Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

(2006)

Schneider János elektronikus jegyzetéhez igazodó, kiegészítő kiadvány

Készítette: Müller Szabolcs

Műszaki Informatika Kar Pannon Egyetem Nagykanizsa

1

2

A kombinatorika – a legáltalánosabb értelemben – a véges sok elemet tartalmazó

halmazok elmélete. Az e tárgykörben felvetődő problémák száma igen nagy és változatos. A valószínűségszámításban közülük elsősorban az ún. csoportalkotási kérdések merülnek fel, s a velük kapcsolatos eredmények kerülnek alkalmazásra.

Az adott halmaz elemei tetszőleges dolgok lehetnek, így számok, betűk, tárgyak,

személyek, fogalmak, stb. Mi ezeket a következőkben mindig számokkal szimbolizáljuk, és a velük végzett csoportalkotásokat, elrendezéseket úgy tekintjük, mintha ezeket a számokhoz tartozó objektumokkal végeztük volna.

3

1. Kombinatorika Permutációk, variációk, kombinációk. Binomiális együttható. Binomiális- és polinomiális tétel.

4

A kombinatorikai fogalmak bemutatása példákon keresztül

5

6

7

8

9

10

11

Tétel: Binomiális együttható (Tulajdonságok)

(1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛knn

nkn

nknk

nkn

,)!(!! , (Szimmetria tulajdonság)

(2) , (Pascal háromszög) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

111

kn

kn

kn

(3) , (Hatványhalmaz: 2n

nnnn

2...10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ H )

12

(4) , 0)1(...10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nnnn n

(5) , , 10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nnn

nn

nn=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11 2

)1(2

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ nnn,

(6) . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

−

r

r

r

r

r kkkn

kkkn

kkn

kn

kkn 11

1

21

2

1

11

.........

,...,

13

2. Valószínűségi mező Eseménytér, eseményalgebra, valószínűségi mérték. Műveletek eseményekkel. Klasszikus és geometriai valószínűségi mező. Szorzatmezők.

14

15

16

17

Egy másik megfogalmazásban (eseményalgebra):

18

19

20

21

22

23

24

25

Valószínűségi mezők szorzata

A szemléletünk alapján többé-kevésbé nyilvánvaló, mit jelent két (vagy több) kísérletet egymástól függetlenül végrehajtani. Ha például az első kísérlet egy érme feldobása, a második egy kocka feldobása, akkor a két kísérlet függetlennek tekinthető.

Ha viszont úgy módosítjuk az eljárásunkat, hogy fej dobása után szabályos kockát, írás után pedig egy szabálytalan kockát dobunk fel, akkor az érmedobás és a kockadobás nem független. Továbbá a visszatevéses mintavétel (azaz pl. golyók húzása urnából, kártyák húzása egy pakliból, mindkettő visszatevéssel) egymástól független kísérletek sorozatának tekinthető, míg a visszatevés nélküli mintavétel nem.

26

27

28

29

3. Feltételes valószínűség Feltételes valószínűségi mező, szorzási szabály, teljes valószínűség tétele, Bayes tétel. Események függetlensége.

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

4. Véletlen változók Véletlen változó. Eloszlásfüggvény. Eloszlások osztályozása: diszkrét, folytonos és vegyes típusú eloszlások.

40

41

42

(Megjegyzésként:)

43

44

45

46

47

48

49

Vegyes típusú eloszlások

ξ vegyes típusú VV, ha nem diszkrét és nem folytonos VV.

Ezen eloszlások közül gyakorlati szempontból csak azok érdekesek, amelyekre:

alakban, ahol és ∫ ∑<≤

=+=<≤b

a bxak

k

xPdxxfbaP )()()( ξξ 0)( ≥xf 0)( >= kxP ξ

Megj.: Nincs olyan eloszlás, amely egyszerre diszkrét és folytonos is.

5. Vektorváltozók Véletlen vektorváltozó. Együttes eloszlásfüggvény. Diszkrét és folytonos vektorváltozó. Változók függetlensége.

