind zueinander senkrecht. M ist Mittelpunkt und Drehzentrum.
e, f , m1 , m2 Symmetrieachsen
und a = b = c = d
U = 4a; A = a2 = ∙ e2
A a
b
c
d
B
D C
feM
m1
m2
A a
b
c
d
B
D C
Mm2
e f
m1
5.2 Das Viereck
360α β γ δ+ + + = °
90α β γ δ= = = = °
e f a b2 2= = +
90α β γ δ= = = = °
e f a ;2= = e f⊥
AB
D C
α β=
α β=e
f90α β γ δ= = = = ° , ,α β γ
A a h b h c ha b c12
12
12
= ⋅ = ⋅ = ⋅
14
Parallelogramm
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
M Mittelpunkt und Drehzentrum
e, f , m1 , m2 Schrägachsen
und
a = c; b = d; e und f halbieren sich.
U = 2(a+b); A = a · ha
5.3 Strahlensätze, Teilungen einer Strecke
1) Wenn , dann und umgekehrt.
2) Wenn , dann .
1) T teilt im Verhältnis t, wenn .
2) T teilt im Verhältnis x, wenn .
Zusammenhang:
A
A'B'
BS
A
TB
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Ab-schnitte auf dem anderen.
a cb d
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
t xx
( x )
1
1
=−
≠
t xx
( x )
1
1
=−
≠
Strahlensätze
Teilverhältnis
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
A a
b
c
d
B
D C
M
m1
m2
fe ha
15
Harmonische Teilung
C und D teilen harmonisch, wenn von C im Verhältnis t und von D im Verhältnis -t geteilt wird.
C und D teilen harmonisch, wenn
1) A, B, C und D auf einer Geraden liegen,
2) und und
3)
Die Halbierenden eines Dreiecksinnenwinkels und seines Nebenwinkels teilen die Gegenseite harmonisch im Verhältnis der anliegenden Seiten:
T mit teilt nach dem Goldenen Schnitt, wenn oder
oder
A BC D
a
a
b
a||b
a
x
x a–xA
BT
a2
a2
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
AA'BB'
SA : SB = SA' : SB'
SA : SB = AA' : BB'
AT
= t ⋅TB
AT
= x ⋅AB
TB
AB
C∈AB,
D∉AB,
C ≠ B
D ≠ B
T ∈AB
x = AT = 1
2⋅ AB ( 5 −1 )
AD : BD AC : BC .=
AT : TB AU : UB b : a= =
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
2 2
AB : AT AT : TB
x AT AB TB
=
= = ⋅2 2
AB : AT AT : TB
x AT AB TB
=
= = ⋅
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
5.4 Vektoren in der Ebene
Eine Klasse paralleler Pfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung heißt Vektor.
Die Länge eines Repräsentanten des Vektors bezeichnet man als Betrag des Vektors und schreibt: .
Als Nullvektor bezeichnet man einen Vektor mit dem Betrag 0:
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
o AA BB� � �� � ��= = …
Goldener Schnitt
12
5 1
AA' BB'
SA : SB SA' : SB'
SA : SB AA' : BB'
AT t TB
AT x AB
TB
AB
C AB,
D AB,
C B
D B
T AB
x AT AB ( )
�
� �� ���
� �� � ��
���
� ��
=
=
= ⋅
= ⋅
∈
≠
≠
∈
= = ⋅ −
ο
ο
16
Einheitsvektor: Vektor mit dem Betrag 1
Zwei Vektoren und sind gleich genau dann, wenn gilt:
(Parallelität), (gleiche Orientierung) und (gleiche Länge)
Die Addition + in der Menge V der Vektoren ist folgendermaßen erklärt:
S-Multiplikation (Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen):
Ist ein Vektor und r eine reelle Zahl, so ist auch ein Vektor. Seine Eigenschaften sind:
1)
2) Wenn und , dann hat die gleiche Richtung wie .
3) Wenn und , dann hat entgegengesetzte Richtung wie .
Zwei Vektoren und heißen linear unabhängig, wenn sich keiner der Vektoren als Viel-faches des anderen darstellen lässt. Sie sind linear unabhängig, wenn die Gleichung:
nur die Lösung x = y = 0 besitzt, sofern und .
