04. 04. 2016 1

FIFEI-06 Gravitační a elektrostatické působení II

http://stein.upce.cz/msfei16.htmlhttp://stein.upce.cz/fei/fIfei_06.html

Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

04. 04. 2016 2

Hlavní body• Obecné analogie gravitačního a elektrického pole• Souvislost potenciální energie a síly a potenciálu a

intenzity• Gradient • Ukázky řešení typických problémů

• Gravitační a tíhová zrychlení, tíha• Pohyb hmotných těles v gravitačním poli• Použití potenciální energie

• Soudobé názory na gravitaci

04. 04. 2016 3

Konzervativní pole

• Řada vlastností gravitačního a elektrostatického pole je analogická, ale gravitační pole se nedá odstínit.

• Gravitační pole pro hmotné částice, podobně jako elektrostatické pole pro částice nabité, jsou příkladem konzervativních polí. Jsou definovány tak, že je nich celková vykonaná práce při přesunu částice po libovolné uzavřené křivce rovna nule.

04. 04. 2016 4

Existence potenciální energie• Z definice konzervativního pole, lze ukázat, že práce

potřebná pro přesun nabité částice v elektrostatickém poli (nebo hmotné částice v poli gravitačním) z bodu A do bodu B, nezávisí na cestě, ale pouze na jisté skalární vlastnosti částice v těchto dvou bodech.

• Tato vlastnost se nazývá potenciální energie Ep.

BApp

ppBA

WAEBE

AEBEW

)()(

)()(

04. 04. 2016 5

Existence potenciálu• Potenciální energii lze dále napsat jako

součin vlastnosti částice, náboje nebo hmotnosti a jisté skalární vlastnosti pole v těchto dvou bodech.

• Tato vlastnost se nazývá elektrický potenciál e nebo gravitační potenciál g.

04. 04. 2016 6

Práce v gravitačním poli• Přesune-li například nějaký vnější činitel

částici s hmotností m v gravitačním poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

)]()([)()(, ABmAEBEW GGppBAm

04. 04. 2016 7

Práce v elektrickém poli• Přesune-li například nějaký vnější činitel

částici s nábojem q v elektrostatickém poli z jistého bodu A do bodu B, vykoná podle definice potenciálu práci :

• UAB naměříme, když propojíme bod A s - nebo COM a bod B s + nebo V zdířky voltmetru.

ABEEppBAq qUABqAEBEW )]()([)()(,

04. 04. 2016 8

Potenciál shrnutí I

• Pro potenciální energii částice obecně platí :

• Vykoná-li vnější činitel na částici kladnou práci, zvýší tím její potenciální energii Ep definovanou podle druhu pole :

)()( rmrE gpg

)()( rqrE epe

BApp WAEBE )()(

04. 04. 2016 9

Potenciál shrnutí II• Ve většině praktických případů nás zajímá

rozdíl potenciálů dvou míst. U elektrického pole o něm hovoříme jako o napětí U :

UAB (B)-(A)• Pomocí napětí je vykonaná práce :

W(A->B)=q UAB

04. 04. 2016 10

Potenciál shrnutí III• Pro práci vykonanou vnějším činitelem na nabité

částici tedy platí :

W=q[(B)-(A)]=Ep(B)-Ep(A)=qUAB

• Je důležité si uvědomit principiální rozdíly :• Mezi potenciálem, což je vlastnost pole,

potenciální energií částice v poli a napětím.• Mezi prací vykonanou vnějším činitelem nebo

polem

04. 04. 2016 11

Důsledky existence potenciálu• Díky existenci potenciálu je možné přejít od

popisu příslušného pole pomocí vektorů intenzit k popisu pomocí skalárních potenciálů

• Stačí nám jen třetina informací• Superpozice vede na prostý aritmetický součet • Některé výrazy lépe konvergují

)()( rrE

rrrrE 11 )()( 2

04. 04. 2016 12

Elektrické jednotky

• Jednotkou potenciálu i napětí U je 1 Volt.• [ ] = [Ep/q] => V = J/C• [E] = [/d] = V/m• [] = [k q/r] = V => [k] = Vm/C => [0] = CV-1m-1

04. 04. 2016 13

Obecný vztah • Obecný vztah je analogický u elektrického i

gravitačního pole:

• Gradient skalární funkce f v určitém bodě je vektor :• Který směřuje do směru nejrychlejšího růstu

funkce f.• Jeho velikost je rovna změně hodnoty funkce f,

kdybychom se v tomto směru přesunuli o jednotkovou vzdálenost.

