Fixponttételek és Alkalmazásaik - math.unideb.humath.unideb.hu/media/pales-zsolt/IterativFixponttetelek.pdf · Jelen könyv legfontosabb célja ezt a hiányt pótolni. A Fixponttételek

BESSENYEI MIHÁLY – PÁLES ZSOLT:

Fixponttételek és Alkalmazásaik

Debreceni EgyetemMatematikai Intézet

Debrecen2018

ELOSZÓ

A Fixponttételek Elmélete a matematika viszonylag fiatal szülötte. Ennek elle-nére, köszönhetoen a hatékony és fontos alkalmazási lehetoségeinek, mind e mainapig aktívan kutatott tudományterület, dinamikusan fejlodo irányzatokkal. Mind-ezekkel együtt, kétségkívül beszélhetünk olyan lezárt fejezetekrol, kikristályosodottmódszerekrol, amelyek kiválóan alkalmasak haladottabb egyetemi kurzusuk anya-gának. Azonban, legjobb tudomásunk szerint, e diszciplinának ilyen jellegu didak-tikus tárgyalása nem hozzáférheto. A rendelkezésre álló monográfiák nem magyarnyelvuek, és nem egyetemi jegyzetnek vagy tankönyvnek íródtak.

Jelen könyv legfontosabb célja ezt a hiányt pótolni. A Fixponttételek Elméletea Debreceni Egyetem képzésében (beleértve a Kossuth Lajos Tudományegyetemjogelod intézmény tanmeneteit is) több évtizedes hagyományra tekinthet vissza.Az eredetileg háromórás kurzust késobb két független kétórás sorozat váltotta fel,az elmélet egymástól jól elváló iteratív és topológikus részeihez igazodva. Köny-vünk ugyanezt a felépítést követi. Az anyag összeállításakor igyekeztünk figye-lembe venni és hasznosítani az idoközben fölhalmozódott oktatási tapasztalatokat.Törekedtünk arra, hogy az ismereteken túl látásmódot adjunk, sot reményeink sze-rint: látásmódot formáljunk.

A téma iránt érdeklodok figyelmébe ajánljuk Granas és Dugundji nagyszeru mo-nográfiáját [17], valamint Berinde [3] és Zeidler [45] kiváló könyveit. Az újabbkutatási eredmények áttekintése megtalálható a [38] muben. Remek elméleti össze-foglalót és segítséget nyújt a jobb megértéshez Losonczi funkcionálanalízis jegy-zete [29], Járai mértékelméleti munkája [21], valamint Massey algebrai topológiakönyve [30].

A matematika mostanra nagykorúvá nott: az egykori szolgálóleányból csodálatoshercegno lett. Teljes szépségét fölfogni manapság senki nem képes. A legtöbb amitvárhatunk Tole, talán csak egy mosoly. Gazdag személyiségének egyetlen vonása isegész életre szóló élményt jelenthet. Ilyen csodálatos vonás a most bemutani kívántelmélet. Oszintén reméljük, sikerül errol meggyoznünk a tisztelt Olvasót.

Dr. Páles Zsolt Dr. Bessenyei Mihály

egyetemi tanár egyetemi docens

Debrecen, 2016. március 6.

— Elso Rész —

Iteratív Fixponttételek

és Alkalmazásaik

BEVEZETÉS – ITERATÍV EREDMÉNYEK

A szukcesszív approximációs eljárást, amely a gyökvonásra már az ókorban hasz-nált babiloni módszer továbbfejlesztése, Newton alkalmazta elsoként és szisztema-tikusan polinomok gyökeinek keresésére. Ezt az eljárást késobb Raphson öntötteegyszerubb formába, de még o is, akárcsak Newton, tisztán algebrai eljárásnak te-kintette. Simpson volt az, aki fölismerte az eljárás iteratív jellegét és igazi hordere-jét: lényegében tole származik az f(x) = 0 egyenlet megoldása a ma is használatos

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

numerikus közelítéssel. Itt f : [a, b] → R adott differenciálható függvény, x1 pedigaz [a, b] intervallum rögzített pontja.

A szukcesszív approximáció technikáját Cauchy és Liouville egzisztencia és uni-citási tételek bizonyítására használta olyan differenciálegyenletekre, melyek meg-oldása explicit módon nem adható meg, mivel nem integrálható az egyenlet. Picardvolt az, aki ezt a módszert a közönséges illetve parciális differenciálegyenletek el-méletének egyik leghatékonyabb eszközévé formálta; az o munkásságára való te-kintettel szokás ezt az eljárást Picard-iterációként is említeni. A teljesség igényenélkül ezt az iterációt az alábbi Cauchy-feladaton szemléltetjük:

x′(t) = tx(t), x(0) = 1.

Elso lépésben átfogalmazzuk a Cauchy-feladatot egy vele ekvivalens integrálegyen-letre. Feltételezve x folytonosságát, mindkét oldalt integrálva s = 0-tól t-ig kapjuk,hogy ekkor

x(t) = 1 +

∫ t

0

sx(s)ds.

Tekintsük most a következo rekurzióval értelmezett sorozatot. Legyen x1 := 1; hamár xn adott, akkor pedig legyen

xn+1(t) = 1 +

∫ t

0

sxn(s)ds.

Feladatunk az (xn) függvénysorozat határfüggvényének kiszámítása. A számításrészleteit mellozük. Teljes indukciót alkalmazva, az n-edik tagra a követekezo ex-plicit forma adódik:

xn(t) =n

∑

k=0

1

k!

(

t2

2

)k

.

Vagyis,

x(t) = limn→∞

xn(t) = expt2

2.

Amint arról könnyen meggyozodhetünk, x : R → R valóban megoldása a föntiCauchy-feladatnak.

Bár a szukcesszív approximáció módszerét Cauchy [10], Liouville [27] és Pi-card [37] mellet számos jeles matematikus sikerrel alkalmazta, mégis Banach voltaz, aki letisztult és hatékony változatát megtalálta [1]. A kontrakciós elv, köz-ismert nevén a Banach-féle fixponttétel, valójában nem más, mint a szukcesszívapproximáció technikájának absztrakt változata. Tételét úgy is tekinthetjük, mint aszukcesszív approximáció konvergenciájának elegendo feltételét. A korábbi vizs-gálatokban ugyanis a konvergencia mindig külön tisztázandó kérdésként merült föl.Jellemzo a tétel szemléletmódjára az is, hogy a szukcesszív approximáció (a mér-tani sor összegképletével brilliáns módon egybefonódva) immár a bizonyítás részé-vé válik. Másrészt autonómiája is megmarad, hiszen az egzisztencia és unicitásigazolása mellett lehetoséget biztosít a stabilitás vizsgálatára, elozetes és utólagoshibabecslésre, valamint a konvergenciasebesség mérésére. Egyben módszert ad afixpont (vagy ha tetszik: megoldás) közelítésére, amely numerikus szempontból ésaz alkalmazásokban bír nagy jelentoséggel.

Banach fixponttétele nemcsak az absztraktció és alkalmazhatóság miatt jelentosmérföldko a matematikában. Egy önálló és jelenleg is fejlodo tudományág, az Ite-ratív Fixponttételek Elméletének elohírnöke. Jelen könyv elso része ebbe a tudo-mányágba kíván bepillantást nyújtani.

Az elso fejezetben Banach tételét közöljük az eredeti [1] és egy alternatív [36]bizonyítással. Ezt követoen két lehetséges általánosítási irányt mutatunk be a nem-lineáris kontrakciók és a lineáris kvázikontrakciók esetére. Az elobbiek vizsgálataBrowder [8], Boyd és Wong [6] valamint Matkowski [31] nevéhez, utóbbi pedigCiric [11] nevéhez kötodik. Részletesen tárgyaljuk e két irány lehetséges közösáltalánosítását, bemutatva Hegedus és Szilágyi [19] illetve Walter [44] fixpontté-telét, néhány következményét, valamint feltételének diszkusszióját. A fejezetet anemexpanzív leképezésekre vonatkozó legalapvetobb tudnivalókkal zárjuk.

Természetes igényként jelentkezik a kérdés, hogy milyen formában igaz aBanach-féle fixponttétel megfordítása. Vagyis, ha valamely leképezés egyértelmufixponttal bír, milyen egyéb megkötések mellett lesz alkalmas metrikát alapul vévekontrakció? E kérdésre a második fejezetben két lehetséges választ adunk a Bessa-ga [4] és a Meyers-tétel [32] formájában. Elobbi elonye, hogy akárilyen alaphalmazesetén érvényes, utóbbié pedig, hogy az eredetivel topológikusan ekvivalens új met-rikát biztosít.

A harmadik fejezet három klasszikusnak számító alkalmazást mutat be. Ismer-tetjük Volterra és Fredholm integrálegyenletekre vonatkozó eredményeit, a közön-séges differenciálegyenletekre vonatkozó globális egzisztencia és unicitási tételt,majd az inverzfüggvény-tételt.

A témakör fontosságára és terjedelmére való tekintettel, külön fejezetet kapotta Banach-féle fixponttétel fraktálelméleti alkalmazása [2]. A negyedik fejezetbenrészletesen ismertetjük a fraktáltér konstrukcióját, az ennek teljességére vonatkozóBlaschke-tételt, valamint a fraktálok létezését és egyértelmuségét kimondó tételt,Hutchinson eredményét [20]. Egyetlen tétel erejéig azt is szemléltetjük, hogyanlehet mindezeket a képfeldolgozásban hasznosítani. Röviden kitérünk a Hausdorff-mérték és Hausdorff-dimenzió származtatására, majd levezetjük az affin kontrakci-ók által definiált fraktálok dimenzióformuláját.

Az Iteratív Fixponttételek Elméletének bemutatását néhány monoton leképezé-sekre vonatkozó eredménnyel zárjuk. Az ötödik fejezet kiindulópontja Tarski fix-ponttétele [42], mégpedig két elemi változatban. Ezek további általánosításakéntbizonyítjuk a Tarski–Knaster [24] és a Tarski–Kantarovics tételt [23]. Az elemiváltozatok alkalmazásaiként a számosságaritmetika alaptételét valamint a monotonjobboldalú elsorendu differenciálegyenletek egzisztenciatételét igazoljuk. Végeze-tül a Bishop–Phelps rendezés [5] segítségével bemutatjuk az Ekeland-féle variációselvet [13], amely a modern Variációszámítás kétségkívül egyik legfontosabb esz-köze. Talán nem túlzás azt állítani, hogy ebben az eredményben teljesedik ki akontrakciós elv és az iterációs módszer. Rámutatunk arra, hogyan következik be-lole Caristi fixponttételén keresztül [9] Banach eredménye és a stacionárius appro-ximáció módszere.

8 1.1. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL

1. A kontrakciós elv és néhány változata

Fo célunk a Banach-féle fixponttétel mellett annak néhány ötletes általánosításá-nak bemutatása. Ezek az általánosítások kivétel nélkül azt vizsgálják, hogy a kont-rakciós tulajdonság hogyan gyengítheto. Így jutunk a nemlineáris kontrakció és alineáris kvázikontrakció fogalmához. A képek távolságára a felso becslés az elobbi-ben az alappontok távolságának bizonyos függvénye, míg az utóbbiban a pontokbólés a képekbol álló halmaz átmérojének valamely egynél kisebb számszorosa. Eztkövetoen megvizsgáljuk a közös általánosítás lehetoségét, fixpont eredményeketmutatva az úgynevezett eros és gyenge kvázikontrakciókra.

1.1. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL Legyen (X, d) metrikus tér és q ∈ ]0, 1[rögzített. Azt mondjuk, hogy a T : X → X leképezés kontrakció q faktorral, haminden x, y ∈ X esetén

d(Tx, Ty) ≤ qd(x, y).

Elsoként fölidézzük Banach idevágó alapveto eredményét, melyre két bizonyí-tást mutatunk. Az elso Banach eredeti gondolatmenetét követi, amely a képek tá-volságát becsli az alappontok segítségével. A második bizonyítás Palais nevéhezfuzodik; ötlete az alappontok távolságbecslése a képek segítségével.

1.1. Tétel. (Banach) Teljes metrikus tér bármely kontrakciójának létezik pontosan

egy fixpontja.

Bizonyítás 1. Legyen T : X → X kontrakció q faktorral az (X, d) teljes metrikustéren. Rögzítsük az x ∈ X elemet, és tekintsük az alábbi rekurzióval értelmezett(xn) sorozatot:

x1 := x; xn+1 := Txn (n ∈ N).

Elsoként megmutatjuk, hogy (xn) Cauchy-tulajdonságú. Legyen k ≥ 2 természetesszám. Ekkor a kontrahálás miatt

d(xk, xk+1) = d(Txk−1, Txk) ≤ qd(xk−1, xk) ≤ · · · ≤ qk−1d(x1, x2).

A háromszög-egyenlotlenséget, az elozo becslést, majd a mértani sor összegképle-tét alkalmazva kapjuk, hogy bármely n < m esetén

d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · ·+ d(xm−1, xm)

≤(

qn−1 + qn + · · ·+ qm−2)

· d(x1, x2) ≤qn−1

1− q· d(x1, x2).

Legyen most ε > 0 tetszoleges. Mivel a fönti egyenlotlenség jobb oldala nulláhoztart, ezért elegendoen nagy n index esetén kisebb lesz, mint ε. Vagyis, van olyann0 ∈ N, hogy ha n0 ≤ n < m, akkor d(xn, xm) < ε. A teljesség miatt létezik az

1. A kontrakciós elv és néhány változata 9

(xn) sorozatnak x0 ∈ X határértéke. A T kontrakció folytonosságát kihasználvakapjuk, hogy x0 a keresett fixpont:

Tx0 = T ( limn→∞

xn) = limn→∞

Txn = limn→∞

xn+1 = x0.

Az egyértelmuség igazolásához tegyük fel, hogy y0 ∈ X szintén fixpont. Ekkord(x0, y0) = d(Tx0, T y0) ≤ qd(x0, y0). Mivel a metrika nemnegatív és q ∈ ]0, 1[,ezért innen d(x0, y0) = 0 adódik; vagyis, x0 = y0. �

Bizonyítás 2. Csupán az elso bizonyításban szereplo (xn) sorozat Cauchy-tulajdonságára összpontosítunk. Elsoként legyenek x, y ∈ X adott elemek; ekkor aháromszög-egyenlotlenség és a kontrakciós tulajdonság miatt

d(x, y) ≤ d(x, Tx) + d(Tx, Ty) + d(Ty, y)

≤ d(x, Tx) + qd(x, y) + d(Ty, y)

adódik. Így,

d(x, y) ≤ d(x, Tx) + d(y, Ty)

1− q.

Legyenek n,m ∈ N rögzítettek úgy, hogy n < m. Alkalmazzuk az elobbi egyen-lotlenséget az x = xn valamint y = xm tagokra. Ekkor, fölhasználva a definiálórekurziót,

d(xn, xm) ≤d(xn, xn+1) + d(xm, xm+1)

1− q

≤ qn−1 + qm−1

1− q· d(x1, x2)

≤ 2qn−1

1− q· d(x1, x2)

következik. Innen pedig a bizonyítani kívánt Cauchy-tulajdonság már adódik. �

Külön figyelmet érdemel az (xn) rekurzív sorozat és Banach bizonyításának pármozzanata. Ezek ugyanis módszert adnak a fixpont közelítésére valamint a különfé-le hibabecslésekre. A Numerikus Analízisben játszott fontos szerepükre tekintettel,önálló tételt fogalmazunk meg róluk. Megjegyezzük, hogy az egyes hibabecslése-ket a szakirodalom rendre a priori és a posteriori hibabecslésként, illetve a konver-gencia sebességére vonatkozó becslésként tartja számon.

1.2. Tétel. Ha (X, d) teljes metrikus tér, T : X → X kontrakció q faktorral, x0 ∈ Xa T fixpontja, valamint (xn) az x1 := x, xn+1 := Txn rekurzióval értelmezett

10 1.1. A BANACH-FÉLE FIXPONTTÉTEL

sorozat, akkor érvényesek az alábbi hibabecslések:

d(xn, x0) ≤qn−1

1− qd(x1, x2);

d(xn, x0) ≤q

1− qd(xn−1, xn);

d(xn, x0) ≤ qd(xn−1, x0).

Bizonyítás. A Banach-féle fixponttétel elso bizonyításában láttuk, hogy (xn) kon-vergens és az x0 fixponthoz konvergál, továbbá igazoltuk a

d(xn, xm) ≤qn−1

1− q· d(x1, x2)

egyenlotlenséget. Az a priori hibabecslés innen adódik, végrehajtva az m → ∞határátmenetet. Az a posteriori hibabecslés ennek mintájára történik:

d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + · · ·+ d(xm−1, xm)

= d(Txn−1, Txn) + d(Txn, Txn+1) + · · ·+ d(Txm−2, Txm−1)

≤(

q + q2 + · · ·+ qm−n)

· d(xn−1, xn) ≤q

1− q· d(xn−1, xn).

Innen az m→ ∞ határátmenetet véve kapjuk az egyenlotlenséget. Végezetül,

d(xn, x0) = d(Txn−1, Tx0) ≤ qd(xn−1, x0),

ami pedig épp a konvergencia sebességre vonatkozó becslés. �

Végezetül térjünk ki a Banach-féle fixponttétel paraméteres változatára, amely akésobbiekben az egyik alkalmazásban kulcsszerephez jut. Fölhasználásával igazol-ható a közönséges differenciálegyenletekre vonatkozó folytonos függés tétele.

1.3. Tétel. Ha (X, d) teljes metrikus tér, (P, ) metrikus tér, továbbá (Tp)p∈P kont-

rakciók olyan családja X-en, melyek faktora q, és van olyan p0 ∈ P , hogy minden

x ∈ X esetén limp→p0 Tpx = Tx, akkor T : X → X kontrakció q faktorral, vala-

mint limp→p0 xp = x0, ahol xp illetve x0 jelöli a Tp illetve T egyértelmu fixpontját.

Bizonyítás. Legyenek x, y ∈ X tetszoleges elemek. Ekkor minden p ∈ P mellettd(Tpx, Tpy) ≤ qd(x, y); végrehajtva a p → p0 határátmenetet és fölhasználva apontonkénti konvergenciát, kapjuk, hogy T kontrakció q faktorral. Továbbá,

d(xp, x0) = d(Tpxp, Tx0) ≤ d(Tpxp, Tpx0) + d(Tpx0, Tx0)

≤ qd(xp, x0) + d(Tpx0, Tx0).


Rendezve,

d(xp, x0) ≤1

1− qd(Tpx0, Tx0).

Itt a jobb oldal nullához tart p→ p0 esetén a pontonkénti konvergencia miatt. Tehátxp → x0 szintén fönnáll, ha p→ p0. �

Hasonló állítás fogalmazható meg azonos faktorú kontrakciók pontonként kon-vergens sorozatának határfüggvényére. Mivel a bizonyítása az elozo tétel bizonyí-tásához hasonló, ezért ennek részleteitol (valamint magának az állításnak a pontosmegfogalmazásától) eltekintünk.

Az alábbiakban a Banach-féle fixponttételnek az alkalmazások igazolásánál jólhasználhat lokális változatát fogalmazzuk meg.

1.4. Tétel. Legyen (X, d) teljes metrikus tér, p ∈ X és r > 0. Tegyük fel, hogy

T : U(p, r) → X kontrakció egy olyan q faktorral, hogy d(Tp, p) < (1 − q)r.Ekkor T -nek létezik pontosan egy fixpontja az U(p, r) nyílt gömbben.

Bizonyítás. Válasszuk meg a 0 < < r számot úgy, hogy d(Tp, p) ≤ (1 − q).Ekkor x ∈ B(p, ) esetén

d(Tx, p) ≤ d(Tx, Tp) + d(Tp, p) ≤ qd(x, p) + (1− q) ≤ q+ (1− q) = ,

tehát T a B(p, ) zárt gömböt önmagába képezi. Mivel egy teljes metrikus tér bár-mely zárt részhalmaza maga is teljes metrikus tér, ezért a Banach-féle fixponttételszerint T -nek létezik fixpontja B(p, )-ben, tehát U(p, r)-ben is. �

1.2. A BROWDER–MATKOWSKI-FÉLE FIXPONTTÉTEL Célunk a Banach-féle fix-ponttétel kiterjesztése úgynevezett nemlineáris kontrakciókra, s ezzel együtt a kont-rakciós elv újszeru megvilágításba helyezése. Ehhez, sot a késobbi vizsgálataink-hoz is, szükségünk lesz az alábbi segéderedményre.

1.5. Lemma. Ha ϕ : R+ → R+ monoton növo, folytonos függvény, akkor az alábbi

állítások ekvivalensek:

(i) ϕ(t) < t minden t > 0 esetén;

(ii) limn→∞ ϕn(t) = 0.

Továbbá, mindkét esetben ϕ(0) = 0 teljesül.

Bizonyítás. Tegyük fel elsoként, hogy ϕ(t) < t teljesül, ha t pozitív. A folyto-nosság miatt ekkor ϕ(0) = 0, és így ϕn(0) = 0. Ha t > 0, akkor a ϕ(t) < tegyenlotlenség iterálásából következik, hogy

(

ϕn(t))

monoton csökkeno sorozat.Mivel az értékkészlet R+, ezért alulról korlátos is. Így létezik a sorozat pontonkénti

12 1.2. A BROWDER–MATKOWSKI-FÉLE FIXPONTTÉTEL

határfüggvénye, melyet jelöljön f . Tegyük fel indirekt, hogy f(t) > 0 valamelyt > 0 esetén. Mivel ϕ folytonos, ezért

f(t) = limn→∞

ϕn+1(t) = ϕ(

limn→∞

ϕn(t))

= ϕ(

f(t))

< f(t),

ami ellentmondás. Tehát, f azonosan nulla. Megfordítva, tegyük fel hogy t ≤ ϕ(t)teljesül valamely pozitív t esetén. Teljes indukciót alkalmazva és a monotonitástfölhasználva kapjuk, hogy

t ≤ ϕ(t) ≤ ϕ2(t) ≤ · · · ≤ ϕn(t).

