Embed Size (px)
Citation preview
Dicetak oleh :
Percetakan & PenerbitSYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS
Darussalam, Banda Aceh
ElinYusibani mendapatkan gelar sarjana pada Departemen Fisika, Inst i tut Teknologi Bandung, Indonesia, pada tahun 2002 lalu melanjutkan program Magister pada Departemen Teknik Nuklir di Tokyo Institut of Teknologi, Jepang, pada tahun 2005.
G e l a r d o k t o r d i d a p a t k a n p a d a Departemen Teknik Mesin di Kyushu University, Jepang, pada tahun 2010. Sejak tahun 2006 menjadi dosen tetap pada Jurusan Fisika, FMIPA pada Universitas Syiah Kuala, Indonesia.
Oleh:Elin Yusibani
FisikaMatematika I
Buku Ajar
Buku Ajar
Fisika Matematika I
E. Yusibani
Jurusan Fisika
Universitas Syiah Kuala
SYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS
2017
ii
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang keras memperbanyak, memfotocopy sebagian atau seluruh
isi buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa mendapat izin tertulis
dari penerbit.
Diterbitkan oleh Syiah Kuala University Press Darussalam –
Banda Aceh, 23111
Judul Buku : Fisika Matematika I Penulis : Elin Yusibani
Desain cover : Muhammad Rizky Maulana.
Penerbit : Syiah Kuala University Press Telp (0651) 801222
Email : [email protected]
Cetakan : Pertama, 2017
ISBN : 978-602-1270-68-4
iii
KATA PENGANTAR
Buku ajar ini dibuat sebagai pendamping untuk matakuliah Fisika
Matematika I yang diajarkan untuk mahasiswa Program Studi Sarjana
Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA),
Universitas Syiah Kuala pada tahun kedua masa perkuliahannya
(semester 3). Dengan adanya buku ajar ini diharapkan mahasiswa
dapat lebih memahami aplikasi matematika untuk bidang fisika dan
diharapkan dapat juga mengasah keterampilan analisis fisika
menggunakan metode matematika.
Sistematika penulisan buku ajar ini terdiri dari deret takhingga pada
bab satu selanjutnya bilangan kompleks, persamaan linear, vektor,
matrik dan determinan, diferensiasi parsial pada bab empat, integral
lipat dan terakhir adalah analisis vektor.
Semoga buku ajar ini dapat berguna bagi siapa saja yang bermaksud
ingin mempelajari aplikasi matematika dalam fisika. Akhir kata,
penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada berbagai pihak yang
telah membantu terbitnya buku ajar ini, hanya Allah SWT saja yang
dapat membalas semua kebaikan tersebut.
Banda Aceh, 2017
E. Yusibani
iv
“Teruntuk Muhammad Rizky Maulana, Alyssa Meutia
dan Alesya Nayla”
v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................ iii
DAFTAR ISI ......................................................................................... v
BAB 1 DERET TAKBERHINGGA ..................................................... 1
1.1 Deret Geometri ............................................................................ 2
1.2 Deret Alternatif............................................................................ 8
1.3 Deret Pangkat .............................................................................. 9
1.4 Teknik Mendapatkan Ekspansi Deret Pangkat .......................... 11
1.5 Deret Harmonik ......................................................................... 16
1.6 Definisi Dan Notasi ................................................................... 17
1.7 Deret Konvergen Dan Divergen ................................................ 19
1.8 Tes Deret Divergen Dan Deret Konvergen ............................... 19
BAB 2 BILANGAN KOMPLEKS ..................................................... 25
2.1 Bidang Kompleks ...................................................................... 26
2.2 Komples konjugasi .................................................................... 28
2.3 Aljabar Kompleks...................................................................... 29
2.4 Konjungasi bilangan kompleks dan nilai absolutnya ................ 31
2.5 Persamaan matematika bilangan kompleks ............................... 34
2.6 Aplikasi dalam ilmu fisika ........................................................ 35
2.7 Bilangan kompleks dalam deret tak hingga .............................. 37
2.8 Fungsi dasar dalam bilangan kompleks..................................... 38
2.9 Formula Euleur .......................................................................... 39
2.10 Akar dan pangkat bilangan kompleks ..................................... 42
2.11 Fungsi ekponensial dan trigonometri dalam bilangan kompleks
......................................................................................................... 45
2.12 Fungsi hiperbolik ..................................................................... 46
2.13 Logaritma ................................................................................ 47
2.14 Inverse fungsi trigonometri dan hiperbolic ............................. 48
BAB 3 PERSAMAAN LINIER, VEKTOR, MATRIK DAN
