Física 1 Mecânica - IF - Instituto de Física / UFRJsandra/slidesFisica1/aula_energia.pdf · 2/ 57 Outline 1 Trabalho de uma Força Constante 2 Trabalho de uma Força Variável

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Física 1Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Trabalho e EnergiaPotenciais

10/09/2014

(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 1 / 57

Effete

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Outline

1 Trabalho de uma Força Constante

2 Trabalho de uma Força Variável

3 Teorema do Trabalho-Energia

4 Energia Potencial

5 Conservação da Energia Mecânica

6 Forças Conservativas e Não Conservativas


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Introdução

Estudamos a Mecânica Newtoniana utilizando o conceito deForça ‹ aceleração ‹ velocidade ‹ posição , resolvendo umgrande número de situações.Porém em situações que temos forças que variam com aposição (molas, superfícies inclinadas não planas...), aresolução através da aceleração pode se tornar maiscomplexa. ‹ Podemos resolver com mais simplicidadeatravés do conceito Trabalho - EnergiaEnergia é um dos tópicos mais importantes em ciência pois éuma grandeza que se conserva, pode ser convertida de umaforma a outra, mas não criada nem destruída.Aqui trataremos de Energia mecânica, cinética, potencial,começando com a definição de Trabalho


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Trabalho de uma Força Constante

Vamos começar definindo o Trabalho (W ) de uma forçaconstante em movimento unidimensional.

O Trabalho realizado pela Força constante Fpara deslocar o objeto de uma distância d é

W F d cos F d


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W F d cos F dSe temos várias forças atuando sobre o corpo, consideramos otrabalho de cada uma delas.

Note que W pode ser 0 0 ou 0

O Trabalho estará ligado à transferência de energia:Se energia é transferida para o corpo (cedida) ‹ W 0Se energia é transferida do corpo (gasta) ‹ W 0Trabalho é uma quantidade escalar.Sua unidade no SI é N.m ‹ Joule


±¥¥¥¥¥¥⇒⇐€¥€£#E¥¥¥¥£¥€E¥¥€€£¥E€€£€€-

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Qual o trabalho realizado por cada força para deslocar o objetode 3m?


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Um objeto de massa 15kg é arrastado com velocidade constantepor uma distância L 5 7 m sobre uma rampa sem atrito atéatingir uma altura h 2 5 m acima do ponto de partida.a) Qual a força que a pessoa deve exercer?b) Qual o trabalho executado pela pessoa sobre o objeto paraexecutar este deslocamento?c) A pessoa diz que se usasse uma rampa mais longa (outrainclinação) para levantar até a mesma altura, ela realizaria menostrabalho. V ou F?e) Qual o trabalho realizado pela força Peso?d) Qual o trabalho da pessoa para levantar verticalmente damesma altura h?


mLhseaBafta

8/ 57(Trablho e Energia) Física 1 10/09/2014 8 / 57

F m ;L

,he he = Lsu oh{⇒fa) F = mg sue

b) We = F.

LO W e

'o memo

,

e) F = in g new o te mania e

'

a forge a a

W = F [ = m of hero ± = - fh -

~ took threno

foe e- emntaao

d) Wp = F'

.'d

'

=- mg see I = - mash

sue

e) mg h .

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Trabalho de uma Força Variável

Se a força é constante : W Fx x

Se a força varia com a posição:

W F x

W limx 0

F x x

Wxf

xi

F x dx


Trabalhogagged

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Trabalho Realizado por uma Mola

Qual o Trabalho realizado pela molapara levar o bloco de xi até xf ?

F kx

Wxf

xi

k x dx

W kx 2f

2x 2i

2

W12k x 2

f x 2i

Em particular, se xi 0 ‹

W12k x 2


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Trabalho de uma Força Qualquer em 3 Dimensões

W F dl Fxdx Fydy Fzdz


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Teorema do Trabalho-EnergiaÉ uma consequência da Segunda Lei de Newton:Se uma partícula se move ao longo de um eixo, sob a ação deuma força resultante Fres nessa mesma direção:

Wresxf

xi

F x dx ma x dx

ma x dx mdvdt

dx mvdv

Wresvf

vi

mvdvmv 2

f

2mv 2

i

2Chamamos a quantidade mv 2 2 de Energia Cinética da partícula:

