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Formelsammlung Mathematik Seite 1 von 15 VMS Altach
Formelsammlung Mathematik
Inhalt Maßumwandlungen ....................................................................................................................................................................................... 2
Längenmaße ............................................................................................................................................................................................. 2
Flächenmaße ............................................................................................................................................................................................. 2
Raum-‐ und Hohlmaße ............................................................................................................................................................................... 2
Zeitmaße ................................................................................................................................................................................................... 2
Rechteck ......................................................................................................................................................................................................... 3
Quadrat .......................................................................................................................................................................................................... 3
Allgemeines Dreieck ....................................................................................................................................................................................... 4
Rechtwinkeliges Dreieck ................................................................................................................................................................................ 4
Gleichschenkliges Dreieck .............................................................................................................................................................................. 5
Gleichseitiges Dreieck .................................................................................................................................................................................... 5
Trapez ............................................................................................................................................................................................................. 6
Parallelogramm .............................................................................................................................................................................................. 6
Raute – Rhombus ........................................................................................................................................................................................... 7
Deltoid ............................................................................................................................................................................................................ 7
Prozentrechnung ............................................................................................................................................................................................ 8
Zinsenrechnung .............................................................................................................................................................................................. 8
Effektiver Zinssatz ..................................................................................................................................................................................... 8
Einfache Zinsenrechnung .......................................................................................................................................................................... 8
Zinseszinsenrechnung ............................................................................................................................................................................... 8
Lehrsatz des Pythagoras ................................................................................................................................................................................. 9
Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck .......................................................................................................................... 9
Der Lehrsatz des Pythagoras im Rechteck ................................................................................................................................................ 9
Der Lehrsatz des Pythagoras im Quadrat ................................................................................................................................................. 9
Der Lehrsatz des Pythagoras im gleichseitigen Dreieck ............................................................................................................................ 9
Der Lehrsatz des Pythagoras im Würfel .................................................................................................................................................. 10
Der Lehrsatz des Pythagoras im Quader ................................................................................................................................................. 10
Der Lehrsatz des Pythagoras in der quadratischen Pyramide ................................................................................................................ 10
Binomische Formeln ..................................................................................................................................................................................... 11
