CatatanKuliahFisikaStatistikSparisomaViridi,SitiNurulKhotimah,danNovitrianAgustus2010iiIsi1 Pendahuluan 11.1 Ruanglingkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 FI3202FisikaStatistik(4SKS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Versicatatankuliah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Bukurujukan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Faktorial danFungsi Gamma 52.1 Faktorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Fungsigammauntuknbulatpositif . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Fungsigammauntuknkelipatanganjil12. . . . . . . . . . . . . 72.4 Fungsigammayanglebihumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 AproksimasiStriling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Aproksimasidengangrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Aproksimasilain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Scriptmenggambar graklnn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Pengali TakTentuLagrange 133.1 Maksimumdanminimumsuatufungsi . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Syarat tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17iiiiv ISI4 Kongurasi PalingMungkinSuatuStatistik 194.1 Syarat batassuatusistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Memaksimumkan W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Distribusisuatustatistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Parameter 255.1 Duabuahsistemkontaksecaratermal . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Hukumpertamatermodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Teorikinetikgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Degenerasi dalamRuangFasa 316.1 Ruangfasaenamdimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Integralvolumeruangmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3 Integralvolumeruanglaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4 Integralvolumeruangenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.5 Integralvolumeruangfrekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.6 Integralvolumeruangpanjanggelombang . . . . . . . . . . . . . 346.7 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Distribusi SuatuStatistik 377.1 Bentukumumdistribusiketigastatistik . . . . . . . . . . . . . . 377.2 StatistikMaxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 StatistikBose-Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4 StatistiFermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Bentukumumdistribusistatistiklain . . . . . . . . . . . . . . . 427.6 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42ISI v8 TermodinamikaGasIdeal Monoatomik 438.1 Peluangtermodinamika Wmaksgasidealklasik . . . . . . . . . . 438.2 FungsipartisiBoltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.3 Tekanandankalorjenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.4 Persamaan keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.5 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 ParadoksGibb 519.1 Entropigasklasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.2 Pencampuranduagasberbedajenis . . . . . . . . . . . . . . . . 529.3 Pencampurangassejenis: paradoksGibb . . . . . . . . . . . . . 549.4 Gasidealsemi-klasik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.5 Referensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610StatistikFermi-Dirac: NjdanS 5710.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011TingkatdanKeadaanEnergi 6311.1 TingkatEnergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2 KeadaanEnergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312KeadaanMakrodanMikro 6513PeluangTermodinamika 6713.1 Postulat termodinamikastatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6713.2 Peluangtermodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.3 Observabeldanrata-rata bilanganokupasi . . . . . . . . . . . . . 6814Pengalidan 71vi ISI14.1 Peluangtermodinamiksuatukeadaanmakro . . . . . . . . . . . 7114.2 Keadaanmakroyangpalingmungkin . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.3 Fungsidistribusidalambentukdiferensial . . . . . . . . . . . . . 7214.4 Pengali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.5 Ruangfasaenamdimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7614.6 Degenerasidalamvolumeruangfasa . . . . . . . . . . . . . . . . 7714.7 Teorikinetikgasdan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7814.8 Pengali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915Energi BebasHelmholtz 8315.1 EnergybebasHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.2 Ekspansireversibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.3 Energisebagaifungsidarienergibebas. . . . . . . . . . . . . . . 8515.4 CVdariE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516Fungsi Partisi Boltzmann 8716.1 FungsipartisiBoltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.2 FungsipartisidanenergibebasHelmholtz . . . . . . . . . . . . . 8816.3 Energisistemdanfungsipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.4 Entropidanfungsipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8916.5 Energibebastiappartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9016.6 Kapasitaspanasspesikpadavolumetetap . . . . . . . . . . . . 9016.7 Tekanansistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017GasIdeal Monoatomik 9117.1 Tingkatenergimakro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.2 Degenerasitingkatenergimakro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.3 Fungsipartisisistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9317.4 Persamaan keadaandanbesaran-besaran termodinamika. . . . . 94ISI vii18DistribusiLajuMolekular 9518.1 Bilanganokupasirata-rata tingkatenergimakro . . . . . . . . . 9518.2 Lajuyangpalingmungkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.3 Lajurata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.4 Lajurms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.5 Perbandingan ketigalaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.6 Ekipartisienergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9819ParadoksGibb 9919.1 Fungsipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9919.2 Beberapabesarantermodinamika. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.3 Paradoks Gibb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.4 Gasidealsemi-klasik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420Ekipartisi Energi 10720.1 Bentuk-bentukenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.2 Rata-rataenergikinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.3 Rata-rataenergipotensialmirippegas . . . . . . . . . . . . . . . 10920.4 Rata-rataenergiosilatorharmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.5 Derajatkebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.6 Gasdiatomik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11120.7 Bukansukukuadrat koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11121TambahanInformasi 1 11321.1 IlustrasiCvbergantungT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.2 Publikasimengenaigasidealdanensembelmikrokanonik . . . . 11422GasIdeal dalamMedanGravitasi 11722.1 Sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117viii ISI22.2 Persamaan termodinamika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.3 Energitotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.4 Fungsipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.5 EnergibebasHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12022.6 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12122.7 Distribusipartikelsebagaifungsiketinggian . . . . . . . . . . . . 12122.8 Percobaan Perrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12423Gasdiatomik 12523.1 Suku-sukuenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12523.2 Fungsi-fungsipartisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.3 Fungsipartisigeraktranslasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.4 Fungsipartisigerakrotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12623.5 Fungsipartisigerakvibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12723.6 Fungsipartisigerakelektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12723.7 Fungsipartisispinnuklir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.8 Fungsipartisilengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12823.9 Panasspesikgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12924GasBose-Einstein 13324.1 Distribusimolekulgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13324.2 Gasfotondanradiasibendahitam. . . . . . . . . . . . . . . . . 13524.3 HukumradiasiWien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13724.4 FormulaRayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13824.5 HukumStefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13825GasFermi-Dirac 14125.1 Distribusipartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14125.2 FungsiFermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142ISI ix26EnsembleKanonis 14326.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14326.2 Ensembleyangbertemperaturkonstan. . . . . . . . . . . . . . . 14426.3 Sifat-sifattermodinamikensemblekanonis . . . . . . . . . . . . . 14526.4 EvaluasiFungsiPartisiTotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.5 FungsiPartisiKlasik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14726.6 Fungsipartisisemi-klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14826.7 FungsiPartisiuntukKasusAdaInteraksi . . . . . . . . . . . . . 14926.8 Distribusienergipadaensembelkanonik . . . . . . . . . . . . . . 14926.9 Aplikasiensemblekanonisuntukgastakideal . . . . . . . . . . . 15027Simulasi: SistemParamagnetik 15328Soal 1: TingkatEnergi danPeluangTermodinamika 15528.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15528.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15629Soal 2: Fungsi Distribusi danEntropi 16129.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16129.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16230Soal 3: Fungsi Partisi danTabulasi KeadaanMakro 16530.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16530.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16531Soal 4: Distribusi LajudanPersamaanKeadaaan 16931.1 Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.2 Jawab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17032SimulasiKeadaanMikrodenganKartu 175x ISI33Berkas-berkas 18133.1 Kuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.2 Ujian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Catatan1PendahuluanSetiapcabangkhusus sikamula-muladipelajari denganmemisahkanruangyang terbatas dari lingkungannnya. Bagianyang dipisahkanyang menjadipusat perhatiankita disebut sistem, dansegala sesuatudiluar sistemdise-but lingkungan. Bilasuatusistemtelahdipilihmakakelakuansistematauantaraksinyadenganlingkunganataukeduanyadinyatakandalamkuantitas-kuantitassis. Padaumumnyaterdapatduapandanganyangdapatdiambil,pandanganmakroskopik danpandanganmikroskopik.1.1 RuanglingkupPemerianmakroskopiksuatusistemmeliputi perincianbeberapasifat pokoksistem, atausifatskalabesardarisistem, yangdapatdiukurberdasarkanataspenerimaan indera kita. Termodinamika adalah contoh cabang ilmu sika yangmenerapkanpandanganmakroskopik. Sedangkan,pemerianmikroskopik suatusistemmeliputi beberapaciri khasseperti adanyapengandaianbahwasistemterdiriatassejumlahmolekul,dankuantitas-kuantitas yang diperincitidakda-pat diukur. Contoh penerapan pandangan mikroskopik untuk cabang ilmu sikayaitudalamsikastatistik. Bilakeduapandanganituditerapkanpadasistemyangsamamakakeduanya harusmeghasilkankesimpulanyangsama.Ruang lingkup sika statistik meliputi dua bagian besar, yaitu teori kinetik danmekanika statistik. Berdasarkan pada teori peluang dan hukum mekanika, teorikinetikmampumenggambarkansistemdalamkeadaantakseimbang, seperti:prosesefusi,viskositas,konduktivitastermal,dandifusi. Disini,molekulsuatugasideal tidakdianggapbebassempurnatetapi adaantaraksi ketikabertum-bukandenganmolekul lainataudengandinding. Bentukantaraksi yangter-batas ini diacukan sebagai antaraksi lemah atau kuasi bebas. Ruang lingkup initidakmembahaspartikelberantaraksikuatTidakseperti pada teori kinetik, mekanika statistiktidakmembahas perin-12 CATATAN1. PENDAHULUANcianmekanis gerakmolekular, tetapi berurusandengansegi energi molekul.Mekanika statistik sangat mengandalkan teori peluang untuk menentukankeadaanseimbangsistem. Dalamkuliahini, bahasanditekankanpadasistemyang partikel-partikelnya berinteraksi sangat lemah baik untuk partikel-partikelterbedakan maupun tak terbedakan. Selain memiliki sifat kuasi bebas, molekul-molekul suatu gas ideal bersifat tak terbedakan karena molekul tidak berkecen-derunganmenempati tempat tertentudalamruangataumemiliki kecepatantertentu. Sedangkan, untukpartikel-partikel yangmenempati kedudukankisiyangteraturdalamkristal,yaknipartikelbergetardisekitartitiktetap,dapatdibedakankarenaletaknya.Materi kuliahmencakupprobabilitasdanfungsi distribusi, teori kinetik, danmekanikastatistik. Selainitujugadisentuhpengertianensemble, terutamaensemblekanonisuntukperluasanpenerapanpadagasyangmenyimpangdarisifatideal.1.2 FI3202FisikaStatistik(4SKS)Kuliahinibertujuanuntukmeletakkandasar sikastatistikkepada mahasiswatingkat3jenjangstratum1. Setelahmengikutikuliahini,mahasiswadiharap-kan: (1)memahami perandankedudukansikastatistikdalambidangsika,(2) memahami dasar-dasar sika statistik, (3) dapat menerapkannya dalammasalahsederhana, dan(4)dapatmemahami kuliahlanjuttentangsifat-sifatzatmaupunkuliahlainyangmenggunakansikastatistik.Isikuliahmeliputi: Probabilitasdanfungsidistribusi, Teori kinetikgas: anggapandasar, uks molekul, tekanan, persamaankeadaan,prinsipekipartisienergi, FungsidistribusilajumenurutMaxwell, Gejala transport: penampang tumbukan,jalan bebas rata-rata, viskositasgas,konduktivitastermalgas,difusigas. Mekanika statistik: tingkat energi, keadaan energi, keadaan makro,keadaanmikro, Statistik Maxwell-Boltzmann: peluang termodinamik, penurunan dis-tribusipartikel,fungsipartisi,entropidanparadoks Gibbs, Statistiksemi-klasik: entropi,fungsiHelmholtz, Statistik Bose-Einstein: peluang termodinamik, penurunan distribusi par-tikel, StatistikFermi-Dirac: peluangtermodinamik, penurunandistribusi par-tikel,1.3. VERSICATATANKULIAH 3 Keterbatasanansambelmikrokanonis, Ansambelkanonis: gasrieldenganinteraksilemah.Prasyarat: FI2182Fisika Moderen, FI2102 Fisika Matematika IA, FI2202FisikaMatematikaII,danFI2202 Termodinamika.Keempat prasayarat tersersebut sebaiknya telah dipenuhi agar peserta mataku-liah ini tidak mengalami kesulitan dalam mengikuti materi-materi dalam perku-liahanini.1.3 VersicatatankuliahTerdapattigaversi catatankuliahinsebelumnya, yaituversi Mei 2010yangdigunakandalamkuliahpadaSemester II Tahun2009/2010, versi Juli 2010yangdigunakandalamkuliahSemesterIII Tahun2009/2010, danversi draftyang merupakan gabungan versi Mei 2010 ditambahkan dengan contoh simulasiuntukdiajukanpadahibahpenulisanbuku. Versi yangadasekarangadalahversi Agustus 2010yangmerupakangabungankesemuaversi di atas. Olehkarenaituversiiniterlihatagaktidakterintegrasi.1.4 BukurujukanBukurujukanutamakuliahiniadalah1. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,(1967)2. Francis W. Sears andGerhardL. Salinger, Thermodynamics, KineticTheory, andStatistical Thermodynamics, Addison-Wesley, ThirdEdi-tion,FifthPrint,(1980)4 CATATAN1. PENDAHULUANCatatan2FaktorialdanFungsiGammaFungsi gammaataubiasadituliskansebagai (n) dankaitannyadenganfak-torial n! akandibicarakandalamtulisanini. Detil mengenai relasi tersebutdapatdilihatdalamliteratur[1]. Faktorialuntukbilanganbulatdansetengahbulatakandigunakandalamdistribusi Maxwell-Boltzmannuntukenergi, mo-mentum, danlajudalamsuatuasembli klasik[2] danjugadalampenurunanfungsidistribusipartikelyangmemenuhiberbagaijenisstatistik[3].2.1 FaktorialFaktorialdarisuatubilanganbulat,misalnyasajan,memilikiartin! = n (n 1) (n 2) (n 3) 3 2 1, (2.1)dimana0! = 1. (2.2)Demikinlahnilaifaktorialterdenisipadanilaibilanganbulatpositif.2.2 FungsigammauntuknbulatpositifFungsigammadidenisikansebagai56 CATATAN2. FAKTORIALDANFUNGSIGAMMA(n + 1) =_0exxndx. (2.3)DenganmelakukanintegrasiparsialterhadapPersamaan (2.3)dapatdiperoleh(n + 1) = n(n), (2.4)yangapabiladituliskanlebihjauh(n + 1) = n (n 1) (n 2) (n 3) 2 1 (1) = n!(1). (2.5)DenganmenggunakanPersamaan (2.3)dapatdihitungbahwa(1) =_0exdx = 1, (2.6)sehinggadapatdiperolehhubunganantarafungsigammadanfaktorial,yaitu(n + 1) = n!. (2.7)Soal 1. AturanLH opitalmenyatakanbahwalimxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x), (2.8)dimana f(a)dan g(a)keduanya bernilainol. GunakanPersamaan (2.8)untukmenghitung_exxnx=0. (2.9)Jawab1. Persamaan (2.9)dapatdituliskandalambentuk_exxnx=0=limxexxn limx0exxn=limxexxn 0. (2.10)Persamaan (2.10)denganmenggunakanaturanLH opitalakanmenjadilimxexxn=limxexnxn+1=limxexn(n 1)xn+2=limxexn(n 1)(n 2)xn+3= =limxexn!= 0.2.3. FUNGSIGAMMAUNTUKNKELIPATANGANJIL127Penggunaan aturan LH opital dalam persamaan sebelumny dilakukan pada ben-tuk xn/ex, baru kemudian pada setiap langkah dievaluasi untuk bentuk 0/0-nya(ex/xn).Soal 2. BuktikanhubungandalamPersamaan(2.4)denganmenggunakanin-tegralparsialpadaPersamaan (2.3)danhasildariPersamaan (2.9).Jawab2. Intergral padaruas kananPersamaan (2.3)dihitungmelaluiinterasiparsial(n + 1) =_0exxndx_0exxndx =_exxnx=0 +n_0exxn1dx_0exxndx = 0 +n_0exxn1dx_0exxndx = n_0exxn1dx(n + 1) = n(n),yangmemberikansifatrekusif darifungsigammasepertidituliskandalam Per-samaan(2.4).Soal 3. Hitunglah0! denganmenggunakanfungsigamma.Jawab3. Dari Persamaan(2.7) dapat diperolehbahwa0! =(1) dandariPersamaan(2.6)diperolehbahwa(1) = 1. Dengandemikiandapatdiperolehbahwa0! =1.2.3 Fungsigammauntuknkelipatanganjil12DenganmenggunakanPersamaan (2.3)dapatdituliskanbahwa(12) =_0exx12dx. (2.11)Soal 4. TurunkanPersamaan (2.11)dariPersamaan (2.3).Jawab4. Gunakannilain =12.Bilanadalahsetengahbilanganbulatmakafungsi gammaakanmemberikanhubungan(n + 1) = n (n 1) (n 2) (n 3) 52 32 12 (12). (2.12)8 CATATAN2. FAKTORIALDANFUNGSIGAMMAPersamaan (2.12)tetapmemenuhihubungandalamPersamaan (2.4).Nilaidari(12)sendiridapatdihitungdenganmenyelesaikanPersamaan (2.11)sehinggadiperolehbahwa_0exx12dx =. (2.13)Soal 5. BuktikanPersamaan (2.13).Jawab5. Pertama-tama tuliskanPersamaan (2.13)dalambentuk_0euu12du.Lalumisalkanu = x2sehingga_0ex2x1(2xdx) = 2_0ex2dx =_ex2dx.MisalkanbahwaI Ix=_ex2dx.sehinggaI2 IxIy=_ex2dx_ey2dy=_x=_y=e(x2+y2)dxdy.Ubahlah elemen luas dalam sistem koordinat kartesian (dx)(dy) menjadi elemenluasdalamsistemkoordinat polar(dr)(rd)dandenganhubungar2= x2+y2sehinggaI2_r=0_2=0er2rdrd=_r=0er2 12d(r2)_2=0d =12 1 2 = .DengandemikiandapatdiperolehbahwaI= _0euu12du. = (12) =.Soal 6. Hitunglah(52).Jawab6. (52) = (1 +32) =32 12 (12) =34.2.4. FUNGSIGAMMAYANGLEBIHUMUM 92.4 FungsigammayanglebihumumSecaraumumdapatdituliskanbahwa_0exx12dx =112(12) =_(2.14)dan_0xneax2dx =12a(n+1)/2_0y(n1)/2eydy=12a(n+1)/2[(n + 1)/2]. (2.15)2.5 AproksimasiStrilingAproksimasiStrilingyangbergunauntukmenyederhanakanfaktorialdansaatmenurunkannyaadalahn! nnen2n (2.16)atauln n! (n +12) ln n n +12 ln(2). (2.17)2.6 AproksimasidengangrakAproksimasi lainuntuklnn! dapatdiperolehlewatgrakseperti ditunjukkandalam Gambar 2.1. Dengan demikian dapat dituliskan bahwa aproksimasi untukln n!adalahln n! =n