Wres Kf Ki

A variação da Energia cinética de uma partícula é igual aoTrabalho da resultante das forças que atuam sobre essapartícula


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Wres Kf Ki

Note que se W 0 a velocidade do objeto aumentará


f90km/h )

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Movimento de Queda Livre

Na descida: v aumenta ‹ K aumenta.Peso no mesmo sentido do deslocamento ‹Wres 0

Na subida: v diminui ‹ K diminui.Peso no sentido contrário ao deslocamento ‹Wres 0


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Movimento Circular Uniforme

Se v é constante ‹ K não varia.K 0

Força resultante ao deslocamento ‹Wres 0


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Força de atrito Cinético

A força resultante é a força de atrito cinético, que é semprecontrária ao deslocamento:

Wres Wfc fc d fcd

O Trabalho da Força de atrito Cinético é sempre 0, energiacinética diminui.

E o Trabalho da Força de atrito Estático??


Depende...

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Um bloco de 250g é deixado cair sobre uma mola vertical dek 250N m . A compressão máxima da mola produzida pelobloco é de 12 cm.a) Qual o trabalho executado pelo peso e pela força da molaenquanto ela está sendo comprimida?b) Qual era a velocidade do bloco no momento em que se chocoucom a mola?c) Se a velocidade no momento do impacto dobrar, qual será acompressão máxima da mola?


aoudad


in = 250 g k = 250 w/ - se = 12 -

Wp = F . I'

= mg se = 250×153 × 9.8×0.12=0.2995

WEE = - 21 ksi = . { 250×0 .ii = - I. OJ

Dk = Wvs

- I my = mgn- atk:V

'= - Zgu + kin

v = 3.5 nls

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Uma força resultante age sobre uma partícula de 3kg de talforma que sua posição em função do tempo é dada porx t 3 t 4 t2 t3 (x em metros, t em segundos). Determineo trabalho executado pela força entre t 0 e t 4s.



Was = DK

a= 3£ -4+2++3

2

v= D= = 3 -8£ + 3t

at

2 ( t=oj= 3 - Is v ( t=4 ) = 3 - ] 2+48=19

W = ± m ( gaz - 9) = 528J .

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Energia Potencial

Esses são exemplos em que temos um sistema de dois corpos(elástico+pedra, Terra+pedra, carro+Terra) que interagematravés de uma força. O sistema se encontra em uma certaconfiguração (de repouso) e que ao ser liberado, muda aconfiguração e surge um estado de movimento.

Dizemos que no sistema com os dois corpos havia uma forma deEnergia armazenada ‹ Energia Potencial, que se transformaem energia de movimento (Energia Cinética).


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A toda força podemos associar uma energia potencial?Não! Apenas às forças Conservativas!!

Vamos examinar 3 exemplos: Força Elástica, Força Gravitacional,Força de atrito Cinético


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Força Elástica

Um bloco com velocidade constante v seaproxima de uma mola em sua posiçãonatural.A mola é comprimida, a velocidade diminuiaté chegar a zero.O bloco retorna passando pelo ponto A com amesma velocidade (em módulo).

Se o corpo recupera toda a sua energiacinética, podemos associar a esta força umaenergia potencial.Toda mudança na energia cinética foiacompanhada da mesma mudança (mas desinal oposto) na energia potencial


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Força Gravitacional

O módulo da Velocidade é recuperado, podemos associar umaenergia Potencial


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Conservação da Energia Mecânica

A relação “variação na energia cinética acompanhada de umavariação oposta na energia potencial” pode ser escritamatematicamente:

U K

U K 0

Uf Ui Kf Ki 0

Lei da Conservação da Energia Mecânica

Ki Ui Kf Uf E constante

onde E é chamada de Energia Mecânica do sistema


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Força de Atrito

O módulo da Velocidade NÃO é recuperado, NÃO podemosassociar uma energia Potencial à força de atrito.


VMagaha

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Definição de Energia Potencial

Considerando o Teorema do Trabalho - Energia Cinética

Wres K

e que uma variação na energia potencial corresponde a umavariação de sinal contrário na Energia cinética:

K U

temos que:

U Wres

Para uma dimensão:

Ux

x0F x dx


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Ux

x0F x dx

Se a configuração de um sistema é alterada pela ação de umaforça, a mudança na energia potencial será o negativo dotrabalho realizado por essa força.

