FEM

7/17/2019 FEM

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INTRODUCCION Sistema de un grado de libertad Sistemas continuos El metodo de los elementos finitos

Introduccion al Metodo de los elementos

finitos: analisis modal y dinamica lineal

Dr. Ing. Cavalieri Federico

CIMECCONICET-Universidad Nacional del Litoral

[email protected]

Centro Tecnologico CIDETER

mailto:[email protected]

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7/17/2019 FEM



Introduccion. Problemas de la dinamica

estructural

En este modulo se tratara el analisis de la respuesta dinamica deestructuras y componentes mecanicos.

Se entiende por “analisis de respuesta estructural” al

proceso por el cual se trata de determinar como se comporta una

estructura frente a un estado de solicitacion

En el analisis se parte del conocimiento de la estructura (geometrıa,

dimensiones, propiedades materiales) y su estado de vinculacion y

carga.

La respuesta hace referencia a parametros que precisan el estado

mecanico de la misma: desplazamientos, deformaciones, tensiones,

aceleraciones, etc.

La caracterıstica principal de las solicitaciones dinamicas sobre lasestructuras es su variacion con el tiempo. Sin embargo estacaracterıstica no es suficiente para que deba ser realizado unanalisis dinamico.

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Si las cargas varıan suavemente con el tiempo, la respuesta de la

estructura puede ser calculada mediante una sucesion de analisis

estaticos para cada instante de la respuesta. Un analisis de estascaracterısticas suele denominarse pseudo-estatico.

Si la variacion con el tiempo de la estructura pone en evidencia las

fuerzas de inercia entonces se requiere de un analisis dinamico.

Cuando las cargas aplicadas a una estructura dependen del tiempo, es

necesario conocer las frecuencias naturales de la estructura y lavariacion con el tiempo de las respuesta de la estructura a esas

cargas.

Si la estructura es excitada con una frecuencia menor que un tercio dela frecuencia natural de vibracion mas baja, entonces los efectos de

inercia pueden ser despreciados y la soluci´on sigue con loslineamientos que se han tratado hasta el momento, considerando al

sistema cuasi-estatico.

Si la frecuencia de excitacion es elevada o la estructura vibra

libremente, la inercia ha de ser tenida en cuenta.

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Los problemas dinamicos

Problemas de propagacion de ondas. La carga es a menudo un

impacto o explosion. Poseen altas frecuencias. El tiempo de duracion

es corto.

Problemas estructurales dinamicos. La frecuencia de excitacion esdel mismo orden que la frecuencia natural de vibracion mas baja.

Estocasticos. En los problemas tipo 1 y 2 se conoce como varıa la

carga en funcion del tiempo, es decir son problemas determinısticos. En

los estocasticos no se sabe exactamente como varıa la carga.

Terremotos

En este trabajo solo se hara referencia al segundo tipo.

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Formas de cargas dinamicas

Una primera clasificacion que puede hacerse de las cargas

dinamicas es:Cargas determinısticas. Pueden describirse unıvocamente con una

funcion del tiempo.

Cargas aleatorias. No pueden definirse de manera precisa, pero

pueden definirse en un sentido estadıstico. Ejemplo acciones sısmicas.

En este curso se estudiara la respuesta de sistemas dinamicosfrente a cargas determinısticas.

Si se considera la forma de variacion con el tiempo, las cargasdinamicas pueden clasificarse como:

Cargas armonicas. Tienen variacion sinusoidal con el tiempo.Ejemplo: vibraciones de motores o maquinas.

Cargas periodicas. Tienen un patron que se repite con el tiempo.

Ejemplo: fuerza de propulsion de una helice de un barco.

Cargas impulsivas. La energıa se transmite en forma de pulso.

Ejemplo: impacto de vehıculos, explosiones, etc.

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Tipos de analisis dinamicos

Analisis de vibraciones libres. Tiene por objeto el calculo defrecuencias y modos (formas) naturales de vibracion, y pueden ser:

No amortiguada

Amortiguada

Analisis de la respuesta determinıstica. Tiene por objetodeterminar la respuesta de la estructura frente a un estado deexcitacion. A su vez pueden ser:

Respuesta armonica. Tiene por objeto determinar la amplitud y fase

de la respuesta armonica (estacionaria).

