EL SZLektorlta Dr. O bdovics Csilla Dr. Szelnyi Lszl Dr. Szelezsn Jnos

DR. OBDOVICS J. GYULA, 1995, 2001 SCOLAR KIAD, 2003

Minden jog fenntartva, belertve a sokszorostst, a m bvtett, illetve rvidtett vltozatnak kiadsi jogt is.

ISBN: 963-9534-00-5

Kiadja a SCOLAR KIAD 1114 Budapest, Bartk Bla t 7. Tel/fax: (06-1) 466-7648 E-mail: scolar@scolar.hu www.scolar.hu Felels kiad s felels szerkeszt: rsek Nndor A bortt tervezte: Mth Hanga A knyv brit rajzolta: rsek-Obdovics Robin, Szab Bla Nyomta a Drer Nyomda Kft. Felels vezet: Megyik Andrs

A valsznsgszmts s a matematikai statisztika trgykre kb. 300 v ta folyamatosan, jabb s jabb eredmnyekkel gazdagszik. Eredmnyeit nhny vtized ta szmos tudomnyterleten rendszeresen alkalmazzk klnbz problmk megoldsra. Folyiratok s napilapok gazdasgi, mszaki, mezgazdasgi, trsadalomtudomnyi cikkeinek szerzi is gyak ran alkalmaznak lltsaik bizonytshoz valsznsgszmtsi s statisz tikai mdszereket. Kzvlemnykutatsi adatok feldolgozst, vlasztsok eredmnyeinek sok szempont elemzst az jsgolvask szles kre rendszeresen olvassa. Fl, hogy elemi valsznsgszmtsi s statiszti kai ismeretek nlkl ezekbl a cikkekbl hamis kvetkeztetseket vonnak le. Mindezek figyelembevtelvel szksgesnek tartjuk, hogy mr a k zpiskolk minden tpusban a valsznsgszmts s a statisztika alap jaival megismertessk a tanulkat, mert az a gondolkodsmd, amely az emltett cikkek megrtshez nlklzhetetlen, csak gy alakulhat ki. Mivel a vilg jelensgei nem determinisztikusak, hanem vletlenszerek, ezrt ki kell fejlesztennk azt az rzket, amely lehetv teszi szmunkra, hogy becslni tudjuk a jelensgek bekvetkezsnek valsznsgt, mert csak gy dolgozhatjuk ki azokat a taktikai lpseket, amelyek a kvetkezmnyek felerstsre vagy ppen kivdsre, hatsuk cskkentsre alkalmasak. E knyv a valsznsgszmts s a matematikai statisztika elemeit tr gyalja a kzpiskolai ismeretekre tmaszkodva. Fejezetei a fiskolai s egyetemi oktatsi programokhoz illeszkednek. Kidolgozott pldi, feladatai a gyakorlati let klnbz terleteinek problmit lelik fel. A feladatok megoldsai a knyv III. rszben tallhatk. Az I. rsz a valsznsg szmtst t fejezetre, a 11. rsz pedig a matematikai statisztika elemeit ngy fejezetre bontva trgyalja. A fejezetekhez n. ellenrz krdsek tartoznak, amelyekkel az Olvas ellenrizheti tudst, ha a krdses fejezet tanulst befejezte. A krdsek termszetesen csak a legfontosabb fogal mak definciira, a tovbbi fejezetek megrtshez nlklzhetetlen tte lekre, s az alkalmazs szempontjbl fontos eljrsokra vonatkoznak. gy az az Olvas, aki korbbi tanulmnyai sorn mr szerzett bizonyos isme reteket, az ellenrz krdsek alapjn megllapthatja mennyire biztos a tudsa, s ha azt kielgtnek tallja, akkor a kvetkez fejezet ismeretei nek elsajttsra trhet t. Javaslom, hogy az Olvas a pldkat s a fela datokat ilyen esetben is nzze t, ill. oldja meg, mert csak az nllan jl megoldott feladatok adnak kell biztonsgrzst, a tblzatok hasznla tban val jrtassgot, amely nlkl nem lehet j eredmnnyel vizsgzni.

6

Elsz

A knyvben val tjkozdst a jl tagolt tartalomjegyzken kvl a na gyon rszletes nv- s trgymutat teszi mg knnyebb. Mindazok, akik a knyvben foglaltakon tlmen ismereteket kvnnak elsajttani, az iroda lomjegyzkben tallnak megfelel mveket ignyeik kielgtsre. Ksznett mondok a knyv lektorainak, Dr. Sz e l e z s n Jnosnak s Dr. O b d o v i c s Cs i l l nak a lektorls fraszt, de szmomra igen sok segt sget nyjt munkjrt s klnsen r s e k Nn do m?i k, aki nlkl sem ez a knyv, sem a szp killts M a t e m a t i k a knyvem nem jelenhetett volna meg.Dr. O b d o v i c s J. Gy u l a

TARTALOMJEGYZKELSZ................................................................................................................................5 TARTALOMJEGYZK.................................................................................................... 7 GYAKRABBAN HASZNLT JELEK S RVIDTSEK..................................11 I. RSZ 15

VALSZNSGSZMTAS...........................................................................................17

Balatonszrsz, 1994. december havban

ELSZ A NEGYEDIK KIADSHOZ Ksznett mondok mindazoknak, akik felhvtk figyelmemet a korbbi kiadsokban elfordul elrsokra s hibkra. Ez a negyedik kiads nhny j tmakrrel s szmos - az alkalmazst s a trgyalt mdszer megrtst elsegt - pldval gazdagodott. Ksznett mondok a negyedik kiads lektorainak, Dr. Szel ny i L s z l nak s Dr. O b d o v i c s Cs i l l nak igen gondos s precz munkjukrt.Dr. O b d o v i c s J. Gy u l a

ELS FEJEZET............................................................................................................... 17 L l. B evezets...............................................................................................................17 1.2. Esemny, esemnytr......................................................................................... 20 1.2.1. Mveletek esem nyekkel...........................................................................23 1.3. A valsznsg s axim i................................................................................ 27 1.3.1. Gyakorisg, relatv gyakorisg................................................................. 27 1.3.2. A valsznsg matematikai fogalma......................................................29 1.4. Valsznsgi m ezk ..........................................................................................33 1.4.1. Klasszikus valsznsgi m ez ................................................................ 34 1.4.2. Kombinatorikai sszefoglal.....................................................................35 1.5. Geometriai valsznsg....................................................................................45 E .l. Ellenrz krdsek az 1. fejezethez................................................................ 47 V .l. Feladatok az 1. fejezethez..................................................................................47 MASODIK f e j e z e t ...................................................................................................... 51 2.1. Feltteles valsznsg....................................................................................... 51 2.1.1. Szorzsi ttel................................................................................................ 54 2.2. A teljes valsznsg ttele............................................................................... 57 2.2.1. Bayes ttele...................................................................................................60 2.3. Esemnyek fggetlensge................................................................................. 63 E.2. Ellenrz krdsek a 2. fejezethez.................................................................. 67 V.2. Feladatok a 2. fejezethez...................................................................................67 HARMADIK FEJEZET.................................................................................................. 71 Valsznsgi vltozk s jellem zik ...........................................................................71 3.1. Diszkrt valsznsgi vltoz......................................................................... 72 3.1.1. A vrhat rtk............................................................................................. 75 3.1.2. Vonaldiagram s hisztogram.....................................................................77 3.1.3. A szrsngyzet (variancia) s a szrs (diszperzi)........................... 81 3.1.4. Valsznsgi vltozk egyttes- s peremeloszlsai..........................85 3.1.5. A valsznsgi vltozk kztti kapcsolat szorossga.......................89 3.2. Folytonos valsznsgi vltoz...................................................................... 97 3.2.1. Eloszlsfggvny........................................................................................ 98 3.2.2. A srsgfggvny...................................................................................103 3.2.3. Vrhat rtk, szrsngyzet s szrs................................................. 106 3.3. A valsznsgi vltoz egyb jellem zi......................................................] 10

Balatonszrsz, 2001. jnius havban

5

VALSZNSGSZMTS S MATEMATIKAI STATISZTIKA3.3.1. A momentumok s alkalmazsuk.......................................................... 110 3.3.2. A mdin..................................................................................................... 115 3.3.3. A /7-kvantiIis, a terjedelem s a m dusz...............................................117 E.3. Ellenrz krdsek a 3, fejezethez................................................................119 V.3. Feladatok a 3. fejezethez................................................................................. 120 NEGYEDIK FEJEZET..................................................................................................125 Nevezetes eloszlsok......................................................................................................125 4.1, Diszkrt vasznsgeloszlsok....................................................................125 4.1.1. Binomilis eloszls....................................... ............................................125 4.1.2. Poisson-eloszls........................................................................................ 131 4.1.3. Hipergeometrikus eloszls...................................................................... 136 4.2. Folytonos eloszlsok ....................................................................................... 138 4.2.1. Egyenletes eloszls...................................................................................141 4.2.2. Exponencilis eloszls............................................................................. 144 4.2.3. Normlis eloszls................................ ................................. ................... 146 E.4, Ellenrz krdsek a 4. fejezethez................................................................155 V.4. Feladatok a 4. fejezethez......................................................................... ........155 TDIK FEJEZET..................................... ..................................................................159 5.1. A Csebisev-egyenltlensg...................................................................... .......159 5.2. A nagy szmok trvnye ............. ............................................................ ...... 162 E.5. Ellenrz krdsek az 5. fejezethez.............................................................. 164 V.5. Feladatok az 5. fejezethez........................................................................ ...... 165

Tartalomjegyzk

9

3.4. A zF -prba.......................... .......................................... .................................. 218 3.5. Illeszkeds- s homogenitsvizsglat............................. ..............................219 3.5.1. Illeszkedsvizsglat.................................................................................. 220 3.5.2. Homogenitsvizsglat.......................................................... ................... 222 3.6. Fggetlensgvizsglat -prbval.................................... ....................... 226

E.3. Ellenrz krdsek a 3. fejezethez............................................................... 230 S.3. Feladatok a 3. fejezethez..................................................... ........................... 230 NEGYEDIK FEJEZET................................................................................................. 233 Empirikus kpletek ellltsa, korrelci- s regressziszmts........................233 4.1. Az empirikus kplet kivlasztsa.................................................................. 233 4.2. A paramterek meghatrozsa........................................................................ 235 4.3. A statisztikai modell......................................................................................... 241 E.4. Ellenrz krdsek a 4 . fejezethez............... ............................ ............ .......246 5.4. Feladatok a 4. fejezethez................. ............................................. ...... ..........246 III. RSZ 247

MEGOLDSOK.................... ............ ..................................... .........................................249 AZ I. RSZ FELADATAINAK MEGOLDSAI...................................... ............ 249 V .l. Az 1. fejezet feladatainak m egoldsai............... ................................... ..... 249 V.2. A 2. fejezet feladatainak m egoldsai.................................. .................. ......256 V.3. A 3. fejezet feladatainak m egoldsai..........................................................262 V.4. A 4. fejezet feladatainak m egoldsai...................................... .....................271 V.5. Az 5. fejezet feladatainak m egoldsai................................................... ....276 A II. RSZ FELADATAINAK MEGOLDSAI...................................................277 5.1. Az 1. fejezet feladatainak m egoldsai................. ........................................277 5.2. A 2. fejezet feladatainak m egoldsai....................................................... ....282 5.3. A 3. fejezet feladatainak megoldsai................................................... .........284 5.4. A 4. fejezet feladatainak m egoldsai.......................................... ...... .......... 285 IRODALOMJEGYZK............ ................... ...................... .................................. .....287 TBLZATOK.................................................... .................................................... ...289 1. sz. tblzat................................................... ............... ...................... ..................289 2. sz. tblzat........ ..................................... ......................................... ............ ........290 3. sz. tblzat.................. .................................... ............................................ .........291 4. sz. tblzat................... .................... ............. ....................................... ................292 5. sz. tblzat.................. ....... .............. ....................... ........................ .................. 293 6. sz. tblzat....... ....... .................. ..................... ................................. ....................294 NV- S TRGYMUTAT.................. .................................................................. 295

II. RSZ

167

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI.................................. .................. ........169 ELS FEJEZET................. ............................................. .......................... ........... ........169 1.1. Bevezets ...................................................... .................................. .................. 169 1.2. Statisztikai m intavtel............. ................................... .................................. ..171 1.2.1 A statisztikai minta jellem zi..................................... ............................173 E .l. Ellenrz krdsek az 1. fejezethez................. .................................. .......... 185 5.1. Feladatok az 1. fejezethez.......... .............. ...... ..............................................185 MSODIK FEJEZET......................... .............. ................................. ........................189 Statisztikai becslsek......... ............. ............................ ................................................. 189 2.1. A pontbecsls m dszere......... ......................................... .............. ................189 2.1.1. A maximum-likelihood mdszer...........................................................192 2.2. Konfidencia-intervallum...................................................................... ........... 195 2.2.1. A vrhat rtk becslse......... ................................ ...............................196 2.2.2. A szrs becslse............................................ ...... ..................................201 E.2, Ellenrz krdsek a 2. fejezethez......... ........... .......................................... 203 5.2. Feladatok a 2. fejezethez......... ....................................................................... 204 HARMADIK FEJEZET............................... ................................................................205 Statisztikai hipotzisek vizsglata...............................................................................205 3.1. Az egy- s ktmints M-prba......... ........................................... ............ ...... 207 3.2. Egy- s ktmints -prba................................................. ............................. 212 3.3. A W elch-prba............................... .................................. ...............................215

GYAKRABBAN HASZNLT JELEK S RVIDTSEKegyenl nem egyenl azonosan egyenl kzeltleg egyenl definci szerint egyel kisebb, mint nagyobb, mint kisebb vagy egyenl nagyobb vagy egyenl sszeads kivons szorzs oszts {xi,x 2 ,.--,x^) > h-> /, g max {a, b) szm -es

lekpezs jele hozzrendels jele fggvnyek jele az a, b szmok kzl

a nagyobb min (a, b) az a, b szmok kzl N Z Q R \a\ a kisebb termszetes szmok halmaza egsz szmok halmaza racionlis szmok halmaza vals szmok halmaza az a szm abszolt rtke

k . 2.

