4. 4. 2007 1

FI-12 Kmity a vlnění III.

4. 4. 2007 2

Hlavní body

• Harmonické vlny• Rychlost šíření

• Přenos energie

• Interference vln

• Stojaté vlny

• Dopplerův jev

4. 4. 2007 3

Rychlost šíření vln I

• Mějme vlnu, která se šíří například v napjaté struně. • Maximální amplitudu si lze představit jako

kopec, jehož vrchol se šíří rychlostí c.

• Elementy délky struny se na něm pohybují po dráze, kterou lze aproximovat částí kružnice.

• Potom musí složení tahů sousedních elementů realizovat dostředivou sílu.

4. 4. 2007 4

Rychlost šíření vln II

• Předpokládáme malý úhel, který nahradíme parametry kružnice a hmotnost vyjádříme pomocí hustoty na jednotku délky :

Tedy :

F

c

R

mcF

2

sin2

R

cl

R

lFFF

2

2sin2

4. 4. 2007 5

Rychlost šíření vln III• v čitateli je síla, která souvisí s elastickými

vlastnostmi prostředí a • ve jmenovateli lineární hustota, představující

vlastnosti setrvačné.• Pro rychlost zvuku například platí : • Kde K je modul objemové pružnosti a

součinitel objemové stlačitelnosti, zavedený dříve :

K

c

VdVdp

K

1

4. 4. 2007 6

Energie vln I

• Vlnění je postupné kmitání jednotlivých oscilátorů podél jeho šíření.• Lze tedy očekávat, že se bude prostřednictvím

vlny šířit energie kinetická i potenciální.

• Přitom střední kinetická i střední potenciální energie bude polovina energie celkové.

• Vyšetříme střední kinetickou energii.

4. 4. 2007 7

Energie vln II• Kinetická energie elementu délky dx závisí na

jeho rychlosti kmitání :

• Střední kinetickou energii na jednotkovou délku struny obdržíme integrací :

)(sin)(2

2202

12

kxtudxudm

dEk

20

241

0

1 udEE kk

4. 4. 2007 8

Energie vln III• Tato energie se přenáší spolu s potenciální energií

úsekem jednotkové délky, čili po derivaci podle času platí pro přenášený výkon :

• Výkon obsahuje • parametry prostředí a c

• vlastnosti vlny 2 a u02

20

221)( uccEEP pk

4. 4. 2007 9

Skládání vln I

• Při skládání vln platí podobně jako při skládání kmitů princip superpozice.

• Ten je podle okolností realizován vektorovým nebo prostým součtem.

• Jedná-li například o dvě příčná nebo podélná vlnění, šířící se v ose x, platí :

),(),(),( 21 txutxutxu

4. 4. 2007 10

Skládání vln II

• Pro charakter složené vlny platí obdoba téhož, jako při skládání kmitů.• Obecně má vlna kromě amplitudy tři další

parametry např. úhlovou frekvenci, vlnové číslo a fázi. Může kmitat totiž různě v čase a může mít i různou rychlost šíření a počáteční výchylku. Fázi zatím nebudeme uvažovat.

)cos()cos(),( 22201110 xktuxktutxu

4. 4. 2007 11

Skládání vln III• V určitém prostředí předpokládáme, že rychlost

šíření nezávisí na úhlové frekvenci. Tím se počet nezávislých parametrů vlny redukuje na dva, takže platí přesně totéž, co pro skládání kmitů.

• V reálném prostředí rychlost šíření vln na úhlové frekvenci závisí. Tento jev se nazývá disperze a je například v optice příčinou barevné vady čoček nebo rozkladu světla na optickém hranolu.

4. 4. 2007 12

Skládání vln IV

• Šíří-li se harmonické vlny stejnou rychlostí, ale liší se amplitudou a úhlovou frekvencí, je výsledná vlna obecně aperiodická, ale může být i periodická, dokonce i harmonická. Závisí to na vzájemných vlastnostech úhlových frekvencí.

4. 4. 2007 13

Skládání vln V• K zajímavému efektu dochází, mají-li vlny

úhlovou frekvenci stejnou:• V každém bodě se potom skládají kmity stejné

frekvence

• Výsledkem je opět kmit stejné frekvence a určité amplitudy a fáze

• uvažujme pro jednoduchost vlny s jednotkovou amplitudou

4. 4. 2007 14

Skládání vln VI

• výsledná vlna je modulována veličinou závislou na vzájemném fázovém posunu.