Azonban ez utóbbi tag nullához tart ha n → ∞, ami ellentmondás. Végezetül, amonotonitás és a most belátott (i) tulajdonság miatt 0 ≤ ϕ(0) ≤ ϕ(t) < t teljesülminden pozitív t értékre. Ebbol pedig a rendor-elv szerintϕ(0) = 0 következik. �

A továbbiakban összehasonlító függvényen olyan ϕ : R+ → R+ folytonos, mono-ton növo függvényt értünk, amely teljesíti a fönti lemmában megszabott valamelyik(amit az ekvivalencia miatt úgy is mondhatnánk: mindegyik) tulajdonságot. Legyen(X, d) metrikus tér, ϕ : R+ → R+ pedig egy összehasonlító függvény. Azt mond-juk, hogy a T : X → X leképezés nemlineáris kvázikontrakció ϕ összehasonlító

függvénnyel, ha bármely x, y ∈ X esetén

d(Tx, Ty) ≤ ϕ(

d(x, y))

teljesül. Hangsúlyozzuk, hogy itt a „nemlineáris” jelzo alapvetoen nem a T le-képezésre, hanem a ϕ jelenlétére utal. Látható, hogy q ∈ ]0, 1[ esetén ϕ(t) = qtösszehasonlító függvényt definiál, ezért a nemlineáris kontrakciók a szokásos érte-lemben vett kontrakciók általánosításai.

1.6. Tétel. (Browder–Matkowski) Teljes metrikus tér bármely nemlineáris kontrak-

ciójának létezik pontosan egy fixpontja.

Bizonyítás. Legyen (X, d) teljes metrikus tér, T : X → X pedig ϕ-kontrakció.Rögzített x ∈ X esetén értelmezzük az (xn) sorozatot az x1 = x és xn+1 = Txnrekurzióval. Azt fogjuk igazolni, hogy (xn) konvergens, határértéke pedig az egy-értelmu fixpont.

Elsoként vegyük észre, hogy az egymást követo sorozatelemek távolsága nullso-rozat. Valóban,

d(xn, xn+1) = d(Txn−1, Txn) ≤ ϕ(

d(xn−1, xn))

≤ · · · ≤ ϕn−1(

d(x1, x2))

,


ez utóbbi tag pedig az elozo lemma szerint nullához tart n→ ∞ esetén. Másodszormegmutatjuk, hogy T tartomány-invariáns, azaz T : B(p, ε) → B(p, ε) amennyi-ben d(p, Tp) < ε− ϕ(ε). Valóban, ha q ∈ B(p, ε), akkor

d(p, T q) ≤ d(p, Tp) + d(Tp, Tq) ≤ d(p, Tp) + ϕ(

d(p, q))

≤ d(p, Tp) + ϕ(ε) < ε− ϕ(ε) + ϕ(ε) = ε.

Legyen most ε > 0 tetszoleges. Mivel (xn) egymást követo tagjainak távolságanullsorozat, ezért van olyan n0 ∈ N index, hogy d(xn0

, Txn0) < ε−ϕ(ε). Ám ekkor

a tartomány-invariancia miatt T(

B(xn0, ε)

)

⊂ B(xn0, ε) adódik. Ebbol iterációval,

teljes indukciót alkalmazva kapjuk, hogy

Tm(

B(xn0, ε)

)

⊂ · · · ⊂ T(

B(xn0, ε)

)

⊂ B(xn0, ε).

Ha tehát m,n > n0, akkor xn, xm ∈ B(xn0, ε). Azaz d(xn, xm) < 2ε, ami pedig

pontosan a Cauchy-tulajdonság.A teljesség miatt létezik az (xn) sorozatnak x0 ∈ X határértéke. Megmutatjuk,

hogy x0 a keresett fixpont. Valóban,

d(x0, Tx0) ≤ d(x0, xn+1) + d(xn+1, Tx0) ≤ d(x0, xn+1) + ϕ(

d(xn, x0))

,

és itt a bal oldal nullához tart, ha n → ∞. Ez csak úgy lehet, hogy x0 = Tx0fönnáll.

Az egyértelmuség igazolásához indirekt tegyük fel, hogy x0, y0 ∈ X különbözofixpontok. Ekkor d(x0, y0) > 0, s ezért

d(x0, y0) = d(Tx0, T y0) ≤ ϕ(

d(x0, y0))

< d(x0, y0),

ami ellentmondás. Tehát, x0 = y0, amivel a bizonyítást befejeztük. �

1.3. A CIRIC-FÉLE FIXPONTTÉTEL Banach fixponttételének most egy másik irá-nyú általánosítási lehetoségét vizsgáljuk meg. Ehhez szükségünk lesz a következo,részben technikai fogalmakra. HaX nem üres halmaz, T : X → X adott leképezés,akkor az x ∈ X elem n-hosszú pályáján illetve pályáján a következo halmazokatértjük:

On(x) ={

T kx | k ∈ {0, . . . , n}}

, O(x) ={

T kx | k ∈ N ∪ {0}}

.

Legyen (X, d) metrikus tér, q ∈ ]0, 1[ pedig rögzített. A T : X → X leképezéstq-faktorú lineáris kvázikontrakciónak nevezzük, ha minden x, y ∈ X esetén

d(Tx, Ty) ≤ q diam{x, y, Tx, Ty}

14 1.3. A CIRIC-FÉLE FIXPONTTÉTEL

teljesül. A „lineáris” jelzo természetesen itt sem a T leképezésre vonatkozik, hanema felso becslés jellegére utal. Fontos megemlíteni, hogy egy lineáris kvázikontrak-ció nem feltétlen folytonos. Mégis, a teljességet föltételezve, érvényben marad afixpont létezésére és egyértelmuségére vonatkozó állítás.

1.7. Tétel. (Ciric) Teljes metrikus tér bármely lineáris kvázikontrakciójának létezik

pontosan egy fixpontja.

Bizonyítás. Legyen (X, d) teljes metrikus tér, T : X → X pedig q faktorú kváz-ikontrakció. Rögzített x ∈ X esetén tekintsük az x1 = x és xn+1 = Txn módonadott sorozatot. Célunk azt megmutatni, hogy (xn) konvergens és határértéke a Tegyetlen fixpontja.

Elsoként igazoljuk, hogy (xn) korlátos, azaz, hogy diamO(x) véges. Legyenn ∈ N tetszoleges, valamint xk, xl ∈ On(x) adottak, ahol k, l ∈ {2, . . . , n + 1}.Ekkor

d(xk, xl) = d(T k−1x, T l−1x) ≤ q diam{T k−2x, T k−1x, T l−2x, T l−1x}≤ q diamOn(x) < diamOn(x).

Ez azt mutatja, hogy az n-hosszú pályák átméroje nem adódhat kezdoelemtol kü-lönbözo tagok távolságaként. Vagyis, létezik olyan k ∈ {2, . . . , n+1} index, hogy

diamOn(x) = d(x, xk).

Azonban ekkor

diamOn(x) = d(x, xk) = d(x, T k−1x)

≤ d(x, Tx) + d(Tx, T k−1x)

≤ d(x, Tx) + q diam{x, Tx, T k−2x, T k−1x}≤ d(x, Tx) + q diamOn(x),

ahonnan rendezéssel kapjuk, hogy x véges hosszúságú pályái közös korlát alattmaradnak. Tehát O(x) valóban korlátos.

Másodszor az (xn) sorozat Cauchy-tulajdonságát bizonyítjuk. Legyenek n,m ∈N tetszolegesek úgy, hogy m > n ≥ 2. Ekkor

{xn−1, xn, xm−1, xm} ⊂ Om−n+1(xn−1);

tehátd(xn, xm) = d(Txn−1, Txm−1)

≤ q diam{xn−1, xn, xm−1, xm}≤ q diamOm−n+1(xn−1).


Az elozo gondolatmenetbol adódik, hogy van olyan k ∈ {1, . . . ,m−n+1} index,amellyel diamOm−n+1(xn−1) = d(xn−1, xn−1+k) teljesül. Ilyen választás mellettkapjuk, hogy

d(xn−1, xn−1+k) = d(Txn−2, Txn−2+k)

≤ q diam{xn−2, xn−1, xn−2+k, xn−1+k}≤ q diamOk+1(xn−2)

≤ q diamOm−n+2(xn−2).

Összességében tehát,

d(xn, xm) ≤ q2 diamOm−n+2(xn−2).

Az eljárást folytatva teljes indukciót használva igazolhatjuk, hogy minden n,m ∈N és m > n ≥ 2 esetén

d(xn, xm) ≤ qn−1 diamOm−1(x).

Azonban korábban beláttuk, hogy diamO(x) véges; tehát a fenti egyenlotlenségbal oldala nullához tart, ha n→ ∞. Ez pedig épp a Cauchy-tulajdonságot jelenti.

A teljesség miatt az (xn) sorozatnak létezik x0 ∈ X határértéke. Harmadik lé-pésben azt mutatjuk meg, hogy x0 fixpont. Ha ugyanis nem lenne az, akkor szük-ségképpen d(x0, Tx0) > 0; így

d(x0, Tx0) ≤ d(x0, xn+1) + d(xn+1, Tx0)

≤ d(x0, xn+1) + q diam{xn, xn+1, x0, Tx0}.Mivel xn → x0, ezért itt az elso tag nullához, az átméro pedig a d(x0, Tx0) értékheztart. Vagyis határátmenet után a föntiekbol d(x0, Tx0) ≤ qd(x0, Tx0) következik,ami q < 1 miatt ellentmondás.

Végezetül a fixpont egyértelmuségét kell bizonyítani. Tegyük fel, hogy x0 és y0a T fixpontjai. Ekkor

d(x0, y0) = d(Tx0, T y0) ≤ q diam{x0, Tx0, y0, T y0} = qd(x0, y0).

Innen q < 1 miatt csakis d(x0, y0) = 0 teljesülhet. Ez azt jelenti, hogy T fixpontjavalóban egyértelmu. �

1.4. A HEGEDUS–SZILÁGYI–WALTER-FÉLE FIXPONTTÉTEL A nemlineáris kont-rakciók és lineáris kvázikontrakciók kézenfekvo közös általánosításai lehetnek anemlineáris kvázikontrakciók, vagyis azok a T leképezések, melyeknél a képek tá-volságát az {x, y, Tx, Ty} halmaz átmérojének valamely függvénye becsli felülrol.Vajon igaz marad-e ilyen esetben is a fixpont létezésére és egyértelmuségére vo-natkozó állítás, amennyiben feltételezzük a teljességet? E kérdésre a válasz sajnos

16 1.4. A HEGEDUS–SZILÁGYI–WALTER-FÉLE FIXPONTTÉTEL

negatív: könnyen ellenorizheto, hogy valós számok halmazát a szokásos metri-kával ellátva, a π/2-vel való eltolás fixpontmentes nemlineáris kvázikontrakció aϕ(t) = t − arctan(t) összehasonlító függvényre nézve. Ennek dacára, lehetségesbizonyos típusú nemlineáris kvázikontrakciók esetén fixponttételt igazolni.

Ha (X, d) metrikus tér, T : X → X adott leképezés, akkor x, y ∈ X eseténO(x, y) jelöli az x és y elemek közös pályáját, vagyis az O(x)∪O(y) halmazt. Aztmondjuk, hogy a T leképezés gyenge kvázikontrakció a ϕ összehasonlító függvény-nyel, ha korlátos pályákat származtat, és minden x, y ∈ X esetén

d(Tx, Ty) ≤ ϕ(

diamO(x, y))

teljesül. A nemlineáris kvázikontrakció megnevezést elkerülve eros kvázikontrak-

cióról szólunk, ha bármely x, y ∈ X esetén T teljesíti az alábbi egyenlotlenséget:

d(Tx, Ty) ≤ ϕ(

diam{x, y, Tx, Ty})

.

1.8. Lemma. Ha T gyenge ϕ-kvázikontrakció, úgy T n gyenge ϕn-kvázikontrakció.

Bizonyítás. Legyen x, y ∈ X tetszoleges. Ha k, l ≥ 1, akkor T k−1x, T l−1y ∈O(x, y), így T kvázikontraktivitása és ϕ monotonitása adja, hogy

d(T kx, T ly) = d(TT k−1x, TT l−1y)

≤ ϕ(

diamO(T k−1x, T l−1y))

≤ ϕ(

diamO(x, y))

.

Speciálisan

d(T kx, T lx) ≤ ϕ(

diamO(x))

≤ ϕ(

diamO(x, y))

,

d(T ky, T ly) ≤ ϕ(

diamO(y))

≤ ϕ(

diamO(x, y))

.

Ezért érvényes az alábbi egyenlotlenség:

diamO(Tx, Ty) = supk,l∈N

{d(T kx, T ly), d(T kx, T lx), d(T ky, T ly)}

≤ ϕ(

diamO(x, y))

.

Innentol a lemma állítását teljes indukcióval kapjuk. Ha n = 1, akkor a lemmaállítása triviális; tegyük fel, hogy igaz valamely n ∈ N esetén is. Ekkor az elozoegyenlotlenséget és ϕ monotonitását használva

d(T n+1x, T n+1y) = d(T nTx, T nTy)

≤ ϕn(

diamO(Tx, Ty))

≤ ϕn+1(

diamO(x, y))

következik, és éppen ezt kellett igazolnunk. �

1.9. Tétel. (Hegedus–Szilágyi–Walter) Teljes metrikus tér bármely gyenge kváz-

ikontrakciójának létezik egy és csak egy fixpontja.


Bizonyítás. Legyen (X, d) teljes metrikus tér és legyen T : X → X olyan gyengekvázikontrakció ϕ összehasonlító függvénnyel. Legyen x ∈ X tetszoleges. Elsolépésben ismét azt igazoljuk, hogy az x1 = x és xn+1 = Txn módon adott (xn)sorozat Cauchy-tulajdonságú. A pályák korlátossága és (ϕn) pontonkénti konver-gencia tulajdonsága biztosítja, hogy bármely ε > 0 esetén van olyan n0 ∈ N index,amellyel ϕn0

(

diamO(x))

< ε/2 teljesül. Ha tehát n > n0, akkor

d(T n0x, T nx) ≤ ϕn0

(

diamO(x, T n−n0x))

= ϕn0

(

diamO(x))

< ε/2.

A háromszög-egyenlotlenség alkalmazásával innen d(xn, xm) < ε adódik,amennyiben n,m > n0. Vagyis, (xn) Cauchy.

A tér teljessége miatt az (xn) sorozatnak létezik x0 ∈ X határértéke. Másodiklépésben azt igazoljuk, hogy az x0 iteráltjaiból álló sorozat határértéke szintén x0.Mivel T n gyenge kvázikontrakció ϕn összehasonlító függvénnyel, ezért

d(x0, Tnx0) ≤ d(x0, xn) + d(xn, T

nx0)

= d(x0, xn) + d(T nx, T nx0)

≤ d(x0, xn) + ϕn(

diamO(x, x0))

.

E felso becslés pedig az (xn) sorozat és (ϕn) konvergencia tulajdonságai miatt nul-lához tart n→ ∞ esetén.

Végezetül azt fogjuk igazolni, hogy diamO(x0) = 0. Indirekt tegyük fel, hogyez nem igaz. Ha n, k ∈ N, akkor ϕ monotonitása miatt

d(T nx0, Tn+kx0) ≤ ϕn

(

diamO(x0, Tkx0)

)

= ϕn(

diamO(x0))

≤ ϕ(

diamO(x0))

.

Így,

supn,m∈N

d(T nx0, Tmx0) ≤ ϕ

(

diamO(x0))

< diamO(x0)

amibol

diamO(x0) = supn∈N

d(x0, Tnx0)

következik. Másrészt, T nx0 → x0; ezért van olyan n0 ∈ N, hogy

diamO(x0) = max{d(x0, T kx0) | k = 1, . . . , n0}.

18 1.4. A HEGEDUS–SZILÁGYI–WALTER-FÉLE FIXPONTTÉTEL

Legyen k ∈ {1, . . . , n0} az az index, amely az átmérot meghatározza. Ekkor min-den n ∈ N választás mellett

d(x0, Tkx0) ≤ d(x0, T

n+kx0) + d(T n+kx0, Tkx0)

≤ d(x0, Tn+kx0) + ϕk

(

diamO(T nx0, x0))

= d(x0, Tn+kx0) + ϕk

(

diamO(x0))

≤ d(x0, Tn+kx0) + ϕ

(

diamO(x0))

.

Végrehajtva az n→ ∞ határátmenetet és szem elott tartva az elozo észrevételeket,

diamO(x0) = d(x0, Tkx0) ≤ ϕ

(

diamO(x0))

< diamO(x0)

adódik. A kapott ellentmondás miatt x0 nulla átméroju pályát származtat; speci-álisan x0 = Tx0 is fönnáll, ami épp a bizonyítani kívánt fixpont tulajdonság. Afixpont egyértelmuségét a korábban már megismert módszerek adják. �

1.10. Következmény. Ha (X, d) teljes metrikus tér, ϕ pedig olyan összehasonlí-

tó függvény, hogy (id−ϕ) szigorúan monoton szürjekció, akkor bármely eros ϕ-

kvázikontrakciónak létezik egyértelmu fixpontja.

Bizonyítás. Legyen T : X → X eros kvázikontrakció a feltételeknek eleget tevo ϕösszehasonlító függvénnyel. Az elozo tétel miatt elegendo csupán azt megmutatni,hogy ekkor T korlátos pályákat származtat. Legyen x ∈ X rögzített. Ekkor

diamOn+1(x) ≤ d(x, Tx) + diamOn(Tx) ≤ d(x, Tx) + ϕ(

diamOn+1(x))

,

így(id−ϕ)

(

diamOn+1(x))

≤ d(x, Tx).

Mivel (id−ϕ) szigorúan monoton növo, ezért van inverze. A szürjektivitás bizto-sítja, hogy az inverz mindkét oldalra alkalmazható. Sot, az egyenlotlenség irányasem változik meg. Ez azt jelenti, hogy x minden véges hosszúságú pályája közöskorlát alatt marad. �

1.11. Következmény. Ha (X, d) teljes metrikus tér, ϕ pedig olyan összehasonlító

függvény, hogy ϕn(t) ≤ cnt teljesül a∑

cn konvergens sorral, akkor minden eros

ϕ-kvázikontrakciónak létezik egyértelmu fixpontja.

Bizonyítás. Legyen T : X → X eros kvázikontrakció a feltételeknek eleget tevo ϕösszehasonlító függvénnyel. Elegendo ismét csupán azt igazolni, hogy T korlátospályákat származtat. Legyen x ∈ X tetszoleges. Ekkor

diamOn+1(x) ≤ diamOn(x) + d(T nx, T n+1x)

≤ diamOn(x) + ϕn(

diamOn+1(x))

.


Tehát, az an = diamOn(x) sorozatra an+1 ≤ an+ϕn(an+1) teljesül. Teleszkóposan

összegezve az ak+1−ak ≤ ϕk(ak+1) egyenlotlenségeket, valamint szem elott tartvaaz (an) és ϕ monotonitási tulajdonságait,

an+1 − an0=

n∑

k=n0

(ak+1 − ak) ≤n

∑

k=n0

ϕk(ak+1)

≤n

∑

k=n0

ϕk(an+1) ≤∞∑

k=n0

ϕk(an+1) ≤∞∑

k=n0

ckan+1

adódik. Válasszuk az n0 ∈ N indexet úgy, hogy∑∞

k=n0ck < 1 teljesüljön. Ilyen

választás nyilvánvalóan lehetséges. Ekkor a fönti egyenlotlenség átrendezett alakjamutatja, hogy (an) valóban korlátos. �

Érdemes még megemlíteni a Hegedus–Szilágyi–Walter fixponttétel azon egysze-ru következményét, mely szerint kompakt metrikus tér bármely gyenge kvázikont-

rakciójának létezik egyértelmu fixpontja. Megjegyezzük azt is, hogy már egy eroskvázikontrakció sem feltétlenül folytonos. Ez az oka annak, hogy az utóbbi ered-ményekben az iterációs sorozat határértékének fixpont tulajdonságát nem a folyto-nosságra hivatkozva, hanem egyéb módszerek segítségével mutattuk meg.

1.5. SZIGORÚAN NEMEXPANZÍV LEKÉPEZÉSEK A Banach-féle fixponttétel álta-lánosításaiban mindig megjelenik egy összehasonlító függvény. A fejezet lezárása-ként térjünk ki röviden ennek mélyebb okára. Világos, hogy a kontrakció fogalmá-ban a q = 1 választás nem célravezeto, ugyanis Banach-tér transzlációi kielégítike feltételt miközben fixpontmentesek. Azonban árnyaltabb képet kapunk szigorúannemexpanzív leképezések esetében.

Legyen (X, d) metrikus tér. Azt mondjuk, hogy a T : X → X leképezés szigo-

rúan nemexpanzív, ha minden x, y ∈ X és x 6= y esetén

d(Tx, Ty) < d(x, y).

1.12. Tétel. Létezik teljes metrikus téren értelmezett fixpontmentes, szigorúan nem-

expanzív leképezés. Kompakt metrikus tér bármely szigorúan nemexpanzív leképe-

zésének létezik egy és csak egy fixpontja.

Bizonyítás. Az elso állítás igazolásához tekintsük a valós számok halmazát ellátvaa szokásos metrikával. Értelmezzük továbbá a T : R → R leképezést a következoképlettel:

Tx =

{

1, ha x < 0;√1 + x2, ha x ≥ 0.

20 1.5. SZIGORÚAN NEMEXPANZÍV LEKÉPEZÉSEK

Könnyen ellenorizheto, hogy T differenciálható, és minden ξ ∈ R esetén |T ′ξ| < 1.Ezért a Lagrange-féle középértéktétel miatt T szigorúan nemexpanzív leképezés.Másrészt, minden x ∈ R mellett x < Tx, tehát T nem rendelkezhet fixponttal.

