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1/ 66
Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Momento Angular
24/10/2014
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 1 / 65
FORESEE.
2/ 66
Outline
1 Momento Angular de uma partícula
2 Momento Angular de um Sistema de Partículas
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 2 / 65
3/ 66
Momento Angular de uma partícula
Conceitos Fundamentais na dinâmica de translação: F e p
(importante Lei de Conservação).
Já falamos do análogo da Força na rotação ‹ Torque causa
aceleração angular.
Queremos o análogo do p na rotação.
Para uma partícula: p m v
Para um sistema de partículas: P MVCM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 3 / 65
4/ 66
Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v2
v2
02a x
m
K i
1
2miv
2
i
F
Fres
ma
p mv
Fext
dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
02
I i mir2
i
K1
2I
2
r Fres
I
lext
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 4 / 65
(Para partículas pontuais)
-
5/ 66
Momento Angular de uma partícula
Partindo da Segunda Lei de Newton:
Fdp
dtr F r
dp
dt
notando que:
d r p
dtr
dp
dt
dr
dt
v mv 0
p
r Fd r p
dt
o
dlo
dt
onde lo r p é o momento angular de uma partícula em
relação a o ‹ depende do ponto o
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 5 / 65
6/ 66
Momento Angular de uma partícula
lo r p
lo é um vetor de
módulo: r p sen
que pode ser visto como:
r p ou r p
direção: a r e v
sentido: regra da mão direita
Note que não é necessário que
haja rotação para definirmos lo
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 6 / 65
7/ 66
Conservação do Momento Angular
o
dlo
dt
O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de
variação com o tempo do momento angular
Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma
origem.
Consequência: Se o 0 ‹ lo se conserva !!!!
Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e
sentido.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 7 / 65
8/ 66
Exemplo: Forças Centrais
Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto
é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e
r F :
Consequência: O momento Angular em relação ao centro
se conserva ‹ O movimento é plano.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 8 / 65
9/ 66
Exemplos
Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto
O?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 9 / 65
10/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 10 / 65
A [ Ii = mini iv.'
+ mzi .×5i
/ E Is / = 3,1 × 2,8×3.6 - 6.5 × 1.5×2.2 = 31.2 - 21.4 =
9.8kg nits
L e p/ fore do plane no papal 0
11/ 66
Exemplos
Uma partícula me massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo
3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força
F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O :
a) o momento angular da partícula
b) o torque exercido sobre ela
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 11 / 65
daaaogp
-
12/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 12 / 65
to= mix is
^
= m rvsem 30 = 2×3×4 × zt = 12 kg nils k
^
Z's = I'
×E
'
= 3 × 2 sense = 3 Nn k
15/ 66
Exercícios
O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um
observador inercial fixo num ponto O é dado por
r 2 t2
t t4k , onde todas as unidades empregadas estão
no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula?
(b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o
momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique
se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 15 / 65
16/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 16 / 65
a) I'
=at a + tj + t
' ti
- >
F = m a
E'
= dagi = 4 i +12 t2k
E'
= 8 i + 24 t2 k
b ) E'
= i'
×if '
^
i j k
⇐to ztf.) = 24 £3 i - ( 4't
'-8th ) j -8th
= 24 t'
i - 40 t
"
j -8th
e) li'
= mix ii
i j is
pet't.tt/=(4th-tYi- ft '
'
- at 'Jj + Kt'. at 's 'k
= 3 th i - 4 t5j -2 E K
to = 6 t'
i - 8 Ej
- 4 t2 K
- )
d) dd= 24 Ei . hot
"
j -
8thdt
17/ 66
Exercícios
Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade vi que
faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem
do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O , calcule o
momento angular do projétil em relação a O como função do
tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em
relação ao mesmo ponto, e verifique se
dL0
dt0
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 17 / 65
18/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 18 / 65
