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フーリエ変換の性質 ・対称性 ・パーシバルの定理 ・畳み込み積分 ・畳み込み積分定理
フーリエ変換の応用 ・デルタ関数のフーリエ変換 ・方形パルスのフーリエ変換 ・デルタ関数列のフーリエ変換
偶関数 奇関数
y軸に対称な関数 原点に対称な関数
( ) ( )xfxf −= ( ) ( )xfxf −−=
f(x) f(x)
0
0
x
x
( )∫∞
∞−= 0dxxf( ) ( )∫∫
∞∞
∞−=
02 dxxfdxxf
偶関数×偶関数＝
奇関数×奇関数＝
偶関数×奇関数＝
正弦波 sin(ωt)： 余弦波 cos(ωt)：
f(x)が偶関数のときのフーリエ変換( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∫
∫∫
∫
∞
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
=
−=
=
0cos2
sincos
dxxxf
dxxxfidxxxf
dxexfF xi
ω
ωω
ω ω
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∫
∫∫
∫
∞
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
−=
−=
=
0sin2
sincos
dxxxfi
dxxxfidxxxf
dxexfF xi
ω
ωω
ω ω
f(x)が奇関数のときのフーリエ変換
実数部のみが残る
虚数部のみが残る
フーリエ変換の対称性
( ) ( )∫∞
∞−= ωω
πω deFxf xi
21
( ) ∫∞
∞−
−= dxexfF xiωω )(
( ) ( )∫∞
∞−
−=− ωωπ
ω deFxf xi
21
実領域 周波数領域
x → -x
( ) ( )∫∞
∞−
−=− dxexFf xiω
πω
21
x と ωを入れ替える
( )[ ] ( )ω−=ℑ fxF
( ) ( )[ ]xfF ℑ=ω
ならば
f(x)
x
f(－ω)
ω
0
0
F(ω)=Re(ω)－jIm(ω)
ω0
FT
FTx0
F(x)=Re(x) －jIm(x)
（空間）周波数軸を時間（空間）軸に （ω → x）
フーリエ変換の対称性
フーリエ変換の対称性といった場合，左右対称とか点対称などといった幾何学的な意味はまったくない
「時間（空間）変数 x と（空間）周波数変数 ω を，それぞれ と に交換できる」というのがフーリエ変換の対称性という言葉の意味
ある関数をフーリエ変換して出来た関数と逆変換して出来た関数は，変数の符号が異なるだけ
パーシバルの定理
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )∫
∫ ∫
∫∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∗∞
∞−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
=
dxxf
dxxfdeF
ddxexfF
dFFdF
xi
xi
2
2
21
2121
21
ωωπ
ωωπ
ωωωπ
ωωπ
ω
ω
トータルの は，実領域で求めても周波数領域で求めても同じである
F(ω)の共役複素数
a ＋ ib， a － ib の関係
パワースペクトル Power spectrum
x
y
v
u
空間領域 f(x,y) 空間周波数領域 F(u,v)
• 空間軸上のパワー（平方の総和）と空間周波数軸上のパワー（平方の総和）は等しい
• 空間軸上のエネルギーと周波数軸上のエネルギーは保存される
畳み込み積分（合成積，重畳積分）
Convolution（コンボリューション）
２つの関数f1(x)，f2(x)が与えられたとき
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−= dyyxfyfxf 21
を，f1(x)とf2(x)の という
f1(x)1.0
f2(x)1.0
f2(y)1.0
f1(y)1.0
x x
x → yf(-y)
を考える
f1(y)1.0
f2(-y)
f1(y)1.0
f2(τ-y)
τ
プラス側に τだけ
移動した f(τ-y)を考えるf2(x-y)
f1(y)1.0
f2(x-y)
x = τのとき
( ) ( ) ( )∫ −=τ
0 21 dyyxfyfxf
( )∫ −=τ
0 2 dyyxf
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−= dyyxfyfxf 21
x = 0のとき f (x) =
τ
1
面積
f2(0-y)
f2(x-y)において x = 0のとき
畳み込み積分の定義式
( ) ( ) ( )( ) ( )xfxf
dyyxfyfxf
21
21
∗=
−= ∫∞
∞−
f1(x)とf2(x)の畳み込み積分は
