Gravitační konstanta 11 2 26.67 10 Nm kg 26 16.02225 10AN kmol Avogadrova konstanta

3 1 18.3143 10R JK kmol

8 12.997925 10c ms

12 10 8.8854118 10 Fm

6 10 1.256637 10 Hm

191.60210 10e C

319.1091 10em kg

271.67252 10pm kg

271.67482 10nm kg

346.6256 10h Js

341.05450 10 Js

Univerzální plynová konstanta

Rychlost světla ve vakuu

Perminitivita vakua

Permeabilita vakua

Elementární náboj

Hmotnost elektronu v klidu

Hmotnost protonu v klidu

Hmotnost neutronu v klidu

Plancova konstanta

Plancova konstanta

Konstanty

Boltzmanova konstanta 23 11.38054 10Bk JK

Bohrův magneton pro elektron23 1

0 0.9274 10e JT

Diferenciální rovnice a jejich řešení

'y f x g y

dyf x const

g y

Separace proměnných

11 0... 0n n

ky a y a y Lineární rovnice s konstantními

koeficienty xy ce

11 0... 0n n

kP a a

1

i

nx

ii

y c e

// pro jednoduché kořeny

1

i

nx

i ii

y A x B e

// pro násobné kořeny

2

20x a x

x

Častá fyzikální roznice

sinx A ax

expx A i ax

2

20x a x

x

cosx A ax

cosx A i ax

sinx A i ax

expx A ax

22

20

x

1 2i x i xx Ae A e

'' 2 ' 1u u u

0

s mm

m

u a

0s N0 0a

a x b xx

b

ax Ae

2

223

1,

2

x

G e x

2

2

2

223

1, 1

2

x xG e

Gausovo normální rozdělenípravděpodobnosti

n-tý centrální moment Gausova rozdělení

2

22

xn n

x N x e dx

Laplaceův-Gaussův integrál 0a 2 2

0 2a xe dx

a

2

2 2 24

0

ba x bx ae dx e

a

0a 2 223

0 4a xx e dx

a

0a

2

24

3

22

bax bx ab

xe dx e

a

2

22

2 43

2

12

2

bax bx a b

x e dx ea

a

0a

0a

223

1

2axx e dx

a

2axe dxa

0a

0a

Matematické vzorce

2

24

bax bx ae dx e

a

0a

Binomický rozvoj 0

nn n k k

k

na b a b

k

Multinomický rozvoj 1

1

1... 10

!... ...

!... !m

m

i

n kkm m

k k n mk

na a a a

k k

!

! !