i=1ln i 12 ln n +_n1ln xdx = (n +12) ln n n + 1. (2.18)Soal 7. Buktikan dari grak aproksimasi dalam Persamaan (2.18) dengan meng-gunakanGambar2.1.Jawab7. Bahasluasdari kurvadi bawahlnxuntukkotakpertam, di manakelebihan kotak sebelah kanan titik tengah n adalah untuk bagian sebelah kiri di10 CATATAN2. FAKTORIALDANFUNGSIGAMMAbawahkurva. Demikianseterusnyasehinggatersisasaatkotakkenadafaktor12 ln nyangbelumdihitungdalam_ln xdx. Lebartiapkotakadalah1. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0123456789101112ln nnGambar 2.1: Histogramdari lnndankurvalnxyangsalingdigambarkanbertumpangtindih.2.7 Aproksimasi lainDenganmelihatnilai yangbesardarindi manaumumnyamerupakandaerahkerjamekanikastatistikdanumumnyayangdibahas adalahperubahannilaiatauturunandarilnn!makaaproksimasi laindigunakan,yaituln n! nlnn n. (2.19)Soal 8. Bandingkannilai-nilai lnn! denganmenggunakanPersamaan(2.17),(2.18),dan(2.19).Jawab8. Pembandingan nilai-nila lnn! yang diminta dapat dilihat dalam Tabel2.1.2.8 Scriptmenggambargrakln nset term post eps color enhanced28 lw 1set output "ln-n.eps"set size 1.4, 1.2set xrange [-0.2:12.2]2.9. REFERENSI 11Tabel2.1: Nilai-nilai lnn! dengan menggunakan Persamaan (2.17),(2.18),dan(2.19).n ln n!Persamaan(2.17) (2.18) (2.19)10 15.1 15.1 15.18 13.0350 148.48 148.48 148.56 145.6100 363.74 363.74 363.82 360.52150 605.02 605.02 605.1 601.6170 706.57 706.57 706.65 703.09set yrange [-0.1:2.6]set xtics 1set ytics 0.5set grid#set label "{/ItalicsD}_{/ItalicsL}" \#at 0, 0.12set xlabel "{/Italicsn}"set ylabel "ln {/Italicsn}"plot \"data.txt"u 1:(log($1))t "" lw 4 w boxes, \log(x) t "" lw 4Scriptdiatasdipanggildengnamenggunakanaplikasgnuplot sehinggaberkasln-n.eps dihasilkansepertidalamGambar2.1.2.9 Referensi1. MaryL. Boas, Mathematical MethodsinthePhysical Sciences, JohnWiley&Sons,NewYork,SecondEdition,457-462 (1983)2. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,189-191 (1967)3. Francis W. Sears andGerhardL. Salinger, Thermodynamics, KineticTheory, andStatistical Thermodynamics, Addison-Wesley, ThirdEdi-tion,FifthPrint,424-426 (1980)12 CATATAN2. FAKTORIALDANFUNGSIGAMMACatatan3PengaliTakTentuLagrangePengali TakTentuLagrange(theLagrangemethodofundeterminedmultipli-ers) adalah suatu metoda matematika untuk mencari maksimum atau minimumsuatu fungsi yang dibatasi oleh suatu syarat dari fungsi lain [1], di mana metodeinitermasukdalamoptimisasimatematika[2]. Bilajumlahvariabelbebasdansyarat yang membatasi sedikit, cukup dilakukan substitusi standar. Akan tetapibila jumlah variabel bebas dan syarat-syarat banyak, maka akan terdapat terlalubanyak fungsiyang harus diselesaikan secara bersama-sama. Disinilahmetodaini ini berperandenganmemperkenalkansatukonstantauntuksetiapsyaratdari satufungsi lainyangdiperlukan[3]. Penjelasanyangcukupsederhanadapatdilihatdalamliteratur[4].3.1 MaksimumdanminimumsuatufungsiBila terdapat suatufungsi f(x, y, z) yangingindicari nilai maksimumatauminimumnya,makacukupdipenuhidf=fxdx +fydy +fzdz= 0. (3.1)Soal 1. Suatulingkaranyangterletakdi pusatkoordinatdenganjari-jari Rmemiliki fungsif(x, y) =x2+ y2 R2= 0. Tentukanlahnilaimaksimumdanminimumdarix.Jawab1. GunakanPersamaan (3.1)sehinggadiperolehdf= 2xdx + 2ydy = 0.Untukmencarinilaimaksimumdarixmakaperludicarinilaiylewat1314 CATATAN3. PENGALITAKTENTULAGRANGEdxdy=yx= 0 y = 0.Gunakannilaiinikepersamaanlingkaransehingadiperolehbahwax2R2= 0 x = R.Jadinilaimaksimumdanminimumxberturut-turutadalah Rdan+R.Soal 2. Tentukannilaiyminimumdarifungsif(x, y) = y x2= 0.Jawab2. GunakanPersamaan (3.1)sehinggadiperolehdf= dy 2xdx = 0.Untukmencarinilaiminimumyperludicarinilaixdaridydx= 2x = 0 x = 0.Dengandemikiandapatdiperolehbahway 02= 0 y= 0,yangmerupakannilaiminimumy.3.2 SyarattambahanMencariminimumataumaksimumsuatufungsif(x, y, z)tidakcukupdenganmenggunakanPersamaan(3.1) bilaterdapat syarat tambahanberupafungsilain, misalnya(x, y, z). Untukitudiperkenalandengansuatumetodeyangmenggunakanpengaliberupakonstantayangbelumdiketahuinilainya,pen-gali taktentuLagrange, sehinggaperluasandari Persamaan(3.1)yangmeru-pakankondisiyangharusterpenuhiadalahdf+d = 0, (3.2)denganbentukdmiripdenganbentukdf. Bilabentuk(x, y, z)dapatdit-uliskandalambentuk3.2. SYARATTAMBAHAN 15(x, y, z) = 0 (3.3)makad =xdx +ydy +zdz= 0. (3.4)SelanjutnyadapatdiperolehdariPersamaan (3.4)bentukdx = _ydy +zdz_/_x_, (3.5)sebagaimanauntukdymaupundz. Substitusi Persamaan(3.5)kePersamaan(3.1)akanmemberikandf=fxdx +fydy +fzdz= 0,df=fx__ydy +zdz_/_x__+fydy +fzdz= 0,df=_fy fx_/y/x__dy +_fz fx_/z/x__dz= 0. (3.6)Denganfx/xpadatitikstasionerdiberinilai maka_fx+x_= 0. (3.7)Persamaan (3.6)dapatdituliskanmenjadidf _fx+x_dx +_fy+y_dy +_fz+z_dz= 0. (3.8)Agar Persamaan (3.8) dapat menentukan suatu titik stasioner maka setiap sukudalam tanda kurung harus bernilai nol, sebagaimana persamaan tersebut harusdipenuhiuntuksetiapnilaidari perubahan dydandz,makakurung keduadanketiga harus bernilai nol, sementara kurung pertama bernilai nol akibat denisidaridalamPersamaan (3.7).Karenamerupakanrasiodari fx/xpadasuatutitikstasioner, nilaniyahanya dapat ditentukan dengan melakukan substitusi kembali solusi yang diper-olehkepersamaanyangmerupakansyarat awal (x, y, z) = 0. Olehkarenaitu16 CATATAN3. PENGALITAKTENTULAGRANGEdikenal sebagai suatupengali taktentuataulebihumum, pengali taktenuLagrange (aLagrangeundeterminedmultiplier).Soal 3. Suatu fungsi f(x, y, z) ingin diminimumkan dengan syarat-syarat1(x, y, z), 2(x, y, z), dan3(x, y, z). Tentukanlahbentukpersamaanyangharus dipecahkandenganmemperkenalkantiga buahpengali taktentuLa-grange.Jawab3. DenganmenggunakanPersamaan (3.2)dapatdituliskandf= 1 +2 +3= 0adalahfungsi yang harus dipecahkan denganpengali-pengali tak tentu La-grangenya adalah,,dan,yangakandicarikemudian.Soal4. Tentukan kuadrat jarak minimum dan maksimum dari suatu titik (2R,0)terhadaplingkaran x2+y2= R2.Jawab4. Fungsiyangingindicarititikstasionernya adalahf(x, y) = (x 2R)2+y2dengansyarat batas(x, y) = x2+y2R2= 0.DenganmenggunakanPersamaan (3.2)dapatdituliskanbahwadf+d = [2(x 2R)dx + 2ydy] +[2xdx + 2ydy] = 0.[x(1 +) 2R]dx +y(1 +)dy= 0.dxdy=y(1 +)2R x(1 +). (3.9)Nilai x minimum dan maksimum dapat dicari dengan membuat Persamaan (3.9)menjadinol,sehingga0 = y(1 +) _y= 0, =? = 1, y=?Biladipilihy= 0makadiperolehdarisyaratbatasbahwax = Rsehinggafbernilai R2dan (3R)2. Dengan menggunakan x = 2R/(1+) dan = 1 tidakmemberikan solusi karena tidak memenuhi fungsi yang (x, y) yang membatasi.3.3. REFERENSI 17Soal 5. Tentukankuadratjarakminimumdanmaksimumdarisuatutitik(R,R)terhadaplingkaran x2+y2= R2.Jawab5. Fungsiyangingindicarititikstasionernya adalahf(x, y) = (x R)2+ (y R)2dengansyarat batas(x, y) = x2+y2R2= 0.DenganmenggunakanPersamaan (3.2)dapatdituliskanbahwadf+d = [2(x R)dx + 2(y R)dy] +[2xdx + 2ydy] = 0.[x(1 +) R]dx + [y(1 +) R]dy= 0. (3.10)Dapat dipilih = 21 agar Persamaan (3.10) dapat bernilai nol dan fungsiyangmembatasitetapterpenuhi. Denganpilihaninidiperolehbahwakuadratjarakminimumadalah(3 22)R2dankuadratjarakmaksimum adalah(3 +22)R2.3.3 Referensi1. MaryL. Boas, Mathematical MethodsinthePhysical Sciences, JohnWiley&Sons,NewYork,SecondEdition,174-181 (1983)2. Wikipedia contributors, Lagrange multipliers, Wikipedia,The Free En-cyclopedia, 26 May 2010, 20:32 UTC, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lagrangemultipliers&oldid=364362085[accessed 6July2010]3. Francis W. Sears andGerhardL. Salinger, Thermodynamics, KineticTheory, andStatistical Thermodynamics, Addison-Wesley, ThirdEdi-tion,FifthPrint,421-423 (1980)4. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,189-191 (1967)18 CATATAN3. PENGALITAKTENTULAGRANGECatatan4KongurasiPalingMungkinSuatuStatistikDari ketiga statistik yang dipelajari, yaitu statistik Maxwell-Boltzmann, statis-tik Bose-Einstein, dan statistik Fermi-Dirac, dapat diperoleh rumusan mengenaipeluangtermodinamikasuatukeadaanmakrok, yaitu Wk. Denganmengang-gapbahwasuatusistemtersusunatas banyakpartikel makaterdapat suatupuncakyangcukuptajamdari Wkterhadapnilai-nilai laindi sekelilingnya,yangdisebutsebagai Wk,maksdandicaridenganmemaksimumkan Wk[1].4.1 SyaratbatassuatusistemSistem yang dibahas di sini dibatasi pada sistem tertutup dan terisolasi. Istilahtertutup dan terisolasi terkait dengan jumlah total partikel dalam sistem Ndanenergi total sistem U, di mana energi pada tingkat energi j adalah jdan jumlahpartikelyangmenempatitingkatenergitersebutadalahNj.Soal 1. BilaterdapatMtingkatenergi denganmasing-masingtingkatenergiditempati olehNjpartikel, tuliskanrumusanbagaimanamenghitungjumlahtotalpartikeldalamsistem.Jawab1. JumlahtotalpartikeldalamsistemdihitungmelaluiN=M

j=1Nj. (4.1)Soal 2. Energi tingkat energi j adalahjdanditempati olehNjpartikel.HitunglahenergitotalsistemUapabilaterdapatMtingkatenergi.Jawab2. EnergitotalsistemUdihitungmelalui1920CATATAN4. KONFIGURASIPALINGMUNGKINSUATUSTATISTIKU=M

j=1jNj. (4.2)Soal3. Hitunglah energi rata-rata sistem bila energi tingkat energi jadalah jdanditempatiolehNjpartikel.Jawab3. Energirata-rata sistemdihitungmelalui =UN=