} ], 2 , ... elemek halmaza

{ x |r (x ) } mindazoknak az x elemek nek a halmaza, amelyekre a T(x) tulajdonsg rvnyes res halmaz eleme ...-nak (,..-nek) nem eleme ...-nak (...-nek) ... rszhalmaza ...-nak (...nek) ... valdi rszhalmaza ...-nak (...-nek) ... nem rszhalmaza ...-nak (...-nek) halmazok egyestsnek jele halmazok metszetnek jele halmazok klnbsgkpz snek jele A halmaz komplementere direkt vagy Descartes-le szorzat jele minden ...-ra (...-re) ltezik olyan ..., amelyre rvnyes van legalbb egy olyan ..., hogy ... rendezett pr A s B Descartes-szorzata

{ a , b \ \ a , b [ a-tl b-\g terjed zrt ill, % ! e nylt intervallum szzalk faktoris: p l.4 != l-2 .3 .4 = 2 4 a termszetes logaritmus alapszma e alap exponencilis fggvny binomilis egytthat (n alatt

c

u n\

Z

sszegezs jele, pl.

n =IP

+2+-- +

X

n elem ismts nlkli per mutciinak szma

V 3

p(ki ,k2 ,...,kr)

elem ismtlses per mutciinak szma

(Xi.Xj)AxB

V, n,k

n klnbz elem ismtls nlkli ^-ad osztly vari ciinak szma

12

VALSZNSGSZMTS S MA TMA TIK AISTA TISZTIKAn elem k~& osztly ismt lses variciinak szma n elem fc-ad osztly ismt ls nlkli kombinciinak szma N(m, (fi)= ii|= = 0 ,4 8 ;b) m ) = ^ = 0,39; = 0,22;

c) P(A f) = ^ az A esemny pedig az legyen, hogy legalbb az egyik kockn kettest dobunk. Sz mtsuk ki a P{A\B) feltteles valsznsget. Megolds A Q esemnytr elemeinek a szma: 6 -6 = 36, az A elemeinek a szma pedig: A={{2, 1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)} azaz 11, s A B = {(2,4), ( 4 ,2 )} ezrt P( A B) __ 36 ^ 2 _5_ 5 P{B) 36 d)p (a \b ) =

VI !

p[g)

2 i0 230 80

110

= 0 45=

120230

120

- 0,67.

P( A\ B) ^

ugyanakkor 2. Tegyk fel, hogy egy iskola 230 tanuljrl az albbi kimutats kszlt egy jrvnyos betegsg idszakban; beteg volt fi lny sszesen esemny 50 40 90 A nem volt beteg 60 80 140 A sszesen 110 120 230 esemny B B

3. Egy zem A-val s fi-vel jellt kt clgpn ugyanazt az alkatrszt gyrtja. Az A gpen naponta 500 darabot, melybl 20 db selejt, a B gpen naponta 650 darabot, melybl 30 a selejt. Ha az egyik nap gyrtott alkatrszek kzl kivesznk egyet s az selejt, akkor mi annak a valsznsge, hogy ez a kivett selejtes alkatrsz az A gpen kszlt? Megolds A lehetsges esetek szma a kt gpen naponta gyrtott alkatrszek szma: 1150 db, a kedvez esetek szma az A gpen gyrtott selejt darabszma: 20 db. Ha E jelenti azt az esemnyt, hogy az alkatrsz az A gpen kszlt, S pedig a felttelt jelent esemnyt, azaz egy selejt kihzst, akkor a P( E S) annak a valsznsgt jelen ti, hogy az alkatrsz az A gpen kszlt s selejt, gy

20P(S) - 1150 . . 2 0 ^ 2 50 50 5 1150

54

v a l s z In s g s z m t A s

2.1.1. Szorzsi ttel

55

2.1.1. Szorzsi ttel A feltteles valsznsg fontos kvetkezmnye az n. szorzsi ttel (szorzsi szably), amelyet, az A B = B - A felhasznlsval a 2 .1. pont ( 1) kpletbl P ( A B ) = P(B)P(A\B) (2)

(feltettk, hogy az A esemny megvalsult, gy mind a betegsgen tesettek szma, mind az sszes ltszm eggyel cskken);p (c \b

a ) =

228

gy a keresett valsznsg:p {a

-b

c

)=

90 89 230 229

228

- 0,06.

2. Egy dobozban 16 tranzisztor kzl 4 hibs. Mi annak a valsznsge, hogy a) visszatevs nlkl hrom egyms utn kivett tranzisztor hibtlan? b) az els hibtlan, a msodik hibs, a harmadik ismt hibtlan? Megolds a) I. mdszer: Mivel 1 6 - 4 = 12 hibtlan van a dobozban, az els hibtlan tran16 4

alakban kapunk. Termszetesen A-t is tekinthetjk felttelnek s akkor (2) helyett P(B A) = P(A)P(B\A) (2*)

formult hasznljuk. Amint lthat a ttellel kt tetszleges esemny egyttes bek vetkezsnek valsznsgt megkapjuk, ha az egyik esemnyt felttelnek tekintjk, s ennek valsznsgt szorozzuk a msik esemnynek a felttelre vonatkoz valsznsgvel. A szorzsi ttel tetszleges Aj, A 2 , A esemnyekre is kiter jeszthet a teljes indukci alkalmazsval: F(Ai A2 A) = P(Ai)P(A2|Ai)P(A3|Ai A 2)......F ( A |A l A 2 A _ i ) ( 2 * * )

zisztor kivtelnek valsznsge | | = 4 = 0,75. Ha hibtlant vettnk ki, akkor a dobozban a maradk 15-bl 11 hibtlan, teht a msodszor is hibtlan tranzisztor kivtelnek valsznsge = 0,73, s a harmadszor is hibtlan tranzisztor kivte

lnek valsznsge | ^ = y = 0,71. A szorzsi ttel alkalmazsval

12 11 10=

11

'" T ls

teht 0.39 valsznsggel vehetnk ki a dobozbl egyms utn hrom hibtlan tranzisztort. 2. mdszer: 16 tranzisztorbl hrmat tani, 12-bl hrmat pedig

A (2**) formult ltalnos szorzsi szablynak nevezzk.Pldk 1. Az elz pont 2. pldjnak adatait felhasznlva hatrozzuk meg annak va lsznsgt, hogy a 230 kartonbl egyms utn kihzott hrom karton betegsgen tesett fi kartonja. Megolds A jellje azt az esemnyt, hogy az els karton betegsgen tesett fi, B azt, hogy a msodik karton betegsgen tesett fi, C pedig azt, hogy a harmadik karton betegsgen tesett fi. Ekkor az A c \ B r \ C esemny valsznsgt kell meghat roznunk a (2**) kplet szerint:p (a b c

ri6

= 560 -flekppen lehet kivlasz

= 220 -flekppen, teht 220 11

3.

mdszer: 16-bl egyms utn hrom tranzisztort kivlasztani 1 6 1 5 1 4 -

flekppen lehet, 12-bl hrmat pedig 1 2 1 M 0 -flekppen, teht 121M 0 11 p =. = ^ = 0,39. 161514 28 b) Ha 7],72,73 jelli az egyms utn, visszatevs nlkl, vletlenszeren kiv

)=

p {a ) p (b \a ) p (c \b

a ) .

A jobb oldali valsznsgek: P(A) = 90 . 230

lasztott hibtlan tranzisztor vlasztsnak esemnyt, akkor a P(T{T2 T^ ) valszn

229

sget kell meghatroznunk. Mivel

56P(TO = 1 6 -4

VALOSZINUSEGSZAMITAS2 4

2 . 2 . A teljes valsznsg ttele

57

16

akkor 4 ~ = ~ , s minthogy hrom klcsnsen fggetlen t vezet a piros golykJ O O hoz, ezrt egy piros goly kiemelsnek p valsznsgt a hrom t valsznsgei nek sszege adja: n_ 14 n -1 4 ^ 1 K I 3 _ 2 ^ 3 10 3 6 3 8 15 1 ^ 1 _ 113 18 8 360 '

P(.T,

s gy az ltalnos szorzsi szably szerint a keresett valsznsg: p ( W 3 ) = P ( r ,) - P ( f 2 |r ,) .F ( r 3 |r ,f 2 ) = | - ^ - | l = o,i6

Megjegyzs Adott, vges valsznsgekkel rendelkez vges szm ksrlet sorozatokat (vges sztochasztikus folyamatokat) clszer n. fadia gramon szemlltetni. A fadiagramot gy ksztjk el, hogy egy kezdpontbl (a gykrbl) kiindulva utakat (gakat) rajzolunk az els ksrletsorozat egymst kizr esemnyeihez, s az utakhoz a megfelel valsznsgeket rjuk fel. E pontokbl a kvetkez k srletsorozat esemnyeihez szintn megrajzoljuk az utakat, a meg felel valsznsgekkel elltva, stb. A kezdponttl a vgponthoz vezet utak mindegyike a ksrletsorozat egy kimenetelnek felel meg. A feltteles s a teljes valsznsg tteleibl egyrszt kvetkezik, hogy a ksrletsorozat egy-egy tja ltal meghatrozott esemnynek valsznsgt az t menti valsznsgek szorzata adja, msrszt, ha az esemnyhez tbb t tartozik, akkor a teljes valsznsget az egyes utakhoz tartoz valsznsgek sszegeknt kapjuk.Plda Adott hrom urna, amelyeket A-val, B-vel s C-vel jellnk. Az A-ban 6 fehr s 4 piros, a -ben 5 fehr s 1 piros, a C-ben 5 fehr s 3 piros goly van. A vlet lenszeren kivlasztott urnbl emeljnk ki ugyancsak vletlenszeren egy golyt. Mi a p valsznsge annak, hogy piros golyt emeltnk ki az urnbl? Megolds A sztochasztikus folyamat most kt ksrletbl ll: az urna kivlasztsbl s a fehr (F) vagy piros {P) goly kivlasztsbl. A fadiagramot a 8. bra szemllteti. Ha az A urnt vlasztottuk, akkor a piros goly kiemelsnek valsznsge: = 3 10 15 ha a fi urnt vlasztottuk, akkor 3 6 18 ha a C urnt vlasztottuk,

2.2, A teljes valsznsg ttele Egy Q esemnyteret tbbfle mdon is felbonthatunk bizonyos szm esemny sszegre. A lehetsges felbontsok kzl sz munkra az egyik legfontosabb az, amelyik a Q esemnyteret klcsnsen kizr esemnyek sszegre bontja fel. Legyen Aj, A 2 , teljes esemnyrendszer S a A) = i s B egy

tLtetszleges pozitv valsznsg esemny. Ha [ j Aj =Q (9. bra),i=l

akkor B = Q B

= (A j -I- A 2 + . . . -1 -

) B ~

= (A] B) + (A 2 B) + ...+ (A B), ahol az A B (/ = 1, 2 ,..., n) egymst klcsnsen kizr esem ,nyek, gy P{B) = P{A^-B) + P(A2 B ) + ...+ P(A B).

5S

v a l s z n s g s z m t As

2.2. A teljes valsznsg ttelefeltteles valsznsge az F felttel mellett: 90100'p {b \f

59]~ s az M felttel mellett:

A teljes valsznsg ttelt felhasznlva:p {b

)=

f [b \ f )f {f

) + p (b \m )p {m ) =

100 100

90 82 100 100

1260 + 7380

10000

= 0,

Teht 0,86 vagyis 86% annak a valsznsge, hogy a vletlenl kivlasztott hallgat a sikeresen vizsgzottak kzl val.

A szorzsi ttel alkalmazsval P(B) a kvetkez alakban is felrhat: P(B) = P ( A 0 P ( b \A0 + P(A2)P(B\A2)+...+ P(A )P(f|A ), (3) P { A i ) ^ 0 (i = l, 2 ,...,n ) Ezt a formult a teljes valsznsg ttelnek nevezzk. A teljes valsznsg ttele teht azt fejezi ki, hogy ha Aj, A2, A egymst pronknt kizr, pozitv valsznisg esemnyekn

2. Egy remgyjt dobozban 19 darab tforintos van, melyek kzl 12 db a 2000. vben, a tbbi pedig 1997. vben kszlt. Egy rdekld szmra vletlenszeren 3 rmt kivesznk, s visszatevs eltt mindhrmat megjelljk. A kvetkez rdek ld szmra ismt kivesznk tallomra 3 rmt. Mennyi a valsznsge annak, hogy a msodszor kivett hrom rme nincs megjellve, s 2000. vben kszlt? Megolds A krdses esemnyt jellje A, Bj { j = 0,1,2,3) pedig azt az esemnyt, hogy az elszr vlasztott 3 rme kzl j darab 2000-ben vert rme volt. Elszr meghat rozzuk az A esemny feltteles valsznsgt Bj felttel mellett. 3 rme sszes lehetsges kivlasztsnak szmt 19 elem 3-ad osztly kombincii adjk: n = Cjg 3 = "1 9'^ = 969. A 12 db 2000. vben vert rme kzl j db s a korbban vert 7 rme kzl 73 - j

s ^ /^ ( A ,) = 1 , akkor tetszleges B esemny valsznsgt a (3)i=

kplete szerint lehet kiszmtani, amelyet P(B) = {A )p (b |A,) alakban szoks megadni.Pldk 1. Az vfolyam matematika szakos hallgatinak 90%-a, fizika szakos hallgati nak 70%-a sikeresen vizsgzott. A fizika szakosok az vfolyam 18%-t teszik ki. Mennyi a valsznsge annak, hogy egy vletlenl kivlasztott hallgat a sikeresen vizsgzottak kzl val? Megolds Legyen B a krdses esemny. Az F esemny jelentse azt, hogy a kivlasztott hallgat fizikus, az M pedig azt, hogy matematikus. A fizikus hallgat kivlasz tsnak eslye: a matematikus hallgat: p (m ) = ^ ^ . A B esemny

kivlasztsnak lehetsges szma: Ci 2 j = 3~j db kivlasztsnak lehetsges szma:

(3)

vagyis a kedvez

esetek szma: ki - C,2, / C7 3.^ =

"12 " ^ 1 j J 3-71

A Bj esemny valsznsge:

3-7

( ; = 0,1,2,3).