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
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� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
ab
ab
ab
ABBCAC
ACABBC
ra
rara
r
ao
(rs)arasa
r(ab)rarb;
(rs)ar(sa).
xaybo
�
�
���
��
��
���������
���������
�
��
��
���
����
��
���
≠
≠
↑↑
=
+=
−=
⋅
⋅=⋅
<
≠
+⋅=⋅+⋅
⋅+=⋅+⋅
⋅=⋅⋅
⋅+⋅=
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
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� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
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≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
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� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
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� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
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≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
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� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
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� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� � � �
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≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
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� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
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� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
Addition von Vektoren
Differenz zweier Vektoren
Regeln
Lineare Unabhängigkeit
0
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
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� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
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� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
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� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
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���
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� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
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� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
0
0
0
a
b
a b
a b
a b
AB BC AC
AC AB BC
r a
r a r a
r
a o
( r s ) a r a s a
r ( a b ) r a r b ;
( r s )a r ( s a ).
x a y b o
�
�
���
� �
� �
� �� � �� � ��
� �� � �� � ��
�
� �
� �
� � �
� � � �
� �
� � �
≠
≠
↑↑
=
+ =
− =
⋅
⋅ = ⋅
<
≠
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ =
ο
ο
ο
17
5.5 Stereometrie
Bezeichnungen
d räumliche Diagonale r Radius Umkugel AO Oberfläche
h räumliche Höhe r Radius Inkugel AM Mantelfläche
s Länge der Seitenkanten V Volumen AG Grundfläche
Eulerscher Polyedersatz:Für ein konvexes Polyeder mit f Flächen, k Kanten und e Ecken ( f-Flach) gilt: e + f - k=2.
V = · AG · h
AO = AG + AM
V = a3
AO = 6a2
a
bc
h
a
aa
13
23
2
13
13
2
V A h
r a
a
V A h r h
G
G
ρ
π
= ⋅ ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
13
23
2
13
13
2
V A h
r a
a
V A h r h
G
G
ρ
π
= ⋅ ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
13
23
2
13
13
2
V A h
r a
a
V A h r h
G
G
ρ
π
= ⋅ ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
d12
0
2 2
2 2 2
u, v
r
x
A a e
d a b c
∈
∈
= = ⋅
= + +
>Polyeder (Vielflach)
Quader
Pyramide
Hexaeder (Würfel)
bzw.
V = a · b · c
AO = 2 · (ab + bc + ca)
d2 = a2 + b2 + c2
M = 2(ac + bc)
AG
r
18
Drehzylinder (gerader Kreiszylinder)
Kugelabschnitt:
Kugelausschnitt:
Kugelschicht:
(Kugelkappe)
h
r
r
hs
13
23
2
13
13
2
V A h
r a
a
V A h r h
G
G
ρ
π
= ⋅ ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
43
16
3 3V r dπ π= ⋅ =
2
33 1
63
2
23
2 12
2
16
3 3
2
212 2
12 2
2
1
12 2
22 2
a
V h ( r h) h( r h )
A rh ( r h )
V r h
A r h h( r h) A r r
V d d
A rd
M
O M
M
ππ
π π
π
π π
π
π
( )
= ⋅ − = +
= = +
=
= + − =
= + +
=
2
33 1
63
2
23
2 12
2
16
3 3
2
212 2
12 2
2
1
12 2
22 2
a
V h ( r h) h( r h )
A rh ( r h )
V r h
A r h h( r h) A r r
V d d
A rd
M
O M
M
ππ
π π
π
π π
π
π
( )
= ⋅ − = +
= = +
=
= + − =
= + +
=
2
33 1
63
2
23
2 12
2
16
3 3
2
212 2
12 2
2
1
12 2
22 2
a
V h ( r h) h( r h )
A rh ( r h )
V r h
A r h h( r h) A r r
V d d
A rd
M
O M
M
ππ
π π
π
π π
π
π
( )
= ⋅ − = +
= = +
=
= + − =
= + +
=
a2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
V = π3⋅h2(3r −h) = 1
6πh(3r1
2 +h2 )
AM = 2πrh=π ( r12 +h2 )
V = 2
3πr2h
AO = 2πr h+ 1
2h(2r −h)⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ AM =πr1r
V = 1
6πd 3ς1
2 +3ς 222 +d2( )
AM = 2πrd
a2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
V = π3⋅h2(3r −h) = 1
6πh(3r1
2 +h2 )
AM = 2πrh=π ( r12 +h2 )
V = 2
3πr2h
AO = 2πr h+ 1
2h(2r −h)⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ AM =πr1r
V = 1
6πd 3ς1
2 +3ς 222 +d2( )
AM = 2πrd
2
33 1
63
2
23
2 12
2
16
3 3
2
212 2
12 2
2
1
12 2
22 2
a
V h ( r h) h( r h )
A rh ( r h )
V r h
A r h h( r h) A r r
V d d
A rd
M
O M
M
ππ
π π
π
π π
π
π
( )
= ⋅ − = +
= = +
=
= + − =
= + +
=
Drehkegel (gerader Kreiskegel)
Kugel
r
h
dr1
1
2
vv
A r s
A r r s
M
O
π
π ( )
=
= +
2
2
2V A h r h
A r h
A r r h
G
M
O
π
π
π ( )
= ⋅ = ⋅
= ⋅
= +
4 2 2A r dO π π= =
2
2
2V A h r h
A r h
A r r h
G
M
O
π
π
π ( )
= ⋅ = ⋅
= ⋅
= +
2
2
2V A h r h
A r h
A r r h
G
M
O
π
π
π ( )
= ⋅ = ⋅
= ⋅
= +
A r s
A r r s
M
O
π
π ( )
=
= +
2
33 1
63
2
23
2 12
2
16
3 3
2
212 2
12 2
2
1
12 2
22 2
a
V h ( r h) h( r h )
A rh ( r h )
V r h
A r h h( r h) A r r
V d d
A rd
M
O M
M
ππ
π π
π
π π
π
π
( )
= ⋅ − = +
= = +
=
= + − =
= + +
=
19
6. Trigonometrie6.1 Kreisfunktionen
Darstellung am Einheitskreis (r=1), dessen Mittelpunkt im Ursprung O eines kartesischen Koordinatensystems liegt. P (u | v) ist ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis, womit jeder beliebige – im Gegenuhrzeigersinn orientierte – Winkel sein kann.
