Formalizam kvantne mehanike

8/4/2019 Formalizam kvantne mehanike

1/57

1

Formalizam kvantne mehanike

U ovom delu daemo principe kvantne mehanike optije nego to je to do sada raeno.

U klasinoj fizici je stanje sistema potpuno odreeno poznavanjem dinamikih varijabli za koje je sesmatralo da mogu da se mere sa proizvoljnom tanou.

U kvantnoj mehanici situacija je bitno drukija jer u kvantnoj mehanici merenje igra veoma bitnuulogu. Kvantna mehanika ustavari predvia broj u koliko puta e se javiti neki rezultat od mogug brojamerenja N indentino prepariranih statistikih ansambla. Drugim reima, kvantna mehanika predviastatistiku frekvenciju n/N ili verovatnou. U procesu ovakvog predvianja mogue je postaviti nekepostulate.

Postulat A. Svakom ansamblu fizi

kih sistema mogu

e je na neki odre

en na

in pridruiti talasnufunkciju ili funkciju stanja koja sadri sve informacije koje se mogu imati o tom asamblu. Ova funkcija je uoptem sluaju kompleksna i moe biti pomnoena proizvoljnim kompleksnim brojem bez promene njenogfizikog znaaja.

Ova funkcija mora da bude kvadratno integrabilna zbog naina na koji definiemo gustinuverovatnoe, a u vezi sa tim i uslova normiranja talasne funkcije

22),(),(;1),( trtrPrdtr

== . (1)

Ovde treba napomenuti da talasna funkcija i exp(i), gde je realana broj opisuju isto stanje.

Uoptenje navedenog razmatranja na fiziki sistem koji sadri N estica bez strukture mogue je u

konfiguracioni prostor; takav sistem se opisuje funkcijom ),,...,( 1 trr N

. Ova funkcija takoe mora da bude

kvadratno integrabilna pa je uslov normiranja

1),,...,( 12

1 = NN rdrdtrr

. (2)

Za normiranje talasnu funkciju veliina

2

11 ),,...,(),,...,( trrtrrP NN

= (3)


2/57

2

moe da se interpretira kao gustina verovatnoe poloaja i to tako da je to verovatnoa nalaenja u trenutku t

estice 1 u elementu zapremine 1Vd

oko 1V

, estica 2 u elementu zapremine 2Vd

oko 2V

, itd.

Zapaamo da je

NN rdrdtrrPtrP 2111 ),,...,(),( = (4)

gustina verovatnoe poloaja estice 1 u taki 1r

u vremenu tnezavisno od poloaja ostalih estica. Slino,

verovatnoa moe da se definie za ostale estice.

Postulat 2. Princip superpozicije. Prema ovom principu ako 1 i 2 opisuju mogua stanja sistema

tada i

2211 += cc (5)

opisuju mogue stanje sistema. 1c i 2c su kompleksne konstante.

Kako u konfiguracionom prostoru tako i u impulsnom moemo da uvedemo talasnu funkciju sistemaod N estica bez strukture

( ) ( ) NNNNN rdrdtrrrprpi

tpp

1111

31 ),,...,(exp2),,...,(

++= . (6)

Ako je ),,...,( 1 trr N

normirana na jedinicu tada je i normirano na jedinicu

1),,...,( 12

1 NN pdpdtpp

(7)

a veliina

2

11 ),,...,(),,...,( tpptpp NN

= (8)


3/57

3

je gustina verovatnoe u impulsnom prostoru da impuls estice 1 bude u elementu zapremine 1pd

oko 1p

,

estica 2 u elementu zapremine 2pd

oko 2p

, itd.

U kvantnoj mehanici se esto koriste Dirakove oznake i ovde emo eksplicitno uvesti neke od njih.

Skalarni proizvod se oznaava na sledei nain

rdrr

)()( 2*121 (9)

a za sistem estica

NNN rdrdrrrr

1121

*121 ),...,(),...,( . (10)

je bra vektora ket vektor. Vai relacija

*

1221 = . (11)

Dalje, moemo da navedemo sledee simbolike relacije za skalarne proizvode:

0za00 ==

2121 cc =

21*

21 cc =

2313213 +=+ . (12)

Uslov ortogonalnosti je 021 = a uslov normiranja 1= . Isti nain oznaavanja moe da se

koristi i u impulsnom prostoru.

Dinamika varijabla i operatori

Ranije smo ve videli da se svakoj dinamikoj varijabli pridruuje operator koji deluje natalasnu funkciju. Na taj nain moemo da formuliemo sledei postulat:


4/57

4

Postulat 3. Svakoj dinamikoj varijabli pridruuje se linearni operator. linearni operator se definierelacijom

( ) ( ) ( )22112211 AcAcccA +=+ (13)

gde su 1 i 2 dve talasne funkcije a 1c i 2c kompleksne konstante. Nain na koji se linearni operator

pridruuje dinamikim varijablama ve je definisan ranije.

Ranije smo ve pokazali kako operator deluje na svojstvenu funkciju dajui svojstvenevrednosti i svojstvene funkcije

nnn aA = (14)

a na osnovu ovog moemo da definiemo sledei postulat.

Postulat 4. Jedini rezultat preciznog merenja dinamike varijable A je jedna od svojstvenih

vrednosti na linearnog operatora A koji je pridruen dinamkoj varijabli .

Skup svih svojstvenih vrednosti ini spektar operatora i taj spektar moe da bude diskretan,kontinualan ili da bude meavina oba ova.

Takoe smo pokazali da od svih linearnih operatora dinamikim varijablama pridruujemo samo one

operatore koji imaju realne svojstvene vrednosti. Takvi operatori su Hermitski operatori i oni su definisaniuslovom

XAAX = (15)

gde su iXkvadratno integrabilne funkcije.

Ako je =X tada je

AA = (16)

a ovaj uslov smo ve imali ranije.

Matrini elementi A u ovakvoj notaciji obino se piu na sledei nain


5/57

5

AXAX = (17)

i jasno je da su matrni elementi realni kada je operator Hermitski. Polazei od nnn aA = dobijamo

nnnnn aA = (18)

a na osnovu ( ) *** nnn aA = imamo

( )nnnnn aA

* = (19)

i jasno je da je A Hermitski operator. Tada su leve strane jednaine (18) i (19) jednake pa iz jednakosti

desnih strana sledi*

nn aa = , a to je dokaz da su svojstvene vrednostui Hermitskih operatora realne.

Postulat 5. Ako se napravi serija merenja dinamike varijable na ansamblu sistema opisanih

talasnom funkcijom oekivana ili srednja vrednost ove dinamike varijable je

AA

= . (20)

Poto je A Hermitski operator A je realan broj. Ako je talasna funkcija normirana na jedinicu 1=

tada je

AA = . (21)

Vano je napomenuti da A ne predstavlja srednju vrednost u smislu klasine statistike.

Uobiajeno je da se uvede operator +A koji se naziva adjugovani ili Hermitski konjugovani. Ovajoperator se uvodi relacijom


6/57

6

( ) ( ) ( ) ** AXAXXAAXAX ==== +++ (22)

gde suXi kvadratno integrabilne funkcije.

Ako je

+= AA (23)

tada je A autoadjugovani operator, a na osnovu ( ) ( ) XAAX = jasno je da je autoadjugovanioperator Hermitski.

Treba napomenuti da u optem sluaju +A nije jednak operatoru *A koji se dobija zamenom svakog

i sa i. Na primer, operator impulsa u konfiguracionom prostorux

ipx= je Hermitski tako da je

xx pp =+

, dok je xx px

ip =

=

*. Dakle,

*xx pp

+.

Navedimo dve vane osobine adjugovanih operatora

( ) ++ = AcAc * (24)

( )+++ = ABBA . (25)

Funkcije operatoraAko funkcijaf(z) moe da se razvije u stepeni red

=

=0

)(i

i

izCzf (26)

tada operatorska funkcija )(Af moe da se definie kao

=

=0

)(i

i

iACAf . (27)


7/57

7

Na osnovu ovog, ako je n jedna od svojstvenih funkcija operatora A koja odgovara svojstvenoj vrednosti

na tada je ( ) ni

nn

iaA = , a i

nnn afAf )()( = . (28)

Adjugovani operator operatora )(Af moe da se dobije na sledei nain

[ ] )()()()( *0

*

0

* ++

=

=

++

=== AfACACAf ii

i

i

i

i . (29)

Ako je A

autoadjugovani operator tada je

[ ] )()( * AfAf =+ . (30)

Jedinini, inverzni i unitarni operatoriJedinini operator I (u nastavku emo iznad operatora izostavljati ^) je operator koji svaku funkciju

ostavlja neizmenjenom

=I . (31)

Ako za dati operatorA postoji drugi operatorB takav da je

IABBA == (32)

tada jeB inverzni operator operatoraA i ozna

ava se kao

1= AB . (33)

Linearni operator Uje unitarni ako je


8/57

8

+ = UU 1

ili

IUUUU == ++ . (34)

Takav operator moe da se predstavi u obliku

iAeU= (35)

gde jeA Hermitski operator. Tada je

( ) iAiA eeU ++ == .