Respuesta transitoria. Tiene por objeto determinar la respuesta acada instante de tiempo. En este caso el analisis puede realizarse:

Por superposicion modal. (Se tratara en este modulo).Por integracion directa. (paso de tiempo).

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Metodos de solucion

Problema real de

la Ingeniería

IDEALIZACIONES+ HIPOTESIS

PROBLEMA MATEMATICO I- Formulado en Ecuaciones Diferenciales

METODO

NUMERICO

PROBLEMA MATEMATICO II- Formulado en Ecuaciones Algebraicas

SOLUCION ANALITICA EXACTA

-

-

Difícil de obtener Sólo disponible para casos muy particulares

SOLUCION NUMERICA DE APROX.

-

-

Simple de obtener para un ordenador Disponible para casos muy generales

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Sistemas de un grado de libertad.

La primera fase para el estudio de la dinamica de estructuras es laformulacion del problema matematico. Para ello se hace uso dealgunos principios:

Principio de D’Alembert.

Principio de los trabajos virtuales.

Principio de Hamilton.

Principio de D’AlembertLa ecuacion basica de la dinamica es la segunda ley de Newton

f = m a

donde f representa la resultante de fuerzas actuando sobre un punto

material, m la masa y a la aceleracion.f −m a = 0

El segundo termino es interpretado en el principio deD’Alembert como una fuerza de inercia que se opone a la fuerza f

actuante. La ultima ecuacion puede interpretarse como una ecuacionde equilibrio. El problema puede pensarse como uno de equilibrio.

INTRODUCCION Si d d d lib d Si i El ´ d d l l fi i

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Cuando una estructura esta sometida a una carga estatica, apareceuna fuerza de restitucion elastica definida como:

f r = k u

u(t)

P(t)

C

k

u(t)

P(t)f d

f r

f i

Cuando una estructura esta sometida a una carga dinamica, elcampo de desplazamiento u(t) varıa con el tiempo t y aparecen dostipos de fuerzas:

Fuerzas de inercia. Son debidas a las aceleraciones de os diferentes

puntos de la estructura.

Fuerzas de amortiguamiento. Surgen como consecuencia del

rozamiento interno de la estructura al deformarse, del rozamiento de los

vınculos, resistencia al aire, etc.

Todas estas fuerzas se oponen al movimiento.

INTRODUCCION Si t d d d lib t d Si t ti El ´ t d d l l t fi it

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Siendo m la masa del material de la estructura, las fuerzas de:

Inercia: md2u(t)dt2

= mu(t)

Amortiguamiento: mdu(t)dt

= u(t). Las fuerzas de amortiguamiento son

difıciles de evaluar y en general estan relacionadas con la velocidad en

forma no lineal.

Sin embargo para un gran numero de aplicaciones se puede inferirque las fuerzas viscosas varıan linealmente con la velocidad, yentonces, las fuerzas de amortiguamiento por unidad de volumenpueden expresarse como:

c du(t)

dt = c u(t)

siendo c un coeficiente de amortiguamiento


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Ecuaciones de equilibrio y principio de

D’Alembert

Considerese un instante del movimiento del oscilador que haexperimentado un desplazamiento u(t) a partir de su posicion inicial.

u(t)

P(t)

C

k

u(t)

P(t)f d

f r

f i

El equilibrio se escribe como:

p(t) + f r + f d + f i = 0

O bien reemplazando por:

f r = −k u(t) f d = −c u(t) f i = −m u(t)

La ecuacion de equilibrio puede escribirse como:

m u(t) + c u(t) + k u(t) = p(t)


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Analisis de vibracion libre

El comportamiento de oscilador esta gobernado por:

m u(t) + c u(t) + k u(t) = p(t)

Para que el problema este univocamente planteado, debeespecificarse adecuadas condiciones iniciales,

m u(t) + c u(t) + k u(t) = p(t)u(0) = u0

u(0) = u0

El problema homogeneo corresponde para el caso de p(t) = 0, es decir,

en asuencia de cargas exteriores.

El analisis de este caso no corresponde estrictamente al de hallar la

respuesta del sistema a una excitacion, sino al de caracterizarlo

dinamicamente.