Mj=1jNj

Mj=1Nj. (4.3)Soal4. Apa yang dimaksud dengan sistem tertutup dan terisolasi?BagaimanamerumuskannyaterkaitdenganPersamaan (4.1)dan(4.2)?Jawab4. Sistemtertutupberarti bahwajumlahpartikeldalamsistemtetap.Tidak terjadi perubahan jumlah partikel, jumlah partikel tidak berkurangmelalui keluarnyapartikel dari sistemataujumlahpartikel tidakbertambahmelaluimasuknyapartikelkedalamsistem. Syarat inidirumuskandengandN= d__

jNj__=

jdNj= 0. (4.4)Sedangkansistemterisolasi berarti energi total sistemtetapyangdirumuskanmelaluidU= d__

jjNj__=

jjdNj= 0. (4.5)Soal 5. Bagaimanacaramencari Wk,maksdari suatusistemtertutupdanter-isolasidenganmemperkenalkanduapengalitaktentuLagrange adanb?Jawab5. Fungsi yangharusdimaksimmukanadalah Wkdenganmencari tu-runan parsialnya terhadap Njdan syarat batas yang harus dipergunakan adalahdN= 0(sistemtertutup)dandU= 0(sistemterisolasi). DengandemikiandW+adN+bdU= 0, (4.6)yanglebiheksplisitnyaadalah

jWkNjdNj +

j(adN)NjdNj +

j(bdU)NjdNj= 0,4.2. MEMAKSIMUMKAN W 21

jWkNjdNj +

j(a

idNi)NjdNj +

j(b

iidNi)NjdNj= 0,

jWkNjdNj +

jaijNiNjdNj +

jbiijNiNjdNj= 0,

jWkNjdNj+a

jdNj +b

jjdNj= 0. (4.7)Umumnya, yang dimaksimumkan bukanlah Wkakan tetapi lnWksehingga Per-samaan(4.6)akanmenjadidln W +dN+dU= 0, (4.8)denganmemperkenalkandansebagaipengalitaktentuLagrange. DenganmenggunakanproseduryangsamauntukmenghasilkanPersamaan (4.7)dapatdiperoleh

j ln WkNjdNj +

jdNj+

jjdNj= 0. (4.9)Selanjutnya WkdalamPersamaan(4.9)akandituliskanhanyasebagai Wagartidakindeksktidakmembingungkan.4.2 Memaksimumkan WTelahdiperolehbahwapersamaanyangharus dipecahkanadalahPersamaan(4.9),yangdapatdituliskankembalimenjadi

j_ ln WNj+ +j_dNj= 0. (4.10)Untukmencari nilai lnWmaksimum(dapatjugaminimum)makaharuspulaberlakumaksimumuntuksetiapsukuyangterkaitdengandNj, yangberartibahwa ln WNj+ +j= 0. (4.11)Soal6. Bila W=

j Nj!, selesaikan Persamaan (4.11) untuk setiap Njdenganmenggunakanaproksimasi Stirling.Jawab 6. Aproksimasi Strirlinguntuklnn! dalamPersamaan(2.17) mem-berikanlnN! N ln N N. Dengandemikiandapatdiperolehbahwa22CATATAN4. KONFIGURASIPALINGMUNGKINSUATUSTATISTIKln W=

j(ln Nj!)

j(Nj ln NjNj).Soal 7. TentukanlnWuntukstatistikMaxwell-Boltzmann.Jawab7. StatistikMaxwell-BoltzmannWMB= N!

jgNjjNj!(4.12)sehinggalnWMB= ln N! +

j(Nj ln gj ln Nj!) N ln N N+

j(Nj ln gjNj ln Nj+Nj) (4.13)Soal 8. TentukanlnWuntukstatistikBose-Einstein.Jawab8. StatisticBose-EinsteinWBE=

j[(gj1) +Nj]!(gj1)!Nj!(4.14)sehinggaln WBE=

j[(gj1) +Nj]!

j(gj1)!

jNj!

j{[(gj1) +Nj] ln[(gj1) +Nj] [(gj1) +Nj]}

j{(gj1) ln(gj1) (gj 1)}

j{Nj ln Nj Nj}

j{[(gj1) +Nj] ln[(gj1) +Nj] (gj1) ln(gj1)Nj ln Nj}. (4.15)Soal 9TentukanlnWuntukstatistikFermi-Dirac.Jawab9. StatistikFermi-Dirac4.3. DISTRIBUSISUATUSTATISTIK 23WFD=

jgj!(gj Nj)!Nj!(4.16)sehinggaln WFD=

jgj!

j(gjNj)!

jNj!

j(gj ln gjgj)

j[(gjNj) ln(gjNj) (gjNj)]

j(Nj ln NjNj)

j[gj ln gj(gjNj) ln(gjNj) Nj ln Nj] (4.17)4.3 Distribusi suatustatistikDenganmenggunakanPersamaan(4.11) untukmasing-masingstastiksepertidalamPersamaan(4.13), (4.15), dan(4.17), akandapatdiperolehuntukkon-gurasiyangpalingmungkindistribusipartikeluntukmasing-masing statistik,yaituNj,MB=gje(+j), (4.18)Nj,BE=gje(+j)1, (4.19)Nj,FD=gje(+j)+ 1. (4.20)Soal 10. TurunkanPersamaan (4.18).Jawab10. DariPersamaan (4.13)danPersamaan (4.11)dapat dituliskandandiperlehbahwaNj___ln__N ln N+

j(Nj ln gjNj ln Nj)_____+ +j= 0lngjNj+ +j= 0 lngjNj= ( +j)gjNj= e(+j)Nj=gje(+j),24CATATAN4. KONFIGURASIPALINGMUNGKINSUATUSTATISTIKsepertidalamPersamaan (4.18).Soal 11. TurunkanPersamaan (4.19).Jawab11. DariPersamaan (4.15)danPersamaan (4.11)dapat dituliskandandiperlehbahwaNj{[(gj1) +Nj] ln[(gj 1) +Nj] (gj 1) ln(gj 1) Nj ln Nj}+ +j= 0ln[(gj 1) +Nj] ln Nj+ +j= 0ln [(gj 1) +Nj]Nj= ( +j) gj1Nj= e(+j)1gj>> 1 gjNj= e(+j)1 Nj=gje(+j)1,sepertidalamPersamaan (4.19).Soal 12. TurunkanPersamaan (4.20).Jawab12. DariPersamaan (4.17)danPersamaan (4.11)dapat dituliskandandiperlehbahwaNj{gj ln gj(gjNj) ln(gjNj) Nj ln Nj} + +j= 0ln(gj Nj) ln Nj + +j= 0ln gjNjNj= ( +j) gjNj= e(+j)+ 1Nj=gje(+j)+ 1,sepertidalamPersamaan (4.20).4.4 Referensi1. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,14-15(1967)Catatan5ParameterParameter yangdigunakansebagai salahsatupengali taktentuLagrangeuntukmencari nilai maksimumdari logaritmapeluangtermodinamikasuatukeadaanmakroln W, sebagaimanadituliskandalamPersamaan(4.8), perludicari artinya secara sis. Distribusi partikel dari kongurasi yang palingmungkin untuk ketiga statistik, Maxwell-Boltzmann (MB), Bose-Einstein (BE),dan Fermi-Dirac (FD), telah diperoleh dan masing-masing mengandung param-eter sebagaimanadituangkandalamPersamaan(4.18), (4.19), dan(4.20).Bagaimana fungsidariparameterdanbentukeksplisitnyadapatdilihatpen-jelasannyadalam[1]dansaduranbebasnyadalam[2].5.1 DuabuahsistemkontaksecaratermalSalah satu pendekatan yang digunakan untuk menunjukkan bagaimana intepre-tasi secarasisdari parameteradalahdenganmemisalkanterdapatnyaduabuahsistemtertutupyanghanyadapat salingmempertukarkanenergi, akantetapi tidakdapat mempertukarkanpartikel. Keduasistemyangdimaksud,secaragabungan,dianggapsebagaisistemyangterisolasi.Soal1. Bagaimanakah rumusan dua buah sistem yang masing-masing tertutupdimanakeduanyadapatsalingmempertukarkanenergi,akantetapigabungankeduanya merupakan suatu sistem terisolasi terhadap lingkungannya?Gunakanuntuksistempertamatandadanuntuksistemkeduatanda.Jawab1. Keduasistem merupakansistem tertutup,sehingga dapat dituliskanbahwadN= 0, (5.1)dN= 0, (5.2)2526 CATATAN5. PARAMETERdan karena gabungan keduanya merupakan sistemyang terisolasi denganlingkungannya makadU= 0, (5.3)dU= dU+dU. (5.4)Saat dua buah sistem digabungkan maka ada parameter dalam sistem gabunganyangmerupakanhasil perkaliandari parametermasing-masingsistem. Salahsatucontohparameteryangbersifatsepertiiniadalahpeluangtermodinamikasuatukeadaanmakro(yangmulai sekarangdiambil taklainadalahkeadaanmakroyangpalingmungkinmuncul) W. Jadi bilapeluangkeadaanmakroyang palingmungkinmunculdarisistem pertamaadalah Wdanuntuksistemkeduaadalah Wmakapeluangkeadaan makrosistemgabunganadalahW= WW. (5.5)Soal 2. Peluangtermodinamikakeadaan-keadaanmakrosuatusistemadalah20,30, 4000,35, 20,5. Sedangansuatusistemlainmemiliki peluangtermodi-namikakeadaan-keadaan makro 1,5,1500, 3,1. Tentukanlahpeluangkeadaanmakroyangpalingmungkinmumculdarigabungankeduasistemtersebut.Jawab2. Untuksistempertama W=4000danuntuksistemkedua W=1500, sehinggadenganmenggunakanPersamaan(5.5)dapatdiperolehbahwaW= 6000000.Soal 3. Rumuskandenganmenggunakanpengali taktentuLagrange, ,danduabuahsistemtertutupyangdapatkontaksecaratermal danmeru-pakansistemgabunganyangterisolasiterhadaplingkungannya. Sertajelaskanmengapahanyaperlusatuparameter.Jawab3. Denganmenggunakan Wsistemgabungan dansyarat bahwa dN=0,dN= 0,dandU= 0makadapatdituliskanbahwad ln W +dN+dN+dU= 0, (5.6)sehinggadapatdiperolehuntuktiapdNjdandNjWNj++j= 0, (5.7)WNj++j= 0, (5.8)karena WhanyabergantungdariNjdan WhanyabergantungdariNj .5.2. HUKUMPERTAMATERMODINAMIKA 27Soal 4. TurunkanPersamaan(5.7) dan(5.8) dari Persamaan(5.6) denganmenggunakanPersamaan (5.4).Jawab4. Dapatdituliskandandiperolehbahwad ln W +dN+dN+dU= 0,d ln(WW) +dN+dN+d(U+U) = 0,d ln W+d ln W+dN+dN+dU+dU= 0,(d ln W+dN+dU) + (d ln W+dN+dU) = 0,

j_WNj++j_dNj +

j_WNj++j_dNj= 0seperti dalam Persamaan (5.7) dan (5.8) di mana masing-masing suku harus noluntuksetiapperubahandNjdandNj .Karenakeduasistemhanyadapatmempetukarkankalormakasaatterjadinyakesetimbangan hanya satu parameter yang akan berniali sama yaitu temperaturT (hal ini sesuai denganhukumke-nol termodinamika). Dari (5.7)dan(5.8)dapat dilihat bahwa hanya satu parameter yang sama untuk kedua sistem yaitu. Dengandemikiandapatdiperolehbahwaseharusnya= (T) (5.9)yangmerupakansuatuintepretasisecarasiskelakuandari.5.2 HukumpertamatermodinamikaTerdapatpulasudutpandanglainuntukmelihatartidaripengaliyangme-manfaatkanhubunganyangdiungkapkanolehhukumpertamatermodinamika,yaitudU= dQpdV. (5.10)Dengan menggunakan Persamaan (4.5) dalam bentuk yang lebih umum di manamungkinterdapatperubahandjmakadapatdituliskanbahwadU= d__

jjNj__=

jNjdj +

jjdNj. (5.11)Perubahanvolumeakanmengubahtingkat-tingkat energi sebagaimanakasuspartikeldalam kotaksedangkanperubahankalorakanmembuatterjadinyape-28 CATATAN5. PARAMETERrubahan susunan partikel dalam tingkat-tingkat energi. Dengan demikian dapatdituliskanbahwa

jNjdj= pdV, (5.12)

