2009

Forelesning nr.3 INF 1410

Node og mesh-analyse

26.01.2009 INF 1410 1

2009

Oversikt dagens temaer

Bakgrunn og motivasjon

Nodeanalyse

Meshanalyse

Supernode og supermesh

Bruksområder for node- og meshanalyse

26.01.2009 INF 1410 2

2009

Hvorfor node- og meshanalyse

Relativt enkle kretser er analysert så langt i kurset

Har benyttet Ohm, KVL og KCL for å finne ukjente

strømmer/spenninger

For større og mer kompliserte kretser behøves en mer

systematisk tilnærming

Både node- og meshanalyse håndterer store kretser, og

er basert på hhv KCL og KVL

26.01.2009 INF 1410 3

2009

Nodeanalyse

Formål : Finne spenningene mellom noder i en krets

Spenningene uttrykkes som ligningssett med like mange

ligninger som noder med ukjente spenninger

Generelt: for å finne spenningene over nodene i en krets

med N noder trengs N-1 spenninger og N-1 ligninger

Referansenode: Node med v=0 relativt til andre noder

26.01.2009 INF 1410 4

2009

Nodeanalyse (forts)

26.01.2009 INF 1410 5

Gitt kretsen i (a): Ønsker å finne spenningene i kretsen

Tegner om kretsen (b) for å markere de 3 nodene tydelig

2009

Nodeanalyse (forts)

26.01.2009 INF 1410 6

Velger node 3 som referansenode (c) og kaller de to andre

nodespenningene for v1 og v2 relativt til referansenoden

2009

Nodeanalyse (forts)

26.01.2009 INF 1410 7

Utrykker strømmene inn og ut av hver node (bortsett fra

referansenoden) vha KCL

Setter summen av strømmene inn i nodene via

stømkildene = summen av strømmene ut via motstandene

2009

Nodeanalyse (forts)

26.01.2009 INF 1410 8

KCL for node 1:

KCL for node 2:

Legg merke til hvordan spenningen over motstandene

beregnes: Spenningen i den gitte noden står alltid først i

uttrykket for spenningdifferensen (dvs node 1: v1 – v2, og

node 2: v2 – v1)

3.15

vv

2

v 211

).( 415

vv

1

v 122

2009

Nodeanalyse (forts)

26.01.2009 INF 1410 9

• Tilslutt løses ligningssystemet med to ligninger i to ukjente:

• Om ønskelig kan de individuelle strømmene gjennom

motstandene og effektforbruket beregnes

VV 25 21

2121

122211

vv

1.41.2v0.2v3.10.2v0.7v

1.4)(5

vv

1

v3.1

5

vvv

2009

Eksempel med 3 ukjente

Utfordringen når krets-

kompleksiteten øker er å

identifisere antall unike noder

Kan lønne seg å tegne om deler

eller hele kretsen

Kretsen til høyre har i alt 4

noder; tydeligere etter at den er

tegnet om

26.01.2009 INF 1410 10

2009

Eksempel med 3 ukjente (forts) Node 1:

Node 2:

Node 3:

26.01.2009 INF 1410 11

132347

43

321

312

vvv

vvv1v3-8

633317

1733

321

2321

vvv

vvvv) 2v

(

3500832035

54725

321

3132

vvv

vvvv) 3v

(

2009

Oppsummering enkel nodeanalyse

Når antall noder er identifisert, er det rett frem å sette

opp KCL for hver node, gitt referansenoden

Metoden krever at man kan løse N ligningssett med N

ukjente

Nodespenningene finnes ved å løse ligningssystemene

Ligningsystemene kan løses vha verktøy som Matlab

eller Mathematica, metoder fra lineær algebra (Cramers

regel), med rå håndkraft, etc.

26.01.2009 INF 1410 12

2009

Supernoder

Kretser som inneholder

spenningskilder kan gi

problemer ved utledning av

KCL for en eller flere noder

Fordi strømmen gjennom en

spenningskilde er uavhengig

av spenningen, kan ikke

strømmen utledes korrekt

med KCL

26.01.2009 INF 1410 13

2009

Supernoder (forts)

Løsning på problemet: Supernoden

Supernoden kombinerer noder som

har kun en spenningskilde mellom seg

Siden strømmen ut og inn av

enkeltnodene er null, må også

strømmene ut og inn av supernoden

være null

KCL kan derfor brukes på supernoden

Siste ligning er gitt av spenningskilden

26.01.2009 INF 1410 14

2009

Supernoder (forts)

Ligningen for referansenode 1

uforandret

For supernoden (node 2 og 3):

Bruker spenningen mellom node 2 og

3 som siste ligning:

26.01.2009 INF 1410 15

1680278035

1543

321

23131

vvv

vvvvv2v325

132347 321 vvv

2232 vv

2009

Supernode med motstand mellom nodene

Kaller de to nodene 1 og 2

KCL for supernoden blir

I tillegg er

Dette gir v1 = 5.375 og v2 = 0.375

26.01.2009 INF 1410 16

1362

3

1

3

1

6

1

2

149

12

122121

vv

vvvvvv

521 vvStrømmene gjennom

parallellmotstanden ut av hver

enkeltnode utligner hverandre

12

2009

Supernode med flere typer kilder

Kretsen til høyre inneholder både

avhengige og uavhengige strøm-

og spenningskilder

Har to supernoder (1-ref og 3-4)

Får følgende ligning for node 2:

For supernoden 3-4

26.01.2009 INF 1410 17

14250

3212 vv

.

vv

521250 14423

.