Note que só faz sentido calcular variação de energia potencial.Devemos sempre escolher arbitrariamente um “zero” de energiapotencial:

U x U x0x

x0F x dx


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Energia Potencial Elástica

F x kx . Escolhemos U x0 0 onde x0 0 ( posição derelaxamento da mola)

Uel 0xf

0k x dx

k x 2

2

xf

0

k x 2f

2Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:

12k x 2

112m v 2

112k x 2

212m v 2

2


go *

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Energia Potencial Gravitacional

F y mg . Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto maisbaixo, eixo y orientado para cima)

Ug 0yf

0m g dy m g yf

Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:

m g y112m v 2

1 m g y212m v 2

2


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Um bloco de massa m 5 7kg desliza sem atrito num planohorizontal com velocidade constante v 1 2m/s. Ele se chocacom uma mola, de constante elástica k 1500N.m, e suavelocidade se reduza a zero no momento em que o comprimentoda mola diminui de d em relação ao seu comprimento natural.Qual o valor de d?


1•


÷ koi = { no'

A = V ⇐ '

= 7,4 -

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Uma bungee jumper de m 61kg está em uma ponte 45m acimade um rio. No estado relaxado a corda elástica tem comprimento25m. Suponha que a corda obedeça à Lei de Hooke comk 160N/m.a) A que distância h0 os pés da moça estão da água no pontomais baixo da queda?b) Qual a resultante das forças e a aceleração no ponto maisbaixo?


L

dios

.


NO pontoon alto :

mg ( ho + Ltd )

No pronto mains baia : mgho + lz kdt

mg ( hot L + d) = mg lo + lz kd2

lzkds - mgd - mg L = 0

d = 17.9 m ( e run hahn < o des carton do

L t d = 17.9 + 25 = 42.9 h= H - ( Ltd ) = 2 .In

Rehltonte no forth iv's boiseo

T k " kze - mg = 160 × 17.9 - 61 × 9 . • = 2270N

tomy [ I = - I a = 22¥ E38 m1s2

6 1

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Exemplo 7-6 Tipler

Um bloco de 2kg comprime de 20cm uma mola de k 500N/mem uma superfície horizontal e lisa. O bloco é liberado,deslizando sobre a superfície, subindo por uma rampa que faz 45com a horizontal. Qual a distância que ele precorre na rampa atéparar?



Eavuuti.Ik.ie?sus=. gen

I 2 -±-

Kf so

Kito Udt=o

tgksi = ugh

l= Ikjdg = 0.51W h=Innod = he = 0.72insine

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Exemplo 7-5 Tipler

O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz umângulo com a vertical.Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto maisbaixo?


0

teepee

Fossa m

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Exemplo 7-5 Tipler

O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz umângulo com a vertical.Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto maisbaixo?


0


Um bloao e'

molto do nefomso mnma

MARGE

Superfine cnnva Como we figureHoste que a wee - attend pond

fire o blow execute une volta

complete er hmin = 2,5 R

,moo

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Um esquiador parte do repouso do topo de um semi-hemisfériode raio R. Em que altura ele perde contato com a superfície?


-086hmhe

)


cons . engine i

mg R = nz m v2 + mg H

force anti puts :

m grew = YI ⇒ v2= rg soo

g R =I R g true + q H

R - st R ± = H ⇒ 4 = 25 R

R

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Um bloco de massa m é liberado a partir do repouso de umaaltura h do alto de um plano inclinado de um ângulo sematrito. O bloco comprime uma mola de constante elástica k .a) Qual a velocidade do bloco ao se chocar com a mola? b) Quala distância total percorrida pelo bloco até parar?


saaremaa


€1 m of h = st m it l = d soo

vi. & gh

€ € ÷ki = ÷ mi + mg h : '

= used

then - - g u - - t m 2 gh = °

k = mg we ± #ot÷k

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Forças Conservativas e Não Conservativas

Se uma energia potencial puder ser associada à uma força,dizemos que essa força é conservativa. Senão é dissipativa.As forças conservativas têm duas propriedades importantes:

O Trabalho realizado pela força em um circuito fechado énuloO Trabalho de uma força para levar um corpo de um ponto aoutro é independente do caminho