n n n

k n k k n k

Pravidla pro kombinačníčísla

1

0

n n k

k

Stirlingova formule1

2! 2n nn n e n

Některé parciální rozklady

1 1 b d

a bx c dx bc ad a bx c dx

bc ad

1 A B C

x a x b x c z a x b x c

a b c

1

Ab a c a

1

Ba b c b

1

Ca c b c

Užitečná formulka2 2Rez ze e z

Komutátory

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,A B AB BA

, , ,A BC A B C B A C

, , ,AB C A C B A B C

, ,A B A B

, ,A B A B

, ,B A A B

, , ,A B C A C B C

, , ,A B C A B A C

ˆ ˆ,j k jkX P i

ˆ ˆ, 0j kX X

ˆ ˆ, 0j kP P

ˆ ˆ ˆ,j k jkm mL L i L

ˆ ˆ ˆ,j k jak aL X i X

ˆ ˆ ˆ,j k jkb bL P i P

2ˆ ˆ, 0zL L

ˆ ˆ, 0zH L

2ˆ ˆ, 0H L

3ˆ ˆ ˆ,L L L

2ˆ ˆ, 0L L

ˆ ˆ ˆ,H a a

ˆˆ ˆ, 1a a

ˆ ˆ ˆ,j k jkl lS S i S

, 2j k jkl li

Kronekerovo delta a epsilon

0

1

ij

ij

i j

i j

ijk lmn il jm im kl

ijk jik

jab bk jak

1ijk

1ijk

0ijk

// sudá permutace ijk

// lichá permutaceijk

// opakující se i nebo j nebo k

Kronekerovo delta a epsilon

Spin

0ˆ

Elm ElmH E m B Energetické hladiny částice v

magnetickém poli

0

2 2

ˆ

ˆ 1

ˆ

Elm Elm

Elm Elm

z Elm Elm

H E

L l l

L m

0 2

e

M

Bohrův magneton

Operátor spinu 0 1 0 1 0ˆ , ,1 0 0 0 12

iS

i

1

2

xx

x

Vlnová funkce se spinem

Vztah mezi vlastním magnetickýmmomentem a spinem

02 ˆˆ S

Vlastní magnetický moment0

0 1 0 1 0ˆ , ,1 0 0 0 1

i

i

Kvadrát spinu 2 23ˆ 14

S

†

Trace 0

ˆ, 2 1

j j

j

j k jk

j k jk jkl li

1

0 1

1 0

2

0

0

i

i

3

1 0

0 1

Pauliho matice

Některé vlastnosti Pauliho matic

2 0

1 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2

H P eA e BM

Hamiltonián v magnetickém poli

1ˆi H

t

Zisk řešení Pauliho rovnice ze

znalosti řešení SchR// SchR

ˆ1 1

2 2

, ,

, ,

iBtx t x t

ex t x t

// řešení Pauliho rovnice

ˆ0 0cos sin

iBt B

e B t i B tB

Klasický 1D oscilátor2

2 21

2 2

mE mx x

2m

Tk

2

2

2

dxx

Ex

m

Celková energie

Perioda

Hustota pravděpodobnosti nalezení v ,x x dx

221

2 2

pH kx

m Hamiltonián

Poruchová teorie

0 1 22 ...k k k k k-té vlastní číslo

0 1 22 ...k k k k k-tá vlastní funkce

0

1 ˆk

k B

0 0

1 0 0

0 0

ˆ,j k

k k jj k k j

B

1. oprava

20 0

2

0 0 0 0

ˆ,

,

j k

kj k k j k k

B

2. oprava

ˆ ˆA B

nedegenerované čistěbodové spektrum

0 1 22, , , ...k n k k n k n k-té vlastní číslo

s násobností n

0 1 22, , , , ...k n k n k n k n k-tá vlastní funkce

s násobností n

1det 0ij kn jiB První oprava vlastních čísel

degenerované čistěbodové spektrum

Kvantový oscilátor

2 22ˆ

2 2

mH x

m

Hamiltonián 1D

1

2nE n

Energie, vl. čísla H 1D

2

2n n nx A e H

mx

//Vlastní funkce 1D

2 22ˆ

2 2

mH x

m

Hamiltonián 3D

2

2

!2

mx

n nn

K mx e H x

n

1

4mK

//Vlastní funkce 1D včetněnormalizace

1 2 31 2 3n n nx x x x

Vlastní funkce 3D

1 2 3 1 2 3

3 3

2 2n n n nE E E E n n n N

Energie 3D

iL m Vlastní hodnoty složek momentu hybnosti

m

32

2nE n l

Energie 3D ve sférickém poli

ˆ ˆˆ2

M ia X P

M

Kreační a anihilační operátory †ˆ ˆa a

1ˆ n n na

ˆ ˆ n na a n

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2

H a a a a a a a a

ˆ ˆ ˆ2

X a aM

2

1 12

00 0

ˆnn n

nn k k

k k

da e

d

2

21

n

n

n

n

Sférický potenciál

2

ˆ ˆ2

H V rm

Hamiltonián

2 2 2

2 2 2 2

2 1 1 1ˆ ˆsin2 sin sin

H V rm r r r r

Hamiltonián ve sférických souřadnicích

, cosm imlm lm lY C P e Vlastní funkce kvadrátu

L a složky Lz 21l l m

//

l ..m l l

2 2 1 !

4 !lm

l l mC

l m

2

lmdw Y d ,Hustota pravděpodobnostinalezení částice v prostorovém úhlu

2 2

21

12 !

m

l mlm

l l l m

t dP t t

l dt

Přidružené Legendrovy funkce

2 2

22 2 2

2 1ˆ ˆ ˆ2

H L V rm r r r r

2 1

22 2, , ,ll

nlm nl n lmr K e L Y

131 24

1

4

2 2 !

2 2 1 !!

n

nl

m nK

n l

mr x

//

1 1, ,n

nL z F n z

n

Zobecněné Laguerovypolynomy

21, , 1 ...

