Fluxionsmetoden i teori och praktik – En …692270/...somutgör$en$stor$del$av$gymnasiematematiken.$Isaac$Newton$komunder$slutet$ av1600Dtalet$framtill$en$metod$för$att$lösa$kalkylens$två$problem;$att$bestämma$

U.U.D.M. Project Report 2014:1

Examensarbete i matematik, 15 hpHandledare: Staffan Rodhe Examinator: Veronica CrispinJanuari 2014

Fluxionsmetoden i teori och praktik – En presentation av fluxionsmetodens grunder och dess tillämpningar enligt Newtons The Method of Fluxions

Moa Eriksson

Department of MathematicsUppsala University

Sammanfattning Som blivande gymnasielärare i matematik har jag ett stort intresse av att få en bättre kunskap om bakgrunden till bland annat differentialkalkylen; ett område som utgör en stor del av gymnasiematematiken. Isaac Newton kom under slutet av 1600-‐talet fram till en metod för att lösa kalkylens två problem; att bestämma tangenten till en kurva samt att hitta arean under kurvan. En metod gav han namnet fluxionsmetoden. Detta arbete kommer, med utgångspunkt från Newtons The Method of Fluxions från 1736, att undersöka utvecklingen av fem av Newtons problem kring fluxionsmetoden, från åren 1665-‐1666 då Newton la grunden till metoden, fram till år 1671 då De Methodis Serierum et Fluxionum stod klart; Newtons fullständiga latinska verk som syftade till att presentera fluxionsmetoden. Arbetet kommer även jämföra Newtons fluxionsmetod med motsvarande teori i matematikundervisningen på gymnasiet samt att undersöka hur krökningsproblemet för kurvor skildrades av Newton och samtida matematiker. Genom detta arbete kan vi se att den främsta utvecklingen av fluxionsmetoden, från idé till färdig metod, har skett kring tillämpningar av grunderna till metoden; han har sedermera haft en klar bild kring sina principer från början. Man kan också i flertalet av de undersökta problemen se kopplingar till dagens matematikundervisning. Mest intressant är hur Newton söker förhållandet mellan fluxionerna, 𝑦/𝑥 , vilket vi kan jämföra med hur vi bestämmer derivatan idag; 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Vi kan alltså genom arbetet se att trots att fluxionsmetoden är över 300 år gammal, och kalkylen har utvecklats mycket sedan Newtons tid, är grundprinciperna fortfarande desamma.

Tillkännagivanden Jag skulle med dessa rader främst vilja rikta ett stort tack till min handledare Staffan Rodhe som med stor entusiasm väglett mig genom detta arbete. Alla tips och råd du gett mig har varit ovärderliga! Jag vill även tacka mina vänner och familj, som trots att de inte varit insatta i ämnet, lyssnat när jag behövt råd och hjälpt mig att slutföra detta arbete.

Nyckelord: Isaac Newton, fluxionsmetoden, fluxioner, matematikhistoria, differentialkalkyl, krökning

1

Innehållsförteckning

1 INLEDNING ....................................................................................................... 3

1.1 Syfte ........................................................................................................................................................... 3

2 METOD ............................................................................................................. 4

3 BAKGRUND ...................................................................................................... 5

3.1 De Methodis Serierum et Fluxionum ............................................................................................... 6

3.2 Influenser från andra matematiker ............................................................................................... 7 3.2.1 Pierre de Fermat ............................................................................................................................................. 7 3.2.2 René Descartes ................................................................................................................................................ 8 3.2.3 Isaac Barrow ..................................................................................................................................................... 9 3.2.4 Johann Hudde ................................................................................................................................................. 10

4 THE METHOD OF FLUXIONS AND INFINITE SERIES: WITH ITS APPLICATION TO THE GEOMETRY OF CURVE-‐LINES ......................................................................... 10 4.1.1 Metod 1: Den direkta fluxionsmetoden .............................................................................................. 11 4.1.2 Metod 2: Den inversa fluxionsmetoden .............................................................................................. 11

4.2 Disposition av The Method of Fluxions ........................................................................................ 11

4.3 Colsons kommentarer till The Method of Fluxions ................................................................. 13

5 NEWTONS PROBLEM I THE METHOD OF FLUXIONS ......................................... 14

5.1 Problem 1: Att hitta relationen mellan fluxionerna givet relationen mellan deras fluenter ............................................................................................................................................................. 14 5.1.1 Huddes metod i problem 1 ....................................................................................................................... 16 5.1.2 Tidigare presentation ................................................................................................................................. 16

5.2 Problem 2: Att hitta relationen mellan fluenterna givet relationen mellan deras fluxioner .......................................................................................................................................................... 17 5.2.1 Huddes metod i problem 2 ....................................................................................................................... 19

5.3 Problem 3: Att bestämma maximum och minimum .............................................................. 19 5.3.1 Huddes metod i problem 3 ....................................................................................................................... 20

5.4 Problem 4: Att rita tangenter till kurvor ................................................................................... 20 5.4.1 Tangentbestämning i The Method of Fluxions .................................................................................. 20 5.4.2 Influenser från Descartes… ...................................................................................................................... 21 5.4.2.1 Newtons tangentmetod från 1665 .............................................................................................. 21 5.4.2.2 Jämförelse med Descartes tangentmetod ................................................................................ 22

5.4.3 … och Fermat .................................................................................................................................................. 23 5.4.3.3 Newtons tangentmetod från 1666 .............................................................................................. 24 5.4.3.4 Jämförelse med Fermats tangentmetod .................................................................................... 24

5.4.4 Reflektion kring tangenter ....................................................................................................................... 25

5.5 Problem 5: Att hitta krökningen i en given punkt på kurvan ............................................ 25 5.5.1 Bestämning av krökning i The Method of Fluxions ......................................................................... 26 5.5.2 Presentation av krökning i The October 1666 Tract on Fluxions .............................................. 28

2

5.5.3 Utveckling av problemet om bestämning av krökning ................................................................ 29 5.5.4 Mer om krökning .......................................................................................................................................... 30 5.5.5 Vad andra matematiker har sagt om krökning ................................................................................ 30

6 DISKUSSION OM KVANTITETEN O ................................................................... 33

7 SLUTSATS ....................................................................................................... 33

7.1 Möjligheter till fortsatt arbete i ämnet ...................................................................................... 35

8 REFERENSLISTA .............................................................................................. 37

Litteratur ......................................................................................................................................................... 37

Tidskrifter ....................................................................................................................................................... 37

Websidor ......................................................................................................................................................... 38

3

1 Inledning Mitt intresse för differentialkalkylens historia började med en kurs i matematikhistoria under våren 2012. Eftersom jag studerar för att bli gymnasielärare i matematik, visste jag tidigt att jag ville få en bättre förståelse samt kunskap om hur matematiken har utvecklats under åren. Det jag framförallt intresserade mig för var kalkylens historia, eftersom kalkylen tas upp i en väldigt stor del av gymnasiets matematikkurser. Jag tror mycket starkt på att en god kunskap om matematikens historia och utveckling är viktig för både intresset och förståelsen för matematik och hoppas att jag i framtiden har stor nytta av detta examensarbete för att öka intresset för framförallt kalkylen bland elever på gymnasiet.

Att Isaac Newton är en av modern tids största matematiker håller nog de flesta med om. Att många av hans upptäckter återfinns i läroplanen i främst fysik är inte heller någon nyhet. Men, Newton har gjort många stora upptäckter inom matematiken som många idag tyvärr inte vet om. En av hans största upptäckter är de idéer, som tillsammans med teorier från bland annat Gottfried Wilhelm von Leibniz, skulle komma att samlas inom differentialkalkylen.

Newtons bidrag till kalkylen kallas för fluxionsmetoden och är en genomarbetad metod för att undersöka egenskaper hos kurvor. Hans första samlade verk som innehöll teorierna kring fluxionsmetoden färdigställdes 1671 och fick namnet De Methodis Serierum et Fluxionum. Detta verk skrevs på latin och översattes inte till engelska förrän 1736 av John Colson och fick då det fullständiga namnet The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-‐lines. I följande text kommer jag konsekvent att använda mig av det latinska namnet på verket, De Methodis, då jag pratar om Newtons outgivna original manuskript, samt den engelska titeln, The Method of Fluxions, då jag pratar om John Colsons översättning från 1736. Jag kommer inte göra några detaljerade jämförelser mellan The Method of Fluxions och De Methodis utan enbart studera detta i stora drag. Eftersom Colsons verk är en översättning är det möjligt att det finns vissa skillnader de emellan, men det är ingenting jag kommer titta på. Detta arbete kommer inledas med att ta upp mycket bakgrundsfakta till fluxionsmetodens uppkomst genom att se på hur samtida matematiker presenterade samma eller liknande problem som Newton gjorde. Därefter kommer en del av Newtons problem från The Method of Fluxions att genomgående förklaras både teoretiskt och genom exempel. Slutligen har jag valt att diskutera den oändligt lilla kvantitet o som Newton använder för att presentera fluxionsmetoden.

1.1 Syfte Detta examensarbete syftar till att undersöka Sir Isaac Newtons fluxionsmetod som är presenterad i verket The Method of Fluxions and Infinite Series från 1736. Jag kommer studera Newtons framställning av fluxionsmetoden samt att även jämföra detta med hur han har utvecklat metoden från tidigare presentationer.

Arbetet syftar främst till att undersöka grunderna till fluxionsmetoden, den så kallade direkta respektive inversa fluxionsmetoden, men även att mer noggrant

4

undersöka problemet kring krökningen av en kurva; hur detta problem presenterades av både Newton och andra matematiker samt till viss del kopplingen till krökningsproblemet idag.

Vid undersökningen av fluxionsmetodens grunder och uppbyggnad vill jag även jämföra Newtons presentation av problemen med hur dessa presenteras och löses i matematikkurser på gymnasiet.

Jag vill alltså genom detta examensarbete besvara följande frågor:

• Hur stor utveckling av Newtons fluxionsmetod skedde från åren 1665-‐1666 till färdigställandet av The Method of Fluxions 1671?

• Hur tydlig är kopplingen mellan undervisningen på gymnasiet och Newtons metoder med avseende på de problem jag tittar på?

• Från vilka matematiker hämtade Newton sin inspiration, och hur påverkade detta fluxionsmetoden?

• Hur skildrade Newton krökningsproblemet i The Method of Fluxions, samt hur såg andra matematiker på problemet?

2 Metod Då detta arbete främst syftar till att undersöka Newtons problem som de är beskrivna i The Method of Fluxions and Infinite Series, kommer detta verk vara min främsta informationskälla. Jag kommer utgå från denna för att undersöka hur Newton framställde problemen i dess slutgiltiga presentation.

Jag kommer i arbetet koncentrera mig på att titta på de fem första problemen som presenteras i The Method of Fluxions. De fyra första av dessa problem ingår alla i gymnasiets matematikkurser, varför jag tror att man som läsare lättare kan relatera till och förstå såväl problemställningen som lösningen av dessa. Jag kommer vid studierna av dessa problem jämföra Newtons lösningar med hur dessa problem löses på gymnasiet med hjälp av den moderna kalkylen. Förutom att presentera Newtons lösningar till dessa fem problem som han beskrev i The Method of Fluxions, kommer jag att jämföra dessa lösningar med hur Newton presenterade problemen och lösningarna i tidigare skrifter. Jämförelsen med tidigare presentationer av respektive problem har jag valt att enbart göra med Newtons manuskript från 1665 och 1666. Det var under dessa år som Newton lade den största grunden till fluxionsmetoden. I de fall Newton har presenterat problemet i manuskript från 1665 eller 1666 kommer jag titta på utvecklingen av både problemformuleringen samt lösningen. Vid studierna kring hur fluxionsmetoden har uppkommit och varifrån Newton fick sin inspiration kommer jag studera modernare sekundärlitteratur som beskriver kalkylens ursprung.

5

3 Bakgrund Sir Isaac Newton är en av de största matematikerna genom alla tider och han har fått mycket uppskattning för det arbete han gjort inom naturvetenskapen. En av hans kanske största upptäckter inom matematiken var hans bidrag till differentialkalkylen; fluxionsmetoden. Fluxionsmetoden skulle däremot inte få ett så stort genomslag bland matematiker från början utan mottogs med en viss skepsis vid uppkomsten. Detta gjorde även att Newton skrev sitt kanske allra största verk, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, enbart med gamla metoder och använde alltså inte sin nyligen uppfunna fluxionsmetod.