W12 A W21 B 0 W12 A W21 B

se for de 1 a 2 por B:

W12 B W21 B W12 A W12 B

Se só atuam forças conservativas, a Energia mecânica se conserva


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Força ConservativaForça elástica e gravitacional ‹ força conservativaJogar uma bola para cima por h: WP mgh , ao descer:WP mghAo alongar uma mola de x : Wel

x0 kx k x2

2ao retornar: Wel

0x kx k x2

2

Força não conservativaForça de atrito ‹ força dissipativatanto na ida quanto na volta Wfc fcd

Independência dos caminhos:


W = - mg ret d

Wp = . mgh Takin ⇐no !-

a . -.

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Forças Dissipativas

Vamos considerar uma partícula sujeita a várias forçasconservativas e apenas uma dissipativa.

Wres K

Vamos separar o Wres em Wcon Wfc KCada força conservativa pode ser associada a uma energiapotencial:

Wcon U

Wfc K U E

Sempre que atuam forças dissipativas a Energia mecânica não seconserva. Ela é transformada em Energia térmica ou Energiainterna do sistema.


.

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Um bloco de 2,5kg colide com uma mola horizontal cujaconstante k é 320 N/m. O bloco comprime a mola até que seucomprimento diminua de 7,5 cm em relação ao comprimentoinicial. O coeficiente de atrito cinético vale 0,25.a) Qual o trabalho realizado pela mola até parar?R: Wel 0 9Jb) Qual a Energia mecânica dissipada pela força de atritoenquanto o bloco está sendo levado ao repouso pela mola?R:Wf 0 46Jc) Qual a velocidade da mola no momento da colisão? R:v 1 04 m/s


o blow


a ) Wee = - izkrt = - 0.95

b) Wf = - f . se = - μ mg u =o . 25×2.5×9.8×0.075 =

= - o . 46J

e) Dk + Duel = Wf- tzmi + zksi = ✓+

v2= kih -W+×I = 1.08 v= 1.04 mls

= -

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Dois blocos são ligados por uma corda e liberados a partir dorepouso. Mostre que a velocidade deles após percorrerem umadistância L é

v2 m2 m1 g L

m1 m2onde é o coeficiente de atrito cinético. Despreze a massa e oatrito da roldana.



DK + DU = NgDK = tz ( m , + mz ) vt

DO = 0 - us g L

Wf = - mm , gL

Itn, +m<ju-

- mug L = them .gl

Us= 2- gl ( ms - Mm , )

mi T MZ

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Dois blocos são conectados por um fio que passa por umaroldana. O bloco de massa m1 está sobre uma superfíciehorizontal preso a uma mola de constante elástica k . O sistema éliberado do repouso com a mola relaxada. Se o bloco m2 desceuma distância h antes de parar, calcule o coeficiente de atritoestático entre a superfície e m1.


='

uiti co

/


No imio : ms of L

ewbairco iz kwh + g- @, tmz ) f a =L

÷ kL2+ { ( in , + ms ) v}

- msgh = - μ mig L

Sendo h a distanced que 0 blow olesce

ate pavan ,V = 0 e L =L

g- k h2- my gh = - µm , gh

n= ¥ - they

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O cabo de um elevador de 2 toneladas arrebenta e ele cai.Quando sua velocidade é 4m/s ele atinge a mola amortecedoraque deve ser capaz de pará-lo após ser comprimida de umadistância de 2m. Durante a compressão da mola, o freio desegurança aplica uma força de atrito constante de 17000N. Qualdeve ser a constante elástica da mola para que essa situaçãoaconteça?



DK t a Ug + DUI = Wf- £ mv

'

t(. mg n ) + lzksi = - f se

lzksi = Imi + mgx - fmk = mad +2mg- 2f=k = mad+ 2=( mg - f ) = i .

oaxid %

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Uma pequena partícula escorrega por uma pista comextremidades elevadas e uma parte plana central de comprimentoL. O atrito com as partes elevadas da pista é desprezível, mas naparte plana c vale 0,2. A partícula começa a descer a partir dorepouso no ponto A, que se encontra a uma altura h L 2acima da parte plana da pista. Determine a posição da partículaquando ela atinge o repouso.