1! 2! 1F z z z

Degenerovaná hypergeometrická funkce

Coulombický potenciál QV r

r

2

2 222 1nl

mQ RE

Nn l

0, ,N n lEnergie částice v

coulombickém poli

2 11

2 2,

l rlNa

Nlm Nl N l lm

r rK e L Y

Na Na

Vlastní funkce částice v coulombickém poli

1

22

2 3

1 !2

!Nl

N lK

n a N l

Operátory

ˆj jX x ˆ

j jX x x x

ˆj

j

P ix

Poloha

Hybnost

2

ˆ2

H V xm

Hamiltonián v silovém poli

potenciálu V

ˆ ˆ ˆi ijk j k ijk j

k

L X P i xx

Moment hybnosti

ˆ cos cotg sinxL i

Moment hybnosti ve sférických

souřadnicích

ˆ sin cotg cosyL i

ˆzL i

sin cos cosˆ sin cossinxP i i

x r r r

cos cos sinˆ sin sinsinyP i i

y r r r

sinˆ coszP i iz r r

Hybnost ve sférických souřadnicích

2 22 2

1 1ˆ sinsin sin

L

3

22ipx

p x e

Normalizovaná zobecněná vlastní funkce hybnosti

1 2 31 2 3a a a ax a x x x x

Zobecněná vlastní funkce polohy

Posunovací operátorˆ ˆˆ,B A A

ˆ ˆBA A Působení posunovacího operátoru na vlastní hodnoty

1 2ˆ ˆ ˆL L iL 1

ˆlm lm lmL Y Y

ˆ 0llL Y

ˆ 0l lL Y

2 2

2 2

1 1

1 1

lm

lm

l l m m

l l m m

Operátor spinu 0 1 0 1 0ˆ , ,1 0 0 0 12

iS

i

2 0

1 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2

H P eA e BM

Hamiltonián v magnetickém poli

Fyzikální vzorce

3

3

8,

1h

kT

hT

ce

Plankův vzorec záření černého tělesa

0

, 0 0, ,ipx E t t

p E x t x t e

De Brogliova vlna

2

2i V x

t m

Schrődingerova rovnice

nE nh n Kvantum energie fotonu

2,I

I

P x t dx

Bornův postulát

1 ˆ ˆ,2

A B A B

ˆ ˆ ˆ ˆ 0A A i B B

Relace neurčitosti pro libovolné samozdružené operátory, rovnostnasává pro operátory splňující:

2j k jkX P Relace neurčitosti pro polohu

a hybnost

0

0, ,Ei t t

E Ex t e x t

Stacionární stav †ˆ ˆ ˆ:A A A ˆ 0dA

dt

Časový vývoj stacionárního stavu

H E

0, n nn

x t e x Řešení SchR při nestacionárnípočáteční podmínce, pomocíortn. báze vl. funkcí hamiltoniánu 0

,nEi t t

n nn

x t e x e

// počáteční podmínka

// časový vývoj

ˆˆ ,

dA i AH A

dt t

Časová derivace samosdruženéhooperátoru

ˆd dAA

dt dt

// Platí pro vlnové funkce husté na uzavřeném podprostoru

0

dA

dtIntegrálů pohybu

ˆˆ jj

PdX

dt M

ˆ ˆj

j

d V VP X

dt x x

Ehrenfestovy teoremy

0ˆˆ ˆorbH H B

ˆˆ2orb

eL

M

Operátor magnetického momentučástice

Hamiltonián v magnetickém poli

2 2

1 2 1 21 2

ˆ ˆ2 2

H V x xm m

Dva výrazy pro Hamiltonián dvou

interagujících částic

2 2

1 2

ˆ ˆ2 2X xH V xm m M

// těžišťová soustava

1 2

1 2

mmM

m m

1 1 2 2

1 2

m x m xX

m m

1 2x x x

1 2j j jX x x

2 11 2 1 2

1

j j j

m mx m m x x

1 2 1 2 1 21 2 1 2 2 2,a a a a a ax x x x x x Vlnová funkce dvou rozlišitelných

částic

1 2 1 2 1 2

11 21 21 111 2 1 2 2 1

12 22 22 12

,a a a a a a

a a a ax x x x x x

a a a a

Vlnová funkce dvou nerozlišitelných částic s nenulovým spinem

1 1 2

1 2... 1 1 2

1 2

... 1 ...n n

n

na a n a a a n

P n

a a ax x x x x

b b b

Vlnová funkce n

nerozlišitelných částic s nenulovým spinem

// permutace 2 2 21

1 1 1 10 0

1 1ˆ2 4 4

Z Z N N

jj j j k je j j k

Ze eH

m x x x

Hamiltonián atomu se Z elektronyinteragujícími mezi sebou

Hermiteovy polynomy a Kulové funkce

2

2

0

!1 2

! 2 !