Ha elszr j db 2000-ben vert rmt vlasztottunk, akkor msodszor 3 db nem megjellt 2000-ben vert rmt csak 1 2 - j db nem megjellt 2000-ben vert rme kzl vlaszthatunk. A lehetsges kedvez vlasztsok szma: '1 2 - 7 ^12-7,3 -

60

VALSZNSGSZMTS

2.2.1. Bayes ttele

61

Teht az A esemny feltteles valsznsge Bj felttel mellett:

P {\B ) =

P (A i)P (B A i) P(A^)P(B A^)+P(A2)P(B A2)+...+P(A^)P(B

( 2)

3

( j - 0,1,2,3).

( = l,2,...,,n). Ezt a formult nevezzk jBajes-ttelnek.

Most alkalmazzuk a teljes valsznsg ttelt: 1 3-

Ha teht az Aj, A2,

A egymst pronknt kizr pozitv van

3

3

P(A)=J^P(A\Bj)P(Bj)=J^j =0 j =0

lsznsg esemnyek, amelyekre ^ p ( a , ' )= 1, akkor tetszlegesi =l

pozitv valsznsg B esemnyre s brmely /-re fennll a (2) sszefggs-, amelyet-(220-1-35 + 1 6 5 -1 2 -2 1 + 1 2 0 -6 6 '7 + 8 4 -2 2 0 -1)= 969"t|

= 0,13. 938961

Teht 0,13 annak a valsznsge, hogy msodszorra 3 db nem megjellt 2000ben vert tforintos rmt vesznk ki.

Ha;= i

( , = ( 2 * )

2.2.1. Bayes ttele A teljes esemnyrendszerrel kapcsolatban gyakran nem a B ese mny valsznsgt kell meghatroznunk, hanem azt, hogy a B esemny bekvetkezsben az esemnyrendszer egyes esem nyei milyen szerepet jtszanak. A krds a kvetkezkppen is megfogalmazhat; ha B bekvetkezett, mi annak a valsznsge, hogy ez pontosan az esemnyrendszer Aj (-edik) esemnynek bekvetkezsvel egytt valsult meg. Az Aj esemnyek B esemnyre vonatkoz feltteles valsznsgeit minden i-re a ( 1) kplettel szmthatjuk. A (1) kpletbe P(B) helyett helyettestsk a 2.2. pont (3) kife jezs jobb oldalt, a P(A,- B) helyett pedig a neki megfelel P(Ai)P(B Aj) kifejezst, akkor a kvetkez sszefggst kapjuk: alakban szoks megadni. Az (2*) formulbl lthat, hogy a Bayesttelt akkor alkalmazzuk, ha egy teljes esemnyrendszer valamelyik esemnynek feltteles valsznsgt kell meghatrozni, ismerve a feltteli esemnynek az esemnyrendszer elemeire vonatkoz fel tteles valsznsgeit, valamint a teljes esemnyrendszer minden elemnek valsznsgeit.Pldk 1. A 2. fejezet 2.1. pontjnak 2. pldjban szerepl adatok felhasznlsval ha trozzuk meg a) az A esemny valsznsgt a teljes valsznsg ttelvel is, s b) annak valsznsgt, hogy egy betegsgen tesett tanult kivlasztva, az a fik kzl val; lnyok kzl val. Megolds a) Az esemny s komplementere mindig teljes esemnyrendszert alkot, ezrt a

B, B teljes esemnyrendszer. Alkalmazhat teht a teljes valsznsg ttele: p ( a ) = p (A |fi)p(fi)+ ^ VI / wp (a

V

/* \ /

100 230p [a

+

~ = = 0,39, 120 230 230

ami megegyezik a kzvetlenl szmtott

) -val.

62

VALOSZINUSEGSZAMITAS

2.3. Esemnyek fggetlensgeA Bj esemny valsznsge:

63

b) Bayes-ttd felhasznlsval szmtjuk ki annak valsznsgt, hogy a be tegsgen tesett tanul a fik kzl val:

a B2 esemny valsznsge: 230 lnyok kzl val: A fi] esemny A felttel melletti feltteles valsznsgnek kiszmtshoz a W ) 90 230 90 Bayes-ttdt alkalmazzuk, melyhez szksgnk van az A esemny fij, s B 2 felttel melletti feltteles valsznsgre is: 45 jO 10000 60 .. P(BO 10 60 45 9

2.

Egy mhelyben gyrtott sszes alkatrsz 50%-t a G] gp 3%-os selejttel,

10000

2000

30%-t a 2 gp 4%-os selejttel, 20%-t pedig a G3 gp 5%-os selejttel gyrtja. a) Mi a valsznsge annak, hogy egy vletlenl kiemelt alkatrsz selejtes? b) Ha a vletlenl kivlasztott alkatrsz selejtes, mi a valsznsge annak, hogy az a G\ gp termke? Megolds A selejtes alkatrsz vlasztsnak esemnyt jellje Z, akkor a teljes valszn sg 2.2. pont (3) kplete szerint P{Z) = P(G^ )P(Z|Gi ) + P(G2 )P(z|G 2 ) + P(G3 )?(Z|G3 ) = = 0,50 0,03 + 0,30 0,04 + 0,20 0,05 = 0,037. Annak valsznsgt, hogy a selejtes alkatrszt a Gj gp gyrtotta a Bayes-ttel (2) kpletvel szmthatjuk ki: P(G,\ Z) = es gy P(A\ b OP ( BO P a Ir X '

8 ^ _ 100 '6 0 PB 2 ) ^ 60

8 100

2 25

P ( B i \ A) = -

2000 6

PiAB0PiBy) + P(A\B2)P{B2)

5 ,A i

- 0,22.

2000 6 25 6 Teht 0,22 annak a valsznsge, hogy a szvbetegsget feltntet kivlasztott karton n beteg.

P(Gi )P(Z|Gi )___________ _P(Gi )P{ Z G ,) + P(G2 ) P( Z G 2 ) + P{Gj )P(Z|G3 ) ^ ___________ 0,50 0,03___________ 0,50 0,03+ 0,30 0,04+ 0,20 0,05 0,015 0,037 15 37 ~q

2.3. Esem nyek fggetlensge ltalban fggetlennek mondunk kt esemnyt, ha nincsenek hats sal egymsra, vagy ms szval, ha az egyik bekvetkezse nem befolysolja a msik bekvetkezst. Matematikailag akkor tekint jk fggetlennek a kt esemnyt, ha az egyik bekvetkezse nincs hatssal a msik bekvetkezsnek valsznsgre. Definci. Legyen A s B kt tetszleges vletlen esemny. Az A s B egymstl fggetlen esemnyek, ha P ( A B ) = P(A)P(B)jelentse azt,

'

3. Egy krhzban 50 nt s 10 frfit polnak. A frfiak 8%-a, a nk 0,45%-a szvbeteg. A betegsgeket ler kartonok kzl vletlenszeren egyet kivlasztva, azt ltjuk, hogy a karton szvbeteg. Mennyi a valsznsge annak, hogy a karton n beteg? Megolds Az A esemny jelentse azt, hogy a kivlasztott karton szvbeteg,

(1)

hogy a kivlasztott karton n beteg, B 2 pedig jelentse azt, hogy a karton frfi beteg.

vagyis, ha. A s B egyttes bekvetkezsnek valsznsge egyen l A s fi valsznsgeinek szorzatval.

64

VALSZNSGSZMTS

2.3. Esemnyek fggetlensge

65

Ha A s 5 fggetlen esemnyek s P{B) > 0, akkor P{A B)-P(A), vagyis az A feltteles valsznsge a B felttel mellett egyenl az A valsznsgvel, azaz a B esemny bekvetkezse nem vltoz tatja meg A bekvetkezsnek eslyeit. Ha az (1) felttel nem telje sl, akkor az A s B esemnyek nem fggetlenek. ltalban n esemnyt (n = 2 ,3 ,...) fggetlennek neveznk, ha akrhnyat kivlasztva kzlk, azok egyttes bekvetkezsnek valsznsge egyenl valsznsgeik szorzatval. Az Aj, Aj,..., A esemnyekrl teht azt mondjuk, hogy {teljesen) fggetlenek, ha brhogyan kivlasztva kzlk A,-^, A j ^ , ..., A esemnyeket, ,-^ teljesl a ,P (A , A A: ) = P(A , )P(A- ) . . . P(A: ) , (k = 2 ,3 ,...,n) (1 *)

2. Az A, B s C esemnyek fggetlenek, ha a hrom esemny pronknt fg getlen, azaz P { A n B ) = P{A)PiB), P { A n C ) = P{A)P{C), P { B n C ) = P{B)P{ C) s teljesl mg a P { A n B n C ) = P( A) P( B) P( C) {*) felttel is. Vegyk szre, hogy a teljes fggetlensghez a pronknti fggetlensg nem elegend. 3. Kt szablyos pnzrme feldobsa a Q = {f F , F I J F , I I } esemnyteret alkotja. Az esemnyek egyenl valsznsgek. Vizsgljuk meg az A, B s C esemnyek fggetlensgt, ha A ^ {f f , F i i B = {f F, I f I C = {f I,IF}. Megolds A z A, B s C esemnyek valsznsgei: P{A) = P { B) : ^ Pi C) = ^ = ^ s P(AB) = P{{FF}) = 1 P{ AC) = P({ f i ]) = 1

egyenlsg, azaz brmely tetszlegesen kivlasztott k-szm k lnbz esemny egyttes bekvetkezsnek valsznsge az egyes esemnyek valsznsgnek szorzatval egyenl. Ez 2'^ - n - l felttel teljeslst kveteli meg. Ha az (1 *) csak k = 2 -re, vagy csak k = 3 -ra, ... teljesl, akkor A esemnyek pronknt, hrazt mondjuk, hogy az A], A j, mnknt, stb.-knt fggetlenek.Pldk 1. Egy kocka feldobsnak eredmnye lehet pros szm s pratlan szm. A p ros szm dobsnak esemnye legyen A, a pratlan szm dobs pedig B. Vizsgl juk meg az A s B esemnyek fggetlensgt. Megolds Pros s pratlan szm dobsa egyszerre nem kvetkezhet be, teht A s B egymst kizr esemnyek, azaz P(AB) = 0. A z A s B esemny bekvetkezsnek valsznsge: P { A ) = ^ = ~ , P { B ) = ^ = -^, teht6 2 o /

P(BC) = P{{ i f } ) = ^ . A pronknti fggetlensg felttelei teljeslnek, ui. P{AB) = P{A)P{ B) = \ - \ ^ ^ , stb. 2 2 4 A (*) felttel azonban nem teljesl, mivel ABC = 0 s gy P{ABC) = P ( 0 )

- 0 ^ P{A)P(B)P{ C) , vagyis a hrom esemny nem fggetlen.

Megjegyzs Ha az A s fi fggetlen esemnyek, akkor a) az A s B esemnyek is fggetlenek; b) az A s B valamint az A s B esemnyek is fggetlenek. Ui. P(A n B ) = P ( A u B ) = 1 - P ( A u 5 ) =

Mivel 0 = P{AB)

P { A ) P { B ) - , az (1) felttel nem teljesl, ezrt az A s B

= l-P (A )-P (B ) + P(AnB) = = 1 P(A) P(B) + P(A)P(B) =-

esemnyek nem fggetlenek.

= [l-PiA)][l-P{B)]=P(A)P(B).A b) llts hasonlan lthat be.

66

VALSZNSGSZMTS

E. 2. Ellenrz krdsek a 2. fejezethez

67

4. Egy irodban kt szmtgp egymstl fggetlenl mkdik. A z egyik sz mtgp mszakonknt] meghibsodsnak valsznsge 0,3, a msik szmtgp pedig 0,2. Mi a valsznsge annak, hogy legalbb egy mszak idtartama alatt egyik szmtgp sem hibsodik meg? Megolds Ha A-val jelljk az egyik szmtgp s -vel a msik szmtgp mszakon belli meghibsodsnak esemnyt, akkor P{A) = 0,3, s P{B) = 0,2. Azt az ese mnyt, hogy legalbb egy mszakon bell egyik szmtgp sem hibsodik meg, A s B esemnyek ellenttvel, azaz AB -vei adhatjuk meg. A fggetlensg figye lembevtelvel P(A B) = P ( A ) P ( B ) = (1 - 0 ,3 ) (1 - 0 ,2 ) = 0,7 0,8 = 0,56. Teht 0,56 annak valsznsge, hogy egy mszakon bell egyik szmtgp sem hibsodik meg. 5. Egy zem raktrban gumicsizmk s bakancsok vannak. Annak valszns ge, hogy egy munks tevkenysghez csizmt, ill. bakancsot ignyel 0,8, ill. 0,5. Ha mindegyik munks csak egy lbbelit visz el, mennyi a valsznsge annak az Aval jellt esemnynek, hogy 6 munks egyms utn csak csizmt vagy 6 munks egyms utn csak bakancsot visz el? Megolds Legyen B esemny az, hogy mind a hat munks egyms utn egy-egy csizmt ignyel, C esemny pedig az, hogy mind a hat munks bakancsot ignyel. Nyilvn val, hogy a B s C esemnyek egymst kizrjk, teht az A valsznsgt a B s C valsznsgnek sszegeknt meghatrozhatjuk, azaz P{A) = P(B + C) = P{B) + P{C). Mivel a csizma ignylsnek valsznsge 0,8, gy a 6 egyms utni ignyls valsznsge: P (fi) = 0,8^ = 0,2 6 2 1 4 4 s hasonlan: P(C) = 0,5*^ = 0,015625, vagyis P{A) = P(B) + P{C) = 0,262144 -f 0,015625 = 0,28. = Teht 0,28 annak valsznsge, hogy mind a 6 munks egyms utn csizmt vagy bakancsot ignyel.

akkor P{AB) = 0, de AB nem lehetetlen esemny, akkor A s B egymst kizr esemnyek. Hasonlan, kt egymst kizr ese mny csak akkor fggetlen, ha legalbb az egyik esemny bekvet kezsnek valsznsge 0 . E.2. Ellenrz krdsek a 2. fejezethez 1. Hogyan definiljuk a feltteles valsznsget? 2. Milyen esemnytren rtelmezzk a feltteles relatv gyakori sgot? 3. Hogyan rtelmezzk a valsznsgek szorzsi ttelt? 4. Hogyan alkalmazzuk a fadiagramot valsznsgek kiszmt sra? 5. Mit mond ki a teljes valsznsg ttele? 6. Hogyan szrmaztatjuk Bayes ttelt? 7. Hogyan definiljuk az esemnyek fggetlensgt? V.2. Feladatok a 2. fejezethezV .2.1. Dobjunk fel kt szablyos kockt. Mi annak a valsznsge, hogy az egyttes pontszm 10 vagy 10-nl nagyobb, ha a) az 1-es kockval 5-st dobunk,

b) legalbb

az egyik kockval 5-st dobunk.