Projekcijski operatori.Operatore nazivamo idempotentnim ako je

AA =2 .

Ako je ovaj operator jo iHermitski tada se on naziva projekcijskim operatorom.

Bilo koja funkcija moe da se izrazi kao zbir dve ortogonalne funkcije i X

X+=

gde je A= a )( AIX = . Potraimo sada skalarni proizvod funkcije iX

0)()( 2 === AAAIA

jer je 2AA = . Napominjemo da je iI-A takoe projekcijski operator i da je Hermitski

( ) AIAAIAI =+= + 22 .


9/57

9

Razvoj po svojstvenim vrednostima

Posmatrajmo dalje jednainu nnn aA = uz pretpostavku da jeA linearni Hermitski operator i da

su samim tim na realne veliine.

Razmotriemo najpre sluaj kad su sve svojstvene funkcije kvadratno integrabilne i da mogu dabudu normirane na jedinicu

1=nn . (36)

Ortogonalnost.

Ako su i i j dve svojstvene funkcije operatora A koje odgovaraju razliitim svojstvenim

vrednostima ia i ja tada je

iii aA = (37)

jjj aA = . (38)

Pomnoimo (37) s desna sa j a (38) s leva sa i , pa (38) oduzmemo od (37) i integralimo po celom

prostoru. Tada dobijamo

( ) 0)()( === jijijjijiijiji AAaaaa . (39)

Ovde smo iskoristili

injenicu da jeA Hermitski operator. Poto je ji aa , onda mora biti

jiji = 0 . (40)

Znai, svojstvene funkcije koje pripadaju razliitim svojstvenim vrednostima ortogonalne su.


10/57

10

Degeneracija.Pojam degeneracije smo ve uveli a ovde emo neto generalnije govoriti o tome.Pretpostavimo da je stepen degeneracije svojstvene vrednosti na tako da je odgovarajua talasna

funkcija ),...,2,1( =rnr reenje jednaine

)21 ,...,,(raA nrnnr == . (41)

Primenom mitovog postupka ortogonalizacije mogue je skup funkcija nr nainiti ortogonalnim i

svaka od njih moe biti normirana na jedinicu. Uslov ortogonalnosti moe da se izrazi jednom relacijom

rsijjsir = . (42)

Ukoliko moemo da eksplicitno izdvojimo indekse koji odgovaraju degeneraciji, relacijom ortogonalnostimoemo da bez gubitka optosti da napiemo

mnnm = . (43)

Postulat 6. Talasna funkcija koja predstavlja neko dinamiko stanje moe da se predstavi kaolinearna kombinacija svojstvenih funkcija operatoraA koji je pridruen dinamikoj varijabli.

U sluaju potpuno diskretnog spektra imamo

=n

nnC . (44)

Broj svojstvenih funkcija skupa }{ n moe da bude konaan ili beskonaan. Poto svaka talasna funkcija

moe da se razvije po svojstvenim funkcijama }{ n to znai da je skup }{ n kompletan. Vano je

napomenuti da kompletnost skupa }{ n nije obavezna za svaki Hermitski operator.

Koeficijenti razvoja u (44) mogu da se odrede korienjem relacije ortogonalnosti

n

n

nnn

n

nnnn CCC === . (45)

tako eksplicitno, za sluaj jednoestinog sistema imamao (izostavljajui vremensku zavisnost funkcije )


11/57

11

[ ] ')()'()'()(')'()'()( ** rdrrrrrdrrrn

nnn

n

nn

== . (46)

Takoe je

)'()()'(* rrrrn

nn

= . (47)

Relacija (47) je relacija zatvorenosti i uva kompletnost seta }{ n . Generalizacija na sluaj sistemaNestica

daje

)'()'()',...,'()',...,'( 1111*

NN

n

NnNn rrrrrrrr = . (48)

Koristei relaciju zatvorenosti (47) mo`emo da napiemo skalarni proizvod dve funkcije na sledei nain

.'),'()'()(),(

'),'()'(),(),(),(

*

**

=

===

n

nn

n

nn XrdtrrrdrtrX

rdrdtrrrtrXrdtrtrXX

(49)

Prema poslednjoj relaciji vidi se da u Dirakovoj notaciji relacija zatvorenosti moe da se napie

In

nn = (50)

gde jeIjedinini operator.

Amplitude verovatno}e.U stanju koje je opisano talasnom funkcijom normirane na jedinicu oekivana vrednost observable

A data je izrazom = AA . Ako razvijemo po }{ n i iskoristimo razvoj* tada je

====n

nn

nm

nmnnm

nm

nmnm aCaCCACCAA2

,

*

,

* . (51)


12/57

12

Pri izvoenju poslednje jednaine iskoriena je relacija ortogonalnosti.

Po{to je normirana na jedinicu 1= tako|e se ima

12

=n

nC . (52)

Mogui rezultati merenja A su svojstvene vrednosti na , a srednja vrednost se dobija serijom merenja na

velikom broju identinih i repariranih sistema ija se stanja opisuju talasnom funkcijom . Prema Bornu

oekivana vrednost A moe da se povee sa veliinom

22

== nnn CP (53)

koja moe da se interpretira kao verovatnoa pa se merenjem dobija pojedinana vrednost na . Koeficijenti

= nnC su amplitude verovatnoe. Pri dobijanju poslednjeg rezultata implicitno smo ukljuili

degeneraciju. Ako hoemo da stanja degeneracije dobijemo eksplicitno uz pretpostavku da su na

degenerisana puta tada su ),...1( =rnr odgovarajue ortonormirane svojstvene funkcije. Tada je

=

=n r

nrnrC

1

(54)

to je

= nrnrC . (55)

Srednja vrednost je

=

=n r

nnr aCA

1

2. (56)

Da se merenjemA dobije generisana svojstvena vrednost na je


13/57

13

==

==

1

2

1

2

r

nr

r

nrn CP . (57)

Posle merenja koje daje vrednost na sistem je opisan (nenormalibilnim) talasnom funkcijom

=

=

1r

rnrn C (58)

i ako se merenje ponovi trenutno tada e vrednost na da se dobije sa sigurnou.

Kontinualni spektar.U kvantnoj mehanici je est sluaj kad jedan operator ima spektar koji je delom diskretan a delom

kontinualan. Razmotrimo s toga sluaj operatora A koji ima takav spektar. Za diskretni deo spektra imamo

nnn aA = , a za kontinualni aa aA = . Kontinualna svojstvena vrednost je realna a diskretni spektar

neka je nedegenerisan.

Prema postulatu 6proizvoljna talasna funkcija moe da se razvija po kompletnom setu },{ an

pa je

+= daaCCa

nnn )( (59)

gde se integrali po kompletnom opsegu a.

Ako posmatramo sluaj u kome je normirana na jedinicu tada e srednja vrednost operatoraA biti

++

++=

=++

++==

.)()'(')'('

)(

)()'(')'('

)(

'*

'*

**

'

*

'

*

**

aa

n

nann

m

ammnmnn

m n

m

aan

nan

m

ammnmn

m n

m

aaCaCdadaaCaCda

aaCdaCaCC

aaCaCdadaaCaCda

aaCdaCaCCaA

(60)

Pri pisanju poslednje dve relacije upotrebili smo


14/57

14

.)(22

+===

aaCdaaCA

aAaA

n

nn

aannn

U nameri da koeficijente nC poveemo sa amplitudama verovatnoe poslednja relacija moe da se napie

kao

+= adaaCaCAn

nn

22)( . (61)

Da bi iz (60) mogli da dobijemo relaciju (61) oigledno je da vai sledee.