Esto ultimo significa hallar la frecuencia natural.


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Vibracion libre no amortiguada

m u(t) + k u(t) = 0u(0) = u0

u(0) = u0

La solucion de esta ecuacion diferencial puede escribirse como:

u(t) = u0

m

k sen

k

m t

+ u0 cos

k

m t

Esta solucion representa un movimiento armonico simple. Aquı

w =

k

m

representa una caracterıstica del sistema. En casos reales hayinfinitas frecuencias naturales


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Vibracion libre no amortiguada

5 10 15 20t

6

4

2

2

4

6

t


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g

Vibracion libre amortiguada

u(t) +

c

m u(t) +

k

m u(t) = 0 u(0) = u0 con

u(0) = u0

La solucion propuesta esta dada por: u(t) = est. Reemplazando,s2 + s

c

m +

k

m

est = 0

Resolviendo la ecuacion cuadratica,

s1,2 = −c

2 m ±

c2

4 m2 − k

m

La solucion sera diferente segun sea el signo del radicando

Estas situaciones dependen del valor del coeficiente deamortiguamiento y se denominan amortiguamiento:

Crıtico,

Supracrıtico

Subcrıtico.


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Amortiguamiento Crıtico

El amortiguamiento crıtico se produce cuando el radicando se anula:

c2

4 m2 − k

m = 0

vale decir, cuando el coeficiente de amortiguamiento toma el valor

crıtico cc

cc = 2mω

En este caso, introduciendo las condiciones iniciales, la respuestaesta dada por

u(t) = [u0 + (u0 + ωu0 t) t] e−ω t

De la figura se infiere que para el amortiguamiento crıtico larespuesta no oscila sino que tiende a cero, en forma asintotica.


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Vibracion libre amortiguada.

Amortiguamiento crıtico

5 10 15 20t

6

4

2

2

4

6

t


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Caso Sub-Amortiguado

Si el amortiguamiento es menor que el valor crıtico, es decircc < 2 m ω, el radicando es negativo. En estos casos suele

expresarse el amortiguamiento como una fraccion de su valor crıtico,

ξ = c

cc

= c

2mω

que se conoce como fraccion o relacion de amortiguamiento.

Introduciendo la variable ξ en

s1,2 = −c

2 m ±

c2

4 m2 − k

m

se tiene

s1,2 = −ξω ± i ω

1− ξ 2

y con notacion: ωD = ω

1− ξ 2. La respuesta es:

u(t) = e−ξ ω t u0 + u0ξω

ωD

sen(ωD t) + u0 cos(ωD t)


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Sub-Amortiguado

5 10 15 20

6

4

2

2

4

6


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Caso Sobre-Amortiguado

Si ξ > 1 el radicando es positivo, y puede escribirse como:

s = −ξω ± ω

ξ 2 − 1

y si se define ω = ω

ξ 2

− 1, la respuesta resulta

u(t) = e−ξ ω t [A senh(ω t) + B cosh(ω t)]

Puede observarse aquı, que al tener funciones hiperbolicas elmovimiento sobre-amortiguado no es oscilatorio sino que convergeasintoticamente a cero. Este caso, practicamente no se encuentranen estructuras.


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Sobre-Amortiguado

5 10 15 20t

6

4

2

2

4

6

t


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Vibraciones libres para sistemas

amortiguados y no amortiguados

5 10 15 20t

6

4

2

2

4

6

t

Sobre Amortiguada

Sub Amoritguada

Amorti. crítico

No Amortiguada


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Determinacion experimental de ξ

Si se consideran dos picos sucesivos de la curva de respuesta de la

estructura, y el hecho que las funciones armonicas se repiten conperıodo T , la relacion de amplitudes u(t) y u(t + T ) puede escribirsecomo

u(t)

u(t + T ) = e−ξω[t−(t+T )] = eξωT

Tomando el logaritmo natural de esa ecuacion se obtiene lo que seconoce como decremento logarıtmico

δ = ln u(t)

u(t + T ) = ξωT

Teniendo en cuenta que el perıodo para un caso subamoritguado esT = 2π/ωD, el decremento logarıtmico resulta

