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フーリエ級数諸例 ���������� �� 矢崎
目 次
�� 方形波 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 鋸歯状波 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� �角パルス ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 簡単な偶関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � � �
�� 簡単な奇関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � �
� 偶関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � � � � � �
� 偶関数のフーリエ級数(図) � � � � � � � � � � � � �
�� 奇関数のフーリエ級数 � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 奇関数のフーリエ級数(図) � � � � � � � � � � � � �
� � �角パルス ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �角多項式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 奇関数でも偶関数でもない関数 ��� � � � � � � � � � ��
��� 奇関数でも偶関数でもない関数 ��� � � � � � � � � � ��
��� ����に関する問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
注�
問題 ���� これだけは!(初級)問題 ���� 脳みそに汗が;(中級)問題 ���� むむ、御主只者でないの。(上級)
�� 方形波
周期 ��の関数
���� �
��� ��� � � � �
� � � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は奇関数なので,�� � である。よって,��のみ計算すればよい。
�� ��
����� ������
��
����� ������
�
���
�� �偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ����
���� �奇数 � �� � � � � � � � � � � � � � � � ���
故に,
���� ��
�
�����
������ ���
�� �
��
�
������
��� ��
��
�����
�� � � ��
������ ���
�� �� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
�
�� 鋸歯状波
周期 ��の関数
���� � � ��� � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は奇関数なので,�� � である。よって,��のみ計算すればよい。
�� � ��
������
���������
��� � � � � � � ��
故に,
���� � �
�����
�������
������
� �
������
��� ��
��
��� ��
��� � � �� �������
�����
�� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
�
�� �角パルス ���
周期 ��の関数
���� � ��� ��� � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は偶関数なので,�� � である。よって,�� �� のみ計算すればよい。
�� ��
��������� � �� �� � � � � � � ��
�
���
�� �偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ���
��
����� �奇数 � �� � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� � �
故に,
���� ��
��
�
�
�����
������ ���
��� ���
��
��
�
�
���� ��
��� ��
���
��� ��
��� � � � �
������ ���
��� ���� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
�
�� 簡単な偶関数のフーリエ級数
周期 ��の関数
���� � �� ��� � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は偶関数なので,�� � である。よって,�� �� のみ計算すればよい。
�� �������
��
� ���������
���� � � � � � � ��
�� ��
���
故に,
���� ���
�� �
�����
������������
��
���
�� �
������
��� ��
���
��� ��
���� � � �� �������
�����
��� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
�
�� 簡単な奇関数のフーリエ級数
周期 ��の関数
���� � �� ��� � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は奇関数なので,�� � である。よって,��のみ計算すればよい。
�� ��
�
��
�
�� �������
�����������
��
���������
���� � � � � � � ��
故に,
���� � ��������
������� �����
�� ��
�����
������� �����
��
� ���������
��� ��
��
�����
��� � � �� �������
�����
�� � � �
�
���
������
��� ��
���
��� ��
���� � � �� �������
�����
��� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
� 偶関数のフーリエ級数
周期 ��の関数
���� � ��� �� ��� � � � �� ��は整数でない�
のフーリエ級数を求める。
����は偶関数なので,�� � である。よって,�� �� のみ計算すればよい。
�� ��
�
��
�
���� �������
��
�
��
�
��� �� �������
��
�
��
�
������� ���� ������ ���� ��
��
�
��
�
������� �����
���� � ����� � � � � � � ��
�� ��
�
��
�
���� ��
��
�
��
�
��� �� ��
�� �����
��
故に,
���� ��� �����
�
�
����
�����
����������
�� � ��
��� �����
�
��
����
��� �
�� � ��
��� ��
�� � ���� � � �� �����
�����
�� � ��� � � �
�
� 偶関数のフーリエ級数(図)
f(x) N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 � � ��� のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和 第 � 部分和,
� � �� �� �� �� ��� ���
f(x) N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 � � � ���のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和 第 � 部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
�
�� 奇関数のフーリエ級数
周期 ��の関数
���� � ����� ��� � � � �� ��は整数でない�
のフーリエ級数を求める。