DETERMINAN .................................................................................. 52
3.1 Vektor ........................................................................................ 53
3.2 Pengurangan baris/ row reduction ............................................. 57
3.3 Determinan (Cramer’s rule) ...................................................... 59
3.4 Matrix ........................................................................................ 66
3.5 Operasi linear ............................................................................ 72
BAB 4 DIFERENSIASI PARSIAL .................................................... 74
4.1 Notasi Persamaan Diferensial Parsial ........................................ 75
4.2 Deret Pangkat Untuk Dua Variabel ........................................... 77
4.3 Aturan Rantai Pada Diferensial Parsial ..................................... 78
4.4 Implisit Differensial .................................................................. 80
4.5 Menentukan Nilai Minimum Dan Maksimum .......................... 87
BAB 5 PERKALIAN INTEGRAL ..................................................... 94
5.1 Integral Lipat Dua Dan Lipat Tiga ............................................ 95
5.2 Aplikasi Integral: Integral Tunggal dan Perkalian Integral ..... 103
5.3 Perubahan Variabel di Dalam Integral (Jacobian) .................. 105
BAB 6 ANALISIS VEKTOR ........................................................... 109
6.1 Triple Scalar Product ............................................................... 110
6.2 Triple Vektor Product .............................................................. 110
6.3 Diferensiasi Vektor.................................................................. 111
6.4 Gradien untuk Fungsi Skalar ................................................... 112
6.5 Directional Derivative ............................................................. 112
6.6 Gradient untuk Fungsi Vektor ................................................. 114
6.7 Integral Garis ........................................................................... 115
6.8 Teorema Green dalam Bidang ................................................. 121
6.9 Teorema Divergen ................................................................... 123
6.10 Hukum Gauss ........................................................................ 125
6.11 Teorema Stokes ..................................................................... 126
6.12 Hukum Ampere ..................................................................... 128
Index.................................................................................................. 130
vi
Deret Takhingga
1
BAB 1 DERET TAKHINGGA
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Mampu mengenali deret takhingga dan melakukan ekspansi
sebuah bilangan kepada sebuah deret.
2. Mampu melakukan uji konvergensi dan divergensi terhadap
deret yang terbentuk menggunakan beberapa metode.
3. Mampu mengenali deret bolak balik dan deret pangkat, juga
melakukan ekspansinya.
4. Mampu menggunakan metode ekpansi Taylor/deret Mclaurin
untuk menjabarkan fungsi menjadi sebuah deret.
5. Mampu mengaplikasikan ilmu deret dalam kehidupan sehari-
hari sehingga mendapatkan hasil yang lebih akurat.
Deskripsi singkat:
Di dalam sub pokok bahasan ini akan dibahas mengenai: deret
geometri, notasi dan istilah, deret alternatif, uji konvergensi dan
divergensi, deret bolak balik, deret pangkat, ekspansi fungsi dalam
deret pangkat dan aplikasi deret.
Deret Takhingga
2
Kita banyak menemui persoalan didalam kehidupan sehari-hari dalam
bentuk deret. Deret takhingga adalah sebuah rangkaian dari bilangan
yang tiada akhirnya (takhingga). Persoalan deret takhingga banyak
digunakan baik didalam ilmu murni matematika ataupun aplikasi
mtematika. Deret takhingga (infinite series) adalah sebuah metode
yang sangat berguna di dalam ilmu kalkulus.
Para ahli matematika menggunakan deret takhingga untuk
mendefinisikan sebuah fungsi sebagai pendekatan dasar sebuah teori.
Deret takhingga dapat juga digunakan dalam menganalisa sebuah
persamaan diferensial. Konsep deret ini sebagai dasar untuk
memahami konsep deret Fourier yang akan di bahas pada sub pokok
bahasan lebih lanjut. Dengan menggunaan konsep deret takhingga,
kita dapat menghitung sebuah fungsi menjadi lebih akurat. Kita juga
dapat menggantikan sebuah fungsi-fungsi umum yang telah kita kenal
menjadi sebuah deret. Sebuah deret dapat kita kali atau bagikan, dapat
pula menggantikan sebuah fungsi integral. Didalam subpokok bahasan
ini kita akan mengenal konsep deret lebih lanjut lagi.
1.1 Deret Geometri
Sebagai contoh untuk sebuah deret yang telah kita kenal sebelumnya
adalah deret geometri (Geometry series), yakni serangkaian bilangan
dimana deret selanjutnya merupakan perkalian dari sebuah bilangan
yang konstan.