I början av Newtons matematiska karriär var de stora problemen för matematikerna att kunna bestämma tangenter till kurvor samt att bestämma arean under en kurva. Alltså de problem som vi senare skulle komma att betrakta som grunderna till kalkylen. Många matematiker före Newton hade jobbat med dessa problem, men utan att förstå hur de var kopplade till varandra. För att lösa de båda problemen, började Newton under 1660-‐talet att utveckla det som skulle komma att kallas fluxionsmetoden. Newtons tidiga idéer och utvecklingar av lösningar kring dessa två problem samlade han i det som vi idag har gett namnet The October 1666 Tract on Fluxions. 1 Detta är en samling av Newtons tankar och idéer kring fluxionsteorin, skrivna just 1666, men som aldrig blev publicerade. Tankarna och idéerna som återfinns i The October 1666 Tract on Fluxions tog Newton fram redan året innan, 1665, då han la den största grunden till sin metod. Trots mycket påtryckningar från olika håll vägrade Newton konstant att publicera sina resultat i fråga. I mitten av 1670-‐talet, när Gottfried Wilhelm von Leibniz började redovisa liknande resultat som Newton inom ämnet, började Newton presentera sina idéer i form av brev till olika matematiker runt om i Europa. Eftersom Newton gjorde sina upptäcker publika först efter att Leibniz publicerat sina egna resultat, var det många som tvivlade på att Newton verkligen hade varit först med lösningarna till kalkylens två problem. Trots att många tvivlade på Newton, och att hans metod inte blev fullt uppskattad i Europa, var det många som såg potentialen i metoden. Men först 1736, alltså nio år efter hans död, gavs The Method of Fluxions ut, som en översättning av Newtons manuskript, De Methodis Serierum et Fluxionum, från 1671. Problemet med att hitta arean under en kurva hade flera matematiker under 1600-‐talet jobbat med att försöka lösa. Bland de första att göra detta var Evangelista Torricelli2 (1608-‐1647) och Bonaventura Cavalieri3 (1598-‐1647). I mitten av 1600-‐talet började även John Wallis4 (1616-‐1703) intressera sig för problemet och utvecklade de båda tidigare nämndas teorier till sin egen. Vad som är gemensamt för de alla tre är att de på ett eller annat sätt försökt uttrycka arean under grafen som en summa av små areaelement. Wallis utvecklade till

1 Guiccardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 169. 2 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, 185. 3 Ibid, 125. 4 Ibid, 206.

6

stor del Cavalieris teori och lyckades bestämma arean under en kvadratisk respektive en kubisk kurva med hjälp av en serieutveckling. John Wallis var kanske den matematiker som influerade Newton mest vid bestämning av arean under en kurva. Newton har själv sagt att han hämtade sin inspiration från sina tidiga studier av Wallis mest kända verk, Arithmetica Infinitorum.5 Wallis hävdade att detta verk, som behandlade areaberäkningar genom användandet av oändligt smala linjer, inte var till för att skapa nya regler, men att hjälpa matematikerna att vidare utveckla matematiken.6

3.1 De Methodis Serierum et Fluxionum Newtons första samlade manuskript om fluxionsteorin skrevs år 1670-‐1671 och fick namnet De Methodis Serierum et Fluxionum. De Methodis innehöll Newtons samlade tankar kring sina främsta upptäckter i teorin om serier samt om fluxioner. De Methodis skapades ursprungligen som en utveckling av hans tidigare utgivna verk De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669), en liten skrift som tog upp de resultat kring serier och serieutveckling som Newton då kommit fram till.7 Men Newton var inte helt nöjd med De Analysi, och ville inte publicera denna. Istället hade han redan planer på att expandera den och ge en mer omfattande bild av sin metod kring fluxioner.8

Därför skapade Newton De Methodis som ett verk med betydelsen att studera hur kurvor beter sig, där han förutom serieutvecklingen från De Analysi även utvecklade sina tidigare arbeten kring tangenter och kvadratur som återfanns i både Newtons anteckningar från 1665 och i The October 1666 Tract on Fluxions. Från att inleda verket med teorin om serier, följde själva målet med skriften; att undersöka lösningar till problem kring kurvor som är tillämpade genom en rörelse i tiden.9 Fluxionsmetoden kan delas upp i två olika delar vilka ger lösningarna till två olika problem som härstammar från den rationella (eller analytiska) mekaniken. 10 Newton kunde alltså dela upp sin metod i den direkta fluxionsmetoden (metod 1) samt den inversa fluxionsmetoden (metod 2). Den direkta fluxionsmetoden innebär i modernt språk att hitta derivatan av en funktion, medan den inversa metoden istället syftar till att hitta den primitiva funktionen. Mer om vad dessa metoder innebär och hur de fungerar förklaras kort i avsnitt 4.1.1 respektive 4.1.2. I De Methodis får vi definierat grunderna i Newtons nya metod. Han väljer att definiera de kvantiteter som genereras av tid för fluenter och de momentana hastigheterna av dessa kallar han för fluxioner. Fluenter är, vanligen hos Newton, alltså kvantiteterna x, y, z och så vidare. Så här skriver han i The Method of Fluxions: 5 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, 256. 6 Ibid, 211. 7 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 12. 8 Burton. The History of Mathematics, 391. 9 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 180. 10 Newton. The Method of Fluxions, xxi.

7

Now those Quantities that I consider as gradually and indefinitely increasing, I shall hereafter call Fluents, or Flowing quantities, and shall represent them by the final Letters of the Alphabet v, x, y and z […]. And the Velocities by which every Fluent is increased by its generating Motion, (which I may call Fluxions, or simply Velocities or Celerities,) I shall represent by the same Letters pointed thus 𝑣, 𝑥, 𝑦 and 𝑧.11

Men Newtons notation har ändrats flera gånger under utvecklingen av fluxionsmetoden. I de första presentationerna av metoden representerade han fluxionerna med hjälp av bokstäverna l, m, n och r. Det vill säga m var fluxionen för kvantiteten x, n fluxionen för y och så vidare.12 Det var inte förrän år 1691 som Newton ändrade sin notation till de mer praktiska prickade notationerna.13 Nu betecknades fluxionen för x med 𝑥 och den för y med 𝑦.

I De Methodis från 1671 använder Newton som förklarat ovan, bokstaven m som fluxionen av x samt bokstaven n för fluxionen av y.14 Däremot används istället en notation där p representerar fluxionen av x och q fluxionen av y, i The October 1666 Tract on Fluxions från just 1666. Denna notation använder han även i sina texter från 1665 som innehåller Newtons första tankar om de problem som senare ska fulländas i De Methodis.

Då representationen av fluxionerna lätt kan bli förvirrande, kommer jag för enkelhetens skull i detta arbete använda mig av den senare prickade notationen.

3.2 Influenser från andra matematiker

3.2.1 Pierre de Fermat En av de allra främsta matematikerna under 1600-‐talet var den franska matematikern Pierre de Fermat (1601-‐1665). Tyvärr var inte Fermat speciellt intresserad av att publicera sina upptäcker vilket har gjort att hans påverkan på matematikens utveckling inte var så stor som den borde varit.15 Däremot lämnade han stora avtryck hos Newton som ska ha sagt att han hämtade sina egna idéer kring kalkylen direkt från Fermats metoder för att bestämma tangenter.16 Fermats tangentmetod går ut på att först hitta subtangenten till kurvan för att sedan kunna ta fram tangenten. Enligt figur1, innebär det att vi vill hitta sträckan EC. Detta gör vi genom att titta på likformighet mellan de två trianglarna OIE samt BCE och sedan låta linjen OI röra sig mot BC. Punkten O och O’ kommer vara två olika punkter, förutom när OI sammanfaller med BC. När detta sker kommer skillnaden mellan I och C vara oändligt liten, varför Fermat inför en storhet, e, som han låter beteckna denna skillnad.

11 Newton. The Method of Fluxions, 20. 12 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 181. 13 Burton. The History of Mathematics, 391. 14 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol III, 72. 15 Simmons. Calculus gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, 96. 16 Ibid, 98: ”[…] from Fermat’s way of drawing tangents.”

8

Vad som är intressant med metoden är vad Fermat gör sedan. I slutskedet av metoden sätter Fermat storheten e till noll, vilket innebär att punkterna I och C nu är samma punkt. Detta kan jämföras med Newtons storhet o samt Leibniz dx. Vi kommer senare se en liknande metod även hos Isaac Barrow.

3.2.2 René Descartes René Descartes (1596-‐1650) var en fransk matematiker som under 1600-‐talet lade grunden för den analytiska geometrin. På grund av detta har han fått namnge det cartesiska koordinatsystemet som vi använder oss av idag. 17 Descartes influerade Newton mycket framförallt i sina försök i att ta fram tangenten till en kurva.

I ett försök att skapa en ny metod för tangentframställning, tog Descartes fram en metod som, till skillnad från Fermat, sökte subnormalen till kurvan. Han försökte alltså hitta sträckan MP i figur 2. Bakgrunden till Descartes tangentmetod är att han inser att en cirkel med medelpunkt i P kommer skära kurvan en, två eller ingen gång. Om cirkeln endast skär kurvan en gång, det vill säga att den tangerar kurvan, har vi hittat punkten C. Det han gör är alltså att han söker en cirkel som tangerar kurvan i punkten C.

17 Nationalencyklopedin. René Descartes, http://www.ne.se/lang/rene-‐descartes (Hämtad 2013-‐11-‐15).

Figur 1: Fermat bestämde tangenten BE genom att ta reda på subtangenten EC. (http://www.princeton.edu/~hos/Mahoney/articles/mathnat/mathnatfr.html, 2013-‐11-‐06)

Figur 2: Descartes tog fram tangenten FC genom att först bestämma sträckan MP. (Lund 2002, s 15)

9

3.2.3 Isaac Barrow Isaac Barrow (1630-‐1677)18, Newtons företrädare som professor i Cambridge, var mycket viktig för Newtons matematiska utveckling. Till skillnad från John Wallis som gärna ville införa nya idéer i matematiken, var Barrow väldigt konservativ i sina tankar och hans arbete anses därför vara direkta motsatsen till Wallis arbete.19 Newton studerade matematik i Cambridge med Barrow som lärare och dessa fortsatte senare att ha kontakt och utbyta idéer kring framförallt kalkylens problem.20

Barrows främsta utgivna verk var Lectiones Opticae (1669) samt Lectiones Geometricae (1670), där den sistnämnda till stor del behandlade problem kring tangenter samt kvadratur. I problemet med att ta fram tangenter menar Boyer21 att Barrows metod till stor del liknade Cavalieris tangentmetod, men han skulle senare, med övertalning från Newton, presentera en metod som hade större likhet med Fermats teorier, se avsnitt 3.2.1. Detta trots att Barrow aldrig nämner Fermat i sina texter. Dessa influenser fick han dock troligen från bland annat Cavalieri och Wallis.22

I Lectiones Geometricae demonstrerar Barrow en tangentmetod där han inför två små kvantiteter a och e, kateterna i den triangel som fås av den oändligt lilla förflyttningen M på kurvan AM, figur 3. Han kallar MR för e och NR för a och säger att eftersom förhållandet mellan e och a är densamma som mellan TP och PM använder vi den ursprungliga funktionen för att ta reda på detta förhållande. Genom att uttrycka den ursprungliga funktionen med hjälp av 𝑥 + 𝑒 samt 𝑦 + 𝑎 och utveckla, får Barrow ett uttryck där alla termer innehåller antingen a eller e. Han bortser sedan från alla termer som innehåller a eller e av högre dimension än ett, förmodligen genom att inse att a och e är oändligt små. Slutligen, genom att substituera a och e med värdena för MP och TP kunde Barrow ta reda på tangenten.23

18 Boyer. A History of Mathematics, 424. 19 Ibid, 424. 20 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 170. 21 Boyer. A History of Mathematics, 425. 22 Ibid, 426. 23 Ibid, 425.

Figur 3: Barrow kunde ta fram tangenten till kurvan AM genom att titta på den oändligt lilla triangeln MNR. (Boyer 1959, s 426)

10

Vi ser alltså att Barrow, i likhet med Fermat ovan, använder sig av oändligt små kvantiteter i bestämningen av tangenten TM, och kan jämföra Fermats kvantitet e med Barrows två kvantiteter a och e.