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Um objeto de massa m é amarrado num suporte no tetousando-se uma corda fina e flexível de comprimento l . Ele édeslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, comomostra a figura, e depois é deixado livre.a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela estádiretamente abaixo do ponto de suspensão, na base de suaoscilação.b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antes dacorda tocar no pino.c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura.Qual a distância b mínima para que a massa realize um girocompleto em torno do pino?



1) Pêndulo de Galileu - Um objeto de massa m é amarrado num suporte no teto usando-se uma corda fina e flexível de com-

primento l. Ele é deslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, como mostra a figura, e depois é deixado livre.

a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela está diretamente abaixo do ponto

de suspensão, na base de sua oscilação.

b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antes da corda tocar no pino.

c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura. Qual a distância bmínima para que a massa realize um giro completo em torno do pino?

2) Um bloco de massa m encontra-se sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de constante elástica k no ponto

A de uma distância d em relação à posição O; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto a partir do repouso ele

percorre o trajeto A-O-B perdendo contato com a mola no ponto O, onde a mola está relaxada. Somente entre os pontos

O e B, separados de uma distância desconhecida há atrito. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do bloco e

do plano é µc na região O-B. Após o ponto B há uma rampa sem atrito. A partir ponto C, final da rampa, a superfície é

horizontal e tem uma altura H em relação à horizontal do trecho A-O-B; vide a figura.

a) Determine a velocidade do bloco no ponto O;

b) Determine a distância D entre os pontos O e B, supondo que a velocidade do bloco em B é nula;

c) Determine a compressão necessária da mola para o bloco atingir o ponto C no topo da rampa.

3) A figura mostra o perfil suave de uma calha com um trecho inclinado AB, seguido de um trecho horizontal BC, que

é seguido de um outro trecho inclinado CD; as alturas do ponto A e do ponto D acima do solo são iguais a h0 e o

comprimento do trecho horizontal BC é igual a 2h0. Um bloco de massa m e dimensões desprezíveis desce a partir do

ponto A, onde o módulo da sua velocidade é vA e percorre os trechos AB, BC e CD. O coeficiente de atrito cinético entre

o bloco e a calha no trecho BC é µ, e entre o bloco e a calha nos trechos AB e CD é zero. Considerando como dados m,

vA, h0 e o módulo g da aceleração da gravidade, calcule:

a) os trabalhos das forças peso e normal nos trechos AB, BC e CD;

b) o trabalho da força de atrito no trecho BC;

c) a variação da energia cinética do ponto A ao ponto D e o módulo da velocidade do bloco em D;

4) Um conhecido brinquedo consiste em uma pista contendo um “loop” circular de raio R e um trecho horizontal OA.

No ponto O, localiza-se um lançador, constituido de uma mola ideal relaxada, de constante elástica k. Um carrinho

(representado por um pequeno bloco na figura abaixo) de massa m é colocado inicialmente em O. Empurra-se o carrinho,

comprimindo-se a mola de �x até o ponto C. Neste ponto o carrinho é liberado a partir do repouso perfazendo o percurso

C � O � A � B � A � D, perdendo contato com a mola no ponto O e percorrendo todo o "‘loop"sem perder contato com

a sua superfície. Desprezando-se o atrito em todo o percurso e considerando como dados do problema: R, k, �x, m e g,

calcule:

a) o módulo da velocidade do carrinho ao passar por A;

b) o módulo da velocidade do carrinho ao passar por B;

c) represente em um diagrama as forças que atuam sobre o carrinho ao passar por B e determine o módulo da força de

contato, |~N |, neste ponto;

d) a compressão mínima da mola �Xmin para que, ao passar por B, o carrinho esteja na iminência de perder contato com

o “loop”.

5)Dois barcos projetados para deslizar no gelo estão inicialmente em repouso sobre um lago congelado (que pode ser

considerado uma superfície lisa sem atrito). Os barcos pretendem apostar uma corrida até um ponto que se encontra a

uma distância d de onde eles estão inicialmente. As velas dos barcos são idênticas de maneira que o vento exerce sobre

os barcos a mesma força de módulo F. Um dos barcos possui massa total M e o outro 2M (já consideradas as massas

do tripulante de cada barco). Qual dos barcos cruza a linha de chegada primeiro? Qual possui maior energia cinética ao

cruzar a linha de chegada?