50

51

52

53

54

1. Diszkrét VVV

ξ VVV diszkrét, ha ini ξ:,...,1=∀ diszkrét VV Az eloszlást egyértelműen meghatározzák a ),...,(

11 1,..., nk iniii xxPp === ξξ valószínűségek:

∑∈

=∈Axx

iinii

npAP),...,(

,...,1

1)(ξ , ∑

<∀

=kki

nxxk

iin pxxF:

,...,1 1),...,(

Köv.: 1)(),...,(

,...,),...,(

,...,

1

1

1

1=∈== ∑∑

∈

n

xxii

iiii Ppp

nnii

n

n

nR

R

ξ

ξ diszkrét VVV valószínűségeloszlása: az összes halmaza )),,...,(( ,...,11 nn iiii pxx

Áll.: Legyen -ek egy halmaza E, melyre )),,...,(( ,...,11 nn iiii pxx 0,...,1≥∀

niip és 1),...,(

,...,1

1=∑

n

nii

iip

Ekkor ξ∃ diszkrét VVV, melynek eloszlása éppen az adott E.

2. Folytonos VVV

ξ VVV folytonos, ha n),(- ∞∞∈∃ RIxf )( : 11 ...),...,(...)(

1

dtdtttfxFx x

nn

n

∫ ∫∞− ∞−

=

ξ folytonos VVV valószínűségi sűrűségfüggvénye: a fenti f(x1,…,xn) függvény

Ismeretes, hogy ekkor ),...,(,...,

),...,(1

1

1n

n

nn

xxfxxxxF

=∂∂

∂

Mivel )(xF minden változója szerint monoton növő, így 0)( ≥xf .

55

Mivel , így 1),...,( =∞∞F 1...),...,(... 11 =∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

dtdtttf nn

Áll.: 0)(lim)(lim: ==∀+∞→−∞→

xfxfiii xx

Áll.: Legyen adott 0)( ≥xf valósértékű függvény, melyre . 1...),...,(... 11 =∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

dtdtttf nn

Ekkor ξ∃ folytonos VVV, melynek VSF-e éppen az adott )(xf .

Megj.: Ez a két tulajdonság jellemzi a VSF-k osztályát.

56

6. Véletlen változók jellemzői Helyzetmutatók (várható érték, módus, medián, kvantilisek). Szóródás mutatók.(variancia, szórás, átlagos abszolút eltérés). Alakmutatók. (A és F mutató).

Mennyiségi sorok elemzése Típusai: (1) Gyakorisági sorok: mennyiségi ismérv szerinti osztályozó eredménye.

Képezhető ezekből relatív gyakoriság, ez a gyakoriságokból számított megoszlási viszonyszám. – ez az eloszlás fogalmával egyenlő.

Képezni tudunk ún. kumulált sorokat. Kumulálás: halmozott összeadás, amelyet megtehetünk a gyakoriságokra és a relatív gyakoriságokra is.

Megoszlási viszonyszámokat g-vel is jelöljük, kumulált relatív gyakoriság: giFelfelé kumulálás: a kisebb ismérvértékektől a nagyobbak felé haladva történik a halmozott összeadás. Lefelé kumulálás: a nagyobb ismérvértékektől a kisebbek felé haladva történik a halmozott összeadás.

(2) Értékösszegsor (Si) Gyakoriság szorozva az ismérvértékkel. Si = fi × Xi

( pl.: árbevétel = mennyiség × egységár

57

Osztályközös mennyiségi sor esetén az osztályközéppel kell számolni. Értékösszeg mellett képezhetünk relatív értékösszeget. Z = értékösszegek megoszlási viszonyszáma.

Megjegyzésként: (((

Alapfogalmak Statisztika: a tömegesen előforduló jelenségek vizsgálatával foglalkozik, ezekre vonatkozóan adatokat gyűjt, feldolgoz, elemez és közzé tesz. Fajtái:

(1) a statisztikai vizsgálat köre szerint: a) leíró statisztika – az adatgyűjtés, feldolgozás, elemzés egyszerűbb

eszközeivel találkozunk. b) statisztikai következtetés – nincs lehetőség a teljes jelenség megfigyelésére,

szűkebb kört figyelnek meg és ezeket az információkat vonatkoztatják a teljes sokaságra. Lehet: - statisztikai becslés - statisztikai hipotézis vizsgálat

(2) A statisztikai vizsgálat specializáltsága szerint: a) általános statisztika – általános módszertani kérdésekkel foglalkozik b) szakstatisztika – egy-egy speciális szakterület statisztikájával foglalkozik. (pl.

népesség statisztika) Statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (pl. népszámlálás – az ország népessége) Megfigyelési egység: akire, vagy amire vonatkozóan adatokat gyűjtünk (a sokaság egy-egy eleme) Számbavételi egység: aki az adatot szolgáltatja (ember, szervezet) Statisztikai sokaság csoportosítása:

(1) Annak függvényében, hogy az adatok mire vonatkoznak: - álló sokaság – időpontra vonatkozik - mozgó sokaság – időtartamra vonatkozik

(2) Annak függvényében, hogy a sokaság elemei megszámlálhatóak-e? - véges sokaság – megszámlálható - végtelen sokaság – megszámlálhatatlan

(3) Megadásuk módja szerint: - diszkrét sokaság – egy-egy konkrét számértékkel adjuk meg az elemeket - folytonos sokaság - értékközzel kerül megadásra a sokaság

58

Statisztikai ismérv: a sokaság egyedeit jellemező tulajdonság. Ismérvváltozat: az ismérv lehetséges kimenete. Alternatív ismérv: csak két kifejezési lehetősége van (pl. férfi-nő) Ismérvek csoportosítása:

(1) A sokaság milyen körére terjed ki: - közös ismérv – minden elemre - megkülönböztető ismérvek – egy-egy részre

(2) Fajtája szerint: - időbeli ismérv – időpontot és időszakot is jelenthet - területi ismérv – pl. állandó lakóhely - minőségi ismérv – számszerűen nem mérhető tulajdonságot takar - mennyiségi ismérv – megszámlálható tulajdonságot jelöl

Statisztikai adat: a sokaság elemeinek száma vagy valamilyen mérési eredménye Alapadat: közvetlen számlálással jutunk hozzá (pl. jelenlévők száma) Követelmények: - pontos legyen az adat - gyors legyen az adat - olcsó legyen az adat Leszármaztatott adat (származékszám) (mutatószám): az alapadatokból valamilyen számítási művelet eredményeképpen kapjuk (pl. férfiak aránya a jelenlévők közül) Hogyan juthatunk statisztikai alapadatokhoz?

(1) Nem statisztikai célra készült nyilvántartásból (2) Erre a célra szervezett adatgyűjtésből. Annak figyelembevételével, hogy az

adatgyűjtés milyen körre terjed ki: - teljes körű: a sokaság minden egységére kiterjed - részleges: a sokaság egy részére terjed ki, lehet:

a. reprezentatív: az elemek kiválasztása meghatározott elvek szerint történik. Eredménye a minta vagy mintasokaság

Statisztikai adatok hibája:

- csak korlátozottan pontosak a statisztikai adatok - felvételnél, feldolgozásnál sérülhetnek az adatok

Hibák: - abszolút hiba = /valóságos adat – mért adat/

- relatív hiba = abszolút hiba / valóságos adat Statisztikai adatok csoportosítása:

- az első feladat a feldolgozásban - a sokaság felosztása a sokaság egységeit jellemző megkülönböztető ismérvek

szerint (pl. jelenlévők nem szerinti csoportosítása) Követelmények a csoportosítással szemben:

- átfedés mentes - teljes - a sokaság minden eleme besorolható legyen egyértelműen, de csak egy

csoportba

59

A csoportosítás eredménye: (1) Statisztikai sor: egy ismérv szerinti csoportosítás eredménye (2) Statisztikai tábla: több ismérv szerinti csoportosítás eredménye

(Statisztikai tábla: megfelelő külső formával ellátott statisztikai sorok rendszere.) Statisztikai sor Fajtái: - A benne szereplő adatok összegezhetősége szerint:

o csoportosítható statisztikai sor – adatai összegezhetők (értelme van) o összehasonlító sor – adatai nem összegezhetők (értelmetlen)

- A sorban szereplő adatok fajtái szerint: o idősor: időbeli ismérv alapján csoportosítva az adatokat

állapot idősor: adatai nem összegezhetők, időpontra vonatkozik tartam idősor: időtartamra vonatkoznak az adatok, általában adatai

összegezhetők, de csak a folytonos idősorúnál o minőségi sor: az adatoknak minőségi ismérv szerinti rendezése o mennyiségi sor: az adatoknak mennyiségi ismérv szerinti rendezése o területi sor: az adatok területi hovatartozást jelentenek. o leíró sor: azok a sorok, ahol egy jelenség különböző tulajdonságát soroljuk fel.

)))

Mennyiségi sorok ábrázolása Derékszögű koordinátarendszerben ábrázoljuk. Vízszintes tengelyen mindig a mennyiségi ismérveket ábrázoljuk, a függőlegesen pedig az előfordulások számát.