3.2.4 Johann Hudde En matematiker som ofta omnämns i Newtons verk är den holländska matematikern Johann Hudde (1628-‐1704). Hudde arbetade bland annat med att studera Descartes La Géometrié samt att studera problem med maximum och minimum.24 För att lösa dessa problem utvecklade han, i mitten av århundradet, en regel för att ta fram multipla rötter till en ekvation. En metod som senare skulle användas flitigt av bland andra Newton. År 1659, i ett appendix till La Géometrié, beskrev Hudde sin metod så här:

If in an equation two roots are equal and if it be multiplied by any arithmetical progression, i.e. the first term by the first term of the progression, the second by the second term of the progression, and so on: I say that the equation found by the sum of these products shall have a root in common with the original equation.25

Huddes metod säger alltså att om en funktion har en dubbelrot i säg r, kommer r även vara rot till samma funktion multiplicerad med en aritmetisk talföljd. Denna regel använder Hudde sedan för att bestämma en maximi eller minimi punkt till en kurva. Med modern notation kan vi uttrycka Huddes bestämning av maximi och minimipunkter så här:

Om 𝑥 = 𝑎 är ett maximum eller minimum till funktionen

𝑓 𝑥 = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥!!! +⋯+ 𝑎!!!𝑥! + 𝑎!!!𝑥 + 𝑎! kommer a vara rot till

𝑛𝑎!𝑥! + 𝑛 − 1 𝑎!𝑥!!! +⋯+ 2𝑎!!!𝑥! + 𝑎!!!𝑥 = 0 där man har multiplicerat funktionen 𝑓(𝑥) med den aritmetiska talföljden 𝑛,𝑛 − 1,𝑛 − 2,… , 2, 1, 0 och låter detta vara lika med noll. Vi kommer senare i avsnitt 5.1.1, 5.2.1och 5.3.1 demonstrera hur Huddes metod kunde användas för att lösa problemen i The Method of Fluxions.

4 The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-Lines

Som tidigare nämnts är The Method of Fluxions en översättning gjord på Newtons manuskript, De Methodis Serierum et Fluxionum, från 1670-‐1671. John Colson, en av Newtons efterträdare som matematikprofessor vid Cambridge University, översatte De Methodis till engelska 1736 och publicerade denna för första gången samma år.26 Newton hade själv försökt att få De Methodis publicerad, men utan resultat då det vid denna tid var ekonomiskt osäkert att ge ut matematik-‐

24 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, 216. 25 Ibid, 218. 26 Lucasian Chair. John Colson. http://www.lucasianchair.org/18/colson.html (Hämtad 2013-‐11-‐14).

11

böcker.27 Alltså blev Newtons främsta verk kring fluxionsmetoden publicerat först 65 år efter att det färdigställdes. Colson gör redan på titelsidan läsaren uppmärksam på att The Method of Fluxions är en översättning av Newtons latinska original manuskript som aldrig publicerades.28 Han fortsätter sedan med att göra läsaren uppmärksam på att det i slutet av detta verk dessutom återfinns genomgående kommentarer på Newtons originalverk, som innehåller både illustrationer och tillägg.

4.1.1 Metod 1: Den direkta fluxionsmetoden Som nämnt i avsnitt 3.1 delade Newton in fluxionsmetoden i den direkta respektive inversa metoden. Den direkta fluxionsmetoden (”The Direct Method of Fluxions”) arbetade Newton sig fram till för att kunna lösa följande problem: ”The Length of the Space described being continually […] given; to find the Velocity of the Motion at any Time proposed”29. Vi skulle med vår moderna terminologi idag definiera detta problem som att hitta derivatan av en funktion.

Metod 1 används för att behandla det första (avsnitt 5.1), tredje (avsnitt 5.3), fjärde (avsnitt 5.4) och femte (avsnitt 5.5) av de fem första problemen i The Method of Fluxions.

4.1.2 Metod 2: Den inversa fluxionsmetoden Den inversa fluxionsmetoden (”The Inverse Method of Fluxions”) är, enligt Newton, ett mycket svårare problem och här antar han att du som läsare är insatt i teorin30. Metoden är framtagen för att lösa problemet som Newton definierade som ”The Velocity of the Motion being continually given; to find the Length of the Space described at any Time proposed”31. Med hjälp av moderna termer, identifierar vi detta problem som att hitta den primitiva funktionen till en given funktion.

Det problem som Newton löser med hjälp av den inversa fluxionsmetoden är problem 2 (avsnitt 5.2).

4.2 Disposition av The Method of Fluxions Colsons engelska översättning av De Methodis är uppbyggd på samma sätt som originalet och inleder alltså med en utökad presentation av serieutveckling, lång division, rotutdragningar samt lösningar av så kallade ”affected equations”32 som återfinns i De Analysi. 33 Härefter följer de tolv problem som behandlar fluxionsmetoden och som Newton söker lösningarna på för att få en bättre bild av kurvors natur.

27 Burton. The History of Mathematics, 391. 28 Newton. The Method of Fluxions, i: ”Translated from the author’s latin original not yet made publick”. 29 Ibid, 19. 30 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 193. 31 Newton. The Method of Fluxions, 19. 32 affected equations: ekvationer där y är implicit definierad i termer av x genom en polynom ekvation, exempelvis 𝑦! + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑎!𝑦 − 𝑥! − 2𝑎! = 0. 33 Guicciardini. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, 179.

12

Prob. 1. From the given Fluents to find the Fluxions.

Prob. 2. From the given Fluxions to find the Fluents.

Prob. 3. To determine the Maxima and Minima of Quantities.

Prob. 4. To draw Tangents to Curves.

Prob. 5. To find the Quantity of Curvature in any Curve. Tabell 1: Tabellen visar de fem första problemen Newton presenterade i The Method of Fluxions, och är även de som kommer studeras i detta arbete. (Newton 1736, xxiv)

Det är, som tidigare nämnt, de fem första problemen i The Method of Fluxions som jag kommer studera närmare i detta arbete. För en presentation av dessa se tabell 1. Problem 1-‐4 återfinns i dagens matematikkurser på gymnasiet men vi skulle använda en annan terminologi för att beskriva dem. Det första och andra problemet representerar det vi skulle beskriva med att hitta derivatan respektive att hitta den primitiva funktionen till en viss funktion. Newton var själv väldigt noga med att poängtera att det, framförallt i problem ett och två, var relationen mellan fluxionerna (respektive fluenterna) han sökte. Att söka denna relation gör vi även idag då vi till exempel bestämmer derivatan av funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑦 som 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

Det tredje och fjärde problemet innebär precis som namnen beskriver, att vi söker maximi och minimi punkter till en funktion respektive att vi vill rita tangenten till en punkt på kurvan. Båda dessa problem tas tidigt upp i undervisningen om differentialkalkylen på gymnasiet.

Problem nummer fem är till skillnad från de tidigare fyra problemen, inte representerat i gymnasiets matematikkurser. Däremot kan vi finna det i kalkylkurser på högskolan. Problemet innebär att man vill hitta krökningen (”the curvature”) i en given punkt på kurvan, det vill säga att bestämma hur mycket en kurva är ”böjd” i en viss punkt. Problemet med en kurvas krökning hade länge förts med ett resonemang där man använde sig av kontaktvinkeln, alltså vinkeln mellan cirkeln som tangerar kurvan i punkten (den oskulerande cirkeln) och tangenten till kurvan i den punkten. Men efter att Newton tagit fram en metod för att bestämma krökningen med hjälp av krökningsradien började en ny period och man gick ifrån de tidigare idéerna med att titta på kontaktvinkeln.34

Förutom de fem problem som nämnts ovan behandlar Newton ytterligare sju problem som alla kretsar kring kurvor (tabell 2). Detta arbete kommer inte ta upp dessa sju problem men presenteras för att få en tydligare bild av innehållet i The Method of Fluxions.

34 Villa Nova University. Dan Margalit, The History of Curvature. http://www3.villanova.edu/maple/misc/history_of_curvature/k.htm (Hämtad 2013-‐12-‐10).

13

Prob. 6. To find the Quality of Curvature in any Curve.

Prob. 7. To find any number of Quadrable Curves.

Prob. 8. To find Curves whose Areas may be compared to those of the Conic Sections.

Prob. 9. To find the Quadrature of any Curve assign’d.

Prob. 10. To find any number of rectifiable Curves.

Prob. 11. To find Curves whose Lines may be compared with any Curve-‐lines assign’d.

Prob. 12. To rectify any Curve-‐lines assign’d. Tabell 2: Tabellen visar de avslutande sju problem som återfinns i The Method of Fluxions. (Newton 1736, xxiv)

Av dessa sju avslutande problem i The Method of Fluxions är det främst problem 9 som vi känner igen från gymnasiets kurser i differentialkalkylen. Detta representerar problemet med att hitta arean under en kurva (alltså att integrera). Problem 12 återfinns inte i gymnasiets kursplaner, men är däremot representerat i kurser på högskolan. Detta problem innebär att vi vill hitta längden av en given kurva.

Efter de 12 olika problemen börjar den tredje delen av The Method of Fluxions. På de följande sidorna har Colson samlat sina kommentarer kring Newtons metod och inleder denna del med orden: ”The method of fluxions and infinite series; or a perpetual comment upon the foregoing treatise”35. Colson har samlat sina kommentarer i tre delar som behandlar Newtons inledande kapitel om serieutveckling samt fluxionsmetodens problem 1 respektive problem 2.

4.3 Colsons kommentarer till The Method of Fluxions Som Colson var noga med att poängtera på titelsidan till The Method of Fluxions, återfinns flera kommentarer längst bak i boken. Han har i den avslutande delen valt att kommentera tre delar av The Method of Fluxions; Newtons serieutvecklingsmetod samt den direkta respektive inversa fluxionsmetoden. Allra sist av dessa kommentarer har han samlat sina egna slutsatser kring verket och ger dessutom en kort repetition av dess innehåll.36 Jag kommer i detta arbete inte gå in i detalj på detta avslutande kapitel utan har valt att endast kort ta upp några av Colsons kommentarer. I den avslutande delen av kommentarerna har Colson motiverat för läsaren hans mening med att införa egna, utförliga kommentarer på Newtons verk.37 Han förklarar att han strävat efter att beskriva och förklara metoden på det enklaste

35 Newton. The Method of Fluxions, 141. 36 Ibid, 330. 37 Ibid, 330.

14

och mest naturliga sättet, på ett sätt som han själv skulle ha velat få metoden förklarat för sig när han stötte på dessa idéer första gången. Problem som är enkla och triviala har han behandlat med en viss kritik, men med svårare problem, förklarar han, har han ansett sig vara tvungen att vara tydligare och mer utförlig.

Han fortsätter med att förklara att, vad han tror kommer skapa de största svårigheterna är förklaringen av ”[…] Moments, vanishing quantities, infinitely little quantities, and the like […]”38 som Newton använder sig av för att ta fram fluxionsmetoden. Colson vill förtydliga vad detta innebär eftersom han påpekar att det har funnits flera oklarheter kring dessa kvantiteters natur och vad de ska kallas.39

Colson poängterar att Newton endast använder bokstaven o för att beteckna denna försvinnande kvantitet. En kvantitet som till att börja med har en ändlig storlek, men sedan upphör att existera genom att kontinuerligt minskas. Colson gör här en intressant notering; att när kvantiteten minskar, kommer den vara lika stor som försvinnande kvantiteter av alla storlekar. Han säger att den alltså inte kan gå från att ha ett ändligt värde till att försvinna, utan måste minska kontinuerligt. Colson avslutar denna diskussion med att hävda att vi inte ska behöva bry oss om vad dessa kvantiteter heter, utan vad de har för egenskaper och hur vi kan använda dem. För de är introducerade för att ge oss bättre förståelse för andra kvantiteters natur.

