8. 4. 2006 1

FI-10 Kmity a vlnění I.

8. 4. 2006 2

Hlavní body• Úvod do nauky o kmitech a vlnění

• Druhy kmitů• Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené

• Harmonické kmity• Pohybová rovnice a její řešení

• Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie

• Příklad kmitajících soustav - kyvadla

8. 4. 2006 3

Úvod do kmitů a vlnění I

• K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační.• Jejich existence vyplývá z elastického

charakteru sil, působících mezi částicemi.

• V přírodě jsou značně rozšířeny.

• Vibrační energie je důležitým druhem energie.

8. 4. 2006 4

Úvod do kmitů a vlnění II• Kmitem se nejobecněji rozumí pohyb hmotného

bodu, který je omezen v prostoru.

• Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které nepřenáší hmotu ale přenáší energii.

• Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat:• rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádné síly a

• síly, které se snaží o návrat do rovnovážné polohy. Jedná se tedy o stabilní rovnováhu.

8. 4. 2006 5

Druhy kmitů I• Charakter kmitů je určen :

• konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu.

• možnou přítomností sil disipativních (ztrátových).

• Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelně opakuje.

• Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času.

8. 4. 2006 6

Druhy kmitů II

• Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátám mechanické energie. Potom se jedná o kmity netlumené.

• Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené.

8. 4. 2006 7

Druhy kmitů III

• Striktně vzato, každé reálné kmitání je tlumené.

• Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože :• tlumení může být zanedbatelně malé nebo

• energie, o kterou kmitající systém přichází, mu může být vhodným způsobem doplňována.

8. 4. 2006 8

Druhy kmitů IV• Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť:

• jejich existence vyžaduje sice speciání druh návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují.

• každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovu řadu harmonických kmitů.

• každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierův integrál harmonických kmitů.

• Součet i integrál jsou lineární operace mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji.

8. 4. 2006 9

Netlumené harmonické kmity I

• Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci :• hmotný bod se může pohybovat na přímce,

kterou ztotožníme například s osou x.

• počátek zvolíme v rovnovážné poloze

• Charakter kmitů je dán návratovou silou :• návratová síla je přímo úměrná výchylce

kxF

8. 4. 2006 10

Netlumené harmonické kmity II• tato síla odpovídá Hookovskému chování.

Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu nazývá se konstanta úměrnosti k tuhost pružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu.

• podobná síla ale může existovat v libovolném poli, které má potenciál, například gravitačním nebo elektrostatickém.

8. 4. 2006 11

Netlumené harmonické kmity III

• Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovou rovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu :

• Vyzkoušíme řešení například ve tvaru :

kxxmF

)sin()( 0 txtx

8. 4. 2006 12

Netlumené harmonické kmity IV

• Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice :

• Odtud vyjádříme :)()(2 tkxtxm

)cos()( 0 txtx

)()sin()( 20

2 txtxtx

m

k

8. 4. 2006 13

Netlumené harmonické kmity V

• Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat:

• Úhlová frekvence popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i frekvenci f a periodu T :

Tf

22

)sin()sin()( 00 txtxtx mk

8. 4. 2006 14

Netlumené harmonické kmity VI• Protože výchylka vznikla dvojí integrací,

obsahuje dvě integrační konstanty :• amplitudu x0, která má význam největší možné

výchylky a• fázi , pomocí níž lze popsat kmity, které měly

určitou počáteční výchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas.

• jejich hodnoty se určují z okrajových podmínek.

8. 4. 2006 15

Netlumené harmonické kmity VII

• Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení :

)sin()sin()( 00 txtxtx mk

)cos()cos()()( 00 txtxtxtv mk

mk

)sin()sin()()( 02

0 txtxtxta mk

mk

8. 4. 2006 16

Netlumené harmonické kmity VIII

• Vidíme důležité vlastnosti :• Rychlost se předchází před výchylkou o

čtvrtinu periody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr.

• Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v protifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme.

8. 4. 2006 17

Netlumené harmonické kmity IX• Vyšetříme časovou závislost energie, která

zjevně musí mít dvě složky :• kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje

určitou časově proměnnou rychlostí a• potenciální, protože k posunutí hmotného bodu

do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztráty energie zanedbatelné.

8. 4. 2006 18

Netlumené harmonické kmity X

• Najděme tuto práci :• protože síla není konstantní, ale závisí na

výchylce, musíme integrovat.

• abychom docílili určité výchylky musíme dodat kladnou práci, a to i v případě záporné výchylky.

2)()(

2

0

kxdkxWxE

x

p

8. 4. 2006 19

Netlumené harmonické kmity XI

• Tedy :

• V kinetické energii dosadíme za :

)(sin22

)( 220

2

txkkx

xEp

)(cos22

)( 220

22

txmxm

xEk

)(cos2

)( 220 tx

kxEk

8. 4. 2006 20

Netlumené harmonické kmity XII

• Pro celkovou energii tedy platí :

• a s využitím známe identity :

)](sin)([cos2

)()()(

2220

ttxk

tEtEtE pk

.22

)(22

20 konst

xmx

ktE o

8. 4. 2006 21

Netlumené harmonické kmity XIII

• Vidíme důležité vlastnosti :

• Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru.

• Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisi na její orientaci.

• Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy.

8. 4. 2006 22

Netlumené harmonické kmity XIV

• Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se.• Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité

polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii.

• Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku.

• Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě.

8. 4. 2006 23

Příklady – fyzické kyvadlo I• Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v

gravitačním poli (výjimka např. torzní k.).• Fyzickým kyvadlem může být jakékoli tuhé

těteso, které se může otáčet kolem pevné osy neprocházející těžištěm. Budeme předpokládat vzdálenost osy od těžiště a.

• Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou.

8. 4. 2006 24

Příklady – fyzické kyvadlo II

• Vychylme kyvadlo z rovnováhy o malý úhel . V důsledku gravitace se objevuje moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy.

• Napišme pohybovou rovnici :

JJGaT sin)(

8. 4. 2006 25

Příklady – fyzické kyvadlo III

• Jejím řešením budou za předpokladu malých úhlů, kdy sin() , harmonické kmity :

• Řešení je analogické teoretickému :

GaJ

)sin()sin()( 00 ttt JGa

8. 4. 2006 26

Příklady – fyzické kyvadlo IV

• Úhlová frekvence tedy je :

• V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávájí systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor.

J

Ga

8. 4. 2006 27

Příklady – matematické kyvadlo I

• Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo matematické, jehož veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení. Buď na nehmotném vlákně nebo tyčce.

• Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2.

8. 4. 2006 28

Příklady – matematické kyvadlo II

• Pro úhlovou frekvenci tedy dostáváme :

a pro periodu T :

• Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení.

l

g

ml

mgl

T JGa

2

2

g

lT 2