PAZARA TIBERIU CULEGERE DE PROBLEME REZOLVATE DE FIZIC PENTRU
STUDENI Editura Academiei Navale Mircea cel Btrn Constana, 2009
CUPRINS CAPITOLUL IOSCILAII.. 7 CAPITOLUL II UNDE ELASTICE I
ELECTROMAGNETICE .. 36 CAPITOLUL III TERMODINAMIC . 76 7 CAPITOLUL
I OSCILAII 1. Un punct material oscileaz armonic cu amplitudinea A
= 5cm i perioada T = 4 s. a) S se gseasc valorile maxime ale
vitezei i acceleraiei de micare a punctului material. b) S se
gseasc momentul cnd viteza i acceleraia sunt maxime, faza iniial a
micrii fiind = 0. a)cos( ) x A t + 122 sT sin( )dxv A tdt + 2cos(
)dva A tdt + v = vmax max5sin( ) 1 ( 1)2t v A A + a = amax
22max5cos( ) 14t a A + t b) deoarece = 0, condiiile de maxim vor
fi: maxsin 1 (2 1) 2 12v v t t n t n + +maxcos 1 2 22a a t t n t n
t unde 12 s 2. S se afle amplitudinea i faza iniial a micrilor
descrise de urmtoarele ecuaii:a) 2( ) 20sin 15 x t t b)( ) 3 sin 6,
28 cos 6, 28 xt t t + a) 0 ; 10 ) 30 cos 1 ( 10230 cos 120 ) (22
cos 1sin2 A ttt x b) sin sin sin6, 28 cos cos6, 283 3 33 ( ) sin6,
28 cos6, 283cos cos3 3t ttg x t t t + + 8 cos 6, 2832 cos 2 2 ;3
3cos3tt A _ _ , , 3.Unpunctmaterialexecutooscilaiearmonicduplegeat
t t x 2 cos 2 sin 3 ) ( .Caresunt amplitudinea, perioada i faza
iniial a micrii? sin sin sin 2 cos cos 23 3 3( ) tg sin 2 cos 2 sin
2 cos 23cos cos3 3t tx t t t t t 2cos 23t _ , Rezult:2 A ; 2 22T ;
3 . 4.
Fazainiialaunuipunctmaterialaflatnmicareoscilatoriearmonicestenul.Laoelongaie
12, 4 x cm ,vitezapunctuluimaterialeste 13 / v cms ,iarlaoelongaie
22,8 x cm ,vitezaeste 22 / v cms . S se gseasc ecuaia de micare a
punctului material. sin( ) x A t + Dar = 0sin x A t Pentru a afla
ecuaia de micare trebuie determinate A i . cosdxv A tdt Din datele
problemei se poate scrie: 1 1 1 12 2 2 2sin ; cossin ; cosx A t v A
tx A t v A t ' ( )( )2 21 12 2 2 2 22 22 2 21 11 12 2 2 22 2 2 2 22
2 2 2 2 22 2 211sin cos 1sin cos 1 11x vA x vt tA At t x v A x vA
A+ + + + ' ' '+ + + + ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 1 2 2 2 1 1
2 2 22 1v vx v x v x x v vx x + + Iar 2 2 21 121x vA ++ 9
5.EnergiatotalaunuimaterialceexecutooscilaiearmonicesteJ Et510 3 .
Foramaxim ce acioneaz asupra lui este F = 1,5 10 3 N. S se scrie
ecuaia de micare dac perioada de oscilaie este T = 2 s i faza
iniial 3 . Legea de micare a corpului este:( ) + t A t x sin ) ( .
T 2 Rmne de determinat amplitudinea. 8352max10 42 10 5 , 110 32
AAkAkAFEt 6.AmplitudineadeoscilaieaunuipunctmaterialesteA = 2 cm,
energia total 33 10tE J . Pentru ce elongaie fora elastic are
valoarea 32, 25 10 N? kFx x k Fee 2222 AEkkAEtt cmAEFxte5 , 122 7.
Legea de oscilaie a unui punct material de masg m 2 este:
,_
t t B x 10 cos3110 sin , unde3 5 BS se determine: a)vitezamaxim
a punctuluimaterialndecursuloscilaiei imomentulde timpla care se
realizeaz, considerat din momentul n care a nceput micarea; b)fora
maxim ce acioneaz asupra punctului material n decursul micrii. a)
,_
,_
t tg t t t B x 10 cos610 sin 3 5 10 cos3110 sin
,_
610 sin 106cos10 cos6sin6cos 10 sin3 5 tt t 10
,_
610 cos 100 t vs m v v / 100max pentru 601610 cos ,_
t tb)N A m kA F 22max 8. Un corp execut o micare dat de
legea:
,_
+ 46 sin 4 ) (2t t x[cm]
Ssedemonstrezecmicareaesteunaoscilatoriearmonicissecalculezeamplitudinea,faza
iniial, perioada i viteza micrii.
,_
+
,_
+ ,_
+ 212 cos 2 2246 2 cos 1446 sin 4 ) (2ttt t xA = 2; 2 ; 62 T
;,_
+ 212 sin 24 t v
9.Ssedetermineamplitudineaoscilaieiarmoniceaunuicorpdaclaunmomentdatraportul
dintre ptratul vitezei i acceleraie are valoarea , iar diferena
dintre amplitudine i elongaie este . ( ) + t A x sin( ) + t A v
cos( ) + t A a sin2 ( )( )( ) ' + + + ' 2sinsincos22 2 22At A At At
Ax Aav 10. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de dou
resorturi ideale identice, fiecare cu constanta elasticN/m 40 k
,astfelnctlaechilibrusistemularatcanfigurademaijos,valoareaunghiului
fiind de 450. S se determine: a) alungirea resorturilor la
echilibru; b) perioada oscilaiilor verticale ale corpului. 11 La
echilibru: sin sin 2 sin 2 sine e eF F mg F mg k y mg + unde y este
alungirea. 22 sin 10mgyk 2 222 5k mTm k
11.Unresortideal,suspendatvertical,arelegatlacaptulliberuncorpcumasam1,perioada
oscilaiilorarmonicefiindT1.Dacseadaugomassuplimentarm2,resortulsealungetecuh,iar
pendululoscileazcuperioadaT2.tiindcdiferenantreperioadeledeoscilaieesteT,sseafle:
constanta elastic a resortului, perioadele T1 i T2, precum i masa
m2. Din datele problemei se pot scrie urmtoarele ecuaii: 11 11 1
122m k kTm T m k 1 22 21 2 2 1 222m m k kTm m T m m k+ + + 1k y m g
1 2( ) ( ) k y h m m g + + 2 1T T T n aceste ecuaii necunoscute
sunt:y , T1 i T2, m2 i k. Dup ce se eliminy , se afl pe rnd m2 : 12
222mmg Th T _ , apoi T1 i T2 i k. 12. Un corp execut o micare
oscilatorie dat de ecuaia: 12 x = x0 (sint + 31cost). S se afle: a)
amplitudinea (A) i faza iniial () a micrii oscilatorii b) raportul
dintre Ec i Ep n momentul n care oscilatorul trece prin punctul de
elongaie x1=A/4. 0 0 000 0sin16sin cos sin cos sin cos6 3cos6sinsin
cos sin cos2 66 6sin6 3 3cos62x x t t x t tg t x t ttt txx x t _ _
_ + + + , , , _ + + _ , + , Rezult: 02;6 3xA 2 2 2; ;2 2 2c p t c
pmv kx kAE E E E E + 2 222 211 1 1154 416;2 2 2 2 2p c t pA AkAk
kkx kAE E E E _ _ , , 212115421542cpAkEEAk _ , _ ,
13.Ssedetermineperioadaipulsaiaunuicorpcumasam = 5 kg suspendat de
un resort ce se alungete sub aciunea acestuia cu x = 9,8 cm. La
echilibru: 12105ek g gF mg k y mg s T sm y y
14.Ssedetermineamplitudineaifazainiialauneioscilaiiarmonicedaclamomentuliniial
corpulcareexecutmicareaseaflladistanax0=1cmfadepoziiadeechilibruiarevitezav0=0,6
cm/s, perioada micrii fiind T = 3,14 s. 2T13 Din condiiile iniiale,
la 00(0)0:(0)x xtv v ' Deoarece este o micare armonic: ( ) sin( ) x
t A t + ( ) cos( )dxv t A tdt + Atunci, condiiile iniiale devin:
00sin (0) sin(0) cos cosx A x Av A v A ' ; ' 0 0 000 0cossinx v vv
ctg arcctgx x Deci, 000sinxAvarcctgx. 15. Un resort suspendat n
punctul O are o lungime l = 40 cm. Un corp de greutate G = 20 N,
atrnat
decellaltcaptalresortuluiiimprimoalungirel=4cm.RidicndcorpulastfelcaOA=42cmi