V.2.2. Az 1,2,,..,9 szmjegyek kzl vletlenl vlasszunk ki kt szmjegyet. Ha a kt szmjegy sszege pros, mi annak valsznsge, hogy mindkt szmjegy pratlan? V.2.3. Bence a jl megkevert 52 lapos bridzs krtyacsomagbl ngy lapot kapott. Ha a ngy lap mindegyike pikk, akkor mi a valsznsge annak, hogy a kvetkez hrom lap kztt is lesz legalbb egy pikk? (A pikk, kr, kr, treff lapok mind egyikbl 13 van.) V.2.4. Egy dobozban 7 hibtlan s 3 hibs alkatrsz van. Ha egyms utn hrom alkatrszt kivesznk a dobozbl, mi a valsznsge annak, hogy az els kett hibt lan, a harmadik pedig hibs lesz? V.2.5. Pongrc a jl megkevert 32 lapos magyar krtyacsomagbl 5 lapot kapott. Mi a valsznsge annak, hogy mindegyik lap zld?

Megjegyzs 1. Ha kt esemny, A s B fggetlen, vagyis P(AB)=P(A)P(B), s mindkt esemny valsznsge pozitv, akkor A s B nem lehet egymst kizr esemny, mivel egyszerre is bekvetkezhetnek, azaz P(AB) 0. Ha azonban az egyik esemny valsznsge 0,

68

VALOSZINUSEGSZAMITAS

V.2. F eladatoka 2. fejezethez

69

V.2.6. Szmtsuk ki az A esemnynek a S-re vonatkoz, valamint a B esemny nek az A-ra vonatkoz feltteles valsznsgt, ha

V.2.12. Egy cip nagykeresked X, F s Z gyrtl vsrol cipket 25, 35, ill. 40%-os arnyban. Az X, Y, ill. Z gyr cipi 5, 4, ill. 2%-ban hibsaknak bizonyultak. Mekkora annak a valsznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott cip a) hibs,

V.2.7. Szmtsuk ki az a)P{A\B)\ b)P{B\A)-,c) P ( A kj B);

b) hibtlan, d)P{ABy, e)P{^A) c) hibs s azt az Y gyr ksztette, d) hibtlan s azt a X gyr ksztette?

valsznsgeket, ha P(A) = V.2.8. Egy vfolyam hallgatinak 25%-a matematikbl, 15%-a fizikbl s 10%-a matematikbl s fizikbl is elgtelenre vizsgzott. Vlasszunk ki egy hallgatt az vfolyambl, s llaptsuk meg: a) Mi a valsznsge annak, hogy matematikbl elgtelen az osztlyzata, ha fizikbl elgtelen? b) Mi a valsznsge annak, hogy fizikbl elgtelen az osztlyzata, ha mate matikbl elgtelen? c) Mi a valsznsge annak, hogy matematikbl vagy fizikbl elgtelen az osztlyzata? V.2.9. Egy ids hzasprnl annak valsznsge, hogy a frfi mg 10 vet l annak valsznsge, hogy a n mg 10 vet l ^ . Szmtsuk ki annak valsz nsgt, hogy a) mindketten lnek mg 10 vet; b) legalbb az egyik l mg 10 vet; c) egyikk sem l mg 10 vet; d) csak a n l mg 10 vet. V.2.10. Balzs, Robin s Nndor egy cltblra lnek. A tallat valsznsge a sorrend szerint hogy a) kzlk csak egy tall a cltblba; b) ha egy tallat van, akkor azt a lvst Balzs adta le? V.2.11. Egy iskola 2000 dikja kzl a fik szma 1500, a lnyok 500. A szem orvos minden dikot megvizsglt s azt tallta, hogy 60 fi s 50 lny rvidlt. Mekkora valsznsggel a) rvidlt egy vletlenszeren kivlasztott dik; b) rvidlt egy vletlenszeren kivlasztott lny; c) rvidlt egy vletlenszeren kivlasztott fi; d) lny egy vletlenszeren kivlasztott rvidlt? 6 4 3 Mindegyikk egy lvst ad le. Mi a valsznsge annak,

V.2.13. Egy gyrban kt szalagon ugyanazt a termktpust szerelik ssze. Az els szalag mellett gyakorlott szakmunksok 10%-os selejttel, a msodik szalag mellett kezd betantott munksok 20%-os selejttel vgzik a szerelst. Vletlenszeren kivlasztunk mindkt szalagrl lekerlt termkek kzl egyet-egyet. Mekkora annak valsznsge, hogy a) mindkett hibs, b) egyik sem hibs, c) legalbb az egyik hibs, d) pontosan egyik hibs? V.2.14. Egy mhelyben egymstl fggetlenl t forgcsol gp mkdik. Az egyes gpek napi zemszer mkdsnek valsznsge 0,9. Mekkora annak val sznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott napon a) mind az t gp zemszeren mkdik, b) egyik gp sem mkdik, c) legalbb egy gp mkdik, d) legfeljebb egy gp mkdik? V.2.15. Egy zem hrom klnbz termelkenysg gpe ugyanazt a termket gyrtja. Az X gp naponta 10 db-ot, az Y gp 15 db-ot, a Z gp pedig 25 db-ot gyrt. Az X, Y, Z gp naponta gyrtott termkei kztt tlagosan szpsghibs 0,3, 0,9, ill. 0,5 db. Az egy nap gyrtott sszes termket tartalmaz ldbl vletlenszeren kive sznk egyet s megllaptjuk, hogy szpsghibs. Mekkora a valsznsge annak, hogy azt az X gp gyrtotta?

HARMADIK FEJEZET Valsznsgi vltozk s jellemzik Egy ksrlet ltal meghatrozott valsznsgi mez ismeretben rendelkeznk azokkal az informcikkal, amelyek lehetv teszik a ksrlet rszletes vizsglatt. Az esemnytr esemnyeinek vizsg lata helyett clszerbb az esemnyekhez rendelt, megfelelen r telmezett vals szmokkal vgezni vizsglatainkat. Amennyiben az esemnytren rtelmeznk egy vals rtk fggvnyt, akkor az analzis jl kidolgozott eszkzeivel is elemezhetjk a vletlen jelen sgek trvnyszersgeit. Tekintsk pldul az els fejezetben trgyalt kockadobssal vg zett ksrletet. Lttuk, hogy a Q esemnytr hat elemi esemnyt tartalmaz: Aj az 1-es dobs, a 2-es dobs,... \ a 6-os dobs esemnye. Mindegyik esemny valsznsge6

azaz P (A ;)= ,6

{i = 1,2,...,6). Ezt a jelensget a kvetkez mdon is megfogal mazhatjuk: A kockadobs kimenetelt egy olyan X vltoznak tekintjk, amelynek rtkei, a lehetsges eredmnyek, az 1, 2, 3, 4, 5 s a 6 szmok. Az X minden dobsnl ezek kzl csak egy rtket vehet fel, spedig \6

valsznsggel. Vizsglhatjuk pl. a 3-nl na-

gyobb szm dobsnak, vagy a 2 s 5 kztti szm dobsnak val sznsgt is stb. Az X vltoz jelentheti pl. a Balaton viznek vletlenszeren kivlasztott idpontokban mrt hmrsklett, egy clgpen gyrtott termk vletlenszeren kivlasztott darabjnak valamely mrett, stb. Az ilyen vltoz rtkei vletlentl fgg szmrtkek. Definci. Ha egy ksrlet minden lehetsges kimenetelhez, azaz a ksrlet teljes esemnyrendszere mindegyik elemi esemnyhez egyrtelmen hozzrendelnk egy-egy vals szmot, akkor a Q halmazon egy vals rtk fggvnyt rtelmeznk. Ezt a fggvnyt valsznsgi vltoznak nevezzk s X-szel (ltalban az bc dlt nagybetivel) jelljk.

72

VALSZNSGSZMTS

3.1. Diszkrt valsznsgi vltoz

73

A valsznsgi vltoz jellsre a X helyett a ^ grg bett is hasznljuk. Ha egy ksrlet sorn az Aj elemi esemny kvetkezik be, s eh hez az Xi rtket rendeljk, akkor ezt az X valsznsgi vltoz egy lehetsges rtknek mondjuk s az X= x,-

Definci. Az X (Q) halmazonv(xi) = P i = P ( X = X i ) = (1 )

jellst hasznljuk.

kplettel adott fggvnyt, az X vltoz valsznsgeloszlsnak, az F(x)= Y^piXi0,Pldk 1. Egy kockadobs 1, 2, 3, 4, 5, 6 kimenetelei legyenek az X valsznsgi vlto z rtkei. Adjuk meg az X valsznsgeloszlst s eloszlsfggvnynek rtkeit. Megolds Mivel a kockadobs kimenetelei kzl brmelyik kezhet be, gy X valsznsgeloszlsa:

(- l,2 ,...,n )

s

b) 'Y,v(Xi) = l.= l

valsznsgek. Ezt gy is mondjuk, hogy pi annak a valszns ge, hogy az X valsznsgi vltoz felveszi az x^ (/ = 1 ,2 ,..., n) rtket. Ha Z ( ) = {x|, mezt kapunk.^2 ,

x}, akkor az x^ (/ = 1 ,2 ,..., n) pontok

ban kpzett Pl = P ( X = xi) valsznsgekkel egy valsznsgi

6

valsznsggel kvet-

741 Pi 1 6 2 1 6 3 1 6

VALSZNSGSZMTS4 1 6 5 1 6 6 1 6

3.1.1. A vrhat rtk(4] l 3 3^ > 2 7'' i 4] 4 0 0.03.

75

-A ..

'35''

18 35

Mivel X 1-nl kisebb rtket nem vehet fel, gy x < 1 esetn F{ x) =P{ X 6 , akkor F ( x ) - P { X < x)=P{Q)=^l, mivel az { x < x} biztos esemny. Ha l < x < 2 , akkor X valsznsgi vltoz az (1*) formulnak megfelelen csak x-n\ kisebb rtket vehet fel, vagyis az 1 szmot, teht F(x) = P { X = l ) = ~ - Hasonlan kapjuk, hogy 2 < x < 3 esetn X felveheti az P3=P (X =3)= . f4 ]f3 ) 3 1 12 = ~ = 0 ,3 4 ;

P 4 -F (X = 4 )= .

6

Teht a krdses X diszkrt valsznsgi vltoz tblzatosn adott eloszlsa: Xi 1 2 0,51 3 0,34 4 0,03 YjPi

1 s 2 rtket, azaz F{x) = P ( X < x ) = ^ , stb. Teht az X eloszlsfggvnye: o

0, ha X < 1 Dl 6 h a i< x < 2 2 ha20 jy )-v e i

s/= 1 ;= 1

=l

s minden

{xi, y j )

rendezett prhoz rendel

jk hozz a P{ X=Xi , Y=y j ) valsznsget, melyet jellnk. Definci. Az X ( Q ) x Y ( Q ) halmazon rtelmezett w( x i , y j ) = P( X =Xi , Y = y j ),

feltteleknek. Az X s y valsznsgi vltozk egyttes vrhat rtkt ^ =^l,XjyjW (xi,yj) ij

(3)

( = l,2,...,rt;j = l,2,...,m )

( 1)

fggvnyt az X s Y, ill. (X ;F ) valsznsgi vektorvltoz egyttes eloszlsnak vagy egyttes diszkrt valsznsgelosz lsnak nevezzk. Az X s 7 egyttes eloszlst az albbi tblzattal adjuk meg: X\Y Xi X2yl yi Jm.

formulval szmtjuk ki, ahol az sszegezst i, s j indexek minden lehetsges rtkre vgezzk, ugyangy, mint az elbbi kpletben. Ha X s Ffggetlen valsznsgi vltozk, akkor az egyttes el oszls:w(xi,yj)=^v(xi)-u(yj). Plda Kt szablyos kockval dobsokat vgezve - mint azt a 3.1.1. pont pldjban lttuk - a esemnyteret 36 rendezett szmpr alkotja: = { ( U ) ,( m ...,( 6 ,5 ) ,( 6 ,6 ) } . Az X valsznsgi vltoz rtke a Q elemeit kpez (a,b) szmprokbl mindig a nagyobbik szmmal legyen egyenl, azaz X( a , b ) = ma.x(a,b} , az Y vltoz rtke pedig mindig az (a,b) szmprok sszege legyen, azaz Y{a,b) = a + b, vagyis

X sor

w (xi,y i) w (x2,yi)

w(xi,y2) w(x2,y2)

w (x i,y jw(X2 , y m )

V(X2)

X() = {l,2,3,4,5,6} s Y{Q) = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Az X( Q) X Y(Q) Descartes-szorzat a Q* esemnyteret lltja el: X ( Q ) x V(Q) = {(1,2), (1,3),..., (6,11), (6,12)}.

Xn X oszlop

W(JC, J l) u{y\)

w(Xn,y2) u(y2)M( j m)

HXn)

Ksztsk el az X s Y vltozk egyttes eloszlsnak tblzatt s szmtsuk ki a) az M ( X Y ) = ' ^ X i y j W( x / , y j ) vrhat rtket, iJ b) adjuk meg az F{x, y) eloszlsfggvny nhny rtkt,

A tblzatban a v(x,) jelli az j-edik sor elemeinek, dig a j-edik oszlop elemeinek az sszegt:m H xi) = X ; =1 3'j n ^= S } j )

pe

ej X s y vltozk perem-elos zlsfggvnyt, d) szmtsuk ki az eloszlsfggvny rtkt x = 2,5, y = 3,6 helyen egyttesen,

ill. kln-kln. ( 2) Megolds A max(a,Z>) = 1 s a + b - 2 kzl, teht w(l,2) csak egyszer fordulhat el a lehetsges kimenetelek

amelyeket marginlis (hatr-)eloszlsoknak vagy peremeloszl soknak neveznk az X, ill. az Y vltozkra vonatkozlag.