Würfel .......................................................................................................................................................................................................... 12
Quader ......................................................................................................................................................................................................... 12
Allgemeines Prisma ...................................................................................................................................................................................... 13
Allgemeine Pyramide ................................................................................................................................................................................... 13
Kreis .............................................................................................................................................................................................................. 14
Kreissektor .................................................................................................................................................................................................... 14
Zylinder ......................................................................................................................................................................................................... 15
Kegel ............................................................................................................................................................................................................. 15
Kugel ............................................................................................................................................................................................................. 15
Formelsammlung Mathematik - 2 - VMS Altach
Maßumwandlungen
Längenmaße
1 km = 10 hm (Hektometer) 1 hm = 10 dam (Dekameter) 1 dam = 10 m (Meter) 1 m = 10 dm (Dezimeter) 1 dm = 10 cm (Zentimeter) 1 cm = 10 mm (Millimeter)
Weitere Längenmaße: 1 Zoll = 2,54 cm 1 Fuß = 30,48 cm 1 engl. Meile = 1,482 km 1 Lichtjahr = ca. 9,461 Billionen km
Flächenmaße
1 km² = 100 ha (Hektar) 1 ha = 100 a (Ar) 1 a = 100 m² (Quadratmeter) 1 m² = 100 dm² (Quadratdezimeter) 1 dm² = 100 cm² (Quadratzentimeter) 1 cm² = 100 mm² (Quadratmillimeter)
Weitere Flächenmaße: 1 Acre ≈ 4096,9 m²
Raum-‐ und Hohlmaße
1 km³ = 1 000 000 000 m³ (Kubikmeter) 1 m³ = 1 000 dm³ (Kubikdezimeter) 1 dm³ = 1 000 cm³ (Kubikzentimeter) 1 cm³ = 1 000 mm³ (Kubikmillimeter)
Weitere Raum-‐ und Hohlmaße: 1 Barrel ≈ 159,1132 Liter 1 Gallone ≈ 3,78511784 Liter (US) 1 Pint ≈ 0,568 Liter
Zeitmaße
1 Jahr = 365 Tage (Zinsenrechung: 360 Tage) 1 Jahr = 12 Monate (m) 1 m = 30 Tage (d) (Zinsenrechnung) 1 Tag = 24 Stunden (h) 1 h = 60 Minuten (min) 1 min = 60 Sekunden (sek)
Formelsammlung Mathematik - 3 - VMS Altach
a
b d
A B
D C
a
a d
A B
D C
Rechteck
Umfang: u = a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a+b)
Flächeninhalt: A = a ·∙ b
Diagonale:
²² bad +=
Quadrat
Umfang: u = a + a + a + a = 4a
Flächeninhalt: A = a ·∙ a
Diagonale:
2²2²² aaaad ==+=
Formelsammlung Mathematik - 4 - VMS Altach
Allgemeines Dreieck
Umfang: u = a + b + c
Flächeninhalt:
2chcA
⋅=
Winkelsumme: α + β + γ = 180°
Rechtwinkeliges Dreieck
Umfang: u = a + b + c
Flächeninhalt:
22bahc
A c ⋅=
⋅=
Lehrsatz des Pythagoras:
²²² bac += à ²² bac +=
a b
c A B
C
hc
a b
c A B
C
hc
Formelsammlung Mathematik - 5 - VMS Altach
Gleichschenkliges Dreieck
Umfang: u = a + a + c = 2a + c
Flächeninhalt:
2chcA
⋅=
Höhe: 2
2² ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=cahc
Gleichseitiges Dreieck
Umfang: u = a + a + a = 3a
Flächeninhalt:
43²
2aha
A a =⋅
=
Höhe:
324
²32
²2 aaaaha ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
a
c A B
C
hc a
a
a A B
C
ha a
Formelsammlung Mathematik - 6 - VMS Altach
Trapez Umfang: u = a + b + c + d
Flächeninhalt:
hcaA ⋅+
=2
Winkel: α + β = 180° γ + δ = 180°
Nur beim gleichschenkligen Trapez (b = d, α = β): 2
2² ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
cabh
Parallelogramm
Umfang: u = a + b +a + b = 2a + 2b = 2(a+b)
Flächeninhalt: A = a·∙ha = b·∙hb
A B
D C
a
b d
c
h
A B
D C
a
b ha
Formelsammlung Mathematik - 7 - VMS Altach
Raute – Rhombus
Umfang: u = 4a
Flächeninhalt:
ahafeA ⋅=⋅
=2
Seite: 22
22⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=fea
Deltoid
Umfang: u = 2a + 2b = 2(a+b)
Flächeninhalt:
2feA ⋅
=
A
B
C
D
a a
a a
e
f
A
B
C
D
a b
a b
e f
Formelsammlung Mathematik - 8 - VMS Altach
Prozentrechnung
100pGW ⋅
=
GWp ⋅
=100
pWG ⋅
=100
G…Grundwert (100%)
p…Prozentsatz
W…Prozentwert
Zinsenrechnung
Effektiver Zinssatz
Der effektive Zinssatz ist jener Zinssatz, der nach Abzug der Kapitalertragssteuer (KeSt – 25%) bei einem Guthaben noch wirksam bleibt.
75,0⋅= ppeff
Einfache Zinsenrechnung
Die einfache Zinsenrechnung geht davon aus, dass die Zinsen das verzinste Guthaben (oder die Schulden) nicht verändern.
Jahreszinsen: 100
tpKZ ⋅⋅=
Monatszinsen: 1200
mpKZ ⋅⋅=
Tageszinsen: 36000
dpKZ ⋅⋅=
Z…Zinsen
K…Kapital
p…Zinssatz
t…Zeit in Jahren
m…Zeit in Monaten
d…Zeit in Tagen
Zinseszinsenrechnung
Die Zinseszinsenrechnung geht davon aus, dass die Zinsen in den Folgejahren das Kapital erhöhen und daher mitverzinst werden. Diese Verzinsungsart ist der Regelfall.
tt fKE ⋅=
f ist der Aufzinsungsfaktor (5% à 1,05; 17% à 1,17; 4,5% à1,045).
Berechnet wird dieser mit der Formel 100
100 pf +=
Et…Endbetrag nach t Jahren
Formelsammlung Mathematik - 9 - VMS Altach
Lehrsatz des Pythagoras
Der pythagoräische Lehrsatz beschreibt die Beziehung der drei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck. Er besagt: Das Quadrat der Hypotenuse (längste Seite) ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten (kürzere Seiten).