5 Newtons problem i The Method of Fluxions 5.1 Problem 1: Att hitta relationen mellan fluxionerna givet

relationen mellan deras fluenter40 Newton börjar med att gå direkt på lösningen av problemet, utan att berätta hur han kommer fram till denna. För att lösa problemet med att hitta relationen mellan fluenterna börjar han med att ordna termerna i ekvationen efter dimensionen på först x och sedan y. Multiplicera sedan alla termer innehållande x med någon aritmetisk talföljd och därefter med 𝑥/𝑥. Gör sedan på samma sätt för alla termer med y. Sätt summan av termerna lika med noll och vi har fått den sökta relationen mellan fluxionerna. Algoritmen tydliggörs med hjälp av ett exempel:41

Newton låter relationen mellan x och y vara 𝑥! − 𝑎𝑥! + 𝑎𝑥𝑦 − 𝑦! = 0. Efter att ha ordnat alla termer enligt dimensionen av x (respektive y), multiplicerat med en aritmetisk talföljd samt med 𝑥/𝑥 (respektive 𝑦/𝑦) enligt figur 4, får han slutligen summan 3𝑥𝑥! − 2𝑎𝑥𝑥 + 𝑎𝑥𝑦 − 3𝑦𝑦! + 𝑎𝑦𝑥 = 0. Notera att termerna

38 Newton. The Method of Fluxions, 335f. 39 Ibid, 336. 40 ”The relation of the flowing quantities to one another being given, to determine the relation of their fluxions”. 41 Newton. The Method of Fluxions, 21.

15

𝑎𝑥𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 tillsammans representerar derivatan av produkten 𝑎𝑥𝑦 . Detta resultat känner vi igen från den moderna produktregeln för derivering.

Det är även intressant att titta på uppställningen som Newton gör i figur 4. Den mittersta raden, där Newton explicit visar att han multiplicerar termerna med respektive term i den aritmetiska talföljden, visar stora likheter med hur vi kan anta att Hudde (se avsnitt 3.2.4) ställde upp sina problem. Vi ser exempel på detta hos Suzuki som visar ett exempel med Huddes metod där han vill hitta rötterna till polynomet 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥! + 5𝑥 − 2 genom att ställa upp följande tabell:42

𝑥! − 4𝑥! + 5𝑥 − 2 3 2 1 0 3𝑥! − 8𝑥! + 5𝑥

Vi ser alltså att Newton var inspirerad av Hudde både i teorin och i praktiken för att lösa detta problem.

Newton går nu över till att demonstrera den analytiska versionen av metoden. Vi vet sedan tidigare, se avsnitt 1.1, att ökningarna av de matematiska kvantiteterna betecknas 𝑥,𝑦 etc och är hastigheten av ökningen. Newton introducerar nu momentet av dessa ökningar, som dess ökning multiplicerat med ett oändligt kort tidsintervall, o. Vi får alltså momentet av x, y som 𝑥𝑜,𝑦𝑜 osv. Vi kan då dra slutsatsen att momentet helt enkelt är en kort ökning av den ursprungliga kvantiteten. Detta kan vi verifiera genom att notera att 𝑥 är en hastighet, och o ett tidsintervall, vilket, enligt fysikens lagar, multiplicerat med varandra ger en sträcka.

Detta nya värde på vår kvantitet, 𝑥 + 𝑥𝑜, kan vi nu substituera i den ursprungliga relationen mellan x och y, så att ekvationen kommer uttrycka samma relation mellan 𝑥 + 𝑥𝑜 och y+𝑦𝑜 som mellan 𝑥 och 𝑦.

Newton substituerar 𝑥 + 𝑥𝑜 samt 𝑦 + 𝑦𝑜 i ekvationen och binomialutvecklar. Han inser sedan att den ursprungliga ekvationen fortfarande gäller, eftersom även de nya värdena på kvantiteterna kommer ligga på kurvan, varför vi nu kan stryka dessa termer. Dividera därefter alla kvarvarande termer med kvantiteten o. Newton noterar nu i det sista steget att eftersom o är en oändligt liten kvantitet, så kommer den vara försvinnande liten jämfört med alla övriga termer, termerna innehållande o kan därför tas bort. Vi slutar med samma resultat som vi fick i början av presentationen av metoden.

42 Suzuki. The Lost Calculus, 346.

Figur 4: Newton visar algoritmen för att lösa problem 1 genom att ställa upp tabellen i figuren. (Newton 1736, s 21)

16

5.1.1 Huddes metod i problem 1 Som vi nämner i avsnitt 3.2.4 var Hudde en stor inspirationskälla för Newton och han använde sig mycket av Huddes regel. Vi kan tydligt se att Newton var påverkad av detta i sin lösning av problem 1.

Vi kan alltså lösa problem 1 genom att använda Huddes regel först med avseende på x, och sedan med avseende på y. Vi får (med avseende på x):

3 × 𝑥! − 2 × 𝑎𝑥! + 1 × 𝑎𝑥𝑦 − 0 × 𝑦!

3𝑥! − 2𝑎𝑥! + 𝑎𝑥𝑦 (5.1.1) Och sedan med avseende på y:

3 × −𝑦! + 2 × 0 × 𝑦! − 1 × 𝑎𝑥𝑦 + 0 × (−𝑥! + 𝑎𝑥!)

−3𝑦! + 𝑎𝑥𝑦 (5.1.2) Låt oss jämföra ekvation (5.1.1) och (5.1.2) med nedersta raden i Newtons tabell i figur 4. Skillnaderna dessa emellan är att Newton, i sina ekvationer i figur 4, har ”bytt ut” ett x respektive ett y mot 𝑥 och 𝑦. Newton ersätter alltså kvantiteterna x respektive y med deras rörelser 𝑥 och 𝑦.

Om vi nu jämför Huddes metod ovan med vår moderna derivering inser vi att Hudde, i ekvation (5.1.1) och (5.1.2), får en extra dimension av kvantiteterna x och y, som inte fås vid modern derivering. Denna dimension dividerar Newton bort direkt enligt den andra raden i figur 4 och ersätter denna extra dimension med 𝑥 och 𝑦 istället. Även om Hudde alltså hade en fungerande metod för tillämpningar av derivering, ser vi att Newtons tillvägagångssätt har större likhet med vår moderna derivering.

5.1.2 Tidigare presentation Problemet ovan som Newton presenterar år 1671 är en relativt färdigarbetad version av problem 1. För att förstå hur metoden har uppkommit är det intressant att ta reda på hur denna har utvecklats under de närmsta åren innan den färdiga versionen. En av de tidigaste presentationerna av problemet är från 1665. Detta är en tidig version av samma problem som Newton också presenterade i The October 1666 Tract on Fluxions.

I likhet med lösningen till problemet från 1671, ställer Newton upp lösningen på samma sätt vid de tidigare presentationerna från 1665 och 1666, Vi har alltså två, eller fler, linjer och vill uttrycka förhållandet mellan de hastigheter med vilka punkter på linjen beskriver deras rörelse.

Vi kan däremot notera skillnader i presentationen av den oändligt lilla kvantiteten o. Vi kommer ihåg, från problemet år 1671, att o betecknar ett oändligt litet tidsintervall. Men om vi studerar Newtons anteckningar från 1665 samt The October 1666 Tract on Fluxions ser vi att Newton inte alltid har haft denna representation. I november 1665 skriver Newton att en punkt med hastighet p, på en linje beskriver den oändligt korta sträckan o under ett kort tidsintervall.43 Alltså kan vår kvantitet vara 𝑥 vid en tidpunkt, och 𝑥 + 𝑜 i nästa.

43 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 385: ”[…] ye body A wth ye velocity p describe ye infinitely little line o in one moment”.

17

Ett år senare, i oktober 1666 beskriver Newton samma fenomen på ett annorlunda sätt. Nu säger Newton att en linje med hastighet p, beskriver den oändligt korta linjen 𝑝 × 𝑜 under ett kort tidsintervall. 44 I och med detta, förklarar Newton, kommer linjen att kunna representeras av 𝑥 vid en tidpunkt och 𝑥 + 𝑝𝑜 en oändligt kort tid efteråt. Vi ser då att o, i detta fall, representerar tid, och inte en sträcka som var fallet bara ett år tidigare.

Vi ser alltså att Newton går från att representera o som en oändligt kort sträcka, år 1665, till att låta o vara en oändligt kort tidsperiod, från och med år 1666. Varför Newton gjorde denna förändring av representationen av kvantiteten o är svårt att säga. En förklaring som jag anser vara möjlig till detta är att Newton ville förklara problemet mer fysikaliskt. Kanske ville han förklara hur läget för en kropp i punkten 𝑥 ändrades med hjälp av dess momentana hastighet p. Med andra ord, Newton var bekant med att hastighet multiplicerat med tid ger en sträcka, och ville alltså beskriva punktens rörelse med hjälp av dess hastighet istället för att beskriva läget med hjälp av en obestämd sträcka.

5.2 Problem 2: Att hitta relationen mellan fluenterna givet relationen mellan deras fluxioner45

Att från relationen mellan fluxionerna hitta relationen mellan fluenterna, är det inversa problemet till problem 1. Alltså, säger Newton, måste vi gå tillväga som förra problemet, men baklänges. Problemet innebär att Newton söker lösningen på ekvationer som vi idag kallar differentialekvationer. Algoritmen för lösningen av problemet beskriver Newton så här:

Dividera först de termer som innehåller 𝑥 med 𝑥/𝑥 och sedan med dimensionen av x (eller en aritmetisk talföljd). Gör på samma sätt för alla givna kvantiteter i ekvationen. När detta är gjort, sätt summan av alla dessa termer lika med noll. Men för att få den sökta relationen måste vi, påpekar Newton, förkasta alla överflödiga termer. Han noterar alltså att oavsett om samma term återfinns flera gånger i summan, tas den bara med en gång i det slutgiltiga uttrycket.

För att förtydliga algoritmen visar Newton den med ett exempel: Antag att den givna ekvationen är

3𝑥𝑥! − 2𝑎𝑥𝑥 + 𝑎𝑥𝑦 − 3𝑦𝑦! + 𝑎𝑦𝑥 = 0 (5.2.1) Börja med att följa algoritmen för x. Dividera därför alla termer som innehåller 𝑥 med 𝑥/𝑥:

!!!!

!/!− !!!!

! !+ !!!

! != 3𝑥! − 2𝑎𝑥! + 𝑎𝑥𝑦

Dividera sedan med talföljden 3-‐2-‐1 vilket ger:

𝑥! − 𝑎𝑥! + 𝑎𝑥𝑦 (5.2.2) Gör nu på samma sätt för kvantiteten y, vilket först ger:

44 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 414: ”[…] ye body A wth ye velocity p describe ye infinitely little line […] 𝑝 × 𝑜 in one moment”. 45 ”An equation being proposed, including the fluxions of quantities, to find the relations of those quantities to one another”.

18

!!!!!

! !+ !!!

! != −3𝑦! + 𝑎𝑥𝑦

och sedan genom division:

−𝑦! + 𝑎𝑥𝑦 (5.2.3) Om vi tittar på termerna i ekvation (5.2.2) och (5.2.3) noterar vi att termen 𝑎𝑥𝑦 förekommer i båda ekvationerna. Newtons algoritm säger att vi endast ska ta med denna term en gång. Vi summerar alltså termerna och sätter detta lika med noll och får slutligen:

𝑥! − 𝑎𝑥! + 𝑎𝑥𝑦 − 𝑦! = 0 (5.2.4)

Hur Newton själv kommer fram till relationen mellan fluenterna kan vi se i tabellen i figur 5. Detta kan vi jämföra med ekvation (5.2.2) samt (5.2.3) som vi hittar i tabellens nedersta rad.

Ekvation (5.2.4) är alltså den sökta relationen mellan fluenterna x och y. Med modernt språk säger vi att denna ekvation är den primitiva funktionen till ekvation (5.2.1). Vi kan jämföra Newtons algoritm med hur vi idag på gymnasiet förklarar metoden för att hitta en primitiv funktion. Vi minns från gymnasiets kurser att vi behöver dividera med dimensionen av exempelvis kvantiteten x för att få fram den primitiva funktionen. Detta ser vi är precis det som Newton gör i rad tre av figur 5. Newton påpekar här för läsaren att vi enkelt kan se om vi har gjort rätt.46 Utgå från ekvationen du tog fram enligt ovan och genom lösningen till problem 1, ta fram relationen mellan fluxionerna. Jämför nu denna relation med den ursprungliga relationen vi hade. Är det likadana har vi gjort rätt, annars har vi gjort fel. Dessutom poängterar Newton att vi inte vill lägga för mycket vikt vid ovanstående lösning, eftersom du inte alltid kan använda dig av denna metod för att lösa detta problem.47 Därför förbereder han nu läsaren för den generella lösningen av problemet.

Den generella lösningen går ut på att reducera den ursprungliga ekvationen med hjälp av det inledande kapitlet av The Method of Fluxions, serieutveckling, för att kunna uttrycka ekvationen som en relation mellan 𝑦 och 𝑥. Han särskiljer tre olika fall och avslutar problem 2 med att lösa dessa:

46 Newton. The Method of Fluxions, 26. 47 Ibid, 26: ”[…] for it would be needless to dwell too long upon this matter, because the Problem cannot always be solved by this Artifice.”