a) I'
. = m I × ii
ii = ( v. corot ) i + ( v. snot -
ztg E) jI
'
= Hcore ) i + ( t.sn - gt ) f
I × I = Hnew cow t - v. who gt'
) li - Hsure corot -
mix ii = - m 's gEu
.cow Is at g
a v. wo ) ti
→
b) E'
= I ×F
'
F = - mg IZ = - mg v. corot K
-^
e) of = - m gt v. cow k
at
19/ 66
Desafio
Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa
à extremidade de um fio de comprimento d , amarrado a um
suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade
constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a
vertical. Qual é o momento angular L0 da bola em relação ao
ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de
variação de L0 em relação ao tempo é medida pelo torque em
relação a O das forças que agem sobre a bola.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 19 / 65
R
gets[ = mw Roe cos x I +
mw r2 £
^
z
"i
23/ 66
Momento Angular de um Sistema de Partículas
Queremos obter o momento angular L de um sistema de N
partículas
L li ri pi
L miri vi
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 23 / 65
24/ 66
Momento Linear de um Sistema de Partículas
No movimento de translação obtivemos uma simplificação
quando consideramos o momento Linear em relação ao CM:
ri ri
Rcm Rcm
miri
M
miri0
Fazendo o mesmo para a velocidade:
mivip
i0
P MVCM
O Momento Linear do sistema em relação ao CM se anula e o
sistema se move como se toda a massa estivesse concentrada nele.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 24 / 65
25/ 66
Momento Angular de um Sistema de Partículas
L mi ri vi
Substituindo ri ri
Rcm e vi vi
Vcm
L mi ri
Rcm vi
Vcm
mirivi
miriVcm miRcm v
imiRcm Vcm
mirivi
miri
0
Vcm Rcm mivi
0
mi
M
Rcm Vcm
L L LCM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 25 / 65
26/ 66
Momento Angular de um Sistema de Partículas
L mi ri vi
Substituindo ri ri
Rcm e vi vi
Vcm
L mi ri
Rcm vi
Vcm
mirivi
miriVcm miRcm v
imiRcm Vcm
mirivi
miri
0
Vcm Rcm mivi
0
mi
M
Rcm Vcm
L L LCM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 25 / 65
27/ 66
Momento Angular de um Sistema de Partículas
L mirivi
MRcm Vcm
L L LCM
Ao contrário do que acontece como o momento linear, o momento
angular em relação ao CM (L ) não se anula.
Um caso particular que pode acontecer é o CM estar parado –
Vcm 0 ‹ L L
Neste caso o momento angular não depende do ponto em relação
ao qual está sendo calculado.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 26 / 65
a.
28/ 66
Momento Angular da Terra
A Terra gira em torno do sol, seu momento angular em relação
ao sol é
Lorbit MRCM VCM
que é perpendicular ao plano da órbita.
Ela também gira em torno do seu eixo (que faz um ângulo de
23,5 com o Lorbit), produzindo um L comumente chamado de
Lspin
.
LTOT Lorbit Lspin
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 27 / 65
29/ 66
Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v2
v2
02a x
m
K i
1
2miv
2
i
F
Fres
ma
p mv
Fres
dp dt
P MVCM
Fext
dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
02
I i mir2
i
K1
2I
2
r Fres
I
l r pres
dl dt
L L LCM
ext
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 28 / 65
Eggheads
30/ 66
Relação entre L eext
L miri vi
dL
dtmi
dri
dtvi
0
miri
dvi
dt
ai
dL
dtmiri ai i
miai Fext
iF
int
i
Para 2 partículas:
dL
dtr1 F
ext
1r2 F
ext
2r1 F12 r2 F21
dL
dt
extr1 r2 F12
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 29 / 65
µ
31/ 66
Relação entre L eext
dL
dt
extr1 r2 F12
r1 r2 F12
A resultante dos torques internos do sistema é nula
dL
dt
ext
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 30 / 65
32/ 66
Exemplo
Vimos que o movimento mais geral pode ser decomposto em
Translação Rotação
Considere um halteres, formado por dois corpos de massa m ,
ligados por uma barra rígida de comprimento l , apoiado sobre
uma superfície sem atrito. Sobre as massas atuam as forças
externas Fext
1e F
ext
2
Fext
dP
dt
extdL
dt
Se as Forças são constantes, o CM se move com Movimento
Retilínei uniformemente acelerado e as duas massas executam um
MCUA em torno do CM
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 31 / 65
o B.
13/ 66
Exercícios
Duas partículas, cada uma com massa m e velocidade v ,
movem-se em sentidos opostos ao longo de linhas paralelas,
separadas por uma distância d . Encontre uma expressão, em
termos de m , v e d para o momento angular total do sistema em
torno de uma origem qualquer.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 13 / 65
33/ 66
Relação entre L e
Temos p mv . Será que L I ? Às vezes...