jjdNj= dQ. (5.13)Soal 5. Padasaattercapainyakesetimbangansehinggatidaklagi terjadi pe-rubahanvolume, turunkanbentukparametersecaraeksplisitdenganmeng-gunakanrumusanpengalitaktentuLagrange dalam mencaripeluangtermodi-namika suatu keadaan makro Wyang paling mungkin dan rumusan entropi dariBoltzmannsertahubunganantara perubahanentropidenganperubahankalor.Sistemmerupakansistemtertutup.Jawab5. Rumusanpengali taktentuLagrangedalammencari peluangter-modinamikasuatukeadaanmakro WyangpalingmungkinmemberikandW +dN+dU= 0,di manabilatidakterjadi perubahanvolumemakamelalui hukumpertamatermodinamikadU= dQ,sehinggadapatdiperolehdW +dN+dQ = 0.Dengan menerapkan syarat sistem tertutup, yaitu dN= 0 maka dapat diperolehbahwad ln W= dQ.SelanjutnyadenganmenggunakanungkapanBoltzmannuntukentropi,yaituS= k ln W, (5.14)danhubungandS= dQ/Tdapatdituliskanbahwa5.3. TEORIKINETIKGAS 29d ln W= dQd_Sk_= dQdSk= dQdSdQ= k1T= k= 1kT . (5.15)Persamaan (5.15)menggambarkan hubunganeksplisitantaradangT.5.3 TeorikinetikgasKhususuntukstatistikMaxwellBoltzmann,terdapathubunganNj= gjej+jseperti telahditunjukkanolehPersamaan(4.18). Sedangkateori kinetikgasmenyatakanbahwaenergirata-rata tiappartikelgasmonoatomikadalah =32kT. (5.16)JumlahtotalpartikeldapatdiperolehlewatN=

jNj=

jgjej+j_0[2(2m)3/21/2d/h3]e+(5.17)danenergisistemU=

jjNj=

jjgjej+j_0[2(2m)3/21/2d/h3]e+(5.18)dimanagj 2(2m)3/21/2dh3. (5.19)30 CATATAN5. PARAMETERKemudiandenganmenggunakanrelasiyangdiperolehdariintegralparsial_03/2ed = 32_01/2ed (5.20)danbahwa = U/Nmaka = 32=32kT = 1kT ,sepertidalamPersamaan (5.15).Soal 6. BuktikanPersamaan (5.20).Jawab6. Denganmelihatbentukpersamaanyangdimaksudmakadapatdit-uliskan_3/2ed =13/2e_321/2ed_03/2ed =_13/2e_032_01/2ed_03/2ed = 0 32_01/2ed_03/2ed = 32_01/2ed,dimanatelahdigunakansuatuasumsimengenainilai,yaitubahwa< 0.Soal 7.5.4 Referensi1. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,19-25(1967)2. Sparisoma Viridi dan Siti Nurul Khotimah, Catatan Kuliah Fisika Statis-tik,SemesterIITahun2009/2010, Mei,21-27(2010)Catatan6DegenerasidalamRuangFasaDegenerasi ataujumlahkeadaanenergi gjpadasuatutingkat energi j yangmemiliki energi antara jdan j +djyang bersifat dikrit dapat dilihat menjadisuatubesaranyangberhargakontinu[1]. Bagaimanahalitudapatdilakukan,akandiilustrasikandalamcatatanini.6.1 RuangfasaenamdimensiSaatsebuahpartikelbergerakdalamruangtigadimensi(x,y,z)danmemilikimomentumpadaketigaarahtersebut(px, py, pz), keadaanpartikel tersebutsetiapsaatsecaralengkapdispesikasikandenganenamkoordinatyaitu(x, y,z,px,py,pz). Ruangdimanapartikeldispesikasikandenganenamkoordinattersebutdisebutsebagairuangenamdimensiatauruang.Soal 1. Bilaelemenvolumeruangkoordinattigadimensiadalahdxdydz,ten-tukanlahelemenvolumeruangfasaenamdimensi.Jawab 1. Ruangmemiliki koordinat x, y, z, px, py, pzuntuktiap-tiappartikel. Dengandemikianelemenvolumenyaadalahd = (dV )(dVp) = (dx, dy, dz)(dpx, dpy, dpz) = dxdydzdpxdpydpz. (6.1)Kaitanantaragjdandadalahgj dh3, (6.2)3132 CATATAN6. DEGENERASIDALAMRUANGFASAdimanahadalahkonstantaPlanck, h = 6.626 1034m2kgs1.Bilafungsiyangakandiinteralkan,dalamhaliniadalahsuku1e+j+c, c = 1, 0, 1,tidakbergantungpadakoordinat spasial (x, y, z) makaddapat dituliskanmenjadid = V dpxdpydpzyang artinya telah dilakukan integrasi terhadap elemen volume spasial.Demikian pula bila suku tersebut tidak mengandung koordinat momentum (px,py,pz)makadapatdituliskanmenjadid = Vpdxdydzyangartinyatelahdilakukanintegrasiterhadapelemenvolumemomentum.6.2 Integral volumeruangmomentumElemenruangmomentumdpxdpydpzdapatpuladituliskansebagaidVp= dpxdpydpz= 4p2dpapabilasifatmomentumnyadianggapisotropik,homogenkesemuaarah.Soal 2. TurunkandVp= 4p2dp.Jawab2. Denganmengambil analogi seperti transformasi dari ruangspasialdengansistemkoordinatkartesiankesistemkoordinatbola, makadapatdit-uliskanbahwadVp= dpxdpydpz= (dp)(pd)(p sin )d.Apabila momentump bersifat isotropik, maka dapat dilakukan integral terhadapvariabelddandsehinggadapatdiperolehdVp=_0sin d_20d p2dp = 4p2dp.6.3. INTEGRALVOLUMERUANGLAJU 33Dengandemikiandapatdituliskanbahwad = 4V p2dp.6.3 Integral volumeruanglajuHubunganantaramomentumdanlajuadalahp = mv dp = mdvsehinggadapatdiperolehd = 4V m3v2dv.Soal 3. Turunkand = 4V m3v2dv.Jawab3. Gunakanhubunganp = mvdandp = mdvdalamd = 4V p2dp.6.4 Integral volumeruangenergiEnergi setiap partikel dalam bentuk energi kinetik terkait dengan momentumnyaadalahmelaluihubungan =p22msehinggadapatdituliskanbahwad =pdpm.Soal 4. Rumuskanddalambentukd.Jawab4. Denganmenggunakan = p2/2m,d = pdp/m,dand = 4V p2dp,dapatdiperolehd = 4V (p2)(dp)d = 4V (2m)_m2md_d = 2V (2m)3/21/2d34 CATATAN6. DEGENERASIDALAMRUANGFASA6.5 Integral volumeruangfrekuensiKhususuntukpartikel yangmerupakanfoton, makaenerginyadirumuskanse-bagai = hsehinggad = hd.Perlu diingat bahwa foton tidak memiliki massa sehingga momentumnya adalahp = h/c.Soal 5. Rumuskanddalambentukd.Jawab5. Denganmenggunakan d = 4V p2dpdapatdituliskanbahwad = 4V (p2)(dp) = 4V_hc_2_hdc_= 4Vh3c3 2d.6.6 Integral volumeruangpanjanggelombangSelain dalam ruang frekuensi, untuk partikel yang merupakan foton, dapat puladdinyatakandalamruangpanjanggelombang,denganhubungan =c d = cd2.Soal 6. Rumuskanddalambentukd.Jawab6. Denganmenggunakan4V h32d/c3dan=c/(sertaturunan-nya)dapatdiperolehd = 4Vh3c3 2dd = 4Vh3c3_c_2__c_21cd_= 4V h34d.Biladiambil nilai positifnyadansebuahfotonmemiliki duaarahpolarisasi,makadegenerasigjtiapsatuanvolumeakanmenjadi6.7. REFERENSI 35g()d =gjV=4h34d.Umumnyahanyatandanegatifakibatpenurunantidakdigunakan.Soal 7. Gas fotonmemiliki statistikBose-Einstein. Rumuskanbagaimanabentukg()dann().Jawab7. Suatufotondalamgasfotonmemiliki duaarahpolarisasisehinggadegenerasinya menjadi dua kali dari degenerasi yang diperoleh dari gj. Selain ituumumnya jumlahdenerasi ataukeadaan yang diperbolehkandinyatakan dalamtiapsatuanvolume[2],sehinggag()d =2gjV=2dV h3=84d.Kemudian dengan menggunakan statistik Bose-Einstein dapat dituliskan bahwan()d = g()df() =84d1ehc/kT1.6.7 Referensi1. Sparisoma Viridi dan Siti Nurul Khotimah, Catatan Kuliah Fisika Statis-tik,SemesterIITahun2009/2010, Mei,24-25 (2010)2. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,51-55 (1967)36 CATATAN6. DEGENERASIDALAMRUANGFASACatatan7DistribusiSuatuStatistikTelahdiperkenalkandalamsuatucatatansebelumnyayangberjudul Kong-urasiPalingMungkinSuatuStatistik,bagaimanabentukdistribusidariketigastatistik(Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein,danFermi-Dirac).7.1 Bentukumumdistribusi ketigastatistikKetigastatistikmemilikibentukumumdistribusipartikel,yaituNj,MB=gje(+j), (7.1)untukstatistikMaxwell-Boltzmann,Nj,BE=gje(+j)1, (7.2)untukstatistikBose-Einstein,danNj,FD=gje(+j)+ 1. (7.3)untukstatistikFermi-Dirac. KetigabentukdalamPersamaan(7.1),(7.2),dan(7.3)dapadituliskandalambentukdiferensialnyaNX()d, di manaX=MB,BE,danFD.3738 CATATAN7. DISTRIBUSISUATUSTATISTIK7.2 StatistikMaxwell-BoltzmannSoal 1. Denganmenggunakand=2V (2m)3/21/2d, gjd/h3, =1/kT, tentukanlahNMB()d.Jawab1. DapatdituliskanbahwaNj,MB=gje(+j)= gj1e(+j)NMB()d =2V (2m)3/21/2dh31e(+)NMB()d =2V (2m)3/2h3ee1/2dNMB()d =2V (2m)3/2h3ee/kT1/2d. (7.4)Soal 2. Bila diketahui bahwabentukdistribusi Maxwell-Boltzmanndalambentukdiferensialsecaralengkapadalah[1]NMB()d =2N(kT)3/2e/kT1/2d, (7.5)tentukanlahnilaidariPersamaan (7.4).Jawab2. DariPersamaan (7.4)dan(7.5)dapatdituliskanbahwa2V (2m)3/2h3e=2N(kT)3/2e=Nh3V (2mkT)3/2 = ln_Nh3V (2mkT)3/2_. (7.6)Soal 3. Tunjukkanbahwa_0NMB()d = N. (7.7)Jawab3. Dapatdituliskanbahwa_0NMB()d =_02N(kT)3/2e/kT1/2d7.2. STATISTIKMAXWELL-BOLTZMANN 39=2N(kT)3/2_0e/kT1/2d.Kemudiandenganmenggunakan_12_=_0exx12dx =,dan_0exx12dx =12_0exx12dx =12,dapatdiperoleh_0e/kT1/2d = (kT)3/2_0e/kT_kT_1/2d_kT_=12(kT)3/2,sehingga2N(kT)3/2_0e/kT1/2d =2N(kT)3/212(kT)3/2= N.Jadi, Persamaan(7.7) telahdapat dibuktikan. Sebenarnyanilai dapat di-carikarenasyarat bahwa_0NMB()d = NdariPersamaan(7.4)tanpaperluterlebihdahulumengetahuibentuklengkapnya sepertidalamPersamaan (7.5).Soal4. Gas ideal monoatomik memenuhi distribusi Maxwell-Boltzmann dalamPersamaan (7.5). Hitunglah energi total sistem yang terdiri dari Npartikel gasdenganmenggunakanU=_0NMB()d.Jawab4. DapatdituliskanU=_0NMB()d =2N(kT)3/2_0e/kT3/2d,dimana_0e/kT3/2d = (kT)5/2_0e/kT_kT_3/2d_kT_= (kT)5/23212 =34(kT)5/2,40 CATATAN7. DISTRIBUSISUATUSTATISTIKsehinggaU=2N(kT)3/234(kT)5/2 =32NkT.7.3 StatistikBose-EinsteinSoal 5. Dengan menggunakan d = 2V (2m)3/21/2d, gj d/h3,= 1/kT, tentukanlahNBE()d untukfotondalamsuaturuangtertutupberlubang, di manafotonmemiliki duaarahpolarisasi yangakanmempen-garuhi jumlahkeadaanenerginyadanbahwajumlahfotontidaktetap(adayangdiserapdandipancarkankembali olehdinding). Lubangpadaruangter-tutuptersebut akanberfungsi sebagai bendahitam. Apakahadayangsalahdarihasilyangdiperoleh?Jawab5. DapatdiperolehbahwaNj,BE=gje(+j)1= gj1e(+j)1NBE()d = 22V (2m)3/21/2dh31e(+)1NBE()d =4V (2m)3/2h31e(+)11/2dNBE()d =4V (2m)3/2h31e(/kT)11/2d. (7.8)Sebelummencari nilai , sebaiknya hasil yang diperolehdicermati terlebihdahulu. Sekilas terlihat bahwatidakadayangsalahdalamPersamaan(7.8)akantetapiperhatikanbahwadalambentukNBE()dyangdicariuntukfotonterdapatmassafoton. Tidakadaartisisdarimassafoton. Dengandemikianungkapan dalam Persamaan (7.8) adalah salah atau NBE tidak dapat dinyatakandalam bentuksepertidiatas. Ungkapan yang benar adalah apabila dinyatakandalampanjanggelombangataufrekuensidarifoton.Soal 6. Perbaikilah Persamaan (7.8)denganmencariNBE()dmenggunakanrepresentasiddalamd.Jawab6. Dalamcatatansebelumnyadapatdiperolehbahwag()d =gjV=4h34dakan tetapi karena foton memiliki dua arah polarisasi yang menyebabkan jumlahkeadaanenergi yangdimilikinyamenjadi duakalinya, makaungkapandi atasakanmenjadi7.4. STATISTIFERMI-DIRAC 418h34d.Ungkapan-ungkapan di atas diperoleh melalui hubungan = hc/ dan turunan-nya. DengandemikiandapatdituliskanNj,BE=gje(+j)1= gj1e(+j)1NBE()d =84d1e(+hc/)1NBE()d =841e(hc/kT)1d. (7.9)UngkapandalamPersamaan(7.9)sudahdalampersatuanvolumeV . Selan-jutnyaadalahbagaimanamencari nilai . Dalamsoal diinformasikanbahwajumlah fotondalamsistemtidak tetapkarena ada fotonyang diserapolehwadah tertutup dan ada foton yang dipancarkan kembali setelah diserap, dengandemikian pada saat penurunan Nj,BEmenggunakan pengali tak tentu Lagranged ln W+dN+dU= 0tidakdapat dipenuhi bahwadN=0. Agar persamaandi atas dapat tetapdipenuhi, dipilih=0. DengandemikianakandiperolehuntukfotondalamsuaturuangtertutupNBE()d =841ehc/kT1d. (7.10)7.4 Statisti Fermi-DiracSoal 7. Denganmenggunakand=2V (2m)3/21/2d, gjd/h3, =1/kT, tentukanlah NFD()duntukgas elektron yang memilikidua kemungk-inanspin,yaitu+12dan 12. Gunakanpulahubunganbahwa = F/kT.Jawab7. DapatdituliskanbahwaNj,FD=gje(+j)+ 1= gj1e(+j)+ 1NFD()d = 22V (2m)3/21/2dh31e(+)+ 142 CATATAN7. DISTRIBUSISUATUSTATISTIKNFD()d =4V (2m)3/2h31e(+)+ 11/2dNFD()d =_V 4_2mh2_321/2_1e(F)/kT+ 1d. (7.11)Khusus untukstatistikFermi-Dirac,distribusipartikel(dalam halinielektron)dapatdituliskandalambentukN()d = g()f()d,dimanag() =_V 4_2mh2_321/2_danf() =1e(F)/kT+ 1yangdikenalsebagaifungsiFermi. FdisebutsebagaienergiFermi.7.5 BentukumumdistribusistatistiklainWalaupun tidak lazim dituliskan, secara umum ketiga statistik seharusnya dapatdituliskandalambentukN()d = g()f()d, (7.12)dengang()memilikiartijumlahkeadaanenergipadatiaptingkatenergiataukerapatankeadaan energi(densityofstates).7.6 Referensi1. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,25-26(1967)Catatan8TermodinamikaGasIdealMonoatomikDalam gas ideal segala interaksi yang terjadi antara partikel-partikel gas, terma-sukyangterjadisaat partikel-partikel gassalingbertumbukan,dianggapmem-berikanpengaruhyang dapat diabaikan terhadap sifat-sifat termodinamikagas[1].8.1 Peluang termodinamika Wmaksgas idealklasikPeluangtermodinamikasuatukeadaanmakrodarigasidealyangmengandungNpartikelgastakberstrukturadalahW= N!