Figur 5: Newton presenterar metoden för att lösa problem 2 i en tabell. (Newton 1736, s 26)

19

1. Ekvationer som innehåller två kvantiteters fluxioner, men bara en av de två fluenterna

2. Ekvationer som innehåller både de två kvantiteternas fluxioner och deras fluenter.

3. Ekvationer som innehåller två eller fler kvantiteters fluxioner.48

Exempel på dessa ekvationer i respektive fall är:

1. 𝑦! − 𝑥𝑦 − 𝑥!𝑥! = 0 2. 𝑦𝑎𝑥 − 𝑥𝑥𝑦 − 𝑎𝑥 = 0 3. 2𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = 0

5.2.1 Huddes metod i problem 2 Vi har tidigare sett hur Newton kunde använda Huddes regel i lösningen till problem 1 (avsnitt 5.1.1) och kommer se detta även i problem 3 (avsnitt 5.3.1). Vi ska nu se hur han kunde använda sig av metoden för att lösa problem 2.

I figur 5 ser vi tydligt att Newton dividerar med talföljden 3-‐2-‐1 både på vänster och höger del av tabellen. Om vi påminner oss om att Huddes metod innebär att vi vill multiplicera termerna i ekvationen med en talföljd (exempelvis 3-‐2-‐1) kan vi se att Newtons algoritm för problem 2 tar hjälp av Huddes regel, fast baklänges.

Detta stämmer väl överens med Newtons kommentar om att detta problem kan lösas på samma sätt som problem 1 men baklänges, som han påpekade i början av problem 2.

5.3 Problem 3: Att bestämma maximum och minimum49 Det tredje problemet Newton presenterar i The Method of Fluxions är problemet med att hitta en kvantitets maximum eller minimum. Att vi har ett maxima eller minima förklarar Newton som att då är den sökta kvantiteten det största eller minsta som den kan vara; den flödar varken framåt eller bakåt, den har alltså ingen lutning. För att hitta denna punkt, förklarar Newton, behöver vi alltså först hitta relationen mellan fluxionerna genom lösningsmetoden för problem 1 och därefter sätta denna relation till noll. 50

Newton demonstrerar sin lösningsmetod genom ett exempel:

Tag ekvationen 𝑥! − 𝑎𝑥! + 𝑎𝑥𝑦 − 𝑦! = 0. Hitta fluxionerna genom problem 1, och sätt summan av dem lika med noll.

3𝑥𝑥! − 2𝑎𝑥𝑥 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑎𝑦𝑥 − 3𝑦𝑦! = 0 (5.3.1) Sätt nu också 𝑥 till noll, eftersom vi inte vill att kvantiteten 𝑥 flödar. Vi får då

3𝑦𝑦! = 𝑎𝑦𝑥 48 Newton. The Method of Fluxions, 29. 49 ”To determine the maxima and minima of quantities”. 50 Newton. The Method of Fluxions, 44: ”When a Quantity is the greatest or the least that it can be, at that moment it neither flows backwards or forwards. For if it flows forwards, or increases, that proves it was less, and will presently be greater than it is. And the contrary if it flows backwards, or decreases. Wherefore find its Fluxion, by Prob 1. and suppose it to be nothing”.

20

3𝑦! = 𝑎𝑥 (5.3.2) Genom att först substituera detta i den ursprungliga ekvationen och lösa ut en av kvantiteterna, säg y, kan vi sedan använda detta värde för att ta reda på den andra.

5.3.1 Huddes metod i problem 3 Vad som är intressant att notera är att, efter att Newton har demonstrerat ovanstående exempel på hur man hittar en maximi-‐ eller minimipunkt, påminner han läsaren om att samma resultat kan fås genom att använda Huddes regel. Newton skriver:

This Operation is the same, as if you had multiply’d the Terms of the proposed Equation by the number of the Dimensions of the other flowing Quantity y. From whence we may derive the famous Rule of Huddenius […].51

Med hjälp av kapitel 3.2.4 ser vi hur vi kan använda Huddes regel i ovanstående problem. För att använda Huddes regel ordnar vi termerna i ekvationen efter dimensionen av y; 𝑦! − 𝑎𝑥𝑦 + (𝑎𝑥! − 𝑥!) = 0. Notera att konstanten framför 𝑦! är noll, och multiplicera sedan alla termer med talföljden 3-‐2-‐1-‐0,

3 × 𝑦! + 2 × 0 × 𝑦! + 1 × −𝑎𝑥𝑦 + 0 × 𝑎𝑥! − 𝑥! = 0 (5.3.3)

3𝑦! − 𝑎𝑥𝑦 = 0

3𝑦! = 𝑎𝑥 (5.3.4) vilket, som väntat, ger samma resultat som ekvation (5.3.2). Newton var alltså, som vi kan se i detta och många fler problem, väl införstådd i Huddes regel och hur den kunde användas.

5.4 Problem 4: Att rita tangenter till kurvor52 Det problem jag tycker Newton visar på det mest eleganta sättet är det fjärde problemet i The Method of Fluxions; problemet att rita tangenter till kurvor. Newton visar här hela nio olika sätt att dra en tangent på. Dessa nio metoder att dra tangenter på behandlar de flesta kurvor, både parabler, cirklar, spiraler, ellipser med flera, som dåtidens matematiker var intresserade av att arbeta med. Jag har valt att titta närmare på Newtons första metod för tangentbestämning. Det är också intressant att undersöka utvecklingen av denna tangentmetod, samt varifrån Newton har fått sin inspiration till denna.

5.4.1 Tangentbestämning i The Method of Fluxions Börja med att titta på kurvan ED, figur 6, som är uppbyggd av abskissan AB och ordinatan BD. Vi vill nu hitta tangenten till kurvan i punkten D.

51 Newton. The Method of Fluxions, 44f. 52 ”To draw tangents to curves”

21

Låt BD röra sig längs AB till bd, då kommer momentet, alltså den momentana förändringen, av BD vara cd, medan momentet av AB kommer vara Bb. Newton drar nu den räta linjen 𝑑𝐷𝑇, där T ligger på förlängningen av AB. För att ställa upp ett förhållande mellan de två trianglarna vi nu har fått använder han sig nu av likformighet, som i så många andra problem. Eftersom Dc är parallell med AB, och cd parallell med BD, får vi att 𝑇𝐵/𝐵𝐷 = 𝐷𝑐/𝑐𝑑. Eftersom vi genom ekvationen för kurvan, som beskriver förhållandet mellan x och y, också kan få fram förhållandet mellan 𝑥 + 𝑥𝑜 och 𝑦 + 𝑦𝑜 , alltså kvantiteternas värde då AB har ökat med 𝐵𝑏 = 𝐷𝑐 = 𝑥𝑜, samt BD har ökat med 𝑐𝑑 = 𝑦𝑜, kan vi bestämma TB som 𝑇𝐵 = 𝐵𝐷 × 𝑥/𝑦.

5.4.2 Influenser från Descartes… För att se hur Newton har influerats av andra matematiker, behöver vi också titta närmare på hur han beskrev sin tangentmetod tidigare. Nedanstående metod är från 1665.

5.4.2.1 Newtons tangentmetod från 1665

För att visa på hur Newton skapar tangenter ställer han upp ett exempel som visar hur metoden fungerar. 53 Antag att du har kurvan 𝑎𝑥 + 𝑥! = 𝑦! som figur 7 visar. Vårt mål är att dra tangenten ge. Metoden går ut på att hitta subnormalen bd till punkten e. För att göra detta söker Newton den streckade cirkel som tangerar kurvan i e, och har medelpunkt i d. För enkelhetens skull namnger han sträckorna i figuren enligt följande: 𝑎𝑏 = 𝑥, 𝑒𝑏 = 𝑦, 𝑏𝑑 = 𝑣, 𝑏𝑐 = 𝑜, 𝑐𝑓 = 𝑧 samt noterar att 𝑒𝑑 = 𝑑𝑓 då dessa är radie i cirkeln. Om punkten f ligger på kurvan får vi att:

𝑎 𝑥 + 𝑜 + 𝑥 + 𝑜 ! = 𝑧! (5.4.1)

𝑎𝑥 + 𝑎𝑜 + 𝑥! + 2𝑥𝑜 + 𝑜! = 𝑧! (5.4.2) Med hjälp av Pythagoras sats kan vi dessutom skriva

𝑣! + 𝑦! = (𝑒𝑑)! = 𝑓𝑑 ! = 𝑧! + 𝑐𝑑 ! (5.4.3)

53 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 272

Figur 6: Newton förklarar en metod för att kunna dra tangenten TD till kurvan ED i punkten D. (Newton 1736, s 46)

22

Då 𝑐𝑑 = 𝑣 − 𝑜 och med hjälp av ekvation (5.4.3) ovan får vi nu

𝑣! + 𝑦! = 𝑧! + 𝑣! − 2𝑣𝑜 + 𝑜! =

= 𝑎𝑥 + 𝑎𝑜 + 𝑥! + 2𝑥𝑜 + 𝑜! + 𝑣! − 2𝑣𝑜 + 𝑜! (5.4.4)

Eftersom 𝑦! = 𝑎𝑥 + 𝑥! enligt ursprungliga ekvationen kan vi snygga till ekvation (5.4.4):

𝑣! = 𝑎𝑜 + 2𝑥𝑜 + 2𝑜! − 2𝑣𝑜 + 𝑣!

0 = 𝑎𝑜 + 2𝑥𝑜 + 2𝑜! − 2𝑣𝑜 0 = 𝑎 + 2𝑥 + 2𝑜 − 2𝑣 (5.4.5)

Newton konstaterar nu att eftersom vi vill att den sökta tangenten i e ska vara vinkelrät mot ed så måste e och f gå samman och bli en och samma punkt, då både e och f enligt antagande ska ligga på kurvan. Detta inträffar endast då 𝑏𝑐 = 𝑜 blir noll. Han försummar alltså de termer som innehåller o, och ekvation (5.4.5) kan då skrivas som

0 = 𝑎 + 2𝑥 − 2𝑣 2𝑣 = 𝑎 + 2𝑥 𝑣 = !

!𝑎 + 𝑥 (5.4.6)

Då vi nu har hittat subnormalen 𝑏𝑑 = 𝑣 kan vi använda kända metoder för att bestämma normalen och senare tangenten till kurvan.

5.4.2.2 Jämförelse med Descartes tangentmetod Vi har redan i kapitel 3.2.2 presenterat hur Descartes arbetade för att ta fram tangenten till en kurva. Jag vill därför nu titta på hur Newton eventuellt har influerats av denna metod då han själv tog fram sin tangentmetod från 1665. I likhet med Descartes använder sig Newton av antagandet att vi kan hitta en cirkel, med krökningscentrum i d, som tangerar kurvan i den givna punkten. Däremot ser vi en klar skillnad mellan deras metoder då Newton inför en oändligt kort sträcka o, för att kunna beskriva tangenten med hjälp av en oändligt kort förflyttning. Denna oändligt korta sträcka arbetade Descartes inte med då han bestämde tangenten. Istället tittade han på likheterna mellan representationerna av kurvans respektive cirkelns ekvationer.

Figur 7: Newton kan bestämma tangenten ge genom att först ta fram subnormalen bd till punkten e. (Westfall 1980, 129)

23

Descartes kunde alltså, utan att använda sig av oändligt små sträckor eller förändringar, ta fram tangenten, det vill säga lutningen, i en punkt. Att Descartes inte använde sig av infinitesimaler, tror jag var mycket uppskattat av matematiker runt om i Europa. Detta eftersom man ännu inte kunde acceptera att man räknade med storheter som var oändligt små.

Frågan man nu kan ställa sig är hur Newton började intressera sig för Descartes metod för bestämning av tangenter. Westfall anser att detta intresse kan ha uppkommit i samband med att Newton kom i kontakt med de metoder John Wallis använde där han jobbade med infinitesimaler. 54 Med hjälp av infinitesimala ökningar, försökte Newton förbättra Descartes metod för att bestämma tangenten genom subnormalen. Men denna representation slutade ofta i komplicerade ekvationer. Newton insåg då att om han kunde använda sig av en oändligt liten triangel efr, se figur 8, så skulle han kunna bestämma tangenten utan hjälp av Descartes cirkel. Detta innebar också att han inte skulle behöva bestämma subnormalen, men istället bestämma tangenten genom subtangenten.