Dalam kehidupan sehari hari kita dapatkan sebuah deret sebagai
berikut:
2, 4, 8, 16 ,32, … (1.1)
,...,,,,18116
278
94
32
(1.2)
a, ar, ar2, ar3, … (1.3)
Deret (1.1) merupakan contoh pertumbuhan bakteri yang didapatkan
tiap jam, yakni bakteri tersebut akan bertambah jumlahnya dua kali
Bilangan Kompleks
25
BAB 2 BILANGAN KOMPLEKS
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Mampu menggunakan bilangan kompleks dalam berbagai
persoalan fisika
2. Mampu mengenal bilangan kompleks dalam deret, fungsi
elementer, bentuk euleur bentuk pangkat dan akar
3. Mampu mengenal bilangan kompleks kedalam fungsi
eksponensial, fungsi hiperbolik dan logaritma
4. Mampu mengenal bilangan kompleks didalam fungsi
trigonometri dan aplikasi di dalam ilmu fisika
Deskripsi singkat:
Pengenalan bilangan kompleks meliputi: Bagian ril dan imajiner,
bidang kompleks, aljabar kompleks, deret kompleks, fungsi
elementer bilangan kompleks, bentuk Euler, pangkat dan akar
bilangan kompleks, deret kompleks, fungsi elementer bilangan
kompleks, bentuk Euler, pangkat dan akar bilangan kompleks, fungsi
eksponensial dan trigonometri dan fungsi hiperbolik, logaritma
fungsi invers trigonometri dan hiperbolik, aplikasi fisika
deret pangkat dan aplikasi deret
Bilangan Kompleks
26
Akar-akar untuk persamaan kuadrat
dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus:
apabila determinan akar-akar tersebut lebih kecil dari NOL, maka
akan terdapat angka negative didalam akar kuadrat. Untuk itu kita
akan mengenalkan istilah baru untuk angka ini yang kita beri nama
bilangan imajiner (-1=i) dimana i2 adalah -1, maka
ii
i
i
3
33
416
adalah bilangan imajiner
1
4168282
1
4
2
2
ni
iii
i
adalah bilangan real
Gabungan dari bilangan imajiner dan bilangan real, kita namakan
sebagai bilangan kompleks (1 i)
2.1 Bidang Kompleks
Gambar 2.1 Bidang kompleks (Argand
diagram)
02 cbxax
a
acbbx
2
42
12
Persamaan linier, Vektor, Matrik dan Determinan
52
BAB 3 PERSAMAAN LINIER, VEKTOR,
MATRIK DAN DETERMINAN
Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari subbab ini mahasiswa diharapkan:
1. Mampu mengenal matrik, determinan dalam persamaan linier
2. Mampu mengenal determinan dan menggunakannya dalam
menyelesaikan persamaan linier
3. Mampu menggunakan aturan cramer, vektor garis dan bidang
didalam matrik
4. Mampu mengoprasikan matrik dan matrik khusus, menyelesikan
kombinasi linier, fungsi linier, operasi linier
Deskripsi singkat:
Di dalam subbab ini akan membahas tentang: Himpunan persamaan
linier, metode reduksi baris,, determinan, aturan Cramer, vektor, garis
dan bidang, operasi matriks, kombinasi linier, fungsi linier, operator
linier dan matriks khusus
Persamaan linier, Vektor, Matrik dan Determinan
53
3.1 Vektor
Notasi vektor A dapat dinyatakan dengan A, atau A , dimana
panjang dari vektor tersebut dinyatakan dengan
)dimensi3(||
)dimensi2(||
222
22
zyx
yx
AAAAA
AAAA
Vektor gaya F (Force) pada bidang xy dapat diproyeksikan pada
sumbu x dan sumbu y
x
yarc
FF
FF
y
x
tan
sin
cos
Jika Fx=3 N dan Fy=4N maka panjang F adalah
N
FFFF yx
525169
43|| 2222
A. Penjumlahan vektor
Perhatikan penjumlahan vektor pada gambar berikut
Diferensiasi Parsial
74
BAB 4 DIFERENSIASI PARSIAL
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Mampu mengenali persamaan diferensial parsial, dan
menjabarkan deret pangkat menggunakan dua variabel
2. Mampu mendiferensiasikan persamaan diferensial secara total
untuk setiap variabelnya
3. Mampu menggunakan aturan rantai dan diferensiasi implisit
4. Mampu mengaplikasikan penyelesaian persamaan diferensial
parsial dalam masalah pencarian nilai maksimal dan minimum
5. Mampu menggunakan metode pengali lagrange untuk
menyelesaikan persamaan diferensial parsial
6. Mampu menggunakan penyelesaian persamaan diferensial
parsial dalam aplikasi titik batas,perubahan variabel dan
diferensiasi integral
Deskripsi singkat:
Prinsip fungsi diferensiasi, notasi diferensiasi parsial, deret pangkat
dengan dua variabel, diferensial total, perhitungan pendekatan,
aturan rantai, diferensiasi implisit, aplikasi pada masalah maksimum
dan minimum, metode pengali Lagrange, masalah titik batas,
perubahan variabel dan diferensiasi integral.