Considere o caso em que o ponto O em relação ao qual o L é
calculado seja o centro do círculo
L r p r m v r m v sen90 k mr2
k
L I nesse caso sim
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 32 / 65
34/ 66
Relação entre L e
Agora considere o caso em que a trajetória ainda é circular, mas
o ponto O não é o centro do círculo.
Vemos que nesse caso, L não é paralelo a
Mas veremos que a componente z de L, Lz I
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 33 / 65
35/ 66
Lo m r v
v r r Z r
Lo m Z v
z
m r v
z
Lz mr v m r vz m r2
z
Lz I nesse caso so Lz
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 34 / 65
r'Feat
/
36/ 66
Relação entre L e
Agora considere um objeto simétrico em relação ao eixo de
rotação
As componentes a z se cancelam e as se somam:
Lo Lz1 Lz2 mr2
mr2
I
Para corpos simétricos em relação ao eixo de rotação
L I
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 35 / 65
37/ 66
Resumo
A componente Lz é sempre I
O momento angular total Lo só é I se o objeto for simétrico em
relação ao eixo de rotação, ou se o ponto o for o centro do círculo.
Se aplicarmos a lei da dinâmica das rotações para o eixo z :
dLz
dt
ext
z
d I
dt
ext
z
ext
zI
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 36 / 65
38/ 66
Relação entre cinemática angular e linear
s r v r aT r
Linear
a constante:
v v0 a t
x x0 v0 t 1 2 a t2
v2
v2
02a x
m
K i
1
2miv
2
i
F
Fres
ma
p mv
Fres
dp dt
P MVCM
Fext
dP dt
Angular
constante:
0 t
0 0 t 1 2 t2
2 2
02
I i mir2
i
K1
2I
2
r Fres
I
l r p lz Ires
dl dt
L L LCM
extdL dt
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 37 / 65
39/ 66
Exercício
Um objeto é formado por uma barra rígida de massa M e
comprimento l com duas partículas de massas m1 e m2 ligadas às
suas extremidades. A barra é presa pelo seu centro podendo girar
no plano vertical sem atrito com velocidade angular .
a) Ache a expressão para o momento angular do sistema em
relação ao ponto O .
b) Ache a expressão para a aceleração angular do sistema quando
a barra faz um ângulo com a horizontal.
c) Para que ângulo temos o valor máximo de ?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 38 / 65
OMse ma > me,?
40/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 39 / 65
a) D pronto 0 e- o auto , entcio [= IS
I = Isam + s Ipat = MI + m, # 't mz ( t )
's
12
I = ¥ ( Igt m , + ms )T=e÷1§+m,+m . ) wti
b) E'
= ITm
, glz cost - mzgtgwro = I L
se m, = mz & =o not gi -
se 0 = IT ,not fi -
L= ( m ,- mz ) of team =(m ,
. myq 2 coo
÷rftm .tn . ) l / z+u+m . )
X e
'
moixim got O so on o - *
W e'
haiseimo gay O = - Tk poise.
0 oh gto en que o cm estani mains boixo,
com Ug minima e portent K molting
41/ 66
Conservação de momento angular
Vimos que para o caso de um sistema em rotação em torno de
um eixo fixo:
ext
zdLz dt
seext
z0 Lz I se conserva.
Ii i If f
Se o momento de inércia diminui, a velocidade angular aumenta
e vice-versa
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 40 / 65
42/ 66
Exemplo
Uma plataforma em forma de disco gira no plano horizontal em
torno de seu centro. A plataforma tem massa M 100 kg e raio
R 2 m. Um estudante de massa m 60 kg caminha
lentamente da extremidade para o centro. Se a velocidade
angular do sistema é 2 rad/s quando o estudante está na beira do
disco, qual será a velocidade angular quando ele estiver a uma
distância r = 0,5 m?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 41 / 65
43/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 42 / 65
IiWi= If wf
Ii = MzI+mR2If = M¥+ mi
R2(÷+m)wi=(u¥+mi ) us .