1. Sve svojstvene funkcije koje pripadaju kontinualnom spektru mora da budu ortogonalne svimsvojstvenim funkcijama koje pripadaju diskretnom spektru

0=an . (62)

2. Svojstvene funkcije koje pripadaju kontinualnom spektru moraju da zadovoljavaju uslovortonormiranosti

)'(' aaaa = . (63)

Koristei ovaj rezultat zajedno sa += daacC an

nn )( dolazimo do koeficijenata nC i C(a) i oni su

= nnC , = aaC )( . (64)

Komutirajue observable, kompatibilnost i Heisenberbove relacijeneodreenosti.

Ako su A i B kompatibilne observable one komutiraju.Komutirajue observable, kompatibilnost iHeisenberbove relacije neodreenosti imaju kompletan set zajednikih svojstvenih funkcija.

Pojam komutatora meu operatorima ve smo ranije imali. Sada emo te rezultate neto uoptiti.

Komutirajue observable.

Predpostavimo da suA iB dve observable. Ako postoji kompletan set funkcija n tako da je svaka


15/57

15

funkcija istovremeno svojstvena funkcija operatora A i B tada su A i B kompatibilne. Svojstveni problemioperatoraA iB su

nnn aA = i nnn bB = . (73)

U stanju opisanom sa n merenjemA dobija se precizan rezultat na , a merenjemB dobija se nb . I jedna i

druga mogu da se mere precizno bez ikakvih ogranienja.

Ako suA iB dve kompatibilne observable i ako je n zajednika svojstvena funkcija ima se

nnnnnnn BAabbaAB === . (74)

Poto bilo koja talasna funkcija moe da se razvije po kompletnom skupu svojstvenih funkcija n prema

=n

nnC i koristei (74) nalazimo

0)()( == n

nn BAABCBAAB (75)

tako da je

0][ = BAAB (76)

to pokazuje da kompatibilne observable meusobno komutiraju.

Ako dva operatora komutiraju oni imaju kompletan set zajednikih svojstvenih vrednosti.

Razmotrimo najpre sluaj u kome A ima nedegenerisani spektar svojstvenih vrednosti na . Tada ako A i B

komutiraju

)()( nnnn BaBABA == . (77)

Vidi se da je nB svojstvene funkcije operatora A sa svojstvenim vrednostima na . Poto je na

nedegenerisano nB moe od n da se razlikuje samo multiplikativnom konstantom koju emo da

oznaimo sa nb


16/57

16

nnn bB = (78)

a iz poslednje relacije se vidi da su n zajednike svojstvene funkcije operatora A i B sa svojstvenim

vrednostima na i nb .

Razmotrimo sada sluaj kada je na degenerisana svojstvena vrednost operatora A sa stepenom

degeneracije sa odgovarajuom linearnom nezavisnou svojstvenih funkcija ),..,(rnr 1= . PotoA iBkomutiraju nB je svojstvena funkcija A koja pripada degenerisanoj svojstvenoj vrednosti na . Sledi da

nB moe da se razvije na lanove sa linearno nezavisnih funkcija nnn ,...,, 21

=

1s

nsrsnr CB (79)

gde su rsC koeficijenti razvoja. Razvijmo linearnu kombinaciju nr sa konstantama rd pa je sada

= ==

1 11 r s

nsrsr

r

nrr CddB . (80)

Prema tome r

nrrd je svojstvena funkcijaB koja pripada svojstvenoj vrednosti nb tako da je

sn

r

rsr dbCd ==

1

),...,2,1( =s (81)

ako je sistem od homogenih linearnih jednaina za konstanti rd . Ovaj sistem ima netrivijelna reenja ako

je

0det = rsnrs bC . (82)

Ovo je jednaina reda za nb i prema tome ima reenja. Svakom reenju ),...,1()( == kbb knn

odgovara reenje )(krd , pa prema tome moemo da konstatujemo


17/57

17

=

=

1

)()(

r

nr

k

r

k

n d . (83)

Ove funkcije su istovremeno svojstvene funkcije operatoraA sa svojstvenim vrednostima na i operatoraB sa

svojstvenim vrednostima )(knb .

Svojstvena vrednost na zajedno sa svojstvenim vrednostima)(k

nb kompletno opisuje partikularne

zajednike svojstvene funkcije )(kn operatora A i B, tako da ako oba operatora posmatramo zajedno

degeneracija je skinuta.

Sprovedena analiza moe da se proiri na vie operatora A,B,C,... koji meusobno komutiraju i imajukompletan set zajednikih svojstvenih funkcija. Skup komutativnih observabli koji moe da se nae (za dati

sistem) naziva se kompletan set komutirajuih observabli. U ovom sluaju svojstvene vrednosti na , nb , nc ,...

kompleksno odreuju zajedniku svojstvenu funkcijun

po operatore A,B,C,... a time je degeneracija

kompletno skinuta.

Neka pravila algebre operatora.Lako je pokazati da je

.0]],[,[]],[,[]],[,[],[],[],[

],[],[],[

],[],[

=+++=

+=+

=

BACACBCBABABCBABCA

CABACBA

ABBA

(67)

Heisenbergove relacije neodreenosti

Ve smo ranije diskutovali relacije neodreenosti a ovde emo izvesti vrlo uoptene relacije

neodreenosti observablaA iB tako da je iBA =],[ .

Posmatrajmo dve observableA iB i neka je

BB

AA

oekivane vrednosti operatoraA iB u stanju . Neodreenost operatora odreujemo kao


18/57

18

( )[ ] 2/12AAA = (68)

pa je

( ) ( ) 2222 AAAAA == (69)

i analogno za operator B

( )[ ] 2/12BBB = (70)

i

( ) ( ) 2222 BBBBB == . (71)

Dokazaemo da je

],[2

1BABA . (72)

Da bi ovo dokazali uveemo linearne Hermitove operatore

AAA = , BBB = . (73)

Lako je pokazati da je

( ) 22 AA = , ( ) 22 BB = (74)

i

],[],[],[ BABBAABA == (75)


19/57

19

Razmotrimo sada linearne (ali ne Hermitske) operatore

BiAC += (76)

gde je R realna konstanta. Adjugovani operator operatora C je BiAC =+ . Oekivane vrednosti

operatora +CC su realne i nenegativne, pa je

0== +++ CCCCCC . (77)

Ako sada u izrazu (77) zamenimo (76) dobija se

0],[))(( 222 +=+ BAiBABiABiA (78)

pa je i ovaj izraz realan i nenegativan.

Koristei (74) poslednji izraz se svodi na

],[)()(],[)( 222222 BAiBABAiBAf +=+= . (79)

Ovaj izraz je takoe nenegativan implicira da je ],[ BA isto imaginarna. Funkcija )(f ima minimum za

20 )(

],[

2 B

BAi

= , (80)

a vrednost )(f u minimumu je

( )2

2

20

)(

],[

4

1)()(

B

BAAf

+= . (81)

Poto je )( 0f nenegativna to mora da bude


20/57

20

( )222 ],[4

1)()( BABA (82)

a osobina ],[2

1BABA sledi ako uzmemo u obzir da je ],[ BA isto imaginarna. Ako je

iBA =],[ tada je iBA =],[ , pa iz (82) sledi da je

2

BA . (83)

Relacije neodreenosti za koordinate i impuls slede iz ovih relacija.

Unitarne transformacije

Sada emo pokazati da delujui unitarnim operatorom na talasnu funkciju koja opisuje stanje sistemadobijamo novu talasnu funkciju koja opisuje kompletno ekvivalentno opisivanje ovog sistema. Primenaunitarnog operatora na bilo koju funkciju pridruena sistemu naziva se unitarna transformacija.

Neka su i X dve funkcije i neka jeA linearni Hermitski operator takav da je

XA = . (88)

Primenimo unitarnu transformaciju Utako da je

= U' UXX =' . (89)

Piui

''' XA = (90)

dobijamo


21/57

21

== UAUXUA' (91)

pa je oigledno da je

UAUA =' . (92)

Poto za unitarne operatore vai IUUUU == ++ iz (92) sledi da je

+= UAUA' UAUA '+= . (93)

Istaknimo nekoliko rezultata.

1. Ako jeA Hermitski operator tada jeA takoe Hermitski.

Na osnovu (93) imamo

+++++ == UUAUAUA )(' (94)

i poto je += AA lako se vidi da je

'' AUAUA == ++ (95)

2. Operatorske jednaine pod dejstvom unitarne transformacije ne menjaju oblik.

Razmotrimo, na primer, operatorsku jednakost

CDCBCA 21 += (96)

gde su 1C i 2C konstante aB, CiD su operatori. Koristei injenicu da je IUUUU ==++ imamo

++++ += UDUUCUCUBUCUAU 21 (97)

ili


22/57

22

'''' 21 DCCBCA += (98)

gde suA,B, C iD transformi operatoraA,B, CiD.