(Abszisse von P) (Ordinate von P)
c Hypothenuseb Ankathete zu und Gegenkathete zua Gegenkathete zu und Ankathete zu
(Sinusfunktion) (Cosinusfunktion)
(Tangensfunktion) (Cotangensfunktion)
(entsprechend bei cos, tan und cot)
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
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cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
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cot cossin
k
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ac
sin cos
bc
cos sin
ab
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ba
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b
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≠ + ⋅
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∈
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+ =
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+ =
+ =
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Es gilt:
Darstellung am rechtwinkligen Dreieck
Funktionsdarstellung
Zusammenhänge zwischen den Kreisfunktionen
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αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
20
6.2 Ebene Trigonometrie
Sinussatz:
Kosinussatz:
Tangenssatz:
Dreiecksinhalt:
Radius Inkugel:
Projektionssatz:
c a b ab cos
asin
bsin
csin
r
tan
tan
a ba b
A ab sin
( s a ) tan a
a b cos c cos
2
2
2
2
12
2
2 2 2 γ
α β γ
α β
α β
γ
ρ
γ β
= + − ⋅
= = =
+
−=
+
−
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ + ⋅
c a b ab cos
asin
bsin
csin
r
tan
tan
a ba b
A ab sin
( s a ) tan a
a b cos c cos
2
2
2
2
12
2
2 2 2 γ
α β γ
α β
α β
γ
ρ
γ β
= + − ⋅
= = =
+
−=
+
−
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ + ⋅
c a b ab cos
asin
bsin
csin
r
tan
tan
a ba b
A ab sin
( s a ) tan a
a b cos c cos
2
2
2
2
12
2
2 2 2 γ
α β γ
α β
α β
γ
ρ
γ β
= + − ⋅
= = =
+
−=
+
−
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ + ⋅
c a b ab cos
asin
bsin
csin
r
tan
tan
a ba b
A ab sin
( s a ) tan a
a b cos c cos
2
2
2
2
12
2
2 2 2 γ
α β γ
α β
α β
γ
ρ
γ β
= + − ⋅
= = =
+
−=
+
−
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ + ⋅
c a b ab cos
asin
bsin
csin
r
tan
tan
a ba b
A ab sin
( s a ) tan a
a b cos c cos
2
2
2
2
12
2
2 2 2 γ
α β γ
α β
α β
γ
ρ
γ β
= + − ⋅
= = =
+
−=
+
−
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ + ⋅
c a b ab cos
asin
bsin
csin
r
tan
tan
a ba b
A ab sin
( s a ) tan a
a b cos c cos
2
2
2
2
12
2
2 2 2 γ
α β γ
α β
α β
γ
ρ
γ β
= + − ⋅
= = =
+
−=
+
−
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ + ⋅
7. Lösen von Gleichungen7.1 Äquivalenzumformungen
Äquivalenzumformungen linearer Gleichungen
1) Addieren derselben Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung; die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.
2) Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben, von Null verschiedenen Zahl; die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.
3) Ersetzen einer Gleichung durch die Summe, gebildet aus dieser Gleichung und einer anderen des Systems; die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.
Zwei Gleichungen gelten als äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
Notizen
2 1 90
180
1
1
1 1
1 1
2 2
22
22
2 2
AOP
cos u
sin v
tan sincos
( k )
cot cossin
k
k
ac
sin cos
bc
cos sin
ab
tan cot
ba
cot tan
sin : sin
cos : cos
tan : tan
cot : cot
sin cos
cottan
tancos
cotsin
sin (sin )
�
�
�
�
�
�
�
�
α
α
ααα
α
ααα
α
α β
α β
α β
α β
α α
α α
α α
α α
α α
αα
αα
αα
α α
=
=
=
≠ + ⋅
=
≠ ⋅
∈
= =
= =
= =
= =
+ =
=
+ =
+ =
=
21
7.2 Lösen linearer Gleichungen und Gleichungssysteme
1) Beide Gleichungen addieren/subtrahieren, um eine Gleichung mit nur einer Variablen, zum Beispiel x, zu erhalten.2) Diese Gleichung nach der Variablen x auflösen.3) x in eine Ausgangsgleichung einsetzen und y ermitteln.