(a) Os barcos chegam ao mesmo tempo e cruzam a linha de chegada com mesma energia cinética.

(b) O barco de massa M chega primeiro mas os dois barcos cruzam a linha de chegada com mesma energia cinética.

(c) O barco de massa M chega primeiro mas o de massa 2M chega com maior energia cinética.

(d) Os barcos chegam ao mesmo tempo mas o de massa 2M chega com maior energia cinética.

(e) O barco de massa M chega primeiro e cruza a linha de chegada com maior energia cinética.

(f) Os barcos chegam ao mesmo tempo mas o de massa M chega com maior energia cinética.

6)Considere dois satélites idênticos, denotados por 1 e 2, de massa m, que estão orbitando o planeta Terra, descrevendo

órbitas circulares de raios r1 e r2 (r2 > r1). Considerando apenas a interação gravitacional entre a Terra e cada satélite, e

que os satélites podem ser considerados esféricos, qual a única verdadeira das afirmativas a seguir?

(a) A energia cinética do satélite na órbita de raio r2 é maior do que a do de raio r1.

(b) O trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 2 em uma volta completa da órbita é

maior do que aquele realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 1 em uma volta completa

da órbita.

(c) A energia potencial do sistema Terra-satélite 2 é maior do que a energia potencial do sistema Terra-satélite 1.

(d) O trabalho realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 2 em uma volta completa da órbita é

menor do que aquele realizado pela força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite 1 em uma volta completa

da órbita.

(e) O período da órbita dos dois satélites é igual.

7)Afirma-se sobre forças conservativas: I) O trabalho realizado por forças conservativas sobre uma partícula ao deslocá-la

de uma posição inicial a uma posição final é independente da trajetória seguida. II) Uma força é conservativa se o trabalho

desta força ao longo de uma trajetória fechada qualquer é nulo. III) A energia potencial associada a uma força constante

e diferente de zero também é uma constante. São corretas as afirmativas

2

(a) I), II) e III);

(b) I) e III);

(c) I) e II) ;

(d) II) e III);

(e) Nenhuma das afirmativas está correta.

9)Um pêndulo simples é formado por uma massa m, presa a um fio ideal de comprimento `, que tem uma de suas extre-

midades presa a um suporte no teto. O pêndulo é abandonado, em repouso, na posição horizontal. As forças que atuam

no pêndulo são o peso, a tração e a resistência do ar. O pêndulo realiza seu movimento conforme a trajetória pontilhada

até inverter o seu movimento, quando faz um ângulo � com a vertical, conforme a figura.

8)Qual o trabalho realizado pela força de resistência do ar no deslocamento entre os instantes em que o pêndulo é aban-

donado e aquele no qual ele faz o ângulo � com a vertical, indicado na figura?

(a) War = mg` cos �

(b) War = 0

(c) War = (cos � � sen�)mg`⇣⇡2+ �⌘

(d) War = (1 + cos �)mg`⇣⇡2+ �⌘

(e) War = (1 � cos �)mg`⇣⇡2+ �⌘

(f) War = �mg` cos �

(g) War = (sen� � cos �)mg`⇣⇡2+ �⌘

10)Um objeto de 4 kg se desprende de um avião que voa horizontalmente a uma altura de 1 km com uma velocidade

de 100 m/s. Esse objeto chega ao solo com uma velocidade de 130 m/s. O trabalho realizado pela força de atrito do ar

durante a queda será dado por (considere g = 10 m/s2):

(a) 13800 J

(b) -13800 J

(c) 26200 J

(d) -26200 J

3

bcbfd

of

a) As forces gene atom me massa m seas o peso ( conservative )e a tread que

neo realize The balho. Por tonto

,

antes do

fio to can o pin a energia need nice se conserve .

mgl =

± -F

⇒ v2= 2 lg

b ) T - mg = med t.mg + g-2lg= 3mg

e) No alto+ ffmg

energia no ponto wais alto : ztwv'2+ mg 2 a

ignaeando as energies

lzmv'2

+ mgIn= mgl7 °

2

#+mg=mv÷2

v'