Diferensiasi Parsial
75
Dalam Matematika, kita mengenal dengan istilah persamaan
diferensial, yang mana terdapat dua macam yakni Persamaan
Diferensial Umum (Ordinary Differential Equations, ODEs) dan
Persamaan Diferensial Parsial (PDEs). Persamaan Diferensial Parsial
(Partial Differential Equations, PDEs) adalah sebuah persamaan
differensial yang terdiri dari banyak fungsi variable yang tidak
diketahui bersama dengan turunannya secara parsial. Berbeda dengan
ODEs yang hanya terdiri dari satu variabel bersama turunannya.
PDEs digunakan untuk memformulasikan sebuah masalah yang terdiri
dari banyak variabel yang dapat diselesaikan secara analitik ataupun
dengan pemodelan komputer. PDEs banyak digunakan untuk
mendeskripsikan banyak fenomena didalam ilmu fisika seperti: suara,
panas, listrik statik, listrik dinamik, aliran fluida, elastisitas atau
mekanika kuantum,
4.1 Notasi Persamaan Diferensial Parsial
Apabila kita memiliki persamaan
)(xfy
Turunan dari fungsi tersebut (df/dx) bisa berarti kemiringan (slope)
atau luas alas bidang dibawah grafik atau sebuah kelajuan (rate)
sebuah sistem. Kelajuan banyak kita temukan didalam fisika, misalnya
kecepatan (dx/dt), percepatan (dv/dt), laju penurunan suhu sebuah
benda yang panas (dT/dt), laju perubahan volume pada sebuah
perubahan tekanan (dV/dP) atau penurunan jumlah bahan bakar
sebuah kendaraan terhadap jarak dan banyak lagi. Persamaan
matematika yang berhubungan dengan kelajuan (persamaan
diferensial) kerap kali membutuhkan penyelesaian (solusi) dan
biasanya diikuti oleh banyak variabel.
Untuk menunjukkan bahwa fungsi f tersebut diturunkan terhadap x
saja dan y bernilai konstan (juga sebaliknya) kita tuliskan sbb:
y
f
x
fyxfz
,),(
Integral Lipat
94
BAB 5 INTEGRAL LIPAT
Tujuan Instruksional Khusus:
Mampu menggunakan dan menyelesaikan integral lipat dalam
menghitung berbagai parameter fisika seperti luas permukaan,
volume, massa, momen inersia, dan lain-lain dalam persoalan
perkalian integral lipat dua dan tiga.
Deskripsi singkat:
Pada pokok bahasan kali ini akan membahas tentang: pengenalan
tentang integral lipat, integral lipat dua dan tiga, aplikasi dalam
fenomena fisika, perubahan variabel di dalam integral (Jacobian) dan
integral permukaan
Integral Lipat
95
Di dalam kalkulus dan fisika dasar kita sudah sering berinteraksi
dengan persaman integral, sebagai contoh kita menggunakan integral
untuk pencarian luas area dibawah grafik, volume, mass, momen
inersia dan banyak lagi. Kali ini akan dipelajari bagaimana
menyelesaikan integral tersebut apabila terdapat integral lipat dua dan
lipat tiga, bagaimana menyelesaikannya secara sistematis.
5.1 Integral Lipat Dua dan Lipat Tiga
Mengingat kembali didalam kalkulus yakni apabila terdapat sebuah
persamaan integral dxxfydx b
a
b
a )( , maka dapat kita selesaikan
dengan mencari luas area dibawah persamaan kurva tersebut pada
selang jarak x (Gambar 5.1), sehingga hasil integralnya nanti adalah
penjumlahan dari luas sebuah persegi panjang pada syarat batas a
sampai b
Gambar 5.1 integral dxxfydx b
a
b
a )( adalah mencari luas dibawah kurva yang
terbentuk
Berdasarkan definisi diatas maka kita akan melakukan hal yang sama
apabila kita akan mencari volume dibawah kurva yang terbentuk pada
sebuah bangun silinder menjadi integral lipat dua (Gambar 5.2). Yang
kita lakukan adalah kita potong bidang (x,y) menjadi sebuah bidang
Analisis Vektor
109
BAB 6 ANALISIS VEKTOR
Tujuan Instruksional Khusus
1. Mampu mengenali perkalian vektor, triple product, diferensiasi
vektor, medan, gradien, operator delldan integral garis
2. Mampu mengenal teori green pada bidang, divergensi dan
teorema divergensi, curl dan teorema stokes
Deskripsi Umum
Didalam subbab ini akan dibahas tentang Perkalian vektor, triple
product, diferensiasi vektor, medan, gradient, operator del, integral
garis teorema Green pada bidang, divergensi dan teorema divergensi,
curl dan teorema stokes
Analisis Vektor
110
Pada subbab sebelumnya kita telah membahas tentang vektor ajabar.