Mennyiségi sorokra számítható mutatószámok (1) Helyzetmutatók – az eloszlás helyzetéről (az x tengelyen való elhelyezkedésükről) tájékoztatnak. Idetartozik: átlag, módusz, medián, kvantilisek (2) Szóródás mérőszámai – ismérvértékek különbözőségét fejezik ki. (3) Eloszlás - alakjáról tájékoztatunk. (alakmutatók) Idetartoznak: aszimmetria mutatószámai, csúcsosság mutatószámai.

60

61

62

Módusz

63

64

A p-kvantilis

65

Kvartilisek – q-ad rendű kvantilis az a szám, aminél az összes előforduló ismérvérték q-ad része kisebb és (1-q)-ad része nagyobb.

Számításuk kiinduló feltétele, a nagyság szerint sorba állított sokaság. Az adathalmazok egyenlő felosztásával kapott helyzetmutatók:

1.) alapvető kvantilis fajta a Medián: - a nagyság szerint sorba rendezett

sokaságot egy osztópont segítségével 2 részre osztja.

2.) a tercilisek csoportja – a nagyság szerint sorba rendezett sokaságot 2 osztópont segítségével 3 részre osztja.

3.) a kvartilisok csoportja – a nagyság szerint sorba rendezett sokaságot 3 osztópont segítségével 4 részre osztja.

Q1 - alsó kvartilis Q2 - Me Q3 - felső kvartilis

4.) a kvantilisek csoportja – a nagyság szerint sorba rendezett sokaságot 4 osztópont segítségével 5 részre osztja. 5.) a decilisek csoportja – a nagyság szerint sorba rendezett sokaságot 9 osztópont segítségével 10 részre osztja. K1, K2, … K9 6.) a tercilisek csoportja – a nagyság szerint sorba rendezett sokaságot 99 osztópont segítségével 100 részre osztja. P1, P2, … P99 Számításuk megegyezik a medián számításával.

66

67

68

69

Átlagos abszolút eltérés

Megjegyzés:

(

70

Minta: ξ értékének megfigyelése n-szer: nξξ ,...,1 (Lehet: független vagy nem független)

)

71

Alakmutatók

72

7. Nevezetes eloszlások és jellemzőik Bernoulli-, binomiális-, geometriai-, negatív binomiális-, hipergeometriai- és Poisson eloszlás. Egyenletes-, exponenciális- és normális eloszlás. Normálisból származtatott eloszlások.

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

2. Itt lenne a centrális határeloszlás tétele és annak részletezése, de ezt a következő témakörben (tételben) megtalálhatjuk.

Normálisból származtatott eloszlások: χ2 , Student, F

99

100

101

102

103

104

105

106

107

Az F-eloszlás definíciója

108

109

8. Centrális határeloszlás tétel és a Nagy számok törvényei Centrális határeloszlás tétel, Moivre-Laplace tétel. Konvergencia típusok. Nagy számok Csebisev-, Bernoulli- és Borel-féle törvényei.

110

111

112

113

A központi határeloszlás-tétel az általános esetben

A matematikai statisztika módszereinek jelentős része arra a feltevésre épül, hogy a megfigyelt mennyiség normális eloszlású. Azt, hogy a megfigyelt mennyiségek igen gyakran (közelítőleg) normális eloszlást követnek, egyrészt a tapasztalat mutatja, másrészt elméletileg a központi határeloszlás-tételek támasztják alá.

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

9. A matematikai statisztika Alapfogalmak. Empirikus jellemzők.

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

10. Becsléselmélet Becslések jellemzői. ML módszer. Konfidencia intervallum. Minimális kísérletszám.

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

11. Hipotézisvizsgálat Egy- és kétmintás statisztikai próbák várható értékekre, valószínűségekre és szórásokra.

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

Irodalomjegyzék:

• Schneider János – Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (MI szak, PEN - 2004-2006),

• Obádovics J. Gyula – Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (5. kiadás, Scolar Kiadó, 2003),

• Fazekas István: Valószínűségszámítás (Debreceni Egyetem), • Denkinger Géza – Valószínűségszámítás (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest,

1997), • Reimann József, Tóth Julianna – Valószínűségszámítás és matematikai

statisztika (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000), • Bácsó Sándor – Diszkrét Matematika 1. (Debreceni Egyetem Informatikai

Intézet, 2003)

169