Ha a szmprok kzl egyik sem nagyobb 1-nl, akkor 2-nl

nagyobb dobs nem jhet ltre, teht w ( l , y j ) = 0, ha y j = 3 ,4 ,...,1 2 . Hasonlan

VALSZNSGSZMTSkapjuk a w(2,2) = 0, w(2,3) = ^ , w(2,4) = , w(2,5) = 0, stb rtkeket. Az egyt tes eloszls s a peremeloszls tblzata, teht a kvetkez:

3.1.5. A valsznsgi vltozk kztti kapcsolat szorossga

89

c) Az X vltoz perem-eloszlsfggvnyt az X marginlis eloszlsnak sszege zsvel kapjuk: ha X < 1

101/36 2/36 1/36 2/36 2/36 1/36 0 0

12 1/36 3/36 5/36 7/36

36 36 _9_ Fx) = 36 36

ha 1 < X < 2 ha 2 < X < 3 ha 3< X 0, ha

Az X hipergeometiikus vltoz eloszlst a 30. bra szemllteti.

0 ,4 .. 0 ,3 6 0 ,3 .. 0 ,2 6 -0 ,2 3 --

.-! 1o j f ( x ) d x = ^Odx+ ^x^dx+ ^Qdx =0

0 ,2 "0 ,1 .0 ,0 7 --

- r + 4r-

-fO =

0 ,0 1 ..0 1 2 3 4 5

-f6

2 7

3

30. bra. Hipergeometrikus eloszls

Teht az adott/fggvny valban srsgfggvny, melynek grfja (31. bra.):

4.2. Folytonos eloszlsok Az elzekben hrom nevezetes diszkrt valsznsgi eloszlssal ismerkedtnk meg: a binomilis, a Poisson- s a hipergeometrikus eloszlssal. A kvetkez pontokban folytonos eloszlsokat trgya lunk. A folytonos eloszlsokat a srsgfggvnyeikkel definil juk, de magadjuk az eloszlsfggvnyeket is. Mivel az X folytonos valsznsgi vltoz egyes konkrt rkeinek valsznsge 0-val egyenl, gy a vltoz jellemzsre a srsgfggvnyt vagy az eloszlsfggvnyt hasznlhatjuk. Megklnbztets s rvidts cljbl a folytonos eloszlsok vrhat rtkt |i-vel, szrsngy zett cj^-tel, szrst pedig a-val fogjuk jellni.Plda Legyen fix ) = 0 h a -l< jc < l egybknt ha x > l , Ha - l < x < l , F(x)= j0 d t+ j j t ^ d t = j

Az X valsznsgi vltoz srsgfggvnynek F{x) eloszlsfggvnye: Ha x < -1 , X F{x) = I Odt = 0 ;

-1-1 ! F{x) = I f ( t ) d t = j O d t + ^ ^ t ^ d t + ^Qdt

2

2=

140Teht az eloszlsfggvny: 0, h a x < - l F(x) = +

VALSZNSGSZMTS

4.2.1. Egyenletes eloszls

141

4.2.1. Egyenletes eloszls Definci. Az X valsznsgi vltozt egyenletes eloszlsnak nevezzk az ] a',b[ intervallumon, ha srsgfggvnye (33. bra): , , ha a < x < b , f(x) = b - a 0 egybknt1

h a - l < j ; < l , melynek grfja (32. bra):

1, ha a: > 1

xeR

(1 )

Azonnal lthat, hogy f { x ) > 0, mivel b - a > 0 , sb b) Az X valsznsgi vltoz vrhat rtke: H = M ( X ) = |x /( x ) = j x ~ x ^ d x = ~ ^ -1 szrsngyzete: a ^ = D \ X ) = ]x^f{x)dx-^ l^ = jx ^ - h ^ d x - O ^ = 1

f(x)dx =

dx b-a

1

b-a

b-a b a

= 1.

A srsgfggvny defincijbl kvetkezik, hogy az egyenle tes eloszls X vltoz eloszlsfggvnye (34. bra); x-a b-a 0, 1,

F( x) = P ( X < x ) =s szrsa: (7 = D ( X ) = ^ = 0,774597.

f(t)dt =

dt b-a

ha X < a; ha. x > b.

(2)

s a vrhat rtk, szrs, szrsngyzet defincii alapjn:c) Ki kell szmtani a p ( |x - / i | < 0 ,2 s) valsznsget: - ;u| < 0,25)= P(;U - 0,25 < X < + 0,25) =

vrhat rtke: szrsa:

l i i =M( X) = a = D(X) =

a+b2

= P (-0 ,2 5 < X < 0,25) = F(0,25) - F (-0 ,2 5 ) = = = 0 ,5 0 7 8 -0 .4 9 2 1 = 0,0157. Teht az X a vrhat rtktl 0,25-dal legfeljebb 0,0157 valsznsggel tr el.

b-aV I

A folytonos valsznsgi vltozk eloszlsainak vizsglatt l talban a bemutatott pldhoz hasonlan vgezhetjk. A nevezete sebb folytonos eloszlsok kzl a kvetkez pontokban az egyen letes eloszlst, az exponencilis eloszlst s a normlis eloszlst trgyaljuk rszletesebben.

szrsngyzete:

142

VALSZNSGSZMTS

4.2.1. Egyenletes eloszls

143

Ui. a vrhat rtk: M (X )= \ x - f { x ) d x =

Ha feltesszk, hogy X egyenletes eloszls az \a ,b \ intervallum ban, akkor annak valsznsge, hogy X az Jr, s b-a h-a vallumba esik P{r 0; (1 ) 36. bra. X exponencilis eloszls vltoz srsgfggvnye

0,

ha ;c < 0

ahol a A lland tetszleges pozitv szm, az eloszls paramtere (36. bra). A feltteleknek eleget tesz a z /, mivel / > 0 s f ( X )dx = Xe ^ d x =0

= hm e ~ ^ d x = lim

= 0 + 1 = 1.

Mint lthat az exponencilis eloszls valsznsgi vltoz vrhat rtke s szrsa egyenl egymssal. A mdin defincija rtelmben egyszer szmtssal kapjuk a mdin rtkt:m , = M (X )-ln 2 = ^ ,

Az (1) srsgfggvny X valsznsgi vltoz eloszlsfgg vnye (37. bra):X 0,

F(X) = P(X 0; ha jc < 0.

^

(2)

amibl kvetkezik, hogy az X vltoz a vrhat rtknl nagyobb rtkeit kisebb valsznsggel veszi fel, mint a vrhat rtknl kisebb rtkeket, minthogy < M(X).

146

VALSZNSGSZMTS

4.2.3. Normlis eloszls

147

Megjegyzs Exponencilis eloszls pl. a radioaktv atomok lettartama, azaz keletkezsktl az elbomlsig terjed idszakasz hossza, hossz regedsi idtartam berendezsek, alkatrszek meghibsodsai nagy idintervallum alatt stb.Plda Legyen az X valsznsgi vltoz bizonyos tpus alkatrszek meghibsodsig eltelt hasznlati idtartam hossza. Legyen X exponencilis eloszls, amelynek szrsa 500 ra. Hatrozzuk meg az X a) vrhat rtkt;

Definci. Egy X folytonos valsznsgi vltozt m s o param teri! normlis eloszlsnak neveznk, ha srsgfggvnye (38. bra):1 2 e )= 0 vagy lim p{ X - m< E )= i.

(1)

>e

< 11.e^n

(3)

ahol p = P{), q = p {a ) = 1 - p s az A esemny relatv gya s mivel Xi , X 2 , ..., X ^ fggetlen valsznsgi vltozk, ezrt korisga.

164

VALSZNSGSZMTS

V.5. Feladatok az 5. fejezethez

165

2. A 3. ttel akkor is igaz, ha csak azt a felttelt ktjk ki, hogy ltezik az valsznsgi vltozk M ^ X f ) (i = 1,2,...) vrhat rtke.Plda Hnyszor kell egy kockt feldobni, hogy a 6-os dobs valsznsgt annak

V.5. Feladatok az 5. fejezethezV.5.1. Szmtsuk ki, hogy az X pozitv valsznsgi vltoz legfeljebb mekkora valsznsggel vesz fel legalbb 70-es rtket, ha M ( X ) = 20 s D { X ) = 20?

6

relatv gyakorisga legalbb 0,75 valsznsggel 0,15-nl kisebb hibval meg kzeltse, ha a szrsngyzet 0,14? Megolds Jelentse A a 6-os dobs esemnyt. A (3) kpletbe p p q = - ~ ~ ~ 0,14 helyettestssel6

V.5.2. Egy ktlgyrt 35 m hossz kteleket gyrt 0,3 m szrssal. Legfeljebb mennyi annak valsznsge, hogy a ktl hossza legalbb 1 m-rel eltr a vrhat 35 m-es rtktl? V.5,3. Egy gumikesztygyr termkeinek 10%-a hibs. A vev csak akkor haj land a leszlltott ttelt tvenni, ha abban legfeljebb 12% hibs. Hny darabos ttel szlltsra kssn szerzdst a gyr, hogy a hibs kesztyk relatv gyakorisga a megfelel valsznsgtl legalbb 0,95 valsznsggel ne trjen el 0,02-nl na gyobb rtkkel?

q = l--^ = ^6

6

s

6 6

k _ l > 0,15 n 6

0,140,1

Az egyenltlensg bal oldali valsznsgnek 0,15-nl kisebbnek kell lennie, hogy a krdses esemnnyel ellenttes esemny legalbb 0,85 valsznsggel be kvetkezzk, Ennek felttele, hogy 0,14 0,15" n amelybl kiszmthat az n rtke: 0,14 n > = 24,89 - 25. 0,15^-0,25 Teht 25-nl tbbszr kell feldobni a kockt az adott felttelek mellett. < 0,25,

E.5. Ellenrz krdsek az 5. fejezethez 1. Hogyan becslhetjk a vltoz rtkei s vrhat rtke k ztti eltrst? 2. Hogyan becsljk egy esemny relatv gyakorisga s val sznsge kztti eltrst? 3. Miknt rtelmezhet a Csebisev-GgyQnlQnsg s a nagy szmok trvnye?

*^l.'ifi_^/!t;-;;- a-irs.'i' h : \'; i!;r.dUi;:. tj(-'V.>J ,

/ ; ' | ! ! '. / , I k

i !' t : i

C - . i -

''A ; ifil h c c 'I 111-,.! ' :'> I' s . f :; y 11 I;j : ' a * i.n n . -. / n : ');./

^S.-rs'-'uLi' fcj'V- r> l.J iM iii !'

A V'-'eld:-pf.'Vo.,!

ii>'. -f - r ' S ' f

fllc,-?kva'-^- 5> trwxVi--:if - i ; - / " ' rdi,'', .F n / K : : ; i i 1 i v f ; ? = . ! ? ;; '.l .'.

i - n

f ' n

K

i^i^^usj fi'r4 i A

K 'zcp -k

Lr*;k'Ae}ib rc\.\ /eK-t'. > :!:./--e )

II. RSZ

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

ELS FEJEZET1.1. Bevezets Milyen trgykrk tartoznak a matematikai statisztikhoz? A statisztika a tmegj elensgeknl szlelhet tapasztalati trv nyek empirikus mrsek ltali feltrsval foglalkoz tudomny. Szmos termszettudomnynak (fizika, biolgia, stb.) s trsada lomtudomnynak (gazdasgtudomnyok, demogrfia, stb.) nlk lzhetetlen segdeszkze, amely elssorban a valsznsgszmts s a matematikai statisztika eredmnyeire s mdszereire tmasz kodik. A matematikai statisztika a valsznsgszmts egy nll fe jezete, amely a megfigyelsek s mrsek eredmnyeibl az n. statisztikai adatokbl kvetkeztet esemnyek ismeretlen valsz nsgeire vagy valsznsgi vltozk ismeretlen eloszlsfggv nyeire s ezek paramtereire. Kvetkeztetsei n. valsznsgi tletek, amelyeknek a bizonytalansgaibl fakad hatsokat is sz mtsba tudjuk venni. A matematikai statisztika feladata egyrszt az elbbiekben emltett problmk kezelshez - olyan mdszerek kidolgozsa, amelyekkel a jelensgek megfigyelsbl, mrsek tjn ellltott tapasztalati adatokbl a keresett elmleti rtkekre, az eloszlsfggvnyek paramtereire (vrhat rtkre, szrsra) a lehet legtbb informcit nyerhetjk, msrszt az adatokat szol gltat ksrletek optimlis tervezse. Pldul egy darabolgpet adott hosszsg plcikk ellltsra lltottunk be. A plcikk, a gp fizikai llapottl, a leveg hmr sklettl, stb.-tl fggen, a pontos mrettl eltr - hosszabb s

