Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika Wykład 8

23.XI.2017

Moment siły

23.XI.2017 Wykład 8

FrM

Moment siły rośnie ze wzrostem siły i odległości punktu jej przyłożenia od osi obrotu. Ważny jest kąt między kierunkiem siły i promienia.

23.XI.2017 Wykład 8

Ogólna definicja momentu siły

Trzy czynniki: 1. Wartość siły 2. Odległość punktu przyłożenia od osi obrotu 3. Kąt przyłożenia

FrM

Moment siły

23.XI.2017 Wykład 8

FrM

Trzy czynniki: 1. Wartość siły 2. Odległość punktu przyłożenia od osi obrotu 3. Kąt przyłożenia

Fr

23.XI.2017 Wykład 8

Znak momentu siły

Gdy siła generuje przyspieszenie zgodne z ruchem wskazówek zegara moment siły jest ujemny; gdy ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara moment siły jest dodatni. Iloczyn wektorowy wyjaśnia wszystko.

FrM

0M

0M

Prawoskrętny układ współrzędnych

23.XI.2017 Wykład 8

x z

y

x y

z

yxz

Środek masy a równowaga

23.XI.2017 Wykład 8

Rozciągły obiekt zrównoważyć możemy wykorzystać pojęcie środka masy. Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy, gdy działające na nią siły i momenty sił równoważą się:

Statyka

23.XI.2017 Wykład 8

Warunek równowagi:

00 dt

pdFF

i

zew

i

zew

00 dt

LdMM

i

zew

i

zew

Siły, z którymi na ogół będziemy mieć do czynienia, to siła ciężkości i siły reakcji więzów

Środek masy a równowaga

23.XI.2017 Wykład 8

Rozciągły obiekt w jednorodnym polu grawitacyjnym jest w równowadze gdy podparty jest pod lub nad środkiem masy. Ten fakt może posłużyć do empirycznego wyznaczenia środka masy układu

Ruch obrotowy – moment pędu

23.XI.2017 Wykład 8

Definicja dla punktu materialnego:

prvrmL

Wprowadzając pojęcie momentu bezwładności dla punktu materialnego:

r

vrvmrI 2

Mamy:

IL

Moment pędu – ruch na płaszczyźnie

23.XI.2017 Wykład 8

Moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci:

22 mrLr

vmrL

mrvLvvrmL r

IL ˆ

Zasada zachowania momentu pędu

23.XI.2017 Wykład 8

Siły centralne Jeśli układ ciał (lub pojedyncze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna to pęd układu musi się zmieniać: Siły które działają na układ często są siłami centralnymi - działają w kierunku ustalonego źródła siły. Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu

Przykład: • siła grawitacyjna: • siła kulombowska • siła sprężysta Czy można coś “uratować” z zasady zachowania pędu ?.

0totF

constpi

rtot irFF ,...

2

21

r

mmGrF

2

21

r

qqkrF

rkrF

Zasada zachowania momentu pędu

23.XI.2017 Wykład 8

FrM

Równanie ruchu:

IprL

MFrpv

dt

pdrp

dt

rd

dt

prd

dt

Ld

0

constLM 0

Przykład: Wirujące koło

1. Koło i student(ka) nie wirują 2. Student rozkręca koło przy pionowej osi

koła z momentem pędu w górę (co się dzieje z krzesłem?) Krzesło rotuje z momentem pędu w dół.

3. Zatrzymujemy ręką rotację koła. Co się dzieje z krzesłem?.

23.XI.2017 Wykład 8

L1 = L2 = L3 Krzesło zatrzymuje się

Pytanie 1 [1] Spoczywam trzymając rotujące koło [2] Odwracam oś rotacji koła, a krzesło zaczyna rotować Pytanie: Co się stanie jeśli [3] odwrócimy jeszcze raz?

(a) rotacja ustaje; (b) zwiększa się 2x; (c) pozostaje b.z.

[1] [2]

??

[3]

Wykład 8 23.XI.2017

Dwukrotne odwrócenie koła

LNET

LW LS

LNET

LW

LNET

brak obrotu

LW

[1] [2] [3]

Wykład 8 23.XI.2017

Ruch obrotowy – moment bezwładności

23.XI.2017 Wykład 8

Dla punktu materialnego:

prvrmL

Przy wprowadzeniu pojęcia momentu bezwładności dla punktu materialnego:

2mrI

IL

Dla układu punktów materialnych względem osi obrotu:

i

iirmI 2

Dla ciągłego rozkładu masy:

2rdmI

Moment bezwładności - pręt

23.XI.2017 Wykład 8

Jednorodny pręt wokół osi przechodzącej przez środek liczymy z definicji:

Jednorodny liniowy rozkład masy:

2rdmI

dldml

M

1212322

3222

23

3

32/

0

3

0

2

2/

0

2 lM

llldllldlI

ll

Jednorodny pręt wokół osi przechodzącej przez koniec pręta:

333

23

0

3

0

2

0

2 lM

lldllldlI

lll

Moment bezwładności - przykłady

23.XI.2017 Wykład 8

Dla ciała jednorodnego (=const=M/V):

Gdzie:

Obręcz (pusta w środku) obrót wokół osi symetrii. Wszystkie punkty równoodległe od osi:

2rdmI

2222 rMrdv

dv

Mrdv

V

MrdvI

2r średni kwadrat odległości od osi obrotu

Stosunek momentu bezwładności do masy zależy od kształtu i rozmiarów ciała:

2rM

I

222 MrIrr

Moment bezwładności - przykłady

23.XI.2017 Wykład 8

Obręcz (pusta w środku) obrót wokół średnicy, oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu – oś Y:

2

212

2122

22222

MrIryr

yxiryx

Sfera (pusta w środku) obrót wokół osi symetrii:

2

322

32222

2222222

MrIryxr

zyxirzyx

Twierdzenie Steinera – o osiach równoległych

23.XI.2017 Wykład 8

Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości S Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi... Moment bezwładności względem osi równoległej 0, odległej o h od osi S: (XY: układ środka masy)

22

222

22222

.0

2

2

MhIISteineraTwIMhI

rmxmhmhrmI

rhxhyhxr

SOSO

iS

i

ii

i

i

i

iiO

i

iO

iSiiiiO

Moment bezwładności - koło

23.XI.2017 Wykład 8

Krążek wokół osi symetrii:

Względem osi równoległej na obwodzie koła z Tw. Steinera:

222

02

3

2MRMR

RMI

2. MhIISteineraTw SO

rdrdmR

M

2

2

2422

2

0

432 R

Mr

drrrdmI

R