n

k n k

nk

nH z z

k n k

2 2

1n

n z zn n

dH z e e

dz

22

0

nz z

n nH z e

z

22

0 !z zn n

n

H ze

n

0

1

22

33

4 24

1

2

4 2

8 12

16 48 12

H z

H z z

H z z

H z z z

H z z z

, cosm imlm lm lY C P e 21l l

m //

l ..m l l

2 2 1 !

4 !lm

l l mC

l m

2 2

21

12 !

m

l mlm

l l l m

t dP t t

l dt

00

1 1

10

11

2 2

2 1

20

21

22

1 1

2

1 6

2

1 3

2

1 6

4

30

1 30

2

1 5

2

1 30

12

1 30

24

C

C

C

C

C

C

C

C

C

00 00Y C

1 1 1 1

1sin

2iY C e

10 10 cosY C

11 11 sin iY C e

2 22 2 2 2

1sin

8iY C e

2 1 2 1

1sin cos

2iY C e

220 20

13cos 1

2Y C

21 213 sin cos iY C e

2 222 223 sin iY C e

12n n nH H H

2

21 22

2 4 4n n n nH H H H

Středná hodnoty a kvadratické odchylky

ˆ,

,

AA

Střední hodnota pozorovatelné A

Pravděpodobnost přechodu částiceve stavu do normalizovanéhostavu operátoru s vlastní hodnotou . Stav je nedegenerovaný.

A

a

Pravděpodobnost přechodu částiceve stavu do normalizovanéhostavu operátoru s vlastní hodnotou . Stav je k-degenerovaný.

A

a

2

,

,

,A aW

2

,

, ,

k

A ak

W

2

1

1 2

2

, ,

,

,

a

k

a

A a a

da

W

Pravděpodobnost přechodu částiceve stavu do jednoho z normalizovaných stavů operátoru s vlastní hodnotou v uvedeném intervalu, ke každému bodu v intervalupřísluší právě jedna vlastní funkce.

k

A

2

2ˆ ˆA A A

22 2ˆ ˆA A A

Střední kvadratická odchylka

22ˆ ˆA A A

Goniometrické vzorce2 2sin cos 1x x

sintg

cos

xx

x

coscotg

sin

xx

x

2

1cos

1 tgx

x 2

tgsin

1 tg

xx

x

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tg tgtg

1 tg tg

cotg cotg 1cotg

cotg cotg

2 2

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

1sin sin cos cos

21

cos cos cos cos21

sin cos sin sin21

cos sin sin sin2

2 1sin 1 cos 2

2 2 1

cos 1 cos 22

3 1sin 3sin sin 3

4 3 1

cos 3cos cos34

4 1sin cos 4 4cos 2 3

8 4 1

cos cos 4 4cos 2 38

sinh2

x xe ex

cosh

2

x xe ex

2 2

2 2

cosh sinh 1

cosh sinh x

x x

x x e

2 2

sinh 2 2sinh cosh

cosh 2 sinh cosh

x x x

x x x

sin2

ix ixe ex

i

cos

2

ix ixe ex

cos sinixe x i x

Souřadné soustavysin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

Sférická soustava

2 2 2

2 2 2

arctg

arccos

y

x

r x y z

z

x y z

2 cosJ r

cos

sin

x r

y r

Polární soustava2 2

arctg

r x y

y

x

2J r

Rozdělení příkladů

Gaussův integrálMatematické příklady

Klasický oscilátorKvantový oscilátorPole oscilátoru

Doplňující fyzikálnípříklady aporuchová teorie

De Brogliovy vlny

Vlnová funkce 2

, Ax Bxx t Ce

Schrődingerova rovnicev homogenním poliaCoulombově potenciálu

Pravděpodobnosti

Potenciálová jáma

Hermiteovy polynomy

Operátory a komutátorty

Kvantová tělesa

Kreační a anihilační operátoryposunovací operátory

Střední hodnoty

Vlnová funkce 2

1, x ixx t Ce

Vyšetření částice

Střední kvadratické odchylky

Spektrum a vlastní hodnotyoperátorů

Spin