=

mg1-

Kraft 24

g/a= Xygl:

zx=e = ,

n=

§ l

b =l - a = > b =L - age = }l

0.1 P1-2012-1

[P1-2012-1] Um bloco de massa m encontra-se sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de constante elástica k no pontoA de uma distância d em relação à posição O; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto a partir do repouso ele percorre otrajeto A-O-B perdendo contato com a mola no ponto O, onde a mola está relaxada. Somente entre os pontos O e B, separados deuma distância desconhecida há atrito. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do bloco e do plano é µc na região O-B.Após o ponto B há uma rampa sem atrito. A partir ponto C, final da rampa, a superfície é horizontal e tem uma altura H em relaçãoà horizontal do trecho A-O-B; vide a figura.

a) (valor = 1.0 pontos) Determine a velocidade do bloco no ponto O;

A energia mecânica conserva-se no trecho A-O pois não há atrito, a força de reação normal não realiza trabalho e o peso e a forçada mola são conservativas. Escolhendo o trecho A-O-B como o “zero"da energia potencial gravitacional, temos que a energiamecânica no ponto A é dada unicamente pela energia potencial elástica, pois é solto do repouso, assim: EA = kd2/2, no pontoO, a energia mecânica é dada unicamente pela energia cinética, pois a mola encontra-se relaxada, logo EO = mv20/2. Pelaconservação da energia mecânica encontramos a velocidade no ponto O

EA = EO ) kd2

2=

mv2O2

! vO =

rk

md.

b) (valor = 1.0 pontos) Determine a distância D entre os pontos O e B, supondo que a velocidade do bloco em B é nula;

Temos duas maneiras de resolver o problema, e em ambas, é necessário calcular o trabalho da força de atrito no trecho O-B:

W~Fat= ~Fat · ~OB = |~Fat|| ~OB| cos⇡ = �|~Fat|| ~OB| = �µcND = �µcmgD.

Maneira 1: Usemos que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não-conservativas, então

�K =

=0z}|{KB � KO|{z}

mv2O

2

=

�µcmgDz }| {W~Fat

) �mv2O2

= �µcmgD ) D =v2O2µcg

! D =kd2

2µcmg,

onde usamos o resultado da alínea (a) na última passagem.

Maneira 2: Neste caso utilizemos diretamente o teorema do trabalho energia cinética

�K =

=0z}|{KB � KO|{z}

mv2O

2

=


) �mv2O2

= �µcmgD

) D =v2O2µcg

! D =kd2

2µcmg,

aqui, o resultado da alínea (a) na última passagem também foi usado.

2

c) (valor=0.5 pontos) Determine a compressão necessária da mola para o bloco atingir o ponto C no topo da rampa.

A compressão mínima da mola, xmin é tal que o bloco atinge o ponto C com velocidade nula. Usando que a variação da energiamecânica é igual ao trabalho das forças não-conservativas temos:

�E = EC|{z}mgH

�

kx2min

2z}|{EA =


) mgH � kx2min

2= �µcmgD

kx2min

2= mgH + µcmg

✓kd2

2µcmg

◆

xmin =

r2mgH

k+ d2.

A BO

C

H

3

0.6 PF-2014-1

[SC-2013-2] Um bloco de massa m comprime, em repouso, uma mola de constante elástica k na base de um plano inclinado doângulo ✓ em relação à horizontal; a compressão é suficiente para fazer o bloco se movimentar. A partir da posição inicial A, a molaé liberada empurrando o bloco para cima ao longo do plano inclinado. Verifica-se que na posição B, distanciada de D em relação àposição A, o bloco está subindo o plano inclinado com uma velocidade de módulo vB , e livre de contato com a mola. Há atrito entreo bloco e o plano inclinado, cujo coeficiente atrito cinético é µc. Determine:

a) (valor = 1,0 ponto) O trabalho realizado pela força de atrito entre as posições A e B;

O trabalho da força de atrito é dado por Wfat= ~fat · �~rA�B , onde �~rA�B é o vetor deslocamento de A ! B. Como

|~fat| = µc| ~N | = µcmgcos ✓ e que |�~rA�B | = D , obtemos

Wfat= �µcmgDcos ✓

b) (valor = 1,5 pontos) A energia potencial elástica da mola armazenada na posiçõa A.

Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica para o Sistema bloco-mola, �E = Wfat.