Ako suA iB dva operatora za koje vai [A,B]=C gde je C kompleksan broj aA iB su transferi pa je

CBABA == ]','[],[ . (99)

Prema tome, unitarnim transformacijama se odravaju fundamentalne relacije kao to je komutativnost.

3. Svojstvene vrednosti operatoraA iste su kao i svojstvene vrednosti operatoraA.

Jednainu svojstvenih vrednosti moemo da napiemo u sledeem obliku

nnn UUaAUU ++ = . (100)

Delujui na ovu jednainu operatorom Udobijamo

( )( ) ( )( )nnn UUUaUUAU ++ = (101)

tako da lako vidimo da je

''' nnn aA = . (102)

Znai, svojstvene vrednosti operatoraA i += UAUA' su iste.

4. Veliine AX nepromenljive su delovanjem unitarne transformacije.

Ovo moe da se dokae na sledei nain

''')()( === +++ AXUUAUUXUUAUUXAX . (103)

Ako jeA=Itada je


23/57

23

'' = XX (104)

to pokazuje da se unitarnim transformacijama ne menja skalarni proizvod. Kao posledica ovoganormalizacioni uslov se takoe ne menja unitarnim transformacijama

'' = . (105)

Na osnovu ovog zakljuujemo da veliine kao to su svojstvene vrednosti ili oekivane vrednosti imaju istuvrednost kad se radi sa polaznim i transformisanim vrednostima. Unitarnim transformacijama moe da se

prelazi sa jedne na drugu reperezentaciju ili da se formiraju nove reprezentacije operatora.

Kao primer, razmotriemo jednodimenzionalno kretanje estice za koju je u kordinatnoj

reprezentaciji talasna funkcija (x,t). Koordinata i impuls su dati operatorima xxop

= ix

ipopx

= )( .

Furierova transformacija daje prelaz sa koordinatne na impulsnu reprezentaciju i ova transformacija jeunitarna. Moemo pisati

+

== dxtxetxUtp txipxx ),()2(),(),( /2/1 . (106)

Inverzna transformacija je

+

+ == xxtxip

x dptpetpUtxx ),()2(),(),( /2/1 . (107)

Dakle

),(),(),( txtpUtxUU x ==++ (108)

i takoe

),(),(),( tptxUtpUU xx ==+ (109)

pa je lako videti da je IUUUU == ++ , a to znai da je integralni operator definisan u relaciji (106)


24/57

24

unitarni.

Na osnovu Parsevalove teoreme je:

+

+

=xx

dptpdxtx22

),(),( (110)

a to je sluaj optije relacije

'' = XX .

Infinitezimalna unitarna transformacija

Neka se unitarni operator Uveoma malo razlikuje od jedininog operatoraI. Unitarna transformacijae biti infinitezimalna. Moe se pisati

FiIU += (111)

gde je realan i proizvoljno mali parametar a Fje Hermitski operator. Lako se vidi da je

FiFiIFiIFiIUUI ++== ++ ))(( (112)

a na osnovu prethodne relacije je 0)( = +FF pa je time i

+= FF . (113)

Operator F je tzv. generator infinitezimalnih transformacija. Primenom infinitezimalnih unitarnihtransformacija talasna funkcija se transformie na sledei nain

+=+ )(' FiI (114)

pa je

= Fi . (115)


25/57

25

Na osnovu += UAUA' , UAUA '+= , FiIU += i += FF pod dejstvom infinitezimalne unitarnetransformacije operator se transformie kao

)()(' FiIAFiIAAA +=+= . (116)

Matrina reprezentacija talasnih funkcija i operatora

Razmotriemo kompleksan set ortonormiranih funkcija }{ n . Zbog jednostavnosti pretpostavi}emo

da je n diskretno. Svaka talasna funkcija koja odgovara fizikom sistemu moe da se razvije po

ortonormiranom setu }{ n , a koeficijent razvoja se odre|uje skalarnim proizvodom = nnC . Za dati

set }{ n razvoj je kompletan a koeficijenti nC se nazivaju reprezenti u bazisu (ili reprezentaciji)}{ n .Ako set funkcija }{ n shvatimo kao nekakve koordinatne ose tada su nC odgovaraju}e komponente

funkcije du osa }{ n .

Delovanjem Hermitovog operatoraA na talasnu funkciju daje drugu talasnu funkciju

= AX . (117)

Talasna funkcijaXtakoe moe da se razvije po setu }{ n pa je

=m

mmdX . (118)

Koeficijenti md su odreeni kao Xd mm = . Koristei (117) i =n

nnC dobija se

=== nnnmmmm CAAXd . (119)

Veliine

mmmn AA = (120)


26/57

26

su nazvane matrini elementi operatora A na bazi }{ n . Jednaina =n

nnmm CAd moe da se

napie kao

=n

nmnm CAd . (121)

Matrini element mnA potpuno odreuju operator A u okviru bazisa }{ n . Jednainu (121) moemo da

napiemo u matrinom obliku na sledei nain

ACd= (122)

odnosno

=

2

1

2221

1211

2

1

C

C

AA

AA

d

d

. (123)

Na osnovu = nnC i nn Xd =*

skalarni proizvod X moe da se napie na sledei nain

+==n

nn CdCdX*

. (124)

Ako ovo predstavimo u matrinom obliku dobija se

( )

=

2

1*

2

*

1 C

C

ddX . (125)

Promena reprezentacije i unitarne transformacije.Ve smo rekli da unitarnom transformacijom moemo da preemo sa jedne na drugu reprezentaciju.

Primenom unitarne matrice mogue je prei sa jedne na drugu matrinu reprezentaciju.

Predpostavimo da su }{ n i }{ m dve razliite ortonormirane baze. Svaki lan seta }{ n moe da


27/57

27

se razvije po bazisu }{ m na sledei nain

=n

mmnn U . (126)

Koeficijenti razvoja mnU su dobijeni tako to su obe strane prethodne jednaine skalarno pomnoene sa m .

Na taj nain se dobija

nmmnU = . (127)

Pokaza}emo da su mnU matrini elementi unitarne matrice. I zaista

mnnm

k

nkkm

k

nkmk

k

knmkmn

UU

UUUU

==

==

==

==

++

*

)()(

mnnm

k

nkkm

k

knkm

k

knmkmn

UU

UUUU

==

==

==

==

++

*

)()(

(128)

Na isti nain se pokazuje da je

mnmnmn UUUU )()(++ == (129)

tako da je jasno da je Uunitarni operator predstavljen unitarnom matricom, pa je

IUUUU == ++ .

Pretpostavimo da je talasna funkcija predstavljamo u bazisu }{ n koeficijentima nC a u bazisu }{ m

koeficijentima md . Tako je, dakle

==m

mm

n

nn CC ' (130)


28/57

28

gde je

= nnC i = mmC ' . (131)

Koristei relaciju zatvorenosti In

nn =

i jednainu nmmnU = dobija se

===n

nmn

n

nnmmm CUC ' . (132)

Poslednji rezultat u matrinom obliku moe da se napie na sledei nain

CUC

=' . (133)

Ovo je matrino izraavanje unitarne transformacije.

Na slian nain moemo da vidimo kako se transformie matrina reprezentacija operatora. Ako jeA

matrina reprezentacija operatora A u bazisu }{ n a A matrina reprezentacija istog operatora u bazisu

}{ m tada je

+===k l

klmkmll

k l

kkmmmmn UAUAAA ln)(' . (134)

Prema ovome vidi se da je

+= UAUA' i UAUA '+= . (135)

Ranije smo ve rekli da dva Hermitska operatora koji su meusobno povezani unitarnom transformacijomimaju iste svojstvene vrednosti. Ova osobina moe da se primeni i na Hermitske matrice pa je mogue nai

unitarnu transformaciju koja Hermitsku matricu prevodi u dijagonalnu matricu+= UAUA' . Na osnovu

ovog moemo da formuliemo fundamentalnu teoremu matrine algebre. Bilo koja Hermitska matrica moeda se dijagonalizuje unitarnom transformacijom. Druga vana teorema je da bi dve Hermitske matrice A i Bmogle da se dijagonalizuju istom unitarnom transformacijom potrebno je i dovoljno da ove matrice

komutiraju (AB=BA). Takoe vana osobina unitarne transformacije je da se trag matrice ne menja. Neka su

matriceA iA povezane unitarnom transformacijom tako da je += UAUA' , tada je


29/57

29

[ ]

.