1) Beide Gleichungen nach einer Variablen (zum Beispiel x) auflösen.2) Den Term für x aus der ersten und zweiten Gleichung gleichsetzen und y ermitteln.3) y in eine Ausgangsgleichung einsetzen und x ermitteln.
1) Eine Gleichung nach x auflösen.2) Den Term für x in die zweite Gleichung einsetzen und y ermitteln.3) y in die erste Gleichung einsetzen und x ermitteln.
7.3 Lösen quadratischer Gleichungen
QuadratischeGleichungen
allgemeine Form: ax2 + bx + c = 0, wobei a, b, c konstant und a 0Normalform: x2 + px + q = 0, wobei p, q konstant
LösungsformelnFür allgemeine Form Für Normalform
x ba
b aca, 24
41 2
2
2= − ±− x p p q, 2 21 2
2( )= − ± −
≠
Additionsverfahren mit zwei Variablen
Gleichsetzungsverfahren mit zwei Variablen
Einsetzungsverfahren mit zwei Variablen
Gauß'sches Verfahren
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
… …an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a'22x2 + a'23x3 + … + a'2nxn = b'2 a'33x3 + … + a'3nxn = b'3
…a'nnxn = b'n
22
7.4 Polynome n-ten Grades
Polynom n-ten Grades: Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ; (an 0)
Satz: Für Pn(x0 ) = 0 mit x0 0 ist: Pn(x) = (x - xo )
7.5 Gleichungen n-ten Grades
Eine Gleichung n-ten Grades anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0; (an 0)
lässt sich bei Kenntnis der Lösung x0 durch Abspalten des Linearfaktors x - x0 auf eine Gleichung vom Grad n - 1 reduzieren.
Eine Gleichung n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Lösungen. Ist n ungerade, so hat die Gleichung mindestens eine reelle Lösung. Bei komplexen Zahlen als Lösung hat die Gleichung genau n Lösungen.
Diskriminante
Anzahl der Lösungen
Falls D > 0: zwei Lösungen
und
Falls D = 0: genau eine Lösung,
Falls D < 0: keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen
Satz von Vieta Hat x2 + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 , dann gilt:x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q
Linearfaktor-zerlegung
Hat x2 + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 , dann gilt:x2 + px + q = (x - x1 ) · (x - x2 ) = 0
Quadratische Ergänzung x2 + px + q =
D p q, daher x p D,2 22
1 2( )= − = − ±
x x p21 2= = −
x p p q2 21
2( )= − ± − x p p q2 22
2( )= − ± −
x p p q2 2
2 2( ) ( )+ − +
a x ax
( x x ) P ( x )nn
n1 0
00 1( )+…− = − ⋅−
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
x p p q2 22
2( )= − ± −
23
8. Stochastik
Die Anzahl der Elemente der endlichen Mengen sei
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
falls = für alle
Summenregel
Produktregel
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
Wahrscheinlichkeitssprache Symbol Mengensprache
Ergebnisraum S (auch Ω) Grundmenge
Ereignis A Teilmenge
Elementarereignis {ai} einelementige Teilmenge
Ereignisraum P (S) Potenzmenge
sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis
S, Grundmenge,leere Menge
A oder B Vereinigung
A und B Durchschnitt
Gegenereignis Komplement
A und B sind unvereinbar A und B sind elementefremd
8.1 Ereignisse
A B
A B
A
A B φ
∅
∪
∩
∩ =
A B
A B
A
A B φ
∅
∪
∩
∩ =
A B
A B
A
A B φ
∅
∪
∩
∩ =
A B
A B
A
A B φ
∅
∪
∩
∩ =
8.2 Kombinatorik
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
A B
A B
A
A B φ
∅
∪
∩
∩ =
24
8.3 Wahrscheinlichkeit
S = {a1 , a2 , … , an } sei die endliche Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.
Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen: Die Funktion P : S mit
1) für alle ai 2)
heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion auf S.
P(ai ) ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses ai .
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen: Die Funktion P : P (S) mit
1) für alle ai 2) 3) 4)
heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion auf der Potenzmenge P (S).P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
Urnenmodell:Aus einer Urne mit n Kugeln werdenk Kugeln gezogen
Alphabet:n Buchstaben und k Plätze Anzahl A
Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
k-Tupel mit Wiederholung A = nk
(Variation)
Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
k-Tupel ohne Wiederholung
(Variation)
Sonderfall:Vollerhebung
n-Tupel ohne Wiederholung A = n!
Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
k-elementige Teilmenge(Kombination)
Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Anordnung auf k Plätzen mit Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (Kombination)
11
2
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
| A A | | A | | A | | A A |
| A A A | | A | | A | | A | | A A | | A A | | A A | | A A A |
| A A A | | A | | A | | A |,
A A
i k
| A A A | | A | | A | | A |
A n!( n k )!
Ank
n!k! ( n k )!
An k
n
n! n e n
A , A , A
| A | , | A | , | A |
n n
i k
n n
n n
n
n
π
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
∪ ∪ ∪ = + + …+
∩
≠
⋅ ⋅ … ⋅ = ⋅ ⋅ … ⋅
=−
= =⋅ −
=− +
−
≈ ⋅ ⋅
…
…
−
| A1∪ A2 | = | A1 |+ | A2 |− | A1∩ A2 |
| A1∪ A2∪ A3 | = | A1 |+ | A2 |+ | A3 |− | A1∩ A2 |− | A2∩ A3 |− | A3∩ A1 |+ | A1∩ A2∩ A3 |
| A1∪ A2∪ K ∪ An | = | A1 |+ | A2 |+ …+| An |,
Ai ∩ Ak
i ≠ k
| A1 ⋅A2 ⋅… ⋅An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅… ⋅ | An |
A= n!(n− k )!
A=nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= n!k! ⋅( n− k )!
A=n−1+ kn−1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n! ≈ nn ⋅e−n ⋅ 2πn
| A1∪ A2 | = | A1 |+ | A2 |− | A1∩ A2 |
| A1∪ A2∪ A3 | = | A1 |+ | A2 |+ | A3 |− | A1∩ A2 |− | A2∩ A3 |− | A3∩ A1 |+ | A1∩ A2∩ A3 |
| A1∪ A2∪ K ∪ An | = | A1 |+ | A2 |+ …+| An |,
Ai ∩ Ak
i ≠ k
| A1 ⋅A2 ⋅… ⋅An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅… ⋅ | An |
A= n!(n− k )!
A=nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= n!k! ⋅( n− k )!
A=n−1+ kn−1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
n! ≈ nn ⋅e−n ⋅ 2πn
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
25
Eigenschaften
(Nichtnegativität) falls (Additivität)P (S) = 1 (Normiertheit)
Diese drei Eigenschaften (auch Kolmogorow-Axiome genannt) kennzeichnen nach Kolmogo-row eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen sind damit nicht festgelegt.
Weitere Eigenschaften:
(allgemeine Additivität)
(Satz vom Gegenereignis) (Monotonie)
(Wahrscheinlichkeit bei einer Zerlegung)
falls B1 , … , Bn eine Zerlegung von S ist.
Alle n Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit).
Warscheinlichkeit eines Ereignisses A:
PB(A) ist für die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Es gilt:
Multiplikationssatz:
Unabhängige Ereignisse A und B:
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
⊆⇒⊆
⇒
Laplace-Experiment
Bedingte Wahrscheinlichkeit
⊆⇒
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
P( a )
P( a )
P({ a })
P({ a })
P({ a })
P( )
P( A)
P( A B ) P( A) P( B ),
A B
P( S )
P( A B ) P( A) P( B ) P( A B )
P( A B C ) P( A) P( B ) P( C ) P( A B ) P( B C ) P( C A) P( A B C )
P( A ) P( A)
A B P( A) P( B )
P( A) P( A B ) P( A B )
P( A) P( A B ) P( A B ),
n
P( A) | A|| S |
| A|n
i
ii
n
i
ii
n
ia A
n
i
�
…
∑
∑
∑
≥
→
=
≥
=
∅ =
≥
∪ = +
∩ =∅
=
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
= −
≤
= ∩ + ∩
= ∩ + + ∩
= =
=
=
∈
26
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
Totale Wahrscheinlichkeit für B, :
bzw. für die Zerlegung B1 , … , Bn von S:
Satz von Bayes für B, :
bzw. für eine Zerlegung B1 , … , Bn von S:
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
8.4 Verteilungen
Es sei S = {a1 , a2 , … , an } die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes, P eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf P (S).