jgNjjNj!, (8.1)denganNjadalahbilanganokupasi padatingkat energi j, di manatingkatenergi tersebut terdegenerasi sejumlahgjdanberenergi j. Terpenuhi pulabahwaN=

j Nj.Soal 1. GunakanaproksimasiStirlinglnx! xln x xuntukmencarilnW.Jawab1. Bentukln

j xj=

j ln xj,sehinggaln W= ln__N!

jgNjjNj!__4344 CATATAN8. TERMODINAMIKAGASIDEALMONOATOMIK= ln N! + ln

jgNjjNj!= ln N! +

jln_gNjjNj!_= ln N! +

j_ln gNjjln Nj!_= ln N! +

jNj ln gj

jln Nj! (N ln N N) +

jNj ln gj

j(Nj ln NjNj)= N ln N N+

jNj ln gj

jNj ln Nj +

jNj= N ln N N+

jNj ln gj

jNj ln Nj +N= N ln N+

jNj ln gj

jNj ln Nj= N ln N+

jNj lngjNj. (8.2)Soal 2. Denganmenggunakanrumusanuntukmencari Wmakspadastatis-tikMaxwell-BoltzmanyangmemberikanNj=gj/e(+j)tentukanbentukln WmaksdalamNdanU.Jawab 2. Dengan menggunakan Persamaan (8.2) untukWmakssehinggahubunganNj= gj/e(+j)dapatdigunakan,diperolehln W= N ln N+

jNj lngjNjln Wmaks= N ln N+

jNj ln e(+j)= N ln N+

jNj[( +j)]= N ln N

jNj

jNjj= N ln N N U. (8.3)Soal 3. UbahlahPersamaan(8.3) denganmenggunakanA=edan =1/kT.Jawab3. Dapatdituliskanbahwa8.2. FUNGSIPARTISIBOLTZMANN 45lnWmaks= N ln N N U= N ln N (ln A)N+UkT= N ln NA+UkT .8.2 Fungsipartisi BoltzmannSuatufungsipartisididenisikansebagai Z= N/A.Soal 4. Rumuskanbentukfungsi partisi Zdenganmenggunakan

j Njdane.Jawab4. DapatdituliskanbahwaZ=NA

j Nje=

j gj/e(+j)e=

j gje(+j)e=e

j gjeje=

jgjej=

jgjej/kT. (8.4)Persamaan(8.4)inidisebutsebagaifungsipartisiBoltzmann(ataufungsipar-tisi) sebuahpartikel dalamsuatusuatusistem. Istilahini digunakankarenadalamekspresi Z, setiapsukudalamsomasi mementukanbagaimanapartikeldalam sistemdidistribusikanataudipartisikandiantara (pada) tingkat-tingkatenergi.Soal 5. DenganmenggunakanperumusanBoltzmannuntukentropi,tentukanbentukdari SyangbergantungpadaZ.Jawab5. Perumusan Boltzmann untuk entropi adalah S= k ln Wmaks sehinggaS= k ln Wmaks= k_N ln NA+UkT_= k_N ln Z +UkT_46 CATATAN8. TERMODINAMIKAGASIDEALMONOATOMIK= Nk ln Z +UT . (8.5)Soal 6. EnergibebasHelmholtzdidenisikansebagaiF=U TS. GunakanekspresitersebutuntukmembuatfungsiF= F(N, T, Z)/Jawab6. DenganmenggunakanPersamaan (8.5)dapatdituliskanS= Nk ln Z +UTTS= NkT ln Z +UNkT ln Z= U TSNkT ln Z= F. (8.6)Soal 7. Hitunglahenergi dalamU dari energi bebas Helmholtz F denganmenggunakanrumusanU= T2_(F/T)T_V(8.7)danZ= V (2mkT)32/h3.Jawab7. DenganmenggunakanPersamaan (8.6)dan(8.7)dapatdituliskanU= T2_(F/T)T_V= T2_(NkT ln Z/T)T_V= T2_(Nk ln Z)T_V= T2Nk_ ln[V (2mkT)32/h3]T_V= T2Nk_ ln[V (2mkT)32]T ln h3T_V= T2Nk_1V (2mkT)3232(2mkT)122mk 0_= T2Nk_32T_=32NkT.Soal 8. Turunkanekspresi8.3. TEKANANDANKALORJENIS 47U= NkT2_ ln ZT_V(8.8)dari U =N, N =

j Nj, U =

j jNj, Nj=gjAej/kT, danZ =

j gjej/kT.Jawab8. Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas dapat dituliskanbahwaU= N = N UN= N

j jNj

j Nj= N

j jgjAej/kT

j gjAej/kT= N

j jgjej/kT

j gjej/kT=NZ

jjgjej/kT=NZ

jgj_kT2(ej/kT)T_= kT2NZT

jgjej/kT= kT2NZ_ZT_V= NkT2_ ln ZT_V.Soal 9. TurunkanPersamaan (8.8)dariPersamaan (8.7).Jawab9. Dengan menggunakan kedua persamaan yang disebutkan dalam soal,dapatdituliskanbahwaU= T2_(F/T)T_V= T2_(NkT ln Z/T)T_V= T2_(Nk ln Z)T_V= NkT2_ ln ZT_V.8.3 TekanandankalorjenisMelaluidenisienergibebasHelmholtzF= U TS48 CATATAN8. TERMODINAMIKAGASIDEALMONOATOMIKdapatdiperolehbahwasecara umumdF= dU TdS SdT.DenganmenggunakanhubungandQ = dU+pdVdandQ = TdSmakadapatdiperolehdF= pdV SdT. (8.9)DaripersamaanterakhirinidapatditurunkanpdanSsebagaifungsidariF.Soal 10. TentukanlahungkapanpdanSdariF.Jawab10. DenganmenggunakanPersamaan (8.9)dapatdituliskanbahwap = _FV_T(8.10)danS= _FT_V. (8.11)Soal 11. TentukanlahungkapanUsebagaifungsi dariF. Bilaperlugunakanpulahubungan= 1/kT.Jawab11. DenganmenggunakanPersamaan(8.11)dandenisi energibebasHelmholtzF= U TSdapatdiperolehF= U TS= U+T_FT_VU= F T_FT_V= T2_(F/T)T_V=_(F)_V(8.12)Soal12. Dengan menggunakan denisi dari kapasitas panas pada volume tetap8.4. PERSAMAANKEADAAN 49CV=_UT_V(8.13)tentukanlahCVdariF. Bilaperlugunakanpulahubungan= 1/kT.Jawab12. DengansegeradapatdiperolehbahwaCV=_UT_V=_T_T2_(F/T)T_V__V= 2T_(F/T)T_VT2_T_(F/T)T_V_V= 2T_FT2 1T_FT_V_+T2_T_FT2 1T_FT_V__V= 2FT 2_FT_V+_FT_V2FT+_FT_VT_2FT2_V= T_2FT2_V= k2_2(F)2_V.8.4 PersamaankeadaanDenganmenggunakanZ=V (2mkT)32h3,p = _FV_TdanF= NkT ln Zdapatdiperolehp =NkTVyangmerupakanpersamaankeadaangasidealmonotomik.50 CATATAN8. TERMODINAMIKAGASIDEALMONOATOMIK8.5 Referensi1. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,86-93(1967)Catatan9ParadoksGibbSaatduajenisgasberbedadenganentropimasing-masingdicampur,makaen-tropi campuranadalahpenjumlahankeduaentropi semula. Lalubagaimanaapabila kedua gas tersebut adalah jenis yang sama? Ternyata entropinyabukanyahanya penjumlahandari keduaentropisemula melainkanterdapat su-atusukutambahan. Untukituperumusangas klasikperludiperbaiki den-gan menggunakan perumusan semi-klasik [1]. Dalamcatatan ini gas yangdibicarakanadalahgasidealmonoatomiktanpaadanya strukturdidalamnya.9.1 EntropigasklasikDenganmenggunakanperumusanentropiSdarienergibebasHelmholtzFS= _FT_V, (9.1)kaitanantaraenergibebasHelmholtzFdenganfungsipartisiZF= NkT ln Z, (9.2)danbentukeksplisitfungsipartisiBoltzmannZ=V (2mkT)32h3, (9.3)dapat diperoleh bentukeksplisit dari entropi yang bergantung dari jumlahpar-tikelN,volumegasV ,dantemperaturgasT,yaitu5152 CATATAN9. PARADOKSGIBBS= Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk. (9.4)Di sini madalahmassasatupartikelgas,kadalahkonstantaBoltzmann, danhadalahkonstantaPlanck.Soal 1. TurunkanPersamaan (9.4).Jawab1. DapatdituliskanbahwaS= _FT_V= _(NkT ln Z)T_V=_(NkT ln Z)T_V= Nk ln Z +NkTZ_ZT_V= Nk ln_V (2mkT)32h3_+NkTV (2mkT)32/h3_T_V (2mkT)32h3__V= Nk ln_V (2mkT)32h3_+NkTh3V (2mkT)32V (2mk)32h3d(T32)dT= Nk ln_V (2mkT)32h3_+NkTT3232T12= Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk.9.2 PencampuranduagasberbedajenisSebuahsistemterdiri dari duaruanganyangmasing-masingterisi olehsatujenis gas. Gas 1yangmemiliki jumlahpartikel N1, denganmassatiappar-tikelm1, menempati ruanganbervolumeV , bertemperaturT,danbertekananp. Sedangkangas2yangmenempati ruanganbervolume, bertemperatur, danbertekanansamadengangas1, akantetapi memiliki jumlahpartikel N2danmassatiappartikelnyaadalahm2. Terdapatsekatyangmemisahkanruangankeduajenisgastersebut.Soal 2. Hitunglahentropitotalsistemsebelumkeduajenisgasbercampur.Jawab 2. Dengan menggunakan Persamaan (9.4) dapat dihitung entropimasing-masinggas,yaituS1danS2danentropitotalsistemS9.2. PENCAMPURANDUAGASBERBEDAJENIS 53S= Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk,S1= N1k ln_V (2m1kT)32h3_+32N1k,S1= N2k ln_V (2m2kT)32h3_+32N2k,S= S1 +S2.Soal 3. Hitunglahentropitotalsistemsetelahkeduajenisgasbercampur.Jawab3. Setelahsekat pemisahruangankeduajenis gasdihilangkanmakakedua jenis gas akan bercampur. Mengingat tekanan dan temperatur awal keduagasadalahsama, makapartikel-partikel keduagasakanmemiliki temperaturdan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volumesemula. DengandemikianS= Nk ln_V(2mkT)32h3_+32Nk,S1= N1k ln_2V (2m1kT)32h3_+32N1k,S1= N2k ln_2V (2m2kT)32h3_+32N2k,S= S1 +S2.Soal 4. HitunglahperubahanentropisistemS.Jawab4. PerubahanentropisistemS= SSsehinggaS= SS= (S1 +S2) (S1 +S2) = (S1S1) + (S2S2)= S1 + S2.S1=_N1k ln_2V (2m1kT)32h3_+32N1k__N1k ln_V (2m1kT)32h3_+32N1k_= N1k ln 2.S2= N2k ln 2.S= (N1 +N2)k ln 2.54 CATATAN9. PARADOKSGIBB9.3 Pencampurangassejenis: paradoksGibbBagaimana bilagas yang dicampurmemilikijenisyang sama?Suatufenomenayang disebut sebagai paradoks Gibbmunculdisini. Sistem yang ditinjausamadengansistemsebelumnya, hanyasajadalamhal ini keduagasberjenissama.Dankarenadijagaagartekananp, temperaturT, danvolumeV sama, makadenganm1= m2= makanterpenuhibahwaN1= N2= N.Soal 5. Hitunglah entropi total sistem sebelum kedua gas berjenis sama bercam-pur.Jawab 5. Dengan menggunakan Persamaan (9.4) dapat dihitung entropimasing-masinggas,yaituS1danS2danentropitotalsistemSS= Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk,S1= Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk,S2= Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk,S= S1 +S2= 2S1= 2S2.Soal6. Hitunglah entropi total sistem setelah kedua gas berjenis sama bercam-pur.Jawab6. Setelahsekat pemisahruangankeduajenis gasdihilangkanmakakeduagas akanbercampur. Mengingat tekanandantemperatur awal keduagasadalahsama, makapartikel-partikel keduagasakanmemiliki temperaturdan tekanan campuran yang sama pula. Hanya saja setelah tercampur, masing-masing partikel kedua gas akan melihat voume ruangan menjadi dua kali volumesemula. DengandemikianS= Nk ln_V(2mkT)32h3_+32Nk,S1= Nk ln_(2V )(2mkT)32h3_+32Nk,S1= Nk ln_(2V )(2mkT)32h3_+32Nk,S= S1 +S2= 2S1= 2S2.Soal 7. HitunglahperubahanentropisistemS.9.4. GASIDEALSEMI-KLASIK 55Jawab7. PerubahanentropisistemSS= S1 + S2.S1=_Nk ln_2V (2mkT)32h3_+32Nk__Nk ln_V (2mkT)32h3_+32Nk_= Nk ln 2.S2= Nk ln 2.S= 2Nk ln 2.DisinidiperolehbahwaS= 2Nk ln 2danbukanS= 0,padahalkeduagasadalahjenisgasyang sama. Ketidakcocokan inidisebutsebagai paradok Gibb.9.4 Gasideal semi-klasikPeluang suatu keadaan makro gas ideal klasik yang semula menggunakan statis-tikMaxwell-BoltzmannWMB= N!