* ：コンボリューションを意味する記号
( ) ( )xfxf 21 ∗ で表される
次のような問題を考えてみます
２つの関数f(x)，g(x)が与えられたとき コンボリューション（convolution）積分は
のフーリエ変換を求めよ．
( ) ( )xgxf ∗ で表される
( ) ( )xgxf ∗
ここで，仮にf(x)，g(x)のフーリエ変換を
( )[ ] dxexfxf xj∫∞
∞−
−=ℑ ω)(
( )[ ] dxexgxg xj∫∞
∞−
−=ℑ ω)( で表す
F(ω) G(ω)
( ) ( )[ ] ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅ℑ=∗ℑ ∫
∞
∞−dyyxgyfxgxf )(
( ) dxedyyxgyf xjω−∞
∞−
∞
∞−⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅= ∫ ∫ )(
( ) ( ) 0=+− xjxj ωω
( )[ ] dxeeedyyxgyf xjyjyj ωωω −−∞
∞−
∞
∞−⋅⋅⋅−⋅= ∫ ∫ )(
( ) ( )∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
− ⋅−⋅= dxeyxgdyeyf yxjyj ωω)(
( ) ( )ωω GF ⋅=
xjxjxjxj eeee ωωωω ⋅=== −+−10
畳み込み積分定理
Convolution（コンボリューション）定理
( ) ( )[ ] ( ) ( )ωω GFxgxf ×=∗ℑ
実空間領域 （時間）
空間周波数領域 （時間）
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−−=∗ dyyxgyfxgxf
周波数領域 （空間，時間）
F(ω) G(ω)
実領域 （空間，時間）
ＦＴ ＦＴ ＦＴ
F(ω)× G(ω)
( ) ( )[ ]xgxf ∗ℑ
( ) dxedyyxgyf xjω−∞
∞−
∞
∞−⋅−⋅= ∫ ∫ )(
畳み込み積分定理
Convolution（コンボリューション）定理
２つの関数f(x)，g(x)の畳み込み積分の フーリエ変換は，それぞれの関数の フーリエ変換F(ω)，G(ω)の積で表される
実領域での畳み込み積分は， 周波数領域では で行える
フーリエ変換の応用
デルタ関数 δ(x)
( ) ( ) ( )0fdxxxf =⋅∫∞
∞−δ
( ) 1=∫∞
∞−dxxδ ( ) ( )
( ) ∞=
≠=
000
δ
δ xx
0x
δ(x)
関数ともいわれる
ある関数f(x)とデルタ関数を掛け合わせて積分すると
デルタ関数のフーリエ変換
( ) ( )
1
0
)0(
=
=
=
⋅=
−
∞
∞−
−∫
ee
dxexFj
xj
ω
ωδω
0 x
δ(x)
ＦＴ
ω
F(ω)
0
1 ： 常に一定の周波数スペクトル
方形パルスのフーリエ変換
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=
dx
dxdxf021
－d x
f(x)
d
1/2d
( )[ ] ( )
[ ]
( )dd
ejd
dxed
dxed
dxexfxf
dd
xj
d
d
xj
d
d
xj
xj
ωω
ωω
ω
ω
ω
sin
1212121
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⋅=ℑ
−−
−
−
−
−
∞
∞−
−
∫
∫
∫
関数
( )θθsin ( )
axaxsin
のように表される関数 ，
sinc(θ)，sinc(ax) と表記する
sin関数 sinc関数 振幅の範囲 －1～1
方形パルスのフーリエ変換
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=
dx
dxdxf021
－d x
f(x)
d
1/2d
( ) ( )( )dd
dxexfFd
d
xj
ωω
ω ω
sin=
⋅= ∫−−
ω
F(ω) 1
－π/dπ/d 2π/d－2π/d
ＦＴ
デルタ関数列のフーリエ変換
0x
f(x)
0u
F(u)
ＦＴ
x0
00
1x
u =
comb function， コム関数，櫛関数 とも呼ばれる
x0 大 → u0 小 x0 小 → u0 大
「フーリエ変換の応用」 まとめ
デルタ関数のフーリエ変換は， 常に1の である
方形パルスのフーリエ変換は， である
デルタ関数列のフーリエ変換は，デルタ である
周波数の単位
時間領域 t
空間領域 mm
時間周波数領域 cycles/sec, Hz
空間周波数領域 cycles/mm
LP/mm
[ ] 1,1 −mmmm
Fourier Transform
line pairs per millimeter
1 mm 6 LP/ mm
1 mm 3 LP/ mm
line間の間隔が狭い →
line間の間隔が広い →