����は奇関数なので,�� � である。よって,��のみ計算すればよい。
�� ��
�
��
�
���� �������
��
�
��
�
����� �������
�������� �����
���� � ����� � � � � � � ��
故に,
���� � �� �����
�
�����
�������� �����
�� � ��
� �� �����
�
�����
�� � ���
� ��� ��
�� � ���
� ��� ��
�� � ���� � � ��
�������� �����
�� � ��� � � �
�
�
�� 奇関数のフーリエ級数(図)
f(x) N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� � ��� のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和 第 � 部分和,
� � �� �� �� �� ��� ���
f(x) N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 �� � � ���のときの �� のフーリエ級数の第 � 項までの和 第 � 部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
�
� � �角パルス ���
周期 ��の関数
���� � � � ��� ��� � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は偶関数なので,�� � である。よって,�� �� のみ計算すればよい。
�� � ��
������� �� � ��
� ��
��������� � ��
�
���
�� �偶数 � � � � � � � � � � � � � � � ����
����� �奇数 � �� � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� � �
故に,
���� ��
��
�
�
�����
������ ���
��� ���
��
��
�
�
���� ��
��� ��
���
��� ��
��� � � � �
������ ��
��� ���� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 � � ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
��
��� �角多項式
周期 ��の関数
���� � � �
�����
� � ������� �����
のフーリエ級数を求める。
��
���は有限項 �� 項�の和であるので,積分
��
��と�
�
���は順序を交
換できる。�無限項の和��
���と積分の順序は必ずしも交換できない。�
よって,
�� � �
�
��
��
���������
�
�����
�
��
��
���� ���������
�
�����
��
��
��
���� �������
�
� � �� � � � � � � � ��
�� � � � � � � � � � � � � ��
�� � � �
ここで,正弦・余弦関数の直交性を用いた。同様に,
�� �
��� �� � � � � � � � ��
�� � � � � � � � � � � � � ��
故に,
���� � � �
�����
� � ������� �����
� ����
即ち,����のフーリエ級数は ����自身である。
��
��� 奇関数でも偶関数でもない関数 ���
周期 ��の関数
���� �
� ��� � � � �
� � � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
����は奇関数でも偶関数でもないので �� �� ��の全てを計算する。
�� ��
�
��
��
���� ������� ��
�
��
�
� ������� ��
��������� � �� �
�
��������� � ��
�
���
�� �偶数 � � � � � � � � � � � � � � � �����
����� �奇数 � �� � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� ��
�
�� ��������
��� � � � � � � ��
故に,
���� ��
��
�
�
�����
������ ���
��� ����
�����
�����������
��
��
�
�
���� ��
��� ��
���
��� ��
��� � � � �
������ ���
��� ���� � � �
�
�
������
��� ��
��
��� ��
��� � � ��
������� ����
� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 ��� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
��
��� 奇関数でも偶関数でもない関数 ���
周期 ��の関数
���� �
� � �
��� � � � �
�� � � � � ����
� ���� � � � ��
のフーリエ級数を求める。
f(x)
��は奇関数でも偶関数でもないので ��� ��� �� の全てを計算する。
�� � ��
� ��
�
�
�
���
� � �偶数 � � � �� �� �� � � � � �� �� �� � � �
����������
��
����
�� �� �奇数 � �� � � �� �� �� � � � � �� �� �� � � �
�� � �
�� ��
�
�� ��
�
�� � � ���
�
�
���
������ � �
��
��� � �
� �偶数 � � � �� �� �� � � � � �� �� �� � � �
� � �奇数 � �� � � �� �� �� � � � � �� �� �� � � �
故に,
�� � ��
�����
����� �� �� ��
�� ��
�
�����
�� ��� �� ��
� ��
��� ��
�� ��
��
�� ��
��� � � ��
����� �� �� ��
�� �� � � �
�
��
� �� ��� � �
�� ��
�� � �
�� ���
�� � � � � ��
�� ��� �� ��
�� � � �
�
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 ��� ��のフーリエ級数の第�項までの和 第�部分和,� � �� �� �� �� ��� ���
��
��� ����に関する問題
����において、正弦関数で展開している方の項を見ると,一つ置きに
の項がある。それなら,もう少し簡単に,
�� ��
��
�� ���
��
�� �� � ������
�
�
� � �
��
���
��
���� ����� �偶数 � ����� �� � ��� � � � � � � � �� � � � � � � ���
�� �偶数 � ����� � �� � � � �� � � � �� � � � � � � ���
�� �奇数 � �� � � � � � � � � � � � � � � � ���
としても問題はないはずである。そうしておいて,
���� � ��
�
�����
������� ������ ���
�� ��
�
�
�����
��� ����� ���
��� �
� ��
�
���� ��
��� ��
��
��� ��
��� � � ��
������� ������ ���
�� �� � � �
�
��
�
���� ���
��� �
��
���� �
�� � � � �
������� ���
��� �� � � �
�
と展開する。そして,と �を同じ �個ずつ和を取る。一見,上の計算と同じなのだが,図 ��のようになる。���� ���� � � �辺りで妙なノイズが観察される。どうしてこのような現象が起こるのか。また、� � �としたとき、このノイズは消えるのか。考察してみよ。
N = 1 N = 2 N = 3
N = 4 N = 10 N = 100
図 ��� ��のフーリエ級数の �を飛ばした第 �項までの和 第 �部分和,� ��� �� �� �� ��� ���
��