A másik állítást indirekt bizonyítjuk. Legyen X kompakt metrikus tér, s legyenT : X → X olyan szigorúan nemexpanzív leképezés, amely fixpontmentes. Te-kintsük a ϕ(x) = d(x, Tx) függvényt. Mivel ϕ : X → R folytonos, X pedigkompakt, ezért van olyan x0 ∈ X , hogy ϕ(x0) = infR ϕ. A fixpontmentesség miattϕ(x0) > 0. Másrészt, T szigorúan nemexpanzív, így

d(x0, Tx0) = ϕ(x0) ≤ ϕ(Tx0) = d(

Tx0, T (Tx0))

< d(x0, Tx0),

ami ellentmondás. Tehát kompakt metrikus téren minden szigorúan nemexpanzívleképezés rendelkezik fixponttal. Az egyértelmuségre vonatkozó állítás nyilvánva-ló, ezért bizonyítását elhagyjuk. �

2. A Banach-féle fixponttétel megfordításai 21

2. A Banach-féle fixponttétel megfordításai

Ebben a fejezetben arra keresünk választ, hogy a fixpont létezése milyen továbbifeltételek mellett eredményezi azt, hogy a leképezés – alkalmas metrikában szem-lélve – kontraháljon.

2.1. BESSAGA TÉTELE Elsoként egy olyan eredményt tekintünk, amelyben nincsföltételezve, hogy a alaptér metrikus tér. A bizonyítás alapgondolata egy, a postás-metrikára emlékezteto konstrukció kiterjesztése az elemek pályáiról az egész alap-térre. A kiterjesztéshez a Kuratowski–Zorn-lemmát használjuk. Az eredmény hát-ránya, hogy ha az eredeti tér metrikus tér, akkor az eredeti és új metrika általábannincs egymással kapcsolatban.

2.1. Tétel. Ha X nem üres halmaz, T : X → X olyan leképezés, hogy T -nek és

T minden iteráltjának legfeljebb egy fixpontja van, akkor bármely q ∈]0, 1[ esetén

megadható olyan d metrika, melyre nézve T kontrakció q faktorral. Továbbá, ha

T -nek van fixpontja, akkor d úgy is választható, hogy (X, d) teljes metrikus tér

legyen.

Bizonyítás. Elsoként megmutatjuk, hogy létezik olyan ϕ : X → R függvény, amelyrendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:(i) ϕ(x) ≥ 0 minden x ∈ X esetén;(ii) ϕ(x) = 0 pontosan akkor, ha x fixpontja T -nek;(iii) ϕ(Tx) ≤ qϕ(x) minden x ∈ X esetén.Jelölje Φ azon (D,ϕ) párok halmazát, amelyekre teljesülnek a következo kívánal-mak: D ⊂ X és T (D) ⊂ D, valamint ϕ : D → R eleget tesz a fönti háromtulajdonságnak.

Megmutatjuk, hogy minden x0 ∈ X esetén van olyan (D,ϕ) ∈ Φ, hogy x0 ∈ D.Legyen D = O(x0) az x0 elem pályája. Világos, hogy ekkor T (D) ⊂ D. A pályaszerkezetét illetoen két eset fordulhat elo: vagy T ix0 6= T jx0 ha i 6= j, vagy pediglétezik olyan k ∈ N index, hogy O(T kx0) egy elemu és minden 0 ≤ i < j ≤ k − 1esetén T ix0 6= T jx0. Ha ugyanis nem az elso eset áll fönn, akkor léteznek olyank < j indexek, hogy T kx0 = T jx0; fölteheto, hogy k a legkisebb ilyen index, jpedig az ehhez tartozó legkisebb index. Ekkor

T j−k(T kx0) = T jx0 = T kx0;

T j−k(T k+1x0) = TT jx0 = TT kx0 = T k+1x0.

Vagyis, a T j−k leképezésnek mind T kx0, mind pedig T k+1x0 fixpontja. Tekintve,hogy T bármely iteráltjának legfeljebb egy fixpontja van, T kx0 = T k+1x0 adódik;ezt az egyenletet iterálva épp a második pályatípushoz jutunk.

22 2.1. BESSAGA TÉTELE

Definiáljuk most a ϕ : X → R leképezést a következo módon: legyen ϕ(T ix0) :=qi ha a pálya az elso típusú. A második típusú pálya esetén legyen ϕ(T ix0) := qi

ha 0 ≤ i ≤ k − 1, míg az i ≥ k esetben legyen nulla. Megmutatjuk, hogy ilyenválasztás mellett ϕ teljesíti az elvárt tulajdonságokat.

Ha a pálya elso típusú, akkor ϕ pozitív és T -nek nincs fixpontja, tehát (i) és (ii)teljesül. A harmadik tulajdonság ellenorzéséhez legyen x = T ix0 alakban adott.Ekkor

ϕ(Tx) = ϕ(T i+1x0) = qi+1 = qϕ(T ix0).

Ha a pálya második típusú, akkor az elso tulajdonság ϕ definíciója miatt teljesül.Legyen x = T ix0. Tegyük fel, hogy x fixpontja T -nek. Ekkor x = Tx miattT ix0 = T i+1x0, ezért k ≤ i. Ám ekkor ϕ(x) = 0 definíció szerint. Megfordítva, haϕ(x) = 0, akkor szükségképp k ≤ i és így

x = T ix0 = T i+1x0 = TT ix0 = Tx.

Vagyis, a második tulajdonság szintén fönnáll. Végezetül, a ϕ(Tx) ≤ qϕ(x) tulaj-donságot hármas esetszétválasztással ellenorizhetjük:i ≤ k − 2:

ϕ(Tx) = ϕ(T i+1x0) = qi+1 = qqi = qϕ(T ix0) = qϕ(x).

i = k − 1:

ϕ(Tx) = ϕ(T kx0) = 0 < qk = qqk−1 = qϕ(T k−1x0) = qϕ(x).

i ≥ k:ϕ(Tx) = ϕ(T i+1x0) = 0 = qϕ(T ix0) = qϕ(x).

Tehát Φ valóban nem üres. Értelmezzük most a � relációt a következo módon:(D1, ϕ1) � (D2, ϕ2) pontosan akkor, ha D1 ⊂ D2 és ϕ2|D1

= ϕ1. Könnyen ellen-orizheto, hogy ekkor � parciális rendezés a Φ halmazon. Legyen

L = {(Dλ, ϕλ) ∈ Φ | λ ∈ Λ}tetszoleges lánc, valamint D =

⋃

λ∈ΛDλ és x ∈ Dλ esetén ϕ(x) = ϕλ(x). Ekkorϕ : D → R függvény. Tegyük fel ugyanis, hogy x ∈ Dλ1

∩Dλ2. A lánc tulajdonság

miatt fölteheto, hogy Dλ1⊂ Dλ2

és ϕ2|D1= ϕ1. Ha x ∈ Dλ1

tetszoleges, akkor

ϕλ1(x) = ϕλ2

|Dλ1(x) = ϕλ2

(x).

Nyilvánvaló, hogy az így nyert (D,ϕ) pár az L lánc fölso korlátja. Megmutatjuk,hogy (D,ϕ) ∈ Φ. Nyilván D ⊂ X , és

T (D) = T(

⋃

λ∈ΛDλ

)

=⋃

λ∈ΛT (Dλ) ⊂

⋃

λ∈ΛDλ = D.


Világos, hogy ϕ nemnegatív; továbbá, ϕ(x) = 0 pontosan akkor, ha valamelyλ ∈ Λ esetén ϕλ(x) = 0, ahol x ∈ Dλ; ez utóbbi pedig pontosan akkor teljesül, hax fixpontja T -nek. Végezetül, ha x ∈ Dλ, akkor Tx ∈ Dλ; továbbá,

ϕ(Tx) = ϕλ(Tx) ≤ qϕλ(x) = qϕ(x).

A Kuratowski–Zorn-lemma szerint a (Φ,�) parciálisan rendezett halmaznak léte-zik maximális eleme, amelyet jelöljön a továbbiakban (D,ϕ). Megmutatjuk, hogyekkor szükségképpen D = X teljesül. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy van olyanx0 ∈ X , amely nincs benne D-ben. Legyen D0 := D∪O(x0). Ha D∩O(x0) = ∅,akkor legyen ϕ0(x) = ϕ(x) ha x ∈ D, amúgy pedig (azaz x0 pályáján) az elo-zo konstrukcióban látottak szerint adott. Ha D ∩ O(x0) 6= ∅, akkor létezik olyank ∈ N, hogy x0, Tx0, . . . , T k−1x0 6∈ D és T kx0 ∈ D. Ha T kx0 fixpontja T -nek, ak-kor legyen ϕ0(T

ix0) := qi ha 0 ≤ i ≤ k − 1 és ϕ0(x) := ϕ(x) ha x ∈ D. Ha T kx0nem fixpontja T -nek, akkor legyen ϕ0(T

ix0) := qi−kϕ(T kx0) ha 0 ≤ i ≤ k − 1 ésϕ0(x) := ϕ(x) ha x ∈ D.

Ekkor ϕ0 : D0 → R valódi kiterjesztése a ϕ : D → R függvénynek, teljesíti akorábbi tulajdonságokat, tehát (D,ϕ) � (D0, ϕ0), ami pedig ellentmond (D,ϕ)maximalitásának.

Összességében tehát, létezik az (i) − (iii) eloírásoknak eleget tevo ϕ : X → R

függvény. Ennek birtokában, legyen d : X ×X → R az alábbiak szerint adott:

d(x, y) =

{

ϕ(x) + ϕ(y), ha x 6= y;

0, ha x = y.

Megmutatjuk, hogy ekkor d metrika az X halmazon. Valóban, a nemnegativitás ésa szimmetria nyilvánvaló. Világos az is, hogy x = y esetén d(x, y) = 0. Meg-fordítva, ha d(x, y) = 0, akkor ϕ(x) + ϕ(y) = 0, ami csak úgy lehetséges, haϕ(x) = ϕ(y) = 0. Azaz, Tx = x illetve Ty = y teljesül. Mivel a T leképezésneklegfeljebb egy fixpontja van, ezért szükségképpen x = y adódik. A háromszög-egyenlotlenség fönnáll, ha x, y, z közül legalább két elem azonos. Ha pedig páron-ként különbözoek, akkor ϕ nemnegativitása miatt

d(x, z) = ϕ(x) + ϕ(z) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) + ϕ(y) + ϕ(z) = d(x, y) + d(y, z).

Sot, a T leképezés kontrakció q faktorral az (X, d) térben. Ha ugyanis x, y ∈ X ,akkor föltehetjük, hogy Tx 6= Ty. Ekkor természetesen x 6= y, és így d definíciója,valamint ϕ tulajdonságai miatt kapjuk, hogy

d(Tx, Ty) = ϕ(Tx) + ϕ(Ty) ≤ q(

ϕ(x) + ϕ(y))

= qd(x, y).

Végezetül tegyük fel, hogy létezik T -nek x0 ∈ X fixpontja, és az állítással el-lentétben (X, d) nem teljes. Ekkor van olyan (xn) Cauchy-sorozat, amely nem

24 2.2. MEYERS TÉTELE

konvergens, speciálisan, nem határértéke az x0 fixpont. Válasszuk az ε > 0 számotúgy, hogy d(xn, x0) ≥ ε végtelen sok n ∈ N indexre teljesüljön; az általánosságcsorbítása nélkül fölteheto, hogy minden sorozatelem rendelkezik ezzel a tulajdon-sággal. A Cauchy-tulajdonság miatt van olyan n0 ∈ N index, hogy d(xn, xm) < εha n,m ≥ n0. Tegyük fel, hogy xn 6= xm. Ekkor, fölhasználva, hogy ϕ(x0) = 0,

ε > d(xn, xm) = ϕ(xn) + ϕ(xm) = ϕ(xn) + ϕ(x0) + ϕ(xm) + ϕ(x0)

= d(xn, x0) + d(xm, x0) ≥ 2ε.

A kapott ellentmondás miatt xn = xm adódik az n0-nál nem kisebb indexu sorozat-elemekre, vagyis a sorozat véges sok tagtól eltekintve állandó. Speciálisan, egybenkonvergens, ami ismételten ellentmondásra vezet. �

2.2. MEYERS TÉTELE A Bessaga-tétel kapcsán rámutattunk arra, hogy ha az alap-tér maga is metrikus tér, akkor az eredeti metrikának általában semmilyen kapcso-lata nincs azzal a metrikával, mely a konstrukcióból származik. A következo tételfontossága pontosan abban áll, hogy az eredeti és az új metrika (amelyre nézve aleképezés már kontrahál) topologikusan ekvivalensek.

2.2. Tétel. Ha (X, d) kompakt metrikus tér, q ∈]0, 1[, valamint T : X → X olyan

folytonos leképezés, amelyre∞⋂

n=1

T n(X) = {p}

teljesül, akkor van olyan d0 metrika, amelyre nézve T kontrakció q faktorral, és

amely topologikusan ekvivalens az eredeti d metrikával.

Bizonyítás. Az egyértelmuség érdekében, a továbbiakban jelezni fogjuk, hogy ametrikához kötodo fogalmak aktuálisan éppen melyik metrika szerint értendok. Le-gyen εn = diamd

(

T n(X))

. Elsoként azt igazoljuk, hogy (εn) nullsorozat. Mivel(εn) monoton csökkeno, alulról korlátos sorozat, ezért konvergens; ha tehát nemnullsorozat, akkor valamely pozitív ε0 értékhez tart. Mivel T n(X) kompakt hal-maz, ezért léteznek olyan xn, yn ∈ T n(X) elemek, hogy εn = d(xn, yn). Föltehet-jük, hogy (xn) és (yn) konvergens sorozatok az x illetve y határértékekkel. Miveld(x, y) ≥ ε0, ezért x 6= y; másrészt x, y ∈ T n(X) teljesül minden n indexre, ezértx, y benne van a metszetben, ami azonban a tétel feltétele szerint egyelemu. Akapott ellentmondás miatt εn → 0.

Legyend1(x, y) := sup

n≥0d(T nx, T ny) (x, y ∈ X).

Megmutatjuk, hogy d1 metrika. Valóban, d1 nyilvánvalóan nemnegatív, és az elo-zoek miatt nem vehet föl bovített valós értéket sem. Ha d1(x, y) = 0, akkor


d(T nx, T ny) = 0 minden n-re; speciálisan, n = 0 választással, d(x, y) = 0. Ámekkor szükségképpen x = y teljesül. A d1 szimmetriája szintén világos. Végül,

d(T nx, T nz) ≤ d(T nx, T ny) + d(T ny, T nz)

≤ d1(x, y) + d1(y, z);

a bal oldalon szuprémumot véve a háromszög-egyenlotlenséget kapjuk. Sot, d1 és dekvivalens metrikák X-en. Nyilván d(x, y) ≤ d1(x, y) mindig teljesül. Tegyük fel,hogy (xm) olyan sorozat, amely tart valamely x ∈ X elemhez a d metrika szerint.Legyen ε > 0 tetszoleges, továbbá n0 ∈ N olyan, hogy n ≥ n0 esetén εn < εteljesüljön. Mivel T 0, . . . , T n0 folytonosak a d metrikára nézve, ezért van olyanδ > 0, hogy d(x, y) < δ esetén

d(T kx, T ky) < ε (k = 0, . . . , n0).

Másrészt xm →d x, ezért van olyan m0 ∈ N, hogy m ≥ m0 esetén d(xm, x) < δ;így, az elozoek miatt,

d1(xm, x) = supn≥0

d(T nxm, Tnx)

≤ max{

εn0, maxk=0,...,n0

d(T kxm, Tkx)

}

< ε.

Vagyis, az (xm) sorozat konvergens és határértéke x a d1 metrika szerint. Ez aztmutatja, hogy d1 és d topologikusan ekvivalens metrikák. Sot, az (X, d1) metrikustéren T már nemexpanzív leképezés. Ha ugyanis x, y ∈ X , akkor

d1(Tx, Ty)

= supn≥0

d(T n+1x, T n+1y)

≤ supn≥0

d(T nx, T ny) = d1(x, y).

Értelmezzük most az x ∈ X elem n(x) nívóját az alábbiak szerint. Legyenn(x) := +∞ ha x = p; egyébként pedig

n(x) := sup{

n ∈ N | x ∈ T n(X)}

.

Nyilván x ∈ T n−1(X) esetén Tx ∈ T n(X) következik; így

n(Tx) = sup{

n ∈ N | Tx ∈ T n(X)}

≥ sup{

n ∈ N | x ∈ T n−1(X)}

= n(x) + 1.

Tekintsük az alábbi módon értelmezett g : X ×X → [0,+∞[ függvényt:

g(x, y) := qmin{n(x),n(y)}d1(x, y).

26 2.2. MEYERS TÉTELE

Fölhasználva az elozo egyenlotlenséget és azt, hogy T nemexpanzív a d1 metrikáranézve, kapjuk, hogy

g(

Tx, Ty)

= qmin{n(Tx),n(Ty)}d1(Tx, Ty)

≤ qmin{n(x),n(y)}+1d1(x, y) = q · g(x, y).Legyen

d0(x, y) := inf{

n∑

k=1

g(xk−1, xk) | x0 = x, xn = y}

.

Megmutatjuk, hogy d0 olyan, az eredeti metrikával topologikusan ekvivalens met-rika, melyre nézve T kontrakció q faktorral. Világos, hogy d0 nemnegatív, valósértéku függvény, és minden x, y ∈ X esetén d0(x, y) ≥ 0. Tegyük fel, hogyx 6= y. Legyenek x0, . . . , xn olyan pontok, hogy x0 = x és xn = y. Jelölje Hazon k ∈ {0, . . . , n−1} indexek halmazát, amelyekre n(xk) ≤ n(x) teljesül. Nyil-ván H 6= ∅, hiszen 0 ∈ H . Legyen x∗ = xk, ha k a legkisebb olyan index, hogyxk /∈ H; ha pedig nincs ilyen index, akkor legyen x∗ = y. Ekkor

n−1∑

k=0

g(xk, xk+1) ≥∑

k∈Hg(xk, xk+1) ≥ qn(x)

∑

k∈Hd1(xk, xk+1)

≥ qn(x)d1(x, x∗) ≥ qn(x)min

{

d1(

x, T n(x)+1(X))

, d1(x, y)}

.

Mivel T folytonos, X pedig kompakt, ezért T n(x)+1(X) kompakt halmaz, és nemtartalmazza az x elemet. Vagyis, a fönti becslés utóbbi tagja pozitív; így d0(x, y)pozitív. Hogy d0 szimmetrikus, nyilvánvaló. A háromszög-egyenlotlenséghez le-gyen ε > 0 tetszoleges, továbbá x0, . . . , xn és y0, . . . , ym olyan elemek, melyekreteljesülnek a következok: x0 = x, xn = y = y0 és ym = z, valamint

d0(x, y) +ε

2≥

n∑

k=1

g(xk−1, xk) d0(y, z) +ε

2≥

m∑

k=1

g(yk−1, yk)

Ekkor az x0, . . . , xn; y0, . . . , ym az y pontban egymáshoz csatlakozó, x és z közötthaladó töröttvonal, így d0(x, y) + d0(y, z) + ε ≥ d0(x, z) a d0 értelmezésébol adó-dóan. Innen ε→ 0 határátmenettel kapjuk a bizonyítandót.

Megmutatjuk, hogy T kontrakció q faktorral a d0 metrikára nézve. Legyen ε > 0tetszoleges, x, y ∈ X , és tekintsünk egy olyan x0, . . . , xn töröttvonalat, amelyrex0 = x és xn = y valamint

n∑

k=1

g(xk−1, xk) < d0(x, y) + ε


fönnáll. Ekkor

d0(

Tx, Ty)

≤n

∑

k=1

g(Txk−1, Txk)

≤n

∑

k=1

q · g(xk−1, xk) ≤ q ·(

d0(x, y) + ε)

.

Mivel ε > 0 tetszoleges, ebbol a kívánt kontrakciós tulajdonságot kapjuk.Végezetül megmutatjuk, hogy d0 és d1 topologikusan ekvivalens metrikák. Nyil-

vánvalóan d0(x, y) ≤ d1(x, y). Legyen (xm) olyan sorozat, hogy d0(xm, x) nul-lához tart, azonban d1(xm, x) nem tart nullához. Az általánosság sérelme nélkülföltehetjük, hogy van olyan ε > 0 szám, mellyel d1(xm, x) ≥ ε teljesül. Az Xhalmaz kompakt a d1 metrikában is, hiszen korábban láttuk, hogy d1 és d topolo-gikusan ekvivalensek. Ezért létezik olyan részsorozat, amely tart valamely y ∈ Xelemhez a d1 metrikában; ismét föltehetjük, hogy xm →d1 y. Ám ekkor d0 ≤ d1 mi-att d0(xm, y) nullsorozat. A határérték egyértelmusége miatt tehát x = y. Másrészt,d1(x, y) = limm→∞ d1(xm, x) ≥ ε, vagyis x 6= y, ami ellentmondás. �

28 3.1. FREDHOLM-FÉLE INTEGRÁLEGYENLETEK.

3. Kontrakciós elvek a klasszikus analízisben

Ebben a fejezetben a Banach-féle fixponttétel néhány alkalmazását mutatjuk be.A különféle felhasználások gazdag tárát szem elott tartva, célunk távolról sem leheta teljesség. Azonban igyekeztünk olyan eredményeket bemutatni, melyek bevonul-tak a felsooktatás klasszikus tanmenetébe, és jól tükrözik a kontrakciós elv haté-konyságát. Így esett a választás az Integrálegyenletek, a Közönséges Differenciál-egyenletek és a Klasszikus Analízis egy-egy alapveto tételére. A Fraktálelméletnek,mint ismert alkalmazási területnek, fontossága miatt külön fejezetet szánunk.

Az eredmények megfogalmazásához vezessük be a következo jelöléseket. HaH egy kompakt Hausdorff-féle topologikus tér, akkor jelölje C(H,Rm) a H térenértelmezett Rm-beli értéku folytonos leképezések vektorterét. Ezen a téren a

‖x‖ := supt∈H

|x(t)|

képlet egy normát értelmez, melyre nézve C(H,Rm) Banach-tér. Ezt a normát atovábbiakban szuprémum normának hívjuk. Könnyen látható, hogy az indukáltkonvergencia nem más mint a függvénysorozatok egyenletes konvergenciája.