δ = 2πξ ω

ωD

= 2πξ

1− ξ 2


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Respuesta forzada de sistemas de un grado

de libertad

La respuesta de sistemas de un grado de libertada pude provenir dei) fuerza de excitacion, ii) movimiento de su base: aceleraciones,velocidades o desplazamientos.

m u(t) + c u(t) + k u(t) = p(t)

u(0) = u0

u(0) = u0

La solucion de la ecuacion del movimiento resulta ser la suma de lasolucion general homogenea y de una solucion particular de la

ecuacion no homogenea:

u(t) = uh(t) + u p(t)

La solucion general homogenea corresponde al caso de vibracionlibre. La solucion particular se estudiara a continuacion.


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Caso no amortiguado

u(t) + k u(t) = p0 sen (ω t)

La solucion general de la homogenea es

uh(t) = A sen(ω t) + B cos(ω t)

y la solucion particular

u p(t) = C sen(ω t)

La solucion general sera:

uh(t) = A sen(ω t) + B cos(ω t) +

p0

k(1− β 2) sen (ωt)

donde β = ω/ω. Si el cuerpo parte del reposo u(0) = 0 y u(0) = 0

uh(t) = p0

k(1−

β 2) [ sen (ωt)− β sen(ωt)]


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Vibracion Forzada no amortiguada

2 4 6 8 10t

6

4

2

2

4

6

t


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m u(t) + c u(t) + k u(t) = p0 sen(ω t)

Teniendo en cuenta que:c

m = 2 ξ ω

por lo tanto,

u(t) + 2 ξ ω u(t) + ω2 u(t) = p0m

sen (ωt)

y la respuesta sera,

u(t) = e−ξωt [A sen(ωDt) + B cos(ωDt)] +

+ p0

k (1− β 2)2 + (2ξβ )2

(1− β 2) sen(ω t)− 2 ξ β cos(ω t)


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20 40 60 80t

6

4

2

2

4

6

t


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Resonancia

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Β

1

2

3

4

5

6

FD 1

1 Β22

2 Ξ Β2


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Resonancia

20 40 60 80 100t

60

40

20

20

40

60

t


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O

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Oscilaciones forzadas con cargas arbitrarias

u(t) + 2 ξ ω u(t) + ω2 u(t) = g(t) con g(t) = p(t)

m

Se considera aquı la respuesta de un sistema con amortiguamiento

viscoso, a una carga transitoria general.

Integral de Duhamel. Se basa en el principio de superposicion de

sistemas lineales.

u(t) = e−ξωt u0

w

sen(w t) + u0 cos(w t)+

+

∞

0

e−ξω(t−τ ) g(τ )

m ω sen [w (t− τ )]dτ


Si i

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Sistemas continuos

El caso mas simple que puede plantearse para una estructuracontinua es de una barra recta.

P A

L

x

Las variables que describen el estado mecanico de la barra son

Desplazamientos axiales: u(x, t)

Deformaciones axiales: ε(x, t)

Tensiones axiales: σ(x, t)


El valor de ε(x t) σ(x t) se relacionan por:

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El valor de ε(x, t), σ(x, t) se relacionan por:

Relacion deformacion desplazamiento:

ε(x, t) = ∂u(x, t)

∂x

Relaciones constitutivas (Ley de Hooke):

σ(x, t) = Eε(x, t) = E ∂u(x, t)

∂x

Ecuaciones de movimiento:

∂σ(x, t)

∂x + X = ρ

∂ 2u(x, t)

∂t2

E ∂ 2u(x, t)∂x2

− ρ ∂ 2u(x, t)∂t2

= 0 Si (X = 0)

con la definicion c =

E/ρ, siendo c la velocidad de propagacion deondas longitudinales en barras.

c2∂ 2u(x, t)

∂x2 − ∂ 2u(x, t)

∂t2 = 0


C d b t d Vib i

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Caso de una barra empotrada- Vibraciones

libres

El problema para una barra empotrada en un extremo, libre en el otroy en ausencia de fuerzas exteriores se escribe como:

c2∂ 2u(x, t)

∂x2 − ∂ 2u(x, t)