170

A MA TMA TIK AISTA TISZTIKA ELEM EI

1.2. Statisztikai mintavtel

171

rvidebb - mretek is lehetnek. Tapasztalatbl tudjuk, hogy a plcikk X hossza normlis eloszls valsznsgi vltoz. Vlet lenszeren kivlasztunk n plcikt, melyeket lemrve x i , x 2 ,--.,x^ mreteket kapunk. A kapott mrsi eredmnyekbl statisztikai mdszerekkel kiszmtjuk kzelten a vrhat rtket s a szrst, s a tovbbiakban a tervezshez az gy meghatrozott normlis eloszls valsznsgi vltozval vgezhetjk szmtsainkat. Arra a krdsre, hogy egy ismert eloszls X valsznsgi vltoz milyen valsznsggel esik egy adott intervallumba, a valsz nsgszmts tmakrben olyan formulval adhattunk vlaszt, amelyben a vrhat rtk s a szrs is ismert volt. A matematikai statisztikban az ilyen tpus krdsre csak akkor adhatunk vlaszt, ha elbb az adatok alapjn a vrhat rtket s a szrst kzelten meghatrozzuk, rtkeiket megbecsljk. A matematikai statisztika modern elmlete, br egyes mdszerei rgebbi keletek, csak a valsznsgszmts Kolmogorov-fle megalapozsa ta alakult ki. Alapjait a 18. s a 19. szzadban rak tk le. gy pl. T. Bayes (1702-1761) mdszert dolgozott ki az el oszlsok meghatrozsra, P. S. Laplace (1749-1827), K. F. Gauss (1777-1855) s A. Legendre (1752-1833) a becslselmlet megala pozst vgeztk el azzal, hogy kidolgoztk a hibaszmtshoz a legkisebb ngyzetek mdszert. A demogrfiban s az ipari min sgellenrzsben M. V. Osztrogradszkij (1801-1862) alkalmazta a matematikai statisztikt, melynek igen gyors fejldst P. L Csebisev (1821-1894), A. A. Markov (1856-1922), A. M. Ljapunov (1857-1918) s A. Quetelet (1796-1874) munkssga segtette el. A 20. szzadban pedig K. Pearson (1857-1936), Jordn Kroly (1871-1959), R. A. Fisher (1890-1962), Student (eredeti neve: W. S. Gosset (1876-1937), J. Neyman, E. S. Pearson, M. D. Kendall, V. I. Glivenko, A. N. Kolmogorov, A. J. Hincsin, N. V. Szmirnov s B. V. Gnyegyenko kutatsai, valamint az alkalmazs ban elrt eredmnyei hoztk ltre a matematikai statisztika modern elmlett, amelyet a magyar szrmazs Wald brahm a dnts fggvnyek elmletben egyest s ltalnost. A matematikai statisztika elmlete s alkalmazsa szempontjbl jl krlhatrolhat fbb fejezetei: a mintavtel elmlete, a becs lselmlet, a hipotzisvizsglat, a korrelci- s regressziszmts.

a szrselemzs, a faktoranalzis, a ksrletek tervezse s a hiba szmts. Ebben a II. rszben az els ngy trgykrrel foglalko zunk. Azok szmra, akik a tbbi trgykrrel is meg akarnak is merkedni, az irodalomjegyzkben felsorolt mveket ajnljuk. 1.2. Statisztikai mintavtel Hogyan vlasszunk mintt egy alapsokasgbl? A tovbbiakban statisztikai sokasgnak nevezzk az elemek (egyedek) olyan halmazt, amelyeknek tulajdonsgait a matemati kai statisztika fogalmaival s mdszereivel jl jellemezhetjk. Statisztikai sokasgot alkotnak pl. npcsoportok egyedeinek szszessge, klnbz gazatok ltal ellltott termkek, a mezgazdasg llatllomnya. A statisztikai sokasg egsznek vizsglata gyakran kivihetetlen vagy csak igen nagy fradsggal s kltsggel valsthat meg, ezrt a vizsglat cljra kivlasztjuk egy rszt, amelyet statiszti kai mintnak neveznk. A mintavtel azt jelenti, hogy a statiszti kai sokasgbl vletlenszeren tbbszr kivlasztunk bizonyos sz m elemet. Az elemek fggetlen ksrlet vagy megfigyels ered mnyei, azonos eloszls fggetlen valsznsgi vltozk. Pl. egy F{x) eloszlsfuggvny vltozra vonatkozan n mrst vgznk, melynek eredmnyeknt X j , r t k e k e t kapjuk. Tbbszr megismtelve a mrst, az rt kek ltalban klnbznek egymstl. Jelljk a sokasgbl kiv lasztott n elem mintt Xj, X 2 , , -nel. Az egyes vltozk, az egyes megfigyelsek eredmnyei, X-szel azonos eloszlsak s egymstl fggetlenek. gy pl. a folyamatosan gyrtott termkek sszessgt, a gyrtmnysokasgot (az alapsokasgot) minstjk a bizonyos szm vletlenszeren kivlasztott termk, a minta m in sge alapjn. ltalban alapsokasgnak nevezzk az egyedeknek azt a halmazt, amelybl a mintavtel sorn a mintt vesszk. A statisztikai mintavtellel szemben tmasztott alapvet kve telmny, hogy az reprezentatv mintavtel legyen. ltalnos r telemben reprezentatv a vletlen mintavtel, ha minden lehetsges mintnak egyenl valsznsge van a kivlasztsra. Az alapsoka-

172

A M ATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

1.2.1. A statisztikai minta Jellemzi

173

Sgbl kivlasztott Z ], X 2 ,

mintaelemekkel szemben fon

tos kvetelmny, hogy hen tkrzze azt a sokasgot, amelybl val s a lehet legtbb informcit nyjtsa az ismeretlen eloszls rl. Ez elrhet, ha a mintaelemek eloszlsa azonos s az alapsoka sgval is megegyez, tovbb, ha a mintaelemek sszessgkben fggetlen valsznsgi vltozk. Az els kvetelmny azt jelenti, hogy P(Xi (1) n elem mintt. Mivel a minta elemeinek kivlasztsa vletlensze ren trtnik, teht - mint emltettk - azok is valsznsgi vlto zk. Pl. az X valsznsgi vltozra vonatkoz n-elem mrsso rozat rt-szeri elvgzsvel kapott Xii, X^2,.--, Z/n ( = l,2 ,...,n )

eredmnysorozat ltalban nem azonos. gy nyilvnval, hogy az

174

A MATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

I.2 .I. A statisztikai minta jellem zi

175

Xi,

mintaelemek valsznsgi vltozk, X-szel azo

nos eloszlsak s egymstl fggetlenek. Mint a bevezetben emltettk a matematikai statisztika feladata, hogy a mintbl k vetkeztessen az alapsokasg (elmleti) eloszlsra, srsgfgg vnyre s azok paramtereire. Az X vltoz (1) mintaelemei meghatrozzk a tapasztalati{empirikus) vagy mintaeloszlst, amely a tapasztalati eloszlsfggvnnyel vagy a gyakorisgi eloszlssal jellemezhet. A minta elemeibl kiszmtott rtkek a statisztikai fggvnyek, rviden statisztikk, amelyek kzl a legfontosabbak a mintakzp vagy szmtani kzp, a mdin, a mintaterjedelem s a tapasztalati sz rs. A mintaelemekbl alkotott statisztikk alapjn tudunk j in formcikat szerezni az eloszls elmleti jellemzire. Definci. Az (1) n elem minta X mintakzepnek, mintatlag nak vagy szmtani kzepnek (empirikus vrhat rtknek) azn

Az X,; az -edik rendezett mintaelem szintn statisztika, mint hogy az n szm vletlen mintaelem fggvnye. Definci. Az X l^ X 2 ^ ...,X : rendezett mintaelemek kzl a mdin:X *

(4)

ha w = 2m +1 pratlan szm (a (4) kzps eleme) s (5) ha n = 2m pros szm. Definci. A (4) rendezett minta legnagyobb s legkisebb elemnek R klnbsge a mintaterjedelem (empirikus terjedelem) R -x :-X ;. (6)

IX i n kplettel meghatrozott szmrtket nevezzk. A mintatlag vrhat rtke az egsz sokasg vrhat rtke, azaz M( X ) = M( X). Az egyes mintaelemek X,- - X gezve mindig zrus, azaz X (X i-x )= 0 .i=l

n

(2) Definci. Az X j , X 2 , ..., X^ vletlen minta F^(x) tapasztalati (empirikus) eloszlsfggvnyt az 0, ha X < X ^ , ha X^ < X < X ^ 4.j, (jfe = 1 , 2 , 1 ) 1, ha X * < X kplettel hatrozzuk meg, ahol k jelenti az x-nl kisebb mintaele(3) mek szmt, pedig a relatv gyakorisgot. Az 0 < F(x) < 1 tapasztalati eloszlsfggvny monoton, nemk

(7)

eltrse (i = 1 ,2 ,...,n) ssze

Ha az F(x) eloszlsfggvnyrl feltesszk, hogy folytonos, ak kor 1 a valsznsge annak, hogy a mintaelemek kztt kt egyenl rtk nem fordul el. Ekkor a minta elemeit nagysg sze rint rendezhetjk (jellje ezeket Xj ); Xi < X'2

cskken, balrl folytonos lpcss fggvny, a mintaelemek ltal megszabott ugrspontokkal. Azt is mondjuk, hogy az F(x) lp css fggvny minden x helyen felvett rtke az X < x esemny nek a mintbl szmtott relatv gyakorisgval egyenl.

0 statisztikt, relatv szrsnak (varicis tnyeznek) nevezzk. 3. Az (1) minthoz tartoz A:-adik tapasztalati momentum, kiszmtst az

Nagy mintaelemszm esetn az 5 nyagolhat. A tapasztalati szrst az

s s *

kztti eltrs elha ill. a

mj , =~ { X f ^ + x \ + . . . + x '^ ), centrlis momentum kiszmtst 'Lfi(Xi-X)

( k=2, 3, . . . )

(16)

.= 1

i=\

( 12)

a korriglt tapasztalati szrst pedig kplettel vgezzk. Ha a ? osztlykz nem egysgnyi, a (16) helyett ai=\

- ikplettel szmtjuk ki.

n~l

(13) Mt,, =

S /in

(17)

Megjegyzs 1. Osztlykzk kpzsekor, ha a minta elemei adottak az osztlykzkben, akkor a mintatlagotk

formult hasznljuk a ^-adik centrlis momentum kiszmtsra. A gyakorisggal

(14) a tapasztalati szrst, ill. a korriglt tapasztalati szrst 'L fr(^i-x f ------------------ , ill. S* =i=ln-l

hnyadost, azaz a harmadik centrlis momentum s az empirikus szrs harmadik hatvnynak hnyadost empirikus ferdesgi egytthatnak, a

(15)

7 2 = ^ - ^ = ^ -------- 4s n- s

-3

182

A MATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

I.2 .I. A statisztikai minta jellem ziMegolds Elszr kiszmtjuk s tblzatba foglaljuk a szksges rszeredmnyeket. Osztlykzk: mm (^ ;-3 ) (-3 ;-2 ) ( - 2 ; - l) (-1.-0) Osztlykzp Xj mm -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 Gyakorisg: .fi 1 3 4 5 5 4 3 1 I //= 2 6 Relatv gyakorisg: Si 1/26 3/26 4/26 5/26 5/26 4/26 3/26 1/26 ' L s i =1

183

formult pedig a lapultsg em pirikus m r szm nak nevezzk (1. a 3.3.1. pontot). A rendezett minta p-edrend kvantilise az a mintaelem, amelynl kisebb a mintaelemek \00p% -a (0 < p < 1), vagyis ez az elem a rendezett minta [np\ + 1 -edik eleme, ahol rsze.Ha pl. a rendezett minta elemei 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, l ill. 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 akkor a. p = -hez tartoz als (negyedrend) kvantilis az els esetben

'Z S i i 1/26 4/26 8/26 13/26 18/26 22/26 25/26 26/26

[np\ az np szm egsz

(0;1) (1;2) (2;3)

M + l = 16.^a msodik esetben;

+ 1 = [4]+1 = 4 + 1 = 5, (3;4)

M +l =

+ 1 = [4,25]+1 = 4 + 1 = 5. a) Mivel Xj - x,-_, = 1, ezrt intervallumonknt a

Az als kvantilisnek mindkt esetben az

magassg tglalapok ad

jk a hosszsgeltrs srsghisztogramjt (45. bra):

4elemet tekintjk. Teht a mintaelemek rsze, azaz 100 = 25% -a kisebb, mint 4 4 5/26 4/26 3/26 Plda Egy automata darabolgp adott hosszsg plcikkat kszt. Az elksztett plcika hossza legyen az X valsznsgi vltoz. A plcikk hossza az adott hosszsgnl nagyobb is, kisebb is lehet. Tegyk fel, hogy n = 26 mrst vgezve a mreteltrsek szmt mm-es intervallumonknt rgztettk: a 4 s 3 mm kz 1-1, a 3 s 2 mm kz 3-3, a 2 s 1 mm kz 4-4, a 1 s 0 mm kz pedig 5-5 esett. Szerkesszk meg a) a hosszsg eltrs srsghisztogramjt; b) a kzelt tapasztalati eloszlsfggvnyt, s szmtsuk ki c) a mintatlagot; d) a korriglt tapasztalati szrst. -3 -2 -1 0 2/26 1/26

9i

x ;= 5 .

hosszeltrs [mm] 1 2 3 45. bra. Srsghisztogram b) A kzelt tapasztalati eloszlsfggvnyt az 0, h a x < -3,5;

Y ,8 h a e ) < , ha n > N.

Ha a bi = b i ( X i , X 2 , - - - , X^) torztatlan becsls s szrsngy zete n nvekedsvel 0-hoz tart, akkor azt mondjuk, hogy b^ az anak ersen konzisztens becslse. 4. Elgsgessg: Ha a bi =bi (X]^, X 2 , . . . , X^ ) becsls a mintaelemekbl nyerhet minden informcit megad a krdses paramterre vonatkozlag, akkor a = Z,-(X j, X 2,..., ? ) statisztikai fggvnyt elgsges becslsnek vagy elgsges statisztiknak nevezzk. M egjegyzsek 1. Minden eloszls esetn a mintaelemek mintakzepe (3) torz tatlan becsls a vrhat rtkekre, tovbb a mintaelemek korriglt tapasztalati szrsngyzete (4) torztatlan becsls az elmleti sz rsngyzetre. 2. A normlis-, az exponencilis- valamint a Powjon-eloszls vrhat rtkre a mintakzp (3) elgsges becsls.