)(E

)()( rgradrE

04. 04. 2016 14

Gravitační pole v blízkosti Země I• Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze pro

zjednodušení charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačním zrychlením :

• Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhové zrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2.

• Na nízkých drahách družic ~100 km je g podobné.

002)( rar

RMrE g

Zg

04. 04. 2016 15

Gravitační pole v blízkosti Země II• Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta

se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. • Dostatečně jednoduše a citlivě měřit lze například na

torzních vahách. Díky tomu se v laboratoři ‘váží‘ nebeská tělesa.

• Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky hlavně v důsledku lokálních nehomogenit hmotnosti povrchu Země. Toho se využívá při geologickém průzkumu.

04. 04. 2016 16

Gravitační pole v blízkosti Země III

• Je-li již známá lze vesmírná tělesa vážit z pohybu jejich oběžnic. Zemi tedy z z pohybu Měsíce, ale též z gravitačního zrychlení.

• Příklad : Určete M a M z a g.

kgRa

M g 242

1098.5

333

2

105.543

43 mkg

Ra

RRa gg

M

04. 04. 2016 17

Potenciál I• Potenciál v jistém bodě centrosymetrického

gravitačního pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice :

• Potenciál v kalibraci C = 0 :C

rMmrmrEp )()(

rMr )(

04. 04. 2016 18

Potenciál II• Obecně je pohodlnější popisovat gravitační

pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu :

• V centrosymetrickém případě tedy :))(())(()( rrgradrE

drrdrE )()(

04. 04. 2016 19

Zákon zachování energie I• Práce dodaná do systému se rovná přírůstku

jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie.

• Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li práce kladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstem energie potenciální

pk EEEW

04. 04. 2016 20

Zákon zachování energie II• Je-li práce dodaná do systému nulová

zachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie).

• Jeden druh energie se ale může měnit v druhý.

• V těsné blízkosti Země :0 pk EEE

mghmv

2

2

04. 04. 2016 21

Pohyb satelitů I• Obecně se tělesa otáčejí kolem společného těžiště.• Je-li satelit podstatně lehčí než centrální těleso lze

společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa.

• Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :

2

2

rmM

rmv

04. 04. 2016 22

Pohyb satelitů II

• Můžeme například vyjádřit rychlost oběhu :

• Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:

rMrv )(

MrTrT

vrT

rM

2

3

2222 442

04. 04. 2016 23

Pohyb satelitů III• Jsou-li hmotnosti obíhajícího a obíhaného

tělesa srovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu ‘centrálního’ tělesa.

• Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd.

• Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (1780, 818 letos!).

• http://en.wikipedia.org/wiki/Discoveries_of_exoplanets

04. 04. 2016 24

1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu po kruhové dráze

těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát

kopíruje povrch tělesa. • Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá

atmosféru, třeba u Měsíce.• V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní, těleso by

bylo atmosférou zbržděno a shořelo by:19.7 skmaRv gR

MI

04. 04. 2016 25

2. Kosmická rychlost• 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při

které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou

• Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.

122

2.112

skmvRMmmv

RM

II

04. 04. 2016 26

3. Kosmická rychlost• 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při

které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je

• Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země.• Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst

obvodovou rychlost Země, tedy cca 30 km/s.

122

2.422

skmvr

mMmvsz

srM

IIsz

s

04. 04. 2016 27

Proč shořela Columbie I• Kinetická a potenciální energie satelitu jsou

spolu svázány a celková energie je :

• Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:

rmM

rmM

rmM

rmMmvE

222

2

rMv

2p

k

EE

04. 04. 2016 28

Proč shořela Columbie II• Podle předchozího se celková energie satelitu

musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom :• se zvětší její vzdálenost od Země• její rychlost se zmenší (!)

• Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale roste rychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovské teploty.

04. 04. 2016 29

Moderní teorie gravitace I• Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a

setrvačné hmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval v roce 1915 obecnou teorii relativity. • Podle ní hmotnost zakřivuje časoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou

například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčení roviny oběhu Merkura.

04. 04. 2016 30

Moderní teorie gravitace II• To v důsledku znamená, že uspořádáním hmoty je

definováno uspořádání časoprostoru. V časech Einsteina se automaticky předpokládalo, že vesmír a tedy i časoprostor je statický. Ale• Ve 30. letech bylo zjištěno, že se vesmír rozpíná - Hubbleův

zákon a vyvstala otázka počátku vesmíru • V roce 1964 bylo objeveno reliktní záření ~3K, které silně

podpořilo model Velkého třesku• Koncem 60. let bylo zjištěno, že rychlosti pohybu

galaktických ramen neodpovídají rozložení viditelné hmoty - temná hmota a rozpínání vesmíru vyžaduje existenci neviditelné - temné energie.

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách)

Definice II

n

iiibac

1

cosbac

bac

Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^

Příklad - potenciál I• Spočítejme práci, kterou musíme (jako

vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M.• Protože gravitační síla je radiální, závisí jen na

změně vzdálenosti od tělesa a práci musíme dodávat jen při zvětšování r:

B

A

r

r

B

A

B

ABA drrFrdrFdWW )()(

Příklad - potenciál II

Tuto práci chápeme jako přírůstek potenciální energie

srovnáním

)11(2AB

r

rBA rr

mMdrrmMW

B

A

)()( AEBEW ppBA

rmMrEp

)(

Příklad - potenciál III• Práce dodaná tělesu vnějším činitelem zvýší

jeho potenciální energii. Tu obecně definujeme včetně integrační konstanty C, dané kalibrací:

• Často předpokládáme, že potenciální energie

v nekonečnu je nulová, což odpovídá C=0 :

CrMmrEp )(

rmMrEp

)(^

Gradient I

Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os .

Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

)(],,[)( rzf

yf

xfrfgrad

ld

Gradient II

Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu.

Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f !!!

))(()()( rfgradldrfldrf

^

ld

První kosmická rychlost pro Měsíc

Takové rychlosti může dosáhnout speciální střela a rozhodně také molekuly plynu, který by tvořil atmosféru Měsíce.

Proto Měsíc atmosféru nemá a ani by se ji tam nepodařilo vytvořit.

smRMv

M

MIM /1197

10467.31037.71067.6

6

2211

^

Relativistické efekty při urychlování elektronu

• Relativistické efekty se začínají výraznějiprojevovat, dosáhne-li rychlost

c/10= 3 107 ms-2.• Jaké urychlovací napětí je potřebné k

dosažení této rychlosti ?• Ze zachování energie : mv2/2 = q U

U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV !

^

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj?

Přebytečný náboj :

^

eCq 1459 102103.3109/10

Celkový a přebytečný /celkový náboj :

)(!10/

108.28.55

261002.6

9

2323

t

t

qq

eq

Korekce g na rotaci Země I

Srovnejme tíhu tělesa na pólu a na rovníku :

]4642;864003600*24[

0337.0

~)(

1

22

22

msTRvsT

msRva

amRvam

RmvmaG

maG

Z

ZRg

gZR

gZR

gR

gP

^

Korekce g na rotaci Země IIPřesný výpočet vyžaduje vzít v úvahu zploštění Země, na

rovníku cca 21 km.V zeměpisných šířkách mezi rovníkem a pólem je nutno vzít v

úvahu i fakt, že odstředivé zrychlení působí kolmo k ose otáčení, takže výsledné tíhové zrychlení nesměřuje přesně do středu Země.

^

Gravitační zrychlení ve výšce 200 kmPoměr gravitačního zrychlení ve výšce 200 km, kde již létají některé

družice je :(Rz/(Rz+200))2 = 94 %

Je tedy téměř stejné jako na Zemi, takže například raketa, která vynáší družici na nízkou oběžnou dráhu se ze zemského gravitačního pole nijak výrazně nevymaní.

^