Zufallsvariable (Zufallsgröße) ist eine Funktion ; Wertemenge X(S)= {x1 , x2 , … , xm }.Das Ereignis X = xk ist die Teilmenge der Ergebnisse von S, die durch X auf xk abgebildet werden: X = xk = {a | X (a) = xk mit a }
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X:
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
Verteilungsfunktioneiner Zufallsvariablen X bei x1 x2 … xm: mit
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
mit pk = P (X = xk )
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
fürfürfür
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
Erwartungswert einer Zufallsvariablen X:
E (X) = x1 · p1 + x2 · p2 + … + xm · pm
Linearität des Erwartungswertes: E (a · X + b · Y) = a · E (X) + b · E (Y)
Produktregel, nur für unabhängige X, Y : E (X · Y) = E (X) · E (Y)
Varianz einer Zufallsvariablen X: mit = E (X)
x→0
p11
+ p2 +…+ pk
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2
2
12
1 22
22
2 2 2
12
12 2 2
Var( X ) ( x ) p ( x ) p ( x ) p
Var( X ) E(( X ) ) ; Var( X ) E( X ) ;
Var( X ) x p x P ; Var( a X b ) a Var( X )
Var( X )
„X x “ „Y y “.
( x , y ) p
p P( X x ) P(Y y )
X
m m
m m
i k
i k i k
i k i k
σ
σ
σ
= − ⋅ + − ⋅ +…+ − ⋅
= − = −
= ⋅ +…+ ⋅ − ⋅ + = ⋅
=
= ∩ =
→
= = ⋅ =
2
2
12
1 22
22
2 2 2
12
12 2 2
Var( X ) ( x ) p ( x ) p ( x ) p
Var( X ) E(( X ) ) ; Var( X ) E( X ) ;
Var( X ) x p x P ; Var( a X b ) a Var( X )
Var( X )
„X x “ „Y y “.
( x , y ) p
p P( X x ) P(Y y )
X
m m
m m
i k
i k i k
i k i k
σ
σ
σ
= − ⋅ + − ⋅ +…+ − ⋅
= − = −
= ⋅ +…+ ⋅ − ⋅ + = ⋅
=
= ∩ =
→
= = ⋅ =
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
0
1
1
1
1
P ( A) P( A B )P( B )
P( B )
P( A B ) P( A) P ( B ) P( B ) P ( A)
P( A B ) P( A) P( B )
B
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P( A) P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
P ( B ) P( B ) P ( A)P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
P ( B )P( B ) P ( A)
P( B ) P ( A) P( B ) P ( A)
B
A B
B B
B n B
AB
B B
A kk B
B n B
n
k
n
=∩
≠
∩ = ⋅ = ⋅
∩ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +…+ ⋅
=⋅
⋅ + ⋅
=⋅
⋅ +…+ ⋅
µx = p
µx = p µx = p µx = p
µx = p µx = p
27
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
Verteilungsfunktioneiner Zufallsvariablen X bei x1 x2 … xm: mit
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
0
1
1
1 2
1
1
X : S
A S
f : { x , ,x }
x p
F :
x p p p
x x
x x x
x x
m
k k
k
k k
m
�
�
�
� �
→
∈
… →
→
→ + +…+
<
≤ <
≤
+
Spezielle Verteilung
Gleichverteilung
Bei einer gleichverteilten Zufallsvariablen X haben alle n Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit).
Gleichverteilte Zufallsvariable X mit den Werten 1, 2, … , n:
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
xi 1 2 ... n
P ( X = xi ) ...
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
n-gliedrige Bernoullikette: n-malige Durchführung des Bernoulliexperimentes mit der Trefferwahr-scheinlichkeit p unter gleichen Bedingungen:
Binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Werten 0, 1, … , n:
P (k Treffer)
P( x = xi ) =1
n
1
n
E( X ) = n+12
;
Var( X ) = n2 −112
=nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅pk ⋅qn−k
P( X = k ) = Bn;p ( k ) =nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅pk ⋅qn−k ;
E( X ) = n⋅p;
Var( X ) = n⋅p ⋅q
p= KN.
P( X ≤ k ) = Fn;p ( k ) = Bn;p ( i );i=o
k
∑
P( X < k ) = Fn;p ( k−1 ) = Bn;p ( i )i=o
k−1
∑
P(a≤ X ≤b ) = Fn;p (b )−Fn;p ( a−1 ) = Bn;p ( i )i=a
b
∑
Bn;p ( k ) = Bn;1−p ( n− k )
Fn;p ( k ) = Bn;p ( i )i=o
k
∑ =1− Bn;1−p ( i )i=o
n−k−1
∑ =1−Fn;1−p ( n− k−1 )
Bn;p ( k+1 ) = ( n− k ) ⋅p( k+1 ) ⋅q
⋅Bn;p ( k );
Bn;p (0 ) = (1− p)n
x = 1
n⋅X
µx = p
σ X = p ⋅qn
X
limn→∞
P( | X − p|< ε ) =1
P( x = xi ) =1
n
1
n
E( X ) = n+12
;
Var( X ) = n2 −112
=nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅pk ⋅qn−k
P( X = k ) = Bn;p ( k ) =nk
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅pk ⋅qn−k ;
E( X ) = n⋅p;
Var( X ) = n⋅p ⋅q
p= KN.