Az alábbi lemma a szuprémum normával ekvivalens további normák egy lehetsé-ges származtatását írja le.

3.1. Lemma. Legyen H kompakt Hausdorff-féle topologikus tér, p : H →]0,+∞[folytonos függvény, valamint x ∈ C(H,Rm) esetén legyen

‖x‖p := supt∈H

p(t)|x(t)|.

Ekkor ‖ · ‖ és ‖ · ‖p ekvivalens normák a C(H,Rm) téren.

Bizonyítás. Könnyen ellenorizheto, hogy ‖ · ‖p norma a C(H,Rm) téren. Legyenα := inft∈H p(t) illetve β := supt∈H p(t). Mivel p folytonos és H kompakt, ezért0 < α ≤ β < +∞. Továbbá minden t ∈ H esetén

α|x(t)| ≤ p(t)|x(t)| ≤ β|x(t)|.

Képezve a szuprémumot t-re, kapjuk a normák ekvivalenciáját. �

A ‖ · ‖p norma definíciójából világos, hogy minden x ∈ C(H,Rm) esetén

(3.1) |x(t)| ≤ 1

p(t)‖x‖p (t ∈ H).

A normák ekvivalenciája miatt, a Cauchy-sorozatok bármelyik normát tekintveugyanazok, így az eredeti tér teljessége miatt az átnormált tér is teljes.

3. Kontrakciós elvek a klasszikus analízisben 29

3.1. FREDHOLM-FÉLE INTEGRÁLEGYENLETEK. Az alábbi tételben egy vektor-értéku függvényekre vonatkozó Fredholm-féle nemlineáris integrálegyenlet meg-oldhatóságát egy skalárértéku függvényekre vonatkozó Fredholm-féle homogén li-neáris integrálegyenlotlenség nemtriviális megoldásának létezésével biztosítjuk.

A tételben és az ehhez kacsolódó következményekben feltesszük, hogy H kom-pakt Hausdorff-féle topologikus tér és µ egy véges Borel-mérték H-n.

3.2. Tétel. Legyen K : H2×Rm → R

m olyan folytonos függvény, amely eleget tesz

a

(3.2) |K(t, s, x)−K(t, s, y)| ≤ L(t, s)|x− y|Lipschitz-feltételnek valamilyen L : H2 → R+ folytonos függvénnyel minden t, s ∈H és x, y ∈ R

m esetén. Tegyük fel, hogy a

(3.3)∫

H

L(t, s)ℓ(s)dµ(s) < ℓ(t) (t ∈ H)

lineáris homogén integrálegyenlotlenségnek létezik ℓ : H → R+ pozitív folytonos

megoldása. Ekkor a

(3.4) x(t) =

∫

H

K(t, s, x(s))dµ(s) (t ∈ H).

nemlineáris integrálegyenletnek létezik pontosan egy x : H → Rm folytonos meg-

oldása.

Bizonyítás. Tekintsük a fönti integrálegyenlet jobb oldala által definiált T leképe-zést. Kihasználva a K függvény H × graph(x) kompakt halmaz feletti egyenletesfolytonosságát igazolható, hogy minden x ∈ C(H,Rm) esetén Tx ∈ C(H,Rm)teljesül. Tehát T : C(H,Rm) → C(H,Rm).

A tétel állításának igazolásához megmutatjuk, hogy T kontrakció a ‖ ·‖p normáranézve, ahol p := 1/ℓ. A (3.3) feltétel szerint

1

ℓ(t)

∫

H

L(t, s)ℓ(s)dµ(s) < 1 (t ∈ H).

Mivel a fenti egyenlotlenség baloldala t-nek folytonos függvénye, ezért

q := supt∈H

1

ℓ(t)

∫

H

L(t, s)ℓ(s)dµ(s) < 1.

Tehát

(3.5)∫

H

L(t, s)ℓ(s)dµ(s) ≤ q · ℓ(t) (t ∈ H).

30 3.1. FREDHOLM-FÉLE INTEGRÁLEGYENLETEK.

Alkalmazva a (3.2) alatti Lipschitz-feltételt és a (3.1) és (3.5) egyenlotlenségeketkapjuk, hogy

p(t)|(Tx)(t)− (Ty)(t)| ≤ p(t)

∫

H

|K(t, s, x(s))−K(t, s, y(s))|dµ(s)

≤ p(t)

∫

H

L(t, s)|x(s)− y(s)|dµ(s)

≤(

p(t)

∫

H

L(t, s)

p(s)dµ(s)

)

· ‖x− y‖p

=

(

1

ℓ(t)

∫

H

L(t, s)ℓ(s)dµ(s)

)

· ‖x− y‖p≤ q‖x− y‖p.

A bal oldal szuprémumát képezve t-ben, a kontrakciós tulajdonság azonnal adódik.Így a Banach-féle fixponttétel miatt T -nek pontosan egy fixpontja, azaz a (3.4)egyenletnek pontosan egy megoldása van. �

Az alábbiakban a fenti tétel több egyszeru következményét fogalmazzuk meg.

3.3. Következmény. Legyen K : H2 ×Rm → R

m olyan folytonos függvény, amely

eleget tesz a (3.2) Lipschitz-feltételnek valamilyen L : H2 → R+ folytonos függ-

vénnyel minden t, s ∈ H és x, y ∈ Rm esetén. Tegyük fel, hogy

(3.6)∫

H

L(t, s)dµ(s) < 1 (t ∈ H).

Ekkor a (3.4) nemlineáris integrálegyenletnek létezik pontosan egy x : H → Rm

folytonos megoldása.

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy (3.5) miatt az elozo tétel (3.3) feltétele ℓ ≡ 1 vá-lasztással teljesül. �

3.4. Következmény. Legyenek f : H → Rm és A : H2 → R

m×m folytonos függvé-

nyek. Tegyük fel, hogy

(3.7)∫

H

‖A(t, s)‖dµ(s) < 1 (t ∈ H).

Ekkor a

(3.8) x(t) = f(t) +

∫

H

A(t, s)x(s)dµ(s) (t ∈ H)

inhomogén lineáris integrálegyenletnek létezik pontosan egy x : H → Rm folytonos

megoldása.


Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy µ(H) > 0. Le-gyen

K(t, s, x) :=1

µ(H)f(t) + A(t, s)x (t, s ∈ H, x ∈ R

m).

Ekkor L(t, s) := ‖A(t, s)‖ választással teljesülnek a 3.3. Következ feltételei, ami-bol azonnal adódik, hogy az (3.8) egyenletnek létezik pontosan egy x : H → R

m

folytonos megoldása. �

3.5. Következmény. Legyen K : H2 ×Rm → R

m olyan folytonos függvény, amely

eleget tesz a

|K(t, s, x)−K(t, s, y)| ≤ L1(t)L2(s)|x− y|Lipschitz-feltételnek valamilyen L1, L2 : H → R+ folytonos függvényekkel minden

t, s ∈ H és x, y ∈ Rm esetén. Tegyük fel, hogy

∫

H

L1(s)L2(s)dµ(s) < 1.

Ekkor a (3.4) nemlineáris integrálegyenletnek létezik pontosan egy x : H → Rm

folytonos megoldása.

Bizonyítás. Válasszuk meg a c > 0 számot úgy, hogy∫

H

(L1(s) + c)L2(s)dµ(s) < 1

teljesüljön. Vegyük észre, hogy a feltevéseink miatt a 3.2. Tétel tétel valamennyifeltétele az L(t, s) := (L1(t) + c)L2(s) és ℓ = L1 + c választásokkal érvényes.Valóban,

∫

H

L(t, s)ℓ(s)dµ(s) =

∫

H

(L1(t) + c)L2(s)(L1(s) + c)dµ(s)

= (L1(t) + c)

∫

H

L2(s)(L1(s) + c)dµ(s)

< L1(t) + c = ℓ(t).

Így a 3.2. Tétel alapján kapjuk a bizonyítandó állítást. �

Az alábbi eredmény ugyanúgy adódik 3.5. Következménybol, mint ahogy a3.4. Következményt levezettük a 3.3. Következménybol.

3.6. Következmény. Legyenek f : H → Rm, A1 : H → R

m×k és A2 : H → Rk×m

folytonos függvények. Tegyük fel, hogy∫

H

‖A1(s)‖‖A2(s)‖dµ(s) < 1.

32 3.2. VOLTERRA-FÉLE INTEGRÁLEGYENLETEK.

Ekkor a

x(t) = f(t) +

∫

H

A1(t)A2(s)x(s)dµ(s) (t ∈ H)

inhomogén lineáris integrálegyenletnek létezik pontosan egy x : H → Rm folytonos

megoldása.

3.2. VOLTERRA-FÉLE INTEGRÁLEGYENLETEK. Ebben a részben végig fel-tesszük, hogy [a, b] ⊂ R intervallum és H := {(t, s) ∈ R

2 | a ≤ s ≤ t ≤ b}.

3.7. Tétel. Legyen f : [a, b] → Rm folytonos függvény és K : H ×R

m → Rm olyan

folytonos függvény, hogy

|K(t, s, x)−K(t, s, y)| ≤ L|x− y|teljesül valamilyen L ≥ 0 konstanssal minden (t, s) ∈ H és x, y ∈ R

m esetén.

Ekkor az

x(t) = f(t) +

∫ t

a

K(t, s, x(s))ds (t ∈ [a, b])

nemlineáris integrálegyenletnek pontosan egy x : [a, b] → Rm folytonos megoldása

van.

Bizonyítás. Tekintsük a fönti integrálegyenlet jobb oldala által definiált T leképe-zést. Könnyen látható, hogy T : C([a, b],Rm) → C([a, b],Rm). Megmutatjuk, hogyT kontrakció a p(t) := e−Lt függvény által indukált ‖ · ‖p normára nézve.

Legyen x, y ∈ C([a, b],Rm). Ekkor a K függvény Lipschitz tulajdonságát és a(3.1) egyenlotlenséget alkalmazva kapjuk, hogy

p(t)|(Tx)(t)− (Ty)(t)|

≤ e−Lt

∫ t

a

L|x(s)− y(s)|ds ≤(

e−Lt

∫ t

a

LeLsds

)

‖x− y‖p

=(

e−Lt(eLt − eLa))

‖x− y‖p ≤(

1− eL(a−b))

‖x− y‖p.Képezve a fenti egyenlotlenség bal oldalának szuprémumát t-re, adódik, hogy Tvalóban kontrakció, mégpedig a q := 1− eL(a−b) faktorral. �

3.8. Következmény. Ha f : [a, b] → Rm és A : H → R

m×m folytonos függvények,

akkor az

x(t) = f(t) +

∫ t

a

A(t, s)x(s)ds (t ∈ [a, b])

lineáris inhomogén integrálegyenletnek pontosan egy x : [a, b] → Rm folytonos

megoldása van.


Bizonyítás. Alkalmazzuk az elozo tételt a K(t, s, x) := A(t, s)x magfüggvényreés vegyük észre, hogy a Lipschitz-tulajdonság teljesül az L := sup(t,s)∈H ‖A(t, s)‖választással. �

A közönséges differenciálegyenletek elméletének a

(3.9) x′(t) = F(

t, x(t))

, x(τ) = ξ

Cauchy-feladatra vonatkozó klasszikus egzisztencia és unicitási tételének igazolá-sához szükségünk lesz az alábbi segédállításra.

3.9. Lemma. Ha I valós intervallum, F : I ×Rm → R

m folytonos függvény, τ ∈ Iés ξ ∈ R

m, úgy x : I → Rm pontosan akkor megoldása a (3.9) Cauchy-feladatnak,

ha folytonos megoldása az alábbi Volterra-féle integrálegyenletnek:

x(t) = ξ +

∫ t

τ

F(

s, x(s))

ds.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy x megoldása a (3.9) Cauchy-feladatnak. Ekkor Ffolytonossága miatt x′ szintén folytonos; integrálva a Cauchy-feladat mindkét olda-lát és alkalmazva a Newton–Leibniz-tételt kapjuk, hogy

∫ t

τ

F(

s, x(s))

ds =

∫ t

τ

x′(s)ds = x(t)− x(τ) = x(t)− ξ.

Megfordítva, ha x folytonos és teljesül az integrálegyenlet, akkor a felsohatár-függvény differenciálhatósági tétele miatt x differenciálható és x′(t) = F

(

t, x(t))

.Nyilván x′ folytonos, és x(τ) = ξ szintén fönnáll. �

3.10. Tétel. Legyen I ⊂ R intervallum és F : I × Rm → R

m olyan folytonos

függvény, hogy

|F (t, x)− F (t, y)| ≤ L(t)|x− y| (t ∈ I, x, y,∈ Rm)

teljesül valamilyen folytonos L : I → [0,+∞[ Lipschitz-modulussal. Ekkor minden

τ ∈ I és ξ ∈ Rm esetén a (3.9) Cauchy-feladatnak létezik pontosan egy, a teljes I

intervallumon értelmezett megoldása.

Bizonyítás. Legyen J ⊂ I tetszoleges olyan kompakt intervallum, amelyre τ ∈ J .Tekintsük a J intervallumra vonatkozó Cauchy-feladattal – az elozo lemma szerint– ekvivalens Volterra-típusú integrálegyenletet. Ennek a 3.7. Tétel értelmében, a

f(t) := ξ, K(t, s, x) := F (s, x) és L := maxt∈J

L(t)

választásokkal élve, létezik egyértelmu xJ ∈ C(J,Rm) megoldása. Így befejezésülelegendo azt igazolni, hogy a Cauchy-feladatnak létezik a teljes I intervallumon

34 3.3. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEGYENLETEK.

értelmezett egyértelmu megoldása. Legyen t ∈ I tetszoleges, továbbá J ⊂ I olyankompakt intervallum, hogy t, τ ∈ J . Jelölje xJ a Cauchy-feladat J intervallumonadott egyértelmu megoldását, és értelmezzük az x ∈ C(I,Rm) függvényt az

x(t) := xJ(t)

eloírással. E definíció korrekt: ha ugyanis J1, J2 ⊂ I olyan kompakt intervallu-mok, amelyekre t, τ ∈ J1 ∩ J2 teljesül, akkor a Cauchy-feladat J1 ∩ J2 kompaktintervallumon való egyértelmu megoldhatósága miatt

xJ1(t) = xJ1|J1∩J2(t) = xJ2|J1∩J2(t) = xJ2(t).

Nyilván x a teljes I intervallumon értelmezett megoldása a Cauchy-feladatnak,és x|J = xJ minden J ⊂ I kompakt intervallum esetén. Tegyük fel, hogyy ∈ C(I,Rm) szintén megoldás. Ha valamely t∗ ∈ I esetén x(t∗) 6= y(t∗), akkortekintsünk egy olyan kompakt J részintervallumot, amely tartalmazza τ -t és t∗-ot.Ekkor x|J és y|J két különbözo megoldása a Cauchy-feladatnak J-n, ami ellent-mondás. Vagyis x a teljes I intervallumon értelmezett egyértelmu megoldás. �

3.3. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEGYENLETEK. Ebben a részben az

(3.10) f(x) = F(

x, f(ϕ1(x)), . . . , f(ϕk(x)))

(x ∈ H)

függvényegyenlet egyértelmu megoldhatóságát vizsgáljuk. Alapfeltevésünk az,hogyH egy kompakt Hausdorff-féle topologikus tér, továbbá F : H×(Rm)k → R

m

és ϕ1, . . . , ϕk : H → H adott folytonos függvények, f : H → Rm pedig az „isme-

retlen” függvény.

3.11. Tétel. Tegyük fel, hogy F : H × (Rm)k → Rm egy olyan folytonos függvény,

ami eleget tesz az alábbi Lipschitz-feltételnek: Léteznek olyan L1, . . . , Lk : H →R+ folytonos függvények, hogy minden x ∈ H és y1, . . . , yk, z1, . . . , zk ∈ R

m esetén

teljesül∣

∣F (x, y1, . . . , yk)− F (x, z1, . . . , zk)∣

∣ ≤ L1(x)|y1 − z1|+ · · ·+ Lk(x)|yk − zk|.Továbbá tételezzük fel, hogy létezik egy olyan ℓ : H → R+ pozitív értéku függvény,

hogy minden x ∈ H-ra teljesíti a

(3.11) L1(x)ℓ(ϕ1(x)) + · · ·+ Lk(x)ℓ(ϕk(x)) < ℓ(x)

függvényegyenlotlenséget. Ekkor a (3.10) függvényegyenletnek létezik egy egyér-

telmuen meghatározott f : H → Rm folytonos megoldása.

Bizonyítás. A feltevésünk szerint

L1(x)ℓ(ϕ1(x)) + · · ·+ Lk(x)ℓ(ϕk(x))

ℓ(x)< 1.


Mivel a baloldal x-nek folytonos függvénye és H kompakt, ezért

q := supx∈H

L1(x)ℓ(ϕ1(x)) + · · ·+ Lk(x)ℓ(ϕk(x))

ℓ(x)< 1.

Most értelmezzük a T : C(H,Rm) → C(H,Rm) leképezést a

(Tg)(x) := F(

x, g(ϕ1(x)), . . . , g(ϕk(x)))

képlettel. Nyilvánvalóan a T leképezés fixpontjai a (3.10) függvényegyenlet meg-oldásai. Ezért elegendo megmutatnunk, hogy T kontrakció a (C(H,Rm), ‖ · ‖p)Banach-téren, ahol p := 1/ℓ.

Valóban, a tételbeli Lipschitz-feltételt majd q értelmezését alkalmazva, tetszole-ges g, h ∈ C(H,Rm) esetén nyerjük, hogy

p(x)|(Tg)(x)− (Th)(x)|

=1

ℓ(x)

∣

∣F(

x, g(ϕ1(x)), . . . , g(ϕk(x)))

− F(

x, h(ϕ1(x)), . . . , h(ϕk(x)))∣

∣

≤ 1

ℓ(x)

(

L1(x)|g(ϕ1(x))− h(ϕ1(x))|+ · · ·+ Lk(x)|g(ϕk(x))− h(ϕk(x))|)

≤ 1

ℓ(x)

(

L1(x)ℓ(ϕ1(x)) + · · ·+ Lk(x)ℓ(ϕk(x)))

‖g − h‖p ≤ q‖g − h‖p.

Tehát‖Tg − Th‖p = sup

x∈Hp(x)|(Tg)(x)− (Th)(x)| ≤ q‖g − h‖p,

ami azt mutatja, hogy T kontrakció a (C(H,Rm), ‖ · ‖p) Banach-téren a q faktorral.Következésképpen T -nek a C(H,Rm) térben létezik fixpontja és ez egyértelmuenmeghatározott. �

3.12. Következmény. Tegyük fel, hogy F : H × (Rm)k → Rm egy olyan

folytonos függvény, ami eleget tesz a 3.11. Tétel Lipschitz-feltételének olyan

L1, . . . , Lk : H → R+ folytonos függvényekkel, amelyekre minden x ∈ H telje-

sül, hogy

L1(x) + · · ·+ Lk(x) < 1.

Ekkor a (3.10) függvényegyenletnek létezik egy egyértelmuen meghatározott

f : H → Rm folytonos megoldása.

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy az ℓ ≡ 1 függvény kielégíti a (3.11) egyenlotlen-séget, tehát az állítás a 3.11. Tételbol azonnal következik. �

36 3.4. AZ INVERZFÜGGVÉNY-TÉTEL.

3.4. AZ INVERZFÜGGVÉNY-TÉTEL. Ebben a részben végig feltesszük, hogyX ésY Banach-terek, D ⊆ X pedig egy nyílt halmaz. Szokásos módon B(X, Y )-naljelöljük az X-et Y -ba képezo korlátos lineáris operátorok terét, amelyet az

‖A‖ := sup{‖A(x)‖ : ‖x‖ ≤ 1}

normával látunk el. Emlékeztetünk arra, hogy a Banach-féle korlátos inverzre vo-natkozó tétele szerint, ha egy B(X, Y )-beli lineáris leképezés invertálható, akkorinverze is korlátos lineáris leképezés.

Az alábbi eredményre, aminek alapveto szerepe lesz az inverzfüggvény tétel iga-zolásában, a tartomány-invariancia tételként fogunk hivatkozni.

3.13. Tétel. Ha T : D → X kontrakció, akkor az F (x) := x − Tx képlettel meg-

adott függvény nyílt és injektív, továbbá az F−1 : F (D) → D leképezés Lipschitz-

tulajdonságú az 1/(1− q) modulussal. Következésképpen F homeomorfizmus D és

F (D) között. Ha még D = X is teljesül, akkor F (D) = X .

Bizonyítás. Annak kimutatásához, hogy F : D → X nyílt, azt fogjuk belátni, hogyha p ∈ D és r > 0 olyan, hogy U(p, r) ⊆ D, akkor U(F (p), (1 − q)r) ⊆F (B(p, r)), ahol q a T kontrakciós faktora.

Legyen y ∈ U(F (p), (1 − q)r) tetszoleges. Az y ∈ F (B(p, r)) tartalmazásigazolásához értelmezzük az G : D → X leképezést a G(x) := y + Tx képlettel.Ekkor G kontrakció a q faktorral, továbbá

‖G(p)− p‖ = ‖y + Tp− p‖ = ‖y − F (p)‖ < (1− q)r.

Így a Banach-féle fixponttétel 1.4. Tételbeli lokális változata szerint G-nek van egyx fixpontja a B(p, r) nyílt gömbben. Ekkor x = y+Tx, azaz y = x−Tx = F (x),tehát y ∈ F (B(p, r)).

Az függvény F injektív, mivel x, y ∈ D esetén a háromszög-egyenlotlenség,valamint T kontrakciós tulajdonsága miatt

‖F (x)− F (y)‖ ≥ ‖x− y‖ − ‖Tx− Ty‖ ≥ (1− q)‖x− y‖.