lsndu-l liber, s se afle perioada de oscilaie, fora maxim de
ntindere a resortului i s se scrie ecuaia de micare. 2eg lF mg k l
mg Tl g La momentul iniial (t = 0): (0) 2(0) 0x cmv ' Corpul
oscileaz armonic, deci legea de micare este: ( ) ( ) sin x t A t +
( ) ( ) cos v t A t + Din condiiile iniiale se obine: 14 2(0) sin
sin 2 sin 2(0) cos cos 0 cos 02A cmx A A Av A A ' ' ' ' maxF kA
16.Uncorpcumasam=10kgseaflpeunsuportorizontalpecaresepoatemicafrfrecare,
fiindracordatladouresorturideconstanteelasticek1=4103N/mik2=5103N/m.npoziiade
echilibru,celedouresorturisuntnedeformate.Ssegseasclegeademicareiperioadadeoscilaiea
corpului dac la momentul iniial se afl la distana x = 4 cm fa de
poziia de echilibru i are o vitez v = 90 cm/s. 1 21 2( ) 0ma k x
kxma k k x + + 2 21 21 2 2 2( ) 0 0k k dx dxm k k x xdt dt m++ + +
2 1 21 22k k mTm k k+ + Deci soluia ecuaiei, adic legea de micare
va fi de forma( ) sin( ) x t A t + . La t = 0 : 00(0) 4(0) 90 /x x
cmv v cms ' Rezult: sin 41 2 2 4;cos 90 45 45 sinAtg arctg AA ' 17.
De un resort aezat vertical se suspend o greutate. Sub aciunea ei,
resortul se alungete cu l = 5cm. Careeste legeademicare a greutii
dac lamomentuliniialea se afl nechilibru i i seimprimo vitez pe
vertical n jos v0 = 20cm/s? (g = 10 m/s2). y(t) = Asin(t+) v(t) =
Acos(t+) La t = 0: 00(0) 0 (0) sin sin 0 sin 0 020(0) (0) cos cos
20 20y y A Av v v A A A A ' ' ' ' ' ' mg = kl k gm l 15
18.Uncorpcumasam=4kgestesuspendatdeunresortidealceareconstantaelastic
N/m 900 k
.Corpulestempinsnsuscu50mmfadepoziiadeechilibruiapoiesteeliberatdin
repaus. Aflai legea de micare a corpului. Corpul oscileaz armonic,
deci legea de micare este: ( ) + t A x sin ; ( ) + t A v cosDin
condiiile iniiale (la t = 0): ''' 0 cos50 sin A0 cos A 50 sin A0 v
) 0 ( vmm 50 x ) 0 ( x00 mm 50 A250 sin A ' 1s 15mk 19. Un corp cu
masa m = 0,8 kg este suspendat de un resort ideal cu constanta
elasticN/m 80 k . Dac se imprim corpului o vitezm/s 0,8 v n
momentul cnd acesta se afl la 4 cm n sus fa de poziia
deechilibru,ssedeterminelegeademicareacorpuluiconsiderndcvitezaaplicatesteorientatspre
poziia de echilibru a corpului. Corpul oscileaz armonic, deci legea
de micare este: ( ) + t A x sin ; ( ) + t A v cos 110ksm Din
condiiile iniiale (la t = 0): 00(0) 0,04 sin 0,041 0,04 1tg(0) 0,8
/ cos 0,8 0,8 2x x m Aarctgv v ms A ' ' 0, 04sinA
20.Ecuaiauneimicrioscilatoriiamortizateeste:t e xt2sin 525 , 0
[m].Careesteviteza punctului material la momentele t = 0, T, 2T, 3T
i 4T? 0,25 0,25( ) 0, 25 5 sin 5 cos2 2 2t tv t e t e t +16 2422T
(0) 52v ; 1( ) 52v T e ; 2(2 ) 52v T e ; 3( ) 52v T e ; 4( ) 52v T
e 21.Unmobilseaflntr-omicareoscilatorieamortizatdescrisdeecuaia ( )
cos( )tx t Ae t + . S se afle momentul n care viteza se anuleaz
prima oar. cos( ) sin( )t tdxv Ae t Ae tdt + + 0 [ cos( ) sin( )]
0tv Ae t t + + + 1tg( ) t t arctg t arctg 1 _ _ + + 1 , , ]
22.Unpunctmaterialcumasam=100g,suspendatdeunresort,oscileazsubaciuneaforei
elastice a acestuia.
a)dacpentruoelongaiex=1cm,foraelasticarevaloareaF=10
1N,sseaflepulsaiamicrii proprii; b) n prezena unei fore de rezisten
(proporional cu viteza) care are valoareaN 103 Rpentru o vitez v =
1 cm/s, care este noua pulsaie a micrii? c) care este decrementul
logaritmic al amortizrii? d) dac la momentul iniial corpul este n
poziia de echilibru i i se imprim o vitez v0 = 1 cm/s, care va fi
ecuaia de micare a lui n condiiile de la punctul b) i care va fi
deplasarea maxim a lui fa de poziia de echilibru? a) mk 0 xFk x k
Fee ; deci10101021 xFk 110101010 sb) n prezena unei fore de
rezisten, corpul va oscila amortizat. Deci, noua pulsaie a micrii
va fi: 2 20 17 123101010 vRv v R v Fr 2110 2102211 m m c) 2Td)
Corpul oscileaz amortizat i, deci, legea de micare este: ( ) t Ae t
xtcos ) (Iar viteza este:( ) ( ) t Ae t Ae t vt tsin cos ) (Din
condiiile iniiale (t = 0): ' s cm v vx/ 1 ) 0 (0 ) 0 (0 se obin
amplitudinea i faza iniial. ' + ' + '1 sin cos0 cossin cos ) 0 (cos
) 0 () 0 (0 ) 0 (0A AAA A vA xv vx 1120 cos A A
23.UncorpcugreutateaG=49Nexecutoscilaiiamortizatentr-unmediuacruiforde
rezistenesteproporionalcuviteza.Cunoscndpseudoperioadadeoscilaie 4T
s ,decrementul logaritmic 32 i, tiind c la momentul iniial x = x0 =
10 cm i v = v0 = 20 cm/s, s se determine legea
demicareicoeficientuldeamortizare.ncazulncarecoeficientuldeamortizarecretede3ori,sse
determine noua lege de micare. 3;4 2T s Din condiiile iniiale, la
00(0)0:(0)x xtv v ' 18 2 2 202 2 2101102 2843( )2ln 6( )464 36
10sTA tT sA t T Ts + ' + + 0( ) cos( )tx t Ae t > este o
oscilaie amortizat (cazul rezistenelor mici) ( ) { cos( ) [ sin(
)]}[ cos( ) sin( )]t ttdxv t A e t e tdtv Ae t t + (0) cos 10(0) [
cos sin ] 20x A cmv A cm cos 106 cos 8 sin 20(6cos 8sin ) 208 sin
40 sin 10A cmA A cmA cmA cm A ' ; 101 ( 1)10tg arctg 2mGG mg mg 1
11 11 132 6 182m m sm ' 2 2 2 21 1 0 1 1 0( ) ( )1 0 1 2( )t tx t C
e C e+ > + este o oscilaie amortizat (cazul rezistenelor mari) 2
2 2 2 11 018 10 15s 3 331 23 331 2( )( ) 3 33t tt tx t C e C ev t C
e C e + 1 2 1 21 21 210 3 (0)(0) 3 333 33 20C C x C Cv C CC C + + '
' 2 2 15 5 3530 50 103 3 3C C C + 19
24.Unoscilatoramortizataremasam=1kgicoeficientuldeamortizare0, 2 /
g s .Sse calculeze timpul n care amplitudinea scade la 10% din
valoarea sa la momentul t = 0. 22 m m ( )tA t AeLa t = 0:(0) A A La
t = : 2( )mA Ae Dar( ) 10% (0) A A . 1 11 ln10 ln1010 ln10102Ae A
em 25. Un corp cu masa m = 0,4 kg este suspendat de un resort cu
constant elastic k = 200 N/m. Dac pseudopulsaiaestemaimiccu0,005s1
dectpulsaiaproprieapendulului,ssedeterminecoeficientul de rezisten
al forei care produce amortizarea (fora de rezisten este
proporional cu viteza). 2 2mm 0km00, 005 22 2 2 2 2 2 20 0 00,005k
k km m m _ , 22 0, 005k kmm m _ ,
26.Uncorposcileazamortizatcufrecvenapropriede1Hz.Ssedeterminepseudopulsaia
oscilaiiloramortizatedacamplitudineaacestorascadedela25cmla12,5cmdup10sdelanceperea
micrii. Fora de rezisten este proporional cu viteza. Se cunoate
c693 , 0 2 ln . 2 20 0( )tA t A e20 00(0)( )A AA A e ' dar10s ;(0)
25 A cm ;( ) 12, 5 A cm 01010025ln 2210 12, 5AeA e ' Se nlocuiete i
se afl pseudopulsaia.
