Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika Wykład 7

16.XI.2017

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Układ izolowany Każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu.

Układ izolowany- Brak oddziaływań ze światem zewnętrznym

III zasada dynamiki Siły z którymi działają na siebie ciała i i j:

jiij FF

Suma sił działających na ciało i:

j

ji

sum

i FF

Suma sił działających układ:

tot

j i

ij

i j

ji

i

sum

itot

FF

FFF

0 totF

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Druga zasada dynamiki

sum

ii F

dt

pd

constpF

pFF

i

itot

i

idtd

i

dt

pd

i

sum

itoti

0

Dla dowolnego układu izolowanego, suma pędów wszystkich elementów układu pozostaje stała.

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Oddziaływanie dwu ciał Układ rozpada się pod wpływem sił wewnętrznych. Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają,

0i

ip

to po rozpadzie suma pędów musi też pozostać zerowa. Dla dwu ciał: (vi<<c)

2

1

1

21

2

12

2211 0

m

m

v

vv

m

mv

vmvm

Zderzenia sprężyste (z.z.e+z.z.p.)

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Przed zderzeniem

m1

Po zderzeniu

m2 m1 m2 v v=0 v2 v1

z.z.p. 221111 vmvmvm

222

22

22

2

11

2

1 vmvmvmz.z.e.

1

2

12 vv

m

mv

z (2) 212

2

2

12

2

1

2

1 vvm

mmvvm

211112 vvmvvvvm

vmm

mmvvvmvvm

21

2111112

Zderzenia niecentralne

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

222:

0sinsin:

coscos:

2

11

2

22

2

11

1

'

112

'

22

111

'

112

'

22

vmvmvmE

vmvmp

vmvmvmp

k

y

x

21

'

2

'

1 ,,, vvSzukamy: Mamy jednakże tylko 3 równania ! Musimy ustalić jeden z parametrów rozproszenia

Zderzenia niecentralne

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

2

1

2

2

2

1

1

'

2

'

1

vvv

vvv

!2

21

Gdy m1=m2 problem jest prosty

Wektory: '

2

'

11, vivv

tworzą trójkąt prostokątny

Zderzenia- podstawy

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

dt

pdF

dt

pd

dt

vmd

dt

vdmamF

constm

gdzie: vmp

t

IdtFp - popęd siły

Podczas zderzenia obiekt A działa na B siłą F(t) a B na A siła –F(t). Siły F(t) i –F(t) stanowią parę sił akcja –reakcja. Ich wartości, choć zmienne, w każdej chwili są sobie równe.

Zderzenia cząstek elementarnych

1. Pierwsza fotografia toru pozytonu w komorze Wilsona zarejestrowana przez Andersona 2 sierpnia 1932 r.

2. Produkcja par elektron pozyton

Kołyska Newtona

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Zderzeniem całkowicie niesprężystym (całkowicie nieelastycznym) nazywamy zderzenie, w wyniku którego ciała pozostają trwale złączone (lub nie poruszają się względem siebie) Gdy jedno z ciał spoczywa, Pęd początkowy:

11vmpi Pęd końcowy:

221 vmmpk Zasada zachowania pędu:

1

21

12 v

mm

mv

pp ki

Wahadło balistyczne

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

11vmpp 221 vmmpk

1

21

12 v

mm

mvpp kp

mghv

mm

2

221

2

Z zasady zachowania energii wyliczamy h.

Zderzenia

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Krater po zderzeniu meteorytu z Ziemią w

Arizonie

Zderzenie zachodzi wtedy, gdy dwa lub więcej ciał działają na siebie stosunkowo dużymi siłami w krótkim przedziale czasu.

Zderzenia auta o predkości 100 km/h z drzewem trwa ?

smhkm /30/100 Deformacja auta ok. 0,5m. Wobec tego czas hamowania (zderzenia?) :

msshkm

smmvdt

33033,0/100

/15/5,0/

Crash-test - analiza

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Jakie średnie przyspieszenie?

gs

m

s

sm

t

va

1001000

033,0

/30

2

mdmst 5,033

Jaka średnia siła?

tonNs

smkg

t

pF 10010

033,0

/3010 63

Środek masy

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

m1 X

Xśm

d

m2

dmm

mxsm

21

2

21

2211

mm

xmxmxsm

Gdy początek układu w obiekcie m1 to x1=0, x2=d,

Środek masy

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

21

2211

mm

xmxmxsm

X X

m1

Xśm

d

m2

X1

X2

Uogólnienie na n mas:

u

smm

xmxmx 2211

lub

n

i

ii

u

sm xmm

x1

1

11 xm

Gdzie: 21 mmmu

Środek masy – trzy wymiary

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

n

i

ii

u

sm xmm

x1

1

n

i

ii

u

sm zmm

z1

1

n

i

ii

u

sm ymm

y1

1

Lub w zapisie wektorowym:

Położenie cząstki można zapisać: kzjyixr iiiiˆˆˆ

Położenie środka masy: kzjyixr smsmsmsmˆˆˆ

Zamiast trzech równań skalarnych dostajemy jedno wektorowe:

n

i

ii

u

sm rmm

r1

1

Trzy równania skalarne:

Środek masy – ciała rozciągłe

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

n

i

ii

u

sm xmm

x1

1 dmx

mx

u

sm

1

dVV

mdVdm u Dla ciał

jednorodnych

dVxV

dVxV

m

mdmx

mx u

uu

sm

111

Gdy ciało ma symetrię, środek ciężkości znajduje się na osi symetrii, a położenie jego wyznaczamy dla zmiennej nie mającej symetrii.

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

m

bF

ra

aQ

Oddziaływanie dwu ciał Równia rusza się bez tarcia po poziomym stole. Na równi kładziemy klocek, który może zsuwać się bez tarcia. Jak znaleźć przyspieszenia, z którymi będzie poruszał się klocek i równia?

Możemy teraz wyznaczyć składową x tego przyspieszenia w układzie stołu, i porównać z wrtością oczekiwaną z zasady zachowania pędu:

rb amF Przyspieszenie klocka wzdłuż równi

cossin raga

2sin

cossin

2 ;sincossincos

mM

mr

rxrrx

ga

Mamaagaaa

Zasada zachowania pędu

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

mg

ra ka

M

Oddziaływanie dwu ciał Zagadnienie daje się łatwo rozwiązać w układzie nieinercjalnym związanym z równią. W układzie tym na klocek działa dodatkowo siła bezwładności

Jeśli masa klocka nie jest zaniedbywalna w porównaniu z masą równi to równia będzie “uciekać” spod zsuwającego się klocka. Wynika to z zasady zachowania pędu! Siły zewnętrzne (siła ciężkości i reakcji stołu) mają kierunek pionowy i mogą zmieniać tylko składową pionową pędu układu równia-klocek. Składowa pozioma pędu musi być zachowana!

Ruch ciał o zmiennej masie

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

dt

pdF II zasada dynamiki

może być w szczególności wykorzystana do opisu ruchu ciała o zmiennej masie.

W ogólnym przypadku: tvrmm ,,

Silnik rakietowy napędza rakietę na zasadzie odrzutu. Jej masa maleje. Rozważmy pracę silnika rakiety z punktu widzenia zasady zachowania pędu. W przedziale czasu dt masa rakiety maleje z m do m+dm (dm<0 bo masa maleje). Od ciała o masie m+dm poruszającego się z prędkością v odłącza się element −dm>0 poruszający się z prędkością w.

Saturn 5

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Apollo 11, 16 lipca 1969

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Ruch ciał o zmiennej masie

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

W wyniku odrzutu rakieta zmienia swoją prędkość o dv .

Z zasady zachowania pędu:

odrzr vdmvdmpd

Siła odrzutu (siła ciągu rakiety):

0dt

dmv

dt

dm

dt

pdF odrzodrz

odrzvvdmdvvdmmmv

0 odrzodrz vdmmdvvvdmdvvdmmdv

Ruch ciał o zmiennej masie

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Ruch ciała pod wpływem siły odrzutu:

Gdy brak sił zewnętrznych: Po wycałkowaniu stronami:

odrzzewn vdt

dmF

dt

vdm

dt

pd

odrz

odrz

odrz

vdm

vdm

vdt

dm

dt

dm

dm

vdm

vdt

dm

dt

vdm

k

odrzk

kodrzk

m

m

odrz

v

v

odrz

m

mvvv

m

mvvv

m

dmvvd

m

dmvvd

kk

00

0

0

ln

ln

;

00

Wzór Ciołkowskiego !

Przykład – rakieta jednostopniowa

16.XI.2017 Fizyka 1 - Wykład 7

Rakieta o masie mR ma wynieść satelitę o masie mS zużywając paliwo o masie mP:

Wzór Ciołkowskiego daje prędkość końcową:

RSm

m

odrz

RS

PRSodrzk

mmf

fvmm

mmmvv

R

P

1lnln

Jakie f dla vk=11km/s i vodrz=3km/s ? Irracjonalne!

381exp

odrz

k

v

vf