Ha u, v ∈ F (D), akkor a fenti egyenlotlenséget x = F−1(u)-ra és y = F−1(v)-realkalmazva kapjuk, hogy F−1 Lipschitz-tulajdonságú az 1/(1− q) modulussal.

Ha D = X , akkor minden r > 0-ra teljesül, hogy U(0, r) ⊆ D, ezért a fentiekszerint, minden r > 0-ra U(F (0), (1 − q)r) ⊆ F (B(0, r)) ⊆ F (D). Ez csak úgylehetséges, ha F (D) = X . �

Megjegyezzük, hogy a tétel feltételeibol az is azonnal következik, hogy F isLipschitz-tulajdonságú az 1 + q modulussal.


3.14. Következmény. LegyenekA,B : X → Y olyan korlátos lineáris leképezések,

hogy A invertálható és

‖B − A‖ < 1

‖A−1‖ .

Ekkor B is invertálható és

‖B−1 − A−1‖ ≤ ‖B − A‖ · ‖A−1‖21− ‖B − A‖ · ‖A−1‖ .

Következésképpen a B(X, Y ) térben az invertálható lineáris leképezések halmaza

nyílt és e halmazon az inverzképzés, azaz az A 7→ A−1 hozzárendelés folytonos.

Bizonyítás. A tétel ‖B − A‖-ra vonatkozó becslése alapján

q := ‖I − A−1B‖ = ‖A−1(B − A)‖ ≤ ‖A−1‖ · ‖B − A‖ < 1,

tehát T := I − A−1B lineáris kontrakció. Így F := I − T = A−1B az elozotétel szerint lineáris homeomorfizmusa X-nek önmagával és ‖F−1‖ ≤ 1/(1 − q).Ennélfogva B = AF is invertálható lineáris leképezés és

‖B−1‖ = ‖F−1A−1‖ ≤ ‖F−1‖ · ‖A−1‖ ≤ ‖A−1‖1− q

.

Tehát‖B−1 − A−1‖ = ‖(I − A−1B)B−1‖ ≤ ‖I − A−1B‖ · ‖B−1‖

≤ q · ‖A−1‖

1− q≤ ‖B − A‖ · ‖A−1‖2

1− ‖B − A‖ · ‖A−1‖ .

Az inverzleképezés folytonosságára vonatkozó állítás ennek a becslésnek az azon-nali következménye. �

Analóg állítás érvényes a Banach-algebrák invertálható elemeire vonatkozóan. Abemutatott bizonyítás független a szokásos, a Neuman-sorokkal történo megköze-lítéstol. Megjegyezzük azonban, hogy az inverzelem Neuman-sorral való konstruk-cióját most a Piccard-iteráció szolgáltatná.

3.15. Tétel. Legyen p ∈ D és f : D → Y . Tegyük fel, hogy létezik olyan A : X →Y invertálható korlátos lineáris leképezés, hogy

α := limsup(x,y)→(p,p)

‖f(x)− f(y)− A(x− y)‖‖x− y‖ <

1

‖A−1‖ .

Ekkor létezik p-nek és q := f(p)-nek olyan U ⊆ X , illetve V ⊆ Y környezete, hogy

f |U homeomorfizmus U és V között, továbbá a g :=(

f |U)−1

inverzfüggvényre

38 3.4. AZ INVERZFÜGGVÉNY-TÉTEL.

teljesül, hogy

limsup(u,v)→(q,q)

‖g(u)− g(v)− A−1(u− v)‖‖u− v‖ ≤ α‖A−1‖2

1− α‖A−1‖ .

Bizonyítás. A tétel feltételébol kapjuk, hogy

1 > γ := α‖A−1‖ = limsup(x,y)→(p,p)

‖A−1‖ · ‖f(x)− f(y)− A(x− y)‖‖x− y‖

≥ limsup(x,y)→(p,p)

‖A−1[f(x)− f(y)− A(x− y)]‖‖x− y‖

= limsup(x,y)→(p,p)

‖(y − A−1f(y))− (x− A−1f(x))‖‖y − x‖

Értelmezzük a T : D → X leképezést a Tx := x − A−1f(x) képlettel. A fentiegyenlotlenségbol azonnal adódik, hogy minden rögzített δ ∈ ]γ, 1[ esetén létezikolyan rδ > 0, hogy

‖Ty − Tx‖ ≤ δ‖x− y‖,ha x, y ∈ U(p, rδ). Tehát T kontrakció a δ faktorral az U(p, rδ) nyílt gömbön.Így a tartomány-invariancia tétel szerint az F (x) = x − Tx = A−1f(x) módonértelmezett F : D → X függvény homeomorfizmus az U(p, rδ) és az F (U(p, rδ))nyílt halmazok között, sot F−1 Lipschitz-tulajdonságú az 1/(1 − δ) modulussal.Ezért A ◦ F = f homeomorfizmus az U(p, rδ) és az f(U(p, rδ)) nyílt halmazokközött, továbbá u, v ∈ f(U(p, rδ)) esetén

‖f−1(u)− f−1(v)‖ = ‖F−1(A−1u)− F−1(A−1v)‖

≤ 1

1− δ‖A−1u− A−1v‖ ≤ ‖A−1‖

1− δ‖u− v‖.

Tehát f−1 Lipschitz-tulajdonságú az ‖A−1‖/(1− δ) modulussal az f(U(p, rδ)) hal-mazon. Ezt felhasználva kapjuk, hogy x, y ∈ U(p, rδ) esetén

‖f(x)− f(y)‖ ≥ 1− δ

‖A−1‖‖x− y‖.

Ennélfogva u, v ∈ f(U(p, rδ)) esetén az x = f−1(u) és y = f−1(v) jelölésekkel

‖g(u)− g(v)− A−1(u− v)‖‖u− v‖ =

‖x− y − A−1(f(x)− f(y))‖‖f(x)− f(y)‖

=‖Tx− Ty‖‖x− y‖ · ‖x− y‖

‖f(x)− f(y)‖ ≤ δ‖A−1‖1− δ


Tehát minden δ ∈ ]γ, 1[ esetén

limsup(u,v)→(q,q)

‖g(u)− g(v)− A−1(u− v)‖‖u− v‖ ≤ δ‖A−1‖

1− δ.

Innen δ → γ jobboldali határátmenettel kapjuk a tétel utolsó állítását. �

3.16. Következmény. Legyen f : D → Y egy p ∈ D pontban Fréchet-értelemben

erosen differenciálható függvény, azaz tegyük fel, hogy létezik olyan f ′(p) : X → Ykorlátos lineáris leképezés, hogy

lim(x,y)→(p,p)

‖f(x)− f(y)− f ′(p)(x− y)‖‖x− y‖ = 0.

Ha f ′(p) invertálható, akkor létezik p-nek és q := f(p)-nek olyan U ⊆ X , illetve

V ⊆ Y környezete, hogy f |U homeomorfizmus U és V között, továbbá a g :=(

f |U)−1

inverzfüggvény erosen Fréchet-differenciálható a q pontban és

g′(q) =(

f ′(p))−1

.

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy az elozo tétel feltételei, illetve állítása az A :=f ′(p) és α := 0 választásokkal teljesülnek. �

Megmutatható, hogy az f függvény p pontbeli folytonos Fréchet-differenciálhatóságábólkövetkezik, hogy f a p pontban erosen Fréchet-differenciálható. Tehát a fenti kö-vetkezménybol az inverzfüggvény tétel szokásos alakja levezetheto.

40 4.1. A FRAKTÁLOK TERE

4. Fraktálelmélet

Talán nem túlzás azt állítani, hogy a fraktálok a modern matematika legközismer-tebb és egyben legnépszerubb szülöttei. Ezért meglepo, hogy a szakirodalombanmind e mai napig nincs egységesen elfogadott definíciójuk. Két alaptulajdonságuk,az önhasonlóság és finomszerkezet egyaránt lehetoséget kínál értelmezésükre. Bármi az elobbibol indulunk ki, a másik tulajdonságot is igyekszünk kidomborítani.Ennek megfeleloen, elsoként bevezetjük a fraktálok terét, megmutatjuk ennek tel-jességét, majd igazoljuk, hogy az önhasonlóságot kifejezo invariancia egyenletnekpontosan egy megoldása van. Ez utóbbihoz, melyet a Fraktálelmélet alaptételénekszokás nevezni, a Banach-féle fixponttételt használjuk. Másodszor, mértékelméletimódszereket alkalmazva kitérünk a finomszerkezetet leíró dimenziófogalom vizs-gálatára.

4.1. A FRAKTÁLOK TERE Legyen X tetszoleges nem üres halmaz, valamint le-gyenek T1, . . . , Tn : X → X adott leképezések. Az F ⊂ X nem üres halmazt os-

fraktálnak nevezzük, ha eleget tesz az alábbi, úgynevezett invariancia egyenletnek:

F =n⋃

k=1

Tk(F ).

Szokásos még a (T1, . . . , Tn) családot iterált függvényrendszerként, az F halmaztpedig az ehhez tartozó attraktorként is említeni. Világos, hogy ha az invarianciaegyenlet jobb oldalát halmazértéku leképezésnek tekintjük, akkor F ennek fixpont-ja. Kérdés tehát, hogy milyen feltételeket kell szabni az alaptérre és az iterált függ-vényrendszerre, hogy a fixpont létezzen és egyértelmu legyen. Az alfejezet fo céljaegy ilyen elegendo feltételrendszer tisztázása.

A továbbiakban legyen (X, d) metrikus tér, s jelölje F(X) az X nem üres, kor-látos, zárt részhalmazainak családját. Adott A,B ∈ F(X) halmazok Hausdorff–

Pompeiu-távolságán az alábbi mennyiséget fogjuk érteni:

dHP (A,B) = inf{

ε > 0 | A ⊂⋃

b∈BU(b, ε), B ⊂

⋃

a∈AU(a, ε)

}

.

4.1. Tétel. Az elobbi jelölések megtartása mellett, (F(X), dHP ) metrikus tér, melyet

a fraktálok terének, vagy röviden fraktáltérnek mondunk.

Bizonyítás. Elsoként megmutatjuk, hogy dHP véges értéku. Ha A,B ∈ F(X),akkor a korlátosság miatt vannak olyan α, β pozitív számok és olyan x, y ∈ Xelemek, hogy

A ⊂ U(x, α), B ⊂ U(y, β).

4. Fraktálelmélet 41

Így minden a ∈ A és b ∈ B esetén d(a, b) ≤ α + d(x, y) + β a háromszög-egyenlotlenség miatt; tehát az ε = α + d(x, y) + β választással

a ∈ U(b, ε) ⊂⋃

b∈BU(b, ε), b ∈ U(a, ε) ⊂

⋃

a∈AU(a, ε).

Tehát dHP (A,B) ≤ ε < +∞. Világos, hogy A = B esetén a Hausdorff–Pompeiu-távolság nulla. Tegyük fel, hogy A,B ∈ F(X) esetén dHP (A,B) = 0. Legyen a ∈A rögzített. Ekkor minden n ∈ N mellett van olyan bn ∈ B, hogy d(a, bn) < 1/n.Ez azt jelenti, hogy a (bn) sorozat tart az a ∈ A elemhez. MivelB zárt, ezért a ∈ B.Azonban a ∈ A tetszoleges elem, amibol pedig A ⊂ B következik. A másik irányútartalmazás ugyanígy igazolható, s kapjuk, hogy A = B.

A szimmetria a definíció azonnali következménye. A háromszög-egyenlotlenségigazolásához tekintsük az A,B,C ∈ F(X) halmazokat. Legyen ε > dHP (A,B)valamint δ > dHP (B,C). Ha a ∈ A tetszoleges, akkor van olyan b ∈ B, hogyd(a, b) < ε. Ugyanígy, van olyan c ∈ C, hogy d(b, c) < δ. Tehát, d(a, c) < ε + δ;mivel a ∈ A tetszoleges, a ∈ U(c, ε+ δ). Azaz,

A ⊂⋃

c∈CU(c, ε+ δ).

Az érvelést megismételve az A és C halmazok szerepének felcserélésével azt kap-juk, hogy dHP (A,C) < ε + δ. Végrehajtva az ε → dHP (A,B) valamint aδ → dHP (B,C) határátmenetet, épp a háromszög-egyenlotlenséghez jutunk. �

A fraktáltér egyik legfontosabb sajátossága, hogy átörökli az alaptér teljességét.Ezt fogalmazza meg Blaschke tétele, melyet két változatban ismertetünk, kiegészít-ve az általunk használt esetet azzal, amikor (teljes) metrikus tér nem üres, kompaktrészhalmazainak K(X) családját vesszük alapul.

4.2. Tétel. (Blaschke) A korábbi jelölések megtartása mellett, ha (X, d) teljes, ak-

kor (F(X), dHP ) szintén teljes.

Bizonyítás. Legyen (An) tetszoleges Cauchy-sorozat a fraktáltérben. Azt fogjukigazolni, hogy An →dHP

A, ahol

A ={

x ∈ X | ∃(xk) : xk → x, xk ∈ Ak

}

.

Legyen ε > 0 tetszoleges; a Cauchy-tulajdonság miatt van olyan n0 ∈ N, hogydHP (An, Am) < ε/2, ha n,m > n0. Megmutatjuk, hogy n > n0 esetén teljesül azalábbi két tartalmazás:

(i) A ⊂⋃

y∈An

U(y, ε); (ii) An ⊂⋃

x∈AU(x, ε).


Ezekbol ugyanis már következik, hogy An →dHPA. Legyen elsoként x ∈ A

tetszoleges. Ekkor van olyan (xk) sorozat, hogy xk ∈ Ak és xk → x. Válasszuka k ∈ N indexet úgy, hogy k > n0 és d(xk, x) < ε/2 egyszerre teljesüljön. EkkordHP (An, Ak) < ε/2 miatt létezik olyan y ∈ An elem, hogy d(xk, y) < ε/2. Ezért

d(x, y) ≤ d(x, xk) + d(xk, y) <ε

2+ε

2= ε.

Vagyis, x ∈ U(y, ε), amibol pedig már adódik az (i) tartalmazás. Másodszor,legyen y ∈ An tetszoleges, továbbá (kj) olyan szigorúan monoton indexsorozat,amelyre k1 = n és m > kj esetén

(4.1) dHP (Am, Akj) <ε

2j

teljesül. Ilyen sorozat valóban létezik, hiszen (Am) Cauchy-tulajdonságú. Értel-mezzük ennek birtokában az (xk) sorozatot az alábbiak szerint: Ha k < n, akkorlegyen xk ∈ Ak tetszoleges. Ha k = n, akkor legyen xk = y. Végül, k > k1 = nesetén van olyan j ∈ N index, hogy k ∈ {kj +1, . . . , kj+1}. Legyen ekkor xk ∈ Ak

olyan, hogy d(xk, xkj) < ε/2j teljesüljön, ahol xkj ∈ Akj tetszolegesen rögzítettelemek. Megmutatjuk, hogy az így nyert (xk) sorozat Cauchy-sorozat. Legyenekl,m ∈ N, l,m > n tetszolegesek; ekkor vannak olyan i, j ∈ N indexek, hogy

l ∈ {ki + 1, . . . , ki+1}, m ∈ {kj + 1, . . . , kj+1}.Fölteheto, hogy l ≤ m, azaz i ≤ j teljesül. Ekkor

d(xl, xm) ≤ d(xl, xki) + d(xki, xkj) + d(xkj , xm)

≤ d(xl, xki) +

j−1∑

s=i

d(xks, xks+1) + d(xkj , xm)

≤ ε

2i+

j−1∑

s=i

ε

2s+ε

2j<

ε

2i−2.

Azonban l → ∞ esetén i → ∞, tehát ez utóbbi tag tetszolegesen kicsivé válhat.Ez pedig pontosan a bizonyítani kívánt Cauchy-tulajdonságot mutatja.

Mivel X teljes, ezért van olyan x ∈ X , hogy xk → x. Nyilvánvaló, hogy ekkorx ∈ A. Valamint a (4.1) egyenlotlenségbol j = 1 választással kapjuk, hogy mindenm > n esetén van olyan xm ∈ Am, hogy d(y, xm) < ε/2. Tehát,

d(x, y) = limm→∞

d(xm, y) ≤ε

2< ε.

Ez azt jelenti, hogy y ∈ U(x, ε), amibol kapjuk a (ii) tartalmazást. Csupán azt kellmég igazolni, hogy A ∈ F(X), azaz, hogy A nem üres, korlátos, zárt halmaz.


Mivel n > n0 esetén (ii) teljesül és An nem üres, ezért A sem üres. Hasonlóan,(i) miattA korlátos, hiszenAn korlátos. A zártság igazolásához legyenek y ∈ X\Aés x ∈ A tetszoleges elemek. Ekkor van olyan (xn) sorozat, hogy xn → x ésxn ∈ An. Másrészt, dHP (An, A) → 0 és y /∈ A, ezért létezik olyan ε > 0 és nkindexsorozat, hogy d(xnk

, y) ≥ ε. Ám ekkor

d(x, y) = limn→∞

d(xn, y) = limk→∞

d(xnk, y) ≥ ε.

Ez azt jelenti, hogy y nem lehet torlódási pontja az A halmaznak, hiszen x ∈ Atetszoleges elem. Vagyis, A tartalmazza valamennyi torlódási pontját. �

4.3. Tétel. (Blaschke) A korábbi jelölések megtartása mellett, ha (X, d) teljes, ak-

kor (K(X), dHP ) szintén teljes.

Bizonyítás. Legyen (An) Cauchy-sorozat a (K(X), dHP ) térben, s tekintsük az elo-zo bizonyításban adott A halmazt. Elegendo azt igazolni, hogy A kompakt. Ehhezbelátjuk, hogy A teljes és teljesen korlátos; a Hausdorff-tétel szerint ez ekvivalensa kompaktsággal.

Mivel A az elozo tétel szerint zárt, X pedig teljes, ezért A teljes. Legyen ε > 0tetszoleges. Válasszuk az n ∈ N indexet úgy, hogy

A ⊂⋃

y∈An

U(y, ε/4)

teljesüljön. Mivel An kompakt, ezért léteznek olyan y1, . . . , ym ∈ An elemek, hogy{y1, . . . , ym} véges ε/4-háló az An számára. Ha tehát y ∈ An, akkor van olyanj ∈ {1, . . . ,m} index, hogy y ∈ U(yj, ε/4). Nyilvánvaló, hogy ekkor

⋃

y∈An

U(y, ε/4) ⊂n⋃

j=1

U(yj, ε/2).

Legyen {x1, . . . , xm} ⊂ A olyan halmaz, hogy xj ∈ U(yj, ε/2) fönnálljon. Azon-nal látható, hogy e halmaz véges ε-háló az A halmaz számára. Tehát A teljesenkorlátos. �

A fraktáltér teljességének birtokában már viszonylag egyszeruen kapjuk a fraktál-elmélet alaptételét. Ez a tétel az invariancia egyenlet egyértelmu megoldhatóságáraad elegendo feltételt, és Banach fixponttétele segítségével igazolható.

4.4. Tétel. (Hutchinson) Ha (X, d) teljes metrikus tér, T1, . . . Tn : X → X kontrak-

ciók, akkor létezik pontosan egy (T1, . . . Tn)-fraktál, ami az X tér kompakt részhal-

maza.


Bizonyítás. Adott H ∈ F(X) esetén tekintsük a

T (H) =n⋃

k=1

Tk(H)

módon adott leképezést. Nyilván T : F(X) → F(X); megmutatjuk, hogy T kont-rakció q = max{q1, . . . , qn} faktorral, ahol qk jelöli a Tk kontrakció faktorát. Le-gyen A,B ∈ F(X) és legyen ε > dHP (A,B). Ha a ∈ A tetszoleges, akkor vanolyan b ∈ B, hogy d(a, b) < ε. Így minden k ∈ {1, . . . , n} esetén

d(Tka, Tkb) ≤ qkd(a, b) ≤ qkε ≤ qε.

Tehát,

Tka ∈ U(Tkb, qε) ⊂⋃

y∈T (B)

U(y, qε).

Mivel a ∈ A és k ∈ {1, . . . , n} tetszolegesek, ezért innen

T (A) ⊂⋃

y∈T (B)

U(y, qε)

adódik. Hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy T (B) része a T (A) halmaz qε-sugarú környezetének; vagyis, dHP

(

T (A), T (B))

≤ qε. Véve az ε → dHP (A,B)határátmenetet kapjuk, hogy T valóban kontrakció.

A Blaschke-tételt és a Banach-féle fixponttételt alkalmazva adódik, hogy T ren-delkezik pontosan egy H0 ∈ F(X) fixponttal. Ez a H0 fixpont pedig épp a(T1, . . . , Tn) függvényrendszerhez tartozó fraktál.

Befejezésül megmutatjuk, hogy még H0 ∈ K(X) is teljesül. Ehhez Hausdorffkompaktsági tételének értelmében elegendo azt belátnunk, hogy H0 teljesen kor-látos. A korábbi jelölések megtartása mellett a H0 = T (H0) invariancia egyenletszerint H0 felbontható n darab legfeljebb q diam(H0) átméroju részre. Ezt iterálvakapjuk, majd m-szerinti teljes indukciót alkalmazva kapjuk, hogy H0 felbontha-tó nm darab legfeljebb qm diam(H0) átméroju részre. Az m értékét elég nagynakválasztva elérheto, hogy a felbontásbeli halmazok átméroje tetszolegesen kicsivéváljon. Ez pedig azt mutatja, hogy H0 teljesen korlátos. �

A Banach-féle fixponttétel különféle hibabecslései és a konvergencia sebességérevonatkozó egyenlotlensége közvetlen módon átültetheto a fraktálok terére. Ezek bi-zonyításától így eltekintünk, azonban magát a tételt megfogalmazzuk, mivel késobbtámaszkodni fogunk rá.