27.Uncorpefectueazomicareoscilatorieamortizat,foraderezistenfiindproporionalcu
viteza.PseudoperioadaesteT=0,25s.Dacnprimele10sdelancepereamicriiamplitudineaoscilaiilorscadede5ori,sse
determine: a) factorul de amortizare a oscilaiilor b) decrementul
logaritmic al amortizrii c) perioada proprie a oscilaiilor Se
cunoate ln5 = 1,6. a) la t:( )tA t Ae la t = 10 s : ( 10)( )(
10)5tA tA t Ae ++ ( 10) 10 1ln55 10 ln55 10ttAeAe e + b)T c) 0 00
02 2TT 2 2 2 2 20 0 + 02 22T+ 28. Un corp cumasam = 0,25 kg
suspendat de un resort idealefectueaz oscilaii amortizate,fora
defrnare fiind proporional cuviteza corpului. Dacelongaiamaxim a
resortului scade la un sfertdup N = 10 oscilaii complete, efectuate
n timpul t = 8,4 s, s se determine: a) coeficientul de amortizare
al oscilaiilorb) decrementul logaritmic c) constanta elastic a
resortului 21 a)la momentul t: 1tA Aela momentul t + t: ( )2t tA Ae
+Dar: ( ) 1 12ln44 ln44 4tt t tA AeA Ae e tt + Coeficientul de
amortizare este2m . b)Perioada micrii corpului este: 0, 84tT sN
Decrementul logaritmic este: T c)Constanta elastic se determin
astfel: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 20 02( )kk m mm T 1 _ + + + + 1 , 1 ]
29.Osferderazrestelegatdeunresortdeconstantelastick.Sferaoscileazncetntr-un
lichid vscos de vscozitate . S se calculeze raza sferei n aa fel
nct, n timp de o perioad amplitudinea oscilaiei s scad de 2 ori. Fr
= v 6 r ( ) 1( )( )( )2( ) 2 ln 22( )tt t T Tt TA tA t TAeA t Ae Ae
e TA t T Ae + ++ ;+ 622 3r mrm m Deci ln 23 3m mrT 2 2 20 ( )2 22
22 ln 24 ln 2k mTT m T k _ _ + , , ( )2 22 ln 26 4 ln 2mrmk + 22
30.Asupraunuicorpcumasam=0,5g,aflatladistanax=2cmfadepoziiadeechilibru,
acioneaz o for elastic F = 1,936 N.
a)daccorpulestelsatliberiseneglijeazfrecrile,careesteecuaiamicriiconsiderndcseafln
poziia de echilibru i are vitezacm/s 40 v ? Care este energia total
a acestui oscilator? b) dac oscilaia ar fi amortizat, cefactor de
amortizare ar trebui s aib mediul pentru ca dup t = 0,23 s,
amplitudinea micrii s fie numai 0,2 mm?
c)cepulsaieartrebuisaiboforexterioarsinusoidalcareacionndasupracorpuluiarproduce
fenomenul de rezonan? a) Fiind o oscilaie armonic, legea de micare
este: ( ) + t A t x sin ) (Condiiile iniiale sunt: ' s cm v vx x/ 4
) 0 (0 ) 0 (00 ( ) + t A t v cos ) ( ' ' 44 0 0 sin4 cos0 sincos )
0 (sin ) 0 (A AAAA vA x mk La distana x, xFk x k F JkAEt3210 42 b)
La momentul t = 0,23 s, amplitudinea are expresia: 23 , 050
ln110110 2 , 0 ) (23 , 0 3 e Ae t At c) 2 202 r 31. Asupra unui
corp cu masa m = 2 kg, legat de un resort ideal i de un amortizor,
acioneaz o for extern3, 2sin ( ) F t N
.Dacrezonanaamplitudinilorseproducelafrecvena4, 8r Hz, amplitudinea
la rezonan fiind Br = 2,3 cm, s se determine: a) constanta elastic
a resortului i factorul de amortizare; b) amplitudinea oscilaiilor
forate la o frecven a forei externe de 4 Hz;
c)amplitudineaoscilaiilorforate(frecvenaforeiexterneeste4Hz)ncondiiilenlturrii
amortizorului. 23 a) max2 202 22 2 2 00222rrrFBm ' max max2 2 2 22
0 00202 22 2rr rF FBm mkm + ; max22max222 2022 2222
2rrrrrrrFmBkkmFmmBkkmm + ;+ 24 max2 2 rrFk mmB +cu2r r b) max2 2 2
2 20( )( ) 42FBm + c) Dac se nltur amortizorul = 0 i max2 20( )(
)FBm , cu2 32. Trei corpuri de mas m sunt aezate pe un suport
orizontal fiind legate ntre ele i de 2 elemente verticale cu
ajutorul a 4 arcuri identice avnd constanta elastic k. tiind c
micarea are loc fr frecare, s se determine pulsaiile proprii ale
sistemului. 24 Considerm c sistemul din figura de mai sus este
deplasat din poziia de echilibru spre dreapta. Cele 3 corpuri se
vor deplasa cu x1, x2 i x3 (x1 < x2 < x3). Conform
principiului II al mecanicii: 1 1 2 12 2 1 3 13 3 2( )( ) ( )( )ma
kx kx xma kx x kx xma kx x + + ' Ecuaiile difereniale ale micrii
celor 3 corpuri sunt: 2 21 11 2 1 2 2 22 22 21 2 3 1 2 3 2 22 23 32
3 2 3 2 22 2 02 2 00dx dxm kx kx m kx kxdt dtdx dxm kx kx kx m kx
kx kxdt dtdx dxm kx kx m kx kxdt dt + + + + ' ' +
Micrilecorpurilorsuntmicrioscilatoriiarmonice(nuexistfrecare),decilegiledemicare
(soluiile ecuaiilor de micare) vor fi de forma: 1 1 2 2 3 322 1 11