)()(''

TrAAA

AUUUAUATrA

k

kk

k l

kllk

k l m

klmklm

k l m

lmklmk

m

mm

===

====

++

(136)

Na osnovu poslednje jednaine i osnovne teoreme dijagonalizacije jasno je da je trag Hermitske matricesuma njenih svojstvenih vrednosti.

Linearni harmonijski oscilator (LHO)

Hamiltonijan LHO je kao to je ve pokazano

222

22

2

1

22

1

2 xmm

p

kxm

p

Hxx

+=+= (137)

gde je mk/2 = .

Uveemo operator

= x

mi

m

pia x

2/1

2/1)(2

. (138)

Poto su xp ix Hermitski operatori +a i a su adjugovani jedan drugom:+

+ = aa ;+

+ = aa .

Koristei osnovnu komutacionu relaciju ipx x =],[ lako je pokazati da za operatore a i +a vai

komutaciona relacija

1],[ =+ aa . (139)

Primenom operatore a i +a Hamiltonijan (137) moe da se napie na sledei nain

+=

+=

=+= ++++

2

1

2

1

2

1)(

2NaaaaaaaaH

. (140)


30/57

30

Ovde smo uveli oznaku

+= aaN . (141)

Lako je pokazati da je

= aaH ],[ . (142)

Svojstveni problem Hamiltonijana moemo da napiemo na sledei nain

EEEH = . (143)

Na osnovu (142) i (143) vidi se da je

EaEEaHaEHa == )()( . (144)

Na osnovu poslednje relacije vidimo da je ket Ea takoe svojstveni vektor operatora H, a njegova

svojstvena vrednost je )( E . Poto +a poveava a a smanjuje vrednost E operatori +a i a se

nazivaju operatori poveanja i smanjenja. PotoHzavisi od xp ix iskljuivo kvadratno oekivane vrednosti

H u bilo kom stanju ne mogu biti negativne, odnosno svojstvene vrednosti operatora H moraju da budunenegativne.

Neka je 0E najmanja svojstvena vrednostHi neka joj odgovara svojtveni ket 0E . U tom sluaju

jasno je da mora da bude

00 = Ea (145)

jer bi inae 0Ea bio ket koji odgovara svojstvenoj vrednosti 0E koja ne moe da postoji jer smo

predpostavili da je 0E minimalna vrednost. Mnoei poslednju relaciju s leva sa +a (bolje je rei delujui

na ket ovim operatorom) dobijamo


31/57

31

02

1000 =

==+ EHENEaa . (146)

Pri dobijanju poslednje relacije iskoristili smo da je

+=

2

1NH i += aaN .

Iz relacije (146) vidimo da je svojstvena vrednost 0E data ka 20

=E . Na osnovu relacije (144)

vidimo da ako na 0E delujemo operatorom +a dobijamo sukcesivno ostale ketove (nenormirane)

0E , 0Ea+ , 02

Ea+ , ... (147)

Svojstveni ket 0Ean

+ odgovara svojstvenoj vrednosti

+=

2

1nEn n=0,1,2,... (148)

Neka je nE normirani svojstveni ket koji odgovara svojstvenoj vrednosti nE a 1+nE odgovara

svojstvenoj vrednosti 1+nE .

Na osnovu (147) vidimo da je

nnn EaCE +++ = 11 . (149)

1+nC je koeficijent norme. Poto je 111 =++ nn EE i+

+ aa nalazimo da je

121 =++ nnn EaaEC . (150)

Poto je2

1++

Haa , nnn EEEH = i takoe 1=nn EE nalazimo

11 +=+ nCn . (151)


32/57

32

Vidimo da su koeficijenti norme realni.

Na bazi { }nE koja ini ortonormiranu bazu (n=0,1,2,...) operatorHje predstavljen dijagonalnom

matricom iji su matrini elementi

+=

2

1nEn a operator predstavljen takoe dijagonalnom matricom

sa elementom n. Zbog toga se ova reprezentacija esto naziva energijska reprezentacija.

=

2

500

02

30

002

1

H ,

=

200

010

000

N (152)

Na osnovu (149) i ortogonalnosti svojstvenih ketova koji pripadaju razliitim svojstvenim vrednostimaimamo

1,11 ++++ == nknknnk EaECEE (153)

ki n uzimaju vrednosti 0,1,2,... .

Prema tome, matrini elementi operatora +a u reprezentaciji { }nE su

1,2/1)1()( ++ += nkkn na (154)

i vidimo da je +a realna matrica koja ima elemente razliite od nule samo na dijagonali koja je odmah ispod

glavne dijagonale. Poto je+

+ aa a +a je realna matrica lako nalazimo da matrica a ima elemente

nkkn ka ,12/1)1()( + += (155)

razliite od nule na dijagonali iznad glavne dijagonale.


33/57

33

=+

300

020

001

000

a ,

=

3000

0200

0010

a (156)

Matrini elementix i xp mogu lako da se nau direktno iz (156) ako se uzme u obzir da je

= x

mi

m

pia x

2/1

2/1)(2

.


34/57

34

redingerova jednaina i vremenska evolucija sistema

Ovde emo formulisati jo jedan postupat kvantne mehanike koji govori o vremenskoj evolucijikvantnog sistema.

Postulat 7. Vremenska evolucija talasne funkcije sistema odreena je vremenski zavisnomredingerovom jednainom

)()( tHtt

i =

(157)

gde jeHhamiltonijan i predstavlja ukupnu energiju sistema.

Operator evolucije.Poto je jednaina (157) jednaina prvog reda po vremenu operator stanja )(t je odreen u

svakom tako je poznat u 0t . Zbog toga emo da uvedemo operator evoluvije ),( 0ttU takav da je

)(),()( 00 tttUt = (158)

sa osobinom da je

IttU =),( 00 . (159)

Ako dva puta primenimo definiciju (158) dobijamo

),'()',(),( 00 ttUttUttU = (160)

i

),(),( 001

ttUttU = . (161)

Vidimo da evolucioni operator pokazuje osobine grupe. Ako (150) zamenimo u redingerovoj jednainividimo da operator evolucije zadovoljava jednainu


35/57

35

),(),( 00 ttHUttUt

i =

(162)

sa poetnim uslovom IttU =),( 00 .

Diferencijalna jednaina (162) zajedno sa poetnim uslovom moe da se zameni integralnomjednainom

'),'(),(1

0

00 dtttHUi

IttU

t

t

= . (163)

Odravanje verovatnoe zahteva da bude

)()()()( 00 tttt = . (164)

Polazei od definicije operatora evolucije dobijamo

)(),(),()()(),()(),()()( 00000000 tttUttUttttUtttUtt ==+ (165)

odakle vidimo da je

IttUttU =+ ),(),( 00 . (166)

A ako poemo od )()( 00 tt dobijamo

IttUttU =+

),(),( 00 (167)

a relacije (166) i (167) pokazuju da je operator evolucije unitarni operator.


36/57

36

Unitarni karakter operatora evolucije povezan je sa injenicom da je Hamiltonijan ermitskioperator. Da bi pokazali ovu vezu posmatraemo promenu operatora evolucije za proizvoljno malo vreme

t. Na osnovu jednaine ),(),( 00 ttHUttUt

i =

imamo

[ ] ttttHUttUtttUt

i ),(),(),( 000000 +=+

. (168)

Ako se zadrimo samo na lanovima koji su proporcionalani sa t i ako iskoristimo poetni uslov

IttU =),( 00 dobijamo

tHi

ItttU

=+ ),( 00 . (169)

Hamiltonijan je generator infinitezimalne unitarne transformacije, ustavari konkretno, generator

infinitezimalne vremenske translacije koja je opisana evolucionim operatorom ),( 00 tttU + .

Razmotrimo poseban sluaj kad hamiltonijan ne zavisi od vremena. Reenje jednaine

),(),( 00 ttHUttUt

i =

uz poetni uslov IttU =),( 00 u ovom sluaju je

= )(exp),( 00 ttH

ittU

. (170)

To je formalno reenje redingerove jednaine za vremenski nezavisan hamiltonijan. Odatle iz

)(),()( 00 tttUt = sledi

)()(exp)( 00 tttHi

t

=

. (171)

Ako posmatramo kretanje estice bez strukture u vremenski nezavisnom potencijalu talasna funkcija je

=

= '),'()'()(exp),()(exp),( 0000 rdtrrrttH

itrttH

itr

. (172)


37/57

37

Prema relaciji zatvorenosti koju zadovoljavaju energijske svojstvene funkcije

)'()()'(* rrrrE

EE

=

jednaina (172) se svodi na

=

E

EE rdtrrrttHi

tr '),'()()'()(exp),( 0*

0

. (173)

Ako uzmemo u obzir da je EE EH = tada je

)'()(exp)'()(exp 00 rttEi

rttHi

EE

=

(174)

pa se relacija (173) svodi na

[ ] )()(exp'),'()'(),( 00*

rttE

i

rdtrrtr EEE

=

a ovo se potpuno slae sa onim to smo ranije ve izveli za energijske svojstvene funkcije.