∂t2 = 0

con condiciones de contorno y iniciales

C.B

u(0, t) = 0

∂u∂x

(L, t) = u(L, t) = 0C.I

u(x, 0) = u0

∂u∂t

(x, 0) = u(x, 0) = 0

Una forma de resolver este problema es postulando separacion devariables:

u(x, t) = Φ(x)Y (t)


Utili ando ( t) Φ( )Y (t)

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Utilizando u(x, t) = Φ(x)Y (t)

La ecuacion del problema puede escribirse como:

c

2

Φ

(x)Y (t)− Φ(x)¨Y (t) = 0

Dividiendo por Φ(x)Y (t) se llega a

c2Φ(x)

Φ(x) − Y (t)

Y (t) = 0

El primer termino de esta expresion debe ser solamente una funcionde x mientras que el segundo debe ser funcion de t. La unicaposibilidad es que sean constantes, esto es:

c2Φ(x)

Φ(x) =

Y (t)

Y (t) = C

Lo que conduce a dos ecuaciones Y (t) + ω2Y (t) = 0

Φ(x) + b2Φ(x) = 0

donde ω2 = −C y b2 = −C/c2 = ω2/c2


Soluciones

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SolucionesEcuacion para los factores de participacion modal Y (t)

Y (t) + ω2

Y (t) = 0Ecuacion de vibracion libre un sistema de un grado de libertad. Susolucion es:

Y (t) = A1 sen (ωt) + A2 cos(ωt)

En forma analoga para los modos Φ(x):

Φ(x) + b2Φ(x) = 0

se obtiene la siguiente solucion:

Φ(x) = B1 sen (bx) + B2 cos(bx)

En un sistema continuo existen infinitos valores de b que verifican las

condiciones de contorno.

Esto hace que haya tambien infinitas formas modales de vibracion libre.


Soluciones para Φ( ) B s (b ) + B s(b )

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Soluciones para Φ(x) = B1 sen (bx) + B2 cos(bx)

Primera condicion de contorno: u(0, t) = 0 ⇒ Φ(0) = 0

B1 sen (0) + B2 cos(0) = 0

entonces B2 = 0. Segunda condicion de contorno:u(L, t) = 0

⇒Φ(bx) = 0 para x = L

B1b cos(bL) = 0

cos(bL) = 0

cuya solucion distinta de la trivial es

bL = π2n− 1

2

con n = 1, 2, 3... designado el modo natural de vibracion.


La forma modal para el modo n se escribe entonces:

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La forma modal para el modo n se escribe entonces:

Φn(x) = B1 sen π2n− 1

2

x

Ly la frecuencia asociada a ese modo:

ωn = bc = 2n− 1

2 π

c

L

Los modos mas bajos son los que representan mas importancia parala respuesta estructural.

El primer modo, para n = 1, se denomina

“modo fundamental de vibracion”.

Para el caso de una barra con u = u0 y u(0) = 0, los factores departicipacion modal seran

Y n(t) = 8u0L

π2(2n−

1)2 ρ

E sin

E

ρ (2n− 1)

π

2Lt


Ortogonalidad de los modos

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0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

Φx

Φ3xSin5 Π x

2 L

Φ2xSin3 Π x

2 L

Φ1x SinΠ x

2 L

L

0

Φ1(x)Φ2(x)dx = 0 L

0

Φ2(x)Φ3(x)dx = 0 L

0

Φ1(x)Φ3(x)dx = 0


Metodo de superposicion modal

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Metodo de superposicion modalLos modos son ortogonales entre sı, de modo que pueden serutilizados como funciones base para describir el desplazamiento de

la estructura, esto es:

u(x, t) =∞

n=1

Φn(x)Y n(t)

Para el ejemplo de la barra, en la siguiente figura se muestra σ

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10t

2.107

1.107

1.107

2.107Σx,t


Discretizacion

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DiscretizacionEl problema dinamico de la barra con deformacion axial, es

representativo del problema de cualquier estructura continua.

La solucion analıtica pudo obtenerse para este ejemplo sencillo, pero enun caso mas general ello no sera posible.

Se utilizara algun metodo de aproximacion que sustituye el problema

planteado con ecuaciones algebraicas en derivadas parciales por otro

con ecuaciones algebraicas involucrando matrices.