1 222 2 21 2 222 3 31 3 2sin ; sin ; sincos ; sincos ; sincos ;
sinx A t x A t x A tdx dxA t A tdt dtdx dxA t A tdt dtdx dxA t A
tdt dt Se nlocuiesc n sistem i se obine: 21 221 2 322 1(2 ) 0(2 )
0(2 ) 0k m A kAkA k m A kAkA k m A + ' + Sistemul admite pentru A1,
A2, A3 soluii diferite de zero dac determinantul su se anuleaz: 25
2122 2222322 02 0(2 2)det 2 0 2 2 00 2(2 2)2 2 0kk mmm k kkk m k k
k m kmk m kkk m km _ + + + ' + , + 33. Uncorp demasm se afl pe un
suport orizontalcu care interacioneaz printr-o frecare uscat
(coeficientuldefrecarefiind).Corpulestelegatdeunsuportfixcuajutorulunuiresortdeconstant
elastic k. S se afle legea de micare a corpului. Forele care
acioneaz asupra corpului sunt: ;e fF kx F N mg Deci, se va putea
scrie: ma kx mg 22220 2dxm kx mgdtdxx gdt+ + Ultima ecuaie este o
ecuaie diferenial neomogen de gradul II a crei soluie este de
forma: 1 20 00 01220 22 32 201,2 02 31 2 3( ) ( ). : 0( ). : 0( )(
)omogent tomogeni t i tomogeni t i tx t x t C gdxecomogena xdtx t C
e C eeccaracteristicaix t C e C ex t C g C e C e + + ++ t + + +
Alegem urmtoarele condiii iniiale: (0)0:(0) 0x Alatv ' 00 01 2 0 0
3 0 01 2 3 0 2 3 0cos sin( ) (cos sin ) (cos sin )( ) cos ( ) sini
te t i tx t C g C t i t C t i tC g C C t i C C tt t + + + + + + Se
noteaz: 1 2 32 2 3( )B C CB i C C + ' 26 1 1 0 2 0( ) cos sin x t C
g B t B t + + 0 1 0 0 2 02 20 1 0 0 2 0( ) sin cos( ) cos sindxv t
B t B tdta t B t B t + 1 1 1 10 2 0 2 2(0)(0) 0 0x C g B C g B Av B
B B + + ' ' 20 1 0( ) cos a t B t Se nlocuiete a(t) astfel obinut,
precum i x(t) n ec. diferenial a micrii corpului: 2 2 20 1 0 0 1 0
1 0cos cos B t C g B t g + + 20 1 1 201C g g C Deci 1 1B A C g C2 i
C3 se determin din sistemul: 1 2 32 2 3( )B C CB i C C + '
34.Ssegseascamplitudineaifazainiialaoscilaieiarmoniceobinutprincompunereaa
dou oscilaii paralele de ecuaii: 14sin x t i 23sin2x t _ ,. S se
scrie ecuaia micrii oscilatorii rezultate. 1 14; 0 A 2 23;2A ( )2
21 2 1 2 1 22 cos 5 A A A A A + + 1 1 2 22 2 2 2sin sin 3tgcos cos
4A AA A+ +
35.Ssegseascecuaiademicareapunctuluimaterialsupussimultanaciuniiadouoscilaii
paralele de aceeai perioad T = 8 s i amplitudine A = 2 cm. Diferena
de faz este 4 , iar faza iniial a unei oscilaii este nul. 2 212 cos
2 2 A A A AA A + + +27 1 1sin 0 sin2 24tg2 2 2 2cos 0 cos4A AarctgA
A+ + ++ 124 sT ( )1 1 1sin x A t +
36.Unpunctmaterialefectueazconcomitent2micrioscilatoriiarmonicepedirecii
perpendicularentreele.Ecuaiilecelor2micrisunt:x=cost;y=2 cos2
t.Sseafletraiectoria punctului material. 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 12
2 2 2t t t t Prin identificare: cos 22 t x ;cos2 2ytRezult: 2 22 1
14 2y yx x
37.Ssescrieecuaiamicriirezultatedincompunereaadouoscilaiiperpendicularecu
frecvenele 1 210 Hz ,fazeleiniiale 1 23 iamplitudinile 10,1m A ,
20, 2m A .Sse interpreteze rezultatul. Pentru c( )1 2 1 2 , se
poate utiliza formula: 2 222 22cos sinx y xyA B AB+ unde 10,1 A A ;
20, 2 B A ; 2 10 Se obine: ( )2 222 220 0, 2 0,1 0 20,1 0, 2 0,1 0,
2x y xyx y y x + Deci, traiectoria nu este o elips, ci o dreapt,
deci micarea este tot o oscilaie liniar. 28 38. Un punct material
este supus simultan la dou oscilaii perpendiculare de ecuaiit x sin
2 i t y cos . Care este traiectoria de micare a punctului? cos
sin2t t _ + , Deoarece x i y au aceeai pulsaie, se poate scrie: 2
222 22cos sinx y xyA B AB+ unde2 A ;1 B ; 2 12 2 214 1x y+ Rezult c
traiectoria este o elips. Elipsa este parcurs n sens trigonometric
2 _ ,.
39.Unpunctmaterialestesupusaciuniisimultaneadouoscilaiiperpendicularedeecuaii
t x cos it y2cos . S se gseasc traiectoria micrii rezultante. 2
2cos cos 2 2cos 1 2 12 2x t t t y 40. Se consider urmtoarele
oscilaii perpendiculare: a),_
+2 6cos 3 ) ( t t xit t y6cos 2 ) (; b),_
+2 2sin ) ( t t xit t y4cos 2 ) (. S se gseasc traiectoria
particulei care este supus simultan acestor oscilaii. a) Pentru c
au aceeai pulsaie, se poate folosi formula: 2 222 22cos sinx y xyA
B AB+ A = 3;B = 2 ;2 29 2 24 9 36 x y + b)( ) sin sin cos cos sin
cos cos22 2 2 2 2 2 2 4x t t t t t t _ + + , 222cos 1 14 2yt 41.