vvvvvv. x

2009

Supernode med flere typer kilder (forts)

Trenger deretter å utlede

kontrollspenningene (KVL) for de

avhengige kildene:

Kan nå finne strømmen fra den

avhengige strømkilden:

26.01.2009 INF 1410 18

)vv(.v.

v.vv

y

y

14

43

2020

20

)vv(.v. x 125050

2009

Supernode med flere typer kilder (forts)

Ved å sette inn for vx og vy kan

man løse ligningssettet med KCL

for å finne v1, v2, v3 og v4

Dette gir følgende:

v1=3v, v2=-4v, v3=0v og v4=-2v

26.01.2009 INF 1410 19

01.2vv0.2v

12v

01.4v0.5vv0.1v

140.5v2.5v2v

431

1

4321

321

2009

Meshanalyse

Nodeanalyse basert på KCL er generell og fungerer på alle

typer kretser

Meshanalyse fungerer bare på kretser med spesiell topologi,

er basert på KVL og er som regel ”enklere” å anvende

Meshanalyse kan bare brukes på planare nettverk, dvs

nettverk der grener ikke krysser hverandre:

26.01.2009 INF 1410 20

2009

Meshanalyse (forts)

Et mesh defineres som ”en løkke som ikke inneholder andre

løkker”

26.01.2009 INF 1410 21

a) og b) ikke løkker

c) og d) løkker men ikke

mesh

e) og f) både løkker og

mesh

2009

Meshanalyse (forts)

Sentralt i mesh-analyse er mesh-strømmen, som defineres

som strømmen som går rundt omkretsen eller periferien av

kretsen

26.01.2009 INF 1410 22

I kretsen til høyre kan KVL brukes

for å finne i1 og i2:

Dette gir at i1=6A, i2=4A og (i1-i2)=2A

01043

03642

221

211

i)ii(

)ii(i

2009

Meshanalyse (forts)

Definerer nå mesh’er og meshstrømmene for kretsen fra

forrige side:

Har to mesh’er, og definer retningen for meshstrømmene slik

vist (med klokka).

Bruker ikke direkte strømmer gjennom grener

Strømmen gjennom grener som deles av flere mesh’er må

utledes separat. (strømmen gjennom 3Ω-motstanden er i1-i2)

26.01.2009 INF 1410 23

2009

Meshanalyse (forts)

Ligningene for strømmene blir identiske de for tilfellet med

eksplisitte strømmer gjennom elementer (greiner)

26.01.2009 INF 1410 24

010432

036421

221

211

i)ii(:MESH

)ii(i:MESH

2009

26.01.2009 INF 1410 25

010954

03410

3222122

211

)ii(ii)ii(:i

)ii(:i

Meshanalyse (forts) Ønsker å finne meshstrømmene i1 og i2

Setter opp ligningene:

• Trenger en ligning til og setter opp for

for meshstrøm i3:

• Har nå tre ligninger med tre ukjente. Ved å løse disse finner

man at i1=2.220A og i2=470mA

07i1i)i10(i3:i 33233

2009

26.01.2009 INF 1410 26

Supermesh

Tilsvarende som ved nodeanalyse

vil strømkilder lage krøll fordi

spenningen over dem er uavhengig

av strømmen

Lager en supermesh ved å slå

sammen to mesh’er som har en

strømkilde felles. Grenen med

strømkilden utelates

Lager her en supermesh av i1 og i3,

og hvor strømkilden på 7A og 2Ω

motstanden er ”fjernet”

2009

26.01.2009 INF 1410 27

Supermesh (forts)

Får da følgende meshligninger:

• Sammenhengen mellom strømkilden

og meshstrømmene er

• Her er da 3 ligninger i 3 ukjente, og

dette gir i1=9A, i2=2.5A og i3=2A

744

01317

32131

3232131

iii:i

i)ii()ii(:i

036

0321

3212

322122

iii:i

)ii(i)ii(:i

Aii 731

2009

26.01.2009 INF 1410 28

Node versus Meshanalyse

Hvis kretsen som skal analyseres ikke er planar, må

nodeanalyse basert på KCL benyttes

Nodeanalyse gir maks N-1 KCL ligninger med N-1 ukjente som

i en krets med N noder

Meshanalyse gir opphav til maks M KVL ligninger for en krets

med M mesh’er

Hvis mulig velges metoden som gir færrest ligninger (enklere)

Hver supernode/supermesh reduserer antallet node/mesh-

ligninger som må utledes med 1

2009

26.01.2009 INF 1410 29

Node versus Meshanalyse (forts)

Hvis kretsen har avhengige kilder, kan én metode være å

foretrekke fremfor en annen

Ved nodeanalyse vil ikke en spenningskilde kontrollert av en

nodespenning kreve en ekstra ligning

Ved meshanalyse vil ikke en avhengig strømkilde kontrollert av

en meshstrøm kreve en ekstra ligning.

Hvis strømkilden er spenningskontrollert kan nodeanalyse

være enklere

Hvis spenningskilden er strømkontrollert kan meshanalyse

være enklere

2009

26.01.2009 INF 1410 30

Node versus Meshanalyse (forts)

Hvis strømkilden (uansett type) ligger langs periferien av en

mesh, håndteres dette enklest i meshanalyse

Hvis spenningskilden (ansett type) er koblet til referansenoden,

håndteres dette enklest ved nodeanalyse

Valg av analysemetode kan påvirkes av hva man ønsker finne;

(spenninger over noder eller strømmer gjennom elementer)

• Konklusjon: Ingen av analysemetodene har klar fordel fremfor

den andre