4.5. Tétel. Ha (X, d) teljes metrikus tér, H0 pedig a (T1, . . . , Tn) kontrakciók ál-

tal származtatott egyértelmu fraktál, valamint (Hn) a H1 := H , Hn+1 := T (Hn)rekurzióval értelmezett sorozat, akkor érvényesek az alábbi hibabecslések:

dHP (Hn, H0) ≤qn−1

1− qdHP (H1, H2);

dHP (Hn, H0) ≤q

1− qdHP (Hn−1, Hn);

dHP (Hn, H0) ≤ qdHP (Hn−1, H0).

A Fraktálelmélet egyik legfontosabb alkalmazása a képek digitális tárolásáhozkapcsolódik. Ennek elméleti lehetoségét a következo eredményben, a képfeldolgo-zás alaptételében fogalmazzuk meg. Tekintve, hogy az iterációs eljárás közelítést isszolgáltat, a háttérben lévo módszerek a gyakorlatra közvetlenül átvihetok.

4.6. Tétel. Legyen (X, d) metrikus tér. Ha H ⊂ X nemüres, teljesen korlátos

halmaz, akkor minden ε > 0 esetén léteznek olyan T1, . . . , Tn kontrakciók, hogy az

általuk meghatározott H0 fraktálra dHP (H,H0) < ε teljesül.

Bizonyítás. Legyen ε > 0 és H0 := {h1, . . . , hm} egy H-beli véges ε-háló H szá-mára. Rögzített k ∈ {1, . . . ,m} mellett adjuk meg a Tk : X → X leképezést aTk(x) = hk képlettel. Ekkor azonnal látható, hogy a Tk kontrakció és a H0 halmazpedig éppen a (T1, . . . , Tm)-fraktál. Ekkor H0 ⊂ H és H ⊂ ⋃n

k=1 U(hk, ε) miattdHP (H,H0) < ε teljesül. �

4.2. A FRAKTÁLOK HAUSDORFF-DIMENZIÓJA Elsoként néhány olyan mértékel-méleti fogalmat tekintünk át, amelyek a további vizsgálatokban központi szerephezjutnak.

Legyen X nem üres halmaz, µ : P(X) → [0,+∞] pedig tetszoleges halmazfügg-vény. Ismeretes, hogy ekkor µ segítségével µ∗ külso mérték, vagyis nemnegatívértéku, σ-szubadditív halmazfüggvény származik az alábbi módon (az üres halmazinfimumát végtelennek véve). Adott A ⊂ X esetén legyen

µ∗(A) := inf{

∑

i∈Iµ(Ai) | card(I) ≤ N, Ai ⊂ X, A ⊂

⋃

i∈IAi

}

.

Ha µ∗ külso mérték az X halmazon, akkor az A ⊂ X halmazt µ∗-mérhetonekmondjuk, ha minden T ⊂ X esetén

µ∗(T ) = µ∗(T ∩ A) + µ∗(T \ A).

46 4.2. A FRAKTÁLOK HAUSDORFF-DIMENZIÓJA

A Carathéodory-tétel értelmében az X halmaz µ∗-mérheto halmazainak rendszereσ-algebrát alkot, amelyen µ∗ mérték. A Hausdorff-dimenzió értelmezéséhez elso-ként a Hausdorff-mértéket konstruáljuk meg, alkalmas halmazfüggvénybol kiindul-va a külso mértéken át az imént vázolt módon.

4.7. Tétel. Legyenek X, Y nem üres halmazok, valamint µ : P(X) → [0,+∞] és

ν : P(Y ) → [0,+∞] adott halmazfüggvények. Ha f : X → Y olyan függvény, hogy

minden A ⊂ X esetén ν(f(A)) ≤ µ(A), akkor ν∗(f(A)) ≤ µ∗(A). Hasonlóan, ha

f bijektív és minden A ⊂ X esetén ν(f(A)) = µ(A), úgy ν∗(f(A)) = µ∗(A).

Bizonyítás. Az általánosság sérelme nélkül felteheto, hogy µ∗(A) véges. Legyenc > µ∗(A), valamint {Ai ⊂ X | i ∈ I} olyan megszámlálható lefedése az Ahalmaznak, hogy

∑

i∈I µ(Ai) < c. Nyilván ekkor {f(Ai) | i ∈ I} megszámlálhatólefedése az f(A) halmaznak, ezért

ν∗(

f(A))

≤∑

i∈Iν(

f(Ai))

≤∑

i∈Iµ(Ai) < c.

Innen c→ µ∗(A) határátmenettel kapjuk az állítást. A második rész az elsobol máradódik, a leképezésre és inverzére egyszerre alkalmazva a bizonyított egyenlotlen-séget. �

Legyen x > 0 és r ≥ 0 esetén

Γ(x) =

∫ +∞

0

tx−1 exp(−t)dt, α(r) =Γr(12)

Γ(1 + r2).

Adott (X, d) metrikus tér esetén jelölje B(X) a korlátos részhalmazok rendszerét,rögzített δ > 0 mellett pedig Bδ(X) a legfeljebb δ átméroju részhalmazok családját.Legyen továbbá νrδ az alábbi képlettel megadott halmazfüggvény:

νrδ (A) :=

α(r)

2rdiamr(A) ha A ∈ Bδ(X),

+∞ ha A /∈ Bδ(X),

és jelölje χrδ az ebbol származó külso mértéket, azaz χr

δ :=(

νrδ)∗

. Végül ennekbirtokában értelmezzük a χr : P(X) → [0,+∞] halmazfüggvényt az alábbi módon:

χr(A) = limδ→0+

χrδ(A).

Ismeretes, hogy pozitív egész r esetén, α(r) épp az r-dimenziós euklideszi téregységgömbjének térfogata, azaz r-dimenziós Lebesgue-mértéke. Ennek köszön-hetoen, ekkor χr megegyezik az r-dimenziós Lebesgue-mértékkel.


4.8. Tétel. Tetszoleges metrikus teret alapul véve, a χr halmazfüggvény jól definiált

és külso mértéket származtat.

Bizonyítás. Azonnal látható, hogy rögzített A mellett a δ → χrδ(A) hozzárendelés

monoton csökkeno. A monoton függvények ismert határérték tulajdonságai miatt

supδ>0

χrδ(A) = lim

δ→0+χrδ(A).

Tehát, χr valóban jóldefiniált. A második állításhoz a σ-szubadditivitást kell iga-zolni. Legyen {Ai | i ∈ I} megszámlálható lefedése az A halmaznak, s legyenδ > 0. Mivel χr

δ külso mérték, ezért

χrδ(A) ≤

∑

i∈Iχrδ(Ai) ≤

∑

i∈Isupδ>0

χrδ(Ai) =

∑

i∈Iχr(Ai).

Ha most végrehajtjuk a δ → 0+ határátmenetet, épp a kívánt szubadditivitási tulaj-donságot kapjuk. �

A most konstruált χr külso mértéket az r-dimenziós külso Hausdorff-mértékneknevezzük. A χr-mérheto halmazok σ-algebrájára a Hr jelölést alkalmazzuk. A χr

külso mérték e σ-algebrára történo megszorítását r-dimenziós Hausdorff-mértéknek

mondjuk, s mivel ez a továbbiakban semmiféle félreértést nem okoz majd, rá szinténa χr jelölést használjuk.

4.9. Tétel. Metrikus tér Borel-halmazai Hausdorff-mérhetoek, azaz minden r ≥ 0esetén Hr tartalmazza a Borel-halmazok σ-algebráját.

Bizonyítás. A [21] jegyzet 1.3.2. Tételét alkalmazva elegendo csupán azt megmu-tatni, hogy pozitív távolságú A,B Borel-halmazok esetén

χr(A ∪B) ≥ χr(A) + χr(B).

Legyen δ > 0 olyan, hogy 2δ < d(A,B); legyen továbbá {Hi | i ∈ I, Hi ∈Bδ(X)} megszámlálható lefedése az A ∪B halmaznak. Ekkor a

{Hi | Hi ∩ A 6= ∅}, {Hi | Hi ∩B 6= ∅}halmazcsaládok diszjunkt lefedését adják az A illetve B halmazoknak. Ebbol adó-dóan,

χrδ(A ∪ B) ≥ χr

δ(A) + χrδ(B).

Innen δ → 0+ határátmenettel kapjuk a bizonyítandó állítást. �

Adott (X, d) metrikus tér egy f : X → X leképezését q-Lipschitz leképezésnekmondunk, ha d

(

f(x), f(y))

≤ qd(x, y) minden x, y ∈ X mellett fönnáll; q-izometriáról szólunk, ha f bijektív, és az elobbi egyenlotlenséget egyenloséggelteljesíti.

48 4.2. A FRAKTÁLOK HAUSDORFF-DIMENZIÓJA

4.10. Tétel. Ha (X, d) metrikus tér, f : X → X pedig q-Lipschitz leképezés, ak-

kor minden A ⊂ X esetén χr(

f(A))

≤ qrχr(A). Továbbá, ha az f leképezés

q-izometria, akkor itt egyenloség teljesül, és A ⊂ X pontosan akkor χr mérheto,

ha f(A) is az.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f : X → X Lipschitz q modulussal. Ha u, v ∈ f(A),akkor u = f(x) és v = f(y), ahol x, y ∈ A. Így,

d(u, v) = d(

f(x), f(y))

≤ qd(x, y) ≤ q diam(A).

Tehát, f(A) átméroje legfeljebb A átmérojének q-szorosa. Ezért, megtartva a ko-rábban bevezetett jelöléseket, minden δ > 0 és A ⊆ X esetén

νrqδ(f(A)) =α(r)

2rdiamr

(

f(A))

≤ α(r)

2rqr diamr(A) = qrνrδ (A).

Ezért a 4.7. Tétel szerint

χrqδ

(

f(A))

=(

νrqδ)∗(

f(A))

≤(

qrνrδ)∗(A) = qrχr

δ(A).

Innen δ → 0+ határátmenettel kapjuk a tétel elso állítását. Ha f izometria, akkor bi-jektív, és f−1 izometria 1/q aránnyal. Ezért az elozo részbol következik a másodikállítás.

Végezetül, tegyük fel hogy A ⊂ X Hausdorff-mérheto. Ekkor minden T ⊂ Xhalmaz esetén, figyelembe véve f bijektivitását,

χr(

f(T ))

= qrχr(T ) = qr(

χr(T ∩ A) + χr(T \ A))

= χr(

f(T ∩ A))

+ χr(

f(T \ A))

= χr(

f(T ) ∩ f(A))

+ χr(

f(T ) \ f(A))

adódik. Azonban minden S ⊂ X halmaz eloáll S = f(T ) alakban; az elozoekboltehát kapjuk, hogy f(A) valóban Hausdorff-mérheto. A fordított állítás ugyanígyigazolható. �

4.11. Tétel. Ha X normált tér, akkor Hr eltolás- és nyújtásinvariáns; továbbá χr

eltolásinvariáns és r-homogén.

Bizonyítás. Mivel minden eltolás 1-izometria, ezért az elozo tétel utolsó állítása sze-rint minden Hausdorff-mérheto halmaz eltoltja szintén Hausdorff-mérheto. Vagyis,Hr eltolásinvariáns. Sot, szintén az elozo tétel miatt, mérheto halmaznak és eltolt-jának Hausdorff-mértéke megegyezik.

Ha f : X → X nyújtás λ aránnyal, akkor speciálisan |λ|-izometria; az elozo tételszerint A ∈ Hr esetén f(A) ∈ Hr, tehát Hr nyújtásinvariáns. Továbbá, ugyancsakaz elozo tétel szerint, χr

(

f(A))

= |λ|rχr(A) is fönnáll. �


Ha (X, d) metrikus tér, akkor az A ⊂ X halmaz Hausdorff-dimenzióján a követ-kezo bovített valós számot értjük:

dimH(A) := sup{r ≥ 0 | χr(A) = +∞} ∪ {0}.A Hausdorff-dimenzió legfontosabb tulajdonságait az alábbi tételben foglaljukössze. Vegyük észre, hogy e tulajdonságok szoros összhangban vannak az ívhossz,felszín és térfogat jól ismert tulajdonságaival.

4.12. Tétel. Legyen (X, d) metrikus tér, valamint A ⊂ X .

(i) Ha χr(A) < +∞ és t > r, akkor χt(A) = 0.

(ii) Ha r > dimH(A), akkor χr(A) = 0.

(iii) Ha r < dimH(A), akkor χr(A) = +∞.

(iv) Továbbá dimH(A) = inf{r ≥ 0 | χr(A) = 0}.

Bizonyítás. Legyen δ > 0, s legyen {Ai | i ∈ I} az A halmaz olyan Bδ(X)-belihalmazokkal történo megszámlálható lefedése, amelyre

α(r)

2r

∑

i∈Idiamr(Ai) < χr(A) + 1

teljesül. Ilyen lefedés létezését a Hausdorff-mérték származtatása és χr(A) véges-sége biztosítja. Válasszuk a t > r értéket tetszolegesen. Ekkor

χtδ(A) ≤

α(t)

2t

∑

i∈Idiamt(Ai) =

α(t)

2t

∑

i∈Idiamt−r+r(Ai)

≤ α(t)

2tδt−r

∑

i∈Idiamr(Ai) ≤

α(t)

2tδt−r · 2r

α(r)

(

χr(A) + 1)

.

Mivel t − r > 0 a többi tényezo pedig állandó, ezért a felso becslés nullához tartamennyiben δ → 0+. Tehát a rendor-elv értelmében χt(A) = 0. A másik háromállítás az elso azonnali következménye. �

Az eddigiek összegzéseként álljon itt egy eredmény, amely igen hatékony mód-szert biztosít speciális fraktálok Hausdorff-dimenziójának kiszámításához. Néhányközismert esetre a következo alfejezetben mutatunk majd példát.

4.13. Tétel. Ha (X, d) teljes metrikus tér, T1, . . . , Tn : X → X kontrakciók rendre

a q1, . . . , qn faktorokkal, és valamilyen r ≥ 0 esetén a hozzájuk tartozó H ∈ F(X)fraktálra 0 < χr(H) < +∞ teljesül, akkor dimH(H) = r és

1 ≤ qr1 + · · ·+ qrn.

Továbbá, ha χr(

Tk(H) ∩ Tl(H))

= 0 teljesül bármely k 6= l esetén és Tk egy

qk-izometria minden k-ra, akkor a fenti egyenlotlenség egyenloséggel érvényes.

50 4.3. PÉLDÁK, ALKALMAZÁSOK

Bizonyítás. A 0 < χr(H) < +∞ feltételnek a dimH(H) = r egyenloség azonnalikövetkezménye. Mivel H ∈ F(X) kompakt, ezért Hausdorff-mérheto, és így aTk(H) képhalmazok is azok. Másrészt H ∈ F(X) eleget tesz a

H =n⋃

k=1

Tk(H)

egyenletnek, így a mérték szubadditivitása és a homogenitása miatt

χr(H) = χr(

n⋃

k=1

Tk(H))

≤n

∑

k=1

χr(

Tk(H))

≤n

∑

k=1

qrkχr(H).

Mivel χr(H) pozitív véges érték, ezért egyszerusítés után épp a tételbeli egyenlot-lenséghez jutunk. A második állítást ugyaninnen nyerjük, hiszen a nullmértékuségifeltétel, illetve a kontrakciók izometrikus tulajdonságai miatt (a 4.10. Tétel alapján)ilyenkor mindkét helyen egyenloség érvényes. �

A fenti tétel alapján azt várhatnánk, hogy a H fraktál dimenziója az

(4.2) 1 = qr1 + · · ·+ qrn

egyenlet egyértelmu nemnegatív r megoldása. Ez azonban csak akkor biztosított,ha a H halmaz r-dimenziós Hausdorff-mértéke pozitív és véges. Ennek elegendofeltételét adja Hutchinson alábbi tétele, amelyet bizonyítás nélkül közlünk.

4.14. Tétel. Legyenek T1, . . . , Tn : X → X egy euklideszi tér kontraktív izometriái

rendre a q1, . . . , qn faktorokkal, és jelölje H a (T1, . . . , Tn)-fraktált. Ha teljesül az

ú.n. nyílt halmaz feltétel, azaz létezik olyan U ⊂ X nemüres nyílt halmaz, hogy

n⋃

i=1

Ti(U) ⊂ U és Ti(U) ∩ Tj(U) = ∅, ha i 6= j,

akkor a (4.2) egyenlet egyértelmu nemnegatív r megoldásával χr(H) pozitív valós

szám. Következésképpen dimH(H) = r.

4.3. PÉLDÁK, ALKALMAZÁSOK Az elozo két fejezet eredményeit három példánkeresztül szemléltetjük. Mindegyik esetben a jól ismert intuitív származtatásbólkönnyen felállítható a fraktált meghatározó alapegyenlet.

A Cantor-halmaz. Tekintsük az alábbi rekurzióval adott (Cn) halmazsorozatot.Legyen C1 = [0, 1]; ha már Cn adott, akkor legyen Cn+1 az a halmaz, amelyeta Cn komponenseinek középso nyílt harmadainak eltávolításával kapunk. Ekkor


a C =⋂

n∈NCn halmazt Cantor-halmaznak nevezzük. Nyilván C eleget tesz azalábbi, affin kontrakciók által meghatározott invariancia egyenletnek:

C =1

3C ∪

(1

3C +

2

3

)

.

A Hutchinson-tétel szerint ennek az egyenletnek létezik pontosan egy nem üres,kompakt megoldása. Mivel az elozo tétel nyílt halmaz feltétele U =]0, 1[ választás-sal teljesül, ezért ha r jelöli C Hausdorff-dimenzióját, akkor

1 =1

3r+

1

3r.

Innen egyszeru számolással kapjuk, hogy a Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziójalog 2/ log 3. Mint ismeretes, C kontinuum számosságú és nullmértéku részhalmazaa valós számok halmazának.

A Sierpinski-szonyeg. Osszuk fel a [0, 1]2 négyzetet az oldalaival párhuzamosegyenesekkel 9 egybevágó részre és hagyjuk el a középso négyzet belsejét. A meg-maradó nyolc négyzet mindegyikére alkalmazzuk az elozo eljárást és ezt folytatjuk.Pontosabban fogalmazva, legyenek a Tij : [0, 1]2 → [0, 1]2 az alábbiak szerint adottaffin kontrakciók:

Tij(x, y) =(x+ i

3,y + j

3

)

, i, j ∈ {0, 1, 2}.

Ekkor a Hutchinson-tétel szerint létezik pontosan egy olyan S ⊂ [0, 1]2 nem üres,kompakt halmaz, amelyre fönnáll a következo invariancia egyenletnek:

S =⋃

{

Tij(S) | i, j ∈ {0, 1, 2}, (i, j) 6= (1, 1)}

.

Ezt az S halmazt Sierpinski-szonyegnek nevezzük. Az elozo tétel nyílt halmaz fel-tétele most az U =]0, 1[2 nyílt négyzettel teljesül. Ha tehát r jelöli S Hausdorff-dimenzióját, akkor az 1 = 8/3r egyenlethez jutunk, amibol r = log 8/ log 3 adódik.

A Menger-szivacs. A Menger-szivacs az elobbiekhez hasonló eljárással kapható,az egységkocka alkalmas részeinek közepeit elhagyva. Az eljárás részletezésétoleltekintünk, csak magát az invariancia egyenletet közöljük. Tekintsük az alábbimódon definiált Tijk : [0, 1]3 → [0, 1]3 affin kontrakciókat:

Tijk(x, y, z) =(x+ i

3,y + j

3,z + k

3

)

.

A Hutchinson-tétel értelmében létezik pontosan egy nem üres, kompakt halmazúgy, hogy

M =⋃

{

Tijk(M) | i, j, k ∈ {0, 1, 2}, (1, 1) /∈ {(i, j), (j, k), (k, i)}}

.

52 4.3. PÉLDÁK, ALKALMAZÁSOK

Ezt az M ⊂ [0, 1]3 halmazt Menger-szivacsnak mondjuk. Mivel ezt 20 darab 1/3faktorú affin kontrakció származtatja, és a nyílt halmaz feltétel az U =]0, 1[3 nyíltkockával teljesül, ezért az r Hausdorff-dimenzióra az 1 = 20/3r egyenloség követ-kezik. Ebbol pedig r = log 20/ log 3 adódik.

5. Fixponttételek monoton leképezésekre 53

5. Fixponttételek monoton leképezésekre

Ebben a fejezetben az iterációs módszert parciálisan rendezett struktúrák mono-ton leképezéseire ültetjük át. Az itt igazolt fixponttétel Alfred Tarski lengyel mate-matikus eredménye. Ennek az eredménynek többféle kiterjesztését, igazoljuk, majdszámos alkalmazását mutatjuk be.

5.1. A TARSKI-FÉLE FIXPONTTÉTEL ÉS VÁLTOZATAI. Az alábbi eredményt aTarski-féle fixponttétel elemi változataként szokás idézni. Mint látni fogjuk, itt azegyszeruség a nagyszeruség szinonimája: amellett, hogy út a Schröder–Bernstein-tétel elegáns bizonyításához, széles kaput nyit a különféle általánosítások elott.

5.1. Tétel. (Tarski) Ha T : P(X) → P(X) a tartalmazásra nézve monoton leképe-

zés, akkor létezik fixpontja.

Bizonyítás. Legyen A = {H ⊂ X | H ⊂ T (H)}. Megmutatjuk, hogy A =⋃

A

fixpont. Valóban, haH ∈ A, akkorH ⊂ A, így a monotonitás miatt T (H) ⊂ T (A).Azonban H ⊂ T (H), ezért H ⊂ T (A). Vagyis, A ⊂ T (A). Ismét a monotonitásthasználva, innen T (A) ⊂ T (T (A)) következik. Tehát, T (A) ∈ A, s így T (A) ⊂ A.Összességében mindezekbol A = T (A), a bizonyítani kívánt fixpont tulajdonságadódik. �

Egy adott halmaz részhalmazainak rendszere parciálisan rendezett struktúra a tar-talmazásra nézve. Ez a közismert tény az ösztönzoje Tarski elemi fixponttételénekkülönféle kiterjesztéseihez. Három ilyen általánosítást közlünk. Emlékeztetnénkarra, hogy egy parciálisan rendezett struktúra részrendszerét láncnak hívjuk, harendezett részhalmaz. Továbbá, teljes parciálisan rendezett halmazról beszélünk,ha bármely nem üres, felülrol korlátos részhalmaznak van szuprémuma.