Ecuaia traiectoriei unui corp supus la dou micri oscilatorii
armonice cu aceeai pulsaie este: 4x2 + 9y2 6xy = 27 cm2. S se
determine: a) amplitudinile de oscilaie ale proieciilor corpului pe
axele OX si OY; b) defazajul dintre oscilaii. 4x2 + 9y2 6xy = 27:
36 2 22 233 2 6 4x y xy+ Deoarece corpul oscileaz dup axele Ox i
Oy, ecuaia traiectoriei poate fi de forma: 2 222 22cos sinx y xyA B
AB+ Dup identificare: A = 3 ; B = 3 ; sin2 = 3/4 3arcsin2 3 30
CAPITOLUL II UNDE ELASTICE I ELECTROMAGNETICE 1. O membran elastic
dreptunghiular de lungime L i lime l, cu marginile fixate rigid,
este pus n vibraie. S se demonstreze c frecvena vibraiei libere a
membranei poate lua doar anumite valori i s se gseasc o soluie
particular a ecuaiei undelor n aceast situaie. 22 21c t 2 2 22 2 2
21x y c t + ( , , ) ( , )i txy t f xy e ;i t i tf fe ex x y y 2 2 2
22 2 2 2;i t i tf fe ex x y y 22 22( , ) ; ( , )( ) ( , )i t i t i
tf x yi e f x y i e f x y et t 2 2 2 22 22 2 2 2 2 21 1( , ) ( , )i
t i t i tf f f fe e f xy e f xyx y c x y c 1 + + ] 2 2kc ( , ) ( )
( ) f xy gx hy ( ) ; ( )f dg f dhhy gxx dx y dy 2 2 2 22 2 2 2( ) ;
( )f dg f dhhy gxx dx y dy 2 2 22 2 2( ) ( ) ( ) ( )dg dhhy gx gx
hydx dy c+ 2 222 2( ) ( ) ( ) ( ) |:dg dhhy gx kgx hy ghdx dy+ 2
222 21 1 dg dhkgdx h dy+ 31 2 222 21 1 dg dhkgdx h dy a ca bb c '
Dac a = b, atunci un c, astfel nct a cb c '. 222222222 22 222101( )
0dgdgggdxdxdhdhk hkdyh dy + ' ' + 1 1( ) sin cos gx A x B x + 2 2 2
22 2( ) sin ( ) cos ( ) hy A k y B k y +
Membranaaremarginilefixaterigidrezultcfunciadeund( , , ) xy t
arevaloarea0pentreg conturul. (0, , ) 0( , , ) 0( , 0, ) 0( , , )
0y tLy tx tx l t ' 1122 220 (0) ( ) 0(0) 0sin 0( ) ( ) 0 ( ) 00(0)
0( ) (0) 0( ) 0sin 0 ( ) ( ) 0i ti ti ti tB g hy egA LgL hy e
gLBhgx h eh lA k l gx h le ' ' ' 2 2 2 2sin 0 ,sin 0 ,L L m m Zk l
k l n n Z ' 2 kckc c 2 2 22n n mkl l L _ _ _ + + , , , 2 2 2 22 2c
n m c n ml L l L _ _ _ _ + + , , , , 1 2 1 2( , , ) sin sin ( , ,
)i t i tm nxy t A xA ye xy t A A eL l 32 2. De cte ori trebuie s
creasc temperatura absolut a unui gaz ideal pentru ca lungimea de
und a unui sunet care se propag prin el s creasc cu o fraciune f ?
1 0 0f + RTc; c ( )012 0 0 021 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 11 1
1;1;RTRTc cc T T Tfc T T T RT RTc c _ +' , 3. Fie o coard elastic
semiinfinit, una din extremiti oscilnd dup legea0, 5cos 20t . a)
Aflai frecvena i perioada oscilaiilor extremitii. b) Calculai
lungimea de und a undelor elastice transversale care se propag n
coard cu viteza c = 0,5 m/s.
c)Cediferendefazexistntreoscilaiilepunctelordepecoardaflatelaodistan5
x cm unul de altul? d) La ce distan se afl dou puncte de pe coard
ale cror oscilaii sunt defazate cu 6 rad ? a) ( ) cos A t kx 0,
5cos 20t 12020 102 2s ; 1110 T s b)0, 05 c cT m c)( )1 10, 5cos 20
t kx ( )2 20, 5cos 20t kx ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 120 20 kx kx k x x k
x unde 2k d)'6 ; '' ' ' k x xk
4.Ssedemonstrezecocoarddelungimelfixatlaambelecapetepoateoscilalibernumaicu
frecvene care sunt multiplii ntregi ai unei valori inferioare care
urmeaz a fi determinat. 33 Ecuaia undelor pentru o coard este: 22
21c t 2 22 2 21x c t Capetele fiind fixate, pe coard se va propaga
o und progresiv i una regresiv datorit reflexiei la
capete.Vorapareundestaionare.Prinurmare,elongaiaoscilaieiunuipunctoarecaredepecoardva
depindedepoziiaacestuia,darvaoscilaiarmonicntimp.Soluiaecuaieiundeivafisubformaunui
produs dintre o funcie care descrie oscilaia armonic i o funcie
care d distribuia elongaiei n funcie de x. ( , ) ( )i tx t f x e i
t dfex dx; i ti e ft 2 22 2i t d fex dx ; 222i te ft ( )2 2 222 2 2
210i t i td f d f fe e fdx c dx c + Soluia acestei ecuaii este de
forma: 1 2( ) sin cos f x C x C xc c +unde C1 i C2 sunt dou
constante arbitrare. Se pot scrie condiiile la limit deoarece
coarda este fixat la ambele capete: 21(0, ) 0 (0) 0 0sin 0 ,( , ) 0
( ) 0 sin 0t f Cl l n nc c l t f l C lc ' ; 2nc ncl l Frecvena
fundamental (frecvena oscilaiei fundamentale) se obine pentru n =
1: 2fcl Celelalte frecvene sunt multiplii ntregi ai acestei valori.
5.Oundelectromagneticplancadelaincidennormalpeolamcufeeplan-paralelede
grosimel.Lamaesteformatdintr-osubstancupermeabilitateamagneticrelativ1r
iacrei
permitivitateelectricscadeliniardelavaloarea1pefaasuperioarla0pefaainferioar.Sseafle
timpul n care unda electromagnetic strbate lama. 34 Fie un strat de
grosime dy care este strbtut de und cu viteza c n timpul dt. 0 0
01l ldy dy dyc dt dt dydt c c c unde este timpul n care unda
strbate ntreaga lam. 0 01 1 1( ) ( )rcy y ( ) y a by 11 1 11 00 0 1
0(0) ; (0)( ) ; ( )aa a al l a bl a bl bl bl ' ; ' ' ' 1 01( ) y yl
1 00 11cyl _ , ( )3 32 20 1 00 1 0 10 1 023lly dyl _ ,
6.Ssededucrelaiavectorialcaresestabiletentrevitezadepropagareauneiunde
electromagnetice plane n vid i componentele saleEr siBr. Din
ecuaiile lui Maxwell: 0 cErot H jt + uruur uur 0 cEH jt + uruur uur
n vid nu exist cureni de conducie i deci,0cj uur. Unda fiind
armonic plan: rikr rrr , unde i este numrul imaginar ikr este
vectorul de und. it Ecuaia lui Maxwell se va scrie: 0 0ik H i E k H
E r uur ur r uur ur 2k k r r r, under este versorul direciei de
propagare a undei. 35 0 0 02 2 2 2 1H E H E H ET cT T c r uur ur r
uur ur r uur ur Dar cc cc rr r r 0 2cH Ec ruur ur, iar 0 01c
deoarece unda se propag n vid. 0 0 0 0 0c H E c H E c H E c B E r
uur ur r uur ur r uur ur r ur ur SauE B c ur ur r 7. Din cauza
refraciei din atmosfera terestr, poziia unghiular real a unei stele
difer puin de cea aparent. Evaluai eroarea n determinarea poziiei
unghiulare a unei stele observate sub un unghi de 450 fa de
vertical. Indicele mediu de refracie al atmosferei este n = 1,0003.
Din legea refraciei: ( )0 0 0sin sin sin cos cos sin sin n n n n n
+ + Dar eroarea este foarte micsin icos 1 Se obine: 0 0sin cos sin
n n n + 2 2 21, 0003 1 1, 0003 0, 00032 2 2 + +
8.Oundestedirijatsubununghii0fadenormalntr-oatmosferncaretemperaturase
modificcontinuuduplegea 20T ay by T +
,undeaibsuntconstantepozitive.Neglijndabsorbia undei, s se afle
nlimea maxim la care are loc ntoarcerea undei.
Seconsiderunstratdegrosimeinfinitdemic,aflatlanlimeay.Peaceststratpresupunemc
vitezaundeiscadecudc,iarunghiulderefracievafimaimicdectunghiuldeincidencuovaloare
infinitezimal di. 36 Se aplic legea refraciei pentru acest strat: (
) ( )cdcidi i di icdc cidi idc cdi ici 1sinsin cos cos sinsinsin
sin sin Dar1 cos diidi di sin . cdcii di 1sincos1 cciicciic icdcii
dcdcii d0 00 0ln ) ln(sinsin) (sinsin) (sin 000 0sin
sinlnsinsinlnciciccii unde i0 i c0 sunt constante (sunt valori
cunoscute). constci sin Pe de alt parte, viteza sunetului are
expresia: ( ) RT yc sinsin ( ) ( )( )i Rconst i const T y T yRT y ,
unde este o constant.
nlimealacareundancepesrevinlasuprafaaPmntuluiestenlimealacareareloc
fenomenuldereflexietotalpentructemperaturancepescreascideci,vacreteiunghiulde
inciden; la aceast nlime 2 i . Se obine: 201 11 ( ) ( ) T y T y ay
by T + ( )12201ay by T + 20 220 1,2 214102b b a Tay by T ya _t , +
Se alege soluia cu +.