jgNjjNj!dapat dikoreksi dengan menggunakan statistik kuantum, yang seharusnya tetapmemperhatikansifatstatistikdaripartikelgasapakahbersifatsebagai bosonataufermin, sehinggamenjadi menjadi peluangtermodinamikasuatukeadaanmakrosemi-klasikWSK=

jgNjjNj!. (9.5)Dengan menggunakan dua pengali tak tentu Lagrange dan dapat diperolehbahwaWmaks=UkT N+N,dandenganS= k ln WmaksdapatdituliskanS= Nk ln_V (2mkT)32Nh3_+52Nk, (9.6)56 CATATAN9. PARADOKSGIBBdengan menggunakan fungsi partisi Boltzmann yang sama Z= V (2mkT)32/h3.Soal8. Hitunglah entropi sistem yang terdiri dari dua gas berjenis sama sepertidalam soal sebelumnya, saat sebelum dan sudah dicampur. Hitung pula peruba-hanentropinya.Jawab 8. Saat sebelum dicampur, dengan menggunakan Persamaan (9.6) dapatdiperolehS= Nk ln_V (2mkT)32Nh3_+52Nk,S1= Nk ln_V (2mkT)32Nh3_+52Nk,S2= Nk ln_V (2mkT)32Nh3_+52Nk,S= S1 +S2= 2S1= 2S2,sedangkansaatsetelahdicampurS= Nk ln_V (2mkT)32Nh3_+52Nk,S= S1 +S2= (2N)k ln_(2V )(2mkT)32(2N)h3_+52(2N)k,= 2S2 = 2S1,sehinggaperubahanentropinyamenjadiS= SS,= 2S12S1= 2S22S2 = 0.Denganmenggunakanstatistiksemi-klasik,telahditunjukkanbahwaparadoksGibbtidaklagimunculsaatduagasberjenissamadicampurkan.9.5 Referensi1. A. J. Pointon, An Introduction to Statistical Physics for Students, Long-mans,FirstPrint,93-99(1967)Catatan10StatistikFermi-Dirac: NjdanS[20100629]Peluangtermodinamikasuatukeadaanmakro-kdalamsistemyangmemenuhistatistikFermi-DiracdiberikanolehWk=

jgj!nj!(gjnj)!, (10.1)dengangjadalahdegenerasi tingkat energi j yangmemiliki energi jdalamkeadaan makro k dan njadalah jumlah partikel yang menempati tingkat energi jjuga dalam keadaan makro k tersebut. Dalam statistik Fermi-Dirac hanya bolehterdapatsatupartikel atautidakadapartikel yangmenempati satukeadaanenergi. Jumlah keadaan energi dalam satu tingkat energi jditunjukkandengannilaidegenerasitingkatenergitersebutgj.Bilanganokupasirata-rata setiaptingkatenergijdapatdiperolehlewatNj=1

kWkNjk. (10.2)Terdapatsuatusistemyangterdiri dari 5partikel mematuhi statistikFermi-Dirac. Terdapat empat tingkatenergi yangdiperhitungkan,yaitu 1= 2,2=3,3= 4,dan4= 5. Degenerasimasing-masingtingkatenergibergantungdari volume sistem Vdan energi total sistem tergantung dari temperatur sistemT.5758 CATATAN10. STATISTIKFERMI-DIRAC:NJDANS10.1 Soal1. Tuliskan semua kemungkinan kelima partikel tersebut didistribusikan padakeempat tingkat energi sehingga memberikan U= 19 dan U= 17 tanpamemperhatikanstatistikyangdigunakan.2. PadatitikadalamruangparameterV T, sistemmemiliki temperaturTa, volumeVa, danenergi total Ua=19. Degenerasi tingkat-tingkatenergisistempadakeadaan iniadalah g1= 1,g2= 3,g3= 4,dan g4= 6.Lengkapilahtabelberikutini.j j/ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkHitunglahentropisistemSadenganmenggunakanrumusanPlanck.3. PadatitikadalamruangparameterV T, sistemmemiliki temperaturTb= Ta,volumeVb< Va,danenergitotalUa= 19. Degenerasitingkat-tingkatenergi sistem padakeadaan iniadalah g1= 1,g2= 2,g3= 3,dang4= 5. Lengkapilahtabelberikutini.j j/ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkHitunglahentropisistemSbdenganmenggunakanrumusanPlanck.4. PadatitikadalamruangparameterV T, sistemmemiliki temperaturTc< Tb,volumeVc< Vb,danenergitotalUa= 17. Degenerasitingkat-tingkatenergi sistem padakeadaan iniadalah g1= 1,g2= 2,g3= 3,dang4= 5. Lengkapilahtabelberikutini.10.1. SOAL 59j j/ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkHitunglahentropisistemScdenganmenggunakanrumusanPlanck.5. PadatitikadalamruangparameterV T, sistemmemiliki temperaturTd= Tc,volumeVd= Va,danenergitotalUa= 17. Degenerasitingkat-tingkat energisistem padakeadaan iniadalah g1= 1,g2 = 3,g3= 4,dang4= 6. Lengkapilahtabelberikutini.j j/ gjkNj1 2 3 4 5 6 7Njk4 53 42 31 2WkHitunglahentropisistemSddenganmenggunakanrumusanPlanck.6. Gambarkankeempattitika, b, c, danddalamruangparameterV Tdan tentukanlah proses dari titik mana ke titik mana yang mungkin terjadiapabilahanyaentropisistemyangditinjau. Apasyaratnya?60 CATATAN10. STATISTIKFERMI-DIRAC:NJDANS10.2 Jawab1. Agar diperolehU =19 kelimapartikel dapat disusunseperti tampakdalam Tabel10.1 berikut. Sedangkan untuk U= 17 dapat dilihat dalamTabel10.2.Tabel10.1: SusunanyangmungkinkelimapartikelpadaempattingkatenergidenganU= 19.j j/k1 2 3 4 5 6Njk4 5 2 1 0 1 2 33 4 1 3 4 2 0 02 3 1 0 1 2 3 01 2 1 1 0 0 0 2Uk/ 19 19 19 19 19 19Tabel10.2: SusunanyangmungkinkelimapartikelpadaempattingkatenergidenganU= 17.j j/k1 2 3 4 5 6Njk4 5 0 1 2 1 0 13 4 3 1 0 0 2 22 3 1 2 1 4 3 01 2 1 1 2 0 0 2Uk/ 17 17 17 17 17 172. Dengandegenerasi tingkat-tingkatenergi sistempadaTadanVaadalahg1=1, g2=3, g3=4, dang4=6makadapatdiperolehpenempatanyangmungkinbagikelimapartikeladalahsepertidalamTabel10.3.W1=6!2!(6 2)! 4!1!(4 1)! 3!1!(3 1)! 1!1!(1 1)!= 15 4 3 1 = 180W2=6!1!(6 1)! 4!3!(4 3)! 3!0!(3 0)! 1!1!(1 1)!= 6 4 1 1 = 24W3=6!0!(6 0)! 4!4!(4 4)! 3!1!(3 1)! 1!0!(1 0)!= 1 1 3 1 = 3W4=6!1!(6 1)! 4!2!(4 2)! 3!2!(3 2)! 1!0!(1 0)!= 6 6 3 1 = 108W5=6!2!(6 2)! 4!0!(4 0)! 3!3!(3 3)! 1!0!(1 0)!= 15 1 1 1 = 15 = 180 + 24 + 3 + 108 + 15 = 33010.2. JAWAB 61N1=1270 (180 1 + 24 1 + 3 0 + 108 0 + 15 0) =204330= 0.618N2=1270 (180 1 + 24 0 + 3 1 + 108 2 + 15 3) =444330= 1.345N3=1270 (180 1 + 24 3 + 3 4 + 108 2 + 15 0) =480330= 1.455N4=1270 (180 2 + 24 1 + 3 0 + 108 1 + 15 2) =522330= 1.582N= 0.618 + 1.345 + 1.455 + 1.582 = 5Tabel10.3: SusunanyangmungkinkelimapartikelpadaempattingkatenergidenganU= 19dang1= 1,g2= 3,g3= 4,dang4= 6.j j/ gjkNj1 2 3 4 5 6Njk4 5 6 2 1 0 1 2 - 0.6183 4 4 1 3 4 2 0 - 1.3452 3 3 1 0 1 2 3 - 1.4551 2 1 1 1 0 0 0 - 1.582Wk180 24 3 108 15 - 3303. Dengan degenerasi tingkat-tingkat energi sistem pada Tb= Ta dan Vb< Vaadalahg1=1, g2=2, g3=3, dang4=5makadapatdiperolehpen-empatanyangmungkinbagi kelimapartikel adalahseperti dalamTabel10.4.W1=5!2!(5 2)! 3!1!(3 1)! 2!1!(2 1)! 1!1!(1 1)!= 10 3 2 1 = 60W2=5!1!(5 1)! 3!3!(3 3)! 2!0!(2 0)! 1!1!(1 1)!= 5 1 1 1 = 5W4=5!1!(5 1)! 3!2!(3 2)! 2!2!(2 2)! 1!0!(1 0)!= 5 3 1 1 = 15 = 60 + 5 + 15 = 80N1=180 (60 1 + 5 1 + 15 0) =6580= 0.8125N2=180 (60 1 + 5 0 + 15 2) =9080= 1.125062 CATATAN10. STATISTIKFERMI-DIRAC:NJDANSN3=180 (60 1 + 5 3 + 15 2) =10580= 1.3125N4=180 (60 2 + 5 1 + 15 1) =14080= 1.7500N= 0.8125 + 1.1250 + 1.3125 + 1.7500 = 5Tabel10.4: SusunanyangmungkinkelimapartikelpadaempattingkatenergidenganU= 19dang1= 1,g2= 2,g3= 3,dang4= 5.j j/ gjkNj1 2 3 4 5 6Njk4 5 5 2 1 - 1 - - 1.7500s3 4 3 1 3 - 2 - - 1.31252 3 2 1 0 - 2 - - 1.12501 2 1 1 1 - 0 - - 0.8125Wk60 5 - 15 - - 80Catatan11TingkatdanKeadaanEnergiSuatusistemkuantummemiliki diskritisasi energi. Dapat dibedakanantaratingkatenergi(energylevels)dankeadaanenergi(energysates). Sebagaiilus-trasibeberapasistemdengankongurasiyangberbedaakanditunjukkan. Isti-lahdegenerasipunakandigunakandalambabini.11.1 TingkatEnergiTingkatenergi ataulevel energi (energylevel)adalahsusunantingkat-tingkatdi manaenergi padatingkat-tingkattersebutberbeda. Dalambukuini suatutingkatenergidiberilabeljdanbesarenergipadasuatutingkatadalah j.11.2 KeadaanEnergiDalam satu tingkat energi terdapat semacam ruang-ruang yang memiliki energihampirsamadandinamakansebagaikeadaan-keadaan energi.6364 CATATAN11. TINGKATDANKEADAANENERGICatatan12KeadaanMakrodanMikro6566 CATATAN12. KEADAANMAKRODANMIKROCatatan13PeluangTermodinamikaDalamsuatusistemyangterisolasidantertutupjumlahenergisistemEtetapdanjumlahpartikel dalamsistemNtetap. Denganberevolusinyawaktu, in-teraksi antar partikel dalamsuatusistemyangterisolasi dantertutupmen-gakibatkanperubahanjumlahpartikel yangmenempati suatutingkat energidandapatjugaterjadi perubahankeadaanenergi dari setiappartikel. Untuksistemberupagasinteraksiyangdimaksuddapatberupatumbukanantarpar-tikel gas atau dengan wadahnya sedangkan untuk molekul-molekul kristas dapatberupapertukaranenergi. Berbagaibentukinteraksiinimenghasilkanperuba-hankeadaanmikrodarisistemyangtetapharusmemenuhisyarattetapnyaEdanN.13.1 PostulattermodinamikastatistikPostulatfundamental dairtermodinamikastatistikmenyatakanbahwasemuakeadaanmikroyangmungkinmuncul dari suatusistemterisolai adalahsamapeluangnya. Terdapatduacarauntukmelakukanintepretasidaripostulatini.Cara pertama adalah dengan membayangkan sistem telah diamati dalam suaturentangwaktu tyangcukuplamasehinggasetiapkeadanmikrodarisuatusis-tem yang terisolasi telah muncul amat sering. Bila t adalah total waktu sistemberada pada suatu keadaan mikro yang mungkin, maka postulat ini menyatakanbahwarentangwaktutadalahsamauntuksemuakeadaanmikro.Sebagai alternatif, carakeduadapatdipergunakandi manadibayangkanter-dapatsejumlahsalinanataureplikadari sistem(sebuahensemble)yangjum-lahnya adalah N. Pada suatu saat pengamatan, terdapat sejumlahNreplikayang berada dalam keadaan mikro yang sama. Postulat termodinamika statistikmenyatakanbahwajumlahNadalahsamauntuksemuakeadaanmikro.Postulat ini terlihat tidakditurunkansuatuprinsipfundamental apapunse-hingga tidak dapat diverikasi menggunakan eksperimen. Justikasi kebenaran6768 CATATAN13. PELUANGTERMODINAMIKApostulatiniterletakpadaketepatankesimpulanyangdapatditarik.13.2 PeluangtermodinamikaSejumlahkeadaanmikroakanmembentuksatukeadaanmakro. Jumlahdarisemua keadaan mikro yang mungkin bagi suatu keadaan makro k disebut sebagaipeluang termodinamika Wk dari keadaan makro tersebut. Suatu asembli denganbanyakpartikel,peluangtermodinamikaakanbernilaibesar.Jumlahtotal keadaanmikroyangmungkinuntuksuatuasembli, ataudapatdikatakan sebagai peluang termodinamika asembli tersebut, adalah jumlah pelu-ang termodinammika keadaan makro dari semua keadaan makro dalam asemblitersebut =