Como E = 12mv2 + Uel + Ugrav , aplicando-o nas posições A e B,

EB � EA = [1

2mv2B + 0 +mgDsen ✓]� [0 + Uel(A) + 0] = �µcmgDcos ✓

Onde vA = 0, e considerando Ugrav(A) = 0

) UA = mgD(sen ✓ + µccos ✓) +1

2mv2B

9

0.2 P1-2012-2 e P1-2012-2-EQN

[P1-2012-2] Um conhecido brinquedo consiste em uma pista contendo um “loop” circular de raio R e um trecho horizontal OA. Noponto O, localiza-se um lançador, constituido de uma mola ideal relaxada, de constante elástica k. Um carrinho (representado porum pequeno bloco na figura abaixo) de massa m é colocado inicialmente em O. Empurra-se o carrinho, comprimindo-se a mola de�x até o ponto C. Neste ponto o carrinho é liberado a partir do repouso perfazendo o percurso C �O�A�B �A�D, perdendocontato com a mola no ponto O e percorrendo todo o "‘loop"sem perder contato com a sua superfície. Desprezando-se o atrito emtodo o percurso e considerando como dados do problema: R, k, �x, m e g, calcule:

a) (valor= 0.5 ponto) O módulo da velocidade do carrinho ao passar por A;

Escolhendo o zero do potencial gravitacional no solo, a energia mecânica do ponto C será:

EC = KC + UgC + UelC =k (�x)2

2. (1)

Já a energia mecânica no ponto A será:

EA = KA + UgA =mv2A2

. (2)

A energia mecânica conserva-se, pois não há forças dissipativas atuando no sistema, então:

EA = EC =) mv2A2

=k (�x)2

2) vA =

rk

m�x. (3)

b) (valor = 0.5 ponto) O módulo da velocidade do carrinho ao passar por B;

A energia mecânica no ponto B será:

EB = KB + UgB =mv2B2

+ 2mgR. (4)

A energia mecânica conserva-se, então:

EB = EC =) mv2B2

+ 2mgR =k (�x)2

2=) vB =

rk

m(�x)2 � 4gR. (5)

c) (valor=1.0 ponto) Represente em um diagrama as forças que atuam sobre o carrinho ao passar por B e determine o módulo daforça de contato, | ~N |, neste ponto;

O diagrama de forças no ponto B é dado pela figura abaixo onde ur = r.

As forças presentes no ponto B, são a normal, ~N = �| ~N |r e o peso, ~P = �mgr.

Na direção radial, a força resultante é a força radial dirigida para o centro (força “centrípeta"), ~Fc = ��mv2B/R

�r.

4

Assim na direção radial:

| ~N |+mg =mv2BR

=) | ~N | = mv2BR

�mg. (6)

O resultado final de | ~N | em função dos dados do problema é obtido, substituindo a Eq. (5) na Eq. (6), encontra-se assim:

| ~N | = k

R(�x)2 � 5mg. (7)

d) (valor=0,5 ponto) A compressão mínima da mola �Xmin para que, ao passar por B, o carrinho esteja na iminência de perdercontato com o “loop”.

O carrinho completa o “loop” quando não perde o contato com o mesmo (| ~N | 6= 0). O caso limite ocorre quando o carrinho estána iminência de perder o contato no ponto B, ou seja, | ~NB | = 0.

Maneira 1:

Nesta situação a vB é mínima (pois acima do valor mínimo de vb, o carrinho consegue completar o “loop") e o lançador deve sercomprimido de �Xmin. Usando que no ponto B, | ~N | = 0 na Eq. (7), temos

0 =k

R(�Xmin)

2 � 5mg =) �Xmin =

r5mgR

k. (8)

Maneira 2:

Nesta situação a vB é mínima (pois acima disto, o carrinho consegue completar o “loop"), cujo valor pode ser encontrado atravésda Eq. (6), na condição crítica, | ~N | = 0:

0 =mv2B min

R�mg =) vB min =

pgR. (9)

Substituindo a Eq. (9) na Eq. (5), onde a compressão �x é mínima:

pgR =

rk

m(�Xmin)

2 � 4gR =) �Xmin =

r5mgR

k. (10)

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Física 1 Mecânica - IF - Instituto de Física / UFRJsandra/slidesFisica1/aula_energia.pdf · 2/ 57 Outline 1 Trabalho de uma Força Constante 2 Trabalho de uma Força Variável