9.Oundsepropagporninddintr-unpunctAsituatntr-unmediuncarevitezasadepropagare
estec1 i ajunge ntr-un punct situat ntr-unmediun care viteza sa de
propagareeste c2. S se demonstreze
cdininfinitateadedrumuriposibile,undasepropagpeaceldrumprincareajungedinAnBntimpul
minim. 37 Se noteaz: CD = d i CI = x. 11AIct ; 22IBct ( )22 2 2211
21 2 1 2( )h d xh x AI IBt t t t t xc c c c+ + + + + t este timpul
n care unda parcurge distana de la A la B i este o funcie de
distana x.Timpul este minim dac derivata sa de ordinul I este 0 i
derivata sa de ordinul II este pozitiv. ( )2 2 221 2 1 2121 1 sin
sin dt x d x i rdx c c c ch xh d x ++ La suprafaa de separaie
dintre cele dou medii are loc refracia undei i, deci: 1 2sin sin i
rc cRezult c0dtdx . ( )( )( )( )22222 221 222 2 22 12 2 2 221 1 221
1d xxh d xh xh d x h x dtdx c h x ch d x+ + + + ++ ( ) ( )2 21 23
32 2 22 1 2121 1 h hc ch xh d x + _++ , Rezult c 22dtdx > 0.
Deci, timpul n care unda ajunge n B este minim.
10.Ocoardelasticestentinsdeoforde100Niaremasapeunitateadelungime 10
/ g m . Un capt al corzii oscileaz dup legea:0,1sin 6, 28t . S se
calculeze: a) viteza de propagare a undei pe coard b) frecvena i
perioada oscilaiei c) lungimea de und 38 d) defazajul dintre captul
corzii i un punct situat la distana de 3 m de acest capt. a)100 /Fc
ms b) 16, 28 1 12s T s c)100 cT m d)( )1 22 350t t kx kx x 11. S se
calculeze coeficientul de reflexie R la suprafaa aer-fier i la
suprafaa aer-ap; tiind c: pentru aer:311, 293 / kmm , 1340 / c ms
pentru fier: 3 327,8 10 / kmm , 25000 / c ms pentru ap: 3 3310 /
kmm , 31450 / c ms ( )( )21 221 2z zRz z+; 1 1 aerz c ; 2 2 fierz c
; 3 3 apaz c ( )( )22aer fieraer fieraer fierz zRz z+ ( )( )22aer
apaaer apaaer apaz zRz z+
12.Cuctseschimbfrecvenaperceputdeunobservatornrepausfadeceaemisdeosurs,
dac sursa sedeprteaz deobservator cuovitezegal cujumtateavitezei
undei? Frecvena undeiemise de surs este450 Hz . RR SSc vc vt m
Observatorul este n repaus:0Rv . Sursa se deprteaz: R SScc v +,
unde c este viteza undei, iar vS este viteza sursei. 39 450 3002R
SSc cHzcc vc ++ Frecvena se schimb cu450 300 150 Hz 13. Ce valoare
trebuie s aib efortul unitar ntr-o coard cu modul Young 11 210 / E
N m pentru ca frecvena fundamental a oscilaiei longitudinale s
coincid cu prima armonic a oscilaiei transversale? Frecvena primei
armonice a oscilaiei transversale are valoarea t t 21, unde 2tcl i
Tc , T tensiunea n coard. Pentru oscilaia longitudinal frecvena
fundamental are expresia 2lcl , unde Ec . T E TlElt l4212211
Efortul unitar are expresia FS . Pentru coard, ST . m V l SSl l l
10 24 4 4 4 2, 5 10 /4E T E T T EE E N mS S
14.Osarcinqpozitivestedistribuituniformninterioruluneisferedielectriceomogenecu
permitivitatea . Se cere intensitatea cmpului electric n afara
sferei i n interiorul ei. Cmpul electric n interiorul sferei i n
exteriorul ei are direcia razei sferei din motive de simetrie: Se
folosete forma integral a legii lui Gauss: DdS q r r Pentru un
mediu omogenD E r r. Atunci, pentru punctele din exteriorul sferei
se va putea scrie: 40 20 20 044q qEndS q E R ER rr Pentru punctele
din interiorul sferei se va putea scrie: 20'4qE r unde q reprezint
sarcina din interiorul sferei de raz r. 3330043'43rrq q qRR _ ,
Deci, intensitatea cmpului electric n interiorul sferei este: 30
04q rER 15. Se d o distribuie liniar de sarcin, a crei densitate
este (sarcina pe unitatea de lungime). S
segseascexpresiaintensitiicmpuluielectricladistanardeaceastadacdistribuiadesarcinse
gsete n vid. Din considerente de simetrie,Eur are o direcie radial
ca n figura de mai jos:
Pentruadeterminacmpulelectricseconsiderosuprafacilindricacreiaxdesimetrieo
constituiedistribuialiniardesarcin.Seobservcfluxulcmpuluielectricestediferitdezerodoarpe
suprafaalateralacilindrului.Pebaze,fluxulestenuldeoareceunghiuldintrenormaliintensitatea
cmpului electric este 2. Deoarece 0D E , legea lui Gauss se scrie:
( )0 0022EndS q E rh h Er rr 16. Permitivitatea unei sfere
neomogene de raz R aflat n vid variaz dup legea: 0( ) 2rrR _ + , S
se calculeze cmpul electric creat de o sarcin Q distribuit n
ntregul volum al sferei. 41 Se aplic legea lui Gauss: DndS Q r r
Pentru r < R, unde R este raza sferei, rezult: ( )32 2int 0 int
3 204 2 44 2r r QrD r Q r Q Q ER R R r R _ + + , Pentru r > R,
rezult: 20 2044QE r Q Er 17.Unmediuneomogendar izotrop,
caracterizat princonstantele i ,este strbtut de uncurent
staionardedensitatejr.Ssearatecnmediulrespectivexistsarcinidevolumissecalculeze
densitatea a acestora. Conform legii lui Gauss: D ur D E ur ur j E
r ur Decij _ ,r Dar ( )ab a b b a +r r r Rezult: j j j _ _ + , ,r r
r Deoarece densitatea de curentjr este aceeai n orice punct al
mediului: 0 j r Atunci: j _ ,r
18.OsferderazancrcatcusarcinaQestenvelitntr-unstratdielectriccupermitivitatea
relativ r astfel nct raza sferei astfel construit este b. S se
determine potenialul la care se afl sfera. Se aplic legea lui Gauss
pentru o suprafa sferic cu raza r, unde a < r < b. 42 0 rEdS
Q ur ur Cmpul din interiorul dielectricului va fi: 204rQEr Pentru o
suprafa sferic cu raza r > b din afara dielectricului, legea lui
Gauss este: 0EdS Q ur ur Se obine: 204QEr Potenialul sferei este: 2
20 0 0 01 14 4 4 4b b br r a a b a aQ dr Q dr Q QV Edr Edr Edrr r a
b b _ + + + , ur r ur r ur r 19. S
sedeterminecmpulmagneticninteriorul unei bobine toroidale (o bobin
toroidaleste un
solenoiddelungimefinit,curbatsubformaunuitor).SecunoscnumruldespireNicurentulcaretrece
prin bobin.