Se realizara una discretizacion temporal.

La discretizacion espacial sera llevada a cabo por el Metodo de losElementos Finitos.


Ecuacion matricial de equilibrio dinamico

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Ecuacion matricial de equilibrio dinamico

Supongamos que una estructura se ha discretizado con elementos

finitos tridimensionales y que esta sometida a una carga exterior por

unidad de volumen variable en el tiempo: qe(t).

El campo de desplazamiento varıa con el tiempo u(t) y aparecen dos

nuevas fuerzas distribuidas en el volumen de la estructura:

Fuerza de inercia por unidad de volumen:

F ine(x, t) = −ρ∂ 2u(x, t)

∂t2 = ρu(x, t)

Fuerzas de amortiguamiento por unidad de volumen:

F amor(x, t) =−C ∂ u(x, t)

∂t= C u(x, t)

Donde ρ es la densidad y C es la constante de amortiguamiento.


Discretizacion por Elementos Finitos

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Discretizacion por Elementos FinitosEl campo de desplazamientos del elemento ue(t) puede aproximarsecomo:

ue(x, t) =

ni=1

N i(x)U i(t) = N (x)U e(t)

donde N (x) es la matriz de las funciones de forma que dependendel vector de coordenadas x y U (t) el vector de desplazamientosnodales dependientes del tiempo t.

Vector de fuerzas nodales equivalente a la carga distribuida:

F qe(t) =

V e

N T (x)qe(t) dV e

Vector de fuerzas nodales equivalente a la fuerza de inercia

F iner(t) = −

V e

N T (x)ρue(x, t) dV e = −

V e

ρN T (x)N (x) dV e U e(t)

F iner(t) = −M e U e(t)


Discretizacion por Elementos Finitos

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Discretizacion por Elementos FinitosLa matriz

M e = V e

ρN T (x)N (x) dV e

se denomina matriz de masa del elemento.Vector de fuerzas nodales equivalente a la fuerza deamortiguamiento es

F amor(t) = − V eN T (x)C e ue(x, t) dV e = −

V eC eN T (x)N (x) dV e U e(t)

F amor(t) = −C e U e(t)

Aquı,

C e =

V e

C N T (x)N (x) dV e

se denomina, matriz de amortiguamiento del elemento.


Ecuacion de equilibrio

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Ecuacion de equilibrioLa ecuacion matricial de equilibrio estatico del elementoK eU e(t) = F e, se transforma en:

K eU e(t) = F qe(t) + F iner(t) + F amor(t)

Luego, teniendo en cuenta:

F iner(t) = −M e U e(t)

F amor(t) = −C e U e(t)

La ecuacion matricial de equilibrio dinamico del elemento es

M e U e + C e U e(t) +K eU e(t) = F qe(t)

y la ecuacion matricial de toda la estructura

A

ne=1

M e U e(t) +C e U e(t) +K eU e(t)

= A

ne=1

[F qe(t)]

Ane=1, representa el ensamblaje o contribucion de todos los

elementos.


A modo de resumen

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A modo de resumen

M U (t) + C U (t) +KU (t) = F q(t)

donde,

C =

V

C N T (x)N (x) dV

M =

V ρN T (x)N (x) dV

K =

V

BT (x)DB(x) dV

F q(t) =

V

N T (x)q(t) dV

siendo B = ∂ N y D la matriz constitutiva que depende del modulode Young E y del coeficiente de poisson ν .


Matriz de masa M

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A la matriz de masa ası definida se la denomina matriz de masaconsistente para distinguirla de la matriz de masa concentrada, que

supone la masa de la estructura distribuida en forma discontinua

alrededor de los nodos. Para ello se concentra en cada nodo la masaque corresponde a la zona de influencia que se le considere.

La matriz de masa concentrada es del tipo diagonal, siendo mas facil de

almacenar y de invertir, simplificando la resolucion de la ecuacion

matricial de equilibrio.