5.2. Tétel. (Tarski) Ha (X,�) teljes parciálisan rendezett halmaz, T : X → Xmonoton leképezés, a, b ∈ X olyanok, hogy a � T (a) � T (b) � b, akkor a Tleképezésnek létezik fixpontja az [a, b] intervallumban.

Bizonyítás. Legyen A := {x ∈ [a, b] | x � T (x)}. Mivel a ∈ A, ezért A nemüres, és mivel A ⊂ [a, b], ezért A felülrol korlátos. A teljesség miatt létezik α =supA; megmutatjuk, hogy α fixpont. Nyilván α ∈ [a, b], ezért a monotonitás miattT (a) � T (α) � T (b). Így a feltételek szerint T (α) ∈ [a, b].

Másrészt, ha x ∈ A, akkor x � α, s ezért T (x) � T (α). Ez azt eredményezi,hogy x � T (α), amibol viszont kapjuk, hogy T (α) felso korlátja az A halmaznak.Ám ekkor α � T (α); ismét a monotonitás miatt, T (α) � T (T (α)). E tulajdonság,valamint az imént bizonyított T (α) ∈ [a, b] tulajdonság együttesen eredményezi,hogy T (α) ∈ A. Azonban ekkor T (α) � α. Vagyis, α = T (α). �

54 5.1. A TARSKI-FÉLE FIXPONTTÉTEL ÉS VÁLTOZATAI.

5.3. Tétel. (Tarski–Knaster) Ha (X,�) parciálisan rendezett halmaz, T : X → Xmonoton leképezés, valamint

(i) létezik a ∈ X úgy, hogy a � T (a), továbbá

(ii) az {x ∈ X | a � x} halmaz minden láncának létezik szuprémuma,

akkor a T leképezésnek létezik olyan λ ∈ X fixpontja, amely maximális a (ii) rész-

ben szereplo halmazban föllépo fixpontok között.

Bizonyítás. Legyen H = {x ∈ X | a � x} ∩ {x ∈ X | x � T (x)}. Mivel a ∈ H ,ezért H nem üres. Legyen L ⊂ H tetszoleges lánc és u = supL. Ha b ∈ L,akkor b � u, így T (b) � T (u). Azonban b ∈ H miatt b � T (b) is fennáll, tehátT (u) szintén felso korlátja az L láncnak. Így u � T (u). Továbbá a � u, amibolu ∈ H adódik. A Kuratowski–Zorn-lemma szerint tehát létezik maximális λ ∈ Helem. Ekkor λ � T (λ) teljesül, ezért a monotonitás miatt T (λ) � T (T (λ)) adódik.Másrészt, a � λ, ezért T (a) � T (λ); mivel a � T (a), innen a � T (λ) következik.Vagyis, T (λ) ∈ H . Mivel λ maximális, ezért T (λ) � λ. Így λ = T (λ).

A másik állítás adódik λ maximalitásából, valamint abból, hogy minden fixponteleme az {x ∈ X | x � T (x)} halmaznak. �

Célunk a fönti tétel (ii) pontjának gyengítése, melynek ára a leképezésre kiróttfeltételek erosítése a következo módon. Legyen (X,�) parciálisan rendezett hal-maz. Azt mondjuk, hogy a T : X → X leképezés folytonos, ha

T (supL) = supT (L)

teljesül minden olyan L ⊂ X megszámlálható lánc esetén, melynek létezik szup-rémuma. Megjegyezzük, hogy ha T folytonos, akkor egyben monoton is. Valóban,ha x � y, akkor sup{x, y} = y; a folytonosság miatt tehát

T (x) � sup{T (x), T (y)} = T (sup{x, y}) = T (y).

5.4. Tétel. (Tarski–Kantorovics) Ha (X,�) parciálisan rendezett halmaz, valamint

T : X → X folytonos leképezés, továbbá

(i) létezik a ∈ X úgy, hogy a � T (a), és

(ii) {x ∈ X | a � x} minden megszámlálható láncának van szuprémuma,

akkor a T leképezésnek létezik olyan λ ∈ X fixpontja, amely legkisebb a (ii) részben

szereplo halmazban föllépo fixpontok között.

Bizonyítás. Legyen L = {T n(a) | n ∈ N ∪ {0}}. Ekkor L megszámlálható láncaz {x ∈ X | a � x} halmazban. Valóban, a � T (a) miatt T (a) � T 2(a) adódik,hiszen T monoton. Általánosabban, teljes indukcióval kapjuk, hogy

a � T (a) � T 2(a) � T 3(a) � · · · � T n(a).


Megmutatjuk, hogy λ = supL fixpont. A fönti észrevételt és T folytonosságátfölhasználva,

T (λ) = T (supL) = supT (L) = supn∈N

T n(a) = supn∈N

T n−1(a) = λ.

Ha a � µ szintén fixpont, akkor a � T (a) � T (µ) = µ; ismét indukciót alkalmaz-va, a � T n(a) � µ minden n ∈ N ∪ {0} index esetén. Tehát µ felso korlátja az L

láncnak, amibol pedig λ � µ következik. �

5.2. A SZÁMOSSÁGARITMETIKA ALAPTÉTELE. Fölidézzük, hogy az A halmazkisebb vagy egyenlo számosságú a B halmaznál, ha létezik ϕ : A → B injektívleképezés; két halmaz egyenlo számosságú, ha van köztük bijektív megfeleltetés.Elobbit az A � B módon, míg ez utóbbit az A ∼ B módon jelöljük. Bár az alkal-mazás szempontjából számunkra csupán a � reláció antiszimmetriája az érdekes,a teljességre törekedve a számosságaritmetika alaptételének bizonyítását egészébenközöljük.

5.5. Tétel. Tetszoleges X halmaz esetén a � reláció a ∼ ekvivalencia relációval

kompatibilis rendezés a P(X) családon.

Bizonyítás. Könnyen adódik, hogy ∼ ekvivalenciareláció. A � reláció reflexivitásaés tranzitivitása úgyszintén nyilvánvaló. Az antiszimmetria igazolásához azt kellmegmutatni, hogy A � B és B � A esetén A ∼ B (ez utóbbi jelenti a szóbanforgó kompatibilitást).

Tegyük fel, hogy ϕ : A → B illetve ψ : B → A injektív leképezések. Elegen-do azt megmutatni, hogy létezik az A halmaznak (A1, A2), a B halmaznak pedig(B1, B2) partíciója úgy, hogy ϕ(A1) = B1 és ψ(B2) = A2 teljesül. Ekkor ugyanisa

χ(x) =

{

ϕ(x), x ∈ A1

ψ−1(x), x ∈ A2

módon értelmezett χ : A → B bijektív leképezés, amibol A ∼ B következik. Tet-szoleges A1 ⊂ A halmazból kiindulva, legyen B1 = ϕ(A1) és B2 = B \ B1.Tekintsük az A2 = ψ(B2) halmazt. Nyilván (A1, A2) pontosan akkor partíciója azA halmaznak, ha A1 = A \ A2; azaz, ha A1 fixpontja a

T (H) = A \ ψ(

B \ ϕ(H))

leképezésnek. Könnyen adódik, hogy T monoton, ezért a Tarski tételének elemiváltozata miatt valóban létezik A1 fixpontja.

Annak igazolásához, hogy � valóban rendezés, legyen A,B ∈ P(X). Tekintsükmost az összes f ⊂ A × B injektív függvények F halmazát. Mivel ∅ ∈ F, ezértF 6= ∅. Értelmezzük a E relációt az F halmazon a következoképpen: fEg pontosan

56 5.3. MONOTON JOBBOLDALÚ CAUCHY-FELADATOK.

akkor, ha Df ⊂ Dg és g|Df= f . Azonnal adódik, hogy E parciális rendezés.

Legyen L ⊂ F tetszoleges lánc esetén

Dg =⋃

f∈LDf , g(x) = f(x), x ∈ Df .

Világos, hogy Dg ⊂ A; sot a lánc tulajdonság biztosítja, hogy g ⊂ A × B injektívfüggvény. Így g felso korlátja az L láncnak az F halmazban. A Kuratowski–Zorn-lemma miatt létezik maximális ϕ ∈ F elem. Megmutatjuk, hogy Dϕ = A vagyRϕ = B teljesül. Ellenkezo esetben ugyanis létezik olyan (a, b) pár, hogy a 6∈ Dϕ

és b 6∈ Rϕ. Legyen

ψ(x) =

{

b x = a,

ϕ(x) x ∈ Dϕ.

Ekkor ψ ⊂ A × B olyan injektív függvény, amelyre ϕ E ψ és ϕ 6= ψ teljesül. Ezazonban ellentmond ϕ maximalitásának. Ha tehát Dϕ = A, akkor ϕ : A → B, mígha Rϕ = B, úgy a ϕ−1 : B → A injektív. Vagyis A � B, vagy B � A valamelyikebiztosan teljesül. �

5.3. MONOTON JOBBOLDALÚ CAUCHY-FELADATOK. Ebben a részben az

(5.1) x′(t) = f(

t, x(t))

, x(τ) = ξ

Cauchy-feladat megoldásának létezését vizsgáljuk a differenciálegyenlet jobbolda-lán álló f függvény második változóban való monotonitása, továbbá a kezdeti értékprobléma alsó és felso félmegoldásainak létezése mellett.

5.6. Tétel. Ha I balról zárt intervallum, melynek bal végpontja τ , f : I × R →R folytonos, második változójában monoton növo függvény, ξ ∈ R, valamint

u, v : I → R olyan folytonosan differenciálható függvények, hogy

u(τ) ≤ ξ, u′(t) ≤ f(

t, u(t))

,

v(τ) ≥ ξ, v′(t) ≥ f(

t, v(t))

,

és u ≤ v, akkor létezik az (5.1) Cauchy-feladatnak az egész I intervallumon értel-

mezett u és v között haladó megoldása.

Bizonyítás. Jelölje X azon x : I → R függvények halmazát, amelyekre u ≤ x ≤ vteljesül. Nyilván X teljes parciálisan rendezett halmaz a pontonkénti rendezésrenézve.

Definiáljuk a T leképezést X-en a

(Tx)(t) = ξ +

∫ t

τ

f(

s, x(s))

ds


képlettel, ahol∫

az alsó Darboux-integrált jelöli. Mivel az alsó Darboux-integrálmonoton, f második változójában monoton növo, ezért T monoton operátor. To-vábbá x ∈ X és t ∈ I esetén

(Tx)(t) = ξ +

∫ t

τ

f(

s, x(s))

ds ≥ ξ +

∫ t

τ

f(

s, u(s))

ds

≥ ξ +

∫ t

τ

f(

s, u(s))

ds ≥ ξ +

∫ t

τ

u′(s)ds = ξ + u(t)− u(τ) ≥ u(t).

Vagyis, u ≤ Tx. Hasonlóan adódik, hogy Tx ≤ v szintén fennáll. Innen egyrészt aT (X) ⊆ X tartalmazás, másrészt pedig u ≤ Tu és Tv ≤ v adódik. Mivel teljesüla Tarski-féle fixponttétel valamennyi feltétele, ezért van olyan x : I → R függvény,hogy u ≤ x ≤ v és Tx = x, azaz

x(t) = ξ +

∫ t

τ

f(

s, x(s))

ds (t ∈ I).

Az f második változóbeli monotonitása miatt az s 7→ f(s, x(s)) leképezés azs 7→ f(s, u(s)) és az s 7→ f(s, v(s)) folytonos függvények közé esik, ezért a fentiegyenlet jobboldala t-nek folytonos függvénye. Emiatt az egyenlet baloldala, vagy-is x is folytonos. Ekkor az integrandus folytonos és ezért az alsó Darboux-integrálhelyébe Riemann-integrált írhatunk. Tehát x teljesíti az eredeti Cauchy-feladattalekvivalens integrálegyenletet. �

5.4. MONOTON JOBBOLDALÚ FÜGGVÉNYEGYENLETEK. Az alábbiakban az

(5.2) f(t) = F(

t, f(ϕ1(t)), . . . , f(ϕk(t)))

(t ∈ H)

függvényegyenlet megoldhatóságát vizsgáljuk. Alapfeltevésünk az, hogy H egynemüres halmaz, (Y,≤) egy teljes parciálisan rendezett halmaz, továbbá F : H ×Y k → Y és ϕ1, . . . , ϕk : H → H adott függvények, f : H → Y pedig az „is-meretlen” függvény. Megmutatjuk, hogy az F függvényre kiszabott monotonitásifeltételek mellett, a függvényegyenlet bármely alsó és felso félmegoldása közöttlétezik az egyenletnek megoldása.

5.7. Tétel. Tegyük fel, hogy F : H × Y k → Y egy olyan függvény, ami a második

változójának mindegyik koordinátájára nézve monoton. Tegyük fel, hogy u, v : H →Y olyan függvények, amelyekre minden t ∈ H esetén teljesülnek az

u(t) ≤ F(

t, u(ϕ1(t)), . . . , u(ϕk(t)))

,

v(t) ≥ F(

t, v(ϕ1(t)), . . . , v(ϕk(t)))

függvényegyenlotlenségek, továbbá u(t) ≤ v(t), ha t ∈ H . Ekkor az (5.2) függ-

vényegyenletnek létezik egy u és v közötti f : H → Y megoldása.

58 5.5. FRAKTÁLOK EGZISZTENCIA TÉTELE.

Bizonyítás. Jelölje X az olyan f : H → Y függvények halmazát, melyekre min-den t ∈ H esetén u(t) ≤ f(t) ≤ v(t) érvényes. Ekkor X az (Y,≤) térbol szár-mazó pontonkénti rendezéssel teljes parciálisan rendezett halmaz. Értelmezzük aT : X → Y H operátort a

(Tf)(t) := F(

t, f(ϕ1(t)), . . . , f(ϕk(t)))

(t ∈ H)

összefüggéssel.Ekkor f ∈ X és t ∈ H esetén u ≤ f és az F monotonitási tulajdonsága miatt

(Tf)(t) = F(

t, f(ϕ1(t)), . . . , f(ϕk(t)))

≥ F(

t, u(ϕ1(t)), . . . , u(ϕk(t)))

≥ u(t),

tehát u ≤ Tf teljesül. Hasonlóan adódik, hogy Tf ≤ v is fennáll. Innen látható,hogy T (X) ⊆ X , továbbá hogy u ≤ Tu és Tv ≤ v. A Tarski-féle fixponttételmiatt T -nek létezik fixpontja X-ben, így az (5.2) függvényegyenletnek létezik u ésv közé eso f : H → Y megoldása. �

5.5. FRAKTÁLOK EGZISZTENCIA TÉTELE. Ebben a részben a

(5.3) H = T1(H) ∪ · · · ∪ Tn(H)

fraktálegyenlet H megoldását keressük egy X kompakt Hausdorff-tér nemüreskompakt részhalmazai között, ahol T1, . . . , Tn : X → X adott leképezések.

5.8. Tétel. Legyen X kompakt Hausdorff-tér és T1, . . . , Tn : X → X folytonos

leképezések. Tegyük fel, hogy van olyan nemüresK ⊆ H kompakt halmaz, amellyel

teljesülK ⊆ T1(K) ∪ · · · ∪ Tn(K).

Ekkor van olyan K-t tartalmazó H ⊆ X kompakt halmaz, amely az (5.3) fraktál-

egyenlet megoldása.

Bizonyítás. Értelmezzük a T : P(X) → P(X) leképezést az alábbi képlettel:

T (H) := T1(H) ∪ · · · ∪ Tn(H).

Nyilvánvaló, hogy P(X) teljes parciálisan rendezett halmaz a tartalmazásra mintrendezésre nézve, továbbá T monoton operátor. A feltételek miatt K ⊆ T (K)teljesül. Másrészt T (X) ⊆ X is érvényes, ezért a Tarski-féle fixponttétel szerintlétezik olyanK ⊆ H ⊆ X halmaz, hogyH = T (H). MivelX kompakt Hausdorff-tér és T értékei zárt halmazok, ezért H kompakt. De ekkor a folytonossági feltevésmiatt Ti(H) is kompakt, tehát T (H) = T1(H)∪· · ·∪Tn(H), ami azt igazolja, hogyH valóban eleget tesz az (5.3) egyenletnek. �

6. Az Ekeland-elv és alkalmazásai 59

6. Az Ekeland-elv és alkalmazásai

Ebben a részben a modern nemlineáris analízis egyik hatékony eszközét, az IvarEkeland által 1974-ben felfedezett variációs elvet mutatjuk be, amely lényegébenazt állítja, hogy egy szélsoérték probléma bármely közelíto megoldásához az eredetiproblémának létezik egy olyan perturbációja, amelynek szigorú globális minimumavan a közelíto megoldás egy környezetében. Az Ekeland-elv alkalmazásai közül anemlineáris nyílt leképezés tételt és a hiperfelületek érintoterének Ljuszternyiktolszármazó leírását emeljük ki.

6.1. METRIKUS TEREK BISHOP–PHELPS-FÉLE RENDEZÉSE. Ha (X, d) metrikustér és f : X → R adott függvény, akkor x, y ∈ X esetén jelentse x �f y azt, hogyd(x, y) ≤ f(x) − f(y) teljesül. Könnyen ellenorizheto, hogy ekkor �f parciá-lis rendezés az X téren. E parciális rendezést szokás Bishop–Phelps-rendezéskéntemlíteni. Az alábbi tételnek kulcs szerepe lesz az Ekeland-elv igazolásában.

6.1. Tétel. (Bishop–Phelps) Ha (X, d) teljes metrikus tér, f : X → R alulról félig

folytonos és alulról korlátos, akkor minden x ∈ X esetén létezik olyan x∗ ∈ Xelem, amelyre x �f x

∗, és amely maximális a �f parciális rendezés szerint.

Bizonyítás. Legyen rögzített z ∈ X esetén

T (z) := {y ∈ X | z �f y} = {y ∈ X | d(z, y) + f(y) ≤ f(z)}.

Mivel az y 7→ λd(z, y) + f(y) leképezés alulról félig folytonos, ezért T (z) zárt(és nyilván nem üres). Tekintsük a következo módon értelmezett (xn) sorozatot.Legyen x0 = x rögzített; ha xn már adott, úgy legyen xn+1 ∈ T (xn) olyan, hogy

f(xn+1) ≤1

n+ 1+ inf{f(z) | z ∈ T (xn)}

teljesüljön. Megmutatjuk, hogy(

T (xn))

szukülo halmaz sorozat. Ha y ∈ T (xn+1),akkor xn+1 �f y; másrészt, a konstrukció miatt, xn �f xn+1. Így a �f parciálisrendezés reflexivitása miatt xn �f y, amibol y ∈ T (xn) adódik. Tehát valóbanT (xn+1) ⊂ T (xn).

Végezetül megmutatjuk, hogy(

diamT (xn))

nullsorozat. Ha y ∈ T (xn+1), akkorxn+1 �f y és y ∈ T (xn); azaz,

d(xn+1, y) ≤ f(xn+1)− f(y),

f(xn+1) ≤1

n+ 1+ f(y).

60 6.2. A CARISTI-FÉLE FIXPONTTÉTEL ÉS KÖVETKEZMÉNYEI.

Összevetve ezeket az egyenlotlenségeket, d(xn+1, y) ≤ 1/(n+1) következik. Innenrendezés után, majd alkalmazva a háromszög-egyenlotlenséget kapjuk, hogy

diamT (xn+1) ≤2

n+ 1.

A fentiek alapján, a Cantor–Fréchet-metszettétel szerint∞⋂

n=0

T (xn) 6= ∅,

és a metszetben pontosan egy elem van, amelyet jelöljön x∗. Ekkor x∗ ∈ T (x0) ésígy x = x0 �f x

∗. A maximalitás azonnal adódik az egyértelmuségbol. Ha ugyanisy∗ ∈ X olyan elem, hogy x∗ �f y

∗, akkor minden n ∈ N index esetén xn �f x∗

miatt xn �f y∗ szintén fönnáll. Ez azonban azt jelenti, hogy y∗ ∈ ⋂∞

n=0 T (xn), sígy x∗ = y∗. �

6.2. A CARISTI-FÉLE FIXPONTTÉTEL ÉS KÖVETKEZMÉNYEI. A Bishop–Phelps-tétel azonnali következményeként a Banach-féle fixponttétel Caristitól származóegyik általánosítását mutatjuk be.

6.2. Tétel. (Caristi) Ha (X, d) teljes metrikus tér, f : X → R alulról félig folytonos

és alulról korlátos, valamint T : X → X eleget tesz a

(6.1) d(x, Tx) ≤ f(x)− f(Tx) (x ∈ X)

feltételnek, akkor a T leképezésnek van fixpontja.

Bizonyítás. Tekintsük azt a �f parciális rendezést, melyet az f függvény származ-tat. Az elozo tétel szerint ekkor létezik (X,�f) parciálisan rendezett halmaznakegy x∗ maximális eleme. A feltételek szerint x∗ �f Tx

∗; a maximalitás miatt ebbolx∗ = Tx∗ adódik. �

A (6.1) alatti Caristi-féle feltétel teljesülését jellemzi a következo állítás.

6.3. Állítás. Legyen (X, d) metrikus tér és T : X → X . Pontosan akkor található

olyan alulról korlátos f : X → R függvény, mely teljesíti a (6.1) feltételt, ha a

(6.2)∞∑

n=1

d(T n−1x, T nx)

sor minden x ∈ X pontban konvergens. Ha T folytonos és a fenti sor minden

x ∈ X esetén konvergens, akkor (6.1)-nek létezik alulról félig folytonos és alulról

korlátos f : X → R megoldása.