Promena oekivanih vrednosti sa vremenom.Razmotrimo observabluA. Oekivana vrednost ove observable u stanju normirana na jedinicu

je A . Izvod ovoga po vremenu je

.)()( 11 +

+=

=

+

+

==

AHiA

tAHi

tAA

tA

tA

dt

dA

dt

d

(175)


38/57

38

Poto jeHHermitski to moemo pisati = HAAH pa se relacija (175) svodi na

[ ]t

AHAiA

dt

d

+= ,)( 1 (176)

gde je [ ] == HAAHHAHA ],[, i

=

A

tt

A.

Ako operator A ne zavisi eksplicitno od vremena tada je 0=

t

Apa se relacija (176) svodi na

[ ]HAiAdt

d,)( 1= . (177)

Moemo sada da zakljuimo. Ako operator ne zavisi eksplicitno od vremena i ako komutira saHamiltonijanom tada se njegova oekivana vrednost ne menja sa vremenom, pa onda kaemo da tajoperator predstavlja observablu koja je konstanta kretanja.

Vremenski nezavistan Hamiltonijan.Razmotrimo kao primer za predhodnu diskusiju sluaj sistema iji Hamiltonijan ne zavisi od

vremena 0=

t

H. Ako primenimo relaciju (177) dobijamo

0],[)( 1 == HHiHdt

d (178)

to znai da je ukupna energija konstanta kretanja. Ovo je analogno odranju energije u konzervativnomsistemu u klasinoj mehanici.

Neka je E svojstvena funkcija vremenski nezavisnog hamiltonijana H i neka je Eodgovarajua

svojstvena vrednost. Za stacionarno stanje ( )/exp iEtEE

= i vremenski nezavistan operator A

jasno je da oekivana vrednost EEEE AA = ne zavisi od vremena. U ovom sluaju relacija

[ ]HAiAdt

d,)( 1= svodi se na

0],[ =EE HA . (179)


39/57

39

redingerova jednaina za dvoestini sistemKao primer vremenske evolucije sistema razmotri}emo sluaj dve estice masa 1m i 2m koje

interaguju vremenski nezavisnim potencijalom )( 21 rrV

koji zavisi samo od relativne koordinate

21 rr

. Klasian hamiltonijan sistema je

)(22 212

22

1

21 rrV

m

p

m

pH

++= . (180)

Zamenom 11 rip i 22 rip dobijamo kvantnomehaniki hamiltonov operator pa je

odgovarajua vremenski zavisna redingerova jednaina

),,()(22

),,( 21212

1

22

1

2

21 21trrrrV

mmtrr

ti rr

+=

. (181)

Kao i u klasinoj mehanici, ovaj problem moe da se pojednostavi uvoenjem relativnekoordinate

21 rrr

= (182)

i vektora

21

2211

mm

rmrmR

+

=

(183)

koji odreuje poloaj centra masa (CM) sistema.

Ako izvrimo smenu promenljivih sa koordinata ),( 21 rr

na nove koordinate ),( Rr

nalazimo


40/57

40

22

22

2

1

22

1

2

2222 21 rRrr Mmm

=

(184)

gde je 21 mmM += ukupna masa i21

21

mm

mm

+= redukovana masa sistema. Ovakvom smenom

redingerova jednaina postaje

),,()(22

),,( 22

22

trRrVM

trRt

i rR

+=

. (185)

Jednaina (185) moe da se dobije uvoenjem relativnog impulsa

21

2112

mm

pmpmP

+

+=

i ukupnog impulas

21 ppp

+= , pa je2222

22

2

22

1

21 p

M

P

m

p

m

p

+=+ , a zamenom RiP

, rip

dobija se

jednaina (185).

Reenje redingerove jednaine (185) moe da se napie u obliku

[ ]

/)(exp)()(),,( tEEirRtrR CM += (186)

gde funkcije )(R

i )(r

zadovoljavaju jednaine

)()(2

22

RERM

CMR

= (187)

i

)()()(

2

22

rErrVr

=

+ . (188)

Ukupna energija je EEE CMtot += .


41/57

41

Slike kvantne mehanike

U kvantnoj mehanici su razraene mnoge reprezentacije talasnih funkcija i observable i one sumeusobno povezane unitarnim transformacijama. Za dalji rad pogodno je izdvojiti neke klasereprezentacije i to nazvati slikama. Slike kvantne mehanike meusobno se razlikuju po nainu tretiranja

vremenske evolucije kvantnog mehanikog sisteme. Najee koriene slike kvantne mehanike suredingerova, Hajzenbergova i Interakciona slika.

redingerova slika je ona koju smo do sada uglavnom koristili; ona u kojoj operatori koji

predstavljaju koordinatu i impuls ),( ii pr

ne zavisi od vremena. Vremenska evolucija sistema odreena je

vremenski zavisnom talasnom funkcijom )(t koja je reenje redingerove jednaine

)()( tHtt

i =

. Talasna funkcija )(t je sa svojom vrednou u 0tt= povezana je evolucionim

operatorom ),( 0ttU ; )(),()( 00 tttUt = . Zavisnost od vremena oekivanih vrednosti u bazi

vremenski nezavisnih operatora ir

i ip

data je izrazom

],[)( 1 HAiAdt

d = . (189)

Hajzenbergova slika je dobijena iz redingerove slike primenom na redingerovu talasnu funkciju )(t

unitarnog operatora ),(),( 00 ttUttU =+ . Rezultat je talasna funkcija u Hajzenbergovoj slici (ili funkcija

stanja) H koja je

)()(),()(),( 000 ttttUtttUH ===+ . (190)

Vidi se iz (190) da talasna funkcija u Hajzenbergovoj slici ne zavisi od vremena, a u nekom fiksiranom

trenutku 0t ona se poklapa sa talasnom funkcijom )( 0t .

Koristei )(),( 0 tttUH =+ i += UAUA' nalazimo operator u Hajzenbergovoj slici

),(),(),(),( 0000 ttAUttUttAUttUAH++ == (191)

gde je A operator u redingerovoj slici. Vidi se da je HA zavistan od vremena ak i kad A ne zavisi od

vremena. Vremenska promena )(tAH moe da se odredi na sledei nain


42/57

42

t

UUAU

t

AUAU

t

UtA

dt

dH

+

+

=

+++)( . (192)

Koristei HUUt

i =

kao i injenicu da jeHHermitski a Uunitarni operator nalazimo

+++

++= U

t

AUUAHAUHAUitA

dt

dH )()()(

1 . (193)

Uzimajui u obzir da je

+= UHUHH ,+

=

U

t

AU

t

A

H

(194)

imamo

H

HHHt

AHAitA

dt

d

+= ],[)()( 1 (195)

a to je Hajzenbergova jednaina kretanja za operator HA .

Kao primer moemo da razmotrimox komponente vektora poloaja i impulsa estice xp . Poto

su ovi operatori u redingerovoj slici vremenski nezavisni 0=

=

t

p

t

x x prema (194) i (195) imamo

],[)( 1HH

H Hxidt

dx = (196)

],)[()()( 1

HHx

Hx Hpidt

pd = . (197)

Koristei osnovne komutacione relacije


43/57

43

ipzpypx zyx === ],[],[],[

koje se ne menjaju unitarnim transformacijama, lako se pokazuje da je

Hx

HH

p

H

dt

dx

)(

= ,

H

HHx

x

H

dt

pd

=

)((198)

a ove jednaine su ekvivalentne Hamiltonovim kanonskim jednainama klasine mehanike. Ovde se vidida je Hajzenbergova slika bliska kanonskoj formulaciji klasine mehanike.