Matriz de amortiguamiento

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g

Los problemas de amortiguamiento en las estructuras son muy

complejos y dependen en gran medida de la energıa disipada en losvınculos de las estructuras y del nivel de esfuerzos. En general, loscoeficientes de amortiguamiento C dependen de la frecuencia ω delmovimiento de toda la estructura y, para ello, la matriz deamortiguamiento C no se puede construir ensamblando las matrices

de sus elementos. Para evitar este inconveniente, la matriz deamortiguamiento se suele expresar como una combinacion lineal delas matrices de rigidez y de masa. De esta forma, se origina la matriztipo Rayleigh:

C = αK + β M

en la que los coeficientes α, y β son dos coeficientes relacionadospor:

ξ = 1

2

αω +

β

ω


Los coeficientes α y β se obtiene conociendo dos relaciones deamortiguamiento correspondientes a dos frecuencias de vibracion ω

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amortiguamiento correspondientes a dos frecuencias de vibracion ωdiferentes. La utilizacion de la un amortiguamiento tipo Rayleigh tienela ventaja, segun se demostrara mas adelante, de desacoplar el

sistema de n ecuaciones del equilibrio dinamico transformandolo enn ecuaciones independientes.

0 2 4 6 8 10Ω

2

4

6

8

Ξ 1

2Α Ω

Β

Ω


Modos y Frecuencias Naturales

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yCuando no existen cargas aplicadas sobre la estructura y elamortiguamiento se supone despreciable, la ecuacion del equilibrio

dinamico se reduce a la ecuacion de vibracion natural de laestructura:

M U (t) + KU (t) = 0

Para estudiar la vibracion natural de una estructura suponemos queel vector de desplazamientos nodales, variable en el tiempo, puede

expresarse de la siguiente forma:

U (t) = Φ sen(ωt + φ)

donde Φ es el vector formado por las amplitudes de losdesplazamientos nodales y ω es la frecuencia de vibracion. Teniendo

en cuenta que:U (t) = −ω2Φ sen(ωt + φ)

al sustituir esta igualdad,

(K − λM )Φ = 0

siendo λ = ω2.


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Para que(K − λM )Φ = 0

tenga una solucion distinta de la trivial, Φ = 0 es necesario que severifique la ecuacion caracterıstica del problema de autovalores,

det (K − λM ) = 0

Si n es el orden de las matrices M y K , habra n escalares λi

llamados autovalores y que satisfacen la ecuacion caracterıstica.La solucion del problema de autovalores y autovectores consiste endeterminar frecuencias y modos naturales de la estructura.A cada autovalor λi y por lo tanto a cada frecuencia natural ωi =

√ λi

le corresponde un vector Φi llamado autovector, o modo natural .

Por consiguiente, la estructura tendra un numero de frecuenciasnaturales y modos naturales igual al orden la matriz M y K , quecoincide con el numero de grados de libertad libres de laestructura.



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Los modos naturales Φi, Φj , correspondientes a las frecuenciasnaturales ωi, ωj , poseen la propiedad de ser ortogonales a la matriz

de masa M y a la de rigidez K . Ello significa que se verifican lassiguientes relaciones:

ΦT i MΦi = 0 i = j

ΦT j KΦj = 0 i = j

Demostracion. A partir de la ecuacion caracterıstica:det (K − λM ) = 0

para las frecuencias ωi y ωj , se satisface

KΦi = ω2iMΦi

KΦj = ω2jMΦj

Pre-multiplicando las expresiones anteriores por ΦT j y por ΦT

i , seobtiene,

ΦT j KΦi = ω2

iΦT j MΦi

Φ

T

i KΦj = ω

2

jΦ

T

i MΦj



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Como las matrices M y K son simetricas, permiten establecer lassiguientes igualdades

ΦT j KΦi = ω2

iΦT i MΦj

ΦT j KΦi = ω2

jΦT i MΦj

Al restar miembro a miembro estas ecuaciones,

(ω2i − ω2j )ΦT i MΦj = 0

que demuestra la ortogonalidad de los modos naturales respecto dela matriz de masa M , ya que para i = j se verifica

ΦT i MΦj = 0

y al sustituir esta ecuacion en:

ΦT i KΦj = ω2

jΦT i MΦj = 0

que demuestra la ortogonalidad de los modos naturales respecto de

la matriz de rigidez K .