Wt = 22(s0t↳ × , z = 4 / no ) × 2
50×22+60 ×#)2 #= 4.1rad /s
44/ 66
Exemplo
Uma criança de 25kg corre com velocidade de 2,5 m/s em uma
direção tangente à borda de um carrossel de raio 2m. O carrossel
está inicialmente em repouso e tem momento de inércia de
500 kg.m2. A criança pula na borda do carrossel. Encontre a
velocidade angular do sistema criança + carrossel.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 43 / 65
9g -
:Lantis = Ldfrois
m R . v = I Wto t
m Rv = ( I + inR2 ) w
C
W =
MRT = 25x2×= = 1¥ = O
.21 nadts
Ic + in R"
soo + 25 × 4 Goo
45/ 66
Exemplo
Neste exemplo, o disco 1, de momento de Inércia I1, gira
livremente com velocidade angular 1 em torno do seu centro.
Ele é deixado cair sobre o disco 2, de momento de Inércia I2, que
está em repouso. O disco 2 está centrado no mesmo eixo do disco
1 e está livre para girar. Os dois passam a girar juntos.
Determine a velocidade angular do sistema.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 44 / 65
57/ 66
Exemplo
Duas patinadoras, cada uma com massa de 50kg, aproximam-se uma da outra
em trajetórias paralelas separadas por uma distância de 3m. Elas possuem
velocidades de sentidos opostos e módulos igual a 1,4 m/s. A primeira
patinadora segura a extremidade de uma longa baliza de massa desprezível, e
a segunda agarra o outro extremo da baliza ao passar. Suponha que não haja
atrito com o gelo.
a) Descreva de forma quantitativa o movimento das patinadoras depois que
estão conectadas pela baliza.
b) Puxando esta as patinadoras reduzem a sua distância para 1m. Qual é
agora a sua velocidade angular?
c) Calcule a energia cinética do sistema nos itens (a) e (b).
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 56 / 65
58/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 57 / 65
E Fat= o = > p = 0 re conserve
[ 6k£ =o =) L se conserve
Loves =2×mlze V = 50 × 3×1,4 = 210 kg its
Lohpois = Iw = 2 m @) 'w = 50×0,5 W
W = 8 . 4 red 11
49/ 66
Exemplo
Um disco de 2 kg com velocidade inicial de 3 m/s colide com
uma barra de 1kg e momento de inércia 1,33kg.m, que está
parada sobre uma superfície sem atrito. Suponha que a colisão
seja elástica. Determine as velocidades de translação do disco e
da barra e a velocidade de rotação da barra.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 48 / 65
2
50/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 49 / 65
2 F+t= o => I"
se cover a
E Gett =o ⇒I
'
se conserve
eohhai elastics → K he eauewa
¥ i m Va , = M Vs t m Tkf
r
- 7
L :- m lg Va ; = - m Iz Vogt IW
( em nee .
Centro z
Sarra ) A
K : { m va? = In Tiy + lzItt±M÷
same
Reform quewino fodenos
dim que-
Vs=WR=wl#
53/ 66
Exemplo
Um projétil de massa m se move para a direita com velocidade
vi . Ele colide com a extremidade de uma barra e fica grudado
nela. A barra tem massa M , comprimento d e está pivotda em
torno de um eixo que passa pelo seu centro. Determine
a) a velocidade angular logo após a colisão
b) a fração de energia perdida devido à colisão.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 52 / 65
ada emBeeston
54/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 53 / 65
go =o ⇒ Ii a conserve
Lantis = m dzvlapis = Iw
I = M÷+m€t)£= d÷[ nftifm a-v=d÷(÷+m]w2
W = 2 i. Ftn ]
Note que mesas sihacois en que a barren e'
second por mm pin ,
a forge wide for esse pin e. impulsive , on sya ,term un
need mint alto e potato e'
nine forge extend quewas
poole sen desfnezada ⇒ OF Nato se conserve
55/ 66
Exemplo
Uma barra fina de massa M e comprimento d está pendurada
verticalmente. Um pedaço de massa m se movendo na direção
horizontal com velocidade v bate na barra a uma distância x do
pivot e gruda nele. Encontre a razão entre as energias cinéticas
final (imediatamente após a colisão) e inicial.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 54 / 65
56/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 55 / 65
Kf ,Ki = } m w<
- . K 2
Ki f = 1- I W
2
W ? 15'
nai se comma poiso
pivot toy force e a Jenatank .