192

A M ATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

2.1.1. A maximum-likelihood mdszer

193

3. A mintaelemekbl a teljes eloszlsfggvnyt az 1.2.1. pont (7) ill. (8) kpletvel, a becslst pedig a tapasztalati srsgfggvnynyel ill. srsghisztogrammal vgezzk. 2.1.1. A maximum-likelihood mdszer A maximum-likelihood (legnagyobb valsznsg) mdszert jl alkalmazhatjuk annak a statisztiknak a meghatrozsra, amely az ismeretlen paramter legjobb becslst adja az adott informcik mellett. A mdszert R. A. Fisher 1922-ben megjelent cikke tr gyalja rszletesen, br mr korbban is alkalmaztk. Tegyk fel, hogy X i,X 2,...,X az adott minta, amelynek segt sgvel az ismeretlen a paramtert becslni akarjuk. Ha az isme retlen a paramtertl fgg eloszls mintaelemeinek kzs srsg fggvnye f i x ; a ) , akkor a fggetlen mintaelemek egyttes sr sgfggvnye f{x^;a)f{x2^,a)...f(x^^,a)=Y[f(x^,,a)i=l

egyenletbl meghatrozni az d rtkt. Ha a (3) egyenletnek tbb gyke van, akkor a loklis szlsrtkek kzl vlasztjuk ki az abszolt maximum helyet. Ha az a paramtert d -val becsljk, akkor e paramter mellett van a legnagyobb valsznsge annak, hogy a vizsglt minta x j, ^ 2,..., rtkeit figyeljk meg. Diszkrt valsznsgeloszls esetn is alkalmazhat a maxi mum-likelihood mdszer. Ekkor a likelihood-fggvny; L = J J p ( X i ,d Y ' ,i= \

ahol P {X = X,) = p( xi , a) (i = l,2 ,...,m ), s tkek gyakorisga. Megjegyzs

az x^ mintabeli r

1. Ha az a paramtert a maximum-likelihood mdszerrel szm tott d -val becsljk, akkor az a valamely g{a) fggvnynek maximum-likelihood becslse g(d) (invariancia tulajdonsg). 2. A gyakorlat szempontjbl elegenden ltalnos felttelek mellett kimutathat, hogy maximum-likelihood becsls konzisztens s nagy n rtkekre kzeltleg minimlis szrs, valamint ha van az a paramternek elgsges becslse, akkor maximum-likelihood mdszerrel ennek valamely fggvnyt kapjuk. 3. A tbbvltozs fggvny szlsrtk-szmtsi eljrsnak al kalmazsval tbb paramtert tartalmaz valsznsgeloszls ese tn is alkalmazhat a maximum-likelihood mdszer.Plda a) Vizsgljuk meg, hogy a 0 < p < 1 intervallumban folytonos L(p) = fggvnynek hol van maximuma. b) Tegyk fel, hogy egy binomilis eloszls statisztikai sokasgbl vett 25 ele m mintnak 17 eleme az elrt tulajdonsg. A statisztikai sokasgban az elrt tulajdonsg elemek arnyt akarjuk meghatrozni. Szmtsuk ki a valsznsgrtkeket 0,4-tl 0,9-ig 0,5 lpstvolsggal s keressk ki a legnagyobb rtkhez tartoz p rtket.

(1)

ahol x i,x 2,...,x szmok a mintaelemeknek a ksrlet sorn mrt rtkei. Ekkor a maximum-likelihood mdszer szerint az a para mter becslsnek az mintaeiemeknek azt azn

= { X i , X 2 , . . . X fggvnyt nevezzk, melyre azi= l

szorzat a lehet legnagyobb rtket veszi fel, feltve, hogy a maxi mum ltezik s egyrtelm. Feladat, teht az L =Ylf(Xi,a) (2) =l egyparamteres fggvny szlsrtknek meghatrozsa. Mivel egy fggvnynek s logaritmusnak a szlsrtk helyei meg egyeznek, ezrt a (2) szorzatfggvnynl clszerbb a fggvny logaritmusbl szmtani a szlsrtkhelyet, azazd ln L da

=0

(3)

194Megolds a) Kpezzk az L {p )

A M ATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

2.2. Konfidencia-intervallum

195

fggvny els p-szerinti derivltjt, tegyk egyenlv

2.2. Konfidencia-intervallum Gyakran az eloszlsfggvny valamely paramtere pontos rtk nek becslse helyett megelgsznk azzal, hogy a mintaelemek kt statisztikai fggvnyvel megadunk egy intervallumot, amely elrt valsznsggel tartalmazza az ismeretlen paramtert. Definci. Legyen az X valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye F(x\ a), s tegyk fel, hogy az a rgztett ismeretlen paramter rtke valamely {a^; 2 ) intervallumba esik, s tekintsk az X vl toz n elem X |, X^ , nsghez tallhat olyan bi = b i { X i , X 2 , . . . , X ^ \ p ) s b2 =b 2 X i , X 2 , . . . , Xnl p) statisztikai fggvny, hogy a intervallum 1 - p valszn az a X ^ mintjt. Ha egy adott 1 - p valsz

nullval, s az gy kapott egyenletet oldjuk meg p-re: dUp) J dp

/ / (1- pr-^ p '( i- p )s az n-k k__n~k P

= (-1) i-p n-k^ =0\-p

egyenletbl a megolds:

a p raaximum-likelihood becslse, mivel ebben az intervallumban az L {p ) fgg vny alulrl konkv. 25' b) A v{ p) = 17 rtkeket kiszmtva a tblzatbl kzeltleg ki

sggel tartalmazza az a ismeretlen llandt, akkor

paramter konfidencia-intervalluma (megbzhatsgi interval luma) \ - p megbzhatsggal, ahol p egy 0-hoz kzel es kis valsznsg. Ezt gy is mondhatjuk, hogy az a paramtert egy olyan interval lummal becsljk, amely \ - p valsznsggel lefedi az a para mter rtkt. Ezt az intervallumot az a paramter 100(1 - p) % -os konfidencia-intervallumnak, a 100(1- p) % -ot a megbzhatsg szintjnek, az intervallum kezd s vgpontjt pedig konfidencia hatroknak is mondjuk. Az 1 - /? megbzhatsg teht azt jelenti, hogy nagyszm mintavtel esetn a paramter pontos rtkt az esetek 100(1 - p)% -ban tartalmazza az intervallum, s 100p% bn nem. Ha vltozatlan mintanagysgnl cskkentjk a p rtkt, akkor nagyobb megbzhatsgi szintet kapunk, de ltalban az in tervallum is hosszabb lesz. Rgztett megbzhatsgi szinten az intervallum szktshez a mintaelemszm nvelse szksges. Az

olvashatjuk az ismeretlen p rtket kzelt p -t. p 0,4 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 V(P) 0,003121 0,011523 0,032233 0,070133 0,119980 0,160742 0,165080 0,124056 0,062349 0,017495 0,001804 relatv gyakorisggal ka

A maximum kzeltleg a p = 0 , 7 0 0 , 6 8 pott rtknl tallhat, azaz p = 0,68 = 0,70.

intervallum hossza n nvelsvel Vn arnyban cskken. A feje zetben a vrhat rtkre s a szrsra vonatkoz 100(1- p) % -os konfidencia-intervallum meghatrozsval foglalkozunk mg.

196

A M ATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

2.2.1. A vrhat rtk becslse

197

2.2.1. A vrhat rtk becslse Tegyk fel, hogy az X valsznsgi vltoz eloszlsa (eloszlsfggvnye) az a paramtertl fgg, azaz P{ X , =1,96, ezrt a nullhipotzist elvetjk, ugyanis a csokold szeletek vrhat slyrtke 95%os szinten szignifiknsan eltr az elrt slyrtktl.

cm s D{ Y) = Gy = 0 ,7 cm. M( Y ) ellenhipo = 0,975

Vizsgljuk meg a H q : M ( X ) = M{ Y ) nullhipotzist a

b) A ktm ints m-prba. Legyen X s Y kt normlis eloszls valsznsgi vltoz, melyekhez s , F2 . > fggetlen mintk tartoznak, valamint szrsuk, a ^ s Oy , ismert. Ha H o : M ( X ) = M(Y) nullhipotzis teljesl a H .M(X)^M(Y) ellenhipotzissel szemben, akkor az

tzissel szemben 1 - p = 0,95 szignifikanciaszinten. ^{ Up^Q^) = l - ^ mivel p = 0,05, s az 1. sz. tblzatbl Up^ q5 = 1,96.

Mind az A mind a B gp ltal gyrtott hengerek kzl 30-30 db-ot lemrve mintakzepekre X = 16,4 cm s Y =15,7 cm addott. A (2) formula szerint X -Y 1 6 ,4 -1 5 ,7 4,457. =

30 Mivel a kiszmtott u rtk a tblzatbl kiolvasott

30 = 1,96 rtknl nagyobb, nullhipotzist 95%-os

vagyis kvl esik a [-1,96,-1,96] intervallumon, ezrt a szinten el kell vetnnk.

212

A MATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

3.2. Egy- s ktmints t-prba

213

3.2. Egy- s ktmints -prba a) Egy mints -prba. A gyakorlati feladatok tbbsgben a nor mlis eloszls valsznsgi vltozra a vrhat rtk is s a szrs is ismeretlen. Ilyen esetben az

Adott n mintaelemszm s adott p rtkhez a 4. sz. tblzatbl a tp rtket az n - I -edik so rp % oszlopnak megfelel tf tblabeli rtkkel vesszk fel.Pl. ha mintaelemszm n = 21, p = 0,02, akkor a szabadsgfok 20, teht tp r

tkt a 4. sz. tblzat 20. sornak 5% fejlc oszlopbl olvassuk ki, amely ^ /)=(),02 = h - 2,528. Plda

n- korriglt szrsngyzet kiszmtsa utn a H Q : M ( X ) = mo nullhipotzis ellenrzsre a (1) prbastatisztikt kpezzk. Ez n - 1 szabadsgfok (1-gyel csk kentett mintaelemszm) Student-eloszls vltoz. A Studenteloszls tblzatbl adott p-hez meghatrozhat az a (tb labeli) rtk, amelyrep [ - t^ < t< tp )= \-p (2 )

Egy konzervdoboztlt adagolautomata 1000 g anyag betltsre van belltva. Mintavtel sorn az albbi rtkeket kaptuk: 985 991 987 994 1003 1004 993 1002 996 985

Vizsgljuk meg, hogy 95%-os biztonsgi szinten teljesl-e a vrhat rtkre az niQ = 1000 g elrs, azaz H q - . M( X) = niQ= 1000 hipotzis. Megolds Normlis eloszlst felttelezve, -prbval ellenrizzk, hogy az eltrsek csak a vletlennek tulajdonthatk-e vagy szisztematikusak. A minta adatai alapjn (n = 10); 10 X = - 4 _ = 994,0; 10 " * = 7,226; teht 10 = 52,222;

"

n -1 =V = 3,162, 9 9 4 ,0 -1 0 0 0

ahol a /? a valsznsgi szintet jellem z kis pozitv szm pl. p = 0,05 (5%). Az M-prbhoz hasonlan azt mondjuk, hogy 1 - p szignifikanciaszinten elfogadjuk a H q hipotzist, ha

' - V ^ : ^ = 3.162-----^^j ^A SMfen-eloszls 4. sz. tblzata alapjn a

= -2,626.szabadsgfok sorban a

10-1 = 9

< i,= p s a H q hipotzist 1 - p szinten elutastjuk, ha hz azaz a H : M ( X ) = m^mQ

(3)

p = 0,05

rtkhez p=o,05

~

2,267

tartozik, s mivel

jfvzl = 2,626 > , = tp-QQ = 2,267, ^ezrt az automata nagy valsznsggel nem mkdik jl, szignifikns eltrs van

95%-OS szinten, teht artkhez tp = / , =

Hq: M ( X ) = niQ -

1000

nullhipotzist elvetjk.

A 99%-os szinten (szignifikanciaszinthez) a 9 szabadsgfok mellett a p =

0,01

3,250 >

addik, teht 99%-os statisztikai biztonsgi szinten

ellenhipotzist fogadjuk el. Az (1) prbastatisztikt t-statisztiknak nevezzk.

az eltrsek vletlennek tulajdonthatk, de a mintaelemszm nagyon kicsi ahhoz, hogy ezt elfogadhassuk.

214

A M ATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

3.3. A Welch-prbaPlda

215

b) A k tm ints -p r b a. Gyakran kt normlis eloszls, azonos szrs alapsokasg vrhat rtkeinek egyenlsgt kell vizsgl nunk, vagy arra a krdsre kell vlaszt adnunk, hogy kt azonos szrs minta azonos alapsokasgbl szrmazik-e? Legyen X g N{mi\o) s Y e N(m2', 10

Az elfogadsi tartomnyt gy adjuk meg, hogy tiszta illeszke ds esetn

becslses illeszkeds esetn pedig Pix'lz^xl^r-\-k) = ^ - P legyen, ahol a x^z (1) alapjn szmtott, X^,r~\ s X ^ , r - \ - k a

3. sz. tblzatbl kiolvasott rtk, p elre megadott 1-nl nem na gyobb pozitv szm. Teht, a )h a x ' ^ z ^ x l , r - \ l- x X ^ x l , r - \ - k ^ akkor a nullhipotzist

elfogadjuk, a minta eloszlsa az adott biztonsgi szinten megfelel az elmleti eloszlsnak, az eltrseket vletlenszernek tljk;

222

A MATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

J.5.2. Homogenitsvizsglat

223

^ )h a x > x l , r - \ ill- x l z > x l , r - \ - k ^ akkor a nullhipotzist az adott biztonsgi szinten elvetjk, a minta eloszlsa szignifiknsan eltr az elmleti eloszlstl. Megjegyzs Ha azt akarjuk eldnteni, hogy a mintasokasg normlis eloszl s-e vagy sem, akkor a vizsglatot normalitsvizsglatnak nevez zk s az elbbiekkel azonos mdon jrunk el.

prbastatisztika n ^ s m - ^ esetn r - 1 szabadsgfok ;i;^eloszls valsznsgi vltoz. Ebbl kvetkezik, hogy ha az n s m elg nagy, akkor prba alkalmazhat a kt eloszls megegyezsgnek vizsglatra. A nullhipotzist elfogadjuk, ha xX > s elvetjk, ha ,,_i

- ahol x'^z a (2) kplettel szmtott rtk,

3.5.2. Homogenitsvizsglat Legyen X s 7 kt tetszleges eloszls valsznsgi vltoz. Azt akarjuk megvizsglni, hogy X s F azonos eloszlsnak tekinthet-e. A nullhipotzis, teht H q : P { X < x ) = P{Y yk=yk+^2 transzformcival. Pl. A megfigyelt adatprokat derkszg koordintarendszerben brzoljuk. A pontok kz kzeltleg egy hiperbola jelleg grbe illeszthet. Feltesszk, hogy az j = c + dx fggvny a megfelel y ~ ~ lekpe r

Empirikus kplet: linearizls:

y = ax^ ; x = lg x, y = lg y;

lineris fggvnykapcsolat: y = Iga + bx = A + bx. A pontok ketts logaritmikus papron brzolva kzeltleg egy egyenesre esnek. Empirikus kplet: linearizls: y = ae^^; x = x, y = lgy;

lineris fggvnykapcsolat: y = lga + b\ge- x = A + Bx. A pontok fllogaritmikus papron brzolva kzeltleg egy egye nesre esnek. Empirikus kplet: linearizls: lineris fggvnykapcsolat: y = ax^ + c; I = y = y\

y = ax + c.