Er gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck und nur in rechtwinkligen Dreiecken!
Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck
Grundform: ²²² bac += à ²² bac +=
Umkehrung: ²²² bca −= à ²² bca −=
Der Lehrsatz des Pythagoras im Rechteck
Berechnung der Diagonale: ²² bad +=
Der Lehrsatz des Pythagoras im Quadrat
Berechnung der Diagonale: 2²2²² aaaad ==+=
Berechnung der Seite: 2da =
Der Lehrsatz des Pythagoras im gleichseitigen Dreieck
Berechnung der Höhe: 324
²32
²2 aaaaha ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
Berechnung der Seite: 3
2 aha⋅
=
Formelsammlung Mathematik - 10 - VMS Altach
Der Lehrsatz des Pythagoras im Würfel
Berechnung der Seitendiagonale: 2²2²² aaaad ==+=
Berechnung der Raumdiagonalen: 3²3²²² aaaaadR ==++=
Berechnung der Kantenlänge: 3da =
Der Lehrsatz des Pythagoras im Quader
Berechnung der Seitendiagonale: ²²1 bad += ²²2 cad += ²²3 cbd +=
Berechnung der Raumdiagonalen: ²²² cbadR ++=
Berechnung der Kantenlängen: ²²² cbda R −−= ²²² cadb R −−= ²²² badc R −−=
Der Lehrsatz des Pythagoras in der quadratischen Pyramide
Berechnung der Höhe: 2
22
2
22⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=ahdsh a
Berechnung der Diagonale der Grundfläche: 2²2²² aaaad ==+=
Berechnung der Höhe des Seitendreiecks:
22
22
22⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=ahasha
s
a
a
d
h ha
Formelsammlung Mathematik - 11 - VMS Altach
Binomische Formeln
Erste binomische Formel:
( ) 222 2 bababa ++=+
Zweite binomische Formel:
( ) 222 2 bababa +−=−
Dritte binomische Formel:
( ) 22)( bababa −=−+
Binomische Formeln mit dritter Potenz:
( ) 32233 33 babbaaba +++=+
( ) 32233 33 babbaaba −+−=−
Formelsammlung Mathematik - 12 - VMS Altach
Würfel Oberfläche: O = 6·∙a²
Volumen: V = a·∙a·∙a = a³
Seitendiagonale: 2²2²² aaaad ==+=
Raumdiagonale: 3²3²²² aaaaadR ==++=
Umkehrung: 32Rdda ==
Quader Oberfläche: O = 2·∙a·∙b + 2·∙a·∙c + 2·∙b·∙c
Volumen: V = a·∙b·∙c
Seitendiagonale 1: ²²1 bad +=
Seitendiagonale 2: ²²2 cad +=
Seitendiagonale 3: ²²3 cbd +=
Raumdiagonale: ²²² cbadR ++=
a
a
a
a
b
c
Formelsammlung Mathematik - 13 - VMS Altach
Allgemeines Prisma
G…Grundfläche M…Mantelfläche, besteht aus der Summe der Rechtecksflächen
Oberfläche: O= 2·∙G + M
Volumen: V=G·∙h
Allgemeine Pyramide
G…Grundfläche M…Mantelfläche, besteht aus der Summe der Dreiecksflächen
Oberfläche: O= G + M
Volumen: 3hGV ⋅
=
G
h
G
h
Formelsammlung Mathematik - 14 - VMS Altach
r d
u
r
α
b
Kreis
Umfang: ππ dru == 2
Flächeninhalt:
ππ2
2² ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛==drA
Umkehrungen:
πud = ,
π2ur = ,
πAr =
Kreissektor Umfang: u = 2r + b
Bogenlänge:
180παrb =
Flächeninhalt:
2360² rbrA ⋅
==πα
Formelsammlung Mathematik - 15 - VMS Altach
Zylinder
r ......................................... Radius des Grundkreises h ........................................ Höhe des Zylinders
hrhGV ⋅=⋅= π²
hrrMGO ππ 2²22 +⋅=+⋅=
Kegel
r ......................................... Radius des Grundkreises h ........................................ Höhe des Kegels s. ....................................... Länge der Mantellinie
²² hrs +=
3²
3hrhGV ⋅
=⋅
=π
; srrMGO ππ +=+= ²
Kugel
3³4 πrV =
π²4rO =
h
r
s
r
h