Metodo de superposicion de modos

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naturales

Este metodo considera el equilibrio dinamico de una estructura encada instante como el resultado de una combinacion lineal de susmodos naturales. Basandose en esta hipotesis, siendo n el numerode grados de libertad de la estructura, el vector de desplazamientos

nodales U (t) en funcion de los n modos naturales o autovectores Φi

resultaU (t) = AY (t)

dondeA = [Φ1 Φ2 Φ3 . . .Φn]

es la matriz de autovectores y Y (t) es el vector de desplazamientosgeneralizados de orden n y variable con el tiempo t.


Metodo de superposicion de modos

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naturalesReemplazando U (t) = AY (t) en la ecuacion del equilibrio dinamico,

M U (t) +C U (t) + KU (t) = F (t)

se tiene,MAY (t) +CA Y (t) +KAY (t) = F (t)

y pre-multiplicando esta expresion por la transpuesta de la matriz de

autovectores A, resulta

AT MAY (t) + AT CA Y (t) +AT KAY (t) = AT F (t)

o bienM ∗Y (t) +C ∗Y (t) + K ∗Y (t) = F ∗(t)

donde,M ∗ = AT MA

K ∗ = AT KA

C ∗ = AT CA

F ∗

(t) =AT F

(t)


Al f t l lti li i t i i l lt l i

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Al efectuar las multiplicaciones matriciales, resulta que cualquiertermino de la matriz producto correspondiente viene dado por:

M ∗ij = AT i MAj

K ∗ij = AT i KAj

siendo por definicion Ai = Φi y Aj = Φj

M ∗

ij = ΦT i MΦj = 0 i = jK ∗ij = ΦT

i KΦj = 0 i = j

por propiedad de ortogonalidad de modos, y en consecuencia M ∗ yK ∗ son matrices diagonales. Haciendo i = j se obtienen los

terminos diagonales,M ∗ii = ΦT

i MΦi

K ∗ii = ΦT i KΦi


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Ahora bien, la ecuacion matricial equivalente a las ecuaciones es

KΦi = ω2iMΦi

Luego,al pre-multiplicar por ΦT i

ΦT i KΦi = ω2

iΦT i MΦi

y teniendo en cuenta que: M ∗ii = ΦT i MΦi y K ∗ii = ΦT

i KΦi

K ∗ii = ω2i M ∗ii

que establece la relacion entre los terminos diagonales de lasmatrices K ∗ y M ∗.


En cuanto a la matriz de amortiguamiento C , si se admiteti i t ti R l i h C K βM t

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amortiguamiento tipo Rayleigh: C = αK + β M , entonces,

ΦT CΦ = αΦT K ∗Φ+ β ΦT M ∗Φ

⇒C ∗ = αK ∗ +M ∗

Los termino no nulos seran los de la diagonal, esto es cuando i = j ,por lo tanto,

C ∗ii = αK ∗ii + βM ∗ii

Teniendo en cuenta que: K ∗ii = ω2i M ∗ii

C ∗ii = αω2i M ∗ii + βM ∗ii = (αω2

i + β )M ∗ii = ωi

αωi +

β

ωi

M ∗ii ⇒

C ∗ii = 2ω2i ξ iM ∗ii

Finalmente el sistema de ecuaciones de la dinamica resulta en,

M ∗iiΦi(t) + 2ω2i ξ iM ∗iiΦi(t) + ω2

i M ∗iiΦi(t) = F i(t) i = 1, 2, . . . , n


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Conclusion

De esta forma la solucion del problema dinamico lleva consigo la

resolucion de forma independiente de n ecuaciones diferenciales

lineales ordinarias, lo que puede hacerse mediante diferentes tecnicas

de integracion numerica.

Este metodo supone una elevada carga de trabajo computacional

porque primeramente hay que calcular los modos naturales y susfrecuencias. Sin embargo, una vez calculados, pueden ser

almacenados y utilizados para hallar diferentes respuestas dinamicas a

diferentes casos de carga que pueden actuar sobre la estructura.

Debe destacarse que el metodo de superposicion modal es aplicable

unicamente a casos lineales en los que las matricesM

,K

yC

y/o elvector de fuerzas F (t) no dependen del vector de desplazamientos U

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