Pada subbab ini akan kita lanjutkan terhadap pokok bahasan vektor
kalkulus. Turunan dan integral dari sebuah fungsi vektor sangat
penting didalam setiap aplikasi matematika dan fisika seperti
mekanika, mekanika kuantum, elektrodinamik, teori dari panas dan
hidrodinamik, optik dan masih banyak lagi.
6.1 Triple Scalar Product
Definisikan A, B dan C adalah sebuah vektor. Apabila kita lakukan
perkalian skalar (dot product) dan vektor (cross product) kita akan
dapatkan sebagai berikut.
zyx
zyx
zyx
xyyxzxzzxyyzzyx
zyx
zyx
xyyxxzzxyzzy
zzyyxx
zyxxzyxxzyxx
CCC
BBB
AAA
CBA
BABAABABAABABAACBA
CCC
BBB
kji
CB
BABAkBABAjBABAiCB
BABABABA
kCjCCiCkBjBBiBkAjAAiA
;;
6.2 Triple Vektor Product
Definisikan A, B dan C adalah sebuah vektor. Apabila kita lakukan
perkalian vektor (cross product) dan skalar (dot product) kita akan
dapatkan sebagai berikut.
yxxyxy
yxzyxyyxx
yxzyxyyxx
yxyxxxyxxx
yxxxxzyxx
CBjACBiA
CBACBAiCBAj
CBAkkCBAkjCBAkiCBA
CkBCBkCBCBjiCBiiCB
jCCiCBiBkAjAAiA
0
0
;;
Analisis Vektor
129
Daftar Pustaka
1. Mary L. Boas, John Wiley and Sons, 1983, “Mathematical
Methods in Physical Science”, (Chapter, 6)
2. George B. Arfken and Hans J. Weber, Harcourt Academic Press,
“Methematical Methods for Physicists”
3. Richard Haberman, Pearson, 2013, ”Applied Partial Differential
Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems”
4. David S. Tartakoff, Springer, “Non-Elliptic Partial Differential
Equations”
Index
130
Index
Akar 47 eksponensial 44
trigonometri 44
hiperbolik 45 logaritma 46
Cramer rule 59
Diferensial
parsial 78 implisit 80
Directional derivatif 112
Deret Alternatif 8
geometri 2-7
pangkat 9,11, 77 harmonik 16
konvergen 19
divergen 19
Formula euleur 39
Hukum
gauss 125
ampere 128
Integral
lipat dua 95
lipat tiga 95
tunggal 103
perkalian 103 garis 115
Jacobian 105
Kompleks 25
konjugasi 28 aljabar kompleks 29
konjungasi 28
absolute 31 persamaan kompleks 34
deret kompleks 37
kompleks funngsi dasar 38 bidang kompleks 26
Linier 72
Matrik 66
Nilai
maximum 87
minimum 87
Row reduction 57
Scalar 110
Teorema
green 121 divergen 123
stokes 126
Vektor 53, 109, 110 viferensiasi 111
gradien 112
Dicetak oleh :
Percetakan & PenerbitSYIAH KUALA UNIVERSITY PRESS
Darussalam, Banda Aceh
ElinYusibani mendapatkan gelar sarjana pada Departemen Fisika, Inst i tut Teknologi Bandung, Indonesia, pada tahun 2002 lalu melanjutkan program Magister pada Departemen Teknik Nuklir di Tokyo Institut of Teknologi, Jepang, pada tahun 2005.
G e l a r d o k t o r d i d a p a t k a n p a d a Departemen Teknik Mesin di Kyushu University, Jepang, pada tahun 2010. Sejak tahun 2006 menjadi dosen tetap pada Jurusan Fisika, FMIPA pada Universitas Syiah Kuala, Indonesia.
Oleh:Elin Yusibani
FisikaMatematika I
Buku Ajar