Liniilecmpuluimagneticformeazcercuriconcentriceninteriorultorului.Seapliclegealui
Ampere pe un contur circular de raz r : 0Bdl I ur r unde 0I IN . 0
02 B r NI Se obine: 0 02INBr
20.SsedeterminecmpulmagneticninteriorulinexteriorulunuicilindruderazRprincare
circul un curent de densitate j, tiind c liniiledecmp sunt cercuri
concentricen plane perpendiculare pe axa cilindrului. 43
ninteriorulcilindruluisecalculeazcmpulmagneticfolosindlegealuiAmperepeuncontur
circular cu centrul pe axa cilindrului aflat ntr-un plan
perpendicular pe cilindru de raz r < R : 0CBdl jdS ur r r ur
unde S este suprafaa care se sprijin pe conturul C. 202 B r j r Se
obine:
02jrBnexteriorulcilindruluisecalculeazcmpulmagneticfolosindlegealuiAmperepeuncontur
circular cu centrul pe axa cilindrului aflat ntr-un plan
perpendicular pe cilindru de raz r > R . Se obine relaia: 22
0022jRrB j R Br
21.ntr-oregiuneaspaiuluiexistuncmpmagneticuniformparalelcuaxaOz.Mrimealui
variaz n timp dup legea: 0sin B B t S se determine cmpul electric n
fiecare punct.
Pentruacalculacmpulelectricsealegeunconturcircularderazrntr-unplanperpendicularpe
axa Oz. Se aplic legea induciei electromagnetice: dEdldt ur r unde
este fluxul magnetic prin suprafaa 2S r . 2 Edl rE ur r 20sin BS rB
t Se obine: 20 012 cos cos2rE rB t E rB t
22.Unpunctmaterialoscileazdupecuaia t y2sin 10
.Dacaceastoscilaiesepropagsub forma unei unde plane, fr pierderi,
cu viteza s m c / 300 , s se afle: a) ecuaia de oscilaie a unui
punct material al mediului, atins de und, situat la distana x de
sursa de unde; 44 b)ecuaiadeoscilaieaunuipunctmaterialsituatla m x
600 desurs.Ssecalculezevitezade micare a acestui punct las t 8 de
la nceperea micrii; c) ecuaia punctelor atinse de und las t 4 de la
nceperea oscilaiilor. a)( ) kx t A y cost y2sin 10Prin comparaie,
rezult: 10 A ; 2 600ckDeci:,_
600 2cos 10xt yb) la m x 600 :,_
t y2cos 10
,_
tdtdyv2sin210la s t 8 :0 vc) las t 4 :( ) 10 2 cos 10 y 23.
Ecuaia de oscilaie neamortizat a unui punct material estet y 5 , 2
sin . Undele plane produse
nmediulnconjurtorsepropagneamortizatcuvitezas m c / 100
.Careesteelongaia,vitezai acceleraia unui punct atins de und situat
la distanam x 20 de surs la momentuls t 1 ? ( ) kx t A y cos ;t y 5
, 2 sinPrin comparaie, rezult: 1 A ; 5 , 2 40ckDeci:,_
405 , 2 cosxt y
,_
405 , 2 sin 5 , 2xtdtdyv ;,_
405 , 2 cos 25 , 62xtdtdvaLa distana x i la momentul t se obin
relaiile: 1 y ;0 v ; 225 , 6 a 45
24.Ssegseascelongaia,vitezaiacceleraiaunuipunctsituatladistana12 x
deosursde unde plane, la momentul6Tt . Amplitudinea de oscilaie
este cm A 5 , iar perioada este s T 1 . ( ) kx t A y cos ; ( ) kx t
Adtdyv sin ; ( ) kx t Adtdva cos2 22T 611cos 5 y ; 611sin 10 v ;
611cos 202 a
25.Ssegseascdiferenadefazntrepuncteleceoscileazaflatela m x 101 ,
respectiv m x 162 desursadeunde.Secunosc:perioadadeoscilaies T 04 ,
0 ivitezadepropagarea undei s m c / 300 . ( )1 1cos kx t A y ;( )2
2cos kx t A y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 12x xcTx x k kx t kx t 26.
S se calculeze diferena de faz ntre dou puncte aflate pe direcia de
propagare a unei unde la distanam 2 unul de cellalt. Lungimea de
und este m 1 . ( ) ( ) ( ) 421 2 2 1x x k kx t kx t
27.Ssecalculezeindicelederefracieasunetuluilasuprafaadeseparaieaer-sticl,cunoscnd
densitateasticlei 3/ 2600 m kg ,modululdeelasticitate 2 10/ 10 7 m
N E ivitezasunetuluin aer s m c / 340 . 1sin sincrci ;r n i nsticla
aersin sin sticlaccrisinsin; aersticlannrisinsin 46 Ecnccnrin
naersticlaaer aer sticlasinsin 28. tiindviteza c0 a sunetului n aer
la 0 0C, s secalculeze timpulde propagare a sunetului n aer de la
sol pn la nlimea h, dac temperatura variaz liniar pe aceast distan
de la T1 la T2. by a y T ) ( hT Tb T bh TT bh aT aT h TT Tbh a h Ta
T2 12 12121) () 0 () () 0 ( ' ;'' yhT TT y T1 21) (+ dyy RTdty
RTdtdy y RTc) () ( ) (
,_
2112121 202) (1) (T TR T Thdyy T Rdyy RTdthoho
29.OundsonorplanesteemisdelasuprafaaPmntuluisubunghiul 0030 i fade
vertical.tiindcdependenadenlimeahdeasupraPmntuluiatemperaturiiatmosfericeestedatde
expresia ( )12021 ) (1]1
+ Hh H ahT h T , s se determine distana de la locul emisiei la
care unda sonor revine lasuprafaa Pmntului.Secunosc:25 , 0 a ;km H
25 .Sevapresupunecaerulsecomportcaungaz ideal.
Seconsiderunstratdegrosimeinfinitdemic,aflatlanlimeay.Peaceststratpresupunemc
vitezaundeiscadecudc,iarunghiulderefracievafimaimicdectunghiuldeincidencuovaloare
infinitezimal di. Se aplic legea refraciei pentru acest strat: ( )
( )cdcidi i di icdc cidi idc cdi ici 1sinsin cos cos sinsinsin sin
sin Dar1 cos diidi di sin . cdcii di 1sincos1 cciicciic icdcii
dcdcii d0 00 0ln ) ln(sinsin) (sinsin) (sin 47 000 0sin
sinlnsinsinlnciciccii unde i0 i c0 sunt constante (sunt valori
cunoscute). constci sin Pe de alt parte, viteza sunetului are
expresia: ) (h RTc) ( ) ( sin) (sinh T h TRconst i consth RTi ,
unde este o constant.