• Zajímavé jsou dva extrémy • konstruktivní interference, kdy vznikne vlna o

dvojnásobné amplitudě

• destruktivní interference, kdy se vlny navzájem vyruší

)cos(cos2

)cos()cos(),(

22

kxt

kxtkxttxu

4. 4. 2007 15

Stojaté vlnění I

• Zvláštním případem je složení vlny se svým odrazem na překážce

• Fázový posun zde zohledňuje skutečnosti, že • podle charakteru překážky se může změnit fáze

• k odrazu může dojít v různých vzdálenostech

)cos()cos(2

)cos()cos(

22

tkx

kxtkxt

4. 4. 2007 16

Stojaté vlnění II• Za vhodných okolností je vlna stabilní a je

prostorově modulována. Existují na ní :• kmitny – místa, kde je maximální rozkmit

• uzly – místa, kde se vlny úplně vyruší

4. 4. 2007 17

Skládání vln VII

• Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnou periodickou vlnu.

• Na tomto principu je založena Fourierova analýza.

n

n kxtnatxu )cos(),(

4. 4. 2007 18

Skládání vln VIII

• Ukážeme si například složení pilového kmitu jako součtu :

n

n tntu )sin()( 1

4. 4. 2007 19

Dopplerův jev I• Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo

prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence.

• Popišme pohyb : • zdroje vlnění rychlostí v• příjemce vlnění rychlostí u• prostředí šíření rychlostí w• rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než

rychlost světla ve vakuu• všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné

4. 4. 2007 20

Dopplerův jev II• Předpokládejme stojící zdroj v počátku a stojící

prostředí (v = w = 0) a pozorovatel (napravo od počátku) se vzdaluje od zdroje rychlostí u > 0.

• Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času.

• kdyby byl pozorovatel v klidu :0

0 c

f

4. 4. 2007 21

Dopplerův jev III• Když se pozorovatel pohybuje, vlny kolem něj

neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí

c - u. S použitím předchozího platí :

• Pro vzdalujícího se pozorovatele je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se by bylo u záporné a frekvence by byla vyšší.

c

uc

f

ff

c

ucucf u

u

00

0

4. 4. 2007 22

Dopplerův jev IV• Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se

pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli.• Během jedné periody T0 vyšle zdroj jednu vlnu.• V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od

bodu, odkud vysílal začátek o T0v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T0c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T0(c-v). Proto :

• Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se by byla frekvence opět vyšší.

)()(

0

00

00 vcT

cT

f

fvcT v

4. 4. 2007 23

Dopplerův jev V• Pohybuje-li se jen prostředí, a to rovnoměrně,

přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění.

• Jsou-li ale nenulové i pohyby pozorovatele nebo zdroje, musí se změněná rychlost šíření vzít v úvahu a lze tedy napsat souhrnný vztah pro všechny možné vzájemné pohyby :

wvc

wuc

f

fv

0

4. 4. 2007 24

Dopplerův jev VI• Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u

neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v.

• Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdíl u - v.

• Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně.

• Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná.

4. 4. 2007 25

Dopplerův jev VII• Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a

rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom :

• tento vztah již symetrický je.

• v – u je vzájemná rychlost, kladná při přibližování

• platí i pro elektromagnetické vlny (světlo)

c

uv

vc

uv

vc

uvvc

vc

uc

f

fv

11)(

0

Příklad – rychlost zvuku I• Pomocí výbuchů v malých hloubkách pod

mořskou hladinou byla zjištěna rychlost šíření zvuku c = 1.43 103 m/s.

• Jak je stlačena voda v největších hlubinách na Zemi?

• Z hustoty mořské vody = 1.03 103 kgm-3 můžeme určit K modul její objemové pružnosti :

GPacKK

c 1.22

Příklad – rychlost zvuku II• Součinitel objemové stlačitelnosti tedy je:

• Relativní stlačení při atmosférickém tlaku 105 Pa tedy je 5 10-5 a na dně Mariánského příkopu, při tlaku cca 108 Pa je asi 5%. Voda tedy není dokonale nestlačitelná!

1101075.411 PaKpV

V

^