P( X ≤ k ) = Fn;p ( k ) = Bn;p ( i );i=o
k
∑
P( X < k ) = Fn;p ( k−1 ) = Bn;p ( i )i=o
k−1
∑
P(a≤ X ≤b ) = Fn;p (b )−Fn;p ( a−1 ) = Bn;p ( i )i=a
b
∑
Bn;p ( k ) = Bn;1−p ( n− k )
Fn;p ( k ) = Bn;p ( i )i=o
k
∑ =1− Bn;1−p ( i )i=o
n−k−1
∑ =1−Fn;1−p ( n− k−1 )
Bn;p ( k+1 ) = ( n− k ) ⋅p( k+1 ) ⋅q
⋅Bn;p ( k );
Bn;p (0 ) = (1− p)n
x = 1
n⋅X
µx = p
σ X = p ⋅qn
X
limn→∞
P( | X − p|< ε ) =1
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
Urnenmodell
Urne mit K roten und N – K schwarzen Kugeln. Es wird n-mal mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl k der gezogenen roten Kugeln beschreibt, ist binomialverteilt
mit
Summe:
Vertauschungsformeln:
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
= −
= = − = − − −
+ =− ⋅
+ ⋅⋅
= −
= ⋅
=
=⋅
− < =
−
−
=
=
−
=
−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
= ⋅ ⋅
= = = ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
≤ = =
< = − =
≤ ≤ = − − =
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+ =− ⋅
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=⋅
− < =
−
−
=
=
−
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−
=−
=
− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
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X
lim P( | X p| )
i
k n k
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X
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∑
∑ ∑
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− −
−
→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
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nk
p q
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
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F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
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xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
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= =
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−
−
=
=
−
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−
=−
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− −
−
→∞
Binomialverteilung
q = 1 - p
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
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E( X ) n p;
Var( X ) n p q
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.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
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F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
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B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
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−
→∞
28
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
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nk
p q
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E( X ) n p;
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p KN
.
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
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B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
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k
n;p n;pi o
k
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b
n;p n; p
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k
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n k
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x
X
n
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∑
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−
→∞
Rekursionsformel:
Die Zufallsvariable X sei Bn;p -verteilt. Die Zufallsvariable mit und beschreibt die relative Häufigkeit der Treffer.
Gesetz der großen Zahlen nach Tschebyscheff für :
Ein Bernoulliexperiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit p wird genau so lange wieder-holt, bis der erste Treffer eintritt: P (k Versuche) = qk – 1 · p
Geometrisch verteilte Zufallsvariable X mit den Werten 1, 2, 3, …
Urnenmodell
Urne mit K roten und N – K schwarzen Kugeln. Man zieht so lange mit Zurücklegen, bis man eine rote Kugel erhält. Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl k der Ziehungen beschreibt, ist
geometrisch verteilt mit .
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
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X
lim P( | X p| )
i
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→∞
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1
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1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
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E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
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k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
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n;p n;p
n;pn
x
X
n
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∑
∑
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→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
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nk
p q
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
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B ( k ) ( n k ) p( k ) q
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X
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i
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n;pk n k
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k
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x
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n
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∑
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−
→∞
µx = p
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
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nk
p q
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.
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B ( k ) ( n k ) p( k ) q
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X
p
p qn
X
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i
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k
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k
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X
n
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∑
∑
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→∞
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
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Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
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Var( X ) n p q
p KN
.
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
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k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
= =
=+
=−
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= ⋅ ⋅
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≤ ≤ = − − =
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1
1
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1
2
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;
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N Kn k
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1
1
11
1
2
P( X k ) q p;
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;
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p KN
P( X k )
Kk
N Kn k
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1
11
1
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1
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1
2
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Balkendiagramme Darstellung der Häufigkeitsverteilung mit Hilfe auf der y-Achse waagerecht liegender, nicht aneinander grenzender Säulen.
Strichdiagramme Können ähnlich wie Balkendiagramme eingesetzt werden. Die Wahl der Achsen kann abweichen.
Streifendiagramme Darstellung von Anteilen (Prozenten) an einem Ganzen. Die Anteile sind proportional.
Kreisdiagramme Darstellung von Anteilen (Prozenten) an einem Ganzen. Die Anteile sind proportional zum Winkel.
Geometrische Verteilung
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
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1
1
P( x x )n
n
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nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
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E( X ) n p;
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.
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P( X k ) F ( k ) B ( i )
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B ( k );
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xn
X
p
p qn
X
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i
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k
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k
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n;p n; p
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k
n; pi o
n k
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n;p n;p
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x
X
n
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∑
∑
∑ ∑
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−
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=
−
=
−
=−
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− −
−
→∞
29
1
1
12
112
1
1
1 1 1
11
0 1
1
1
2
1
1
1
1
1
P( x x )n
n
E( X ) n ;
Var( X ) n
nk
p q
P( X k ) B ( k )nk
p q ;
E( X ) n p;
Var( X ) n p q
p KN
.