nlimealacareundancepesrevinlasuprafaaPmntuluiestenlimealacareareloc
fenomenul de reflexie total pentru c temperatura ncepe s creasc i
deci va crete i unghiul de inciden; la aceast nlime 2 i . Se obine:
( )1]1
+ 1 211) ( ) ( 1120Hh H ahT h T h T ( )1]1
+ 1 21212210Hh H ahT( )
,_
t + aTH h T H aHh ah11 1 0 1 2022 , 1 02 2 2 Se alege soluia cu
+. 30. S se demonstreze c funcia,_
+ + ,_
cxt fcxt f ) t , x (2 1verific ecuaia unidimensional a undelor,
indiferent de forma funciilor f1 i f2. Ecuaia unidimensional a
undelor este: 222 221t c x Se noteaz cu cxt i cu cxt + i se
calculeaz derivatele pariale ale funciei n raport cu x i t. c ddfc
ddfdxdddfdxdddfx1 12 1 2 1+ ,_
+
,_
++
,_
2222122 222212221 1 1df ddf dc dxdc df ddxdc df dx 48 ++
ddfddfdtdddfdtdddft2 1 2 1 22221222+ df ddf dt nlocuind, se observ
c se verific ecuaia undelor. 31. S se demonstreze c funcia: 0 0
0sin sin sin ) , , , (cnzbmyalxAe t z y xt i a) satisface ecuaia
tridimensional a undelor dac:
,_
+ + 2022022022 2 2cnbmalcb) se anuleaz n 0si 0 a x x , n 0si 0 b
y y i n 0si 0 c z z dac l, m i n sunt numere ntregi. Ecuaia
tridimensional a undelor este: 222 2222221t c z y x + + 0 0 0 0sin
sin coscnzbmyalxAealxt i 0 0 02022sin sin sincnzbmyalxAealxt i
,_
Analog, se calculeaz pentru derivatele n raport cu y i cu z. 0 0
02022sin sin sincnzbmyalxAebmyt i
,_
0 0 02022sin sin sincnzbmyalxAecnzt i
,_
0 0 0sin sin sincnzbmyalxAe itt i 0 0 0222sin sin
sincnzbmyalxAett i nlocuind n ecuaie, se obine:
,_
,_
,_
22202020c alalal
,_
+ + 2022022022 2 2cnbmalc b) n0 0 x ; n0 0 y ; n0 0 z ; n0 sin0
l a xdac l este numr ntreg; n0 sin0 m b xdac m este numr ntreg; 49
n0 sin0 n c xdac n este numr ntreg.
32.Pesuprafaadesepararedintredouplcitransparente,cuindiciiderefracie21
n i 41 , 12 n
,cadeunfasciculdeluminsubunghiuldeincideni.Careestevaloareamaximaunghiuluii
astfel nct lumina s ias din a doua plac? Deoarece n2 < n1, raza
refractat se va deprta de normal. La suprafaa de separare dintre
placa a 2-a i aer fasciculul de lumin se va deprta i mai mult de
normal pentru c 2substana de lucru fiind un gaz perfect. 12 T1=
ct.: 211121 12 12ln lnppRTVVRT Q L > 0 absQ Q 12 23: transf.
politrop:const pV ; + 1RC CV ( ) ( )1 2 23 23 23 231T TRL dT C C dU
Q LV ( ) dT C dT C dT C C dT C pdV dT C L dU QV V V V + 223 23 23 (
)23 2 11VRQ C T T _ , < 0 cedatQ Q 23 34: T2=ct.: 432342 34 34ln
lnppRTVVRT Q L < 0 cedatQ Q 34 4-1: transf. politrop:const pV ;
+ 1RC CV 86 ( ) ( )2 1 41 41 41 411T TRL dT C C dU Q LV ( ) dT C dT
C dT C C dT C pdV dT C L dU QV V V V + 241 41 41 ( )41 1 21VRQ C T
T _ , > 0 absQ Q 41 1234absLQ=R( )2 41 21 321 1 21ln lnln1vV VT
TV VV RRT C T TV+ _+ ,
41. S se demonstreze c n cazul unui proces adiabatic aplicat
unui gaz ideal este adevrat relaia: pV=ct. S se calculeze
lucrulmecanicefectuat n cursul unui astfelde proces, cndgazul
trecedin starea caracterizat prin parametrii 1 1 1, , p VTn starea
caracterizat prin parametrii 2 2 2, , p V T . L dU Q + Fiind o
transformare adiabat Q = 0 i deci0 Q . 0 + pdV dT CV unde 1 RCV 01
+ pdVRdT Pentru c este un gaz ideal ecuaia de stare este: ( ) ( )
RdT Vdp pdV RT d pV d RT pV + nlocuind, se obine: +
+VdVpdpVdVpdppdV Vdp pdVVdp pdV0 01 ct pV ct V p + ln ln 1
111121212121+ + + + + V ct V ct V ctdVVctpdV LVVVVVV Dar:ct V p V p
2 2 1 1. nlocuind constanta se obine: 11 1 2 2V p V pL 87 42. S
segseasc cretereaenergieiinterne U a unuimolde lichid(presupusgaz
ideal R23CV ), care se dilat izobar de lal V 51 la l V 102 ,
procesul avnd loc la presiunea 2m / N 20 p . La gazele ideale, n
transformarea izobar, energia intern depinde de temperatur i volum:
) (T U U dTTUdUV
,_
; dar VVTUC ,_
1; rezult:dT C dUV RpVT RT pV Pentru 1 mol de gaz se va scrie: (
)1 21 1 2 223V V pRV p V pC T C UV V
43.Ssecalculezelucrulmecanicefectuatdeocantitatede0,25kgamoniacntr-otransformare
izotermlatemperaturade270Ccunoscndvolumuliniialalgazului 301 , 0 m
V ipresiuneafinala acestuiaatm p 17 , 1 . 0 0ln lnVVRTmVVRT Q
Lamoniac mol kgamoniac/ 31 Fiind o transformare izoterm T = const.:
pmRTpVVRTpV pV pV V pamoniac 00 0 00 0 0lnpVmRTRTmLamoniac amoniac
44.ntr-unmotorDieselseaspiraeratmosfericlapresiunea 2 5/ 0 1 m N p
ilatemperatura C t015 . Aerul este apoi comprimat adiabatic pn ce
volumul scade de 15,6 ori. tiind c lucrul mecanic cheltuit la
comprimare este de 1260 J se cere: a) masa de aer aspirat la o curs
a pistonului b) temperatura aerului la sfritul comprimrii c)
presiunea aerului la sfritul comprimrii 88 Se d exponentul
adiabatic pentru aer = 1,4 i densitatea aerului3/ 3 , 1 m kgaer a)
1 111V m mVmaer aer aer 1 1112211 1 2 22121pVVpVV p V pVdV ctpdV
LVVVVcomprimare 6 , 15112VV
,_
21121 12 2 2 1 1VVpVV pp V p V p ( )4 , 0114 , 01 111 4 , 1116 ,
15 14 , 04 , 06 , 15 14 , 1 16 , 15 6 , 15 pLV V pp pV
Lcomprimarecomprimare b)RTV p 11 1;RTV p 22 2; 12211 222 211 1VVVVT
TTV pTV p
,_
c)
,_
21121 12 2 2 1 1VVpVV pp V p V p
45.ntr-uncilindruseaflocantitatedeaerla2 51/ 10 m N p ,K T 3001
,ocupndvolumul l V 301 . Gazul din cilindru este supus la
urmtoarele transformri: 1. O nclzire izocor pn la2 52/ 10 5 , 1 m N
p 2. O destindere izobar pn lal V 603 3. O rcire izocor pn la1 4p p
4. O comprimare izobar pn la starea iniial. Se cunosc: grad g J CV
/ 7 , 0 ;grad g J Cp / 1 , 1 ;kmol kg / 9 , 28 . Aerul se consider
gaz ideal. S se afle: 89 a) Masa aerului din cilindru. b)
Temperatura la sfritul fiecrui proces. c) Lucrul mecanic efectuat i
cantitatea de cldur schimbat de aerul din cilindru n fiecare
proces. a) 11 11 1 1 1 1 1RTV pm RTmV p RT V pb) 1 2: izocor: 2 1V
V ;121 22211ppT TTpTp ;2 52/ 10 5 , 1 m N p 2 3: izobar: 3 2p p
;232 33322VVT TTVTV ; l V 603 4 1: izobar: 1 4p p ;141 41144VVT
TTVTV 3 4: izocor: l V V 604 3 ;211 441324433ppT TTpTpTpTp c) 1 2:
izocor: 120 L ;( )2112 12 2 1TV VTQ U CdT C T T 2 - 3: izobar: ( )
( )2123 2 3 2 3 2VVL pdV p V V RT T ( )3223 3 2Tp pTQ CdT C T T 3
4: izocor: 340 L ;( )4334 34 4 3TV VTQ U CdT C T T 4 1: izobar: ( )
( )1441 1 1 4 1 4VVL pdV p V V RT T ( )1441 1 4Tp pTQ CdT C T T
90