Denna lilla triangel efr som Newton använde för att ta reda på tangenten återfinns även i Leibniz differentialkalkyl. Leibniz kallade denna triangel den karaktäristiska triangeln och han hämtade antagligen inspiration till denna från Blaise Pascal.55 I avsnitt 3.2.3 ser vi att denna triangel även påträffas i Barrows metod för tangentbestämning.

5.4.3 … och Fermat Det var inte bara Descartes som under 1600-‐talet försökte lösa problemet med att rita tangenter till kurvor. En annan stor matematiker som jobbade med detta var Fermat, som vi sett i avsnitt 3.2.1. Låt oss börja med att titta på hur Newton presenterar sin tangentmetod år 1666. 56

54 Westfall. Never at Rest: A Biography of Isaac Newton, 128. 55 Boyer. The History of the Calculus and its Conceptual Development, 203. 56 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 416.

Figur 8: Den tänkta triangeln efr som Newton använde sig av då han arbetade för att förbättra Descartes tangentmetod 1665. (Westfall 1980, s 130)

24

5.4.3.3 Newtons tangentmetod från 1666 Följande metod för att bestämma tangenten till en punkt på kurvan är beskriven år 1666 i The October 1666 Tract on Fluxions.

Newton definierar lösningen på problemet som att vi vill ”hitta rörelsen till de räta linjer vilka spänner upp kurvan och den hastighet med vilken de ökar eller minskar, kommer ge oss rörelsen av punkten som beskriver kurvan, vars rörelse är på tangenten” 57.

Återigen demonstrerar Newton en lösning på problemet genom ett exempel.

Tag ekvationen 𝑥! − 3𝑦𝑥! + 𝑎𝑦𝑥! − 2𝑦!𝑥 + 𝑎! + 10𝑎 − 𝑦! = 0, som beskriver förhållandet mellan de räta linjerna ab och bc enligt figur 9, där 𝑐𝑏||𝑎𝑑 och 𝑑𝑐||𝑎𝑏 och 𝑎𝑏 = 𝑥 samt 𝑏𝑐 = 𝑦. Newton förklarar nu att för att dra tangenten hcr tittar vi på punkten c, och låter den röra sig mot punkten e, längs en rät linje ce parallell med ab, samt låter också c samtidigt röra sig mot punkten g, längs en rät linje cg parallell med ad. Vi kan nu dra linjerna ce och cg enligt förhållandet mellan hastigheterna för dessa rörelser. Då kommer diagonalen cr ligga längs tangenten. Eftersom, låt kalla hastigheten av linjen cb för p, och hastigheten för linjen cd för q, då kommer 𝑐𝑒/𝑔𝑐 = 𝑝/𝑞 = 𝑐𝑒/𝑒𝑟 = ℎ𝑏/𝑐𝑏. Vi verifierar detta genom att titta på de likformiga trianglarna hbc samt cer. Eftersom p och q kan bestämmas ur kurvans ekvation har vi att

ℎ𝑏 = 𝑐𝑏 × 𝑝/𝑞 (5.4.7) där hb är subtangenten. Då vi har bestämt subtangenten, och den punkt där tangenten kommer skära x-‐axeln, kan vi nu bestämma tangenten hcr.

5.4.3.4 Jämförelse med Fermats tangentmetod I The October 1666 Tract on Fluxions, demonstrerar Newton en metod för att hitta tangenten på ett annorlunda sätt mot vad han gjorde bara ett år tidigare.

57 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 416: ”Seeke […] ye motions of those streight lines to wch ye crooked line is cheifly referred, &c wth what velocity they increase or decrease, & they shall give […] ye motion of ye point describing ye crooked line; wch motion is in its tangent.”

Figur 9: År 1666 presenterade Newton sin tangentmetod som problemet att ta fram subntangenten hb. (Whiteside 1967, s 417)

25

Denna metod påminner till viss del av Fermats metod för bestämning av tangenter, som vi såg i avsnitt 3.2.1. Den största, och egentligen enda, likheten metoderna emellan, är deras vilja att hitta subtangenten. Däremot skiljer deras metoder sig en del åt i själva utförandet. Newton vill hitta rörelsen i en punkt på kurvan och använder sig av punktens hastighet i x-‐ respektive y-‐led för att bestämma denna. Fermat är däremot inte intresserad av enskilda punkters rörelse. Han jämför istället två punkter som han antar ligger på tangenten, på ett oändligt kort avstånd från varandra.

Vi kan se att metoderna som Newton och Fermat använde sig av var besläktade med varandra, Newton hämtade inspirationen att bestämma subtangenten från Fermats metod. Däremot använde de sig av olika tillvägagångssätt för att ta fram tangenten. Kanske var Newton inte så influerad av Fermat mer än hans metod för att beräkna subtangenten. Detta kan bero på Newtons nära kontakt med Barrow och hans idéer kring tangentbestämning.

5.4.4 Reflektion kring tangenter Newton börjar med att efterlikna Descartes tangentmetod med att hitta subnormalen, men övergår året efter till att mer lika Fermats metod med att hitta subtangenten. Som vi diskuterade i kapitel 5.4.2.2 ville Newton år 1665 försöka förbättra Descartes tangentmetod och kunna uttrycka tangenten med hjälp av så förändringar. Detta resulterade i en förbättrad version ett år senare, där han nu istället sökte subtangenten.

I avsnitt 3.2.3 har vi tittat på hur Barrow presenterade en metod för att bestämma tangenten. I Newtons tangentmetod presenterad i The Method of Fluxions ser vi likheter med denna metod. Newton sökte i denna metod subtangenten TB i figur 6 (avsnitt 5.4.1), vilket precis som i hans metod från 1666, är samma strategi som Fermat använde sig av. Vi kan alltså dra slutsatsen av att Newton höll kvar en del av sina idéer han fått från Fermat när han utvecklade sin tangentmetod. Newton, och Barrow, tittar nämligen båda på en punkt på kurvan och använder sig av förflyttningen av denna punkt, både i x-‐ och y-‐led, för att ta fram tangenten.

5.5 Problem 5: Att hitta krökningen i en given punkt på kurvan58

Det femte problemet Newton behandlar i The Method of Fluxions är problemet om krökning. Han vill lösa problemet med att hitta krökningen i en given punkt på en kurva. Newton angrep detta problem genom att betrakta skärningen mellan två på varandra följande normaler till kurvan som ligger inom ett oändligt litet avstånd från varandra.59 Metoden att hitta en kurvas krökning är, enligt Newton, ett mycket viktigt problem. Han menar att få problem ger sådan stor inblick i kurvors natur som detta.

58 ”At any given point of a curve, to find the quantity of curvature”. 59 Baron. The Origins of the Infinitesimal Calculus, 260.

26

5.5.1 Bestämning av krökning i The Method of Fluxions Innan han är redo att ta sig an uppgiften med att bestämma krökningen på en kurva, börjar Newton med att ställa upp ett par antaganden kring krökning.60

1. En cirkel har samma krökning överallt, och denna är omvänt proportionell mot diametern.

2. Om en cirkel tangerar en kurva på dess konkava sida i en viss punkt, och denna cirkel är så stor att ingen annan cirkel som tangerar kurvan i punkten kan inskrivas i kontaktvinkeln61 nära denna punkt, kommer cirkeln och kurvan ha samma krökning i den punkten.62

3. Krökningscentrum för en punkt på en kurva är också centrum för den cirkel som har samma krökning i den punkten.

4. Proportionerna mellan olika punkters krökning är lika med det omvända förhållandet mellan deras respektive krökningsradier.

Med hjälp av dessa antaganden, kommer Newton fram till slutsatsen att vi kan reducera problemet till att hitta krökningsradien eller krökningscentrum. Newton vill med hjälp av fem olika egenskaper av krökningscentrum C lösa problem med krökning. Han demonstrerar en lösning av problemet med hjälp av den första egenskapen eftersom den, enligt Newton, är den lättaste att visa.

Egenskap 1: C är skärningspunkten för de vinkelräta linjer som ligger på var sida om, och på ett oändligt litet avstånd från, radien DC (figur 10). 63

Det gäller då att (figur 10), när 𝛿 till vänster om D, flyttas närmare och närmare D, så att de endast skiljer sig åt av en oändligt kort sträcka, kommer H och C sammanstråla. Samma sak gäller även för d till höger om D. Katz förklarar detta

60 Newton. The Method of Fluxions, 59f. 61 kontaktvinkel: vinkeln mellan kurvan och den oskulerande cirkeln. 62 Newton. The Method of Fluxions, 59: ”If a Circle touches any Curve on its concave side, in any given Point, and if it be of such magnitude, that no other tangent Circle can be interscribed on the Angles of Contact near that Point; that Circle will be of the same Curvature as the Curve is of, in that Point of Contact.” 63 Ibid, 60: ”That it is the Concourse of Perpendiculars that are on each side at an infinitely little distance from DC.”

Figur 10: För definition av krökningscentrum C. (Newton 1736, s 60)

27

som att den oskulerande cirkeln, alltså krökningscirkeln, i punkten D, ska även passera i punkten d på ett oändligt litet avstånd från D.64

För att nu bestämma krökningen tar Newton en godtycklig kurva med tangent DT dragen i punkt D, se figur 11. I figuren är DC vinkelrät mot DT och dragen till C som är det sökta krökningscentrum. Dra nu DG parallell med AB och CG parallell med BD. På CG, låt Cg ha någon given storlek och dra g𝛿, vinkelrät mot CG, till DC. Newton låter 𝐴𝐵 = 𝑥, 𝐵𝐷 = 𝑦 samt 𝑔𝛿 = 𝑧 och väljer att 𝐶𝑔 = 1. På grund av likformighet kommer då 𝐶𝑔/𝑔𝛿 = 𝑇𝐵/𝐵𝐷 vilket vi kan skriva om som

1/𝑧 = 𝑥/𝑦 (5.5.1) Anta nu att D rör sig ett oändligt litet avstånd på kurvan till d, dra de samt Cd enligt figur. Vi får då med hjälp av likformighet att 𝐷𝑒/𝑑𝑒 = 𝑑𝑒/𝐹𝑒 = 𝑑𝑒/(𝐷𝐹 − 𝐷𝑒)

𝐷𝑒 × 𝐷𝐹 − 𝐷𝑒 = 𝑑𝑒 !

𝐷𝐹 = 𝐷𝑒 + 𝑑𝑒 !/𝐷𝑒 (5.5.2) Men eftersom De är momentet av abskissan, de momentet av ordinatan samt 𝛿𝑓 det samtida momentet av linjen 𝑔𝛿 så har vi alltså att 𝐷𝑒 = 𝑥𝑜, 𝑑𝑒 = 𝑦𝑜, 𝛿𝑓 = 𝑧𝑜. Detta gör att ekvation (5.5.2) kan skrivas på följande sätt:

𝐷𝐹 = 𝑥𝑜 + !! !

!!= 𝑥𝑜 + !!!

! (5.5.3)

När vi nu har förhållandet mellan dessa moment, De och de, och alltså förhållandet mellan fluxionerna till kvantiteterna x och y, hävdar Newton att vi kan hitta förhållandet av CG till linjen Cg, som är samma som DF till 𝛿𝑓, och vi kan då bestämma punkten C. Newton hävdar alltså att vi har relationen 𝐶𝐺/𝐶𝑔 = 𝐷𝐹/𝛿𝑓. Alltså får vi att 𝐶𝐺 = 𝐶𝑔 × 𝐷𝐹/𝛿𝑓 , vilket vi senare behöver för att kunna bestämma krökningscentrum C. Med hjälp av ekvation (5.5.3) får nu Newton följande ekvation:

64Katz. A History of Mathematics: an Introduction, 553: ”[…] the osculating circle at a point D also passes through any point d infinitely close do D.”

Figur 11: Beskrivning av Newtons metod för att bestämma krökningen i punkten D. (Newton 1736, s 61)

28

𝐶𝐺 = 𝐶𝑔 × !"!"= 1 ×

!!!!!!!

!!= !!!!!

!! (5.5.4)

Newton låter nu 𝑥 = 1 vilket resulterar i att 𝑦 = 𝑧, enligt ekvation (5.5.1), samt att (5.5.4) kan skrivas om som

𝐶𝐺 = !!!!

! (5.5.5)

Med hjälp av likformighet samt ekvation (5.5.5) kommer Newton nu även fram till att

𝐷𝐺 = !" × !"!"