P( X k ) F ( k ) B ( i );
P( X k ) F ( k ) B ( i )
P( a X b ) F ( b ) F ( a ) B ( i )
B ( k ) B ( n k )
F ( k ) B ( i ) B ( i ) F ( n k )
B ( k ) ( n k ) p( k ) q
B ( k );
B ( ) ( p )
xn
X
p
p qn
X
lim P( | X p| )
i
k n k
n;pk n k
n;p n;pi o
k
n;p n;pi o
k
n;p n;p n;pi a
b
n;p n; p
n;p n;pi o
k
n; pi o
n k
n; p
n;p n;p
n;pn
x
X
n
∑
∑
∑
∑ ∑
σ
ε
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− −
−
→∞
Notizen
30
9. Physik9.1 Ausgewähle Größen und Einheiten im Überblick
Größe Formelzeichen Einheit Name der Einheit
Arbeit (elektrische) W
JN · mW · skW · h
JouleNewtonmeterWattsekundeKilowattstunde
Beschleunigung a,g m · s-2 Meter durch Quadratsekunde
Dichte (Massendichte) r kg · m-3 Kilogramm durch Kubikmeter
Drehimpuls L N · m · s Newtonmetersekunde
Drehmoment M N · m Newtonmeter
Drehzahl n s-1 durch Sekunde
Druck pPabarat
PascalBarAtmosphäre
Energie EJN · mW · s
JouleNewtonmeterWattsekunde
Frequenz f,n
Hz Hertz
Geschwindigkeit nm · s-1
km · h-1Meter durch SekundeKilometer durch Stunde
Impuls (Bewegungsgröße) p kg · m · s-1 Kilogramm mal Meter durch
Sekunde
Kraft F Nkp
NewtonKilopond
31
Größe Formelzeichen Einheit Name der Einheit
Kraftstoß I N · s Newton mal Sekunde
Leistung P W Watt
Spannung (elektrische)
U, u V Volt
Stromstärke (elektrische)
I, i A Ampere
Temperatur T K°C
KelvinGrad Celsius
Weg s m Meter
Widerstand (ohmscher) R Ω Ohm
Notizen
32
10. Chemie10.1 Chemische Formeln und Periodensystem
Oxide
Cu2O(s) Kupfer(I)-oxidCuO(s) Kupfer(II)-oxidAl2O3 (s) AluminiumoxidH2O2 (l) WasserstoffperoxidNa2O(s) Natriumoxid
Hydroxide und Laugen
NaOH(s) NatriumhydroxidNaOH(aq) NatronlaugeKOH(aq) KalilaugeNH3 (g) AmmoniakNH4OH(aq) Ammoniakwasser
Verbindungen des Kohlenstoffes
CO(g) KohlenstoffmonoxidCO2 (g) KohlenstoffdioxidH2CO3 (aq) KohlensäureNaHCO3 (s) NatriumhydrogencarbonatNa2CO3 (s) Natriumcarbonat
Verbindungen des Chlors
HCl(g) ChlorwasserstoffHCl(aq) SalzsäureNaCl(s) NatriumchloridAlCl3 (s) AluminiumchloridCaCl2 (s) Calciumchlorid
Verbindungen des Schwefels
SO2 (g) SchwefeldioxidH2SO3 (aq) Schweflige SäureNaHSO3 (s) NatriumhydrogensulfitNa2SO3 (s) NatriumsulfitAl2(SO3)3 (s) AluminiumsulfitCaSO4 (s) CalciumsulfatH2S(g) SchwefelwasserstoffH2S(aq) SchwefelwasserstoffsäureNa2S (s) Natriumsulfid
Säuren
H2CO3 (aq) KohlensäureH2SO3 (aq) Schweflige SäureH2SO4 (aq) SchwefelsäureH3PO4 (aq) PhosphorsäureCH3COOH(l) EssigsäureHCl(aq) SalzsäureHNO2 (aq) Salpetrige SäureHNO3 (aq) SalpetersäureH3O+-Ionen Oxonium-Ionen
Verbindungen des Stickstoffs
N2O(g) DistickstoffmonoxidNaNO2 (s) NatriumnitritNaNO3 (s) Natriumnitrat
Verbindungen des Broms
HBr(g) BromwasserstoffHBr(aq) BromwasserstoffsäureNaBr(s) Natriumbromid
Legendeg: (gaseous) gasförmig, l: (liquid) flüssig, s: (solid) fest, aq: (aqueous) in Wasser gelöst
33
Notizen
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