Poto su slike kvantne mehanike povezane meusobno unitarnim transformacijama sve relevantnefizike veliine su iste u obe slike. Treba primetiti da ako je Hamiltonov operatorHu redingerovoj slicivremenski nezavistan evolucioni operator u toj slici dat je izrazom

= )(exp),( 00 ttH

ittU

(199)

a Hajzenbergova talasna funkcija H tada je sa redingerovom talasnom funkcijom povezana relacijom

)()(exp)( 00 tttHi

tH

==

(200)

a na osnovu += UHUHH vidimo da je HHH = . Ponekad je pogodno definisati neke druge slike gde

se unitarna transformacija primenjuje na redingerovu talasnu funkciju )(t koristei ne ceo

Hamiltonijan ve njegov deo. Takve slike se nazivaju interakcione slike.

Interakciona slika.Razmotrimo primer jedne interakcione slike u kojoj Hamiltonijan sistema moemo da napiemo

kao zbir dva dela od kojih jedan ne zavisi od vremena a drugi zavisi


44/57

44

)()( )1()0( tHHtH += . (201)

redingerova jednaina za vektor stanja )(t ima oblik

[ ] )()( )1()0( tHHtdt

di += . (202)

Preimo na novu sliku unitarnom transformacijom pomou operatora )()0( tU koji zadovoljava jednainu

)0()0( HUUdt

di = . (203)

Ukoliko bi u (201) bilo 0)1( =H onda bi pomou )()0( tU preli na Hajzenbergovu sliku. Talasnu

funkciju u redingerovoj slici moemo da napiemo kao

)(),()( 0)0( tttUt I= (204)

gde je )(tI vektor stanja u novoj, interakcionoj slici. U jednaini (204) sve veliine posmatramo u

trenutku t, a to karakterie poetni trenutak pa je IttU =),( 00 . Iz (204) sledi da je

)(),()( 0)0( tttUtI =

+

(205)

a oigledno je da je u poetnom trenutku )()( 00 ttI = .

Jednaina za odreivanje )(tI moe da se nae diferenciranjem po vremenu relacije (205)

( ) ).()(

)()()(

)1()0()0()0()0(

)0()0(

tHHUtHU

tdt

dUitU

dt

dit

dt

di I

++=

==

++

++

Daljim sreivanjem dobija se


45/57

45

).()( )0()1()0( tUHUtdt

di II =

+

(206)

Ako uzmemo u obzir da je

)0()1()0()1( )( UHUtHI+

= (207)

dobijamo

).()( )1( tHt

dt

di III = (208)

Prema (208) za bilo koji operator prelaz iz redingerove na interakcionu sliku se odvija preko relacije

)0()0()( AUUtAI+

= . (209)

Jednaina kretanja za operator u interakcionoj slici dat je formulom

[ ]III HAAdt

di ,= . (210)

Fiziki rezultati su isti u svim slikama pa je prema tome

)()( tAtA II = . (211)

Principi simetrije i zakoni odranja

U ovom odeljku emo razgovarati o principima simetrije i njihovoj vezi sa zakonimaodranja.


46/57

46

Prostorne translacije i odranje impulsa.Posmatramo vezu izmeu osobina translacije sistema i odranje impulsa.

Translaciona transformacija vektora poloaja je

arraTr += )(' (213)

gde je )(aT

operator posmatrane translacije. Inverzna translacija )(1 aT definisana je kao

arraTr

== '')(1 . (214)

Posmatrajmo prost sluaj jednoestinog sistema. U trenutku 0t taj sistem opisuje prostorna talasna

funkcija ),()( 0trr . Neka je nakon translacije za dati vektor a sistem opisan talasnom funkcijom

)(' r

. Ove dve talasne funkcije ( ))(')( rr

i meusobno su povezane operatorom )(aUT

koji je

definisan kao

)()()(' raUr T

= . (215)

Poto je pomenuta translacija ekvivalentna pomeranju koordinatnog poetka sa vektorom a

, jasno je da

je

)()(')(' rrTar

==+ (216)

ili alternativno

)()()()()(' 1 arrTraUr T

=== . (217)

Poto fizike osobine sistema ne mogu da se menjaju ovim translacijama )(aUT

mora biti unitarni

operator.

Eksplicitni oblik operatora )(aUT

moe biti odreen razmatrajui najpre efekte infinitezimalne

translacije a

na talasnu funkciju. Koristei (217) i zadravajui lanove prvog reda po a

imamo


47/57

47

)()()()()(

)()()(' raIz

ra

y

ra

x

rararr zyx

=

== . (218)

Uporeujui (217) i (218) vidimo da je operator infinitezimalne unitarne translacije

opT Pai

IaIaU

== )( (219)

Iz poslednje relacije vidimo da operator impulsa generie infinitezimalne translacije.Konane translacije mogu da se dobiju izvoenjem sukcesivnih infinitezimalnih translacija u

koracima po a

. Napiimo naa /

= , gde je n ceo broj, pa pustimo da n , a time dobijamo

=

==

op

n

op

nT Pa

i

n

PaiIaIaU

explim)( . (220)

Ako je talasna funkcija )(r

svojstvena funkcija operatora impulsa sa svojstvenom vrednou p

= pPop

(221)

pokazuje se da je

= opT Pa

iaU

exp)( . (222)

Posmatrajui poslednju relaciju vidi se da ovakva translacija ne menja stanje sistema. Kao posledicaovoga imamo da svojstvena vrednost operatora impulsa ostaje neizmenjena dejstvom operatora translacije.

Ovaj rezultat moe da se generalizuje na sistem od N estica. U ovom sluaju operatorinfinitezimalne unitarne translacije dat je sa

opT Pai

IaU

= )( (223)


48/57

48

gde je generator translacije opP

operator ukupnog impulsa

opNopopop pppP )()()( 21

+++= . (224)

Unitarni operator konane translacije je

= opT Pa

iaU

exp)( . (225)

Poto je HamiltonijanHizolovanog sistema invarijantan na bilo koju translaciju sledi da je

HaHUaUH TT ==+ )()('

(226)

za infinitezimalne translacije do lanova reda a

dobijamo

[ ]HPaiHaHUaU opTT ,)()(

=

+ , (227)

a uporeujui poslednja dva izraza dobijamo da je

[ ] 0, =HPop

(228)

a ovo znai da je ukupni impuls konstanta kretanja. Moemo da zakljuimo da je odranje ukupnogimpulsa izolovanog sistema rezultat invarijantnosti Hamiltonijana u odnosu na translaciju.

Zakoni konzervacije i kontinualne translacije simetrije.

Prethodnu diskusiju emo generalisati na bilo koju neprekidnu translaciju simetrije. Neka

Hamiltonijan H izolovanog sistema bude invarijantan na translacije simetrije S. Ako je sU operator

kojim se sprovodi ova translacija, njegovo dejstvo na talasnu funkciju je


49/57

49

= sU' . (229)

Neka jeA jedna observabla aA njen transform pod dejstvom translacije opisane sa sU . Poto oekivana

vrednost merenjaA u dinamikom stanju ' mora da bude ista sa oekivanom vrednou observableA ustanju , to je

== ss UAUAA '''' (230)

pa je oigledno

+= ssAUUA' , ss UAUA '

+= . (231)

U posebnom sluaju ako posmatramo HamiltonijanHkoji je invarijantan na operaciju simetrije S to je

HHUUH ss == '' . (232)

Ako je translacija simetrije neprekidna tada svaki operator sU moe da se izrazi kao proizvod operatora

sU koji odgovara infinitezimalnoj transformaciji simetrije, pa je

ss FiIU +=)( (233)

gde je realan, proizvoljno mali parametar a sF generator infinitezimalne unitarne transformacije

(Hermitski je operator).

Do prvog reda po imamo

[ ]HFiHHUUH sss ,)()(' +==+

. (234)

Uporeujui poslednji izraz sa (232) jasno je da je


50/57

50

[ ] 0, =HFs . (235)

Jasno je da ako sF ne zavisi od vremena tada e oekivane vrednosti sF biti nepromenljive sa

vremenom, pa je tako sF konstanta kretanja.

Jednaina (235) je generalizacija, na bilo koju neprekidnu translaciju simetrije, ranijeizvedenih relacija za prostornu simetriju.

Razmotrimo ukratko vremensku translaciju koja je generirana, za vremenski nezavistanHamiltonijan, evolucionim operatorom

= )(exp),( 00 ttH

ittU

. (236)

Generator odgovarajue infinitezimalne transformacije je Hamiltonijan H, a kako on komutirasam sa sobom sledi da se za vremenski nezavistan Hamiltonijan energija odrava. Dakle,

odranje energije izolovanog sistema posledica je invarijantnosti Hamiltonijana u odnosu natranslaciju vremena.