Bizonyítás. Tegyük fel, hogy valamely alulról korlátos f : X → R teljesíti (6.1)-et. Legyen x ∈ X . Ekkor (6.1)-et rendre az x, Tx, . . . , T kx helyeken alkalmazva,majd a kapott egyenlotlenségeket összeadva kapjuk, hogy

k∑

n=1

d(T n−1x, T nx) ≤k

∑

n=1

(

f(T n−1x)− f(T nx))

= f(x)− f(T kx) ≤ f(x)− inf f (k ∈ N).

Mivel a (6.2) alatti sor nemnegatív tagú, ezért a részletösszegei sorozatának a kor-látosságából azonnal következik a konvergenciája.

Megfordítva, tegyük fel, hogy (6.2) minden x ∈ X esetén konvergens. Értelmez-zük az f : X → R függvényt az

f(x) :=∞∑

n=1

d(T n−1x, T nx)

képlettel. Ekkor azonnal látható, hogy f nemnegatív és

f(x) = d(x, Tx) +∞∑

n=2

d(T n−1x, T nx) = d(x, Tx) + f(Tx),

tehát f egyenloséggel teljesíti a (6.1) alatti függvényegyenlotlenséget. Ha T folyto-nos, akkor az f -et definiáló függvénysor tagjai nemnegatív folytonos függvények,ezért f alulról félig folytonos. �

A fenti állítás alapján látható, hogy ha a (6.1) alatti Caristi-féle feltétel teljesül,akkor a (T nx) iteráció konvergens. Semmi nem biztosítja azonban, hogy ennekhatárértéke valóban T fixpontja. Ha T -rol még a folytonosságot is feltesszük, akkoraz alábbi állításhoz jutunk.

6.4. Következmény. Ha (X, d) teljes metrikus tér és T : X → X olyan folytonos

leképezés, hogy a (6.2) alatti sor minden x ∈ X pontban konvergens, akkor a Tleképezésnek van fixpontja.

1. Bizonyítás. Feltevéseinket kihasználva a 6.3. Állítás szerint van olyan f alulrólfélig folytonos függvény, amellyel teljesül a (6.1) alatti Caristi-féle feltétel. ÍgyT -nek a Caristi-fixponttétel miatt létezik fixpontja. �

2. Bizonyítás. Legyen x ∈ X rögzített. Ekkor a (6.2) alatti sor konvergenciájábólazonnal következik, hogy a xn := T nx iteráció Cauchy-sorozat, ami a teljességmiatt konvergál X valamilyen x0 eleméhez. Mivel T (xn) = xn+1 és T folytonos,ezért innen n→ ∞ határátmenettel kapjuk, hogy x0 a T leképezés fixpontja. �

62 6.3. AZ EKELAND-FÉLE VARIÁCIÓS ELV ÉS ALKALMAZÁSAI.

6.5. Következmény. Ha (X, d) teljes metrikus tér, valamint T : X → X olyan

folytonos leképezés, amely eleget tesz a

(6.3) d(Tx, T 2x) ≤ qd(x, Tx) (x ∈ X)

pálya-kontrakciós feltételnek valamilyen 0 ≤ q < 1 faktorral, akkor a T -nek van

fixpontja.

1. Bizonyítás. Legyen

f(x) :=d(x, Tx)

1− q(x ∈ X).

Ekkor T folytonossága miatt f folytonos és

f(x)− f(Tx) =d(x, Tx)− d(Tx, T 2x)

1− q≥ d(x, Tx)− qd(x, Tx)

1− q= d(x, Tx).

Így a Caristi-féle fixponttétel szerint T rendelkezik fixponttal. �

2. Bizonyítás. Ha (6.3) teljesül, akkor∞∑

n=1

d(T n−1x, T nx) ≤ d(x, Tx) ·∞∑

n=1

qn−1 =d(x, Tx)

1− q<∞,

tehát az elozo következmény szerint T rendelkezik fixponttal. �

6.3. AZ EKELAND-FÉLE VARIÁCIÓS ELV ÉS ALKALMAZÁSAI. A szélsoértékproblémák vizsgálatában, ha nem tételezzük fel, hogy az (X, d) metrikus tér kom-pakt, akkor általában nem érvényes a Weierstrass-féle minimum elv, azaz nem igaz,hogy bármely a téren értelmezett alulról korlátos valós f függvénynek létezik mi-nimumhelye. Az Ivar Ekeland által 1974-ben felfedezett variációs elv szerint ilyenesetben az f függvény bármely x approximatív minimumhelyéhez konstruálhatóf -nek egy olyan perturbációja, amelynek már szigorú globális minimumhelye vanaz x approximatív minimumhelytol közelében.

6.6. Tétel. (Ekeland) Legyen (X, d) teljes metrikus tér, f : X → R alulról félig

folytonos és alulról korlátos, valamint ε > 0. Ha x ∈ X olyan, hogy f(x) ≤inf f + ε, akkor minden λ > 0 esetén létezik olyan xλ ∈ X elem, amelyre

(i) f(xλ) ≤ f(x),(ii) d(x, xλ) ≤ ε/λ,

(iii) és az y 7→ f(y)+λd(y, xλ) módon megadott leképezésnek xλ szigorú globális

minimumhelye.


Bizonyítás. Legyen λ > 0 rögzített és alkalmazzuk a Bishop–Phelps-tételt az(

X, λd)

metrikus térben és az f által indukált �f parciális rendezéssel. Ekkorlétezik olyan x∗ =: xλ eleme X-nek, hogy x �f xλ és xλ maximális a parciálisrendezésre nézve, azaz ha y ∈ X \ {xλ}, akkor xλ 6�f y. Tehát

(6.4) λd(x, xλ) ≤ f(x)− f(xλ),

és ha y ∈ X \ {xλ}, akkor

λd(y, xλ) > f(xλ)− f(y).

Ez utóbbiból azonnal adódik a (iii) alatti állítás. Mivel (6.4) baloldala nem negatív,ezért (i) is teljesül. Másrészt f(x)− f(xλ) ≤ (inf f + ε)− (inf f) = ε, ezért λ-valvaló egyszerusítés után (6.4)-bol (ii) is következik. �

6.7. Következmény. Legyen X egy Banach-tér, legyen f : X → R Fréchet érte-

lemben mindenütt differenciálható alulról korlátos függvény, valamint ε > 0. Ha

x ∈ X olyan, hogy f(x) ≤ inf f + ε, akkor minden λ > 0 esetén létezik olyan

xλ ∈ X elem, amelyre

(i) f(xλ) ≤ f(x),(ii) ‖x− xλ‖ ≤ ε/λ,

(iii) és ‖f ′(xλ)‖ ≤ λ.

Bizonyítás. Az elozo 6.6. Tétel szerint λ > 0 esetén létezik olyan xλ ∈ X elem,hogy fennáll (i), (ii), továbbá minden y ∈ X esetén

f(y) + λ‖y − xλ‖ ≥ f(xλ)

teljesül. Legyen h ∈ X rögzített és alkalmazzuk ezt az egyenlotlenséget az y =xλ + th pontban, ahol t > 0. Ekkor

f(xλ + th) + λ‖th‖ ≥ f(xλ),

amibol átrendezésself(xλ + th)− f(xλ)

t≥ −λ‖h‖

adódik. Képezve a t→ 0 + 0 határátmenetet, kapjuk hogy

f ′(xλ)h = limt→0+0

f(xλ + th)− f(xλ)

t≥ −λ‖h‖.

Most h helyett (−h)-t írva, a kapott egyenlotlenségekbol következik, hogy mindenh ∈ X-re

|f ′(xλ)h| ≤ λ‖h‖.Ezért ‖f ′(xλ)‖ ≤ λ, azaz (iii) is teljesül. �

64 6.3. AZ EKELAND-FÉLE VARIÁCIÓS ELV ÉS ALKALMAZÁSAI.

6.8. Következmény. Legyen X egy Banach-tér, legyen f : X → R Fréchet érte-

lemben mindenütt differenciálható alulról korlátos függvény. Ha xn ∈ X olyan

sorozat, hogy f(xn) → inf f , akkor van olyan yn ∈ X sorozat, amelyre minden

n ∈ N esetén

(i) f(yn) ≤ f(xn),

(ii) ‖xn − yn‖ ≤√

f(xn)− inf f ,

(iii) és ‖f ′(yn)‖ ≤√

f(xn)− inf f .

A Banach-fixponttétel alábbi általánosítása, amely Francis Clarke eredménye, azEkeland-elv közvetlen alkalmazásként adódik.

6.9. Következmény. (Clarke) Legyen (X, d) teljes metrikus tér és T : X → Xolyan folytonos leképezés, amelyhez találhatók 0 < q < p ≤ 1 konstansok, hogy

minden olyan x ∈ X esetén melyre x 6= Tx van olyan y ∈ X \ {x}, hogy

(6.5) pd(x, y) + d(y, Tx) ≤ d(x, Tx) és d(Tx, Ty) ≤ qd(x, y).

Ekkor T -nek van fixpontja.

Bizonyítás. Alkalmazzuk az Ekeland-féle variációs elvet az f(x) := d(x, Tx) kép-lettel megadott folytonos nemnegatív függvényre és a λ := p − q pozitív számra.Ekkor létezik olyan x = xλ ∈ X elem, hogy minden y ∈ X \ {x} esetén

d(x, Tx) < d(y, Ty) + (p− q)d(x, y).

Megmutatjuk, hogy x = Tx. Ha ez nem így lenne, akkor a feltevésünk szerintlenne olyan y ∈ X \ {x}, amellyel a tétel (6.5) feltétele teljesülne. Ezzel az y-nal,az elozo egyenlotlenséget is felhasználva kapjuk, hogy

d(x, Tx) < d(y, Ty) + (p− q)d(x, y)

≤(

d(y, Tx) + pd(x, y))

+(

d(Tx, Ty)− qd(x, y))

≤ d(x, Tx).

A kapott ellentmondás miatt x valóban fixpontja T -nek. �

Ha T pálya-kontraktív a (6.3) alatti értelemben, akkor az y := Tx választással aClarke-féle (6.5) feltétel p = 1 mellett teljesül. Tehát a 6.5 Következmény a fentikövetkezmény speciális esete, vagyis az eredmény a Banach-fixponttétel általánosí-tása is. Ha az alaphalmaz egy Banach-tér zárt konvex részhalmaza, akkor egy mégerosebb állításhoz jutunk.

6.10. Következmény. Legyen D az X Banach-tér zárt és konvex részhalmaza,

T : D → D folytonos leképezés, valamint 0 ≤ q < 1 konstans. Tegyük fel, hogy

minden x ∈ D esetén van olyan 0 < λ ≤ 1, hogy

‖Tx− Ty‖ ≤ q‖x− y‖


teljesül az y := (1− λ)x+ λTx választással. Ekkor T -nek van fixpontja.

Bizonyítás. �

6.4. NEMLINEÁRIS NYÍLT LEKÉPEZÉS TÉTELEK. Végezetül a Banach-féle nyíltleképezés tétel Graves-tol és Ljuszternyiktól származó nemlineáris általánosításátmutatjuk be. Emlékeztetünk arra, hogy Banach említett tétele szerint, ha A egyaz X és Y Banach-terek között ható szürjektív korlátos lineáris operátor, akkor Anyílt, azaz minden U ⊆ X nyílt halmaz esetén A(U) nyílt Y -ban. Ezért létezikolyan r > 0, hogy rBY ⊆ A(BX), ahol BX és BY az X és Y Banach-terek zártegységgömbjét jelöli. Az ilyen tulajdonságú r pozitív számok halmazának szupré-mumát az A operátor szürjektvitási modulusának nevezzük:

surA := sup{

r ≥ 0 | rBY ⊆ A(BX)}

.

Azonnal látható, hogy surA ≤ ‖A‖ és surA akkor és csak akkor pozitív, ha Aszürjektív.

6.11. Tétel. Legyenek X és Y Banach-terek, legyen D ⊆ X nyílt, p ∈ D, f : D →Y és A : X → Y olyan szürjektív korlátos lineáris operátor, hogy

(6.6) α0 = limsup(x,u)→(p,p)

‖f(x)− f(u)− A(x− u)‖‖x− u‖ < surA.

Ekkor bármely K > 1surA−α0

esetén a (p, f(p)) pontnak létezik olyan U ⊆ X × Y

környezete, hogy bármely (x, y) ∈ U esetén van olyan z ∈ D, amelyre

(6.7) f(z) = y és ‖x− z‖ ≤ K‖f(x)− y‖.

Bizonyítás. Legyen K > 1surA−α0

és válasszuk meg az α és β számokat úgy, hogy

α0 < α < β < surA és K =1

β − α.

Ekkor az α0 < α egyenlotlenség miatt van olyan δ > 0, hogy

(6.8) ‖f(x)− f(u)− A(x− u)‖ ≤ α‖x− u‖ (x, u ∈ BX(p, δ)),

β < surA miatt pedigβBY ⊆ A(BX).

Legyen most

U :={

(x, y) ∈ D × Y∣

∣

∣‖x− p‖ < δ

3, ‖f(x)− y‖ < δ

3K

}

.

66 6.4. NEMLINEÁRIS NYÍLT LEKÉPEZÉS TÉTELEK.

Ekkor U ⊆ X×Y olyan nyílt halmaz, amely tartalmazza (p, f(p))-t. Megmutatjuk,hogy ezen az U halmazon teljesül a tétel állítása.

Legyen (x, y) ∈ U rögzített. A (6.7) alatti feltételeknek eleget tevo z ∈ D vektorkonstrukciójához alkalmazzuk az Ekeland-féle variációs elvet az u 7→ ‖f(u) − y‖leképezésre az ε := ‖f(x) − y‖ és λ := 1/K = β − α konstansokkal az M :=BX(p, δ) zárt gömbön (ami teljes metrikus tér, hiszen az X teljes metrikus tér zártrészhalmaza).

Ekkor van olyan z := xλ ∈M pont, hogy

(6.9)‖f(z)− y‖ ≤ ‖f(x)− y‖,

‖x− z‖ ≤ ‖f(x)− y‖λ

= K‖f(x)− y‖ < δ

3.

és u ∈M \ {z} esetén

(6.10) ‖f(u)− y‖+ λ‖u− z‖ > ‖f(z)− y‖.A (6.9) alatti második egyenlotlenség máris szolgáltatja a (6.7) alatti jobboldalitulajdonságot. Befejezésül tehát azt kell még belátnunk, hogy f(z) = y is érvényes.

Alkalmazva a (6.9) alatti második egyenlotlenséget kapjuk, hogy

‖z − p‖ ≤ ‖z − x‖+ ‖x− p‖ ≤ δ

3+δ

3=

2δ

3.

Tehát z ∈ M teljesül. A βBY ⊆ A(BX) tartalmazás miatt bármely v ∈ Y eseténv ∈ A

(‖v‖βBX

)

, ezért v = f(z)− y-hoz van olyan u ∈ X , hogy y − f(z) = Au és

(6.11) ‖u‖ ≤ ‖f(z)− y‖β

≤ ‖f(x)− y‖β − α

= K‖f(x)− y‖ < δ

3.

Tehát z + u ∈M = BX(p, δ) (mivel ‖z + u− p‖ ≤ ‖z − p‖+ ‖u‖ ≤ δ).Ezek után, feltéve hogy u 6= 0, a (6.10), (6.8) majd (6.11) egyenlotlenségek

alapján azt kapjuk, hogy

‖f(z)− y‖ < ‖f(z + u)− y‖+ λ‖(z + u)− z‖= ‖f(z + u)− f(z)− Au‖+ (β − α)‖u‖≤ α‖u‖+ (β − α)‖u‖ = β‖u‖ ≤ ‖f(z)− y‖.

A kapott ellentmondás miatt u = 0 és ennélfogva f(z) = y. �

6.12. Következmény. (Graves–Ljuszternyik) Legyenek X és Y Banach-terek, le-

gyen D ⊆ X nyílt, p ∈ D, és f : D → Y olyan a p pontban Fréchet szerint erosen

differenciálható függvény, amelynek a f ′(p) : X → Y deriváltja szürjektív korlátos

lineáris operátor. Ekkor van olyan K > 0 és a (p, f(p)) pontnak olyan U környe-

zete, hogy minden (x, y) ∈ U esetén van olyan z ∈ D, amelyre (6.7) érvényes.


Bizonyítás. Mivel A := f ′(p) szürjektív, így Banach nyílt leképezés tétele szerintsurA > 0. Másrészt f a p pontban Fréchet szerint erosen differenciálható, ezértA = f ′(p)-vel a tételbeli α0 érték nulla. Így a (6.6) egyenlotlenség teljesül, tehátvan olyan K > 0 és a (p, f(p)) pontnak olyan U környezete, hogy minden (x, y) ∈U esetén van olyan z ∈ D, amelyre (6.7) is érvényes. �

Az alábbi következmény pedig azt mutatja, hogy a Banach-terek között ható szür-jektív korlátos lineáris operátorok halmaza nyílt L(X, Y )-ban.

6.13. Következmény. Legyenek X és Y Banach-terek, legyen B ∈ L(X, Y ) és

legyen A : X → Y olyan szürjektív korlátos lineáris operátor, hogy

(6.12) ‖B − A‖ < surA.

Ekkor B is szürjektív lineáris operátor és

(6.13) surA− ‖B − A‖ ≤ surB.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a 6.11. Tételt az f(x) = Bx képlettel megadott függ-vényre. Vegyük észre, hogy

α0 = limsup(x,u)→(p,p)

‖f(x)− f(u)− A(x− u)‖‖x− u‖ = ‖B − A‖,

tehát (6.12) ekvivalens a (6.6) feltétellel. Így minden 0 < r < surA − ‖B − A‖esetén a 0 ∈ Y pontnak van olyan V környezete, hogy minden y ∈ V esetén vanolyan z ∈ X , amelyre

Bz = y és ‖z‖ ≤ 1

r‖y‖.

Innen a B operátor pozitív homogenitását is kihasználva azonnal kapjuk, hogyrBY ⊆ B(BX). A szürjektivitási modulus értelmezése miatt így r ≤ surB. Mivelez az egyenlotlenség bármely 0 < r < surA − ‖B − A‖ esetén érvényes, ezértinnen (6.13) azonnal adódik. �

A fenti következménybol könnyen levezetheto, hogy a sur : L(X, Y ) → R függ-vény globálisan Lipschitz-folytonos 1 modulussal, azaz

| surA− surB| ≤ ‖A− B‖ (A,B ∈ L(X, Y )).

A következo tétel megfogalmazásához normált terek részhalmazainak érinto vek-torainak fogalmát értelmezzük. Ha H az X normált tér egy részhalmaza és p ∈ H ,

68 6.4. NEMLINEÁRIS NYÍLT LEKÉPEZÉS TÉTELEK.

akkor egy h ∈ X vektort a H halmaz p-beli érinto vektorának nevezünk, ha

(6.14) limt→0+

d(p+ th,H)

t= 0.

A H halmaz p-beli érintovektorainak halmazát Tp(H)-val fogjuk jelölni és ezt a Hp-beli érintoterének nevezzük.

6.14. Tétel. (Ljuszternyik) Legyenek X és Y Banach-terek, legyen D ⊆ X nyílt,

p ∈ D, és f : D → Y olyan a p pontban Fréchet szerint erosen differenciálható

függvény, amelynek a f ′(p) : X → Y deriváltja szürjektív korlátos lineáris operá-

tor. Ekkor a

H := {x ∈ D | f(x) = f(p)}halmaz (nemlineáris sokaság) p-beli érintotere az f ′(p) operátor nulltere.

Bizonyítás. Legyen eloször h ∈ Tp(H) \ {0} tetszoleges és r > 0 olyan, hogyt ∈ [0, r] esetén p + th ∈ D. Ekkor minden t ∈ [0, r] esetén található olyanv(t) ∈ X vektor, hogy

p+ th+ v(t) ∈ H és ‖v(t)‖ ≤ d(p+ th,H) + t2.

Ezekbol a h halmaz értelmezését, illetve a (6.14) feltételt alkalmazva az következik,hogy

f(p+ th+ v(t)) = f(p) és limt→0+

v(t)

t= 0.

Az f függvény p-beli Fréchet-differenciálhatósága és a fentiek miatt

0 = limt→0+

‖f(p+ th+ v(t))− f(p)− f ′(p)(th+ v(t))‖‖th+ v(t)‖

= limt→0+

‖f ′(p)(th+ v(t))‖‖th+ v(t)‖ = lim

t→0+

‖f ′(p)(h+ t−1v(t))‖‖h+ t−1v(t)‖ =

‖f ′(p)h‖‖h‖ .

Tehát f ′(p)h = 0, azaz h benne van f ′(p) nullterében.A fordított irányú tartalmazás igazolásához legyen h ∈ X az f ′(p) operátor null-

terének tetszoleges nem nulla eleme. A 6.12. Következmény szerint a (p, f(p))pontnak van olyan U ⊆ X × Y környezete és K > 0, hogy minden (x, y) ∈ Uesetén van olyan z ∈ D, amelyre (6.7) fennáll.

Válasszuk meg az r pozitív számot úgy, hogy (p + th, f(p)) ∈ U teljesüljönminden t ∈ [0, r] esetén. Ekkor a fentiek szerint minden t ∈ [0, r] esetén van olyanz = z(t) ∈ D, hogy

f(z(t)) = f(p) és ‖p+ th− z(t)‖ ≤ K‖f(p+ th)− f(p)‖.


Az elso egyenloség miatt z(t) ∈ H , így a második egyenlotlenség szerint

d(p+ th,H) ≤ K‖f(p+ th)− f(p)‖ (t ∈ [0, r]).

Ezért és az f Fréchet-differenciálhatósága miatt

limsupt→0+

d(p+ th,H)

t≤ K limsup

t→0+

‖f(p+ th)− f(p)‖t

= K‖h‖ limsupt→0+

‖f(p+ th)− f(p)− f ′(p)(th)‖‖th‖ = 0,

ami azt igazolja, hogy a h vektor a H sokaság p-beli érinto vektora. �

Documents

Fixponttételek és Alkalmazásaik - math.unideb.humath.unideb.hu/media/pales-zsolt/IterativFixponttetelek.pdf · Jelen könyv legfontosabb célja ezt a hiányt pótolni. A Fixponttételek