~- 0 s Z dunes forgesem
nehe -
Ti ao pivot e- zero ⇒ I re consume
l antes = m se V
ldepois = I w =(M¥+ mx2 ) W
mxv = ( Msft m x2 ) W.
W = mu=-
2
m÷+mn.
'
¥=±hmaYIn. =m=.-
Hd2+ mu-3-
} in V2
51/ 66
Exemplo
Uma haltere de comprimento 2a , tendo uma massa 2m em sua
extremidade B e uma massa m em sua extremidade A, repousa
sobre uma mesa horizontal lisa. A barra rígida que une A a B
tem uma massa desprezível. Um objeto de massa m aproxima-se
de A com velocidade vo perpendicular à barra, grudando-se à
massa m após o choque.
a) Verifique se há conservação do momento angular do sistema.
Justifique
b) Qual a velocidade do CM do sistema após a colisão?
c) Qual a velocidade angular de rotação do sistema em torno do
CM após a colisão? d) Qual a variação da energia cinética
dirante o processo de colisão?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 50 / 65
u.
g.
a ]' 32in
> A m
52/ 66(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 51 / 65
[ if'ut=o => ¥ se conserve
[ Jett -0 ⇒ ['
a
conservator= m Via -
4m 4
Yen e- no unto do health .
lantis = mav .
ldipois = IW = 2 ( 2 met ) W
rxtrvo =4Xa£ww =
✓ . 14 a
d) Dk = £Iw£ + ztmv'
- { nvoz
's Hmas' ,y÷ + } 4M¥ .
t.no?.=mvily+t..t)=.mI4
59/ 66
Exemplo
Duas crianças, cada uma com massa M , sentam-se nos extremos
opostos de uma prancha estreita de comprimento L e massa M .
A prancha é pivotada no centro e pode girar livremente, sem
atrito, num círculo horizontal. Considere-a como se fosse uma
haste fina.
a) Qual o momento de inércia do sistema formado pela prancha e
as crianças, em torno de um eixo vertical que passa pelo centro
da prancha?
b) Qual o momento angular (módulo, direção e sentido) do
sistema se ele gira com velocidade angular o em sentido horário,
visto de cima?
c) Enquanto o sistema está rodando, as crianças puxam uma à
outra em direção ao centro, até ficarem sentadas na metade da
distância ao centro que tinham inicialmente. Qual a nova
velocidade angular em termos de o?
d) Qual a mudança sofrida pela energia cinética do sistema?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 58 / 65
61/ 66
Exemplo
Um trilho de trem de brinquedo é montado sobre uma roda
grande que pode girar livremente, com atrito desprezível,em
torno de um eixo vertical. Um trem de brinquedo de massa m é
colocado sobre o trilho e, estando o sistema inicialmente me
repouso, a eletricidade é ligada. O trem atinge uma velocidade
constante v relativamente ao trilho. Qual a velocidade angular
da roda, sendo sua massa igual a M e seu raio igual a R.
Considere a roda como um anel e despreze a massa dos raios e da
engrenagem.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 60 / 65
emBaath
63/ 66
Exemplo
Uma menina de massa M está de pé sobre o aro externo de um
carrossel sem atrito, de raio R e momento de inércia I , que não
está em movimento. Ela atira uma pedra de massa m ,
horizontalmente, numa direção que é tangente à borda do
carrossel. A velocidade da pedra, em relação ao chão, é v . Depois
disso, quais são
a) a velocidade angular do carrossel
b) a velocidade linear da menina?
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 62 / 65
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Lantis =0
Lohpois = ⇐ + M R ) W + m R V
- >
| V a) w = -m=I + m RZ
•
b) Vnu.
= W R = m Rt
I + M R2
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Exemplo
A partícula de massa m desliza sobre uma superfície sem atrito e
colide com uma barra vertical uniforme, ficando pressa a ela. A
barra oscila em torno de O , fazendo um ângulo antes de
alcançar o repouso temporariamente. Encontre o valor de em
termos dos outros parâmetros dados na figura.
(Momento Angular) Física 1 24/10/2014 64 / 65
cos 0 = 6M¥( Mt 3 m ) ( Mt2m#