Prostorna refleksija i odranje parnosti.

Sada emo posmatrati diskretne translacije simetrije i to refleksiju u odnosu nakoordinatni poetak. Ova operacija je poznata kao inverzija ili operacija parnosti. Ovu translacijuemo prouavati uvoenjem unitarnog operatora P koji se naziva operator parnosti. Zajednoestinu talasnu funkciju nezavisnu od vremena ovaj operator deluje na sledei nain

( ) ( )P r r =

. (237)

Za sluaj vieestinih sistema

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )N NP r r r r r r =

. (238)

Operator parnosti P je Hermitski ( )P P+ = poto za bilo koje dve funkcije )(r

i )(r

imamo

[ ]** * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r P r dr r r dr r r dr P r r dr = = =

. (239)

Jasno je iz definicije operatora parnosti da vai2P I= (239)

pa su svojstvene vrednosti operatora P +1 ili 1, a odgovarajua svojstvena stanja su parna ili

neparna. Dakle, ako je )(r

+ parno svojstveno stanje operatpra P, a )(r

je njegovo neparnostanje ima se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

P r r r

P r r r

+ + +

= =

= =

(241)

Zapazimo da je


51/57

51

+++ == rdrrrdrrrdrr

)()()()()()( *** (242)

iz ega sledi da je

0)()(* = + rdrr

(243)

to znai da su svojstvena stanja )(r

+ i )(r

meusobno ortogonalna, a poto pripadajurazliitim svojstvenim vrednostima i to svim koje ima P to je jasno da ova stanja ine kompletanset i bilo koja funkcija moe da se napie kao

)()()( rrr

+ += . (244)

Ovde je

[ ])()(2

1)( rrr

+=+ , [ ])()(

2

1)( rrr

=

i prva je parna a druga neparna funkcija.

Delovanje operatora parnosti na observable r

iop

P

dato je relacijama

PrP r + =

i op opPP P P+ =

. (245)

Operacija parnosti je ekvivalentna transformaciji desnog koordinatnog sistema u levi. Na osnovudosadanje diskusije znamo da ako operator parnosti komutira sa Hamiltonijanom parnost se odrava

[ ], 0P H = . (246)

Postoje neki procesi u nuklearnoj fizici gde je odgovorna slabainterakcija i gde dolazi do naruavanja parnosti.

Invarijantnost na inverziju vremena.Jo jedna vana diskretna transformacija je inverzija vremena tt . Pre nego preemo na

kvantnomehaniko razmatranje podsetimo se kako je to u klasinoj fizici. Poimo od Newtonovog zakonakretanja takaste mase


52/57

52

Fdt

rdm

=2

2

(247)

uz predpostavku da sila F

zavisi samo od koordinata. Poto su Newtonove jednaine drugog reda po t

svakom reenju )(tr moe da se pridrui reenje

)()(' trtr =

. (248)

Veza izmeu ova dva reenja predstavljena je na slici.

Poloaj estice u trenutku 0t u prvom sluaju isti je kao i u drugom sluaju, dok su brzine a samim tim i

impuls suprotni

)(

)(

)()(')(' 00

0

tv

td

trd

dt

trdtv

tt

=

=

=

=

. (249)

Razmotrimo sada efekte vremenske inverzije u kvantnoj mehanici. Poeemo sa razmatranjem sluaja

bezspinske estice mase m koja se kree u realnom vremenski nezavisnom potencijalu )(rV

.

Odgovarajua vremenski zavisna redingerova jednaina je


53/57

53

),()(2

),( 22

trrVm

trt

i

+=

. (250)

Promenom tutdobija se

),()(2

),( 22

trrVm

trt

i

+=

. (251)

Ako poslednju jednainu kompleksno konjugujemo dobija se

),()(2),(*2

2*

trrVmtrti

+=

(250)

a poslednja jednaina je ekvivalentna jednaini (250).

Moemo da zakljuimo da ako je talasna funkcija ),( tr

reenje vremenski nezavisne

redingerove jednaine tada je i talasna funkcija sa inverznim vremenom reenje iste jednaine

),(),(' * trtr =

. (251)

Treba napomenuti da ovaj rezultat zavisi od izbora reprezentacije. Na primer, ako napiemo

= pdtprp

itr

),(exp)2(),( 2/3 (252)

i

=

pdtprpi

tr

),('exp)2(),('2/3

(253)

jasno je na osnovu (251) da je

),(),(' * tptp =

. (254)


54/57

54

Dakle, u impulsnom prostoru ako promenimo t sa t to se ne svodi samo na kompleksnu konjugaciju

talasne funkcije ve mora da se promeni p

u p

. Ovo je u saglasnosti sa klasinim rezultatom.

Razmotrimo uopteniji sluaj polazei od vremenski zavisne redingerove jednaine

)()( tHtt

i =

(255)

uz pretpostavku da Hamiltonijan ne zavisi od vremena. Promenom t u t i konjugcijom gornje relacijedobija se

)()(***

tHtti =

. (256)

Predpostavimo najpre da je Hamiltonijan realan )( * HH = . Tada ako je )(t reenje vremenski zavisne

redingerove jednaine, tada je reenje i vremenski invertovan vektor stanja

)()()(' * tKtt == (257)

gde je Koperator kompleksne konjugacije. Napomenuemo da je operator Kantiunitaran i takav da jeIK =2 ili KK =+ .

OperatorA je antilinearan ako je

)()()( 2*

21*

12211 +=+ AcAcccA

gde su 1 i 2 dve funkcije a 1c i 2c kompleksne konstante. Antiunitarni operator K je jo i

antilinearan i zadovoljava uslove

IKKKK == ++ .

Uopteno, meutim, Hnije realan. U ovom sluaju pretpostavljamo da postoji unitarni operator

U takav da je


55/57

55

HUHU =+

* . (258)

Operator U treba da bude unitaran da bi bila odrana normalizacija vektora stanja.

Ako na obe strane jednaine )()( *** tHtt

i =

delujemo operatorom U i uzmemo u

obzir (258) dobijamo

)()( ** tHUtUt

i =

. (259)

Ako je )(t reenje vremenski zavisne redingerove jednaine tada je reenje iste jednaine i

*'( ) ( ) ( ) ( )t U t U K t t = = = . (260)

Ovde je

U K = (261)

operator vremenske inverzije. Poto je U unitaran a Kantiunitaran to je i operator antiunitaran.

Ranije smo ve videli da kada je Hamiltonijan Hrealan tada operator U se svodi na jedinini

operator, pa je operator vremenske inverzije samo operator kompleksne konjugacije K.

Kada je HH * uobiajeno je dobiti operator U (a time i ) korienjem sledeih

razmatranja. Pre svega zahtevamo da operator vektora poloaja ostane neizmenjen pod dejstvom traenogoperatora

'r r r+= =

. (262)

Ako radimo u koordinatnoj reprezentaciji (u kojoj je r

realan multiplikativni operator) mora da bude


56/57

56

r U KrK U U rU r + + + + = = =

(263)

tako da U mora da komutira sa r

. Takoe zahtevamo da operator impulsa menja znak pod dejstvom

operatora vremenske inverzije

'op op opP P P+= =

. (264)

Poto je =

iPop imaginarni operator u koordinatnoj reprezentaciji, u toj reprezentaciji imamo

( ) ( )op opP U K i K U U i U P i + + + + = = = =

to implicira da U mora da komutira i sa =

iPop .

Vratimo se jo jednom vremenski zavisnoj redingerovoj jednaini )()( tHtt

i =

.

Promenom tuti ubacivanjem ( I)+ = izmeuHi dobijamo

( ) ( )i t H t t+

= (265)

i naravno

( ) ( )i t H t t

+ =

. (266)

Koriste}i '( ) ( )t t = i U K = dobijamo

*( ) ( ) ( ) '( )U Ki t U i t H t t t

+ = =

(267)

ili


57/57

'( ) '( )i t H t t

+ =

. (268)

Zahtevamo da ova jednaina bude ekvivalentna sa polaznom redingerovom jednainom. Naravno,

traeni unitarni operator U zadovoljava HUHU =+ * pa zahtev za ekvivalentnou redingerovihjednaina daje

H H+ = (269)

ili

[ ], 0H = (270)

a to je potreban i dovoljan uslov da edingerova jednana ostane invarijantna u odnosu na inverzijuvremena. Poslednji uslov je obio zadovoljen sem u nekim sluajevima povezanim sa slabom interakcijomi neodranjem parnosti.

Documents

Formalizam kvantne mehanike