= 𝐶𝐺 × !!= 𝐶𝐺 × 𝑧 = 𝑧 × !!!

!

!= !!!!

! (5.5.6)

Slutligen fås sträckan DC, med hjälp av Pythagoras sats, som

𝐷𝐶 = 𝐶𝐺! + 𝐷𝐺! = !!!!

!

!+ !!!!

!

!=

= 1+ 𝑧! !!!!

!

!= !!!!

!!

! (5.5.7)

För att bestämma krökningen i en punkt letar alltså Newton efter momenten av abskissan AB respektive ordinatan BD. Han använder sig sedan av bland annat likformighet och Pythagoras sats för att få fram ett uttryck för krökningsradien DC, ekvation (5.5.7).

5.5.2 Presentation av krökning i The October 1666 Tract on Fluxions

I The October 1666 Tract on Fluxions beskriver Newton problemet med att hitta ”ye quantity of crookednesse of lines”65, alltså problemet som senare leder till den presentation och lösning av problemet om krökning som presenteras i The Method of Fluxions. För att lösa detta problem börjar Newton med att hävda att vi måste hitta den punkt, på den vinkelräta linjen från den punkt på kurvan vi är intresserade av, som har minst rörelse då denna kommer att vara centrum för den cirkel som rör kurvan i den givna punkten och har samma krökning som kurvan i denna punkt. 66 Alltså, för att bestämma krökningen, måste vi först bestämma krökningscentrum för den cirkel som tangerar kurvan i den givna punkten.

Newton förklarar detta genom att notera två saker. För det första kommer varje punkt på tangenten i punkten eller på den vinkelräta linje som utgår från punkten, kunna beskriva en kurva till vilken en rät linje som utgår från detta krökningscentrum kommer vara vinkelrät mot kurvan. Vidare kommer denna linje vara radie i den cirkeln som har samma krökning som kurvan i punkten. Och för det andra noterar han att rörelsen av varje sådan punkt nämnd ovan kommer förhålla sig på samma sätt som till dess avstånd från centrum. Denna andra idé, säger också att då kommer denna rörelse vara den av de punkter som markerar skärningspunkten mellan en radie från krökningscentrum och två olika parallella linjer.

65 Whiteside. The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I, 419. 66 Ibid, 419.

29

För att förtydliga Newtons idé, tittar vi på figur 12 nedan. Målet är alltså att bestämma rörelserna för punkterna c och d som ligger på linjen cm som är vinkelrät mot tangenten nc och alltså krökningsradien till punkten c. Newton förklarar att när vi har hittat rörelserna för punkterna c och d, drar vi cg samt dk i samma förhållande som mellan punkternas rörelser. Genom att dra linjen gkm, som då skär cm i just punkten m, har vi hittat krökningscentrum m.

Genom likformighet mellan trianglarna ncdb och cegf förklarar sedan Newton hur han hittar rörelserna för punkterna c respektive d och därmed ett uttryck för att bestämma krökningscentrum m.

5.5.3 Utveckling av problemet om bestämning av krökning Om vi jämför Newtons slutsatser från 1666, för hur vi bestämmer krökningen för en kurva, med de från 1671 ser vi att de stämmer väl överens. Trots att han har gjort olika antaganden i lösningen av problemet, drar han fortfarande samma slutsats att det är tillräckligt att bestämma just krökningscentrum för att ta reda på en kurvas krökning.

I lösningen av problemet från 1666 är Newton inte lika beskrivande av hur han kommer fram till att det räcker att ta fram krökningscentrum för kurvan, utan nämner bara att detta är ett tillräckligt kriterium. På grund av att han är betydligt mer beskrivande för lösningen från 1671, kan man anta att han vill att läsaren ska få en bättre förståelse för problemets natur och hur lösningen är framtagen.

Däremot kan vi diskutera för att metoderna i stort påminner om varandra. Vi minns att Newton i The Method of Fluxions sökte relationen mellan DF och 𝛿𝑓 multiplicerat med en godtyckligt vald sträcka Cg. DF och 𝛿𝑓 kan vi likna vid hastigheterna i punkterna D och 𝛿 då sträckorna DF och 𝛿𝑓 uppkommer i samband med att vi definierar en ny punkt d på kurvan, på ett oändligt litet avstånd från D. Jämför nu detta med hur Newton förklarade bestämningen av krökningsradien i The October 1666 Tract on Fluxions. Här, påminner vi oss om, letar Newton efter rörelserna i punkterna c och d, som båda ligger på linjen cm, krökningsradien. Alltså ser vi tydligt att trots att Newton ställer upp problemet på lite olika sätt, använder han sig av samma metod för att lösa det.

Figur 12: Newton söker krökningsradien cm genom att bestämma rörelserna i punkterna c och d. (Whiteside 1967, s 419)

30

5.5.4 Mer om krökning Newton höll problemet om en kurvas krökning väldigt högt. Detta kan ses i The Method of Fluxions där Newton skriver att ”There are few Problems concerning Curves more elegant than this, or that give a greater Insight into their nature”.67 Men exakt vad Newton anser vara så elegant med problemet, nämner han inte.

För att se hur väl införstådd Newton var med problemet om krökning jämför vi hans resultat, ekvation (5.5.6), med dagens uttryck för krökningen av en plan kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥),68

κ = !!!

!!!!!!! (5.5.7)

𝜌 =!!!!!

!!

!!! (5.5.8)

där 𝜅 = !! !

, och 𝜌 𝑥 = krökningsradie. Ekvation (5.5.8) får vi genom att notera att i ekvation (5.5.6) representerar y’ Newtons z samt y’’ representerar 𝑧.

Eftersom Newton inledde problemet om krökning med att förklara vilket elegant problem detta var, kan man tänka att han inte slutade sitt arbete kring krökning här. De främsta idéerna Newton hade kring krökning ledde till de upptäckter inom optiken som fått namnet Newtons ringar. Newtons ringar är optiska fenomen som uppstår då du ljus infaller mot en konvex lins som vilar på en plan lins eller yta.69 Mellan de två linserna kommer det finnas en luftspalt, som vid linsernas kontaktyta är noll, men ökar längre ut från centrum. Det infallande ljuset kommer då, beroende på tjockleken på den konvexa linsen, skapa ljusa respektive mörka ringar på den plana linsen.

5.5.5 Vad andra matematiker har sagt om krökning Kring sekelskifte mellan 1600-‐ och 1700-‐talet arbetade många matematiker med problemet med att ta fram en kurvas krökning. Bland dessa var såväl bröderna Johann och Jakob Bernoulli samt Gottfried Willhelm von Leibniz väldigt framstående.70 Bos71 har jämför de olika metoderna för att hitta krökningsradien i en punkt som presenterades av Bernoulli-‐bröderna och Leibniz. Men han påpekar att ingen av de tre ovan nämnda matematikerna använde termen krökningsradie, utan pratade istället om radien till den oskulerande cirkeln. Johann Bernoulli hade redan 1691 tagit fram en metod för att ta reda på krökningsradien till en kurva. Johanns metod gick ut på att titta på rörelserna i två punkter, B och H i figur 13. Genom att titta på deras rörelser och sedan undersöka förhållandet mellan dessa rörelser och deras avstånd till krökningscentrum D kunde han bestämma krökningsradien. Johann ställer upp

67 Newton. The Method of Fluxions, 59. 68 Katz. A History of Mathematics: an Introduction, 553. 69 Chatak. Optics, 15.18. 70 Bos, H.J.M.: Archive for History of Exact Science, Vol 14, 35. 71 Ibid, 35.

31

förhållandet 𝐵𝐶/𝐻𝐺 = 𝐵𝐷/𝐻𝐷 och med hjälp av likformiga trianglar kommer han fram till uttrycket

𝑟 = !!!

!"!!" (5.5.9)

för krökningsradien BD. Med hjälp av att 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥! + 𝑑𝑦! kan detta skrivas om till det moderna uttrycket i ekvation (5.5.8). Johanns metod är intressant att studera, eftersom den påminner en del av den metod Newton använde sig av i avsnitt 5.5.1.

Vi såg ovan att Johanns metod för att bestämma krökningsradien innebar att vi var tvungna att titta på rörelserna i två punkter på denna radie. Detta skiljer sig åt från både Jakob Bernoulli och Leibniz, som kunde ta fram krökningsradien direkt genom att undersöka sin figur. Jakob Bernoulli kunde ta fram följande likheter bara genom att titta i figuren, se figur 14. ∆𝑏𝑚ℎ ∼ ∆ℎ𝑜𝑐

∆ℎ𝑐𝑏 ∼ ∆𝑎𝑏𝑓

Genom att notera att ℎ𝑜 = 𝑑𝑑𝑦 samt att hålla dx konstant, kan han ställa upp följande uttryck för krökningsradien r som efter omskrivning av ds också kan jämföras med ekvation (5.5.8):

Figur 14: Bernoulli tittade på likformiga trianglar för att ta reda på krökningsradien. (Bos 1975, s 38)

Figur 13: För att ta reda på krökningsradien tittade Johann Bernoulli på rörelserna i punkterna B och H. (Bos 1975, s 36)

32

𝑟 = !"!"

! !!!!!!

(5.5.10)

Leibniz behöver i sin metod, i likhet med Jakob Bernoullis, inte titta på variablernas rörelser och kommenterade Jakobs metod i en skrift från 1694 där han själv presenterar sig egen.72 Från figur 15 ställer han upp följande relation:

𝑟 !"!"= 𝑓 − 𝑥

Genom att derivera detta uttryck, och hålla r samt f konstanta, kan han härleda följande uttryck:

𝑟 = − !"

!!"!" (5.5.11)

Leibniz härledda uttryck för kurvans krökningsradie kan vi, till skillnad från både Jakob och Johanns resultat, inte direkt jämföra med den moderna ekvationen (5.5.8). Men, som Bos noterar, var Leibniz resultat viktigt på många sätt, inte minst eftersom han kunde få fram ett uttryck som inte är beroende av rörelsen i variablerna x och y.73 Detta var något som speglade Leibniz arbete genom hela hans karriär.

Det är intressant att notera att, enligt Bos, använder såväl Johann som Jakob Bernoulli sig av Leibniz differentialnotation vid bestämningen av krökningsradien. Matematiker på det europeiska fastlandet använde sig nästan enbart av Leibniz notation, medan de brittiska matematikerna var lite mer ombytliga vad gällde notationen. Cajori förklarar att notationen som i England var den första att användas i tryckta verk var Leibniz, men denna byttes under senare delen av 1700-‐talet ut mot Newtons notation. 74 Många brittiska matematiker, bland dessa John Keill, som trots att de var stora anhängare till Newton och hans notation, använde redan under början av 1700-‐talet Leibniz notation framförallt vid integrering eftersom de var mycket behändigare att arbeta med.75

72 Bos. Archive for History of Exact Sciences, 40. 73 Ibid, 42. 74 Cajori. Notations of the Calculus, 454. 75 Ibid, 454.

Figur 15: Leibniz kan bestämma krökningsradien r med hjälp av likformighet. (Bos 1975, s 41)

33

6 Diskussion om kvantiteten o Som vi har sett i Newtons presentation av fluxionsmetoden i The Method of Fluxions använder han sig av den oändligt lilla kvantiteten o för att beskriva förflyttningen av en punkt på kurvan. Denna kvantitet introduceras i The Method of Fluxions som ett oändligt kort tidsintervall som används för att ta fram den momentana ökningen av kvantiteterna.

Vid bland annat den analytiska metoden för att ta fram relationen mellan fluxionerna (avsnitt 5.1), noterade vi att Newton först dividerar med o, och därefter inser att eftersom o är så liten i jämförelse med de andra termerna, kan han försumma termerna som innehåller o. Vad vi kan se från detta är att, trots att kvantiteten o är så oändligt liten, så att vi kan försumma termerna multiplicerade med den, inser Newton att den trots detta inte kan vara noll. Han inser att o måste ha en viss storlek, eftersom han annars kommer dividera med noll.76

Newton var alltså väl införstådd med vad han gjorde och att den oändligt korta tidsperioden o faktiskt hade ett värde. Om vi tittar på hur Newton har presenterat storheten o genom åren ser vi att han år 1665, i ett av de tidigaste skedena av fluxionsmetodens utveckling, betecknar o som en oändligt kort sträcka utmed vilken punkten A rör sig med hastighet p under ett kort tidsintervall. Jämför detta med hur Newton representerar o vid sin tangentbestämning från samma år. I figur 7 ovan kunde vi se att o betecknade det korta avstånd mellan de två punkterna b och c.