kWk. (13.1)Persamaan(13.1)dapatdijelaskandenganilustrasi sebagai berikut. Misalkansajadalamsuatusistemterdapat keadaanmikro. Jumlahkeadaanmikroyangdapatmembentukkeadaanmakropertamaadalah W1(peluangtermodi-namikakeadaanmakropertama),jumlahkeadaanmikroyangdapatmemben-tukkeadaanmakrokeduaadalah W2(peluangtermodinamikakeadaanmakrokedua), dan seterusnya. Dengan demikian jumlah seluruh keadaan mikro dalamsistem tersebut tak lain adalah jumlah peluang termodinammika keadaan makrodarisemuakeadaan makrodalamasemblitersebut.Untuk sistemdengan aturan yang berbeda, peluang termodinamika suatukeadaanmakro Wk, akanberbeda pula caraperhitungannya. Padabagianstatistik Fermi-Dirac, Bose-Einstein, dan Maxwell-Boltzmann, akan diperli-hatkanbagaimanamenghitung Wkuntukketigakasustersebut.13.3 Observabeldanrata-ratabilanganokupasiSifat atau properti suatu observabel suatu sistem makroskopik bergantung padanilai rata-rata terhadap waktu dari properti atau sifat mikroskopik sistem terse-but. Sebagai contoh, tekanansuatugasbergantungpadanilai rata-ratater-hadapwaktudari transpor momentumpadasuatuluasan. Melalui postulatfundmental yangtelahdibahas padabagiansebelumnya, properti observabelsuatusistemmakroskopikakanpulabergantungpadanilai rata-ratapropertimikroskopik daribanyakreplikasuatuasembliyangdiamatihanyapadasuatuwaktu.Kemudiantujuandari teori statistikadalahmencari bagaimanamenurunkanekspresi jumlahrata-ratadari partikel Njyangmenempati tingkat energi j13.3. OBSERVABELDANRATA-RATABILANGANOKUPASI 69yangdiperbolehkandalamsuatuasembli. Ekspresi yangakanditurunkaninidisebutsebagairata-rata bilanganokupasipadatingkat(energi)j.MisalkanNjkadalahbilanganokupasitingkatjdalamkeadaanmakrok. Nilarata-rata kelompok (grup) bilangan okupasi pada tingkat j,Ngj,diperoleh den-ganmengalikanNjkdenganjumlahreplikapadakeadaanmakrok,WkNdandijumlahkanuntukseluruhkeadaanmakrodalamasembli, dibagi denganjumlahreplika N,yaituNgj=1N

kNjkWkN. (13.2)AkantetapiN=

kWkN, (13.3)dimanaNsamauntuksemuakeadaanmakrosehinggaNgj=

k NjkWk

kWk=1

kNjkWk, (13.4)dimanarumusanuntukmenghitungdiperolehdariPersamaan (13.1).Dengancarayangserupadapatdicari rata-ratawaktudari bilanganokupasipadatingkat(energi)j. Sebagaimanatelahdijelaskandalampostulatfunda-mentaltermodinamikastatistikbahwasemuakeadaanmikromemilikipeluangyang sama untuk muncul, yang artinya bahwa apabila sistem diamati untuk su-aturentang waktu yang lama t maka setiapkeadaan mikro akan munculdalamrentangwaktutotal tyangsama. Total durasi waktusuatuasembli beradapada keadaan makro ktak lain adalah perkalian dari rentang waktu t denganjumlahkeadaanmikro Wkdalamkeadaanmakrotersebut. Jumlahdarisemuahasi perkalian ini untuk seluruh keadaan makro adalah sama dengan total waktupengamatant,t =

kWkt. (13.5)Kemudian nilai rata-rata waktu bilangan okupasi pada tingkat j, Ntj, diperolehdengan mengalikan bilakang okupasi pada tingkat jpada keadaan makro k, Njkdengan waktu asembli tersebut pada keadaan makro k, Wkt, dijumlahkan un-tuk seluruh keadaan makro dalam asembli tersebut, dan hasilnya dibagi dengantotalwaktupengamatant,yaituNtj=1t

kNjkWkt. (13.6)70 CATATAN13. PELUANGTERMODINAMIKADengan mempergunakan Persamaan (13.5) dan postulat bahwa t sama untuksemua keadaan mikro, maka Persamaan (13.6) dapat dituliskan kembali menjadiNtj=

k NjkWkWk=1

kNjkWk. (13.7)Jadiapabilasemuakeadaanmikromemilikipeluangyangsamauntukmunculmakarata-ratakelompokbilanganokupasi padatingkatj samadenganrata-ratawaktubilanganokupasipadatingkatj,Ntj= Ngj. (13.8)sepertitelahditunjukkandalamPersamaan(13.4)dan(13.7). Selanjutnyake-dua besaran yang sama ini akan dirujuk sebagai rata-rata bilangan okupasi padatingkatj,yaituNj.Catatan14Pengali danPadababsebelumnyatelahditunjukkanbagaimanabentukpeluangtermodi-namik Wksetiapkeadaanmakrokuntukketigajenisstatistik, yaitustatistikMaxwell-Boltzmann(MB), statistikBose-Einstein(BE), danstatistikFermi-Dirac(FD).14.1 Peluang termodinamik suatu keadaanmakroBilaterdapat sejumlahtingkatenergi jyangmemilikienergijdenganjumlahkeadaanenergi ataudegenerasi padamasing-masingtingkatenergi adalahgj,makauntukstatistikMBbentukpeluangtermodinamiksuatukeadaan makro-nyaadalahWMB= N!

jgNjjNj!, (14.1)untukstatistikBEadalahWBE=

j(gj +Nj1)!(gj1)!Nj!, (14.2)danuntukstatistikFDadalahWFD=

jgj!(gjNj)!Nj!. (14.3)7172 CATATAN14. PENGALIDAN14.2 KeadaanmakroyangpalingmungkinDengan menggunakan pengali tak tentu Lagrange dan untuk mencarikeadaanmakroyangmemiliki keadaanmikroyangpaling besar, digunakanhubungand ln W +dN+dE= 0, (14.4)dengansyaratN=

jNj dN=

jdNj= 0, (14.5)E=

jjNj E=

jjdNj= 0. (14.6)Selanjutnyadapatdiperolehkeadaanmakroyangpalingmungkindari ketigastatistik, atau disebut distribusi dari statistik tersebut. Distribusi MB memilikibentukNMBj=gje(+j), (14.7)distribusiBEmemilikibentukNBEj=gje(+j)1, (14.8)dandistribusiFDmemilikibentukNFDj=gje(+j)+ 1. (14.9)14.3 FungsidistribusidalambentukdiferensialSetelahkonstantapengali dandiintepretasikansecarasis danditerap-kanpadagas,masing-masing distribusidarimasing-masing statistikdapat dit-uliskandalambentukdiferensial,yaituuntukdistribusiMBmenjadi,NMB()d =_2N(kT)3/2_1/2de/kT(14.10)distribusiBEmenjadi14.4. PENGALI 73NBE()d =_2(2m)3/2Vh3_1/2d1Ae/kT1, A =Nh3V (2mkT)3/2, (14.11)dandistribusiFDmenjadiNFD()d =_4(2m)3/2Vh3_1/2de(F)/kT1, F(0) =h22m_3N8V_2/3. (14.12)14.4 Pengali Terdapatberbagaikriteriauntukmenentukanbagaimanaarti sebenarnyadaripengali. Dikarenakan jumlahpartikel yang memilikienergi takhingga harus-lahnolmakaPersamaan(14.7), (14.8), dan(14.9)memperkirakanbahwanilaiharuslahlebihkecil dari nol dengansyaratdalambagiankananPersamaan(14.5)dan(14.6).Pendekatan dengan salah satu sudut pandang termodinamika dapat men-gungkapkanbagaimanasifat dari pengali . Untukitudimisalkanterdapatduabuahsistem,yangmasing-masingtersusunatasNdanNpartikel,yangsaling kontak sehingga dapat bertukar energi tetapi tidak bertukar partikel atauduabuahsistemyangmemenuhikondisidN= 0, dN= 0, dE= 0. (14.13)DengandemikianenergitotalkeduasistemtaklainadalahE=

jjNj +

jjNj . (14.14)SelanjutnyakondisidalamPersamaan (14.5)dan(14.6)akanmenjadidN=

jdNj= 0, dN=

jdNj= 0, (14.15)dandE=

jjdNj+

jjdNj= 0. (14.16)Dalambabsebelumnyatelahditunjukkanbahwapeluangtermodinamiksuatukeadaanmakrosistemgabungantaklainadalahperkalianpeluangtermodi-namiksuatukeadaanmakrodarimasing-masingsistem,yaitu74 CATATAN14. PENGALIDANWT= WW. (14.17)DengankembalimenggunakanpengalitaktentuLagrange,yangdalamhalinimenjadi,,dan,makadiperolehd ln WT+dN+dN+dE= 0. (14.18)Dikarenakan Whanya bergantung dari njdan juga Whanya bergantung darinjmakadapatdiperolehbahwa ln WNj++ j= 0 (14.19)dan ln WNj++j= 0. (14.20)Persamaan (14.19) dan (14.20) mendenisikan suatu keadaan makro yang palingmungkinmuncul bagi keduasistempenyusunsistemgabungandanterlihatbahwakeduakeduanyabergantungdari pengali . Dari keduasistemhanyaterdapat satu parameter sis yang perlu bernilai sama, karena keduanya kontaksecaratermal, yaitutemperatursesuai denganhukumkenoltermodinamika.Dengandemikiandapatdisimpulkanbahwahanyafungsidaritemperatur= (T). (14.21)Pengalidapatpuladilihatdarisudutpandanglainapabiladikaitkandenganperubahan energi dE. Untukitumisalkan dalam suatusistem diasupkan panassebesar dQ sehingga sebagian energi tersebut digunakan untuk melakukan kerjadalambentukekspansidV . MenuruthukumpertamatermodinamikadE= dQpdV, (14.22)dimanadalamhalinidE= d

jjNj=

jjdNj +

jNjdj. (14.23)Sukupertamapadaruas palingkananPersamaan(14.23) menyatakankerjayangdilakukansistem, di manaperubahanvolume akanmengubahtingkat-tingkat energi sistem. Dengan sendirinya djpada tingkat energi jakan14.4. PENGALI 75berubah. Sedangkansukukeduaterkaitdariperubahansusunanpartikelpadamasing-masingtingkatenergi danhal ini dapatterjadi karenaadanyaasupanpanas. Perbandingan Persamaan (14.23) dengan Persamaan (14.22) akan mem-berikan

jNjdj= pdV (14.24)dan

jjdNj= dQ. (14.25)Saat kondisi kesetimbangantercapai di manatidaklagi terdapat perubahanvolume,substitusi Persamaan(14.25)kedalamPersamaan(14.4)melaluiPer-samaan(14.23)akanmemberikand ln W +dN+dQ = 0. (14.26)Denganmenerapkansyaratbahwajumlahpartikel dalamsistemadalahtetapakandiperolehbahwad ln W= dQ. (14.27)SelanjutnyadenganmenggunakanhubunganbahwaS= k ln , (14.28)danuntuksistemdenganjumlahpartikelbanyaksehingga W, (14.29)sertadS=dQT, (14.30)makadapatdiperolehbahwa= 1kT . (14.31)76 CATATAN14. PENGALIDAN14.5 RuangfasaenamdimensiSuatu elemen ruang fasa enam dimensi d didenisikan melalui relasi (Pointon,1967) dalambentukd = dxdydzdpxdpydpz. (14.32)DalamPersamaan(14.32) terdapat elemenvolume dalamruangmomentumdanelemenvolumedalamruangkoordinat. Pertama-tama, misalkanbahwavolumedalamruangmomentumterletakantaraduanilai momentum, yaitupdanp + dp. Bilamomentumtotal dinyatakandalamkoordinatpolar(p, , )maka elemen dari ruang momentum dengan rentang koordinat antara p sampaip +dp,antarasampai +d,danantarasampai +dadalahdVp= (dp)(pd)(p sin d) = p2sin dddp. (14.33)Dengan cara yang sama apabila posisi terletak rentang koordinat antara x sam-paix +dx, antaraysampaiy + dy,danantarazsampaiz + dz,makaelemenruangkoordinat taklainadalahdV= (dx)(dx)(dz) = dxdydz. (14.34)Dengandemikianvolumedalam ruang fasayang berkorespondensi denganmo-mentumdalamrentangkoordinat antarapsampai p+dp, antara sampai +d,dan antara sampai +d danposisidalam rentang koordinat antaraxsampaix +dx,antaraysampaiy +dy,danantarazsampaiz +dzadalahd = dxdydzp2sin dddp. (14.35)VolumeruangmomentumVpyangterletakantarapdanp + dpdantidaklagi bergantungarahdiperolehdenganmelakukaninegrasi Persamaan(14.33)terhadapseluruhnilaidan,yaituVp= p2dp_0sind_20d = 4p2dp, (14.36)yangtaklainadalahvolumedarikulitbolaantara pdanp +dp.Dengan demikian volume dalam ruang fasa yang terkait dengan VpdalamruangmomentumdanvolumeV dalamruangkoordinat diberikanoleh = 4p2dp_Vdxdydz= 4p2dpV. (14.37)14.6. DEGENERASIDALAMVOLUMERUANGFASA 77Dengan menggunakan hubungan antara momentumdan kecepatan (pi=mvi, i = x, y, z),elemenvolumedalam ruangfasa untukrentang kecepatanantaravxsampai vx+ dvx, antaravysampai vy+ dvy, danantaravzsampaivz +dvzdapatdituliskandalambentukd = dxdydzm3dvxdvydvz = m3dvxdvydvzV. (14.38)Baikdenganmenggunakan hubungan p = mvdan dp = mdvdalam Persamaan(14.37) ataudvxdvydvz=4v2dv dalamPersamaan(14.38) dapat diperolehhubungan = m34v2dvV. (14.39)Selanjutnya adalah bagaimana mendinisikan elemen ruang fasa dalam rentangenergikinetikantarasampai + d. Denganmenggunakanhubunganantaramomentumdanenergi kinetikmelalui p=2msehinggadp=_m/(2)d,diperoleh = 42m_m/(2)V= 2(2m)3/21/2dV. (14.40)14.6 Degenerasi dalamvolumeruangfasaDegenerasi ataujumlahkeadaanenergi padasuatutingkatenergij, yaitugjdapat diungkapkansebagai fungsi dari j, di manaumumnyasuatutingkatenergimemilikienergiantara jsampai j +dj. Denganmenggunakan asumsibahwavolumeruangfasayangsamaakanmemberikanjumlahkeadaanenergi,yang diperbolehkan, yang sama pula. Asumsi ini dapat dijustikasi dalam kasusmekanika kuantum, misalknya pada contoh partikel dalam kotak. Bila terdapatBkeadaan energi tiap satuan volume ruang fasa sehingga sebuah elemen ruangfasadakanmengandungBdkeadaanenergi. Degenerasidaritingkatenergijtaklainadalahgj= B()j, (14.41)dengan ()jadalah volume dari ruang fasa enam dimensi yang terletak dalamrentanenergiantarajsampaij+ djdandalamvolumekoordinatV dalamsistem.DenganmenggunakanPersamaan(14.40) untuktingkat energi j Persamaan(14.41)dapatdituliskanmenjadigj BV 2(2m)3/21/2jdj(14.42)78 CATATAN14. PENGALIDAN14.7 Teori kinetikgasdanTeorikinetikgasmenyatakanbahwaenergirata-rata tiappartikelgasadalah =32kT, (14.43)dengank=R/NAadalahkonstantaBoltzmann, Radalahkonstantagasuni-versal, dan NAadalah bilangan Avogadro. Dengan menggunakan energi sistemadalahE=