A pontok jc" rtkekkel sklzott abszcisszatengely s _ rt y kekkel sklzott ordintatengely koordintarendszerben brzolva kzeltleg egy egyenesre esnek. 4.2. A paramterek meghatrozsa Az empirikus kplet megfelel tpusnak kivlasztsa utn megha trozzuk a kpletben szerepl paramterek numerikus rtkt gy, hogy a kzelts valamely felttel szerint optimlis legyen. Leg gyakrabban az a) kivlasztott pontok mdszere, b) kzepek mdsze re, s c) legkisebb ngyzetek mdszere hasznlatos. fl)A kivlasztott pontok mdszere. A tapasztalati ton kapott n-szm (xj^,y^.) (k = l, 2, .. ., n) rtkprhoz az elbb lert lpsek szerint megalkotjuk a megfelel y = (p(x;ai,a 2 , . . . , a ^ ) ( m < n ) , x e R empirikus kplettpust, a |, ^ 2, (1)

empirikus kplettpus. Ebben az esetben az x = x,

zs a c + d x = y lineris kapcsolatot lltja el. A gyakorlatban a kivlasztott empirikus kplet alkalmassg nak eldntshez az adott x^., y^ rtkekkel kiszmtjuk az rtkeket, s megvizsgljuk, hogy az ( ) rtkprok ltal fel vett pontok kzeltleg egy egyenesre esnek-e. Ha igen, akkor az empirikus kplet tpusa megfelel. A pontok az x rtkekkel skl zott abszcisszatengely s rtkekkel sklzott ordintatengely koordintarendszerben brzolva esnek kzeltleg egy egyenesre. Nhny egyszer empirikus kplettpus s a lineris kapcsolatot elllt lekpezs:

paramterekkel. A koordi

ntarendszerben brzolt {Xj^,yk) {k = \ ,2, .. . , n) pontok kz il-

236

A MATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

4.2. A param terek meghatrozsa

237

lesztett grbn kivlasztunk m szm (x,-, y,-) (/ = 1 ,2,..., m) pon tot s ezeket behelyettestve az (1) kpletbe, az a i , 2 , . . . , a ^ paramterekre m egyenletbl ll =(p(Xi-,ai,a2 , . . - a ^ ) (i = \ , 2, . .. , m) (2)

felttel teljesljn. Mivel gy csak egy felttelnk van az m szm paramter meghatrozshoz, ezrt az adott n szm (xi^,yi^) pon tot m csoportba osztjuk, s mindegyik csoportban az eltrsek szszegt zrussal tesszk egyenlv. Ezzel az eljrssal ellltjuk a szksges m szm feltteli egyenletet. Termszetesen a 1 =0 k= k=fii+l 2 =0. k=n^_i+\ =0> (8)

egyenletrendszert kapunk. A (2) egyenletrendszer megoldsa szolgl tatja az j paramterek numerikus rtkeit. Ha a (2) egyenletrendszer ellentmond, akkor az ellentmondst a grbe (x^, y j ) (/ = 1 ,2 ,...,m) pontjainak alkalmasabb vlasztsval szntethetjk meg. Az egyenlet rendszer megoldsa utn a paramtereket behelyettestjk az (1) kp letbe. Ellenrzsl az gy meghatrozott empirikus kplet felhasznl sval kiszmtjuk a rtkeket s kpezzk az yj^ tapasztalati rtkek s a , ] , 2 ,..., ) rtkek (k = l , 2 , . . . , n ) (3)

rszfelttelekkel egytt a (7) is teljesl. Ellenrzsl, a kiszmtott j, 2 > > paramtereknek (1) kpletbe val behelyettestse utn, kpezzk a (3), (4), (5) rtkeket. Megjegyzs kzepek mdszervel leggyakrabban az i transz ig formci utn kapott kztti lineris kapcsolatot hatrozzuk meg, melynek ltalnos alakja: y =x + b. gy a ksrlet eredmnyekntA

dk = yk - (p ( Xk \a i, a 2 , . . . , a ^ ) klnbsgt, a klnbsgekn

kapott (Xj^, (4) tlagt, s a klnbsgek (5)k=\

) rtkprokkal jc^ vagy

vltoz nvekedsnek

sorrendjben felrjuk a yj^=axi^+b (k = l ,2, .. ., n) feltteli egyen leteket s a rendszert kb. megfelezve, kt csoportra osztva klnkln sszeadjuk. Az gy kapott kt egyenletbl ll egyenletrend szerbl kiszmtjuk a s b rtkt. Az jc s y helyre az eredeti vltozknak megfelel kifejezsek behelyettestsvel kapjuk az jc s y kztti kapcsolat empirikus kplett. Amennyiben mg nem ismert az sszes paramter, akkor ugyanezt a mdszert alkalmaz zuk mg egyszer, de elbb egy jabb, x s y kztti lineris kap csolatot hozunk ltre. c) A legkisebb ngyzetek mdszere. Az n. legkisebb ngyze tek mdszervel a paramterek numerikus rtkt az eltrsek ngyzetsszegnek minimum felttelbl hatrozzuk meg. A tapasztalati ton kapott n-szm (k = 1,2,...,n) r tkprhoz az elbb lert lpsek szerint megalkotjuk a megfelel (1) empirikus kplettpust. Mivel az adatokat pl. vletlenszer mrsi hibk terhelik, ezrt az yj^ mrt rtkek s a. (p fggvny Xj^ he-

ngyzetsszegt. b) A kzepek mdszere. A mg ismeretlen paramtert tartalma z (1) empirikus kplettpusba helyettestsk be a ksrlettel kapott (Xk^yk) (k =1, 2, . .. , n) rtkeket s kpezzk azek=yk-(p{Xk\ai,a2,...,a^)(fc = l , 2 , . . . , n ) (6 )

eltrseket. Az ] , < 22,...,

paramterek numerikus rtkt abbl

a felttelbl hatrozzuk meg, hogy a (6) eltrsek algebrai sszege zrus legyen, azaz 'L^k = 0k=

(7)

238

A M ATEM ATIKAI STATISZTIKA ELEM EI

4.2. A paramterek meghatrozsaPlda Tegyk fel, hogy mrseink tblzatba foglalt adatai:

239

lyen vett helyettestsi rtkei ltalban mstl, azaz y k-(p{Xk\ ai, a2, . .. ,am) = Bi^, Az {

rtkkel eltrnek egy k (9)

X

0 0

5 0,0143

10 0,0276

15 0,0426

20 0,0572

22,5 0,0648

25 0,0725

26 0,0758

mrsi hibkrl (a tapasztalatok szerint) ltalban felte fggvny keresse,

het a fggetlensg s az N(0, 0,96 egyenltlensgbl szmthatjuk ki, amelybl 0,98" < 0,04 n lg 0,9 8 < lg 0,04

272s mivel lg 0 ,9 8 < 0 ezrt

M EG OLD SO K

V.4. A 4. fejezet feladatainak megoldsai

273

P33! 6

^01607;0,0723.

Teht legalbb 160 darabot kell visszatevssel megvizsglni, hogy a kivlasztot tak kztt 0,96-nl nagyobb valsznsggel legyen selejtes darab. \ A A . a ) A k = 2,3,4,5,6,1 rtkekre kiszmtott valsznsgek sszegezse helyett, vonjuk ki 1-bl a 0 s az I tallat valsznsgnek sszegt: P(0 tallat) = 2187 . 16384

b) Vrhat rtk: M { X ) = A = 1,8; szrs: D { X ) = V = ^ = 1,3416.

Annak valsznsge, hogy X vrhat rtknl kisebb rtket vesz fel P{ X < 1,8) kiszmtsval adhat meg P { X < 1,8) = po + Pl = 0,1653 + 0,2976 = 0,4629. V.4.6. Br n = 100, p = 0,02 paramter binomilis eloszls valsznsgi

P(1 tallat) = 7 Y l Y l t _ 5103 1 6384 teht P =l-

vltoz rtkt kellene kiszmtani, de n elg nagy s p elg kicsi, gy X = np = 100 0,02 = 2 paramter Pom on-eloszls p(3\2) rtkvel kzeltjk Z?(3;l 00,0,02) rtkt: P = p(3-,2) = 2 Mivel q = l - p = V.4.7. Az X szrsa s vrhat rtke azonos. a) M { X ) = D { X) = 800 ra, ezrt az eloszls paramtere: A = 800'3 e

f 2187 ^ .5 1 0 316384 16384

4547 8192'

-23!

0,1354 = 0,1805. 6

b) Annak valsznsge, hogy a lvs nem tall clba:

1 3 2 1 1 = 1 - = s q -nek 1 - = -nl kel kisebbnek lenni, ezrt a q < , azaz

< egyenltlensgbl meghatrozhatjuk n rtkt: b) A srsgfggvny: f ( x ) = nlg s gy n > ~ 3,8184= 4,

0, ha X < 0

1800

e

, ha X > 0 0, ha X < 0

s az eloszlsfggvny: F{x) = P { X < x ) = teht a lvsz valsznsggel clba tall, ha legalbb 4 lvst ad le. V.4.5. a) A szmtst, ha A = 1,8 a c) meg: l-e , haX > 0.

Annak valsznsge, hogy a kijellt kpcs 3200 rn bell nem hibsodott32(X) '

P(X=k) = p i , = ^ e ~ ^ ^ (A = 0,1,2,3,4) :formulval vgezzk. 0,1653;

P ( X > 3200) = I - P (X < 3200) = 1 - F(3200) = 1 -

l-e

V.4.8. A 2. tblzatbl olvashatk ki a srsgfggvny (p(x) rtkei: p^ = = 0,2976; a) 50) < ~ 50 ~ = 0,16.

A II. RSZ FELADATAINAK M EGOLDSAI S .l. Az 1. fejezet feladatainak megoldsairtkeket:

S.1.1. Kiszmtjuk a gj relatv gyakorisgokat s a Medd mennyisg kg (osztlykzk) ......-243 244-323

V.5.2. A Cefeev-egyenltlensget hasznlva e = 1 rtkre:

A-j2P ( |X - 3 5 j > l ) = - ^ = 0,09 teht legfeljebb 0,09 annak valsznsge, hogy a ktl hossza nem esik a 34 m s 36 m kz. V.5.3. A hibs ru vlasztsnak esemnye legyen A. p = 0,V, q = \ p = 0,9.

fi 8 19 23 27 18 15 12 12 8 I //= 1 4 2

8! 0,06 0,13 0,16 0,19 0,13 0,11 0,08 0,08 0,06

'Ls! i 0,06 0,19 0,35 0,54 0,67 0,78 0,86 0,94 1,00

324-403 404-483

- - 0 , 1 > 0 ,02 n

0,1 0,9

0,02^

484-563 564-643

0,09 < 0,05 0,0004 n felttelbl n> 0,09 0,0004 0,05 0,09 -4 5 0 0 , 0,00002

644-723 724-803 8 0 4 - .....

vagyis, ha a ttelben 4500-nl tbb keszty van, akkor 0,95 valsznsggel a vev tveszi azt. 9i 0,19-0 ,1 6-0 ,1 3--

i

0,11-0 ,0 8-0 ,0 6 m edd

163 243 323 403 483 563 643 723 803 883 59. bra. Srsghisztogram

- [kg]

278

M EGOLDSOK

S .l. A z 1. fejezet feladatainak megoldsai

279

tapasztalati eloszlsfggvny brjt. A ] - m ; - 2,5] intervallumba nem esik folya1._ 0,94 0 ,86 0,78 0,67 0,54 0,35 0,19 0 ,0 6 -0 203 283 363 443 523 603 683 763 843 60. bra. Tapasztalati eloszlsfggvny S.1.2. a) Kiszmtjuk a relatv gyakorisgot s a gj rszsszegeket, majd m eg folyadkmennyisgeltrs . ------------------ [cm3] 2,5 medd - [k g ] dkmennyisg-eltrs, a ]-2 ,5 ;-l,5 ] intervallumba 1 esik a 12 kzl, P ( X < - 1 ,5 ) = = - ^ , a ] -l,5 ; -0 ,5 ] intervallumba 2 esik, teht P { X < - 0 ,5 ) = ~ ~ = , stb. i^ 1.Z 1z A balrl nylt jobbrl zrt intervallumok mindegyikben a fggvny lland. Az intervallum vgpontjaiban f ~ az ugrs mrtke.

rajzoljuk a srsghisztogramot (tapasztalati srsgfggvnyt) intervallumonknt ^^ , intervallumra es adatok szma f(x)^ a. = ----------------------------- --------------' (sszes adat szma) (intervallum hossza) kplettel szmtott rtkek alapjn. ]-o ; - 3 [ s ]3; h [ intervallumokba nem esett adat, ezrt ezen intervallumokban a srsgfggvnyt 0-nak tekintjk. -2,5 -1.5 . -0,5 0 , 0,5 , 1 , 1,5

62. bra. Tapasztalati eloszlsfggvny c) Mintatlag: x = 0 . d) Annak valsznsge, hogy a folyadkmennyisg-eltrs 1 cm ^-nl nagyobb: P{X>V) = l - P { X < \ ) = 1 -0

'l-O'1,45

=1 - 0 (0 ,6 9 ) =1 - 0,7549 = 0,2451

vagyis 24,51%-ban kapunk olyan palackot, amelyben az elrthoz kpest 1 cm^ -nl tbb a folyadkmennyisg eltrse. S.1.3. Kiszmtjuk s tblzatba foglaljuk a szksges rszeredmnyeket: osztlyhatr kg 470-480 480-490 Megszerkesztjk az 0, ha X < -2 ,5 h ax^ ,_i< x< x^ ,(^ = 1 2 ,3 ,4 ,5 ) 490-500 500-510 510-520 520-530 osztly kzp 4