Eftersom b och c representerar två på varandra följande punkter på abskissan, betecknar o den sträcka som ab har ökat med under en kort tidsperiod. Detta visar på att Newton hade en genomgående tanke i sin metod.

Ett år senare, i The October 1666 Tract on Fluxions, har Newton ändrat betydelsen för kvantiteten o. Här betecknar denna istället en oändligt kort tid, vilken är den representation som Newton ska fortsätta att använda vid framställningen av fluxionsmetoden. Varför Newton gjorde denna ändring i representation av kvantiteten o, för att först representera den som en oändligt kort sträcka till att den representerar tid, förklarar han däremot inte.

7 Slutsats Isaac Newton hade redan från början en ganska klar bild kring de idéer som slutligen resulterade i den fullständiga fluxionsmetoden. Genom att följa utvecklingen av de problem som senare skulle ingå i De Methodis kan man se att själva tankesättet kring metoden är konstant genom utvecklingen, trots att själva presentationen av problemen till viss del har förändrats under åren.

Det har varit mycket intressant att följa Newtons tankar genom denna utveckling och att kunna följa den röda tråd som genomsyrar fluxionsmetoden. Vi har sett att Newton genomgående i arbetet med fluxionsmetoden betraktar punkter i

76 Burton. The History of Mathematics: an Introduction, 392.

34

rörelser. Alltså kan vi anta att Newton från början har haft en stark vilja att lösa fysikaliska problem med hjälp av matematiska uppställningar. Genom att i detalj ha studerat hur Newton har presenterat fluxionsmetoden genom de fem första problemen i The Method of Fluxions, har jag kunnat se hur dessa har utvecklats från åren 1665-‐1666, när Newton skrev ner sina tankar om fluxionsmetoden för första gången, fram till 1671, då De Methodis stod klar. De problem som genomgått störst utveckling vad jag har kunnat se är problem 4 och 5, alltså problemen för att hitta tangenten respektive krökningen till en punkt på kurvan.

Vid studierna av hur Newton bestämde tangenter har vi kunnat se en stor utveckling under de sex år jag har valt att titta på. Newton hämtade från början mycket inspiration från René Descartes och senare Pierre de Fermat, vilket resulterade i att han 1665 och 1666 presenterade två olika metoder för tangentbestämning. Den metod han presenterar i The Method of Fluxions är en utveckling av den senare och har influenser även från Isaac Barrow. Problemet med krökning, som Newton själv ansåg var ett väldigt viktigt problem har vi tyvärr inte fått så många svar till varför detta explicit var så viktigt. Vi har däremot kort sett att han fortsatte att arbeta med detta problem senare i sin karriär. Problemformuleringen av krökning som Newton använde sig av har vi sett varit ungefär densamma under den tidsperiod jag har tittat på. Tankarna som Newton hade kring detta problem kan vi därför anta var väldigt fundamentala för honom. Däremot har vi sett att flera andra matematiker under samma tid arbetade mycket med samma problem men presenterade och löste det lite annorlunda.

Ett tredje problem som jag vill nämna och kommentera utvecklingen av är problem 1; att hitta fluxionerna. I detta fall har vi sett att det inte till så stor del är problemet och lösningsmetoden som Newton förändrat, men hur det har presenterats analytiskt. Vi såg att Newton gick från att presentera den momentana förändringen i x-‐ och y-‐led med hjälp av kvantiteten o, till att presentera samma förändring med hjälp av 𝑜 × 𝑝 respektive 𝑜 × 𝑞, där p och q var förändringshastigheterna i x-‐ respektive y-‐led. Vad denna förändring beror på är svårt att säga, men kan eventuellt bero på att Newton helt enkelt inte hade en tydlig bild av den nya metoden och vad kvantiteten o egentligen innebar i denna.

Vi har alltså sett att utvecklingen från idé till färdig metod har varit olika mellan de olika problemen. Det är främst problemen som innebär en tillämpning av fluxionsmetodens grunder (problem 3, 4 och 5) som vi har sett att Newton har utvecklat under åren. Det första problemet såg vi inte så stor utveckling av i detta arbete. Till det andra och tredje problemet har jag tyvärr inte funnit tillräckligt med material att göra en jämförelse med och jag kan därför inte säga hur utvecklingen av dessa problem har sett ut. Däremot har vi sett att utvecklingen av både problem 4 och problem 5 har varit stor och har framförallt i problem 4 sett hur Newton har inspirerats av andra matematiker.

Trots att Newtons fluxionsmetod är över 300 år gammal och endast delvis ligger till grund för den moderna kalkylen, kan man ändå se en stark koppling mellan denna metod och den undervisning som sker i gymnasiets matematikkurser idag. Jag skulle främst vilja notera den koppling man kan se i Newtons andra

35

problem. På gymnasiet lär man sig att man behöver dividera med exponenten för att få fram den primitiva funktionen till ett polynom och vi har sett att detta är presenterat på nästan exakt samma sätt i Newtons lösningsmetod. Jag vill även poängtera att Newton tidigt gör läsaren uppmärksammad på att det är relationen mellan rörelsen i x-‐ och rörelsen i y-‐led vi är intresserade av, alltså 𝑦/𝑥. Denna relation tas även fram genom vår moderna derivering som 𝑑𝑦/𝑑𝑥. Alltså, även om Newtons fluxionsmetod kan kännas annorlunda på många sätt, är hans grundprinciper av naturliga skäl inte olika de vi använder idag.

Det är även intressant att titta närmare på hur Newtons tangentbestämning kan kopplas till dagens matematikundervisning. Newton ville i The Method of Fluxions ta fram subtangenten för att sedan kunna rita tangenten till kurvan. Denna metod skiljer sig till viss del från hur tangenter tas fram på gymnasiet. På gymnasiet är vi intresserade av att ta fram tangentens ekvation (på formen 𝑦 = 𝑘𝑥 +𝑚) och får fram k-‐värdet genom derivering. Detta används sedan för att bestämma m-‐värdet, alltså skärningen med y-‐axeln. Vi kan till viss del jämföra detta med Newtons metod. Newton ville, istället för att bestämma tangentens skärning med y-‐axeln, bestämma dess skärning med x-‐axeln och från denna punkt dra tangenten till kurvan. Både Newton och dagens gymnasieelever söker alltså en punkt (skärning med x-‐axeln respektive skärning med y-‐axeln) för att kunna dra tangenten till sin kurva. Genom detta arbete har jag sett hur Newton har hämtat inspiration från andra matematiker runt om i Europa för att utveckla sin fluxionsmetod. De matematiker jag främst uppmärksammat som personer som influerade Newton är Isaac Barrow, Réne Descartes, Pierre de Fermat samt Johann Hudde. Troligtvis har även andra matematiker haft inverkan på Newton, men inte i lika stor utsträckning inom de områden jag har tittat på. Influenser från Hudde genomsyrar i stort sett alla de problem jag har tittat på och man kan tydligt se att Huddes metod var väl mottagen hos Newton. De två franska matematikerna Descartes och Fermat har, vad jag har kunnat se, mest influerat Newton när det kommer till att bestämma tangenten. Isaac Barrow, som vi nämnt var Newtons mentor tidigt i hans karriär, hade också en stor inverkan på Newton vad det gäller detta problem.

I de övriga fyra problemen anser jag inte att Newton har fått några större influenser från andra matematiker, utan har själv löst problemen utefter sina egna metoder. Det bör också nämnas att Newton ansågs vara den första som behandlade problemet om krökning på det sätt han gjorde, och därför istället gav inspiration snarare än fick den från andra matematiker.

Jag har genom detta arbete fått en genomgripande bild av hur Newton har utvecklat de fem första problemen i The Method of Fluxion samt fått en mycket god förståelse för hur problemen är presenterade även i detalj. Genom att gå in på djupet på varje problem har jag fått en bättre förståelse för hur fluxionsmetoden är uppbyggd och grunderna till denna.

7.1 Möjligheter till fortsatt arbete i ämnet Trots att detta arbete behandlat den största delen av Newtons fluxionsmetod samt dess uppkomst och utveckling finns det fortfarande stora möjligheter för fortsatt arbete i ämnet.

36

Nedan har jag presenterat ett par områden som jag, efter att ha skrivit detta arbete, kommit i kontakt med men inte haft möjlighet att fortsätta arbeta med. Jag uppmuntrar starkt till fortsatt arbete med följande område:

• John Colsons kommentarer till The Method of Fluxions: På vilket sätt gjorde han fluxionsmetoden mer tillgänglig och lättförståelig?

• De avslutande sju problemen i The Method of Fluxions: Hur använder Newton fluxionsmetoden i dessa problem?

• Det fortsatta arbetet med krökningsproblemet: Hur behandlades problemet om krökning efter Newton, av bland andra Leibniz och Bernoulli-‐bröderna?

• Newtons användning av krökning i senare arbete: Hur använde Newton sig av krökning i senare arbete inom bland annat mekaniken?

• Mottagandet av fluxionsmetoden: Hur togs metoden emot av matematiker på 1700-‐talet, exempelvis George Berkeley, Colin Maclaurin och Thomas Simpson?

• Kalkylens notation: Varför föredrog man senare Leibniz notation framför Newtons och hur utvecklades notationerna?

37

8 Referenslista Litteratur Baron, Margaret E.: The Origins of the Infinitesimal Calculus. Oxford: Pergamon, 1969.

Boyer, Carl B.: A History of Mathematics. New York: Wiley, 1968.

Boyer, Carl B.: The History of the Calculus and Its Conceptual Development. New York: Dover, 1959.

Burton, David M.: The History of Mathematics: an Introduction, 5 uppl. Boston: McGraw-‐Hill, 2003.

Chatak, Ajoy. Optics. New Delhi: Tata McGraw-‐Hill, 2009.

Guicciardini, Niccolò. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method. Cambridge: MIT Press, 2011.

Guicciardini, Niccolò: The Development of Newtonian Calculus in Britain 1700-‐1800. Cambridge: Cambridge U.P., 1989. Katz, Victor J.: A History of Mathematics: an Introduction, 3 uppl. Boston: Addison-‐Wesley, 2009. Lund, Jens: Från tangent till derivata: en historisk överblick, 2 uppl. Skebobruk: KUB, 2002.

Newton, Sir Isaac: The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Applications to the Geometry of Curve-‐Lines. London: John Nourse, 1736.

Perkins, David: Calculus and Its Origins. Mathematical Association of America, 2012.

Simmons, George F.: Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics. Mathematical Association of America, 2007. Westfall, Richard: Never at Rest: A Biography of Isaac Newton. Cambridge: Cambridge U.P.: 1980.

Whiteside, D.T.: The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol I. Cambridge: Cambride U.P., 1967.

Tidskrifter Bos, H.J.M.: Differentials, Higher-‐Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus. Archive for History of Exact Sciences, Vol. 14, No. 1 (1974): 35-‐42. http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00327456# (Hämtad 2013-‐11-‐19)

Cajori, Florian: Notations of the Calculus. Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.), Vol. 27, No. 9-‐10 (1921): 453-‐458. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183425732 (Hämtad 2013-‐11-‐27).

Suzuki, Jeff. The Lost Calculus (1637–1670): Tangency and Optimization without Limits. Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 5 (2005), pp. 339-‐353. http://www.jstor.org/stable/3004419 (Hämtad 2013-‐11-‐28)

38

Websidor Lucasian Chair. John Colson. http://www.lucasianchair.org/18/colson.html (Hämtad 2013-‐11-‐14)

Nationalencyklopedin. Reneé Descartes. http://www.ne.se/lang/rene-‐descartes (Hämtad 2013-‐11-‐15)

Princeton University. Michael S. Mahoney. The Mathematical Realm of Nature. http://www.princeton.edu/~hos/Mahoney/articles/mathnat/mathnatfr.html, (Hämtad 2013-‐11-‐06)

Villa Nova University. Dan Margalit. The History of Curvature. http://www3.villanova.edu/maple/misc/history_of_curvature/k.htm (Hämtad 2013-‐12-‐10)

Documents

Fluxionsmetoden i teori och praktik – En …692270/...somutgör$en$stor$del$av$gymnasiematematiken.$Isaac$Newton$komunder$slutet$ av1600Dtalet$framtill$en$metod$för$att$lösa$kalkylens$två$problem;$att$bestämma$