j Njjdanjumlahpartikel adalahN=

j Nj, makadenganmenggunakanPersamaan (14.7)dapatdituliskanbahwaE=

j(gje+j)(j) (14.44)danN=

j(gje+j). (14.45)Dengandemikianrata-rata energitiappartikeladalah =EN=

j jgje+j

j gje+j=

j jgjej

j gjej. (14.46)Kemudian dengan menggunakan rumusan untuk gjsebagai fungsi dari jdalamPersamaan (14.41)makadapatdiperolehbahwa =_0j(BV 2(2m)3/21/2jdj)ej_0(BV 2(2m)3/21/2jdj)ej= ._03/2jejdj_01/2jejdj(14.47)denganmengganti penjumlahanmenjadi integral terhadapsemuanilai energiyangmungkin. Kemudiandenganmengingatbahwakuantitasadalahlebihkecildarinol,makaintegralparsialakanmemberikan_03/2jejdj= 32_01/2jejdj(14.48)sehinggaPersamaan (14.47)akanmenjadi = 32. (14.49)14.8. PENGALI 79DenganmembandingkanPersamaan(14.49)denganPersamaan(14.43)dapatdiperolehbahwa= 1kTsepertidalamPersamaan(14.31).14.8 Pengali Secaraumum, pengalitidakbernilai samauntukketigastatistik, melainkanbergantungdari padakasus yangditinjau. Berikut ini akandibahas denganmenggunakanstatistikMB.BiladituliskanbahwaA = e(14.50)makaPersamaan (14.7)akanmenjadiNj= Agjej(14.51)danjumlahtotalpartikeladalahN= A

jgjej(14.52)sehinggaA =N

j gjej. (14.53)DenganmenggunakanhasildariPersamaan (14.41)makaA =N_0(BV 2(2m)3/21/2jdj)ej, (14.54)yang kembali diperoleh dengan mengganti penjumlahan dengan integrasi untuksemuanilai energi yangmungkin. Kemudiandenganmenggunakanintegralfungsi,yaitu80 CATATAN14. PENGALIDAN(n + 1) =_0exxndx, (14.55)(n + 1) = n(n), (14.56)(n + 1) = n!, (14.57)(1/2) =, (14.58)dandenganx ,maka_01/2jejdj= ()1/2_0x1/2exdx= ()1/2(3/2) = ()1/22. (14.59)DengandemikianA =NBV (2m/)3/2=NBV (2mkT)3/2(14.60)dan = ln A = ln_NBV (2mkT)3/2_. (14.61)UntukgasBEakandiperolehbahwaA =Nh3V (2mkT)3/2(14.62)atau = ln A = ln_Nh3V (2mkT)3/2_, (14.63)di manadalamhal ini degenerasi, ataulebihtepatnyajumlahkeadaanenergiyangmenempatielemenruangfasaenamdimensididenisikansebagaig=dh3. (14.64)SedangkandalamstatistikFDmakaakanterkaitdenganapayangdikenalsebagaienergiFermiF,yaitulewathubungan14.8. PENGALI 81 =FkT . (14.65)Gambar14.1: IlustrasibandgapdanenergiFermipadasemikonduktor.82 CATATAN14. PENGALIDANCatatan15EnergiBebasHelmholtzDengan mengetahui temperatur dan entropi suatu sistem dalam deskripsi statis-tiknyaadagunanyapulauntukmengaitkanfungsitermodinamikalaindengansifat-sifatstatistik. Dalamhalini,misalnyasajaadalaenergibebasHelmholtzFsistemyangdidenisikansebagai15.1 EnergybebasHelmholtzF= E TS. (15.1)Bila suatu sistemmengalami perubahankecil keadaannyapada temperaturtetap sehingga energinya berubah dari Emenjadi E+dEdan entropinyaberubahdari Smenjadi S+ dS, makaperubahanenergi bebasHelmholtznyamenjadidF= dE TdS. (15.2)DarihukumpertamadankeduatermodinamikadapatdituliskanbahwaTds dE +dW, (15.3)di manadWadalakerjayangdilakukanolehsistemterhadaplingkungannyadantandasamadenganberlakuhanyauntukprosestermodinamikareversibel.DenganmengabungkanPersamaan(15.2)dan(15.3)dapatdiperolehketidak-samaandF dW. (15.4)8384 CATATAN15. ENERGIBEBASHELMHOLTZSelamaterjadinyaperubahan, energi bebasFakanberkurangsejumlahsamaatau lebih besar dari kerja yang dilakukan oleh sistem. Bila tidak ada kerja yangdilakukan (dW= 0) setiap perubahan isotermal dalam energi bebas akan kurangdari atau sama dengan nol. Keadaan setimbang sistem dalam kondisi ini beradapadakeadaandimanaenergibebastelahberkurangsampainilaiminimumnyakarenaperubahanparameterdari sistemakanmemberikanperubahanenergibebassebesardF= 0 (15.5)dantidakadakerjayangdilakukansistem.Saat temperatur sistem bernilai tetap,penerapan Persamaan (15.5) akan mem-perbolehkankeadaankesetimbangansistemditentukanbilaenergi bebasdike-tahuibentuknyadalamberbagaiparametertermodinamika.15.2 Ekspansi reversibelKegunaan dari diketahuinya energi bebas terkait pula dengan hubungannya den-gan fungsi termodinamika lainnya dari sistem. Sebagai contoh, misalnya sebuahberubahanreversibel sistemberlangsungdenganperubahan dTdankerja yangdilakukanhanyamerupakanekspansi sehinggavolumenyabertambahsebesardV . KerjayangdilakukansistemadalahpdV denganpadalahtekanansis-tem. Pertidaksamaan(15.3)akanmenjadi persamaanuntukprosesreversiblesehinggaTds = dE +dW. (15.6)Dengannilai TdSini danbahwatemperatubolehberubahmakaperubahanenergibebasFdapatdiperolehdariPersamaan (15.1),yaitudF= dE TdS SdT= dE (dE +pdV ) SdT= pdV SdT. (15.7)DariPersamaan (15.7)dapatdiperolehbahwap = _FV_T(15.8)danS= _FT_V. (15.9)15.3. ENERGISEBAGAIFUNGSIDARIENERGIBEBAS 85Persamaan(15.8)akanbergunasaatmencari persamaankeadaansistemyangakanmemberikantekanansistemdalamfungsivolumedantemperatursistem.Salahsatucontohpersamaankeadaanmisalnyauntukgasideal adalahpV =NRT.15.3 Energi sebagai fungsidarienergi bebasSubstitusiPersamaan (15.9)kedalamPersamaan (15.1)akanmemberikanF= E +T_FT_V. (15.10)SelanjutnyadapatdiperolehbahwaE= F T_FT_V= T2_(F/T)T_V(15.11)_(F)_V, (15.12)dengan= 1/kT(dimana= T/kT2).15.4 CVdari EDenganmenggunakandenisidariCVCV=_ET_V(15.13)dapatdiperolehCV= T_2FT2_V(15.14)atauCV= k2_2(F)2_V. (15.15)Denganmenggunakanpengetahuanmengenaidistribusistatistiksistem,energibebasdapatditentukandalamrepresentasistatistik.86 CATATAN15. ENERGIBEBASHELMHOLTZCatatan16FungsiPartisiBoltzmannPeluang termodinamika untuk keadaan makro yang paling sering muncul Wmaxpadasistemgassempurnamemilikibentukln Wmax= N ln_NA_+EkT . (16.1)SuatukuantitasZ,yangnantinyaakandisebutsebagaifungsipartisi,diperke-nalkansebagaipenggantisukuN/A.16.1 Fungsipartisi BoltzmannKuantitasZdidenisikansebagaiZ=NA. (16.2)DenganmenggunakanPersamaan(14.7) dan(14.50) yangdisubtsitusikankePersamaan (16.2)akandiperolehZ=

j gje(j/kT)e=

jgjej/kT(16.3)yangdisebutsebagaifungsipartisiBoltzmannataufungsipartisi,untuksuatupartikel dalamsuatusistem. Istilahini digunakankarenadalamekspresi Z,suku-suku dalam penjumlahandiatas menentukanbagaimana partikel-partikeldalamsistemterdistribusi atauterpartisi di antaraberbagai tingkat-tingkatenergi.8788 CATATAN16. FUNGSIPARTISIBOLTZMANNSelaindalambentukPersamaan(16.3)fungsi partisi dapatpuladiungkapkanuntukkeadaan-keadaanenergi yangadasecaraindividual. Bilaenergi darikeadaaanenergi iadalahi, dankarenadegenerasi dari suatukeadaanenergiadalah1,makaZ=

iei/kT. (16.4)(DikarenakanterdapatkemungkinanuntukmenuliskanZdalambentukini, Zkadangdirujuksebagai jumlahmeliputi seluruhkeadaanenergi ataujumlahkeadaanenergi bagi suatusistem. LambangZdiambil dari ekspresi ekivalendalambahasaJermanZustandsumme.)Fungsi partisi yangdiperolehbaikdari Persamaan(16.3)maupunPersamaan(16.4) adalahbukanbesarantermodinamikayangterukurataudapatdiukursecaraumum, ataupunmuncul dalampersamaantermodinamikayangwajar.Tetapi,hasiltersebutmerupakansuatujembatanyangpentingantaraekspresistatistik untuk suatu keadaan energi suatu sistem dengan fungsi-fungsi termod-inamikaterkait,yangakanditunjukkankemudian.16.2 Fungsipartisi danenergibebasHelmholtzDenganmenggunakandenisi dari fungsi partisi dalamPersamaan(16.2) kedalamPersamaan(16.1), asumsi Wmax , dankaitanantaraentropiSdanmakaS= Nk ln Z +ET . (16.5)(BoltzmannmendenisikanbahwaS=k ln WmaxsedangkanPlanckmenggu-nakanS=k ln . Untuksistemdenganjumlahkeadaanmikroyangbanyakkeduaungkapantersebuthampirtidakmemiliki perbedaan, akantetapi apa-bilaterdapatpembedaanmakaekspresiyangdiungkapkanolehPlanckadalahyanglebihtepat.)DenganmenggunakanPersamaan (15.1)makadapatdiperolehbahwaF= NKT ln Z. (16.6)Dengandemikianbesaran-besaranlainseperti energiE, tekananp, dancapa-sitaspanasCVdapatdiperoleh.16.3. ENERGISISTEMDANFUNGSIPARTISI 8916.3 Energi sistemdanfungsi partisiDenganmenggunakanPersamaan(15.11)ataumelalui energi rata-ratadapatdiperolehkaitanantaraEdanZ. Energi rata-ratasetiappartikel diperolehlewat =EN=

j njj

j nj=

j gjjej/kT

j gjej/kT=

j gjjej/kT

j gjej/kT=

j gjjej/kTZ.DenganmenggunakanPersamaan (16.3)dapatditurunkanbahwa_ZT_V=1kT2

jgjjej/kT(16.7)sehingga =kT2_ZT_VZ= kT2_lnZT_V. (16.8)KemudiandenganmenggunakanE= NdapatdiperolehbahwaE= NkT2_ln ZT_V= N_lnZ_V(16.9)16.4 Entropi danfungsipartisiDengan melakukan substitusi Persamaan (16.9) ke dalam Persamaan (16.5) da-patdiperolehS= Nk_ln Z +_ln Zln_V_(16.10)yang menunjukkanbahwa entropi S dapat dihitung hanya denganmeman-faatkaninformasimengenaifungsipartisiZ.90 CATATAN16. FUNGSIPARTISIBOLTZMANN16.5 Energi bebastiappartikelPersamaan (16.6)dapatdiubahbentuknyamenjadiZ= eF/NkT(16.11)di manadenganf =F/Nyangmenyatakanenergi bebastiappartikel makafungsi partisi untuktiapkeadaanenergi bagi partikeldalamsistemdapatdit-uliskanmenjadiZ=

iei/kT= ef/kT. (16.12)16.6 Kapasitas panas spesik pada volume tetapDenganmenggunakandenisidariPersamaan (15.13)dapatdiperolehbahwaCV=_ET_V= NK_2T ln ZT+T22ln ZT2_(16.13)16.7 TekanansistemTekanandapatdiperolehdariPersamaan (15.8)danPersamaan (16.6)p = _FV_T= NkT_ln ZV_T(16.14)Catatan17GasIdealMonoatomikSuatu gas ideal yang terdiri dari N molekul identik yang masing-masingbermassam. Molekul-molekul gastak-terbedakandanjumlahmolekul dalamtiapkeadaanenergi yangmungkin, kecuali padatemperaturamatrendahse-hinggasemuagas mencair, adalahamat kecil. Statistikyangcocokadalahstatistikklasik.Langkah pertama adalah menghitung fungsi partisi dari sistem ini, sebagaimanatelahdiungkapkandalamPersamaan (16.3),yaituZ=

jgjej/kT17.1 Tingkatenergi makroUntuk memperoleh fungsi partisi diperlukan informasi mengenai energi jdandegenerasi gjpada tiaptingkat energi j. Di sini diasumsikanbahwanmolekul-molekul tidakberinteraksi kecuali saatsalingbertumbukansecarain-stan, sehingga tiap molekul dapat dianggap sebagai partikel bebas dan memilikisusunantingkatenergi yangsamasebagaimanasebuahpartikel dalamkotak.Dengan menggunakan mekanika kuantum dapat diperoleh bahwa tingkat energipartikeldalamkotakadalahj=n2jh2V2/38m, (17.1)dimana n2j= n2x+n2y +n2z,dan nx,ny,nzadalah bilangan bulat yang masing-masingdapatbernilai1,2,3,....Degenerasi masing-masingtingkat energi ataujumlahkeadaanenergi dalamtiaptingkat energi dapat denganmudahdihitungapabilabilangankuantu